പുരാതന കാലത്ത് പല സംഖ്യകളും അവയുടെ വ്യാപ്തിയും അന്ധവിശ്വാസപരമായ അർത്ഥവും നേടിയെടുത്തു. ഇക്കാലത്ത്, അവയിൽ പുതിയ കെട്ടുകഥകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കപ്പെടുന്നു. പൈ എന്ന സംഖ്യയെക്കുറിച്ച് നിരവധി ഐതിഹ്യങ്ങളുണ്ട്, പ്രശസ്തമായ ഫിബൊനാച്ചി നമ്പറുകൾ കുറച്ച് പ്രശസ്തമാണ്. എന്നാൽ ഏറ്റവും ആശ്ചര്യപ്പെടുത്തുന്നത് e എന്ന സംഖ്യയാണ്. ഇല്ലാതെ ചെയ്യാൻ കഴിയാത്തത് ആധുനിക ഗണിതശാസ്ത്രം, ഭൗതികശാസ്ത്രവും സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രവും പോലും.
e യുടെ ഗണിത മൂല്യം ഏകദേശം 2.718 ആണ്. എന്തുകൊണ്ട് കൃത്യമായി അല്ല, പക്ഷേ ഏകദേശം? ഈ സംഖ്യ യുക്തിരഹിതവും അതിരുകടന്നതുമായതിനാൽ, ഇത് സ്വാഭാവിക പൂർണ്ണസംഖ്യകളുള്ള ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായോ യുക്തിസഹ ഗുണകങ്ങളുള്ള ബഹുപദമായോ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല. നിർദ്ദിഷ്ട കൃത്യതയുടെ മിക്ക കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്കും, 2.718 മൂല്യം മതിയാകും, എന്നിരുന്നാലും കമ്പ്യൂട്ടർ സാങ്കേതികവിദ്യയുടെ നിലവിലെ ലെവൽ അതിന്റെ മൂല്യം ഒരു ട്രില്ല്യണിലധികം ദശാംശ സ്ഥാനങ്ങളുടെ കൃത്യതയോടെ നിർണ്ണയിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.
e എന്ന സംഖ്യയുടെ പ്രധാന സവിശേഷത, അതിന്റെ എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ f (x) \u003d e x ന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് e x ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണ് എന്നതാണ്. മറ്റൊരു ഗണിത ബന്ധത്തിനും ഇത്രയും അസാധാരണമായ ഗുണമില്ല. ഇതിനെക്കുറിച്ച് കുറച്ചുകൂടി വിശദമായി സംസാരിക്കാം.
എന്താണ് ഒരു പരിധി
ആദ്യം, നമുക്ക് ഒരു പരിധി എന്ന ആശയം കൈകാര്യം ചെയ്യാം. ചില ഗണിത പദപ്രയോഗങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക, ഉദാഹരണത്തിന്, i = 1/n. കാണാം, "n ന്റെ വർദ്ധനവോടെ“, “i” യുടെ മൂല്യം കുറയും, കൂടാതെ “n” അനന്തതയിലേക്ക് (ഇത് ∞ എന്ന ചിഹ്നത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു), “i” പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ പരിധി മൂല്യത്തിലേക്ക് (പലപ്പോഴും പരിധി എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു) പ്രവണത കാണിക്കും. പരിഗണനയിലുള്ള കേസിന്റെ പരിധി എക്‌സ്‌പ്രഷൻ (ലിം എന്ന് സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു) lim n →∞ (1/ n) = 0 എന്ന് എഴുതാം.
വ്യത്യസ്‌ത പദപ്രയോഗങ്ങൾക്ക് വ്യത്യസ്‌ത പരിധികളുണ്ട്. സോവിയറ്റ്, റഷ്യൻ പാഠപുസ്തകങ്ങളിൽ രണ്ടാമത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധിയായി ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുള്ള അത്തരം പരിധികളിൽ ഒന്നാണ്, lim n →∞ (1+1/ n) n . ഇതിനകം മധ്യകാലഘട്ടത്തിൽ, ഈ പദപ്രയോഗത്തിന്റെ പരിധി ഇ സംഖ്യയാണെന്ന് സ്ഥാപിക്കപ്പെട്ടു.
ആദ്യത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധിയിൽ lim n →∞ (Sin n / n) = 1 എന്ന പദപ്രയോഗം ഉൾപ്പെടുന്നു.
e x എന്ന ഡെറിവേറ്റീവ് എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം - ഈ വീഡിയോയിൽ.
ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എന്താണ്
ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന ആശയം വെളിപ്പെടുത്തുന്നതിന്, ഗണിതത്തിലെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ എന്താണെന്ന് ഓർക്കണം. സങ്കീർണ്ണമായ നിർവചനങ്ങളുള്ള വാചകം അലങ്കോലപ്പെടുത്താതിരിക്കാൻ, ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ അവബോധജന്യമായ ഗണിതശാസ്ത്ര ആശയത്തിൽ നമുക്ക് താമസിക്കാം, അതിൽ ഒന്നോ അതിലധികമോ അളവുകൾ പരസ്പരബന്ധിതമാണെങ്കിൽ, മറ്റൊരു അളവിന്റെ മൂല്യം പൂർണ്ണമായും നിർണ്ണയിക്കുന്നു എന്ന വസ്തുത ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു സർക്കിളിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന്റെ S = π ∙ r 2 എന്ന ഫോർമുലയിൽ, r എന്ന റേഡിയസിന്റെ മൂല്യം വൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം പൂർണ്ണമായും അതുല്യമായും നിർണ്ണയിക്കുന്നു.
തരം അനുസരിച്ച്, ഫംഗ്ഷനുകൾ ബീജഗണിതം, ത്രികോണമിതി, ലോഗരിതം മുതലായവ ആകാം. രണ്ടോ മൂന്നോ അതിലധികമോ ആർഗ്യുമെന്റുകൾ അവയിൽ പരസ്പരം ബന്ധിപ്പിക്കാവുന്നതാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, എസ് സഞ്ചരിച്ച ദൂരം, ഒരേപോലെ ത്വരിതപ്പെടുത്തിയ വേഗതയിൽ ഒബ്ജക്റ്റ് മറികടന്നത്, S = 0.5 ∙ a ∙ t 2 + V ∙ t എന്ന ഫംഗ്ഷൻ വിവരിക്കുന്നു, ഇവിടെ “t” എന്നത് ചലനത്തിന്റെ സമയമാണ്, വാദം “a ” എന്നത് ത്വരണം (പോസിറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ നെഗറ്റീവ് മൂല്യം ആകാം) കൂടാതെ "V" എന്നത് ചലനത്തിന്റെ പ്രാരംഭ വേഗതയാണ്. അങ്ങനെ, സഞ്ചരിക്കുന്ന ദൂരത്തിന്റെ അളവ് മൂന്ന് ആർഗ്യുമെന്റുകളുടെ മൂല്യങ്ങളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു, അവയിൽ രണ്ടെണ്ണം ("എ", "വി") സ്ഥിരമാണ്.
ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ പ്രാഥമിക ആശയം കാണിക്കാൻ നമുക്ക് ഈ ഉദാഹരണം ഉപയോഗിക്കാം. ഒരു നിശ്ചിത പോയിന്റിലെ ഫംഗ്ഷന്റെ മാറ്റത്തിന്റെ തോത് ഇത് ചിത്രീകരിക്കുന്നു. ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ, ഇത് ഒരു പ്രത്യേക സമയത്ത് വസ്തുവിന്റെ വേഗതയായിരിക്കും. സ്ഥിരമായ "a", "V" എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് ഇത് "t" സമയത്തെ മാത്രം ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു, അതായത്, ശാസ്ത്രീയമായി പറഞ്ഞാൽ, "t" സമയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് നിങ്ങൾ S എന്ന ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എടുക്കേണ്ടതുണ്ട്.
ഈ പ്രക്രിയയെ ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ വളർച്ചയുടെയും അതിന്റെ ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ വളർച്ചയുടെയും അനുപാതത്തിന്റെ പരിധി നിസ്സാരമായ അളവിൽ കണക്കാക്കുന്നതിലൂടെ ഇത് നടപ്പിലാക്കുന്നു. വ്യക്തിഗത ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്കായി അത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് പലപ്പോഴും എളുപ്പമുള്ള കാര്യമല്ല, മാത്രമല്ല ഇവിടെ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നില്ല. ചില പോയിന്റുകളിലെ ചില പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക് അത്തരം പരിധികളില്ല എന്നതും ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്.
ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ, ഡെറിവേറ്റീവ് എസ്കാലക്രമേണ "t" എന്നത് S" = ds / dt = a ∙ t + V എന്ന ഫോം എടുക്കും, അതിൽ നിന്ന് "t" യെ ആശ്രയിച്ച് S" വേഗത രേഖീയമായി മാറുന്നത് കാണാൻ കഴിയും.
ഘാതകത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
ഒരു എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷനെ എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതിന്റെ അടിസ്ഥാനം e സംഖ്യയാണ്. ഇത് സാധാരണയായി F (x) \u003d e x ആയി പ്രദർശിപ്പിക്കും, ഇവിടെ എക്‌സ്‌പോണൻറ് x ഒരു വേരിയബിളാണ്. ഈ ഫംഗ്‌ഷന് യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ മുഴുവൻ ശ്രേണിയിലും പൂർണ്ണമായ വ്യത്യാസമുണ്ട്. x വർദ്ധിക്കുന്നതിനനുസരിച്ച്, അത് നിരന്തരം വർദ്ധിക്കുകയും എല്ലായ്പ്പോഴും പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കും. അതിന്റെ വിപരീത പ്രവർത്തനം ലോഗരിതം ആണ്.
പ്രശസ്ത ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ടെയ്‌ലറിന് ഈ ഫംഗ്ഷൻ തന്റെ പേരിലുള്ള ഒരു ശ്രേണിയിലേക്ക് വികസിപ്പിക്കാൻ കഴിഞ്ഞു e x = 1 + x/1! + x2/2! + x 3/3! + … മുതൽ - ∞ മുതൽ + ∞ വരെയുള്ള x ശ്രേണിയിൽ.
ഈ പ്രവർത്തനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള നിയമം, എക്സ്പോണൻഷ്യൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അദ്ദേഹം വിവരിക്കുന്നു:
- സംയുക്ത ബാങ്ക് പലിശയിൽ വർദ്ധനവ്;
- മൃഗങ്ങളുടെ ജനസംഖ്യയിലും ഗ്രഹത്തിലെ ജനസംഖ്യയിലും വർദ്ധനവ്;
- കഠിനമായ മോർട്ടിസ് സമയവും അതിലേറെയും.
ഈ ആശ്രിതത്വത്തിന്റെ ശ്രദ്ധേയമായ സ്വത്ത് നമുക്ക് ഒരിക്കൽ കൂടി ആവർത്തിക്കാം - ഏത് ഘട്ടത്തിലും അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ മൂല്യം എല്ലായ്പ്പോഴും ഈ ഘട്ടത്തിലെ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത് (e x)" = e x .
എക്‌സ്‌പോണന്റിന്റെ ഏറ്റവും സാധാരണമായ കേസുകൾക്കുള്ള ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഇതാ:
- (ഇ കോടാലി)" = a ∙ e ax;
- (e f (x))" = f "(x) ∙ e f (x) .
ഈ ഡിപൻഡൻസികൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഈ ഫംഗ്ഷന്റെ മറ്റ് പ്രത്യേക തരം ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുന്നത് എളുപ്പമാണ്.
ഇ സംഖ്യയെക്കുറിച്ചുള്ള രസകരമായ ചില വസ്തുതകൾ
നേപ്പിയർ, ഒട്രെഡ്, ഹ്യൂഗൻസ്, ബെർണൂലി, ലെബ്നിസ്, ന്യൂട്ടൺ, യൂലർ തുടങ്ങിയ ശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ പേരുകൾ ഈ സംഖ്യയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. രണ്ടാമത്തേത് യഥാർത്ഥത്തിൽ ഈ സംഖ്യയ്ക്ക് e എന്ന പദവി അവതരിപ്പിച്ചു, കൂടാതെ കണക്കുകൂട്ടലിനായി അദ്ദേഹം കണ്ടെത്തിയ e = 1 + 1/1 എന്ന ശ്രേണി ഉപയോഗിച്ച് ആദ്യത്തെ 18 പ്രതീകങ്ങളും കണ്ടെത്തി! +2/2! + 3/3! …
ഏറ്റവും അപ്രതീക്ഷിതമായ സ്ഥലങ്ങളിൽ e എന്ന നമ്പർ സംഭവിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഇത് കാറ്റനറി സമവാക്യത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്, ഇത് ഒരു കയറിന്റെ അറ്റങ്ങൾ സപ്പോർട്ടുകളിൽ ഉറപ്പിക്കുമ്പോൾ സ്വന്തം ഭാരത്തിന് കീഴിലുള്ള തൂണിനെ വിവരിക്കുന്നു.
വീഡിയോ
എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ആണ് വീഡിയോ പാഠത്തിന്റെ വിഷയം.
എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യലിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനും (e ടു ദി പവർ ഓഫ് x) എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷനും (എ ടു ദി പവർ ഓഫ് x) ഫോർമുലകളുടെ തെളിവും ഡെറിവേഷനും. e^2x, e^3x, e^nx എന്നിവയുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ. ഉയർന്ന ഓർഡറുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾക്കുള്ള ഫോർമുലകൾ.
ഉള്ളടക്കംഇതും കാണുക: എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ - പ്രോപ്പർട്ടികൾ, ഫോർമുലകൾ, ഗ്രാഫ്
എക്സ്പോണന്റ്, e to the power of x - പ്രോപ്പർട്ടികൾ, ഫോർമുലകൾ, ഗ്രാഫ്
അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ
എക്‌സ്‌പോണന്റിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണന്റിന് തുല്യമാണ് (ഇ യുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണന്റിന് തുല്യമാണ് (ഇ യുടെ വ്യുൽപ്പന്നം എക്‌സിന്റെ ശക്തിക്ക് ഇക്ക് തുല്യമാണ്):
(1)
(e x )′ = e x.
ഡിഗ്രി a യുടെ അടിത്തറയുള്ള ഒരു എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷനു തുല്യമാണ്, a യുടെ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ:
(2)
.
എക്‌സ്‌പോണൻറ് ഒരു എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷനാണ്, അതിന്റെ എക്‌സ്‌പോണൻറ് ബേസ് സംഖ്യ e ന് തുല്യമാണ്, അത് ഇനിപ്പറയുന്ന പരിധിയാണ്:
.
ഇവിടെ അത് സ്വാഭാവിക സംഖ്യയോ യഥാർത്ഥ സംഖ്യയോ ആകാം. അടുത്തതായി, എക്‌സ്‌പോണന്റിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനായി ഞങ്ങൾ ഫോർമുല (1) നേടുന്നു.
ഘാതകത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള ഫോർമുലയുടെ വ്യുൽപ്പന്നം
എക്സ്പോണന്റ് പരിഗണിക്കുക, e ന്റെ ശക്തിയിലേക്ക്:
y = e x.
ഈ ഫംഗ്ഷൻ എല്ലാവർക്കുമായി നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു. x നെ സംബന്ധിച്ച് അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം. നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഡെറിവേറ്റീവ് ഇനിപ്പറയുന്ന പരിധിയാണ്:
(3)
.
അറിയപ്പെടുന്ന ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ ഗുണങ്ങളിലേക്കും നിയമങ്ങളിലേക്കും ചുരുക്കാൻ ഈ പദപ്രയോഗം രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം. ഇതിനായി നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന വസ്തുതകൾ ആവശ്യമാണ്:
എ)എക്സ്പോണന്റ് പ്രോപ്പർട്ടി:
(4)
;
ബി)ലോഗരിതം പ്രോപ്പർട്ടി:
(5)
;
IN)തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനത്തിനുള്ള ലോഗരിതത്തിന്റെ തുടർച്ചയും പരിധികളുടെ ഗുണവും:
(6)
.
ഇവിടെ, ഒരു പരിധിയുള്ള ചില ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉണ്ട്, ഈ പരിധി പോസിറ്റീവ് ആണ്.
ജി)രണ്ടാമത്തെ അത്ഭുതകരമായ പരിധിയുടെ അർത്ഥം:
(7)
.
ഈ വസ്തുതകൾ ഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ പരിധിയിൽ പ്രയോഗിക്കുന്നു (3). ഞങ്ങൾ പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിക്കുന്നു (4):
;
.
നമുക്ക് ഒരു പകരം വയ്ക്കാം. പിന്നെ ; .
ഘാതകത്തിന്റെ തുടർച്ച കാരണം,
.
അതിനാൽ, at ,. ഫലമായി, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു:
.
നമുക്ക് ഒരു പകരം വയ്ക്കാം. പിന്നെ . , . കൂടാതെ ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്:
.
ലോഗരിതം (5) ന്റെ പ്രോപ്പർട്ടി ഞങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുന്നു:
. പിന്നെ
.
നമുക്ക് പ്രോപ്പർട്ടി പ്രയോഗിക്കാം (6). പോസിറ്റീവ് പരിധി ഉള്ളതിനാലും ലോഗരിതം തുടർച്ചയായതിനാലും:
.
ഇവിടെ ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധി (7) ഉപയോഗിച്ചു. പിന്നെ
.
അങ്ങനെ, ഘാതകത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനായി നമുക്ക് ഫോർമുല (1) ലഭിച്ചു.
എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള ഫോർമുലയുടെ ഡെറിവേഷൻ
ഡിഗ്രി a യുടെ അടിസ്ഥാനത്തോടുകൂടിയ എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള ഫോർമുല (2) ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾ അത് വിശ്വസിക്കുന്നു ഒപ്പം. പിന്നെ എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ
(8)
എല്ലാവർക്കും വേണ്ടി നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത്.
നമുക്ക് ഫോർമുല രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം (8). ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷന്റെയും ലോഗരിതത്തിന്റെയും സവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.
;
.
അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ഫോർമുല (8) ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോമിലേക്ക് രൂപാന്തരപ്പെടുത്തി:
.
e യുടെ ഉയർന്ന ഓർഡർ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ മുതൽ x ന്റെ ശക്തി വരെ
ഇനി നമുക്ക് ഉയർന്ന ഓർഡറുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്താം. നമുക്ക് ആദ്യം എക്സ്പോണന്റ് നോക്കാം:
(14)
.
(1)
.
ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് (14) ഫംഗ്‌ഷനുതന്നെ (14) തുല്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു. (1) വേർതിരിച്ചുകൊണ്ട്, ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും ഓർഡർ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ലഭിക്കും:
;
.
nth ഓർഡർ ഡെറിവേറ്റീവും യഥാർത്ഥ ഫംഗ്‌ഷന് തുല്യമാണെന്ന് ഇത് കാണിക്കുന്നു:
.
എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷന്റെ ഉയർന്ന ഓർഡർ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ
ഇപ്പോൾ a ഡിഗ്രിയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലുള്ള ഒരു എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ പരിഗണിക്കുക:
.
ഞങ്ങൾ അതിന്റെ ആദ്യ ഓർഡർ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തി:
(15)
.
(15) വേർതിരിച്ചുകൊണ്ട്, ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും ഓർഡർ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ലഭിക്കും:
;
.
ഓരോ വ്യത്യാസവും യഥാർത്ഥ ഫംഗ്ഷന്റെ ഗുണനത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നതായി നാം കാണുന്നു. അതിനാൽ, nth ഡെറിവേറ്റീവിന് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപമുണ്ട്:
.
അടിസ്ഥാന സങ്കൽപങ്ങൾ
$x$ ന്റെ ശക്തിയിലേക്കുള്ള എക്‌സ്‌പോണന്റിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പരിഗണിക്കുന്നതിനുമുമ്പ്, ഞങ്ങൾ നിർവചനങ്ങൾ ഓർക്കുന്നു
- പ്രവർത്തനങ്ങൾ;
- ക്രമ പരിധി;
- ഡെറിവേറ്റീവ്;
- പ്രദർശകർ.
$x$ ന്റെ ശക്തിയിലേക്കുള്ള എക്‌സ്‌പോണന്റിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ വ്യക്തമായ ധാരണയ്ക്ക് ഇത് ആവശ്യമാണ്.
നിർവ്വചനം 1
രണ്ട് വേരിയബിളുകൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധമാണ് ഫംഗ്ഷൻ.
നമുക്ക് $y=f(x)$ എടുക്കാം, ഇവിടെ $x$, $y$ എന്നിവ വേരിയബിളുകളാണ്. ഇവിടെ $x$-നെ ഒരു ആർഗ്യുമെന്റ് എന്നും $y$-നെ ഫംഗ്ഷൻ എന്നും വിളിക്കുന്നു. ആർഗ്യുമെന്റിന് ഏകപക്ഷീയമായ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കാം. അതാകട്ടെ, $y$ എന്ന വേരിയബിൾ ആർഗ്യുമെന്റിനെ ആശ്രയിച്ച് ഒരു നിശ്ചിത നിയമമനുസരിച്ച് മാറുന്നു. അതായത് $x$ എന്നത് സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളും $y$ ഫംഗ്ഷൻ ആശ്രിത വേരിയബിളുമാണ്. $x$ ന്റെ ഏത് മൂല്യവും $y$ എന്ന ഒരൊറ്റ മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.
ഓരോ സ്വാഭാവിക സംഖ്യയും $n=1, 2, 3, ...$ ചില നിയമങ്ങളാൽ $x_n$ എന്നൊരു സംഖ്യ നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, $x_1,x_2,...,x_n$ എന്ന സംഖ്യകളുടെ ഒരു ക്രമം എന്ന് ഞങ്ങൾ പറയുന്നു നിർവചിച്ചു. അല്ലാത്തപക്ഷം, അത്തരം ഒരു ശ്രേണി $\(x_n\)$ എന്ന് എഴുതിയിരിക്കുന്നു. എല്ലാ $x_n$ സംഖ്യകളെയും അംഗങ്ങൾ അല്ലെങ്കിൽ ക്രമത്തിലെ ഘടകങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
നിർവ്വചനം 2
ഒരു ശ്രേണിയുടെ പരിധി യഥാർത്ഥ വരിയിലെ അവസാന പോയിന്റ് അല്ലെങ്കിൽ അനന്തതയിലുള്ള പോയിന്റാണ്. പരിധി ഇതുപോലെ എഴുതിയിരിക്കുന്നു: $\lim x_n = \lim\limits_(n\to\infty)x_n = a$. ഈ എൻട്രി അർത്ഥമാക്കുന്നത് $x_n$ എന്ന വേരിയബിൾ $a$ $x_n\ to a$ വരെയാകുന്നു എന്നാണ്.
$x_0$ എന്ന പോയിന്റിലെ $f$ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനെ ഇനിപ്പറയുന്ന പരിധി എന്ന് വിളിക്കുന്നു:
$\lim\limits_(x\ to x_0)\frac(f(x) - f(x_o))(x-x_o)$. ഇത് $f"(x_0)$ കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
$e$ എന്ന സംഖ്യ ഇനിപ്പറയുന്ന പരിധിക്ക് തുല്യമാണ്:
$e=\lim\limits_(x\to\infty) (1+\frac(1)(n))\ approx2.718281828459045...$
നൽകിയിരിക്കുന്ന പരിധിയിൽ, $n$ ഒരു സ്വാഭാവിക അല്ലെങ്കിൽ യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണ്.
പരിധി, ഡെറിവേറ്റീവ്, എക്സ്പോണന്റ് എന്നീ ആശയങ്ങൾ അറിയുന്നതിലൂടെ, $(e^x)"=e^x$ എന്ന സൂത്രവാക്യത്തിന്റെ തെളിവിലേക്ക് നമുക്ക് പോകാം.
$x$ ന്റെ ശക്തിയിലേക്ക് എക്‌സ്‌പോണന്റിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
ഞങ്ങൾക്ക് $e^x$ ഉണ്ട്, ഇവിടെ $x: -\infty
$y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(x+\Delta x)-e^x)(\Delta x)$.
$e^(a+bx)=e^a*e^b$ എന്ന എക്‌സ്‌പോണന്റിന്റെ പ്രോപ്പർട്ടി പ്രകാരം നമുക്ക് പരിധിയുടെ ന്യൂമറേറ്റർ രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം:
$e^(x+\Delta x)-e^x = e^x*e^(\Delta x)-e^x = e^x(e^(\Delta x)-1)$.
അതായത്, $y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(x+\Delta x)-e^x)(\Delta x)=\lim\limits_(\Delta x\\ 0 വരെ) \frac(e^x(e^(\Delta x)-1))(\Delta x)$.
$t=e^(\Delta x)-1$ സൂചിപ്പിക്കുക. നമുക്ക് $e^(\Delta x)=t+1$ ലഭിക്കുന്നു, കൂടാതെ ലോഗരിതത്തിന്റെ പ്രോപ്പർട്ടി പ്രകാരം $\Delta x = ln(t+1)$ ആയി മാറുന്നു.
എക്സ്പോണന്റ് തുടർച്ചയായതിനാൽ, നമുക്ക് $\lim\limits_(\Delta x\to 0) e^(\Delta x)=e^0=1.$ അതിനാൽ, $\Delta x\ to 0$ ആണെങ്കിൽ, $ t \ മുതൽ $0 വരെ.
തൽഫലമായി, ഞങ്ങൾ പരിവർത്തനം കാണിക്കുന്നു:
$y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(\Delta x)-1)(\Delta x)=e^x\lim\limits_(t\to 0)\frac (t)(ln(t+1))$.
$n=\frac (1)(t)$, തുടർന്ന് $t=\frac(1)(n)$ സൂചിപ്പിക്കുക. $t\ to 0$ ആണെങ്കിൽ $n\ to\infty$ ആണ്.
നമുക്ക് നമ്മുടെ പരിധി മാറ്റാം:
$y"=e^x\lim\limits_(t\ to 0)\frac(t)(ln(t+1))=e^x\lim\limits_(n\to\infty)\frac(1) (n\cdot ln(\frac(1)(n)+1)^n)$.
ലോഗരിതം $b\cdot ln c=ln c^b$ എന്നതിന്റെ പ്രോപ്പർട്ടി പ്രകാരം നമുക്കുണ്ട്
$n\cdot ln (\frac(1)(n)+1)=ln(\frac(1)(n)+1)^n=ln(1+\frac(1)(n))^n$ .
പരിധി ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു:
$y"=e^x\lim\limits_(n\to\infty)\frac(1)(n\cdot ln(\frac(1)(n)+1)) = e^x\lim\limits_( n\to\infty)\frac(1)(ln(\frac(1)(n)+1)^n)= e^x\frac(1)(\lim\limits_(n\to\infty) ln (\frac(1)(n)+1)^n)$.
തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനത്തിനായുള്ള ലോഗരിതത്തിന്റെ തുടർച്ച പ്രോപ്പർട്ടിയും പരിധികളുടെ പ്രോപ്പർട്ടിയും അനുസരിച്ച്: $\lim\limits_(x\to x_0)ln(f(x))=ln(\lim\limits_f(x))$, എവിടെ $f(x)$ ന് പോസിറ്റീവ് പരിധി $\lim\limits_(x\ to x_0)f(x)$ ഉണ്ട്. അതിനാൽ, ലോഗരിതം തുടർച്ചയായതും പോസിറ്റീവ് പരിധിയായ $\lim\limits_(n\to\infty)(\frac(1)(n)+1)^n$ ഉള്ളതിനാൽ, നമുക്ക് ഊഹിക്കാം:
$\lim\limits_(n\to\infty)ln(1+\frac(1)(n))^n=ln\lim\limits_(n\to\infty)ln(1+\frac(1)( n))^n=ln e=1$.
രണ്ടാമത്തെ അത്ഭുതകരമായ പരിധിയായ $\lim\limits_(n\to\infty)(1+\frac(1)(n))^n=e$ എന്നതിന്റെ മൂല്യം ഉപയോഗിക്കാം. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
$y"= e^x\frac(1)(\lim\limits_(n\to\infty) ln(\frac(1)(n)+1)^n) = e^x\cdot\frac(1 )(ln e) = e^x\cdot\frac(1)(1)=e^x$.
അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ എക്‌സ്‌പോണന്റിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള ഫോർമുല ഉരുത്തിരിഞ്ഞു, കൂടാതെ $x$ ന്റെ ശക്തിയിലേക്കുള്ള എക്‌സ്‌പോണന്റിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്, $x$ ന്റെ പവറിന്റെ എക്‌സ്‌പോണന്റിന് തുല്യമാണെന്ന് ഉറപ്പിക്കാൻ കഴിയും:
മറ്റ് സൂത്രവാക്യങ്ങളും നിയമങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് ഈ സൂത്രവാക്യം ഉരുത്തിരിഞ്ഞുവരാൻ മറ്റ് മാർഗങ്ങളുണ്ട്.
ഉദാഹരണം 1
ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക.
അവസ്ഥ: $y=2^x + 3^x + 10^x + e^x$ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക.
പരിഹാരം: $2^x, 3^x$, $10^x$ എന്നീ പദങ്ങളിലേക്ക് $(a^x)"=a^x\cdot ln a$ എന്ന ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുക. $(e^x)"= ഉരുത്തിരിഞ്ഞ ഫോർമുല പ്രകാരം e^x$ നാലാമത്തെ പദമായ $e^x$ മാറില്ല.
ഉത്തരം: $y" = 2^x\cdot ln 2 + 3^x\cdot ln 3 + 10^x\cdot ln 10 + e^x$.
അങ്ങനെ, ഞങ്ങൾ $(e^x)"=e^x$ എന്ന സൂത്രവാക്യം ഉരുത്തിരിഞ്ഞു, അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾക്ക് നിർവചനങ്ങൾ നൽകുമ്പോൾ, പദങ്ങളിൽ ഒന്നായി ഒരു എക്സ്പോണന്റ് ഉള്ള ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്തു.
വിഷയം പഠിക്കുമ്പോൾ സൗകര്യത്തിനും വ്യക്തതയ്ക്കുമായി ഒരു സംഗ്രഹ പട്ടിക ഇതാ.
|
സ്ഥിരമായy=C പവർ ഫംഗ്ഷൻ y = x p (x p)" = p x p - 1 |
എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻy = x (a x)" = a x ln a പ്രത്യേകിച്ചും, എപ്പോൾa = ഇനമുക്ക് ഉണ്ട് y = e x (e x)" = e x |
|
ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്ഷൻ (ലോഗ് a x) " = 1 x ln a പ്രത്യേകിച്ചും, എപ്പോൾa = ഇനമുക്ക് ഉണ്ട് y = ലോഗ് x (ln x)" = 1 x |
ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ (sin x) "= cos x (cos x)" = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x)" = - 1 sin 2 x |
|
വിപരീത ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2 |
ഹൈപ്പർബോളിക് പ്രവർത്തനങ്ങൾ (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x |
സൂചിപ്പിച്ച പട്ടികയുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ ലഭിച്ചുവെന്ന് നമുക്ക് വിശകലനം ചെയ്യാം, അല്ലെങ്കിൽ, മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഓരോ തരത്തിലുള്ള ഫംഗ്ഷനുകളുടെയും ഡെറിവേറ്റീവുകൾക്കായുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ വ്യുൽപ്പന്നം ഞങ്ങൾ തെളിയിക്കും.
സ്ഥിരാങ്കത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
തെളിവ് 1ഈ ഫോർമുല ലഭിക്കുന്നതിന്, ഒരു പോയിന്റിലെ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ നിർവചനം ഞങ്ങൾ അടിസ്ഥാനമായി എടുക്കുന്നു. ഞങ്ങൾ x 0 = x ഉപയോഗിക്കുന്നു, എവിടെ xഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ സംഖ്യയുടെ മൂല്യം എടുക്കുന്നു, അല്ലെങ്കിൽ, മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, x f (x) = C എന്ന ഫംഗ്ഷന്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ നിന്നുള്ള ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയാണ്. ഫംഗ്ഷന്റെ ഇൻക്രിമെന്റിന്റെയും ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ ഇൻക്രിമെന്റിന്റെയും അനുപാതത്തിന്റെ പരിധി ∆ x → 0 ആയി എഴുതാം:
lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0
0 ∆ x എന്ന പദപ്രയോഗം പരിധി ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലാണെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കുക. ഇത് "പൂജ്യം പൂജ്യത്താൽ ഹരിച്ചാൽ" എന്നതിന്റെ അനിശ്ചിതത്വമല്ല, കാരണം ന്യൂമറേറ്ററിൽ അനന്തമായ മൂല്യമല്ല, പൂജ്യം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, സ്ഥിരമായ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ വർദ്ധനവ് എല്ലായ്പ്പോഴും പൂജ്യമാണ്.
അതിനാൽ, സ്ഥിരമായ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് f (x) = C നിർവചനത്തിന്റെ മുഴുവൻ ഡൊമെയ്‌നിലും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.
ഉദാഹരണം 1
സ്ഥിരമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു:
f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a , a ∈ R , f 3 (x) = 4 . 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7
പരിഹാരം
നൽകിയിരിക്കുന്ന വ്യവസ്ഥകൾ നമുക്ക് വിവരിക്കാം. ആദ്യ ഫംഗ്ഷനിൽ നമ്മൾ സ്വാഭാവിക സംഖ്യ 3 ന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കാണുന്നു. ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണത്തിൽ, നിങ്ങൾ ഡെറിവേറ്റീവ് എടുക്കേണ്ടതുണ്ട് എ, എവിടെ എ- ഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ സംഖ്യ. മൂന്നാമത്തെ ഉദാഹരണം നമുക്ക് യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യ 4 ന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് നൽകുന്നു. 13 7 22, നാലാമത്തേത് - പൂജ്യത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് (പൂജ്യം ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്). അവസാനമായി, അഞ്ചാമത്തെ കേസിൽ, നമുക്ക് യുക്തിസഹമായ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ട് - 8 7 .
ഉത്തരം:തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഏതൊരു റിയലിനും പൂജ്യമാണ് x(നിർവചനത്തിന്റെ മുഴുവൻ ഡൊമെയ്‌നിലും)
f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0
പവർ ഫംഗ്ഷൻ ഡെറിവേറ്റീവ്
നമ്മൾ പവർ ഫംഗ്ഷനിലേക്കും അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള ഫോർമുലയിലേക്കും തിരിയുന്നു, അതിന് ഫോം ഉണ്ട്: (x p) " = p x p - 1, ഇവിടെ എക്സ്പോണന്റ് പിഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണ്.
തെളിവ് 2
എക്സ്പോണന്റ് ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യ ആയിരിക്കുമ്പോൾ ഫോർമുലയുടെ തെളിവ് ഇതാ: p = 1, 2, 3, …
വീണ്ടും, ഞങ്ങൾ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ നിർവചനത്തെ ആശ്രയിക്കുന്നു. പവർ ഫംഗ്ഷന്റെ ഇൻക്രിമെന്റിന്റെയും ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ വർദ്ധനവിന്റെയും അനുപാതത്തിന്റെ പരിധി എഴുതാം:
(x p) " = ലിം ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x
ന്യൂമറേറ്ററിലെ പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ന്യൂട്ടന്റെ ബൈനോമിയൽ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:
(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p
അങ്ങനെ:
(x p) " = ലിം ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 + x p - 1 C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = ലിം ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 x p - 1 + 0 + 0 + .. + 0 = പി! 1! (പ - 1)!
അതിനാൽ, എക്സ്പോണന്റ് ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യ ആയിരിക്കുമ്പോൾ ഒരു പവർ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള ഫോർമുല ഞങ്ങൾ തെളിയിച്ചു.
തെളിവ് 3
എപ്പോൾ കേസിന് തെളിവ് നൽകാൻ p-പൂജ്യം ഒഴികെയുള്ള ഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ സംഖ്യ, ഞങ്ങൾ ലോഗരിഥമിക് ഡെറിവേറ്റീവ് ഉപയോഗിക്കുന്നു (ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൽ നിന്നുള്ള വ്യത്യാസം ഇവിടെ നമ്മൾ മനസ്സിലാക്കണം). കൂടുതൽ പൂർണ്ണമായ ധാരണ ലഭിക്കുന്നതിന്, ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പഠിക്കുന്നതും കൂടാതെ ഒരു പരോക്ഷമായി നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവും ഒരു സങ്കീർണ്ണ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവും കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നതും അഭികാമ്യമാണ്.
രണ്ട് കേസുകൾ പരിഗണിക്കുക: എപ്പോൾ xപോസിറ്റീവ്, എപ്പോൾ xനെഗറ്റീവ് ആകുന്നു.
അതിനാൽ x > 0. തുടർന്ന്: x p > 0 . ഞങ്ങൾ y \u003d x p എന്ന സമത്വത്തിന്റെ ലോഗരിതം അടിസ്ഥാന e ലേക്ക് എടുത്ത് ലോഗരിതത്തിന്റെ പ്രോപ്പർട്ടി പ്രയോഗിക്കുന്നു:
y = x p ln y = ln x p ln y = p ln x
ഈ ഘട്ടത്തിൽ, പരോക്ഷമായി നിർവചിക്കപ്പെട്ട ഒരു പ്രവർത്തനം ലഭിച്ചു. നമുക്ക് അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് നിർവചിക്കാം:
(ln y) " = (p ln x) 1 y y " = p 1 x ⇒ y " = p y x = p x p x = p x p - 1
ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ കേസ് എപ്പോൾ പരിഗണിക്കുന്നു x-ഒരു നെഗറ്റീവ് നമ്പർ.
സൂചകം എങ്കിൽ പിഒരു ഇരട്ട സംഖ്യയാണ്, അപ്പോൾ പവർ ഫംഗ്‌ഷനും x ന് നിർവ്വചിക്കപ്പെടുന്നു< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1
പിന്നെ xp< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.
എങ്കിൽ പിഒരു ഒറ്റ സംഖ്യയാണ്, അപ്പോൾ പവർ ഫംഗ്ഷൻ x-ന് നിർവ്വചിക്കുന്നു< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:
y "(x) \u003d (- (- x) p) " \u003d - ((- x) p) " \u003d - p (- x) p - 1 (- x) " = \u003d p (- x ) p - 1 = p x p - 1
അവസാന പരിവർത്തനം സാധ്യമാണ് കാരണം എങ്കിൽ പിഅപ്പോൾ ഒരു ഒറ്റ സംഖ്യയാണ് p - 1ഒന്നുകിൽ ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യ അല്ലെങ്കിൽ പൂജ്യം (p = 1 ന്), അതിനാൽ, നെഗറ്റീവ് xതുല്യത (- x) p - 1 = x p - 1 ശരിയാണ്.
അതിനാൽ, ഏതൊരു യഥാർത്ഥ p-യ്‌ക്കും ഒരു പവർ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള ഫോർമുല ഞങ്ങൾ തെളിയിച്ചു.
ഉദാഹരണം 2
നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങൾ:
f 1 (x) = 1 x 2 3, f 2 (x) = x 2 - 1 4, f 3 (x) = 1 x ലോഗ് 7 12
അവയുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ നിർണ്ണയിക്കുക.
പരിഹാരം
നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഒരു ഭാഗം ഞങ്ങൾ ഡിഗ്രിയുടെ ഗുണങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി y = x p എന്ന ടാബുലർ രൂപത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു, തുടർന്ന് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുക:
f 1 (x) \u003d 1 x 2 3 \u003d x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) \u003d - 2 3 x - 2 3 - 1 \u003d - 2 3 x - 5 3 f 2 "(x) \u003d x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x ലോഗ് 7 12 = x - ലോഗ് 7 12 ⇒ f 3 " (x) = - ലോഗ് 7 12 x - ലോഗ് 7 12 - 1 = - ലോഗ് 7 12 x - ലോഗ് 7 12 - ലോഗ് 7 7 = - ലോഗ് 7 12 x - ലോഗ് 7 84
എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
തെളിവ് 4നിർവചനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഞങ്ങൾ ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള ഫോർമുല ഉണ്ടാക്കുന്നു:
(a x) " = ലിം ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a 0
ഞങ്ങൾക്ക് അനിശ്ചിതത്വം ലഭിച്ചു. ഇത് വികസിപ്പിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ z = a ∆ x - 1 (z → 0 ആയി ∆ x → 0) എഴുതുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . അവസാന സംക്രമണത്തിനായി, ലോഗരിതം ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്കുള്ള പരിവർത്തനത്തിനുള്ള ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു.
യഥാർത്ഥ പരിധിയിൽ നമുക്ക് ഒരു പകരം വയ്ക്കൽ നടത്താം:
(a x) " = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x ln a lim ∆ x → 0 1 1 z ln (z + 1) = = a x ln a lim ∆ x → (0 + 1) 1 z = a x ln a 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z
രണ്ടാമത്തെ അത്ഭുതകരമായ പരിധി ഓർക്കുക, തുടർന്ന് എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള ഫോർമുല നമുക്ക് ലഭിക്കും:
(a x) " = a x ln a 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln e = a x ln a
ഉദാഹരണം 3
എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷനുകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു:
f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x
അവയുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.
പരിഹാരം
എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനും ലോഗരിതം ഗുണങ്ങൾക്കും ഞങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:
f 1 "(x) = 2 3 x" = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 "(x) = 5 3 x" = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x" = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x
ഒരു ലോഗരിതമിക് ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
തെളിവ് 5ഏതെങ്കിലും ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള ഫോർമുലയുടെ തെളിവ് ഞങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു xനിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിലും ലോഗരിതം അടിസ്ഥാന a യുടെ ഏതെങ്കിലും സാധുവായ മൂല്യങ്ങളിലും. ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ നിർവചനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
(ലോഗ് എ x) " = ലിം ∆ x → 0 ലോഗ് എ (x + ∆ x) - ലോഗ് എ x ∆ x = ലിം ∆ x → 0 ലോഗ് എ x + ∆ x x ∆ x = = ലിമ് ∆ x 1 → + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x x x = x x ∆ 0 x ∆ x = = 1 x ലോഗ് എ ലിം ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x ലോഗ് a e = 1 x ln e ln a = 1 x ln a
ലോഗരിതം പ്രോപ്പർട്ടിയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലാണ് പരിവർത്തനങ്ങൾ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നതെന്ന് നിർദ്ദിഷ്ട സമത്വ ശൃംഖലയിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയും. സമത്വ പരിധി ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e എന്നത് ശ്രദ്ധേയമായ രണ്ടാമത്തെ പരിധിക്ക് അനുസൃതമായി ശരിയാണ്.
ഉദാഹരണം 4
ലോഗരിതമിക് ഫംഗ്ഷനുകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു:
f 1 (x) = ലോഗ് ലോഗ് 3 x , f 2 (x) = ലോഗ് x
അവയുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണക്കാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.
പരിഹാരം
നമുക്ക് ഉരുത്തിരിഞ്ഞ ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കാം:
f 1 "(x) = (ലോഗ് ln 3 x)" = 1 x ln (ln 3) ; f 2 "(x) \u003d (ln x)" \u003d 1 x ln e \u003d 1 x
അതിനാൽ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഒന്നായി ഹരിക്കുന്നു x.
ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ
തെളിവ് 6ഞങ്ങൾ ചില ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഒരു ത്രികോണമിതി ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള സൂത്രവാക്യം ഉരുത്തിരിഞ്ഞ ആദ്യത്തെ അത്ഭുതകരമായ പരിധിയും ഉപയോഗിക്കുന്നു.
സൈൻ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
(sin x) " = ലിം ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x
സൈനുകളുടെ വ്യത്യാസത്തിനായുള്ള ഫോർമുല ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്താൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കും:
(sin x) " = ലിം ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x = 2 ∆ = ലിം ∆ x → 0 sin ∆ x 2 cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2
അവസാനമായി, ഞങ്ങൾ ആദ്യത്തെ അത്ഭുതകരമായ പരിധി ഉപയോഗിക്കുന്നു:
sin "x = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x
അതിനാൽ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പാപം xചെയ്യും cos x.
കോസൈൻ ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള ഫോർമുലയും ഞങ്ങൾ അതേ രീതിയിൽ തെളിയിക്കും:
cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 = ∆ x - ലിം ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x
ആ. cos x എന്ന ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ആയിരിക്കും – പാപം x.
വ്യത്യാസത്തിന്റെ നിയമങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഞങ്ങൾ ടാൻജെന്റ്, കോട്ടാൻജെന്റ് എന്നിവയുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾക്കായുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കുന്നു:
t g "x = sin x cos x" = sin "x cos x - sin x cos "x cos 2 x = = cos x cos x - sin x (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g "x = cos x sin x" = cos "x sin x - cos x sin "x sin 2 x = = - sin x sin x - cos x cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x
വിപരീത ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ
വിപരീത ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവിനെക്കുറിച്ചുള്ള വിഭാഗം ആർക്‌സൈൻ, ആർക്കോസൈൻ, ആർക്‌ടോൻജെന്റ്, ആർക്കോടാൻജെന്റ് എന്നിവയുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾക്കായുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ തെളിവിനെക്കുറിച്ചുള്ള സമഗ്രമായ വിവരങ്ങൾ നൽകുന്നു, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ ഇവിടെ മെറ്റീരിയൽ ഡ്യൂപ്ലിക്കേറ്റ് ചെയ്യില്ല.
ഹൈപ്പർബോളിക് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ
തെളിവ് 7ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ റൂളും എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള ഫോർമുലയും ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഹൈപ്പർബോളിക് സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെന്റ്, കോട്ടാൻജെന്റ് എന്നിവയുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുലകൾ ലഭിക്കും:
s h "x = e x - e - x 2" = 1 2 e x "- e - x" == 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h "x = e x + e - x 2" = 1 2 e x "+ e - x" == 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h "x = s h x c h x" = s h "x c h x - s h x c h "x c h 2 x - c 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h "x = c h x s h x" = c h "x s h x - c h x s h "x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x
വാചകത്തിൽ ഒരു തെറ്റ് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധയിൽപ്പെട്ടാൽ, അത് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്‌ത് Ctrl+Enter അമർത്തുക
പട്ടികയുടെ ആദ്യ സൂത്രവാക്യം കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, ഒരു പോയിന്റിലെ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ മുന്നോട്ട് പോകും. എവിടേക്ക് കൊണ്ടുപോകാം x- ഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ സംഖ്യ, അതായത്, x- ഫംഗ്ഷൻ ഡെഫനിഷൻ ഏരിയയിൽ നിന്നുള്ള ഏതെങ്കിലും നമ്പർ. ഫംഗ്ഷൻ ഇൻക്രിമെന്റിന്റെയും ആർഗ്യുമെന്റ് ഇൻക്രിമെന്റിന്റെയും അനുപാതത്തിന്റെ പരിധി നമുക്ക് ഇവിടെ എഴുതാം: 
പരിധിയുടെ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ, ഒരു പദപ്രയോഗം ലഭിക്കുന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്, ഇത് പൂജ്യത്തെ പൂജ്യത്താൽ ഹരിച്ചാൽ അനിശ്ചിതത്വമല്ല, കാരണം ന്യൂമറേറ്ററിൽ അനന്തമായ മൂല്യമല്ല, കൃത്യമായി പൂജ്യം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, സ്ഥിരമായ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ വർദ്ധനവ് എല്ലായ്പ്പോഴും പൂജ്യമാണ്.
അങ്ങനെ, സ്ഥിരമായ ഒരു പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്നിർവചനത്തിന്റെ മുഴുവൻ ഡൊമെയ്‌നിലും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.
ഒരു പവർ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്.
ഒരു പവർ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള ഫോർമുലയ്ക്ക് ഒരു രൂപമുണ്ട് 
, എവിടെ ഘാതം പിഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണ്.
നമുക്ക് ആദ്യം സ്വാഭാവിക ഘാതം, അതായത്, ഫോർമുല തെളിയിക്കാം p = 1, 2, 3, ...
ഒരു ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ നിർവചനം ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കും. പവർ ഫംഗ്ഷന്റെ ഇൻക്രിമെന്റിന്റെയും ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ വർദ്ധനവിന്റെയും അനുപാതത്തിന്റെ പരിധി നമുക്ക് എഴുതാം: 
ന്യൂമറേറ്ററിലെ പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ന്യൂട്ടന്റെ ബൈനോമിയൽ ഫോർമുലയിലേക്ക് തിരിയുന്നു: 
അതിനാൽ, 
ഒരു സ്വാഭാവിക ഘാതകത്തിനായുള്ള ഒരു പവർ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള സൂത്രവാക്യം ഇത് തെളിയിക്കുന്നു.
എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്.
നിർവചനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഞങ്ങൾ ഡെറിവേറ്റീവ് ഫോർമുല ഉണ്ടാക്കുന്നു:
അനിശ്ചിതത്വത്തിലായി. ഇത് വിപുലീകരിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു, കൂടാതെ . പിന്നെ . അവസാന സംക്രമണത്തിൽ, ലോഗരിതത്തിന്റെ ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്കുള്ള പരിവർത്തനത്തിനുള്ള ഫോർമുല ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചു.
യഥാർത്ഥ പരിധിയിൽ നമുക്ക് ഒരു പകരം വയ്ക്കൽ നടത്താം: 
രണ്ടാമത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധി ഞങ്ങൾ ഓർക്കുന്നുവെങ്കിൽ, എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള ഫോർമുലയിലേക്ക് ഞങ്ങൾ വരുന്നു: 
ഒരു ലോഗരിതമിക് ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്.
എല്ലാവർക്കും വേണ്ടിയുള്ള ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള ഫോർമുല നമുക്ക് തെളിയിക്കാം xപരിധിയിൽ നിന്നും എല്ലാ സാധുതയുള്ള അടിസ്ഥാന മൂല്യങ്ങളിൽ നിന്നും എലോഗരിതം. ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഞങ്ങൾക്ക് ഇവയുണ്ട്: 
നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിച്ചതുപോലെ, തെളിവിൽ, ലോഗരിതത്തിന്റെ സവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തിയത്. സമത്വം 
രണ്ടാമത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധി കാരണം സാധുതയുണ്ട്.
ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ.
ത്രികോണമിതി ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുലകൾ ലഭിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ചില ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങളും അതുപോലെ തന്നെ ആദ്യത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധിയും ഓർക്കേണ്ടതുണ്ട്.
സൈൻ ഫംഗ്‌ഷനുള്ള ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, നമുക്കുണ്ട് 
.
സൈനുകളുടെ വ്യത്യാസത്തിനായി ഞങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു: 
ആദ്യത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധിയിലേക്ക് തിരിയാൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു: 
അതിനാൽ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പാപം xഇതുണ്ട് cos x.
കോസൈൻ ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള ഫോർമുല കൃത്യമായി അതേ രീതിയിൽ തെളിയിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. 
അതിനാൽ, പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് cos xഇതുണ്ട് – പാപം x.
ടാൻജെന്റിനും കോട്ടാൻജെന്റിനുമുള്ള ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടികയ്ക്കുള്ള ഫോർമുലകളുടെ ഡെറിവേഷൻ ഡിഫറൻഷ്യേഷന്റെ തെളിയിക്കപ്പെട്ട നിയമങ്ങൾ (ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ്) ഉപയോഗിച്ച് നടപ്പിലാക്കും. 
ഹൈപ്പർബോളിക് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ.
ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടികയിൽ നിന്ന് എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ നിയമങ്ങളും ഫോർമുലയും ഹൈപ്പർബോളിക് സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെന്റ്, കോട്ടാൻജെന്റ് എന്നിവയുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾക്കായുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്താൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. 
വിപരീത പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്.
അവതരണത്തിൽ ആശയക്കുഴപ്പം ഉണ്ടാകാതിരിക്കാൻ, വ്യത്യസ്തത നടപ്പിലാക്കുന്ന ഫംഗ്ഷന്റെ വാദം, അതായത്, അത് ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്. f(x)എഴുതിയത് x.
ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തുന്നു വിപരീത പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള നിയമം.
പ്രവർത്തനങ്ങൾ അനുവദിക്കുക y = f(x)ഒപ്പം x = g(y)പരസ്പരം വിപരീതമായി, യഥാക്രമം ഇടവേളകളിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു. ഒരു ബിന്ദുവിൽ ഫംഗ്ഷന്റെ പൂജ്യമല്ലാത്ത ഒരു പരിമിതമായ ഡെറിവേറ്റീവ് നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ f(x), അപ്പോൾ പോയിന്റിൽ വിപരീത പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഒരു പരിമിതമായ ഡെറിവേറ്റീവ് നിലവിലുണ്ട് g(y), ഒപ്പം 
. മറ്റൊരു എൻട്രിയിൽ 
.
ഈ നിയമം ആർക്കും പരിഷ്കരിക്കാവുന്നതാണ് xഇടവേള മുതൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കും 
.
ഈ ഫോർമുലകളുടെ സാധുത പരിശോധിക്കാം.
സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിന്റെ വിപരീത പ്രവർത്തനം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം 
(ഇവിടെ വൈഒരു ഫംഗ്ഷൻ ആണ്, ഒപ്പം x- വാദം). ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു x, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു (ഇവിടെ xഒരു ഫംഗ്ഷൻ ആണ്, ഒപ്പം വൈഅവളുടെ വാദം). അതാണ്, 
പരസ്പരം വിപരീത പ്രവർത്തനങ്ങളും.
ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടികയിൽ നിന്ന്, നമുക്ക് അത് കാണാം 
ഒപ്പം 
.
വിപരീത ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ സമാന ഫലങ്ങളിലേക്ക് നമ്മെ നയിക്കുന്നുവെന്ന് ഉറപ്പാക്കാം: 
