Protok vektora elektrostatičke indukcije. Električni indukcijski vektorski tok. Derivacija Ostrogradskog–Gaussove teoreme

Razmotrite kako se mijenja vrijednost vektora E na granici između dva medija, na primjer, zraka (ε 1) i vode (ε = 81). Jačina polja u vodi se naglo smanjuje za faktor od 81. Ovo vektorsko ponašanje E stvara određene neugodnosti prilikom izračunavanja polja u različitim okruženjima. Kako bi se izbjegle ove neugodnosti, uvodi se novi vektor D je vektor indukcije ili električnog pomaka polja. Komunikacija vektora D I E ima oblik

D = ε ε 0 E.

Očigledno je da će za polje tačkastog naboja električni pomak biti jednak

Lako je vidjeti da se električni pomak mjeri u C/m 2 , da ne zavisi od svojstava i da je grafički predstavljen linijama sličnim linijama napetosti.

Smjer linija polja karakterizira smjer polja u prostoru (naravno, linije sile ne postoje, one su uvedene radi ilustracije) ili smjer vektora jačine polja. Uz pomoć linija napetosti moguće je okarakterizirati ne samo smjer, već i veličinu jačine polja. Da bismo to učinili, dogovorili smo se da ih izvedemo s određenom gustinom, tako da je broj linija napetosti koje prodiru kroz jediničnu površinu, okomito na linije napetosti, bio proporcionalan modulu vektora E(Sl. 78). Zatim broj linija koje prodiru u elementarnu oblast dS, normala na koju n formira ugao α sa vektorom E, je jednako E dScos α = E n dS,

gdje je E n - vektorska komponenta E u pravcu normale n. Vrijednost dF E = E n dS = E d S pozvao protok vektora napetosti kroz jastučić d S(d S= dS n).

Za proizvoljnu zatvorenu površinu S, tok vektora E kroz ovu površinu je

Sličan izraz ima tok vektora električnog pomaka F D

.

Ostrogradsky-Gaussova teorema

Ova teorema vam omogućava da odredite tok vektora E i D iz bilo kojeg broja naboja. Uzmite tačkasti naboj Q i definirajte tok vektora E kroz sfernu površinu poluprečnika r, u čijem se središtu nalazi.

Za sfernu površinu α = 0, cos α = 1, E n = E, S = 4 πr 2 i

F E = E · 4 πr 2 .

Zamjenom izraza za E dobijamo

Dakle, iz svake tačke naelektrisanja dolazi tok F E vektora E jednako Q/ ε 0 . Uopštavajući ovaj zaključak na opšti slučaj proizvoljnog broja tačkastih naboja, dajemo formulaciju teoreme: ukupni tok vektora E kroz zatvorenu površinu proizvoljnog oblika numerički je jednak algebarskom zbiru električnih naboja zatvorenih unutar ove površine, podijeljen sa ε 0 , tj.

Za vektorski tok električnog pomaka D možete dobiti sličnu formulu

protok indukcionog vektora kroz zatvorenu površinu jednak je algebarskom zbiru električnih naboja koje pokriva ova površina.

Ako uzmemo zatvorenu površinu koja ne obuhvata naboj, onda svaku liniju E I D preći će ovu površinu dva puta - na ulazu i izlazu, pa se ispostavi da je ukupni protok jednak nuli. Ovdje je potrebno uzeti u obzir algebarski zbir linija, dolaznih i odlaznih.

Primjena Ostrogradsky-Gauss teoreme za izračunavanje električnih polja koje stvaraju ravni, kugla i cilindar

Sferna površina polumjera R nosi naboj Q ravnomjerno raspoređen po površini s površinskom gustinom σ

Uzmimo tačku A izvan sfere na udaljenosti r od centra i mentalno nacrtamo sferu poluprečnika r simetričnu naelektrisanoj (Sl. 79). Njegova površina je S = 4 πr 2 . Protok vektora E će biti jednak

Prema Ostrogradsky-Gauss teoremi
, dakle,
uzimajući u obzir da je Q = σ 4 πr 2 , dobijamo

Za tačke koje se nalaze na površini kugle (R = r)

D Za tačke unutar šuplje sfere (unutar sfere nema naboja), E = 0.

2 . Šuplja cilindrična površina poluprečnika R i dužine l nabijen konstantnom površinskom gustinom naboja
(Sl. 80). Nacrtajmo koaksijalnu cilindričnu površinu poluprečnika r > R.

Vektorski tok E kroz ovu površinu

Prema Gaussovoj teoremi

Izjednačavajući prave dijelove datih jednakosti, dobijamo

.

Ako je data linearna gustina naboja cilindra (ili tanke niti).
To

3. Polje beskonačnih ravni sa površinskom gustinom naelektrisanja σ (Sl. 81).

Razmotrimo polje koje stvara beskonačna ravan. Iz razmatranja simetrije slijedi da intenzitet u bilo kojoj tački polja ima smjer okomit na ravan.

U simetričnim tačkama, E će biti iste veličine i suprotnog smjera.

Konstruirajmo mentalno površinu cilindra sa bazom ΔS. Tada će, kroz svaku od osnova cilindra, izaći mlaz

F E = E ∆S, a ukupni protok kroz cilindričnu površinu će biti jednak F E = 2E ∆S.

Unutar površine nalazi se naboj Q = σ · ΔS. Prema Gaussovoj teoremi,

gdje

Dobiveni rezultat ne ovisi o visini odabranog cilindra. Dakle, jačina polja E na bilo kojoj udaljenosti je ista po veličini.

Za dvije suprotno nabijene ravni s istom površinskom gustinom naboja σ, prema principu superpozicije, izvan prostora između ravnina, jačina polja je jednaka nuli E = 0, a u prostoru između ravnina
(Sl. 82a). Ako su ravni nabijene istim nabojima sa istom površinskom gustinom naelektrisanja, uočava se obrnuta slika (slika 82b). U prostoru između ravnina E=0, iu prostoru izvan ravnina
.

Glavni primijenjeni zadatak elektrostatike je proračun električnih polja stvorenih u različitim uređajima i uređajima. Generalno, ovaj problem se rješava korištenjem Coulombovog zakona i principa superpozicije. Međutim, ovaj problem postaje veoma komplikovan kada se uzme u obzir veliki broj tačkastih ili prostorno raspoređenih naelektrisanja. Još veće poteškoće nastaju u prisustvu dielektrika ili provodnika u prostoru, kada pod dejstvom spoljašnjeg polja E 0 dolazi do preraspodele mikroskopskih naboja koji stvaraju sopstveno dodatno polje E. Stoga, za praktično rešavanje ovih problema, pomoćna koriste se metode i tehnike koje koriste složeni matematički aparat. Razmotrit ćemo najjednostavniji metod zasnovan na primjeni Ostrogradsky-Gauss teoreme. Da bismo formulirali ovu teoremu, uvodimo nekoliko novih koncepata:

A) gustina naelektrisanja

Ako je nabijeno tijelo veliko, onda morate znati raspodjelu naboja unutar tijela.

Nasipna gustina punjenja- mjeri se punjenjem po jedinici zapremine:

Gustoća površinskog naboja- mjeri se nabojem jedinične površine tijela (kada je naboj raspoređen po površini):

Linearna gustina naelektrisanja(distribucija naelektrisanja duž provodnika):

b) vektor elektrostatičke indukcije

Vektorska elektrostatička indukcija (vektor električnog pomaka) je vektorska veličina koja karakterizira električno polje.

Vector jednak je proizvodu vektora o apsolutnoj permitivnosti medija u datoj tački:

Provjerimo dimenziju D u SI sistemu jedinica:

, jer
,

tada se dimenzije D i E ne poklapaju, a njihove numeričke vrijednosti su također različite.

Iz definicije slijedi da je za vektorsko polje važi isti princip superpozicije kao i za polje :

Polje je grafički predstavljen linijama indukcije, baš kao i polje . Indukcijske linije se povlače tako da se tangenta u svakoj tački poklapa sa smjerom , a broj linija je jednak brojčanoj vrijednosti D na datoj lokaciji.

Da bi se shvatilo značenje uvoda pogledajmo primjer.

V) vektorski tok elektrostatičke indukcije

Razmotrite površinu S u električnom polju i odaberite smjer normale

1. Ako je polje jednoliko, tada je broj linija sile kroz površinu S:

2. Ako je polje neujednačeno, tada se površina dijeli na beskonačno male elemente dS, koji se smatraju ravnim, a polje u njihovoj blizini je homogeno. Dakle, protok kroz element površine je: dN = D n dS,

dok je ukupni protok kroz bilo koju površinu:

(6)

Tok indukcije N je skalarna vrijednost; zavisno od  može biti > 0 ili< 0, или = 0.

Kada ima mnogo naboja, javljaju se neke poteškoće u izračunavanju polja.

Gaussova teorema pomaže da se oni prevaziđu. esencija Gaussove teoreme svodi na sljedeće: ako je proizvoljan broj naboja mentalno okružen zatvorenom površinom S, tada se tok jakosti električnog polja kroz elementarnu površinu dS može zapisati kao dF = Esosα۰dS gdje je α ugao između normale na ravan i vektor intenziteta . (sl.12.7)

Ukupan protok kroz cijelu površinu bit će jednak zbiru protoka svih naboja proizvoljno raspoređenih unutar nje i proporcionalan vrijednosti ovog naboja

(12.9)

Odredimo tok vektora napetosti kroz sfernu površinu poluprečnika r, u čijem središtu se nalazi tačkasti naboj +q (slika 12.8). Linije napetosti su okomite na površinu sfere, α = 0, dakle sosα = 1. Tada je

Ako je polje formirano sistemom naelektrisanja, onda

Gaussova teorema: protok vektora jačine elektrostatičkog polja u vakuumu kroz bilo koju zatvorenu površinu jednak je algebarskom zbiru naelektrisanja zatvorenih unutar ove površine, podijeljenom s električnom konstantom.

(12.10)

Ako unutar sfere nema naboja, tada je F = 0.

Gaussova teorema olakšava izračunavanje električnih polja za simetrično raspoređena naelektrisanja.

Hajde da uvedemo koncept gustine distribuiranih naelektrisanja.

Linearna gustina se označava kao τ i karakteriše naelektrisanje q po jedinici dužine ℓ. Općenito, može se izračunati po formuli

(12.11)

Uz ujednačenu distribuciju naelektrisanja, linearna gustina je jednaka

Površinska gustina se označava σ i karakteriše naboj q po jedinici površine S. Uopšteno govoreći, određuje se formulom

(12.12)

Uz jednoličnu distribuciju naelektrisanja po površini, površinska gustina je jednaka

Nasipna gustina, označena ρ, karakteriše naboj q po jedinici zapremine V. Uopšteno govoreći, određuje se formulom

(12.13)

Uz ujednačenu raspodjelu naboja, jednaka je
.

Pošto je naboj q ravnomjerno raspoređen na sferi, onda

σ = konst. Primijenimo Gaussovu teoremu. Nacrtajmo sferu poluprečnika kroz tačku A. Protok vektora intenziteta na slici 12.9 kroz sfernu površinu poluprečnika je cosα = 1, pošto je α = 0. Prema Gaussovom teoremu,
.

ili

(12.14)

Iz izraza (12.14) proizilazi da je jačina polja izvan naelektrisane sfere ista kao i jačina polja tačkastog naelektrisanja postavljenog u centar sfere. Na površini sfere, tj. r 1 \u003d r 0, napetost
.

Unutar sfere r 1< r 0 (рис.12.9) напряжённость Е = 0, так как сфера радиусом r 2 внутри никаких зарядов не содержит и, по теореме Гаусса, поток вектора сквозь такую сферу равен нулю.

Cilindar poluprečnika r 0 jednoliko je nabijen površinskom gustinom σ (slika 12.10). Odredimo jačinu polja u proizvoljno odabranoj tački A. Kroz tačku A nacrtajmo zamišljenu cilindričnu površinu poluprečnika R i dužine ℓ. Zbog simetrije strujanje će izlaziti samo kroz bočne površine cilindra, jer su naelektrisanja na cilindru poluprečnika r 0 jednoliko raspoređena po njegovoj površini, tj. linije napetosti će biti radijalne prave linije okomite na bočne površine oba cilindra. Kako je protok kroz bazu cilindara jednak nuli (cos α = 0), a bočna površina cilindra je okomita na linije sile (cos α = 1), tada je

ili

(12.15)

Vrijednost E izražavamo kroz σ - površinsku gustinu. A-priorat,

dakle,

Zamijenite vrijednost q u formulu (12.15)

(12.16)

Po definiciji gustine linija,
, gdje
; ovaj izraz zamjenjujemo u formulu (12.16):

(12.17)

one. jačina polja koju generiše beskonačno dugačak napunjen cilindar je proporcionalna linearnoj gustini naelektrisanja i obrnuto proporcionalna udaljenosti.

Intenzitet polja koje stvara beskonačna ravnomjerno nabijena ravan

Odredimo jačinu polja koje stvara beskonačna ravnomjerno nabijena ravan u tački A. Neka je površinska gustina naboja ravni σ. Kao zatvorenu površinu zgodno je izabrati cilindar čija je osa okomita na ravan, a desna baza sadrži tačku A. Ravan dijeli cilindar na pola. Očigledno je da su linije sila okomite na ravan i paralelne sa bočnom površinom cilindra, tako da sav tok prolazi samo kroz osnove cilindra. Na obje osnove, jačina polja je ista, jer. tačke A i B su simetrične u odnosu na ravan. Tada je protok kroz osnove cilindra

Prema Gaussovoj teoremi,

Jer
, To
, gdje

(12.18)

Dakle, jačina polja beskonačno nabijene ravni proporcionalna je površinskoj gustoći naboja i ne zavisi od udaljenosti do ravni. Prema tome, polje ravni je homogeno.

Intenzitet polja koje stvaraju dvije suprotno ravnomjerno nabijene paralelne ravni

Rezultirajuće polje koje stvaraju dvije ravni određeno je principom superpozicije polja:
(sl.12.12). Polje koje stvara svaka ravnina je homogeno, jačine ovih polja su jednake u apsolutnoj vrijednosti, ali suprotnog smjera:
. Prema principu superpozicije, jačina ukupnog polja izvan ravni je nula:

Između ravnina, jačine polja imaju isti smjer, pa je rezultirajuća jačina jednaka

Dakle, polje između dvije suprotno ravnomjerno nabijene ravni je homogeno i njegov intenzitet je dvostruko veći od jačine polja koju stvara jedna ravnina. Lijevo i desno od aviona nema polja. Polje konačnih ravni ima isti oblik, distorzija se pojavljuje samo blizu njihovih granica. Koristeći dobivenu formulu, možete izračunati polje između ploča ravnog kondenzatora.

Gaussova teorema za električnu indukciju (električni pomak)[

Za polje u dielektričnom mediju, Gaussova elektrostatička teorema se može napisati na drugi način (alternativno) - kroz protok vektora električnog pomaka (električna indukcija). U ovom slučaju, formulacija teoreme je sljedeća: tok vektora električnog pomaka kroz zatvorenu površinu proporcionalan je slobodnom električnom naboju unutar ove površine:

U diferencijalnom obliku:

Gaussova teorema za magnetnu indukciju

Tok vektora magnetske indukcije kroz bilo koju zatvorenu površinu je nula:

ili u diferencijalnom obliku

To je ekvivalentno činjenici da u prirodi ne postoje "magnetni naboji" (monopoli) koji bi stvorili magnetsko polje, kao što električni naboji stvaraju električno polje. Drugim riječima, Gaussova teorema za magnetnu indukciju pokazuje da je magnetsko polje (potpuno) eddy.

Gaussova teorema za Njutnovu gravitaciju

Za jačinu polja Njutnove gravitacije (ubrzanje slobodnog pada), Gaussova teorema se praktički poklapa sa onom u elektrostatici, osim za konstante (međutim, one i dalje zavise od proizvoljnog izbora sistema jedinica) i, što je najvažnije, predznaka :

Gdje g- intenzitet gravitacionog polja, M- gravitacijski naboj (tj. masa) unutar površine S, ρ - gustina mase, G je Njutnova konstanta.

provodnici u električnom polju. Polje unutar provodnika i na njegovoj površini.

Provodnici su tijela kroz koja električni naboji mogu prelaziti sa nabijenog tijela u nenabijeno. Sposobnost vodiča da prolaze električne naboje kroz njih objašnjava se prisustvom slobodnih nosilaca naboja u njima. Provodnici - metalna tijela u čvrstom i tekućem stanju, tečni rastvori elektrolita. Slobodni naboji provodnika uvedeni u električno polje počinju se kretati pod njegovim djelovanjem. Preraspodjela naelektrisanja uzrokuje promjenu električnog polja. Kada jačina električnog polja u vodiču postane nula, elektroni prestaju da se kreću. Fenomen razdvajanja suprotnih naelektrisanja u vodiču koji se nalazi u električnom polju naziva se elektrostatička indukcija. Unutar provodnika nema električnog polja. Koristi se za elektrostatičku zaštitu - zaštitu metalnim provodnicima od električnog polja. Površina provodnog tijela bilo kojeg oblika u električnom polju je ekvipotencijalna površina.

Kondenzatori

Da bi dobili uređaje koji bi, pri malom potencijalu u odnosu na medij, akumulirali na sebi (kondenzirali) naboje primjetne veličine, oni koriste činjenicu da se električni kapacitet provodnika povećava kada mu se druga tijela približavaju. Zaista, pod dejstvom polja koje stvaraju naelektrisani provodnici, indukovana (na provodniku) ili vezana (na dielektriku) naelektrisanja nastaju na telu dovedenom do njega (slika 15.5). Naelektrisanja koja su po znaku suprotna naelektrisanju provodnika q nalaze se bliže provodniku od onih istog imena sa q, pa stoga imaju veliki uticaj na njegov potencijal.

Stoga, kada se tijelo dovede do nabijenog vodiča, jačina polja se smanjuje, a samim tim i potencijal provodnika. Prema jednadžbi, to znači povećanje kapacitivnosti provodnika.

Kondenzator se sastoji od dva provodnika (ploče) (slika 15.6), odvojenih dielektričnim slojem. Kada se na provodnik primeni određena razlika potencijala, njegove ploče se naelektrišu jednakim naelektrisanjem suprotnog predznaka. Električni kapacitet kondenzatora podrazumijeva se kao fizička veličina proporcionalna naboju q i obrnuto proporcionalna razlici potencijala između ploča

Odredimo kapacitivnost ravnog kondenzatora.

Ako je površina ploče S, a naboj na njoj je q, tada je jačina polja između ploča

S druge strane dolazi do razlike potencijala između ploča

Energija sistema tačkastih naelektrisanja, naelektrisanog provodnika i kondenzatora.

Svaki sistem naelektrisanja ima neku potencijalnu energiju interakcije, koja je jednaka radu utrošenom na stvaranje ovog sistema. Energija sistema tačkastih naelektrisanja q 1 , q 2 , q 3 ,… q N definira se kako slijedi:

Gdje φ 1 - potencijal električnog polja stvorenog od svih naelektrisanja osim q 1 na mjestu gdje je punjenje q 1 itd. Ako se konfiguracija sistema naelektrisanja promeni, menja se i energija sistema. Da biste promijenili konfiguraciju sistema, mora se obaviti posao.

Potencijalna energija sistema tačkastih naelektrisanja može se izračunati i na drugi način. Potencijalna energija dva tačkastog naboja q 1 , q 2 na udaljenosti jedan od drugog je jednak. Ako postoji više naelektrisanja, onda se potencijalna energija ovog sistema naelektrisanja može definisati kao zbir potencijalnih energija svih parova naelektrisanja koji se mogu sastaviti za ovaj sistem. Dakle, za sistem od tri pozitivna naelektrisanja, energija sistema je jednaka

Energija nabijenog usamljenog provodnika i kondenzatora

Ako usamljeni provodnik ima naelektrisanje q, onda oko njega postoji električno polje čiji je potencijal na površini provodnika , a kapacitivnost C. Povećajmo naelektrisanje za dq. Prilikom prijenosa naboja dq iz beskonačnosti, rad jednak . Ali potencijal elektrostatičkog polja datog vodiča u beskonačnosti jednak je nuli. Onda

Kada se naboj dq prenese iz provodnika u beskonačnost, isti rad obavljaju sile elektrostatičkog polja. Posljedično, s povećanjem naboja provodnika za dq, potencijalna energija polja raste, tj.

Integrirajući ovaj izraz, nalazimo potencijalnu energiju elektrostatičkog polja nabijenog vodiča kako se njegov naboj povećava od nule do q:

Primjenom relacije mogu se dobiti sljedeći izrazi za potencijalnu energiju W:

Za nabijeni kondenzator, razlika potencijala (napon) je stoga jednaka omjeru ukupne energije njegovog elektrostatičkog polja u obliku

Hajde da uvedemo koncept toka vektora električne indukcije. Uzmite u obzir beskonačno malo područje. U većini slučajeva potrebno je znati ne samo veličinu mjesta, već i njegovu orijentaciju u prostoru. Hajde da uvedemo koncept vektorske oblasti. Dogovorimo se da vektor površine shvatimo kao vektor usmjeren okomito na površinu i numerički jednak veličini površine.

Slika 1 - Do definicije vektora - sajta

Nazovimo vektorski tok preko sajta
tačkasti proizvod vektora I
. dakle,

Vektorski tok kroz proizvoljnu površinu nalazi se integracijom svih elementarnih tokova

(4)

Ako je polje ujednačeno, a površina ravna lociran okomito na polje, tada:

. (5)

Gornji izraz određuje broj linija polja koje prodiru u područje po jedinici vremena.

Ostrogradsky-Gaussova teorema. Divergencija jačine električnog polja

Protok vektora električne indukcije kroz proizvoljnu zatvorenu površinu jednak je algebarskom zbiru slobodnih električnih naboja pokriven ovom površinom

(6)

Izraz (6) je O-G teorema u integralnom obliku. Teorema 0-G djeluje sa integralnim (ukupnim) efektom, tj. Ako
onda se ne zna da li to znači odsustvo naelektrisanja u svim tačkama proučavanog dela prostora, ili je zbir pozitivnih i negativnih naelektrisanja koji se nalaze u različitim tačkama ovog prostora jednak nuli.

Da bismo pronašli locirane naboje i njihovu veličinu u datom polju, potrebno je imati relaciju koja povezuje vektor električne indukcije u datoj tački sa naelektrisanjem u istoj tački.

Pretpostavimo da treba da odredimo prisustvo naelektrisanja u tački A(sl.2)

Slika 2 - Za proračun vektorske divergencije

Primjenjujemo O-G teoremu. Protok vektora električne indukcije kroz proizvoljnu površinu koja ograničava volumen u kojem se nalazi tačka A, je jednako

Algebarski zbir naelektrisanja u zapremini može se napisati kao integral zapremine

(7)

Gdje - naknada po jedinici zapremine ;

- element volumena.

Za postizanje veze između polja i naboja u jednoj tački A smanjit ćemo volumen sažimanjem površine na tačku A. U ovom slučaju, oba dijela naše jednakosti dijelimo vrijednošću . Prolazeći do granice, dobijamo:

.

Desna strana rezultirajućeg izraza je, po definiciji, volumetrijska gustina naboja u razmatranoj tački u prostoru. Lijeva strana predstavlja granicu omjera fluksa vektora električne indukcije kroz zatvorenu površinu prema volumenu ograničenom ovom površinom kada volumen teži nuli. Ova skalarna veličina je važna karakteristika električnog polja i naziva se vektorska divergencija .

ovako:

,

dakle

, (8)

Gdje je zapreminska gustina naboja.

Uz pomoć ove relacije jednostavno se rješava inverzni problem elektrostatike, tj. pronalaženje distribuiranih naboja u poznatom polju.

Ako je vektor je dat, pa su poznate njegove projekcije
,
,
na koordinatnim osovinama kao funkciji koordinata, a za izračunavanje distribuirane gustine naelektrisanja koje je stvorilo dato polje, pokazalo se da je dovoljno pronaći zbir tri parcijalne derivacije ovih projekcija u odnosu na odgovarajuće varijable. Na onim tačkama za koje
nema naplate. Na mestima gde
pozitivan, postoji pozitivan naboj sa zapreminskom gustinom jednakom
, a na onim mjestima gdje
će imati negativnu vrijednost, pronađen je negativan naboj, čija je gustoća također određena vrijednošću divergencije.

Izraz (8) predstavlja teoremu 0-G u diferencijalnom obliku. U ovom obliku, teorema pokazuje da su izvori električnog polja slobodni električni naboji; linije sile vektora električne indukcije počinju i završavaju na pozitivnim i negativnim nabojima.