Najteže je proučavanje električnih pojava u neujednačenom električnom okruženju. U takvom mediju, ε ima različite vrijednosti, koje se naglo mijenjaju na granici dielektrika. Pretpostavimo da određujemo jačinu polja na granici između dva medija: ε 1 =1 (vakuum ili vazduh) i ε 2 =3 (tečnost - ulje). Na granici, tokom prijelaza iz vakuuma u dielektrik, jačina polja se smanjuje tri puta, a fluks vektora jačine opada za istu količinu (slika 12.25, a). Nagla promjena vektora jakosti elektrostatičkog polja na granici između dva medija stvara određene poteškoće pri proračunu polja. Što se tiče Gaussove teoreme, ona pod ovim uslovima uglavnom gubi smisao.
Budući da su polarizabilnost i napon različitih dielektrika različiti, broj linija polja u svakom dielektriku također će biti različit. Ova poteškoća se može otkloniti uvođenjem nove fizičke karakteristike polja, električne indukcije D (ili vektora električni pomak ).
Prema formuli
ε 1 E 1 = ε 2 E 2 =E 0 =konst
Množenjem svih dijelova ovih jednakosti električnom konstantom ε 0 dobijamo
ε 0 ε 1 E 1 = ε 0 ε 2 E 2 =ε 0 E 0 =const
Uvedemo oznaku ε 0 εE=D tada će pretposljednja relacija poprimiti oblik
D 1 = D 2 = D 0 = konst
Vektor D, jednak proizvodu jakosti električnog polja u dielektriku i njegove apsolutne dielektrične konstante, naziva sevektor električnog pomaka
(12.45)
Električna jedinica pomaka – privjesak po kvadratnom metru(C/m2).
Električni pomak je vektorska veličina i može se izraziti i kao
D = εε 0 E =(1+χ)ε 0 E = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 E+P
(12.46)
Za razliku od napona E, električni pomak D je konstantan u svim dielektricima (slika 12.25, b). Stoga je prikladno okarakterizirati električno polje u nehomogenom dielektričnom mediju ne intenzitetom E, već vektorom pomaka D. Vektor D opisuje elektrostatičko polje koje stvaraju slobodni naboji (tj. u vakuumu), ali s njihovom distribucijom u prostoru kao u prisustvu dielektrika, budući da vezani naboji koji nastaju u dielektricima mogu uzrokovati preraspodjelu slobodnih naboja koji stvaraju polje.
Vektorsko polje 
je grafički predstavljen električnim linijama pomaka na isti način kao i polje 
prikazano linijama sile.
Linija električnog pomaka - to su linije čije se tangente u svakoj tački poklapaju u pravcu sa vektorom električnog pomaka.
Linije vektora E mogu početi i završavati na bilo kojem naboju - slobodnom i vezanom, dok linije vektoraD- samo uz besplatne naknade. Vektorske linijeDZa razliku od zateznih vodova, one su kontinuirane.
Budući da vektor električnog pomaka ne doživljava diskontinuitet na granici između dva medija, sve indukcijske linije koje proizlaze iz naboja okruženih nekom zatvorenom površinom će probiti kroz njega. Stoga, za vektor električnog pomaka, Gaussova teorema u potpunosti zadržava svoje značenje za nehomogenu dielektričnu sredinu.
Gaussov teorem za elektrostatičko polje u dielektriku : protok vektora električnog pomaka kroz proizvoljnu zatvorenu površinu jednak je algebarskom zbiru naelektrisanja sadržanih unutar ove površine.
(12.47)
Zakon interakcije električnih naboja - Coulombov zakon - može se formulisati drugačije, u obliku takozvane Gaussove teoreme. Gaussova teorema je dobivena kao posljedica Coulombovog zakona i principa superpozicije. Dokaz se temelji na obrnutoj proporcionalnosti sile interakcije između dva točkasta naboja i kvadrata udaljenosti između njih. Stoga je Gaussova teorema primjenjiva na svako fizičko polje gdje se zakon inverznog kvadrata i princip superpozicije primjenjuju, na primjer, na gravitacijsko polje.
Rice. 9. Linije jačine električnog polja tačkastog naboja koje seku zatvorenu površinu X
Da bismo formulisali Gaussov teorem, vratimo se na sliku linija električnog polja stacionarnog tačkastog naboja. Linije polja usamljenog tačkastog naboja su simetrično locirane radijalne prave linije (slika 7). Možete nacrtati bilo koji broj takvih linija. Označimo njihov ukupan broj sa Tada je gustina linija polja na udaljenosti od naboja, tj. broj linija koje prelaze jediničnu površinu sfere poluprečnika jednak gustini linija polja. tačkasto naelektrisanje (4), vidimo da je gustina linija proporcionalna jačini polja. Ove veličine možemo učiniti numerički jednakim pravilnim odabirom ukupnog broja linija polja N:
Dakle, površina sfere bilo kojeg polumjera koja obuhvata tačkasti naboj siječe isti broj linija sile. To znači da su linije sile neprekidne: u intervalu između bilo koje dvije koncentrične sfere različitih radijusa, nijedna linija nije prekinuta niti se dodaju nove. Pošto su linije polja neprekidne, isti broj linija polja siječe bilo koju zatvorenu površinu (slika 9) koja pokriva naboj
Linije sile imaju pravac. U slučaju pozitivnog naboja, oni izlaze iz zatvorene površine koja okružuje naboj, kao što je prikazano na sl. 9. U slučaju negativnog naboja, oni idu unutar površine. Ako se broj odlaznih linija smatra pozitivnim, a broj dolaznih linija negativnim, tada u formuli (8) možemo izostaviti predznak modula naboja i zapisati ga u obliku
Tok napetosti. Hajde da sada uvedemo koncept strujanja vektora jačine polja kroz površinu. Proizvoljno polje se može mentalno podijeliti na male oblasti u kojima se intenzitet mijenja u veličini i smjeru toliko malo da se unutar ovog područja polje može smatrati uniformnim. U svakoj takvoj oblasti, linije sile su paralelne prave i imaju konstantnu gustinu.
Rice. 10. Odrediti fluks vektora jačine polja kroz lokaciju
Razmotrimo koliko linija sile prodire kroz malo područje, pravac normale na koji formira ugao a sa smjerom linija napetosti (slika 10). Neka biti projekcija na ravan okomitu na linije sile. Pošto je broj linija koje se ukrštaju isti, a gustina linija, prema prihvaćenom uslovu, jednaka je modulu jačine polja E, onda je
Vrijednost a je projekcija vektora E na smjer normale na mjesto
Dakle, broj električnih vodova koji prelaze područje je jednak
Proizvod se naziva fluks jačine polja kroz površinu. Formula (10) pokazuje da je tok vektora E kroz površinu jednak broju linija polja koje prelaze ovu površinu. Imajte na umu da je vektorski tok intenziteta, kao i broj linija polja koje prolaze kroz površinu, skalar.
Rice. 11. Protok vektora napetosti E kroz mjesto
Ovisnost strujanja o orijentaciji mjesta u odnosu na linije sile ilustrovana je na Sl.
Tok jačine polja kroz proizvoljnu površinu je zbir tokova kroz elementarne površine na koje se ova površina može podijeliti. Na osnovu relacija (9) i (10), može se reći da je protok jačine polja tačkastog naelektrisanja kroz bilo koju zatvorenu površinu 2 koja obavija naelektrisanje (vidi sliku 9), kao broj linija polja koje izlaze iz ova površina je jednaka U ovom slučaju, vektor normale na elementarne površine zatvorene površine treba biti usmjeren prema van. Ako je naboj unutar površine negativan, tada linije polja ulaze unutar ove površine i fluks vektora jačine polja povezan s nabojem je također negativan.
Ako unutar zatvorene površine postoji više naboja, tada će se u skladu s principom superpozicije tokovi njihovih jačina polja zbrajati. Ukupni tok će biti jednak gdje pod treba shvatiti algebarski zbir svih naboja koji se nalaze unutar površine.
Ako unutar zatvorene površine nema električnih naboja ili je njihov algebarski zbir jednak nuli, tada je ukupni tok jačine polja kroz ovu površinu jednak nuli: koliko god linija sile uđe u zapreminu ograničenu površinom, isti broj izlazi van.
Sada konačno možemo formulirati Gaussov teorem: protok vektora jakosti električnog polja E u vakuumu kroz bilo koju zatvorenu površinu proporcionalan je ukupnom naboju koji se nalazi unutar ove površine. Matematički, Gaussova teorema je izražena istom formulom (9), pri čemu se pod pojmom podrazumijeva algebarski zbir naboja. U apsolutnoj elektrostatici
u SGSE sistemu jedinica, koeficijent i Gaussova teorema su zapisani u obliku
U SI i tok napetosti kroz zatvorenu površinu izražava se formulom
Gaussova teorema se široko koristi u elektrostatici. U nekim slučajevima, može se koristiti za jednostavno izračunavanje polja stvorenih simetrično lociranim nabojima.
Polja simetričnih izvora. Primijenimo Gaussovu teoremu da izračunamo intenzitet električnog polja jednoliko nabijenog na površini lopte polumjera . Radi određenosti, pretpostavićemo da je njegov naboj pozitivan. Raspodjela naelektrisanja koje stvara polje ima sfernu simetriju. Stoga i polje ima istu simetriju. Linije sile takvog polja su usmjerene duž poluprečnika, a modul intenziteta je isti u svim tačkama koje su jednako udaljene od centra lopte.
Da bismo pronašli jačinu polja na udaljenosti od centra lopte, nacrtajmo sfernu površinu poluprečnika koncentrično sa loptom, budući da je u svim tačkama ove sfere jačina polja usmerena okomito na njenu površinu i iznosi isti u apsolutnoj vrijednosti, intenzitet protoka je jednostavno jednak proizvodu jačine polja i površine sfere:
Ali ova količina se također može izraziti pomoću Gaussove teoreme. Ako nas zanima polje izvan lopte, tj. onda, na primjer, u SI i, u poređenju sa (13), nalazimo
U sistemu jedinica SGSE, očigledno,
Dakle, izvan lopte je jačina polja ista kao kod tačkastog naboja postavljenog u centar lopte. Ako nas zanima polje unutar lopte, odnosno, pošto se cijeli naboj raspoređen po površini lopte nalazi izvan sfere koju smo mentalno nacrtali. Dakle, unutar lopte nema polja:
Slično, koristeći Gaussov teorem, može se izračunati elektrostatičko polje stvoreno beskonačno nabijenim
ravan sa konstantnom gustinom u svim tačkama ravni. Iz razloga simetrije, možemo pretpostaviti da su linije sile okomite na ravan, usmjerene od nje u oba smjera i svuda imaju istu gustoću. Zaista, ako je gustoća linija polja u različitim tačkama različita, onda bi pomicanje nabijene ravnine duž sebe dovelo do promjene polja u tim tačkama, što je u suprotnosti sa simetrijom sistema - takav pomak ne bi trebao promijeniti polje. Drugim riječima, polje beskonačne ravnomjerno nabijene ravni je uniformno.
Kao zatvorenu površinu za primjenu Gaussove teoreme biramo površinu cilindra konstruiranu na sljedeći način: generatriksa cilindra je paralelna sa linijama sile, a baze imaju površine paralelne s nabijenom ravninom i leže na suprotnim stranama od nje. (Sl. 12). Tok jačine polja kroz bočnu površinu je nula, tako da je ukupni tok kroz zatvorenu površinu jednak zbiru tokova kroz osnove cilindra:
Rice. 12. Ka proračunu jačine polja jednoliko nabijene ravni
Prema Gaussovoj teoremi, isti fluks je određen nabojem onog dijela ravni koji leži unutar cilindra, a u SI je jednak Upoređujući ove izraze za fluks, nalazimo
U SGSE sistemu, jačina polja jednolično naelektrisane beskonačne ravni je data formulom
Za ravnomjerno nabijenu ploču konačnih dimenzija, dobijeni izrazi vrijede približno u području koje se nalazi dovoljno daleko od rubova ploče i ne predaleko od njene površine. U blizini ivica ploče, polje više neće biti jednolično i njegove linije polja će biti savijene. Na veoma velikim udaljenostima u poređenju sa veličinom ploče, polje opada sa rastojanjem na isti način kao i polje tačkastog naboja.
Drugi primjeri polja koje stvaraju simetrično raspoređeni izvori uključuju polje jednoliko nabijenog duž dužine beskonačne pravolinijske niti, polje jednoliko nabijenog beskonačnog kružnog cilindra, polje lopte,
ravnomerno naelektrisan po celoj zapremini, itd. Gaussova teorema omogućava lako izračunavanje jačine polja u svim ovim slučajevima.
Gaussova teorema daje odnos između polja i njegovih izvora, u nekom smislu suprotan onome koji je dat Coulombovim zakonom, koji omogućava da se odredi električno polje iz datih naboja. Koristeći Gaussov teorem, možete odrediti ukupni naboj u bilo kojoj regiji prostora u kojoj je poznata raspodjela električnog polja.
Koja je razlika između koncepta djelovanja dugog i kratkog dometa kada se opisuje interakcija električnih naboja? U kojoj se mjeri ovi koncepti mogu primijeniti na gravitacijske interakcije?
Šta je jačina električnog polja? Šta znače kada se to naziva sila karakteristična za električno polje?
Kako se može suditi o smjeru i veličini jačine polja u određenoj tački na osnovu obrasca linija polja?
Mogu li se linije električnog polja ukrštati? Navedite razloge za svoj odgovor.
Nacrtajte kvalitativnu sliku linija elektrostatičkog polja dva naelektrisanja tako da .
Protok jakosti električnog polja kroz zatvorenu površinu izražava se različitim formulama (11) i (12) u GSE i SI jedinicama. Kako se to može pomiriti s geometrijskim značenjem strujanja, koje je određeno brojem linija sile koje prelaze površinu?
Kako koristiti Gaussov teorem za pronalaženje jačine električnog polja kada su naboji koji ga stvaraju simetrično raspoređeni?
Kako primijeniti formule (14) i (15) za izračunavanje jačine polja lopte s negativnim nabojem?
Gaussova teorema i geometrija fizičkog prostora. Pogledajmo dokaz Gaussove teoreme sa malo drugačije tačke gledišta. Vratimo se na formulu (7), iz koje je zaključeno da isti broj linija sile prolazi kroz bilo koju sfernu površinu koja okružuje naboj. Ovaj zaključak proizlazi iz činjenice da dolazi do smanjenja nazivnika obje strane jednakosti.
Na desnoj strani nastao je zbog činjenice da je sila interakcije između naboja, opisana Coulombovim zakonom, obrnuto proporcionalna kvadratu udaljenosti između naboja. Na lijevoj strani izgled je povezan s geometrijom: površina sfere je proporcionalna kvadratu njenog polumjera.
Proporcionalnost površine kvadrata linearnih dimenzija je obeležje euklidske geometrije u trodimenzionalnom prostoru. Zaista, proporcionalnost površina upravo kvadratima linearnih dimenzija, a ne bilo kojem drugom cjelobrojnom stepenu, karakteristična je za prostor
tri dimenzije. Činjenica da je ovaj eksponent tačno jednak dva, a da se ne razlikuje od dva, čak ni za zanemarljivo malu količinu, ukazuje da ovaj trodimenzionalni prostor nije zakrivljen, odnosno da je njegova geometrija upravo euklidska.
Dakle, Gaussova teorema je manifestacija svojstava fizičkog prostora u osnovnom zakonu interakcije električnih naboja.
Ideju o bliskoj vezi između osnovnih zakona fizike i svojstava prostora izrazili su mnogi izvanredni umovi mnogo prije nego što su sami ovi zakoni uspostavljeni. Tako je I. Kant, tri decenije prije otkrića Coulombovog zakona, pisao o svojstvima prostora: „Trodimenzionalnost nastaje, očigledno, zato što tvari u postojećem svijetu djeluju jedna na drugu na način da je sila djelovanja obrnuto proporcionalno kvadratu udaljenosti.”
Coulombov zakon i Gaussova teorema zapravo predstavljaju isti zakon prirode izražen u različitim oblicima. Coulombov zakon odražava koncept djelovanja dugog dometa, dok Gaussov teorem proizlazi iz ideje polja sile koje ispunjava prostor, odnosno iz koncepta djelovanja kratkog dometa. U elektrostatici, izvor polja sila je naelektrisanje, a karakteristika polja povezanog sa izvorom - tok intenziteta - ne može se promeniti u praznom prostoru gde nema drugih naelektrisanja. Kako se tok vizualno može zamisliti kao skup linija polja, nepromjenjivost toka se manifestuje u kontinuitetu ovih linija.
Gaussova teorema, zasnovana na inverznoj proporcionalnosti interakcije s kvadratom udaljenosti i na principu superpozicije (aditivnosti interakcije), primjenjiva je na svako fizičko polje u kojem djeluje zakon inverznog kvadrata. Konkretno, to važi i za gravitaciono polje. Jasno je da ovo nije samo slučajnost, već odraz činjenice da se i električne i gravitacijske interakcije odvijaju u trodimenzionalnom euklidskom fizičkom prostoru.
Na kojoj se osobini zakona interakcije električnih naboja zasniva Gaussova teorema?
Dokažite, na osnovu Gaussove teoreme, da je jačina električnog polja tačkastog naboja obrnuto proporcionalna kvadratu udaljenosti. Koja svojstva prostorne simetrije se koriste u ovom dokazu?
Kako se geometrija fizičkog prostora odražava u Coulombovom zakonu i Gaussovoj teoremi? Koja karakteristika ovih zakona ukazuje na euklidsku prirodu geometrije i trodimenzionalnost fizičkog prostora?
Vektorski fluks jakosti električnog polja. Neka mala platforma DS(Sl. 1.2) sijeku linije električnog polja čiji je smjer sa normalom n
ugao na ovu lokaciju a. Pod pretpostavkom da je vektor napetosti E
se ne mijenja unutar stranice DS, hajde da definišemo tok vektora napetosti kroz platformu DS Kako
DFE =E DS cos a.(1.3)
Budući da je gustina dalekovoda jednaka brojčanoj vrijednosti napetosti E, zatim broj dalekovoda koji prelaze područjeDS, bit će numerički jednak vrijednosti protokaDFEkroz površinuDS. Predstavimo desnu stranu izraza (1.3) kao skalarni proizvod vektora E IDS= nDS, Gdje n– jedinični vektor normalan na površinuDS. Za osnovno područje d S izraz (1.3) poprima oblik
dFE = E d S
Preko cijele stranice S fluks vektora napetosti se računa kao integral po površini
Protok vektora električne indukcije. Tok vektora električne indukcije određuje se slično kao i tok vektora jakosti električnog polja
dFD = D d S
Postoji određena nejasnoća u definicijama tokova zbog činjenice da za svaku površinu dva normale u suprotnom smjeru. Za zatvorenu površinu, vanjska normala se smatra pozitivnom.
Gaussova teorema. Hajde da razmotrimo tačka pozitivna električni naboj q, koji se nalazi unutar proizvoljno zatvorene površine S(Sl. 1.3). Tok vektora indukcije kroz element površine d S jednaki 
(1.4)
Komponenta d S D = d S cos apovršinski element d S u pravcu vektora indukcijeDsmatra se elementom sferne površine poluprečnika r, u čijem se središtu nalazi nabojq.
|
|
S obzirom da d S D/ r 2 je jednako elementarno tjelesno kut dw, ispod koje od tačke na kojoj se nalazi nabojqvidljiv element površine d S, transformišemo izraz (1.4) u oblik d FD = q d w / 4 str, odakle, nakon integracije po čitavom prostoru koji okružuje naboj, tj. unutar solidnog ugla od 0 do 4str, dobijamo
FD = q.
Protok vektora električne indukcije kroz zatvorenu površinu proizvoljnog oblika jednak je naboju koji se nalazi unutar ove površine.
|
|
Ako je proizvoljna zatvorena površina S ne pokriva bodovnu naknadu q(Sl. 1.4), zatim, nakon što smo konstruisali konusnu površinu sa vrhom u tački gde se nalazi naboj, podelimo površinu S na dva dela: S 1 i S 2. Vektor protoka D kroz površinu S nalazimo kao algebarski zbir tokova kroz površine S 1 i S 2:
.
Obje površine od tačke na kojoj se nalazi naboj q vidljivo iz jednog čvrstog ugla w. Stoga su tokovi jednaki
Budući da pri proračunu protoka kroz zatvorenu površinu koristimo spoljašnja normalna na površinu, lako je vidjeti da je protok F 1D < 0, тогда как поток Ф2D> 0. Ukupan protok F D= 0. To znači da protok vektora električne indukcije kroz zatvorenu površinu proizvoljnog oblika ne zavisi od naboja koji se nalaze izvan ove površine.
Ako je električno polje stvoreno sistemom tačkastih naelektrisanja q 1 , q 2 ,¼ , qn, koji je prekriven zatvorenom površinom S, tada se, u skladu sa principom superpozicije, fluks vektora indukcije kroz ovu površinu određuje kao zbir fluksa koje stvara svako od naelektrisanja. Protok vektora električne indukcije kroz zatvorenu površinu proizvoljnog oblika jednak je algebarskom zbiru naboja koje pokriva ova površina:
Treba napomenuti da su optužbe qi ne moraju biti točkasti, neophodan uslov je da nabijena površina mora biti potpuno prekrivena površinom. Ako je u prostoru omeđenom zatvorenom površinom S, električni naboj se distribuira kontinuirano, onda treba pretpostaviti da je svaki elementarni volumen d V ima naplatu. U ovom slučaju, na desnoj strani izraza (1.5), algebarsko zbrajanje naboja je zamijenjeno integracijom po zapremini zatvorenoj unutar zatvorene površine S:
(1.6)
Izraz (1.6) je najopštija formulacija Gaussova teorema: protok vektora električne indukcije kroz zatvorenu površinu proizvoljnog oblika jednak je ukupnom naboju u zapremini koju pokriva ova površina i ne zavisi od naelektrisanja koje se nalazi izvan površine koja se razmatra. Gaussova teorema se također može napisati za tok vektora jakosti električnog polja:
.
Važna osobina električnog polja proizlazi iz Gaussove teoreme: linije sile počinju ili završavaju samo na električnim nabojima ili idu u beskonačnost. Naglasimo još jednom da, uprkos činjenici da je jakost električnog polja E i električna indukcija D zavise od položaja u prostoru svih naelektrisanja, tokovi ovih vektora kroz proizvoljnu zatvorenu površinu S samo su određene ona naelektrisanja koja se nalaze unutar površine S.
Diferencijalni oblik Gaussove teoreme. Zapiši to integralni oblik Gaussova teorema karakterizira odnos između izvora električnog polja (naboja) i karakteristika električnog polja (napetost ili indukcija) u zapremini V proizvoljna, ali dovoljna za formiranje integralnih odnosa, veličina. Podjelom zapremine V za male količine V i, dobijamo izraz
važi i u celini i za svaki termin. Transformirajmo rezultirajući izraz na sljedeći način:
(1.7)
i razmotrite granicu do koje izraz na desnoj strani jednakosti, zatvoren u vitičaste zagrade, teži neograničenoj podjeli volumena V. U matematici se ova granica naziva divergenciju vektor (u ovom slučaju vektor električne indukcije D):
Vektorska divergencija D u kartezijanskim koordinatama:
Dakle, izraz (1.7) se transformiše u oblik:
.
Uzimajući u obzir da neograničenim deljenjem zbir sa leve strane poslednjeg izraza prelazi u integral zapremine, dobijamo
Rezultirajući odnos mora biti zadovoljen za bilo koji proizvoljno odabrani volumen V. To je moguće samo ako su vrijednosti integrala u svakoj tački u prostoru iste. Dakle, divergencija vektora D je povezan sa gustinom naelektrisanja u istoj tački jednakošću
ili za vektor jačine elektrostatičkog polja
Ove jednakosti izražavaju Gaussovu teoremu u diferencijalni oblik.
Imajte na umu da se u procesu prelaska na diferencijalni oblik Gaussove teoreme dobija relacija koja ima opšti karakter:
.
Izraz se zove Gauss-Ostrogradsky formula i povezuje volumenski integral divergencije vektora sa protokom ovog vektora kroz zatvorenu površinu koja ograničava volumen.
Pitanja
1) Koje je fizičko značenje Gaussove teoreme za elektrostatičko polje u vakuumu
2) U centru kocke postoji tačkasto punjenjeq. Koliki je fluks vektora? E:
a) kroz punu površinu kocke; b) kroz jednu od strana kocke.
Hoće li se odgovori promijeniti ako:
a) naboj nije u centru kocke, već unutar nje ; b) naelektrisanje je izvan kocke.
3) Šta su linearne, površinske, zapreminske gustine naelektrisanja.
4) Navedite odnos između volumena i površinske gustoće naboja.
5) Može li polje izvan suprotno i jednolično nabijenih paralelnih beskonačnih ravni biti različito od nule?
6) Električni dipol je postavljen unutar zatvorene površine. Koliki je protok kroz ovu površinu
Razmotrimo kako se mijenja vrijednost vektora E na granici između dva medija, na primjer, zraka (ε 1) i vode (ε = 81). Jačina polja u vodi se naglo smanjuje za faktor od 81. Ovo vektorsko ponašanje E stvara određene neugodnosti prilikom izračunavanja polja u različitim okruženjima. Da bi se izbjegla ova neugodnost, uvodi se novi vektor D– vektor indukcije ili električnog pomaka polja. Vektorska veza D I E izgleda kao
D = ε ε 0 E.
Očigledno, za polje tačkastog naboja električni pomak će biti jednak
Lako je vidjeti da se električni pomak mjeri u C/m2, ne ovisi o svojstvima i grafički je predstavljen linijama sličnim zateznim linijama.
Smjer linija polja karakterizira smjer polja u prostoru (linije polja, naravno, ne postoje, one su uvedene radi ilustracije) ili smjer vektora jačine polja. Koristeći linije intenziteta, možete okarakterizirati ne samo smjer, već i veličinu jačine polja. Da bi se to postiglo, dogovoreno je da se izvedu s određenom gustinom, tako da je broj zateznih linija koje probijaju jediničnu površinu okomito na zatezne linije proporcionalan vektorskom modulu E(Sl. 78). Zatim broj linija koje prodiru u elementarnu oblast dS, normala na koju n formira ugao α sa vektorom E, jednako je E dScos α = E n dS,
gdje je E n vektorska komponenta E u pravcu normale n. Vrijednost dF E = E n dS = E d S pozvao protok vektora napetosti kroz lokaciju d S(d S= dS n).
Za proizvoljnu zatvorenu površinu S vektorski tok E kroz ovu površinu jednaka
Sličan izraz ima tok vektora električnog pomaka F D
.
Ostrogradsky-Gaussova teorema
Ova teorema nam omogućava da odredimo tok vektora E i D iz bilo kojeg broja naboja. Uzmimo tačkasti naboj Q i definirajmo tok vektora E kroz sfernu površinu poluprečnika r, u čijem se središtu nalazi.
Za sfernu površinu α = 0, cos α = 1, E n = E, S = 4 πr 2 i
F E = E · 4 πr 2 .
Zamjenom izraza za E dobijamo
Dakle, iz svakog tačkastog naelektrisanja izlazi tok F E vektora E jednako Q/ ε 0 . Uopštavajući ovaj zaključak na opšti slučaj proizvoljnog broja tačkastih naboja, dajemo formulaciju teoreme: ukupni tok vektora E kroz zatvorenu površinu proizvoljnog oblika numerički je jednak algebarskom zbiru električnih naboja sadržanih unutar ove površine, podijeljen sa ε 0, tj.
Za vektorski tok električnog pomaka D možete dobiti sličnu formulu
fluks vektora indukcije kroz zatvorenu površinu jednak je algebarskom zbiru električnih naboja koje pokriva ova površina.
Ako uzmemo zatvorenu površinu koja ne obuhvata naboj, onda svaku liniju E I Dće preći ovu površinu dva puta - na ulazu i izlazu, tako da je ukupni tok nula. Ovdje je potrebno uzeti u obzir algebarski zbir linija koje ulaze i izlaze.
Primjena Ostrogradsky-Gauss teoreme za izračunavanje električnih polja stvorenih ravninama, sferama i cilindrima
Sferna površina poluprečnika R nosi naelektrisanje Q, jednoliko raspoređeno po površini sa površinskom gustinom σ
Uzmimo tačku A izvan sfere na udaljenosti r od centra i mentalno nacrtamo sferu poluprečnika r simetrično nabijenu (Sl. 79). Njegova površina je S = 4 πr 2. Tok vektora E će biti jednak
Prema Ostrogradsky-Gauss teoremi 
, dakle, 
uzimajući u obzir da je Q = σ 4 πr 2 , dobijamo 
Za tačke koje se nalaze na površini kugle (R = r)
D 
Za tačke koje se nalaze unutar šuplje sfere (unutar sfere nema naboja), E = 0.
2
. Šuplja cilindrična površina poluprečnika R i dužine l nabijen konstantnom površinskom gustinom naboja 
(Sl. 80). Nacrtajmo koaksijalnu cilindričnu površinu poluprečnika r > R.
Vektor protoka E kroz ovu površinu
Po Gaussovoj teoremi
Izjednačavajući desne strane gornjih jednakosti, dobijamo
.
Ako je data linearna gustina naboja cilindra (ili tanke niti). 
To
3. Polje beskonačnih ravni sa površinskom gustinom naelektrisanja σ (Sl. 81).
Razmotrimo polje koje stvara beskonačna ravan. Iz razmatranja simetrije slijedi da intenzitet u bilo kojoj tački polja ima smjer okomit na ravan.
U simetričnim tačkama E će biti iste veličine i suprotnog smjera.
Konstruirajmo mentalno površinu cilindra sa bazom ΔS. Tada će protok izaći kroz svaku od osnova cilindra
F E = E ΔS, a ukupni protok kroz cilindričnu površinu biće jednak F E = 2E ΔS.
Unutar površine nalazi se naboj Q = σ · ΔS. Prema Gaussovoj teoremi, to mora biti tačno
gdje 
Dobiveni rezultat ne ovisi o visini odabranog cilindra. Dakle, jačina polja E na bilo kojoj udaljenosti je ista po veličini.
Za dvije različito nabijene ravni sa istom površinskom gustinom naboja σ, prema principu superpozicije, izvan prostora između ravnina jačina polja je nula E = 0, a u prostoru između ravnina 
(Sl. 82a). Ako su ravni naelektrisane istim naelektrisanjem sa istom površinskom gustinom naelektrisanja, uočava se suprotna slika (slika 82b). U prostoru između ravni E = 0, iu prostoru izvan ravnina 
.
Opća formulacija: Protok vektora jakosti električnog polja kroz bilo koju proizvoljno odabranu zatvorenu površinu proporcionalan je električnom naboju koji se nalazi unutar ove površine.
U sistemu SGSE:
U SI sistemu:
je tok vektora jakosti električnog polja kroz zatvorenu površinu.
- ukupni naboj sadržan u zapremini koja ograničava površinu.
- električna konstanta.
Ovaj izraz predstavlja Gaussovu teoremu u integralnom obliku.
U diferencijalnom obliku, Gaussova teorema odgovara jednoj od Maxwellovih jednadžbi i izražava se na sljedeći način
u SI sistemu:
,
u SGSE sistemu:
Ovdje je volumetrijska gustina naelektrisanja (u slučaju prisustva medija, ukupna gustina slobodnih i vezanih naelektrisanja), i nabla operator.
Za Gaussov teorem važi princip superpozicije, odnosno protok vektora intenziteta kroz površinu ne zavisi od raspodele naelektrisanja unutar površine.
Fizička osnova Gaussove teoreme je Coulombov zakon ili, drugim riječima, Gaussova teorema je integralna formulacija Coulombovog zakona.
Gaussova teorema za električnu indukciju (električni pomak).
Za polje u materiji, Gaussova elektrostatička teorema se može napisati drugačije - kroz tok vektora električnog pomaka (električna indukcija). U ovom slučaju, formulacija teoreme je sljedeća: tok vektora električnog pomaka kroz zatvorenu površinu proporcionalan je slobodnom električnom naboju koji se nalazi unutar ove površine:
Ako uzmemo u obzir teoremu za jačinu polja u tvari, tada je kao naboj Q potrebno uzeti zbir slobodnog naboja koji se nalazi unutar površine i polarizacijskog (induciranog, vezanog) naboja dielektrika:
,
Gdje 
,
je vektor polarizacije dielektrika.
Gaussova teorema za magnetnu indukciju
Tok vektora magnetske indukcije kroz bilo koju zatvorenu površinu je nula:
.
To je ekvivalentno činjenici da u prirodi ne postoje „magnetni naboji“ (monopol) koji bi stvorili magnetsko polje, kao što električni naboji stvaraju električno polje. Drugim riječima, Gaussova teorema za magnetnu indukciju pokazuje da je magnetsko polje vrtložno.
Primjena Gaussove teoreme
Za izračunavanje elektromagnetnih polja koriste se sljedeće veličine:
Volumetrijska gustina naboja (vidi gore).
Gustoća površinskog naboja
gdje je dS beskonačno mala površina.
Linearna gustina naelektrisanja
gdje je dl dužina infinitezimalnog segmenta.
Razmotrimo polje koje stvara beskonačna uniformna nabijena ravan. Neka je površinska gustina naboja ravni ista i jednaka σ. Zamislimo cilindar sa generatrićima okomitim na ravan i bazom ΔS koja se nalazi simetrično u odnosu na ravan. Zbog simetrije. Tok vektora napetosti je jednak . Primjenom Gaussove teoreme dobijamo:
,
iz koje
u sistemu SSSE
Važno je napomenuti da uprkos svojoj univerzalnosti i opštosti, Gaussova teorema u integralnom obliku ima relativno ograničenu primenu zbog nezgodnosti izračunavanja integrala. Međutim, u slučaju simetričnog problema, njegovo rješenje postaje mnogo jednostavnije nego korištenje principa superpozicije.
