3.2. Puls
3.2.2. Promjena zamaha tijela
Da biste primijenili zakone promjene i održanja impulsa, morate biti u stanju izračunati promjenu impulsa.
Promjena momentaΔ P → tijelo je određeno formulom
Δ P → = P → 2 − P → 1 ,
gdje je P → 1 = m v → 1 - početni impuls tijela; P → 2 = m v → 2 - njegov konačni impuls; m - tjelesna težina; v → 1 - početna brzina tijela; v → 2 je njegova konačna brzina.
Za izračunavanje promjene impulsa tijela preporučljivo je koristiti sljedeći algoritam:
1) odabrati koordinatni sistem i pronaći projekcije početnog P → 1 i konačnog P → 2 tjelesnih impulsa na koordinatne ose:
P 1 x , P 2 x ;
P 1 y , P 2 y ;
∆P x = P 2 x − P 1 x ;
∆P y = P 2 y − P 1 y ;
3) izračunati veličinu vektora promjene momenta Δ P → as
Δ P = Δ P x 2 + Δ P y 2 .
Primjer 4. Tijelo pada pod uglom od 30° u odnosu na vertikalu na horizontalnu ravan. Odrediti modul promjene količine gibanja tijela pri udaru, ako je u trenutku dodira s ravninom modul impulsa tijela 15 kg m/s. Udar tijela o ravninu smatra se apsolutno elastičnim.
Rješenje. Tijelo koje pada na horizontalnu površinu pod određenim uglom α u odnosu na vertikalu i sudari se s tom površinom je apsolutno elastično,
- prvo, zadržava modul svoje brzine nepromijenjenim, a samim tim i veličinu impulsa:
P 1 = P 2 = P ;
- drugo, odbija se od površine pod istim uglom pod kojim pada na nju:
α 1 = α 2 = α,
gdje je P 1 = mv 1 - modul impulsa tijela prije udara; P 2 = mv 2 - modul impulsa tijela nakon udara; m - tjelesna težina; v 1 - vrijednost brzine tijela prije udara; v 2 - veličina brzine tijela nakon udara; α 1 - upadni ugao; α 2 - ugao refleksije.
Navedeni impulsi tijela, uglovi i koordinatni sistemi prikazani su na slici.
Za izračunavanje modula promjene impulsa tijela koristimo algoritam:
1) zapisujemo projekcije impulsa prije i nakon što tijelo udari u površinu na koordinatnoj osi:
P 1 x = mv sin α, P 2 x = mv sin α;
P 1 y = −mv cos α, P 2 y = mv cos α;
2) pronađite projekcije promjene impulsa na koordinatne ose koristeći formule
Δ P x = P 2 x − P 1 x = m v sin α − m v sin α = 0 ;
Δ P y = P 2 y − P 1 y = m v cos α − (− m v cos α) = 2 m v cos α ;
Δ P = (Δ P x) 2 + (Δ P y) 2 = (Δ P y) 2 = | Δ P y | = 2 m v cos α .
Vrijednost P = mv je navedena u iskazu problema; Stoga ćemo izračunati modul promjene momenta pomoću formule
Δ P = 2 P cos 30 ° = 2 ⋅ 15 ⋅ 0,5 3 ≈ 26 kg ⋅ m/s.
Primjer 5. Kamen mase 50 g bačen je pod uglom od 45° u odnosu na horizontalu brzinom od 20 m/s. Pronađite modul promjene momenta gibanja kamena tokom leta. Zanemarite otpor vazduha.
Rješenje. Ako nema otpora zraka, tada se tijelo kreće duž simetrične parabole; pri čemu
- prvo, vektor brzine u tački udara tijela čini ugao β sa horizontom jednak kutu α (α je ugao između vektora brzine tijela u tački bacanja i horizonta):
- drugo, moduli brzine u tački bacanja v 0 i u tački udara tijela v su također isti:
v 0 = v ,
gdje je v 0 brzina tijela u tački bacanja; v je brzina tijela u tački udara; α je ugao koji vektor brzine pravi sa horizontom u tački bacanja tijela; β je ugao koji vektor brzine pravi sa horizontom u tački udara tijela.
Vektori tjelesne brzine (vektori momenta) i uglovi prikazani su na slici.
Za izračunavanje modula promjene impulsa tijela tokom leta koristimo se algoritamom:
1) zapisujemo projekcije impulsa za tačku bacanja i za tačku udara na koordinatne osi:
P 1 x = mv 0 cos α, P 2 x = mv 0 cos α;
P 1 y = mv 0 sin α, P 2 y = −mv 0 sin α;
2) pronađite projekcije promjene impulsa na koordinatne ose koristeći formule
Δ P x = P 2 x − P 1 x = m v 0 cos α − m v 0 cos α = 0 ;
Δ P y = P 2 y − P 1 y = − m v 0 sin α − m v 0 sin α = − 2 m v 0 sin α ;
3) izračunati modul promjene momenta kao
Δ P = (Δ P x) 2 + (Δ P y) 2 = (Δ P y) 2 = | Δ P y | = 2 m v 0 sin α ,
gdje je m tjelesna težina; v 0 - modul početne brzine tijela.
Stoga ćemo izračunati modul promjene momenta pomoću formule
Δ P = 2 m v 0 sin 45 ° = 2 ⋅ 50 ⋅ 10 − 3 ⋅ 20 ⋅ 0,5 2 ≈ 1,4 kg ⋅ m/s.
Zamah u fizici
U prijevodu s latinskog, “impuls” znači “gurati”. Ova fizička veličina se još naziva i "kvantiteta kretanja". U nauku je uveden otprilike u isto vreme kada su otkriveni Njutnovi zakoni (krajem 17. veka).
Grana fizike koja proučava kretanje i interakciju materijalnih tijela je mehanika. Moment u mehanici je vektorska veličina jednaka proizvodu mase tijela i njegove brzine: p=mv. Smjerovi vektora momenta i brzine uvijek se poklapaju.
U SI sistemu jedinica impulsa je impuls tijela mase 1 kg koje se kreće brzinom od 1 m/s. Dakle, SI jedinica impulsa je 1 kg∙m/s.
U proračunskim problemima razmatraju se projekcije vektora brzine i momenta na bilo koju osu i koriste se jednadžbe za ove projekcije: na primjer, ako je odabrana os x, onda se razmatraju projekcije v(x) i p(x). Po definiciji impulsa, ove veličine su povezane relacijom: p(x)=mv(x).
Ovisno o tome koja je os odabrana i gdje je usmjerena, projekcija vektora momenta na nju može biti pozitivna ili negativna.
Zakon održanja impulsa
Impulsi materijalnih tijela tokom njihove fizičke interakcije mogu se promijeniti. Na primjer, kada se dvije lopte obješene na nitima sudaraju, njihovi impulsi se međusobno mijenjaju: jedna lopta može krenuti iz stacionarnog stanja ili povećati svoju brzinu, a druga, naprotiv, smanjiti brzinu ili zaustaviti. Međutim, u zatvorenom sistemu, tj. kada tijela komuniciraju samo jedno s drugim i nisu izložena vanjskim silama, vektorski zbir impulsa ovih tijela ostaje konstantan za vrijeme bilo koje njihove interakcije i kretanja. Ovo je zakon održanja impulsa. Matematički se može izvesti iz Newtonovih zakona.
Zakon održanja količine gibanja primjenjiv je i na sisteme u kojima na tijela djeluju neke vanjske sile, ali je njihov vektorski zbir jednak nuli (na primjer, sila gravitacije je uravnotežena elastičnom silom površine). Konvencionalno, takav sistem se takođe može smatrati zatvorenim.
U matematičkom obliku, zakon održanja impulsa je napisan na sljedeći način: p1+p2+…+p(n)=p1’+p2’+…+p(n)’ (pulsi p su vektori). Za sistem sa dva tijela, ova jednačina izgleda kao p1+p2=p1’+p2’, ili m1v1+m2v2=m1v1’+m2v2’. Na primjer, u razmatranom slučaju s kuglicama, ukupan impuls obje lopte prije interakcije bit će jednak ukupnom impulsu nakon interakcije.
Problemi s pokretnim tijelima u fizici, kada je brzina mnogo manja od svjetlosti, rješavaju se pomoću zakona Newtonove ili klasične mehanike. Jedan od važnih koncepata u njemu je impuls. U ovom članku su date osnovne iz fizike.
Impuls ili zamah?
Prije nego što damo formule za impuls tijela u fizici, hajde da se upoznamo s ovim konceptom. Po prvi put, veličinu nazvanu impeto (impuls) je u opisu svojih djela Galileo upotrijebio početkom 17. stoljeća. Nakon toga, Isaac Newton je upotrijebio drugo ime za to - motus (pokret). Pošto je lik Njutna imao veći uticaj na razvoj klasične fizike od Galilejevog lika, u početku je bilo uobičajeno da se ne govori o impulsu tela, već o količini kretanja.
Pod količinom kretanja se podrazumijeva proizvod brzine kretanja tijela po inercijskom koeficijentu, odnosno po masi. Odgovarajuća formula je:
Ovdje je p¯ vektor čiji se smjer poklapa sa v¯, ali je modul m puta veći od modula v¯.
Promjena vrijednosti p¯
Koncept impulsa se trenutno koristi rjeđe od impulsa. A ta je činjenica direktno povezana sa zakonima Njutnove mehanike. Zapišimo to u obliku koji je dat u školskim udžbenicima fizike:
Zamenimo ubrzanje a¯ odgovarajućim izrazom za derivaciju brzine i dobićemo:
Prenoseći dt sa nazivnika desne strane jednakosti na brojnik lijeve strane, dobijamo:
Dobili smo zanimljiv rezultat: pored činjenice da sila djelovanja F¯ dovodi do ubrzanja tijela (vidi prvu formulu ovog paragrafa), ona također mijenja količinu njegovog kretanja. Proizvod sile i vremena, koji se nalazi na lijevoj strani, naziva se impuls sile. Ispada da je jednak promjeni p¯. Stoga se posljednji izraz u fizici naziva i formula momenta.
Imajte na umu da je i dp¯, ali, za razliku od p¯, nije usmjereno kao brzina v¯, već kao sila F¯.
Upečatljiv primjer promjene vektora momenta (impulsa) je situacija kada fudbaler udari loptu. Prije udarca, lopta se kretala prema igraču, nakon udarca - dalje od njega.
Zakon održanja impulsa
Formule u fizici koje opisuju očuvanje vrijednosti p¯ mogu se dati u nekoliko verzija. Prije nego što ih zapišemo, odgovorimo na pitanje kada se zadržava impuls.
Vratimo se na izraz iz prethodnog pasusa:
Kaže da ako je zbir vanjskih sila koje djeluju na sistem nula (zatvoreni sistem, F¯= 0), onda je dp¯= 0, odnosno neće doći do promjene momenta:
Ovaj izraz je zajednički za impuls tijela i zakon održanja impulsa u fizici. Napominjemo dvije važne stvari o kojima biste trebali znati kako biste uspješno primijenili ovaj izraz u praksi:
- Zamah se održava duž svake koordinate, odnosno ako je prije nekog događaja vrijednost p x sistema bila 2 kg*m/s, onda će i nakon ovog događaja biti ista.
- Impuls se održava bez obzira na prirodu sudara čvrstih tijela u sistemu. Postoje dva idealna slučaja takvih sudara: apsolutno elastični i apsolutno plastični udari. U prvom slučaju se održava i kinetička energija, u drugom se dio troši na plastičnu deformaciju tijela, ali se i dalje zadržava impuls.
Elastična i neelastična interakcija dvaju tijela
Poseban slučaj upotrebe formule količine kretanja u fizici i njenog očuvanja je kretanje dvaju tijela koja se sudaraju. Hajde da razmotrimo dva suštinski različita slučaja, koja su pomenuta u gornjem pasusu.
Ako je udar apsolutno elastičan, to jest, prijenos zamaha s jednog tijela na drugo se vrši elastičnom deformacijom, tada će se formula očuvanja p napisati na sljedeći način:
m 1 *v 1 + m 2 *v 2 = m 1 *u 1 + m 2 *u 2
Ovdje je važno zapamtiti da se predznak brzine mora zamijeniti uzimajući u obzir njegov smjer duž osi koja se razmatra (suprotne brzine imaju različite predznake). Ova formula pokazuje da, s obzirom na poznato početno stanje sistema (vrijednosti m 1, v 1, m 2, v 2), u konačnom stanju (nakon sudara) postoje dvije nepoznate (u 1, u 2) . Možete ih pronaći ako koristite odgovarajući zakon održanja kinetičke energije:
m 1 *v 1 2 + m 2 *v 2 2 = m 1 *u 1 2 + m 2 *u 2 2
Ako je udar apsolutno neelastičan ili plastičan, tada se nakon sudara dva tijela počinju kretati kao jedna cjelina. U ovom slučaju dolazi do izraza:
m 1 *v 1 + m 2 *v 2 = (m 1 + m 2)*u
Kao što vidite, riječ je samo o jednoj nepoznatoj (u), pa je ova jedna jednakost dovoljna da je odredi.
Moment kretanja tijela pri kretanju u krug
Sve što je gore rečeno o impulsu odnosi se na linearna kretanja tijela. Šta učiniti ako se objekti rotiraju oko ose? U tu svrhu u fiziku je uveden još jedan koncept koji je sličan linearnom momentu. Zove se ugaoni moment. Formula u fizici za to ima sljedeći oblik:
Ovdje je r¯ vektor jednak udaljenosti od ose rotacije do čestice sa impulsom p¯, koja vrši kružno kretanje oko ove ose. Količina L¯ je također vektor, ali ju je nešto teže izračunati od p¯, budući da je riječ o vektorskom proizvodu.
Zakon održanja L¯
Formula za L¯, koja je data gore, je definicija ove veličine. U praksi, oni radije koriste malo drugačiji izraz. Nećemo ulaziti u detalje kako ga nabaviti (nije teško i svako može sam), ali dajmo ga odmah:
Ovdje je I moment inercije (za materijalnu tačku jednak je m*r 2), koji opisuje inercijalna svojstva rotirajućeg objekta, ω¯ je ugaona brzina. Kao što možete vidjeti, ova jednačina je po obliku slična onoj za linearni impuls p¯.
Ako na rotirajući sistem ne djeluju vanjske sile (u stvari, obrtni moment), onda će proizvod I sa ω¯ biti sačuvan bez obzira na procese koji se odvijaju unutar sistema. To jest, zakon održanja za L¯ ima oblik:
Primjer njegove manifestacije je nastup sportaša u umjetničkom klizanju kada izvode okrete na ledu.
Proučavajući Newtonove zakone, vidimo da je uz njihovu pomoć moguće riješiti osnovne probleme mehanike ako znamo sve sile koje djeluju na tijelo. Postoje situacije u kojima je teško ili čak nemoguće odrediti ove vrijednosti. Razmotrimo nekoliko takvih situacija.Kada se sudare dvije bilijarske kugle ili automobila, možemo tvrditi o silama koje djeluju da je to njihova priroda elastičnih sila. Međutim, nećemo moći precizno odrediti ni njihove module ni smjerove, pogotovo što ove snage imaju izuzetno kratko trajanje djelovanja.Kada se rakete i mlazni avioni kreću, takođe možemo malo reći o silama koje pokreću ova tela.U takvim slučajevima koriste se metode koje omogućavaju da se izbjegne rješavanje jednačina kretanja i odmah koriste posljedice tih jednačina. U ovom slučaju se uvode nove fizičke veličine. Razmotrimo jednu od ovih veličina, koja se zove impuls tijela
Strela ispaljena iz luka. Što duže traje kontakt strune sa strelicom (∆t), to je veća promena momenta strele (∆), a samim tim i veća njena konačna brzina.
Dvije lopte koje se sudaraju. Dok su kuglice u kontaktu, one djeluju jedna na drugu silama jednakim po veličini, kako nas uči Njutnov treći zakon. To znači da promjene njihovih impulsa također moraju biti jednake po veličini, čak i ako mase kuglica nisu jednake.
Nakon analize formula, mogu se izvući dva važna zaključka:
1. Identične sile koje djeluju u istom vremenskom periodu uzrokuju iste promjene impulsa u različitim tijelima, bez obzira na masu potonjeg.
2. Ista promjena količine gibanja tijela može se postići bilo djelovanjem malom silom tokom dužeg vremenskog perioda, ili kratkim djelovanjem velikom silom na isto tijelo.
Prema drugom Newtonovom zakonu možemo napisati:
∆t = ∆ = ∆ / ∆t
Omjer promjene količine gibanja tijela i vremenskog perioda tokom kojeg je došlo do ove promjene jednak je zbiru sila koje djeluju na tijelo.
Analizirajući ovu jednačinu, vidimo da nam drugi Newtonov zakon omogućava da proširimo klasu problema koje treba riješiti i uključiti probleme u kojima se masa tijela mijenja tokom vremena.
Ako pokušamo riješiti probleme s promjenjivom masom tijela koristeći uobičajenu formulaciju drugog Newtonovog zakona:
onda bi pokušaj takvog rješenja doveo do greške.
Primjer za to je već spomenuti mlazni avion ili svemirska raketa, koji u kretanju sagorevaju gorivo, a produkti tog sagorijevanja ispuštaju se u okolni prostor. Naravno, masa aviona ili rakete se smanjuje kako se gorivo troši.
Unatoč činjenici da nam drugi Newtonov zakon u obliku "rezultantna sila jednaka proizvodu mase tijela i njegovog ubrzanja" omogućava rješavanje prilično široke klase problema, postoje slučajevi kretanja tijela koji se ne mogu riješiti. u potpunosti opisan ovom jednačinom. U takvim slučajevima potrebno je primijeniti još jednu formulaciju drugog zakona, povezujući promjenu količine kretanja tijela sa impulsom rezultantne sile. Osim toga, postoji niz problema u kojima je rješavanje jednačina kretanja matematički izuzetno teško ili čak nemoguće. U takvim slučajevima, korisno je koristiti koncept momenta.
Koristeći zakon održanja količine gibanja i odnos između količine gibanja sile i količine gibanja tijela, možemo izvesti drugi i treći Newtonov zakon.
Drugi Newtonov zakon izveden je iz odnosa između impulsa sile i impulsa tijela.
Impuls sile jednak je promjeni impulsa tijela:
Izvršenim odgovarajućim prijenosima dobijamo ovisnost sile o ubrzanju, jer se ubrzanje definira kao omjer promjene brzine i vremena za koje se ta promjena dogodila:
Zamjenom vrijednosti u našu formulu, dobijamo formulu za drugi Newtonov zakon:
Da bismo izveli treći Newtonov zakon, potreban nam je zakon održanja impulsa.
Vektori naglašavaju vektorsku prirodu brzine, odnosno činjenicu da se brzina može mijenjati u smjeru. Nakon transformacije dobijamo:
Pošto je vremenski period u zatvorenom sistemu bio konstantna vrijednost za oba tijela, možemo napisati:
Dobili smo treći Newtonov zakon: dva tijela međusobno djeluju silama jednakim po veličini i suprotnim po smjeru. Vektori ovih sila su usmjereni jedan prema drugom, odnosno moduli ovih sila su jednaki po vrijednosti.
Bibliografija
- Tikhomirova S.A., Yavorsky B.M. Fizika (osnovni nivo) - M.: Mnemosyne, 2012.
- Gendenshtein L.E., Dick Yu.I. Fizika 10. razred. - M.: Mnemosyne, 2014.
- Kikoin I.K., Kikoin A.K. Fizika - 9, Moskva, Obrazovanje, 1990.
Zadaća
- Definirajte impuls tijela, impuls sile.
- Kako su impulsi tijela povezani sa impulsom sile?
- Koji se zaključci mogu izvući iz formula za tjelesni impuls i impuls sile?
- Internet portal Questions-physics.ru ().
- Internet portal Frutmrut.ru ().
- Internet portal Fizmat.by ().
Metak 22 kalibra ima masu od samo 2 g. Ako nekome bacite takav metak, on ga lako može uhvatiti i bez rukavica. Ako pokušate uhvatiti takav metak koji leti iz njuške brzinom od 300 m/s, onda čak ni rukavice neće pomoći.
Ako se kolica za igračke kotrljaju prema vama, možete ih zaustaviti nožnim prstom. Ako se kamion kotrlja prema vama, trebalo bi da sklonite noge sa njegove putanje.
Razmotrimo problem koji pokazuje vezu između impulsa sile i promjene impulsa tijela.
Primjer. Masa lopte je 400 g, brzina koju je lopta postigla nakon udara je 30 m/s. Sila kojom je stopalo djelovalo na loptu iznosila je 1500 N, a vrijeme udara 8 ms. Naći impuls sile i promjenu količine gibanja tijela za loptu.
Promjena zamaha tijela
Primjer. Procijenite prosječnu silu s poda koja djeluje na loptu za vrijeme udara.
1) Prilikom udarca na loptu djeluju dvije sile: sila reakcije tla, gravitacija.
Sila reakcije se mijenja tokom vremena udara, tako da je moguće pronaći prosječnu silu reakcije poda.
2) Promjena momenta 
telo prikazano na slici
3) Iz drugog Newtonovog zakona
Glavna stvar koju treba zapamtiti
1) Formule za tjelesni impuls, impuls sile;
2) Pravac vektora impulsa;
3) Pronađite promjenu količine gibanja tijela
Izvođenje drugog Newtonovog zakona u opštem obliku
Grafikon F(t). Varijabilna sila
Impuls sile je numerički jednak površini figure ispod grafika F(t).
Ako sila nije konstantna tokom vremena, na primjer raste linearno F=kt, tada je impuls ove sile jednak površini trokuta. Ovu silu možete zamijeniti konstantnom silom koja će promijeniti zamah tijela za isti iznos u istom vremenskom periodu
Prosječna rezultujuća sila
ZAKON ODRŽAVANJA MOMENTUMA
Testiranje online
Zatvoreni sistem tijela
Ovo je sistem tijela koja međusobno djeluju samo jedno na drugo. Ne postoje vanjske sile interakcije.
U stvarnom svijetu, takav sistem ne može postojati; Zatvoreni sistem tijela je fizički model, kao što je materijalna tačka model. Ovo je model sistema tijela koja navodno djeluju samo jedno na drugo, vanjske sile se ne uzimaju u obzir, one se zanemaruju.
Zakon održanja impulsa
U zatvorenom sistemu tela vektor zbir impulsa tijela se ne mijenja kada tijela međusobno djeluju. Ako se impuls jednog tijela povećao, to znači da se u tom trenutku količina gibanja nekog drugog tijela (ili više tijela) smanjila za potpuno isti iznos.
Razmotrimo ovaj primjer. Djevojčica i dječak kližu. Zatvoren sistem tijela - djevojčica i dječak (zanemarujemo trenje i druge vanjske sile). Djevojčica stoji mirno, njen impuls je nula, pošto je brzina nula (vidi formulu za impuls tijela). Nakon što se dječak koji se kreće određenom brzinom sudari sa djevojčicom, i ona će početi da se kreće. Sada njeno tijelo ima zamah. Brojčana vrijednost zamaha djevojčice je potpuno ista kao što je smanjen zamah dječaka nakon sudara.
Jedno tijelo mase 20 kg kreće se brzinom, drugo tijelo mase 4 kg kreće se u istom smjeru brzinom od . Koji su impulsi svakog tijela? Koliki je impuls sistema?
Impuls sistema tijela je vektorski zbir impulsa svih tijela uključenih u sistem. U našem primjeru, ovo je zbir dva vektora (pošto se razmatraju dva tijela) koji su usmjereni u istom smjeru, dakle
Sada izračunajmo impuls sistema tijela iz prethodnog primjera ako se drugo tijelo kreće u suprotnom smjeru.
Kako se tijela kreću u suprotnim smjerovima, dobijamo vektorski zbir višesmjernih impulsa. Pročitajte više o vektorskom zbroju.
Glavna stvar koju treba zapamtiti
1) Šta je zatvoreni sistem tela;
2) Zakon održanja impulsa i njegova primjena
