Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

хорошую работу на сайт">

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Во всем мире сейчас существует огромное множество различных предприятий, которые используют для производства продукции машинное оборудование. Поэтому при его внедрении необходимо составить оптимальный план замены и использования оборудования. Задача эта рассматривается как многоэтапный процесс, который характерен для динамического программирования.

В условиях рыночной экономики выбор стратегии замены оборудования или обеспечения его работоспособности для промышленного предприятия обычно довольно сложен, и для получения приемлемых результатов иногда может оказаться недостаточно только солидного опыта и, так как часто интуиция приводит к ошибочным заключениям. Математическое же рассмотрение позволяет получить правильные и легко вычислимые оценки.

В экономической теории наработан широкий перечень моделей замены оборудования, которые позволяют оценивать целесообразность и условия замены более полно и адекватно. Эти модели построены как зарубежными специалистами, так и учеными СССР и РФ. В настоящее время представляется весьма актуальной систематизация этих моделей и определение областей их эффективного применения.

Целью данной курсовой работы является определение оптимальных сроков замены старого оборудования.

Задачи этой работы состоят:

В нахождении условного оптимального решения задачи;

В составлении оптимального плана замены оборудования.

Старение оборудования включает его физический и моральный износ. В результате чего увеличиваются производственные затраты, растут затраты на обслуживание и ремонт оборудования, снижается производительность труда и ликвидная стоимость. Критерием оптимальности является либо прибыль от эксплуатации оборудования, либо суммарные затраты на эксплуатацию в течение планируемого периода.

1. Теоретическое описание модели замены оборудования

1.1 Характеристика модели замены оборудования

Важной экономической проблемой является своевременная замена оборудования: автомобилей, станков, электроники и т.п. старение оборудования включает физический и моральный износ, а вследствие этого повышаются затраты на обслуживание и ремонт оборудования, снижается производительность труда, да и работать на старом оборудовании не так приятно, как на новом. Соответственно необходимо знать, когда и как надо заменять оборудование.

Задача о замене оборудования заключается в определении оптимальных сроков замены старого оборудования. Экономические и математические задачи, которые решают данную проблему, называют оптимизационными.

Оптимизационные задачи решаются с помощью оптимизационных моделей методами математического программирования. Структура оптимизационной модели состоит из целевой функции, области допустимых решений и системы ограничений, определяющими эту область.

Целевая функция - функция, связывающая цель с управляемыми переменными. Область допустимых значений - это область, в пределах которой осуществляется выбор решений. Она ограничена системой ограничений, состоящей из уравнений и неравенств.

Выделяется группа задач по виду критерия оптимальности:

Задачи линейного программирования. Целевая функция и функции в системе ограничений - линейные функции.

Задачи целочисленного линейного программирования. К предыдущим условиям добавляется условие необходимости получить ответ в виде целых чисел.

Задачи нелинейного программирования. Целевая функция и/или функции в системе ограничений - нелинейные функции.

Задачи квадратичного программирования. Множество допустимых решений представляет собой выпуклый многогранник, а целевая функция является квадратичной.

Задачи выпуклого программирования. Множество допустимых решений и целевая функция - выпуклое множество.

Задачи стохастического программирования. Функции носят случайный характер.

Задачи эвристического программирования. Чрезмерно большое количество вариантов решения, приводящий к невозможности найти точный оптимум алгоритмическим путем.

Задачи динамического программирования. Критерий эффективности выражен неявно через уравнения, описывающие операции во времени.

Модель замены оборудование - это оптимизационная модель, которую мы можем отнести к динамическому программированию. В основе метода динамического программирования лежит принцип последовательной оптимизации: решение исходной задачи оптимизации большой размерности заменяется решением последовательности задач оптимизации малой размерности. Основным условием применимости метода динамического программирования является возможность разбиения процесса принятия решений на ряд однотипных шагов или этапов, каждый из которых планируется отдельно, но с учетом результатов, полученных на других шагах.

1.2 Принцип оптимальности Беллмана

замена оборудование математический программирование

Метод динамического программирования состоит в том, что оптимальное управление строится постепенно. На каждом шаге оптимизируется управление только этого шага. Вместе с тем на каждом шаге управление выбирается с учётом последствий, так как управление, оптимизирующее целевую функцию только для данного шага, может привести к неоптимальному эффекту всего процесса. Управление на каждом шаге должно быть оптимальным с точки зрения процесса в целом. Это основное правило динамического программирования, сформулированное Беллманом, называется принципом оптимальности.

Планируется эксплуатация оборудования в течение некоторого периода времени. Оборудование имеет тенденцию с течением времени стареть и приносить все меньший доход. При этом есть возможность в начале любого года продать устаревшее оборудование за определенную цену, которая также зависит от возраста, и купить новое оборудование. Под возрастом оборудования понимается период эксплуатации оборудования после последней замены, определенный в годах. Требуется найти оптимальный план замены оборудования на новое так, чтобы суммарный доход за все годы эксплуатации был максимальным.

Введем обозначения: r(t) -- стоимость продукции, производимой за один год на единице оборудования возраста t лет:

u(t) -- ежегодные затраты на обслуживание оборудования возраста t лет;

s(t) -- остаточная стоимость оборудования возраста t лет;

Р -- покупная цена оборудования.

Рассмотрим период N лет, в пределах которого требуется определить оптимальный цикл замены оборудования.

Обозначим через fN(t) максимальный доход, получаемый от оборудования возраста t лет за оставшиеся N лет цикла использования оборудования при условии оптимальной стратегии.

Возраст оборудования отсчитывается в направлении течения процесса. Так, t = 0 соответствует случаю использования нового оборудования. Временные же стадии процесса нумеруются в обратном направлении по отношению к ходу процесса. Так, N = 1 относится к одной временной стадии, остающейся до завершения процесса, а N = N -- к началу процесса (рис. 1).

На каждом этапе N-стадийного процесса должно быть принято решение о сохранении или замене оборудования. Выбранный вариант должен обеспечивать получение максимальной прибыли.

Функциональные уравнения, основанные на принципе оптимальности, показаны на рис. 2:

Уравнение 1 описывает N-стадийный процесс, а 2 -- одностадийный. Оба уравнения состоят из двух частей: верхняя строка определяет доход, получаемый при сохранении оборудования; нижняя -- доход, получаемый при замене оборудования и продолжении процесса работы на новом оборудовании.

В уравнении 1 функция r(t) -- u(t) есть разность между стоимостью произведенной продукции и эксплуатационными издержками на N-й стадии процесса.

Функция fN-1 (t + 1) характеризует суммарную прибыль от (N -- 1) оставшихся стадий для оборудования, возраст которого в начале осуществления этих стадий составляет (t + 1) лет.

Нижняя строка 1 характеризуется следующим образом: функция s(t) -- Р представляет чистые издержки по замене оборудования, возраст которого t лет.

Функция r(0) выражает доход, получаемый от нового оборудования возраста 0 лет. Предполагается, что переход от работы на оборудовании возраста t лет к работе на новом оборудовании совершается мгновенно, т.е. период замены старого оборудования и переход на работу на новом оборудовании укладываются в одну и ту же стадию.

Последняя функция fN-1 в 1 представляет собой доход от оставшихся N -- 1 стадий, до начала осуществления которых возраст оборудования составляет один год.

Аналогичная интерпретация может быть дана уравнению для одностадийного процесса. Здесь нет слагаемого вида f0(t + 1), так как N принимает значение 1, 2,..., N. Равенство f0(t) = 0 следует из определения функции fN(t).

Уравнения 1 и 2 являются рекуррентными соотношениями, которые позволяют определить величину fN(t) в зависимости от fN-1(t + 1). Структура этих уравнений показывает, что при переходе от одной стадии процесса к следующей возраст оборудования увеличивается с t до (t + 1) лет, а число оставшихся стадий уменьшается с N до (N -- 1).

Расчет начинают с использования уравнения 1. Уравнения 1 и 2 позволяют оценить варианты замены и сохранения оборудования, с тем чтобы принять тот из них, который предполагает больший доход. Эти соотношения дают возможность не только выбрать линию поведения при решении вопроса о сохранении или замене оборудования, но и определить прибыль, получаемую при принятии каждого из этих решений.

2. Информационно-методическое обеспечение моделирования

2.1 Методическое обеспечение модели

В задачах динамического программирования экономический процесс зависит от времени (от нескольких периодов (этапов) времени), поэтому находится ряд оптимальных решений (последовательно для каждого этапа), обеспечивающих оптимальное развитие всего процесса в целом. Задачи динамического программирования называются многоэтапными или многошаговыми. Динамическое программирование представляет собой математический аппарат, позволяющий осуществлять оптимальное планирование многошаговых управляемых процессов и процессов, зависящих от времени. Экономический процесс называется управляемым, если можно влиять на ход его развития. Управлением называется совокупность решений, принимаемых на каждом этапе для влияния на ход процесса.

В экономических процессах управление заключается в распределении и перераспределении средств на каждом этапе. Например, выпуск продукции любым предприятием - управляемый процесс, так как он определяется изменением состава оборудования, объемом поставок сырья, величиной финансирования и т.д. Совокупность решений, принимаемых в начале каждого года планируемого периода по обеспечению предприятия сырьем, замене оборудования, размерам финансирования и т.д., является управлением. Казалось бы, для получения максимального объема выпускаемой продукции проще всего вложить максимально возможное количество средств и использовать на полную мощность оборудование. Но это привело бы к быстрому изнашиванию оборудования и, как следствие, к уменьшению выпуска продукции.

Следовательно, выпуск продукции надо спланировать так, чтобы избежать нежелательных эффектов. Необходимо предусмотреть мероприятия, обеспечивающие пополнение оборудования по мере изнашивания, т.е. по периодам времени. Последнее хотя и приводит к уменьшению первоначального объема выпускаемой продукции, но обеспечивает в дальнейшем возможность расширения производства. Таким образом, экономический процесс выпуска продукции можно считать состоящим из нескольких этапов (шагов), на каждом из которых осуществляется влияние на его развитие.

Началом этапа (шага) управляемого процесса считается момент принятия решения (о величине капитальных вложений, о замене оборудования определенного вида и т.д.). Под этапом обычно понимают хозяйственный год.

Динамическое программирование, используя поэтапное планирование, позволяет не только упростить решение задачи, но и решить те из них, к которым нельзя применить методы математического анализа. Упрощение решения достигается за счет значительного уменьшения количества исследуемых вариантов, так как вместо того, чтобы один раз решать сложную многовариантную задачу, метод поэтапного планирования предполагает многократное решение относительно простых задач.

Планируя поэтапный процесс, исходят из интересов всего процесса в целом, т.е. при принятии решения на отдельном этапе всегда необходимо иметь в виду конечную цель.

Задача динамического программирования должна удовлетворять двум условиям. Первое условие обычно называют условием отсутствия последействия, а второе - условием аддитивности целевой функции задачи.

2.2 Алгоритмическое обеспечение модели

В период эксплуатации и хранения оборудование подвергается физическому и моральному износу. Физический износ характеризуется утратой оборудованием своих первоначальных качеств. Это вызывает уменьшение точности работы оборудования, снижение скорости его работы. Физический износ оборудования является причиной увеличения доли бракованных изделий, увеличения времени простоя оборудования по техническим причинам, перерасхода основных и вспомогательных материалов, простоев в связи с авариями, что в конечном итоге ведет к росту себестоимости продукции. Моральный износ оборудования бывает двух форм. Первая форма морального износа вызывает уменьшение стоимости оборудования вследствие удешевления их воспроизводства. Вторая форма морального износа наступает в том случае, если изменяется конструкция и эксплуатационные показатели новых машин, когда машина технически устарела и заменяется более совершенной.

Предприятия должны постоянно проводить мероприятия, предупреждающие или устраняющие последствия износа оборудования путем своевременного проведения различного вида ремонтов и технического обслуживания оборудования.

Организация технического обслуживания и ремонта оборудования на предприятиях направлена на поддержание и восстановление работоспособности оборудования. Но в результате ремонта можно не только восстановить утерянные функции деталей и узлов машин и механизмов, но и модернизировать их с целью улучшения технических характеристик. Сущность ремонта заключается в обеспечении сохранности и качественном восстановлении эксплуатационных характеристик оборудования путем замены или восстановления изношенных деталей и регулировки механизмов.

Ремонт - это комплекс операций по восстановлению исправности, работоспособности либо ресурса оборудования, либо его составных частей.

Задачами организации ремонтных работ на предприятии являются:

поддержание оборудования в работоспособном состоянии;

предупреждение преждевременного износа деталей и узлов;

сохранение высокой точности, надежности и долговечности оборудования;

сокращение простоев оборудования во время ремонтов и техобслуживания;

снижение затрат на ремонт и техническое обслуживание.

Под системой ремонта понимается совокупность взаимосвязанных положений и норм, определяющих организацию и выполнение ремонтных работ на предприятии. Существует несколько систем организации ремонта оборудования. В основу каждой из них закладывается определенный изначальный принцип. Он касается, прежде всего, периодичности выполнения ремонтов и технического обслуживания. Наиболее широко распространены три системы.

Система ремонта оборудования «по отказам» предусматривает выполнение ремонтов в случае отказа работы оборудования. В этой системе достаточно сложно предусмотреть простои и затраты на ремонт. К числу недостатков этой системы можно отнести длительность простоя оборудования при ремонте и значительные затраты на ремонт.

Система послеосмотрового ремонта. При использовании этой системы решение о проведении ремонта принимается после осмотра оборудования.

Вышеперечисленные две системы называются еще системами ремонта по потребности.

Система планово-предупредительного ремонта (ППР). При использовании этой системы ремонта заранее выполняется комплекс работ, предупреждающий большой износ оборудования, длительные простои, большие затраты на ремонт и аварии.

Под системой планово-предупредительного ремонта понимается совокупность организационных и технических мероприятий по изучению и контролю износа деталей и узлов машин, а также по уходу, надзору, обслуживанию и ремонту оборудования, проводимых на нормативной основе с целью постоянного поддержания оборудования в работоспособном состоянии и предупреждения неожиданных выходов его из строя. Такая система ремонта позволяет наилучшим образом сочетать работы по техническому обслуживанию и профилактическому ремонту с общим ходом производственного процесса на предприятии.

Сущность системы планово-предупредительного ремонта заключается в следующем:

систематическая проверка состояния оборудования и проведение необходимых ремонтов для предупреждения аварии;

необходимость изучения износа деталей и узлов и планирования ремонтов с целью предупреждения аварий;

обязательная материальная и техническая подготовка планируемых ремонтов с целью повышения качества ремонтов и уменьшения простоев при ремонтах машин;

создание надежных предпосылок для снижения трудоемкости ремонтов.

Планирование ремонтных работ осуществляется в виде годового плана-графика. В основу плана-графика положена структура ремонтного цикла по каждому виду оборудования и нормативы трудоемкости по видам планируемых ремонтов для каждого вида оборудования.

Годовой план-график ремонта составляется по месяцам планируемого года Ремонтные работы, предусмотренные планом-графиком, надо, по возможности, равномерно распределять по кварталам и месяцам года для однотипного оборудования.

Таким образом, классический подход предупредительного ремонта основан на календаре: через заданный интервал времени оборудование ремонтируется независимо от износа на данный момент. У каждого оборудования свой срок ремонта и своя стоимость ремонта. На производстве оборудование, как правило, сложное. И у каждой детали сложного оборудования свой срок ремонта и своя стоимость ремонта. Если срок ремонта сложного оборудования совпадает со сроком ремонта входящих в него деталей, то сокращаются затраты на ремонт.

Замена оборудования требуется в тот момент когда прибыль становится меньше, а затраты на обслуживание и ремонт резко увеличиваются.

3. Многомодельный подход к решению проблемы управления процессом замены производственного оборудования

Для эффективного управления производственным предприятием все шире начинают привлекаться математические оптимизационные модели и методы. Проблему эффективного управления предприятием и, в частности, управления процессом замены производственного оборудования необходимо решать комплексно и на каждом иерархическом уровне управления предприятием.

При этом необходимо отметить, что в современной конкурентной среде оценка результатов деятельности предприятия в сравнении с прошлыми стандартами больше не работает. Чтобы успешно конкурировать и развиваться, компании должны принять на вооружение философию непрерывных улучшений, а это непрерывный процесс, в ходе которого происходит непрекращающийся поиск способов, которые сводятся к совершенствованию технологий работы, проведению своевременных модернизаций, ремонту, замене и выбору нового оборудования и направленных на снижение затрат и повышение их производительности. При этом одной из целей предприятия является привлечение дополнительных инвестиций.

Для привлечения дополнительных инвестиций предприятию необходимо обладать инвестиционной привлекательностью. В связи с этим возникает проблема эффективного управления процессом замены производственного оборудования предприятия, решение которой сводится к решению ряда оптимизационных задач. В общем случае решение проблемы эффективного управления процессом замены оборудования предприятия тесно взаимосвязано с решением проблемы эффективного стратегического развития предприятия.

На рис. 3 показана взаимосвязь показателей эффективности результатов деятельности предприятия, где решение проблемы эффективного стратегического развития предприятия зависит от решения проблемы эффективного управления производственными активами (оборудованием) предприятия.

Исходя из вышесказанного и необходимости учета многих факторов, следует, что проблемы эффективного управления процессом замены необходимо решать комплексно и поэтапно. В данной статье предлагается система моделей и методов решения задач управления процессом замены производственного оборудования предприятия (см. табл. 1).

	Задачи замены оборудования
	Дано: поток расходов на оборудование от срока ввода в эксплуатацию. Целевой критерий: минимизация средних расходов за период эксплуатации.	МА1. аналитическая модель определения оптимального срока замены оборудования по средним расходам.
	Дано: поток доходов от выпускаемой продукции и расходов на оборудование от ввода в эксплуатацию. Целевой критерий: максимизация суммы прибыли и ликвидной стоимости за период эксплуатации.	МА2. Аналитическая модель определения оптимального срока замены оборудования по доходам.	Необходимые и достаточные условия существования экстремума целевой функции.
	Дано: поток доходов и расходов от ввода в эксплуатацию системы идентичного оборудования с заданной функцией надежности. Целевой критерий: максимизация суммы прибыли от начала срока эксплуатации	МА3. Стохастическая модель замены системы идентичного оборудования с отказами	Методы теории надежности, необходимые и достаточное условия существования экстремума функции
	Дано: поток расходов на оборудование, начальный возраст оборудования, период эксплуатации, стоимость нового оборудования, способ амортизации, темп инфляции. Целевой критерий: минимизация расходов при многошаговом процессе замены оборудования.	МВ1.Управляемая динамическая модель процессом замены производственного оборудования с отказами (или без отказов)	Методы динамического программирования в обратном времени
	Дано: поток доходов, расходов на оборудование, начальный возраст оборудования, период эксплуатации, стоимость нового оборудования, способ амортизации, темп инфляции, темпы стоимости нового оборудования, продукции, функции надежности	МВ2. Модели прогноза ряда динамики МВ3. Управляемая динамическая модель процессом замены производственного оборудования с отказом	Методы расчета тренда, скользящей средней, регрессионного анализа. Методы динамического программирования в прямом времени.

Задачи класса А. Для заданных исходных данных найти оптимальные сроки замены оборудования. В качестве целевых функций выступают средние расходы за период эксплуатации, суммы прибыли и ликвидной стоимости за период эксплуатации.

Задачи класса В. Для заданных исходных данных найти оптимальные стратегии замены эксплуатируемого и нового оборудования в долгосрочной перспективе. В качестве целевых функций выступают расходы и прибыли при многошаговом процессе замены оборудования.

В связи с тем, что решение о замене для задач данного класса принимается в начале каждого календарного года эксплуатации оборудования, то задача определения оптимальных стратегий замены эксплуатируемого и нового оборудования сводится к многошаговой процедуре принятия решений. Каждый шаг оценивается величиной прибыли или величиной расхода, которые можно подсчитать за год эксплуатации. Очевидно, что решение подобной задачи можно осуществить на управляемой динамической модели, поскольку их потенциальные возможности адекватного отражения свойств реальных систем выше, чем статичных моделей. Кроме того, к ним применим принцип оптимальности Р. Беллмана: оптимальное управление обладает тем свойством, что, каково бы не было начальное состояние системы на любом шаге и управление, выбранное на этом шаге, последующие шаги управления должны выбираться оптимальными относительно состояния, к которому придет система в конце данного шага. Использование этого принципа позволяет построить рекуррентные функциональные уравнения динамического программирования относительно оптимального значения целевой функции.

Заключение

Функционирование предприятия в условиях конкуренции имеет ряд особенностей, которые оказывают влияние на организационно-правовые формы управления предприятием. Для успешного решения проблемы эффективного управления производственными активами должны привлекаться экономико-математические модели и методы. При этом отражение всех основных аспектов в проблеме оптимизации управления заменой производственного оборудования может быть достигнуто посредством многомодельного подхода, когда для решения задачи управления заменой привлекается не одна, а несколько математических моделей, позволяющих описать процесс замены с различной степенью детализации. В работе показано, что замена оборудования, является многошаговым процессом и в этом случае оптимальная стратегия замены является решением оптимизационной задачи поставленной на управляемой - дискретной динамической модели.

Предложенная в работе методика определения оптимальной стратегии замены и эксплуатации оборудования, базирующаяся на управляемой динамической модели, направлена на повышение степени эффективности процессов, управления производственными активами предприятия. Она является наиболее подходящей для практического применения в настоящее время. Предлагаемая постановка задач определения оптимальных сроков замены и подход, в отличии - от традиционных, позволяет решить задачу выбора оптимальной стратегии замены производственных активов предприятия на дискретной управляемой динамической модели стратегии замены методом динамического программирования принятия решений в прямом времени, что не требует фиксации срока эксплуатации и является новаторским в определении текущих сроков замены.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

Ознакомление с методами решения оптимизационных задач. Алгоритм метода ломанных. Определение наименьшего значения целевой функции. Описание метода анализа математической модели. Расчет поиска минимума по методу ломаных. Листинг программы, интерфейс.

курсовая работа , добавлен 06.12.2014


Постановка задачи динамического программирования. Составление основного функционального управления динамического программирования, определяющего условный оптимальный выигрыш для данного состояния. Выбор оптимальной стратегии замены оборудования.

курсовая работа , добавлен 02.07.2014


Определение совокупности шаговых управлений. Решение задач динамического программирования двухэтапным способом. Решение последовательности задач условной оптимизации. Оптимальное распределение памяти, политика замены оборудования, замена форвардера.

презентация , добавлен 30.10.2013


Построение и использование математических и алгоритмических моделей для решения линейных оптимизационных задач. Освоение основных приемов работы с инструментом "Поиск решения" среды Microsoft Excel. Ввод системы ограничений и условий оптимизации.

лабораторная работа , добавлен 21.07.2012


Основные понятия и принципы динамического программирования, реккурентность природы задач данного типа и функциональные уравнения Беллмана. Разработка структуры блок-схемы и реализация на ЭВМ построенного алгоритма на выбранном языке программирования.

курсовая работа , добавлен 26.11.2010


Анализ метода линейного программирования для решения оптимизационных управленческих задач. Графический метод решения задачи линейного программирования. Проверка оптимального решения в среде MS Excel с использованием программной надстройки "Поиск решения".

курсовая работа , добавлен 29.05.2015


Особенности использования электронной таблицы Microsoft Excel для решения оптимизационных задач. Выполнение команды "Поиск решения" в меню "Сервис". Запись ограничений через использование кнопки "Добавить". Сообщение о найденном решении на экране.

лабораторная работа , добавлен 03.08.2011


Практические навыки моделирования задач линейного программирования и их решения графическим и симплекс-методом с использованием прикладной программы SIMC. Моделирование транспортных задач и их решение методом потенциалов с помощью программы TRAN2.

контрольная работа , добавлен 15.06.2009


Понятие линейного программирования и оптимизации. Основы работы в системе MathCAD. Интерфейс пользователя, входной язык и тип данных. Этапы компьютерного математического моделирования. Пример решения оптимизационной задачи средствами программы MathCAD.

курсовая работа , добавлен 16.10.2011


Графическое решение задач. Составление математической модели. Определение максимального значения целевой функции. Решение симплексным методом с искусственным базисом канонической задачи линейного программирования. Проверка оптимальности решения.

Динамическое программирование. Задача о замене оборудования

Найти оптимальные сроки замены оборудования. Первоначальная стоимость оборудования q 0 =6000 усл. ед., ликвидационная стоимость L(t)=q 0 2 -i , стоимость содержания оборудования возраста i лет в течение 1 года S(t)=0,1q 0 (t+1), срок эксплуатации оборудования 5 лет. В конце срока эксплуатации оборудование продается. Задачу решить графически.

Для построения графика в ПП Wolfram Mathematica 6.0 вводим

g = Plot[{6000*2^-x, 600*(x + 1)}, {x, 0, 5}]

В итоге получаем график:

Из графика видим, что оптимальный срок замены оборудования является второй год его эксплуатации.

Динамическое программирование. Оптимальное распределение средств между предприятиями

Найти оптимальное распределение средств в размере 9 усл. ед. между четырьмя предприятиями. Прибыль от каждого предприятия является функцией от вложенных в него средств и представлена таблицей:

Вложенные средства
I предприятие
II предприятие
III предприятие
IV предприятие

Вложения в каждое предприятия кратны 1 усл. ед.

Разобьем процесс выделения средств предприятиям на 4 этапа: на первом этапе выделяется y 1 средств предприятию П 1 , на втором -y 2 средств предприятию П 2 , на третьем - y 3 средств предприятию П 3 , на четвертом третьем - y 4 средств предприятию П 4

x n = x n - 1 - y n , n = 1,2,3, 4.

Заметим, что на четвертом этапе выделения средств весь остаток x 3 вкладывается в предприятие П 4 , поэтому y 3 = x 4 .

Воспользуемся уравнениями Беллмана для N = 4.

В результате получим следующие таблицы:

Таблица 1

Таблица 2

Таблица 3

Таблица 4

Из Таблицы 4 вытекает, что оптимальным управлением будет y 1 * =3, при этом оптимальная прибыль равна 42. Далее получаем

х 1 =х 0 -у 1 *=9-3=6, 2 (х 1)= 2 (6)=30, y 2 * =1

х 2 =х 1 -у 2 *=6-1=5, 3 (х 2)= 3 (5)=23, y 3 * =1

х 3 =х 2 -у 3 *=5-1=4, 4 (х 3)= 4 (4)=15, y 3 * =4

Таким образом, наиболее оптимальным является вложение в предприятия П1, П2, П3 и П4 денежных средств в размере 4, 1,1 и 3 усл.ед., соответственно. В этом случае прибыль будет максимальной и составит 42 усл. ед.

Одной из важных экономических проблем является определение оптимальной стратегии замены старых станков, aipcraTOB и машин на новые. Старение оборудования означает его физический и моральный износ, в результате чего увеличиваются затраты на ремонт и обслуживание, возрастают производственные затраты по выпуску продукции, снижаются

производительность и ликвидная стоимость. Наступает время, когда старое оборудование выгоднее продать, заменить новым, чем эксплуатировать ценой больших затрат; причем его можно заменить новым оборудованием того же вида или новым, более совершенным. Оптимальная стратегия замены оборудования состоит в определении ее оптимальных сроков. Критерием оптимальности при этом может служить прибыль от эксплуатации оборудования, которую следует оптимизировать, или суммарные затраты на эксплуатацию в течение рассматриваемого промежутка времени, подлежащие минимизации.

Введем обозначения:

r(t) - ежегодные затраты на обслуживание оборудования возраста t лег;

g(t) - остаточная стоимость оборудования возраста t лег;

Р 0 - покупная цена оборудования.

Рассмотрим период N лет, в пределах которого требуется определить оптимальный цикл замены оборудования.

Обозначим через Л*(/) - оптимальные затраты, получаемые от

оборудования возраста t лет за оставшиеся N лет цикла использования оборудования при условии оптимальной стратегии.

Возраст оборудования отсчитывается в направлении течения процесса. Так, / = 0 соответствует случаю использования нового оборудования. На каждом этапе /V-стадийного процесса должно быть принято решение о сохранении, замене или проведении ремонта оборудования. Выбранный вариант должен обеспечивать получение минимизации суммарных затрат на эксплуатацию в течение рассматриваемого промежутка времени.

Предполагается, что переход от работы на оборудовании возраста t лег к работе на новом оборудовании совершается мгновенно, то есть замена старого оборудования и переход к работе на новом оборудовании укладываются в один период.

Пример 4.2

Оборудование эксплуатируется в течение пяти лет и после этого продается. В начале каждого года можно принять решение о сохранении оборудования или его замене новым. Стоимость нового оборудования Р 0 = 4000 руб. После t лет эксплуатации (1 g(t) = Р 0 2~‘ руб. (ликвидная стоимость). Затраты на содержание в течение года зависят от возраста оборудования t и равны r(t) = 600(/ + 1).

Определить оптимальную стратегию эксплуатации оборудования, чтобы суммарные затраты с учетом начальной покупки и заключительной продажи были минимальными.

Решение. Способ деления управления на шаги естественный - но годам, п = 5. Параметр состояния - возраст машины лу= t, ,v 0 = 0 - машина новая в начале первого года эксплуатации. Управление на каждом шаге зависит от двух переменных If и If.

Уравнения состояний зависят от управления:

Показатель эффективности А"-го шага:

(при If затраты только на эксплуатацию машины возраста t, при If машина продается (-4000 2~"), покупается новая (4000) и эксплуатируется в течение первого года (600), общие затраты равны (-4000 2 " + 4000 + 600)).

Пусть л’ (?) - условные оптимальные затраты на эксплуатацию машины, начиная с А"-го шага до конца, при условии, что к началу А"-го шага машина имеет возраст / лег. Запишем для функций Л"(г) уравнения Веллмана, заменив задачу максимизации задачей минимизации:

Величина 4000 2 0+11 - стоимость машины возраста t лет (по условию машина после пяти лет эксплуатации продается):

Из определения функций Л* (/) следует A min = Л*(0).

Представим геометрическое решение этой задачи. Отложим по оси абсцисс номер шага к, а по оси ординат - возраст машины /. Точка (к - 1, /) на плоскости соответствует началу А - -го года эксплуатации машины возраста / лет. Перемещение на графике в зависимости от принятого управления на /о-м шаге показано на рис. 4.3.

Рис. 4.3

Состояние начала эксплуатации машины соответствует точке,v‘(0, 0), конец - точкам.5(5,/). Любая траектория, переводящая точку ДА-1, /) из в.5, состоит из отрезков - шагов, соответствующих годам эксплуатации. Необходимо выбрать такую траекторию, при которой затраты на эксплуатацию машины окажутся минимальными.

Над каждым отрезком, соединяющим точки (А’ - 1, /) и (А, / + 1), записываются соответствующие управлению If затраты (600(/ + 1)), а над отрезком, соединяющим точки (к - 1, /) и (к , /), - затраты, соответствующие управлению If (4600 - 4000 2 "). Таким образом размещаются все отрезки, соединяющие точки на 1рафикс, соответствующие переходам из любого состояния лд_| в состояние s k (см. рис. 4.3).

Далее на размеченном фафе производится условная оптимизация. В состояниях (5, /) машина продается, условный оптимальный доход от продажи равен 4000 2~‘, но поскольку целевая функция связана с затратами, то в кружках точек (5, /) ставится величина дохода со знаком минус. Далее на последующих этапах выбираются минимальные затраты среди двух возможных переходов, записываются в кружок данной точки, а соответствующие управления на этом шаге помечаются пунктирной стрелкой. При этом на каждом шаге трафически решаются уравнения Веллмана (рис. 4.4).

После проведения условной оптимизации получим в точке (0, 0) минимальные затраты на эксплуатацию машины в тсченШ пяти лет с последующей продажей: A min = 11 900. Далее строится оптимальная траектория, перемещаясь из точки So(0, 0) по пунктирным стрелкам в.?. Получаем набор точек: {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 1), (4, 2), (5, 3)}, который соответствует оптимальному управлению U"(u c , U‘, U U c , U c). Оптимальный режим

эксплуатации состоит в том, чтобы заменить машину новой в начале третьего года.

Таким образом, размеченный график (сеть) позволяет наглядно интерпретировать расчетную схему и решить задачу методом динамического программирования.

Модели и вычислительные процедуры динамического программирования очень гибки в смысле возможностей включения различных модификаций задачи. Например, аналогичная задача может быть рассмотрена для большого числа вариантов управления, «ремонт», «капитальный ремонт» и г.д. Все эти факторы могут быть учтены вычислительной схемой динамического программирования.

Замена оборудования – важная экономическая проблема. Задача состоит в определении оптимальных сроков замены старого оборудования (станков, производственных зданий и т.п.). Старение оборудования включает его физический и моральный износ, в результате чего растут производственные затраты, затраты на ремонт и обслуживание, снижаются производительность труда, ликвидная стоимость. Критерием оптимальности являются, как правило, либо прибыль от эксплуатации оборудования (задача максимизации), либо суммарные затраты на эксплуатацию в течение планируемого периода (задача минимизации).

Основная характеристика оборудования – параметр состояния – его возраст t.

При составлении динамической модели замены процесс замены рассматривают как "-шаговый, разбивая весь период эксплуатации на п шагов. Возможное управление на каждом шаге характеризуется качественными признаками, например X е (сохранить оборудование), X" (заменить) и Хр (сделать ремонт).

Рассмотрим конкретный пример.

11.3. Оборудование эксплуатируется в течение 5 лет, после этого продается. В начале каждого года можно принять решение – сохранить оборудование или заменить его новым. Стоимость нового оборудования р 0 = 4000 руб . После t лет эксплуатации (1 < t < 5) оборудование можно продать за g(t) = р 0 T" руб. (ликвидная стоимость). Затраты на содержание в течение года зависят от возраста t оборудования и равны r(i) = 600(i + l). Определить оптимальную стратегию эксплуатации оборудования, чтобы суммарные затраты с учетом начальной покупки и заключительной продажи были минимальны.

Решение. Способ деления управления на шаги, естественный, по годам, п = 5. Параметр состояния – возраст машины – s k_ t =t, s Q= 0 – машина новая в начале 1-го года эксплуатации. Управление на каждом шаге зависит от двух переменных X е и Х

Уравнения состояний зависят от управления:

(11.22)

В самом деле, если к /г-му шагу s k_ { =t, то при сохранении машины (Х к = X е) через год возраст машины увеличится на 1. Если машина заменяется новой (Х к = Х"), то это означает, что к началу ⅞-ro шага ее возраст t = 0, а после года эксплуатации ¢=1, т.е. s k = 1.

Показатель эффективности ⅛-го шага:

(11.23)

При X е затраты только на эксплуатацию машины возраста i, при X 1 машина продается (-4000-2"" J, покупается новая (4000) и эксплуатируется в течение первого года (600), общие затраты равны (-4000 ∙ 2"" + 4000 + 600).

Пусть– условные оптимальные затраты на экс

плуатацию машины начиная с А-го шага до конца при условии, что к началу А-го шага машина имеет возраст t лет. Запишем для функцийуравнения Веллмана (11.5) и (11.8), заменив задачу максимизации на задачу минимизации:

(11.24)

Величина– стоимость машины возраста

t лет (по условию машина после 5 лет эксплуатации продается).

(11.25)

Из определения функцийследует

Дадим геометрическое решение этой задачи. Па оси абсцисс будем откладывать номер шага А, на оси ординат – возраст t машины. Точка (А – 1, ί) на плоскости соответствует началу А-го года эксплуатации машины возраста t лет. Перемещение па графике в зависимости от принятого управления на А-м шаге показано на рис. 11.7.

Состояние начала эксплуатации машины соответствует точке , конец – точкам s(6; t). Любая траектория, переводящая точкуизв, состоит из отрезков-шагов, соответствующих годам эксплуатации. Надо выбрать такую траекторию, при которой затраты на эксплуатацию машины окажутся минимальными.

Рис. 11.7

Над каждым отрезком, соединяющим точки [к -1; /) и [к, ¢ + 1), запишем соответствующие управлению Xе затраты, найденные из (11.23): 600(ί + ΐ), а над отрезком, соединяющим точки (k- ; ¢) и [к; г), запишем затраты, соответствующие управлению X 3, т.е. 4600-4000 2_ί. Таким образом мы разметим все отрезки, соединяющие точки на графике, соответствующие переходам из любого состояния s k_ i в состояние s k (рис. 11.8). Например, над отрезками, соединяющими точки (к; 2) и (/г+1; 3), стоит число 1800 , что соответствует затратам на эксплуатацию в течение каждого года машины возраста t = 2 года, а над отрезками, соединяющими (к, 2) и (£+1; 1), стоит число 3600 – это сумма затрат на покупку машины и эксплуатацию новой машины в течение года без "затрат" (выручки) за проданную машину возраста t лет. Следует учесть, что 0 < t < к.

Проведем на размеченном графе состояний (см. рис. 11.8) условную оптимизацию.

V шаг. Начальные состояния – точки (4; ¢), конечные – (5; ¢). В состояниях (5; ¢) машина продается, условный оптимальный доход от продажи равен 4000 2_ί, но поскольку целевая функция связана с затратами, то в кружках точек (5; ¢) поставим величину дохода со знаком минус.

Анализируем, как можно попасть из каждого начального состояния в конечное на V шаге.

Состояние (4; 1). Из него можно попасть в состояние (5; 2), затратив на эксплуатацию машины 1200 и выручив затем от продажи 1000, т.е. суммарные затраты равны 200, и в состояние (5; 1) с затратами 2600 – 2000 = 600. Значит, если к последнему шагу система находилась в точке (4; 1), то следует идти в точку (5; 2) (укажем это направление двойной стрелкой), а неизбежные минимальные затраты, соответствующие этому переходу, равны 200 (поместим эту величину Zg (1) = 200 в кружке точки (4; 1)).

Состояние (4; 2). Из него можно попасть в точку (5; 3) с затратами 1800 – 500 = 1300 и в точку (5; 1) с затратами 3600 – 2000 = 1600. Выбираем первое управление, отмечаем его двойной стрелкой, a Zg(2) = 1300 проставляем в кружке точки (4; 2).

Рассуждая таким же образом для каждой точки предпоследнею шага, мы найдем для любого исхода IV шага оптимальное управление на V шаге, отметим его на рис. 11.8 двойной

Рис. 11.8

стрелкой. Далее планируем IV шаг, анализируя каждое состояние, в котором может оказаться система в конце III шага с учетом оптимального продолжения до конца процесса, т.е. решаем для всех 0 < t < 4 при k = 4 уравнения (11.22). Например, если начало IV шага соответствует состоянию (3; 1), то при управлении X е система переходит в точку (4; 2), затраты на этом шаге 1200, а суммарные затраты за два последних шага равны 1200 + 1300 = 2500. При управлении X" затраты за два шага равны 2600 + 200 = 2800. Выбираем минимальные затраты 2500, ставим их в кружок точки (3; 1) а соответствующие управления на этом шаге помечаем двойной стрелкой, ведущей из состояния (3; 1), в состояние (4; 2). Так поступаем для каждого состояния (3; t) (см. рис. 11.8).

Продолжая условную оптимизацию III, II и I шагов, мы получим на рис. 11.8 такую ситуацию: из каждой точки (состояния) выходит стрелка, указывающая, куда следует перемещаться в данном шаге, если система оказалась в этой точке, а в кружках записаны минимальные затраты на переход из этой точки в конечное состояние. На каждом шаге графически решались уравнения (11.22).

После проведения условной оптимизации получим в точке (0; 0) минимальные затраты на эксплуатацию машины в течение 5 лет с последующей продажей: Zmin =11900. Далее строим оптимальную траекторию, перемещаясь из точки s0(0; 0) по двойным стрелкам в.?. Получаем набор точек:

{(0; 0),(1;1), (2; 2),(3:1), (4; 2), (5; 3)},

который соответствует оптимальному управлению Х*(ХС, Xе, Х X е, X е). Оптимальный режим эксплуатации состоит в том, чтобы заменить машину новой в начале 3-го года.

Таким образом, размеченный график (сеть) позволяет наглядно интерпретировать расчетную схему и решить задачу методом ДП.

Как уже отмечалось, модели и вычислительная схема ДП очень гибки в смысле возможностей включения в модель различных модификаций задачи. Например, аналогичная задача может быть рассмотрена для большого числа вариантов управления, "ремонт", "капитальный ремонт" и т.д. Можно рассматривать замену оборудования новым с учетом технического прогресса, можно учесть изменения в затратах на эксплуатацию оборудования после его ремонта, в зависимости от года эксплуатации (дороже, дешевле). Все эти факторы можно учитывать вычислительной схемой ДП.

• Все цены условные.
• Напоминаем, что псе затраты выражены в условных рублях.

Определить оптимальную стратегию использования оборудования в период времени длительностью т лет, причем прибыль за каждые i лет, i = от использования оборудования возраста t лет должна быть максимальной.

Известны

r (t ) – выручка от реализации продукции, произведенной за год на оборудовании возраста t лет;

l (t ) – годовые затраты, зависящие от возраста оборудования t;

с (t ) – остаточная стоимость оборудования возраста t лет;

Р – стоимость нового оборудования.

Под возрастом оборудования понимается период эксплуатации оборудования после последней замены, выраженный в годах.

Воспользуемся приведенными выше этапами составления математической модели задачи.

1. Определение числа шагов. Число шагов равно числу лет, в течение которого эксплуатировалось это оборудование.

2. Определние состояний системы. Состояние системы характеризуется возрастом оборудования t , t= .

3. Определение уравнений. В начале i -го шага, i = может быть выбрано одно из двух управлений: заменять или не заменять оборудование. Каждому варианту управления приписывается число

4. Определение функции выигрыша на i -ом шаге. Функция выигрыша на i -ом шаге – это прибыль от использования оборудования к концу i -го года эксплуатации, t= , i = . Таким образом, если оборудование не продается, то прибыль от его использования – это разность между стоимостью произведенной продукции и эксплуатационными издержками. При замене оборудования прибыль составляет разность между остаточной стоимостью оборудования и стоимостью нового оборудования, к которой прибавляется разность между стоимостью продукции и эксплуатационными издержками для нового оборудования, возраст которого в начале i -го шага составляет 0 лет.

5. Определение функции изменения состояния

(9.7)

Таким образом, если оборудование не меняется х i =0, то возраст оборудования увеличивается на один год t +1, если же оборудование меняется х i =1, то оборудование будет годовалым.

6. Составление функционального уравнения для i =т

Верхняя строка функционального уравнения соответствует ситуации, при которой в последний год оборудование не меняется и предприятие получает выигрыш в размере разницы между выручкой r (t ) и годовыми затратами l (t ).

7. Составление основного функционального уравнения

где W i (t t лет с i -го шага (с конца i -го года) до конца периода эксплуатации;

W i + 1 (t ) – прибыль от использования оборудования возраста t+ 1год с (i +1)-го шага до конца периода эксплуатации.

Математическая модель задачи построена.

Пример

т =12, р= 10, с (t )=0, r (t ) – l (t )=φ (t ).

Значения φ (t ) даны в таблице 9.1.

Таблица 9.1.

t

φ (t )

Для данного примера функциональные уравнения будут иметь вид

Рассмотрим заполнение таблицы для нескольких шагов.

Условная оптимизация начинается с последнего 12-го шага. Для i =12 рассматриваются возможные состояния системы t= 0, 1, 2, …, 12. Функциональное уравнение на 12-ом шаге имеет вид

1) t= 0 х 12 (0)=0.

2) t= 1 х 12 (1)=0.

10) t= 9 х 12 (9)=0.

11) t= 10 х 12 (10)=0; х 12 (10)=1.

13) t= 12 х 12 (12)=0; х 12 (12)=1.

Таким образом, на 12-ом шаге оборудование возраста 0 – 9 лет заменять не надо. Оборудование возраста 10 – 12 лет можно заменить или продолжить его эксплуатировать, так как для t= 10, 11, 12 имеется два условных оптимизационных управления 1 и 0.

По результатам расчетов заполняются два столбца таблицы 9.2, соответствующие i= 12.

Условная оптимизация 11-го шага.

Для i =11 рассматриваются все возможные состояния системы t =0, 1, 2, …, 12. Функциональное уравнение на 11-м шаге имеет вид

1) t= 0 х 11 (0)=0.

2) t= 1 х 11 (1)=0.

6) t= 5 х 11 (5)=0; х 11 (5)=1.

7) t= 6 х 11 (6)=1.

13) t= 12 х 11 (12)=1.

Таким образом на 11-ом шаге не следует заменять оборудование возраста 0 – 4 года. Для оборудования возраста 5 лет возможны две стратегии использования: заменить или продолжать эксплуатировать.

Начиная с 6-го года оборудование следует заменять. По результатам расчетов заполняются два столбца таблицы 9.2, соответствующие i =11.

1) t= 0 х 10 (0)=0.

2) t= 1 х 10 (1)=0.

3) t= 2 х 10 (2)=0.

4) t= 3 х 10 (3)=0.

5) t= 4 х 10 (4)=1.

13) t= 12 х 10 (12)=1.

На 10-ом шаге не следует заменять оборудование возраста 0 – 3 года. Начиная с 4-го года, оборудование следует заменять, так как новое оборудование приносит бóльшую прибыль.

По результатам расчетов заполняются два столбца в 9.2, соответствующие i =10.

Аналогичным образом заполняются остальные девять столбцов таблицы 9.2. При расчетах W i + 1 (t ) на каждом шаге значения φ (t ) для каждого t =0, 1, 2, …, 12 берутся из таблицы 9.1 исходных данных, приведенной в условии задачи, а значения W i (t ) – из последнего, заполненного на предыдущем шаге столбца в 9.2.

Этап условной оптимизации заканчивается после заполнения таблицы 9.2.

Безусловная оптимизация начинается с первого шага.

Предположим, что на первом шаге i =1 имеется новое оборудование, возраст которого 0 лет.

Для t=t 1 =0 оптимальный выигрыш составляет W 1 (0)=82. Это значение соответствует максимальной прибыли от использования нового оборудования в течение 12 лет.

W*=W 1 (0)=82.

Выигрышу W 1 (0)=82 соответствует х 1 (0)=0.

Для i =2 по формуле (9.7) t 2 =t 1 +1=1.

Безусловное оптимальное управление х 2 (1)=0.

Для i =3 по формуле (9.7) t 3 =t 2 +1=2.

Безусловное оптимальное управление х 3 (2)=0.

i =4	t 4 =t 3 +1=3	х 4 (3)=0
i =5	t 5 =t 4 +1=4	х 5 (4)=1
i =6	t 6 = 1	х 6 (1)=0
i =7	t 7 =t 6 +1=2	х 7 (2)=0
i =8	t 8 =t 7 +1=3	х 8 (3)=0
i =9	t 9 =t 8 +1=4	x 9 (4)=1
i =10	t 10 = 1	х 10 (1)=0
i =11	t 11 =t 10 +1=2	х 11 (2)=0
i =12	t 12 =t 11 +1=3	х 12 (3)=0

В рамках данной задачи оптимальная стратегия заключается в замене оборудования при достижении им возраста 4-х лет. Аналогичным образом можно определить оптимальную стратегию использования оборудования любого возраста.

В левой колонке таблицы 9.2 записываются возможные случаи системы t = , в верхней строке – номера шагов i = . Для каждого шага определяются условные оптимальные управления х i (t ) и условный оптимальный выигрыш W i (t ) c i -го шага и до конца для оборудования возраста t лет.

Управления, составляющие оптимальную стратегию использования оборудования, выделены в таблице 9.2 жирным шрифтом.

Таблица 9.2.

t

i =12

i =11

i =10

i =9

i =8

i =7

i =6

i =5

i =4

i =3

i =2

i =1

x 12

W 12

x 11

W 11

x 10

W 10

x 9

W 9

x 8

W 8

x 7

W 7

x 6

W 6

x 5

W 5

x 4

W 4

x 3

W 3

x 2

W 2

x 1

W 1

0/1

0/1

0/1

0/1

0/1

0/1

0/1

0/1

0/1

0/1

0/1

0/1