Методика расчета стратегии сохранения или замены оборудования. Задача о замене оборудования

После того как выполнены пункты 1-7, и математическая модель составлена, приступают к ее расчету.

Основные этапы решения задачи динамического программирования:

• 1. Определение множества возможных состояний Sm для последнего шага.
• 2. Проведение условной оптимизации для каждого состояния s€ Sm на последнем m-м шаге по формуле (1.3) и определение условного оптимального управления x(s), s€ Sm
• 3. Определение множества возможных состояний Si для i-го шага, i=2,3…,m-1.
• 4. Проведение условной оптимизации i-го шага, i=2,3…,m-1 для каждого состояния s€ S m по формуле (1.4) и определение условного оптимального управления x i (s), s€ S m , i=2,3…,m-1.
• 5. Определение начального состояния системы s 1 , оптимального выигрыша W1(S1) и оптимального управления x1(S1) по формуле (1.4) при i=1. Это есть оптимальный выигрыш для всей задачи W* =W 1 (x 1 *).
• 6. Проведение безусловной оптимизации управления. Для проведения безусловной оптимизации необходимо найденное на первом шаге оптимальное управление x 1 *=x 1 (s 1) подставить в формулу (1.2) и определить следующее состояние системы s 1 =f 1 (s 1 ,x 1). Для измененного состояния найти оптимальное управление x 2 *=x 2 (s 2), подставить в формулу (1.2) и т.д. Для i-го состояния s 1 найти s i+1 =f i+1 (s i ,x i *) и x* i+1 (s i+1) и т.д.

Динамическое программирование обычно придерживается двух подходов к решению задач:

• · нисходящее динамическое программирование: задача разбивается на подзадачи меньшего размера, они решаются и затем комбинируются для решения исходной задачи. Используется запоминание для решений часто встречающихся подзадач;
• · восходящее динамическое программирование: все подзадачи, которые впоследствии понадобятся для решения исходной задачи просчитываются заранее и затем используются для построения решения исходной задачи.

Этот способ лучше нисходящего программирования в смысле размера необходимого стека и количества вызова функций, но иногда бывает нелегко заранее выяснить, решение каких подзадач нам потребуется в дальнейшем.

Задача о замене оборудования состоит в определении оптимальных сроков замены старого оборудования. Критерием оптимальности являются либо доход от эксплуатации оборудования (задача максимизации), либо суммарные затраты на эксплуатацию (задача минимизации) в течение планируемого периода. Мы будем рассматривать задачу максимизации, и критерием оптимальности будет доход от эксплуатации оборудования.

Принцип оптимальности Беллмана -- важнейшее положение динамического программирования, которое гласит: оптимальное поведение в задачах динамического программирования обладает тем свойством, что каковы бы ни были первоначальное состояние и решение (т. е. “управление”), последующие решения должны составлять оптимальное поведение относительно состояния, получающегося в результате первого решения. Этот принцип можно выразить и рассуждая от противного: если не использовать наилучшим образом то, чем мы располагаем сейчас, то и в дальнейшем не удастся наилучшим образом распорядиться тем, что мы могли бы иметь.

Следовательно, если имеется оптимальная траектория, то и любой ее участок представляет собой оптимальную траекторию.

Этот принцип позволяет сформулировать эффективный метод решения широкого класса многошаговых задач.

Под функцией Беллмана в текущий момент времени понимаем минимальное значение критерия качества в текущий момент времени: Если t=0, то

Таким образом, значение функции Беллмана S(x,t) определяет минимальную величину функционала для любого начального состояния x(t) в любой момент времени t . С другой стороны, значение функции Беллмана совпадает со значением, так называемых текущих потерь на управление:

Эксплуатация оборудования планируется в течение n лет, но оборудование имеет тенденцию с течением времени стареть и приносить все меньшую годовую прибыль r(t) , где t - возраст оборудования. При этом есть выбор: либо в начале любого года продать устаревшее оборудование за цену S(t) , которая также зависит от возраста, и купить новое оборудование за цену P , либо оставить оборудование в эксплуатации. Требуется найти оптимальный план замены оборудования с тем, чтобы суммарная прибыль за все n лет была максимальной, учитывая, что к началу эксплуатационного периода возраст оборудования составляет t 0 лет.

Входными данными к этой задаче являются:

r(t) - доход от эксплуатации в течение одного года оборудования возраста t лет;

S(t) - остаточная стоимость оборудования;

P - цена нового оборудования;

t 0 - начальный возраст оборудования.

Переменной управления на k -м шаге является логическая переменная, которая может принимать два значения: С - сохранить , З - заменить оборудование в начале k -го года. Переменной состояния системы на k -м шаге является переменная t .

Функцию Беллмана F k (t) определим как максимально возможную прибыль от эксплуатации оборудования за годы с k -го по n -й, если к началу k -го года возраст оборудования составлял t лет. Применяя то или иное управление, мы переводим систему в некоторое новое состояние, а именно, если в начале k -го года мы оборудование сохраняем, то к началу следующего (k+1) -го года его возраст увеличится на 1 (состояние системы станет равно t +1), за год оно принесет прибыль r(t) , и максимально возможная прибыль за оставшиеся годы (с (k+1) -го по n -й) составит F k+1 (t+1) . Если же в начале k -го года принимаем решение на замену оборудования, то мы продаем старое оборудование возраста t лет за цену S(t) , покупаем новое оборудование за цену P и эксплуатируем его в течение k -го года, что приносит за этот год прибыль r(0) . К началу следующего года возраст оборудования составит 1 год, и за все годы с (k+1) -го по n -й максимально возможная прибыль будет F k+1 (1) .

Из этих двух вариантов управления выбираем тот, который приносит большую прибыль. Уравнение Беллмана на каждом шаге имеет вид:

Функцию Беллмана для первого шага (k=n ) легко вычислить - это максимально возможная прибыль только за последний n -й год:

Вычислив значение функции F n (t) по формуле (2), далее можно посчитать F n-1 (t) , затем F n-2 (t) и так далее до F 1 (t 0 ) . Функция F 1 (t 0 ) представляет собой максимально возможную прибыль за все годы (с 1-го по n -й). Этот максимум достигается при некотором управлении, применяя которое в течение первого года, мы определяем возраст оборудования к началу второго года (в зависимости от того, какое управление является для первого года оптимальным, это будет 1 или t 0 +1). Для данного возраста оборудования по результатам, полученным на этапе условной оптимизации , мы смотрим, при каком управлении достигается максимум прибыли за годы со 2-го по n -й и так далее. На этапе безусловной оптимизации отыскиваются годы, в начале которых следует произвести замену оборудования.

Введение………………...………………………………………………...……….3

Глава 1. Теоретическое описание модели замены оборудования…………..….4

1.1. Характеристика состояния хозяйствующего субъекта и выявление тенденций его развития…………...………………………………..……...4

1.2. Информационно-методическое обеспечение экономического моделирования……………...……...…………………………………...…..4

1.2.1. Методическая база решения модели………………….…………....4

1.2.2. Информационно-методическое обеспечение метода…………..…9

Глава 2. Расчет показателей экономико-математической модели и экономическая интерпретация результатов………………………….………...13

2.1. Нахождение условного оптимального решение задачи…………...15

2.2. Составление оптимального плана замены оборудования…………21

Заключение…………………………………………………………………….....24

Список литературы…………………………………………………………..…..26

Приложения…………………………...………………………………………....27

Введение

Во всем мире существует множество предприятий, которые используют для производства своей продукции машинное оборудование. Поэтому при его внедрении нужно составлять оптимальный план использования и замены оборудования. Задачи по замене оборудования рассматриваются как многоэтаповый процесс, который характерен для динамического программирования.

Многие предприятия сохраняют или заменяют оборудование по своей интуиции, не применяя методы динамического программирования. Применять эти методы целесообразно, так как это позволяет наиболее четко максимизировать прибыль или минимизировать затраты.

Целью данной работы является определение оптимальных сроков замены старого оборудования.

Задачи этой работы состоят:

· в нахождении условного оптимального решения задачи;

· в составлении оптимального плана замены оборудования.

Старение оборудования включает его физический и моральный износ. В результате чего увеличиваются производственные затраты, растут затраты на обслуживание и ремонт, снижается производительность труда и ликвидная стоимость. Критерием оптимальности является либо прибыль от эксплуатации оборудования, либо суммарные затраты на эксплуатацию в течение планируемого периода.

Курсовая содержит 2 главы, 12 таблиц, 1 приложение, 5 рисунков и оформлена на 30 страницах.

Глава 1. Теоретическое описание модели замены оборудования

1.1. Характеристика состояния хозяйствующего субъекта и выявление тенденций его развития

Для осуществления своей эффективной деятельности производственные объединения и предприятия должны периодически производить замену используемого ими оборудования. При этой замене учитывается производительность используемого оборудования и затраты, связанные с содержанием и ремонтом оборудования.

Характерным для динамического программирования является подход к решению задачи по этапам, с каждым из которых ассоциирована одна управляемая переменная. Набор рекуррентных вычислительных процедур, связывающих различные этапы, обеспечивает получение допустимого решения задачи в целом при достижении последнего этапа.

() (1.1)

(1.1) - принцип оптимальности Беллмана.

(1.2)

где t – возраст оборудования к началу k-го года ( k=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10);

– управление, реализуемое к началу k-го года; P 0 – стоимость нового оборудования.

(1.2) - функциональное уравнение Беллмана.

1.2. Информационно-методическое обеспечение экономического моделирования

1.2.1. Методическая база решения модели

В задачах динамического программирования экономический процесс зависит от времени (от нескольких периодов (этапов) времени), поэтому находится ряд оптимальных решений (последовательно для каждого этапа), обеспечивающих оптимальное развитие всего процесса в целом. Задачи динамического программирования называются многоэтапными или многошаговыми. Динамическое программирование представляет собой математический аппарат, позволяющий осуществлять оптимальное планирование многошаговых управляемых процессов и процессов, зависящих от времени. Экономический процесс называется управляемым, если можно влиять на ход его развития. Управлением называется совокупность решений, принимаемых на каждом этапе для влияния на ход процесса. В экономических процессах управление заключается в распределении и перераспределении средств на каждом этапе. Например, выпуск продукции любым предприятием – управляемый процесс, так как он определяется изменением состава оборудования, объемом поставок сырья, величиной финансирования и т.д. Совокупность решений, принимаемых в начале каждого года планируемого периода по обеспечению предприятия сырьем, замене оборудования, размерам финансирования и т.д., является управлением. Казалось бы, для получения максимального объема выпускаемой продукции проще всего вложить максимально возможное количество средств и использовать на полную мощность оборудование. Но это привело бы к быстрому изнашиванию оборудования и, как следствие, к уменьшению выпуска продукции. Следовательно, выпуск продукции надо спланировать так, чтобы избежать нежелательных эффектов. Необходимо предусмотреть мероприятия, обеспечивающие пополнение оборудования по мере изнашивания, т.е. по периодам времени. Последнее хотя и приводит к уменьшению первоначального объема выпускаемой продукции, но обеспечивает в дальнейшем возможность расширения производства. Таким образом, экономический процесс выпуска продукции можно считать состоящим из нескольких этапов (шагов), на каждом из которых осуществляется влияние на его развитие.

Началом этапа (шага) управляемого процесса считается момент принятия решения (о величине капитальных вложений, о замене оборудования определенного вида и т.д.). Под этапом обычно понимают хозяйственный год.

Динамическое программирование, используя поэтапное планирование, позволяет не только упростить решение задачи, но и решить те из них, к которым нельзя применить методы математического анализа. Упрощение решения достигается за счет значительного уменьшения количества исследуемых вариантов, так как вместо того, чтобы один раз решать сложную многовариантную задачу, метод поэтапного планирования предполагает многократное решение относительно простых задач.

Планируя поэтапный процесс, исходят из интересов всего процесса в целом, т.е. при принятии решения на отдельном этапе всегда необходимо иметь в виду конечную цель.

Предположим, какая-то система S находится в некотором начальном состоянии S 0 и является управляемой. Таким образом, благодаря осуществлению некоторого управления U указанная система переходит из начального состояния S 0 в конечное состояние S к. При этом качество каждого из реализуемых управлений U характеризуется соответствующим значением функции W(U). Задача состоит в том, чтобы из множества возможных управлений U найти такое U*, при котором функция W(U) принимает экстремальное (максимальное или минимальное) значение W(U*).

Задачи динамического программирования имеют геометрическую интерпретацию. Состояние физической системы S можно описать числовыми параметрами, например расходом горючего и скоростью, количеством вложенных средств и т.д. Назовем эти параметры координатами системы; тогда состояние системы можно изобразить точкой S, а переход из одного состояния S 1 в другое S 2 – траекторией точки S. Управление U означает выбор определенной траектории перемещения точки S из S 1 в S 2 , т.е. установление определенного закона движения точки S.

Задача замены оборудования состоит в определении оптимальных сроков замены старого оборудования (станков, производственных зданий и т.п.) в процессе его эксплуатации. С течением времени растут производственные затраты на текущий и капитальный ремонт и обслуживание, снижаются производительность труда, ликвидная стоимость.

Поэтому в определенный момент времени возникает необходимость (экономическая целесообразность) замены старого оборудования на новое. Критерием оптимальности являются, как правило, либо прибыль от эксплуатации оборудования (задача максимизации), либо суммарные затраты на эксплуатацию в течение планируемого периода (задача минимизации).

Таким образом, задача состоит в нахождении плана-графика замены старого оборудования на новое в течение планируемого периода эксплуатации.

Основная характеристика оборудования – параметр состояния – его возраст .

При составлении динамической модели замены процесс замены рассматривают как – шаговый, разбивая весь период эксплуатации на n шагов. Возможное управление на каждом шаге характеризуется качественными признаками, например,
(сохранить оборудование),
(заменить оборудование).

При решении задачи замены оборудования используются следующие исходные данные:

–период планирования;

–ликвидная стоимость оборудования (
);

–стоимость содержания оборудования (
);

–первоначальная стоимость оборудования ().

Уравнения состояний системы зависят от управления:

В самом деле, если к -ому шагу
, то при сохранении оборудования
через год возраст оборудования увеличится на 1. Если оборудование заменяется новым
, то это означает, что к началу-ого шага её возраст=0, а после года эксплуатации=1, т.е.
.

Показатель эффективности -ого шага:

.

Пусть
– условные оптимальные затраты на эксплуатацию оборудования, начиная с-ого шага до конца, при условии, что к началу-ого шага оборудование имеет возрастлет.

Тогда уравнения Беллмана будут иметь вид:

Геометрическое решение задачи замены оборудования. Схема расчетов при решении задачи замены оборудования может быть представлена в виде двухкоординатной диаграммы (графа). На оси абсцисс будем откладывать номер шага , на оси ординат – возраст оборудования. Точка
на плоскости соответствует началу-го года эксплуатации оборудования возрасталет. Перемещение на графике в зависимости от принятого управления на-м шаге показано на рисунке.

Над каждым отрезком, соединяющим точки
и
, записываются соответствующие управлению
затраты на сохранение оборудования, а над отрезком, соединяющим точки
и
, запишем затраты, соответствующие замене оборудования – управлению
. Таким образом, будут размечены все отрезки, соединяющие точки на графике, соответствующие переходам из любого состояния
в состояние.

Решение типового примера

Задание 4

На производственном предприятии «ТИТАН» оборудование эксплуатируется в течение
лет, после чего продается (считается, что послелет оборудование в результате морального износа не способно обеспечить выпуск конкурентоспособной продукции). В начале каждого года руководство предприятия принимает решение сохранить оборудование или заменить его новым аналогичным (при этом старое оборудование продается, а вырученные средства направляются на покрытие части стоимости нового оборудования). Первоначальная стоимость нового оборудования составляет
тыс. руб., затраты на содержание оборудования –
тыс. руб., и ликвидная стоимость оборудования –
тыс. руб. приведены в табл. 11.

Таблица 11

Исходные данные задачи замены оборудования

Необходимо:

1. Определить минимальные суммарные затраты производственного предприятия «ТИТАН» на эксплуатацию оборудования в течение рассматриваемого периода .

2. Определить оптимальную стратегию (план-график) эксплуатации оборудования, обеспечивающую минимальные суммарные затраты производственного предприятия «ТИТАН» на эксплуатацию в течение рассматриваемого периода в условиях текущих цен.

3. Дать экономическую интерпретацию полученного решения.

1. Определим минимальные суммарные затраты производственного предприятия «ТИТАН» на эксплуатацию оборудования в течение 5 лет. Проведем на размеченном графе (рис. 28) условную оптимизацию.

5 шаг. В состояниях (5, ) оборудование продается, условный оптимальный доход от продажи равен ликвидной стоимости
, но поскольку целевая функция связана с затратами, то в кружках точек (5,) ставим величину дохода со знаком «–».

Состояние (4,1).

Таким образом, если система к последнему шагу находилась в точке (4,1), то следует идти в точку (5,2) (укажем это направление пунктирной линией).

Состояние (4,2).

Данный сервис предназначен для онлайн решения задачи оптимальной стратегии обновления оборудования . Обычно в исходных данных задаются следующие параметры:

• r(t) - стоимость продукции, произведенной в течение каждого года планового периода с помощью этого оборудования;
• u(t) - ежегодные затраты, связанные с эксплуатацией оборудования;
• s(t) - остаточная стоимость оборудования;
• р - стоимость нового оборудования, включающая расходы, связанные с установкой, наладкой, запуском оборудования и не меняющаяся в данном плановом периоде.

Если стоимость оборудования не указана, будет решаться задача с функциями затрат и замены (задача планирования капитальных вложений).

Планирование капитальных вложений.

Пример №1 . Найти оптимальную стратегию эксплуатации оборудования на период продолжительностью 6 лет, если годовой доход r(t) и остаточная стоимость S(t) в зависимости от возраста заданы в таблице, стоимость нового оборудования равна P = 13 , а возраст оборудования к началу эксплуатационного периода составлял 1 год.

t	0	1	2	3	4	5	6
r(t)	8	7	7	6	6	5	5
s(t)	12	10	8	8	7	6	4

Решение .
I этап. Условная оптимизация (k = 6,5,4,3,2,1).
Переменной управления на k-м шаге является логическая переменная, которая может принимать одно из двух значений: сохранить (С) или заменить (З) оборудование в начале k-го года.
1-й шаг: k = 6. Для 1-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3,4,5,6, а функциональные уравнения имеют вид:
F 6 (t) = max(r(t), (C); S(t) - P + r(0), (З))
F 6 (1) = max(7 ; 10 - 13 + 8) = 7 (C)
F 6 (2) = max(7 ; 8 - 13 + 8) = 7 (C)
F 6 (3) = max(6 ; 8 - 13 + 8) = 6 (C)
F 6 (4) = max(6 ; 7 - 13 + 8) = 6 (C)
F 6 (5) = max(5 ; 6 - 13 + 8) = 5 (C)
F 6 (6) = max(5 ; 4 - 13 + 8) = 5 (C)
2-й шаг: k = 5. Для 2-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3,4,5, а функциональные уравнения имеют вид:
F 5 (t) = max(r(t) + F 6 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 6 (1))
F 5 (1) = max(7 + 7 ; 10 - 13 + 8 + 7) = 14 (C)
F 5 (2) = max(7 + 6 ; 8 - 13 + 8 + 7) = 13 (C)
F 5 (3) = max(6 + 6 ; 8 - 13 + 8 + 7) = 12 (C)
F 5 (4) = max(6 + 5 ; 7 - 13 + 8 + 7) = 11 (C)
F 5 (5) = max(5 + 5 ; 6 - 13 + 8 + 7) = 10 (C)
F 5 (6) = max(5 + ; 4 - 13 + 8 + 7) = 6 (З)
3-й шаг: k = 4. Для 3-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3,4, а функциональные уравнения имеют вид:
F 4 (t) = max(r(t) + F 5 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 5 (1))
F 4 (1) = max(7 + 13 ; 10 - 13 + 8 + 14) = 20 (C)
F 4 (2) = max(7 + 12 ; 8 - 13 + 8 + 14) = 19 (C)
F 4 (3) = max(6 + 11 ; 8 - 13 + 8 + 14) = 17 (C/З)
F 4 (4) = max(6 + 10 ; 7 - 13 + 8 + 14) = 16 (C/З)
F 4 (5) = max(5 + 6 ; 6 - 13 + 8 + 14) = 15 (З)
F 4 (6) = max(5 + ; 4 - 13 + 8 + 14) = 13 (З)
4-й шаг: k = 3. Для 4-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3, а функциональные уравнения имеют вид:
F 3 (t) = max(r(t) + F 4 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 4 (1))
F 3 (1) = max(7 + 19 ; 10 - 13 + 8 + 20) = 26 (C)
F 3 (2) = max(7 + 17 ; 8 - 13 + 8 + 20) = 24 (C)
F 3 (3) = max(6 + 16 ; 8 - 13 + 8 + 20) = 23 (З)
F 3 (4) = max(6 + 15 ; 7 - 13 + 8 + 20) = 22 (З)
F 3 (5) = max(5 + 13 ; 6 - 13 + 8 + 20) = 21 (З)
F 3 (6) = max(5 + ; 4 - 13 + 8 + 20) = 19 (З)
5-й шаг: k = 2. Для 5-го шага возможные состояния системы t = 1,2, а функциональные уравнения имеют вид:
F 2 (t) = max(r(t) + F 3 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 3 (1))
F 2 (1) = max(7 + 24 ; 10 - 13 + 8 + 26) = 31 (C/З)
F 2 (2) = max(7 + 23 ; 8 - 13 + 8 + 26) = 30 (C)
F 2 (3) = max(6 + 22 ; 8 - 13 + 8 + 26) = 29 (З)
F 2 (4) = max(6 + 21 ; 7 - 13 + 8 + 26) = 28 (З)
F 2 (5) = max(5 + 19 ; 6 - 13 + 8 + 26) = 27 (З)
F 2 (6) = max(5 + ; 4 - 13 + 8 + 26) = 25 (З)
6-й шаг: k = 1. Для 6-го шага возможные состояния системы t = 1, а функциональные уравнения имеют вид:
F 1 (t) = max(r(t) + F 2 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 2 (1))
F 1 (1) = max(7 + 30 ; 10 - 13 + 8 + 31) = 37 (C)
F 1 (2) = max(7 + 29 ; 8 - 13 + 8 + 31) = 36 (C)
F 1 (3) = max(6 + 28 ; 8 - 13 + 8 + 31) = 34 (C/З)
F 1 (4) = max(6 + 27 ; 7 - 13 + 8 + 31) = 33 (C/З)
F 1 (5) = max(5 + 25 ; 6 - 13 + 8 + 31) = 32 (З)
F 1 (6) = max(5 + ; 4 - 13 + 8 + 31) = 30 (З)
Результаты вычислений по уравнениям Беллмана F k (t) приведены в таблице, в которой k - год эксплуатации, а t - возраст оборудования.
Таблица – Матрица максимальных прибылей

k / t	1	2	3	4	5	6
1	37	36	34	33	32	30
2	31	30	29	28	27	25
3	26	24	23	22	21	19
4	20	19	17	16	15	13
5	14	13	12	11	10	6
6	7	7	6	6	5	5

В таблице выделено значение функции, соответствующее состоянию (З) - замена оборудования.
При решении данной задачи в некоторых таблицах при оценке выбора нужного управления мы получали одинаковые значения F для обоих вариантов управления. В этом случае, в соответствии с алгоритмом решения подобных задач необходимо выбирать управление сохранения оборудования.
II этап. Безусловная оптимизация (k = 6,5,4,3,2,1).
По условию задачи возраст оборудования равен t 1 =1 годам. Плановый период N=6 лет.
К началу 1-го года эксплуатации возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t 1 = t 0 + 1 = 0 + 1 = 1. Прибыль составит F 1 (1)=37.
Оптимальное управление при k = 1, x 1 (1) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 1-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
К началу 2-го года эксплуатации возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t 2 = t 1 + 1 = 1 + 1 = 2. Прибыль составит F 2 (2)=30.
Оптимальное управление при k = 2, x 2 (2) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 2-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
К началу 3-го года эксплуатации возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t 3 = t 2 + 1 = 2 + 1 = 3. Прибыль составит F 3 (3)=23.
Безусловное оптимальное управление при k = 3, x 3 (3)=(З), т.е. для получения максимума прибыли за оставшиеся годы необходимо в этом году провести замену оборудования.
К началу 4-го года эксплуатации возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t 4 = t 3 + 1 = 0 + 1 = 1. Прибыль составит F 4 (1)=20.
Оптимальное управление при k = 4, x 4 (1) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 1-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
К началу 5-го года эксплуатации возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t 5 = t 4 + 1 = 1 + 1 = 2. Прибыль составит F 5 (2)=13.
Оптимальное управление при k = 5, x 5 (2) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 2-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
К началу 6-го года эксплуатации возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t 6 = t 5 + 1 = 2 + 1 = 3. Прибыль составит F 6 (3)=6.
Оптимальное управление при k = 6, x 6 (3) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 3-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
F 1 (1) → (C) → F 2 (2) → (C) → F 3 (3) → (З) → F 4 (1) → (C) → F 5 (2) → (C) → F 6 (3) → (C) →
Таким образом, за 6 лет эксплуатации оборудования замену надо произвести в начале 3-го года эксплуатации

Пример №2 . Задача планирования капитальных вложений. Интервал планирования Т=5 лет. Функция затрат на ремонт и дальнейшую эксплуатацию K(t)=t+2t 2 (р.); функция замены P(t)=10+0.05t 2 (р.). Определить оптимальную стратегию замены и ремонта для нового оборудования (t=0) и оборудования возраста t=1, t=2, t=3.
Определить оптимальные планируемые затраты по годам пятилетки, если количество оборудования по возрастным группам следующие: n(t=0)=10, n(t=1)=12, n(t=2)=8, n(t=3)=5

В процессе эксплуатации оборудование подвергается физическому и моральному износу. Существует два способа восстановления оборудования - полное и частичное. При полном восстановлении оборудование меняется на новое, при частичном оборудование ремонтируется. Для оптимального использования оборудования нужно найти возраст, при котором его необходимо заменить, чтобы доход от машины был максимальным или, если доход подсчитать не удается, издержки на ремонтно-эксплуатационные нужды были минимальными. Данный подход рассматривается с позиции экономических интересов потребителя.

Для оптимизации ремонта и замены оборудования требуется разработать на плановый период стратегию по замене машины. В качестве экономических интересов может быть использован один из двух подходов:

1. Максимум дохода от машины за определенный промежуток времени.

2. Минимум затрат на ремонтно-эксплуатационный нужды, если доход подсчитать не удается.

Данная задача решается методом динамического программирования. Основная идея этого метода заключается в замене одновременного выбора большего количества параметров поочередным их выбором. Этим методом могут быть решены самые различные задачи оптимизации. Общность подхода к решению самых различных задач является одним из достоинств этого метода.

Рассмотрим механизм оптимизации ремонта и замены оборудования. Для решения задачи введем следующие обозначения:

t - возраст оборудования;

d(t) - чистый годовой доход от оборудования возраста t;

U(t) - издержки на ремонтно-эксплуатационные нужды машины возраста t;

С - цена нового оборудования.

Для решения этой задачи введем функцию fn(t) , которая показывает величину максимального дохода за последние n - лет при условии, что в начале периода из n - лет у нас была машина возраста t - лет.

Алгоритм решения задачи следующий:

1) f1(t) = max d(0) - С

) fn(t) = max fn-1(t+1) + d(t)

fn-1(1) + d(0) - С

Увеличение издержек приведет к снижению чистого дохода, который рассчитывается так:

d(t) = r(t) - u(t)

r(t) - годовой объем дохода от оборудования возраста t;

u(t) - годовые затраты на ремонтно - эксплуатационные нужды

оборудования возраста t.

Подход максимизации дохода

Для решения этой задачи введем функцию fn(t) , которая показывает величину максимального дохода за последние n - лет при условии, что в начале периода из n-лет у нас было оборудование возраста t-лет.

Если до конца периода остался 1 год

Если до конца периода осталось n лет

(t) = max

где t - возраст оборудования;

d (t) - чистый годовой доход от оборудования возраста t;

C - цена нового оборудования.

Увеличение издержек приведет к снижению чистого дохода, который рассчитывается так

(t) = r(t) - u(t)

где r (t) - годовой объем дохода от оборудования возраста t;

u(t) - годовые затраты на ремонтно-экплуатационные нужды оборудования возраста t.

Рассчитаем чистый доход по формуле, зная динамику поступления дохода и роста издержек на ремонт.

Таблица 2. Чистый доход от оборудования по годам