ถ้าเป็นจำนวนธรรมชาติทุกจำนวน n จับคู่จำนวนจริง หนึ่ง แล้วพวกเขาก็บอกว่าได้รับ ลำดับหมายเลข :
ก 1 , ก 2 , ก 3 , . . . , หนึ่ง , . . . .
ดังนั้น ลำดับตัวเลขจึงเป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ธรรมชาติ
ตัวเลข ก 1 เรียกว่า เทอมแรกของลำดับ , ตัวเลข ก 2 — เทอมที่สองของลำดับ , ตัวเลข ก 3 — ที่สาม และอื่น ๆ ตัวเลข หนึ่ง เรียกว่า สมาชิกคนที่ n ของลำดับ และจำนวนธรรมชาติ n — หมายเลขของเขา .
จากสมาชิกสองคนที่อยู่ติดกัน หนึ่ง และ หนึ่ง +1 สมาชิกลำดับ หนึ่ง +1 เรียกว่า ภายหลัง (ต่อ หนึ่ง ) อ หนึ่ง — ก่อนหน้า (ต่อ หนึ่ง +1 ).
ในการกำหนดลำดับ คุณต้องระบุวิธีการที่ช่วยให้คุณค้นหาสมาชิกของลำดับด้วยตัวเลขใดก็ได้
บ่อยครั้งมีการระบุลำดับโดยใช้ สูตรเทอมที่ n นั่นคือสูตรที่ช่วยให้คุณกำหนดสมาชิกของลำดับตามหมายเลขของมันได้
ตัวอย่างเช่น,
สูตรสามารถกำหนดลำดับของเลขคี่บวกได้
หนึ่ง= 2ไม่มี 1,
และลำดับการสลับกัน 1 และ -1 - สูตร
ข n = (-1)n +1 . ◄
สามารถกำหนดลำดับได้ สูตรเกิดซ้ำ, นั่นคือ สูตรที่แสดงสมาชิกใดๆ ของลำดับ โดยเริ่มจากบางส่วน จนถึงสมาชิกก่อนหน้า (หนึ่งตัวหรือมากกว่า)
ตัวอย่างเช่น,
ถ้า ก 1 = 1 , ก หนึ่ง +1 = หนึ่ง + 5
ก 1 = 1,
ก 2 = ก 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
ก 3 = ก 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
ก 4 = ก 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
ก 5 = ก 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
ถ้า 1= 1, 2 = 1, หนึ่ง +2 = หนึ่ง + หนึ่ง +1 , จากนั้นเจ็ดเทอมแรกของลำดับตัวเลขจะถูกสร้างดังนี้:
1 = 1,
2 = 1,
3 = 1 + 2 = 1 + 1 = 2,
4 = 2 + 3 = 1 + 2 = 3,
5 = 3 + 4 = 2 + 3 = 5,
ก 6 = ก 4 + ก 5 = 3 + 5 = 8,
ก 7 = ก 5 + ก 6 = 5 + 8 = 13. ◄
ลำดับได้ สุดท้าย และ ไม่มีที่สิ้นสุด .
ลำดับที่เรียกว่า สุดยอด ถ้ามีสมาชิกจำนวนจำกัด ลำดับที่เรียกว่า ไม่มีที่สิ้นสุด ถ้ามีสมาชิกจำนวนมากอย่างไม่สิ้นสุด
ตัวอย่างเช่น,
ลำดับของจำนวนธรรมชาติสองหลัก:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
สุดท้าย.
ลำดับของจำนวนเฉพาะ:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
ไม่มีที่สิ้นสุด ◄
ลำดับที่เรียกว่า เพิ่มขึ้น ถ้าสมาชิกแต่ละคนเริ่มตั้งแต่ตัวที่สองมากกว่าสมาชิกก่อนหน้า
ลำดับที่เรียกว่า ลดลง ถ้าสมาชิกแต่ละคนเริ่มตั้งแต่ตัวที่สองน้อยกว่าสมาชิกก่อนหน้า
ตัวอย่างเช่น,
2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — ลำดับที่เพิ่มขึ้น;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - ลำดับที่ลดลง ◄
ลำดับที่องค์ประกอบไม่ลดลงเมื่อจำนวนเพิ่มขึ้น หรือในทางกลับกัน ไม่เพิ่มขึ้น เรียกว่า ลำดับที่ซ้ำซากจำเจ .
โดยเฉพาะอย่างยิ่งลำดับแบบโมโนโทนิกคือลำดับที่เพิ่มขึ้นและลำดับที่ลดลง
ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ คือลำดับที่สมาชิกแต่ละตัวเริ่มต้นจากตัวที่สองมีค่าเท่ากับตัวก่อนหน้าโดยบวกด้วยจำนวนเดียวกัน
ก 1 , ก 2 , ก 3 , . . . , หนึ่ง, . . .
คือความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์หากเป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ n ตรงตามเงื่อนไข:
หนึ่ง +1 = หนึ่ง + ง,
ที่ไหน ง - จำนวนหนึ่ง
ดังนั้น ความแตกต่างระหว่างเงื่อนไขที่ตามมาและเงื่อนไขก่อนหน้าของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดจึงเป็นค่าคงที่เสมอ:
2 - ก 1 = 3 - ก 2 = . . . = หนึ่ง +1 - หนึ่ง = ง.
ตัวเลข ง เรียกว่า ความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์.
เพื่อกำหนดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ก็เพียงพอแล้วที่จะระบุเทอมแรกและผลต่าง
ตัวอย่างเช่น,
ถ้า ก 1 = 3, ง = 4 จากนั้นเราจะพบพจน์ห้าคำแรกของลำดับดังนี้:
1 =3,
2 = 1 + ง = 3 + 4 = 7,
3 = 2 + ง= 7 + 4 = 11,
4 = 3 + ง= 11 + 4 = 15,
ก 5 = ก 4 + ง= 15 + 4 = 19. ◄
สำหรับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กับเทอมแรก ก 1 และความแตกต่าง ง ของเธอ n
หนึ่ง = 1 + (n- 1)ง.
ตัวอย่างเช่น,
ค้นหาระยะที่สามสิบของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
1, 4, 7, 10, . . .
1 =1, ง = 3,
30 = 1 + (30 - 1)ง = 1 + 29· 3 = 88. ◄
n-1 = 1 + (n- 2)ง,
หนึ่ง= 1 + (n- 1)ง,
หนึ่ง +1 = ก 1 + nd,
เห็นได้ชัดว่า
| หนึ่ง=
| n-1 + n+1
|
| 2
|
สมาชิกแต่ละคนของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เริ่มจากวินาที จะเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสมาชิกก่อนหน้าและสมาชิกที่ตามมา
ตัวเลข a, b และ c เป็นพจน์ที่ต่อเนื่องกันของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์บางอย่าง ถ้าหากหนึ่งในนั้นเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอีกสองตัวเท่านั้น
ตัวอย่างเช่น,
หนึ่ง = 2n- 7 เป็นการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
ลองใช้ข้อความข้างต้น เรามี:
หนึ่ง = 2n- 7,
n-1 = 2(ไม่มี 1) - 7 = 2n- 9,
n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.
เพราะฉะนั้น,
| n+1 + n-1
| =
| 2n- 5 + 2n- 9
| = 2n- 7 = หนึ่ง,
|
| 2
| 2
|
◄
โปรดทราบว่า n เทอมที่ 3 ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถพบได้ไม่เพียงแต่ผ่านเท่านั้น ก 1 แต่ยังรวมถึงก่อนหน้านี้ด้วย เค
หนึ่ง = เค + (n- เค)ง.
ตัวอย่างเช่น,
สำหรับ ก 5 สามารถเขียนลงไปได้
5 = 1 + 4ง,
5 = 2 + 3ง,
5 = 3 + 2ง,
5 = 4 + ง. ◄
หนึ่ง = ไม่เป็นไร + เคดี,
หนึ่ง = เอ็น+เค - เคดี,
เห็นได้ชัดว่า
| หนึ่ง=
| ก นะเค
+ ก ไม่มี+เค
|
| 2
|
สมาชิกใดๆ ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ โดยเริ่มจากวินาที จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของสมาชิกที่มีระยะห่างเท่ากันของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นี้
นอกจากนี้ สำหรับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ใดๆ จะมีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:
a m + a n = a k + a l,
ม. + n = k + ล.
ตัวอย่างเช่น,
ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
1) ก 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ก 9 + ก 11 )/2;
2) 28 = 10 = 3 + 7ง= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (ก 7 + 13)/2;
4) 2 + 12 = 5 + 9, เพราะ
ก 2 + 12= 4 + 34 = 38,
5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄
ส= ก 1 + ก 2 + ก 3 + - -+ หนึ่ง,
อันดับแรก n เงื่อนไขของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เท่ากับผลคูณของผลรวมครึ่งหนึ่งของเงื่อนไขสุดขั้วและจำนวนเงื่อนไข:
จากนี้โดยเฉพาะจะตามมาว่าหากคุณต้องการรวมคำศัพท์
เค, เค +1 , . . . , หนึ่ง,
ดังนั้นสูตรก่อนหน้านี้จะคงโครงสร้างไว้:
ตัวอย่างเช่น,
ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
ส 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = ส 10 - ส 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
ถ้าให้ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แล้ว ปริมาณ ก 1 , หนึ่ง, ง, nและส n เชื่อมต่อกันด้วยสองสูตร:
ดังนั้นหากให้ค่าของสามปริมาณเหล่านี้จากนั้นค่าที่สอดคล้องกันของอีกสองปริมาณจะถูกกำหนดจากสูตรเหล่านี้รวมกันเป็นระบบสองสมการโดยมีสองค่าที่ไม่รู้จัก
ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นลำดับที่ซ้ำซากจำเจ โดยที่:
- ถ้า ง > 0 แล้วมันก็เพิ่มขึ้น;
- ถ้า ง < 0 แล้วมันก็ลดลง;
- ถ้า ง = 0 จากนั้นลำดับก็จะหยุดนิ่ง
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต คือลำดับที่สมาชิกแต่ละตัวเริ่มจากตัวที่สองมีค่าเท่ากับตัวก่อนหน้าคูณด้วยจำนวนเดียวกัน
ข 1 , ข 2 , ข 3 , . . . , บีเอ็น, . . .
คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตหากเป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ n ตรงตามเงื่อนไข:
บีเอ็น +1 = บีเอ็น · ถาม,
ที่ไหน ถาม ≠ 0 - จำนวนหนึ่ง
ดังนั้น อัตราส่วนของเทอมต่อมาของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่กำหนดต่อเทอมก่อนหน้าจึงเป็นจำนวนคงที่:
ข 2 / ข 1 = ข 3 / ข 2 = . . . = บีเอ็น +1 / บีเอ็น = ถาม.
ตัวเลข ถาม เรียกว่า ตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต.
ในการกำหนดความก้าวหน้าทางเรขาคณิต การระบุเทอมแรกและตัวส่วนก็เพียงพอแล้ว
ตัวอย่างเช่น,
ถ้า ข 1 = 1, ถาม = -3 จากนั้นเราจะพบพจน์ห้าคำแรกของลำดับดังนี้:
ข 1 = 1,
ข 2 = ข 1 · ถาม = 1 · (-3) = -3,
ข 3 = ข 2 · ถาม= -3 · (-3) = 9,
ข 4 = ข 3 · ถาม= 9 · (-3) = -27,
ข 5 = ข 4 · ถาม= -27 · (-3) = 81. ◄
ข 1 และตัวส่วน ถาม ของเธอ n คำที่ 3 สามารถพบได้โดยใช้สูตร:
บีเอ็น = ข 1 · qn -1 .
ตัวอย่างเช่น,
หาเทอมที่ 7 ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต 1, 2, 4, . . .
ข 1 = 1, ถาม = 2,
ข 7 = ข 1 · ถาม 6 = 1 2 6 = 64. ◄
บีเอ็น-1 = ข 1 · qn -2 ,
บีเอ็น = ข 1 · qn -1 ,
บีเอ็น +1 = ข 1 · qn,
เห็นได้ชัดว่า
บีเอ็น 2 = บีเอ็น -1 · บีเอ็น +1 ,
สมาชิกแต่ละคนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เริ่มต้นจากวินาที เท่ากับค่าเฉลี่ยเรขาคณิต (สัดส่วน) ของสมาชิกก่อนหน้าและสมาชิกต่อๆ ไป
เนื่องจากการสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน ข้อความต่อไปนี้จึงถือเป็น:
ตัวเลข a, b และ c เป็นพจน์ที่ต่อเนื่องกันของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ถ้าหากกำลังสองของหนึ่งในนั้นเท่ากับผลคูณของอีกสองตัว นั่นคือ หนึ่งในตัวเลขนั้นเป็นค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของอีกสองตัว
ตัวอย่างเช่น,
ให้เราพิสูจน์ว่าลำดับที่กำหนดโดยสูตร บีเอ็น= -3 2 n คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ลองใช้ข้อความข้างต้น เรามี:
บีเอ็น= -3 2 n,
บีเอ็น -1 = -3 2 n -1 ,
บีเอ็น +1 = -3 2 n +1 .
เพราะฉะนั้น,
บีเอ็น 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = บีเอ็น -1 · บีเอ็น +1 ,
ซึ่งพิสูจน์ข้อความที่ต้องการ ◄
โปรดทราบว่า n เทอมที่ 3 ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสามารถพบได้ไม่เพียงแต่ผ่านเท่านั้น ข 1 แต่ยังรวมถึงสมาชิกคนก่อนหน้าด้วย ข ซึ่งก็เพียงพอที่จะใช้สูตร
บีเอ็น = ข · qn - เค.
ตัวอย่างเช่น,
สำหรับ ข 5 สามารถเขียนลงไปได้
ข 5 = ข 1 · ถาม 4 ,
ข 5 = ข 2 · คำถามที่ 3,
ข 5 = ข 3 · คำถามที่ 2,
ข 5 = ข 4 · ถาม. ◄
บีเอ็น = ข · qn - เค,
บีเอ็น = บีเอ็น - เค · คิวเค,
เห็นได้ชัดว่า
บีเอ็น 2 = บีเอ็น - เค· บีเอ็น + เค
กำลังสองของเทอมใดๆ ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต โดยเริ่มจากวินาทีนั้น จะเท่ากับผลคูณของเงื่อนไขของความก้าวหน้านี้ซึ่งมีระยะห่างเท่ากัน
นอกจากนี้ สำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตใดๆ ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง:
ข ม· บีเอ็น= ข· ข,
ม+ n= เค+ ล.
ตัวอย่างเช่น,
ในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
1) ข 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ข 5 · ข 7 ;
2) 1024 = ข 11 = ข 6 · ถาม 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) ข 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ข 4 · ข 8 ;
4) ข 2 · ข 7 = ข 4 · ข 5 , เพราะ
ข 2 · ข 7 = 2 · 64 = 128,
ข 4 · ข 5 = 8 · 16 = 128. ◄
ส= ข 1 + ข 2 + ข 3 + . . . + บีเอ็น
อันดับแรก n สมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีตัวส่วน ถาม ≠ 0 คำนวณโดยสูตร:
และเมื่อ ถาม = 1 - ตามสูตร
ส= ไม่มี 1
โปรดทราบว่าหากคุณต้องการสรุปข้อกำหนด
ข, ข +1 , . . . , บีเอ็น,
จากนั้นจึงใช้สูตร:
| ส- เอสเค -1 = ข + ข +1 + . . . + บีเอ็น = ข · | 1 - qn -
เค +1
| . |
| 1 - ถาม
|
ตัวอย่างเช่น,
ในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
ส 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = ส 10 - ส 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
ถ้าให้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต แสดงว่าปริมาณ ข 1 , บีเอ็น, ถาม, nและ ส เชื่อมต่อกันด้วยสองสูตร:
ดังนั้นหากให้ค่าของสามปริมาณใด ๆ เหล่านี้จากนั้นค่าที่สอดคล้องกันของปริมาณอีกสองปริมาณจะถูกกำหนดจากสูตรเหล่านี้รวมกันเป็นระบบสมการสองสมการที่ไม่ทราบค่าสองตัว
สำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตกับเทอมแรก ข 1 และตัวส่วน ถาม สิ่งต่อไปนี้จะเกิดขึ้น คุณสมบัติของความน่าเบื่อ :
- ความก้าวหน้าจะเพิ่มขึ้นหากตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:
ข 1 > 0 และ ถาม> 1;
ข 1 < 0 และ 0 < ถาม< 1;
- ความก้าวหน้าจะลดลงหากตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:
ข 1 > 0 และ 0 < ถาม< 1;
ข 1 < 0 และ ถาม> 1.
ถ้า ถาม< 0 จากนั้นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะสลับกัน: พจน์ที่เป็นเลขคี่จะมีเครื่องหมายเดียวกันกับเทอมแรก และเทอมที่มีเลขคู่จะมีเครื่องหมายตรงกันข้าม เห็นได้ชัดว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแบบสลับกันนั้นไม่ใช่เรื่องซ้ำซากจำเจ
สินค้าชิ้นแรก n เงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:
พีเอ็น= ข 1 · ข 2 · ข 3 · . . . · บีเอ็น = (ข 1 · บีเอ็น) n / 2 .
ตัวอย่างเช่น,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
ลดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอย่างไม่สิ้นสุด
ลดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอย่างไม่สิ้นสุด เรียกว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอนันต์ซึ่งมีโมดูลัสตัวส่วนน้อยกว่า 1 , นั่นคือ
|ถาม| < 1 .
โปรดทราบว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดอาจไม่ใช่ลำดับที่ลดลง มันเหมาะกับโอกาส
1 < ถาม< 0 .
ด้วยตัวส่วนดังกล่าว ลำดับจึงสลับกัน ตัวอย่างเช่น,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด ตั้งชื่อหมายเลขที่ผลรวมของหมายเลขแรกเข้าใกล้โดยไม่มีขีดจำกัด n สมาชิกของความก้าวหน้าโดยเพิ่มจำนวนได้ไม่จำกัด n - จำนวนนี้มีจำกัดเสมอและแสดงเป็นสูตร
| ส= ข 1 + ข 2 + ข 3 + . . . = | ข 1
| . |
| 1 - ถาม
|
ตัวอย่างเช่น,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
ความสัมพันธ์ระหว่างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และเรขาคณิต
ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และเรขาคณิตมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด ลองดูเพียงสองตัวอย่าง
ก 1 , ก 2 , ก 3 , . . . ง , ที่
ข 1 , ข 2 , ข 3 , . . . ข d .
ตัวอย่างเช่น,
1, 3, 5, . . . - ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีความแตกต่าง 2 และ
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตพร้อมตัวส่วน 7 2 . ◄
ข 1 , ข 2 , ข 3 , . . . - ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตพร้อมตัวส่วน ถาม , ที่
เข้าสู่ระบบ ข 1, เข้าสู่ระบบ ข 2, เข้าสู่ระบบ ข 3, . . . - ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีความแตกต่าง เข้าสู่ระบบถาม .
ตัวอย่างเช่น,
2, 12, 72, . . . - ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตพร้อมตัวส่วน 6 และ
แอลจี 2, แอลจี 12, แอลจี 72, . . . - ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีความแตกต่าง แอลจี 6 . ◄
บทเรียนและการนำเสนอในหัวข้อ: "ลำดับจำนวน ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต"
วัสดุเพิ่มเติม
เรียนผู้ใช้ อย่าลืมแสดงความคิดเห็น บทวิจารณ์ และความปรารถนาของคุณ! วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส
เครื่องช่วยการศึกษาและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ Integral สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 9
เลขยกกำลังและราก ฟังก์ชันและกราฟ
พวกเราวันนี้เราจะมาทำความรู้จักกับความก้าวหน้าอีกประเภทหนึ่ง
หัวข้อของบทเรียนวันนี้คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
คำนิยาม. ลำดับตัวเลขที่แต่ละเทอมเริ่มต้นจากวินาที จะเท่ากับผลคูณของเทอมก่อนหน้า และจำนวนคงที่บางตัวเรียกว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตลองกำหนดลำดับของเราแบบวนซ้ำ: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
โดยที่ b และ q เป็นตัวเลขที่กำหนดแน่นอน เลข q เรียกว่าตัวหารของความก้าวหน้า
ตัวอย่าง. 1,2,4,8,16... ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยที่เทอมแรกเท่ากับ 1 และ $q=2$
ตัวอย่าง. 8,8,8,8... ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยเทอมแรกเท่ากับแปด
และ $q=1$.
ตัวอย่าง. 3,-3,3,-3,3... ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยที่เทอมแรกเท่ากับสาม
และ $q=-1$
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตมีคุณสมบัติของความซ้ำซากจำเจ
ถ้า $b_(1)>0$, $q>1$,
จากนั้นลำดับก็เพิ่มขึ้น
ถ้า $b_(1)>0$, $0 ลำดับมักจะแสดงในรูปแบบ: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$
เช่นเดียวกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ หากในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต จำนวนองค์ประกอบมีจำกัด ความก้าวหน้านั้นเรียกว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจำกัด
$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
โปรดทราบว่าถ้าลำดับเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ลำดับของกำลังสองของเทอมก็ถือเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเช่นกัน ในลำดับที่สอง เทอมแรกเท่ากับ $b_(1)^2$ และตัวส่วนเท่ากับ $q^2$
สูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสามารถระบุได้ในรูปแบบการวิเคราะห์ มาดูวิธีการทำเช่นนี้:$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
เราสังเกตรูปแบบนี้ได้ง่าย: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$
สูตรของเราเรียกว่า "สูตรของเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต"
กลับไปที่ตัวอย่างของเรา
ตัวอย่าง. 1,2,4,8,16... ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยที่เทอมแรกเท่ากับ 1
และ $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.
ตัวอย่าง. 16,8,4,2,1,1/2… ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยที่เทอมแรกเท่ากับสิบหก และ $q=\frac(1)(2)$
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.
ตัวอย่าง. 8,8,8,8... ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยที่เทอมแรกเท่ากับ 8 และ $q=1$
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.
ตัวอย่าง. 3,-3,3,-3,3... ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยที่เทอมแรกเท่ากับ 3 และ $q=-1$
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.
ตัวอย่าง. เมื่อพิจารณาถึงความก้าวหน้าทางเรขาคณิต $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $
ก) เป็นที่รู้กันว่า $b_(1)=6, q=3$. ค้นหา $b_(5)$
b) เป็นที่รู้กันว่า $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. ค้นหา n.
c) เป็นที่รู้กันว่า $q=-2, b_(6)=96$. ค้นหา $b_(1)$
d) เป็นที่รู้กันว่า $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. ค้นหาคิว
สารละลาย.
ก) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
ข) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$ เนื่องจาก $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
ค) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
ง) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.
ตัวอย่าง. ความแตกต่างระหว่างเทอมที่เจ็ดและห้าของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือ 192 ผลรวมของเทอมที่ห้าและหกของความก้าวหน้าคือ 192 จงหาเทอมที่สิบของความก้าวหน้านี้
สารละลาย.
เรารู้ว่า: $b_(7)-b_(5)=192$ และ $b_(5)+b_(6)=192$.
เรายังรู้: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
แล้ว:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
เราได้รับระบบสมการ:
$\begin(กรณี)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(กรณี)$
การเท่ากันสมการของเราที่เราได้รับ:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
เรามีวิธีแก้ปัญหาสองแบบ q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$
แทนตามลำดับในสมการที่สอง:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ ไม่มีวิธีแก้ปัญหา
เราได้มา: $b_(1)=4, q=2$
ลองหาเทอมที่สิบ: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$
ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอันจำกัด
ขอให้เรามีความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอันจำกัด เช่นเดียวกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ลองคำนวณผลรวมของพจน์ของมันกันให้ค่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจำกัด: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$
ให้เราแนะนำการกำหนดสำหรับผลรวมของพจน์: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$
ในกรณีที่ $q=1$ เงื่อนไขทั้งหมดของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเท่ากับเทอมแรก ดังนั้นจะเห็นได้ชัดว่า $S_(n)=n*b_(1)$
ตอนนี้ให้เราพิจารณากรณี $q≠1$
ลองคูณจำนวนข้างต้นด้วย q
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)++b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
บันทึก:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.
$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2 )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
เราได้สูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอันจำกัดแล้ว
ตัวอย่าง.
จงหาผลรวมของเจ็ดเทอมแรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตซึ่งมีเทอมแรกคือ 4 และตัวส่วนคือ 3
สารละลาย.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.
ตัวอย่าง.
ค้นหาเทอมที่ห้าของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ทราบ: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.
สารละลาย.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.
$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1,365q-1365=1,024q-1$
$341q=$1364
$q=4$.
$b_5=b_1*คิว^4=-3*4^4=-3*256=-768$.
คุณสมบัติเฉพาะของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
พวกคุณให้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแล้ว ลองดูสมาชิกสามตัวติดต่อกัน: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$เรารู้ว่า:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
แล้ว:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
หากความก้าวหน้ามีจำกัด ความเท่าเทียมกันนี้จะคงอยู่สำหรับทุกเงื่อนไข ยกเว้นเงื่อนไขแรกและเงื่อนไขสุดท้าย
หากไม่ทราบล่วงหน้าว่าลำดับมีรูปแบบใด แต่ทราบแล้วว่า: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$
แล้วเราก็บอกได้อย่างปลอดภัยว่านี่คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ลำดับตัวเลขเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตก็ต่อเมื่อกำลังสองของสมาชิกแต่ละตัวเท่ากับผลคูณของสมาชิกสองตัวที่อยู่ติดกันของความก้าวหน้า อย่าลืมว่าเงื่อนไขนี้จะไม่เป็นไปตามเงื่อนไขข้อแรกและข้อสุดท้ายสำหรับความก้าวหน้าอย่างจำกัด
ลองดูที่เอกลักษณ์นี้: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ เรียกว่าค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของตัวเลข a และ b
โมดูลัสของเทอมใดๆ ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะเท่ากับค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของเทอมสองเทอมที่อยู่ติดกัน
ตัวอย่าง.
ค้นหา x โดยที่ $x+2; 2x+2; 3x+3$ คือสามเทอมติดต่อกันของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
สารละลาย.
ลองใช้คุณสมบัติลักษณะเฉพาะ:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ และ $x_(2)=-1$.
ให้เราแทนที่คำตอบของเราตามลำดับเป็นนิพจน์ดั้งเดิม:
ด้วย $x=2$ เราได้ลำดับ: 4;6;9 – ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตด้วย $q=1.5$
สำหรับ $x=-1$ เราจะได้ลำดับ: 1;0;0
คำตอบ: $x=2.$
ปัญหาที่ต้องแก้ไขอย่างอิสระ
1. ค้นหาเทอมแรกที่แปดของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต 16;-8;4;-2….2. ค้นหาเทอมที่สิบของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต 11,22,44….
3. เป็นที่รู้กันว่า $b_(1)=5, q=3$. ค้นหา $b_(7)$
4. เป็นที่รู้กันว่า $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. ค้นหา n.
5. จงหาผลรวมของ 11 เทอมแรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต 3;12;48….
6. หา x โดยที่ $3x+4; 2x+4; x+5$ คือเทอมสามเทอมติดต่อกันของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเป็นลำดับตัวเลขรูปแบบใหม่ที่เรากำลังจะคุ้นเคย เพื่อการออกเดทที่ประสบความสำเร็จ อย่างน้อยการรู้และเข้าใจก็ไม่เสียหายอะไร แล้วจะไม่มีปัญหาเรื่องความก้าวหน้าทางเรขาคณิต)
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคืออะไร? แนวคิดเรื่องความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
เราเริ่มทัวร์ตามปกติด้วยพื้นฐาน ฉันเขียนลำดับตัวเลขที่ยังไม่เสร็จ:
1, 10, 100, 1000, 10000, …
คุณสามารถมองเห็นรูปแบบและบอกได้ว่าตัวเลขใดจะมาต่อไป? พริกไทยชัดเจนแล้วเลข 100,000, 1,000,000 และต่อๆ ไปก็จะตามมา แม้จะไม่ต้องใช้ความพยายามอะไรมากมาย ทุกอย่างก็ชัดเจนใช่ไหม?)
ตกลง. ตัวอย่างอื่น. ฉันเขียนลำดับนี้:
1, 2, 4, 8, 16, …
บอกได้ไหมว่าเลขไหนจะมาต่อไปตามเลข 16 และชื่อ ที่แปดสมาชิกลำดับ? ถ้าคิดออกว่าจะเป็นเลข 128 ก็ถือว่าดีมาก ครึ่งหนึ่งของการต่อสู้อยู่ที่ความเข้าใจ ความหมายและ ประเด็นสำคัญความก้าวหน้าทางเรขาคณิตได้เสร็จสิ้นแล้ว คุณสามารถเติบโตต่อไปได้)
และตอนนี้เราย้ายจากความรู้สึกไปสู่คณิตศาสตร์ที่เข้มงวดอีกครั้ง
ประเด็นสำคัญของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
จุดสำคัญ #1
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือ ลำดับของตัวเลขความก้าวหน้าก็เช่นกัน ไม่มีอะไรแฟนซี ลำดับนี้เท่านั้นที่จัดไว้ แตกต่างกันดังนั้นจึงมีชื่อที่แตกต่างกันออกไป ใช่แล้ว...
จุดสำคัญ #2
ด้วยประเด็นสำคัญประการที่สอง คำถามจะซับซ้อนมากขึ้น ย้อนกลับไปสักหน่อยแล้วจำคุณสมบัติหลักของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กัน นี่คือ: สมาชิกแต่ละคนมีความแตกต่างจากสมาชิกคนก่อน ด้วยจำนวนที่เท่ากัน
เป็นไปได้ไหมที่จะกำหนดคุณสมบัติหลักที่คล้ายกันสำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต? คิดสักนิด... ลองดูตัวอย่างที่ให้มาโดยละเอียด คุณเดาได้ไหม? ใช่! ในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต (มีก็ได้!) สมาชิกแต่ละคนจะแตกต่างจากสมาชิกก่อนหน้า จำนวนครั้งเท่ากันเสมอ!
ในตัวอย่างแรก ตัวเลขนี้คือสิบ ไม่ว่าคุณจะเลือกสมาชิกของลำดับใด มันจะมากกว่าลำดับก่อนหน้า สิบครั้ง.
ในตัวอย่างที่สอง มันคือสอง: แต่ละเทอมมีค่ามากกว่าเทอมก่อนหน้า สองครั้ง.
นี่คือประเด็นสำคัญที่ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแตกต่างจากความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ จะได้แต่ละพจน์ที่ตามมา โดยการเพิ่มค่าเดียวกันกับคำก่อนหน้า และที่นี่ - การคูณงวดก่อนด้วยจำนวนเท่ากัน นั่นคือความแตกต่างทั้งหมด)
จุดสำคัญ #3
ประเด็นสำคัญนี้เหมือนกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์โดยสิ้นเชิง กล่าวคือ: สมาชิกแต่ละคนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตยืนอยู่ในตำแหน่งของมันทุกอย่างเหมือนกันทุกประการกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และความคิดเห็นที่ฉันคิดว่าไม่จำเป็น มีเทอมแรกมีร้อยเอ็ดเป็นต้น ให้เราสลับกันอย่างน้อยสองเทอม รูปแบบ (และความก้าวหน้าทางเรขาคณิตด้วย) จะหายไป สิ่งที่เหลืออยู่เป็นเพียงลำดับตัวเลขโดยไม่มีตรรกะใดๆ
นั่นคือทั้งหมดที่ นั่นคือจุดรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ข้อกำหนดและการกำหนด
แต่ตอนนี้ เมื่อเข้าใจความหมายและประเด็นสำคัญของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแล้ว เราก็สามารถไปยังทฤษฎีได้ ไม่เช่นนั้นทฤษฎีจะเป็นอย่างไรหากไม่เข้าใจความหมายใช่ไหม?
จะแสดงถึงความก้าวหน้าทางเรขาคณิตได้อย่างไร?
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเขียนในรูปแบบทั่วไปอย่างไร ไม่มีปัญหา! แต่ละเทอมของความก้าวหน้าก็เขียนเป็นตัวอักษรด้วย สำหรับการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เท่านั้น โดยปกติจะใช้ตัวอักษร "เอ", สำหรับเรขาคณิต – ตัวอักษร "ข" หมายเลขสมาชิกตามปกติจะถูกระบุ ดัชนีที่มุมขวาล่าง- เราเพียงแต่แสดงรายชื่อสมาชิกของความก้าวหน้า โดยคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาคหรืออัฒภาค
แบบนี้:
ข 1,ข 2 , ข 3 , ข 4 , ข 5 , ข 6 , …
ความก้าวหน้านี้เขียนโดยย่อดังนี้: (บีเอ็น) .
หรือเช่นนี้เพื่อความก้าวหน้าอันจำกัด:
ข 1, ข 2, ข 3, ข 4, ข 5, ข 6
ข 1 ข 2 … ข 29 ข 30
หรือกล่าวโดยย่อ:
(บีเอ็น), n=30 .
อันที่จริงมันคือการกำหนดทั้งหมด ทุกอย่างเหมือนกันต่างกันแค่ตัวอักษรเท่านั้นใช่) และตอนนี้เราเข้าสู่คำจำกัดความโดยตรง
คำจำกัดความของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือลำดับตัวเลขโดยที่เทอมแรกไม่เป็นศูนย์ และแต่ละเทอมต่อมาจะเท่ากับเทอมก่อนหน้าคูณด้วยจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์เดียวกัน
นั่นคือคำจำกัดความทั้งหมด คำและวลีส่วนใหญ่ชัดเจนและคุ้นเคยสำหรับคุณ แน่นอนว่าหากคุณเข้าใจความหมายของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต "บนนิ้วของคุณ" และโดยทั่วไปแล้ว แต่ก็มีวลีใหม่สองสามวลีที่ฉันอยากจะให้ความสนใจเป็นพิเศษ
ประการแรกคำว่า: “สมาชิกคนแรกของที่ ไม่ใช่ศูนย์".
ข้อจำกัดนี้ในระยะแรกไม่ได้เกิดขึ้นโดยบังเอิญ คุณคิดว่าจะเกิดอะไรขึ้นถ้าสมาชิกคนแรก ข 1 จะเท่ากับศูนย์ใช่ไหม? เทอมที่สองจะเท่ากับอะไรถ้าแต่ละเทอมมากกว่าเทอมก่อนหน้า? จำนวนครั้งเท่ากันเหรอ?สมมติว่าสามครั้ง? มาดูกัน... คูณเทอมแรก (เช่น 0) ด้วย 3 แล้วได้... ศูนย์! แล้วสมาชิกคนที่สามล่ะ? ยังเป็นศูนย์! และเทอมที่สี่ก็เป็นศูนย์ด้วย! และอื่นๆ...
เราเพิ่งได้เบเกิลหนึ่งถุง ลำดับของเลขศูนย์:
0, 0, 0, 0, …
แน่นอนว่าลำดับดังกล่าวมีสิทธิที่จะมีชีวิต แต่ก็ไม่มีประโยชน์ในทางปฏิบัติ ทุกอย่างชัดเจน. สมาชิกใดๆ ของมันคือศูนย์ ผลรวมของเงื่อนไขจำนวนเท่าใดก็ได้เป็นศูนย์... คุณสามารถทำอะไรที่น่าสนใจได้บ้าง? ไม่มีอะไร…
คำสำคัญต่อไปนี้: "คูณด้วยจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์เท่าเดิม"
หมายเลขเดียวกันนี้ก็มีชื่อพิเศษของตัวเองเช่นกัน - ตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต- มาเริ่มทำความรู้จักกันดีกว่า)
ตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ทุกอย่างง่ายเหมือนปลอกลูกแพร์
ตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือตัวเลข (หรือปริมาณ) ที่ไม่ใช่ศูนย์ที่ระบุกี่ครั้งแต่ละระยะของความก้าวหน้า มากกว่าครั้งก่อน
เช่นเดียวกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ คำสำคัญที่ต้องมองหาในคำจำกัดความนี้คือคำว่า "มากกว่า"- หมายความว่าจะได้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแต่ละเทอม การคูณถึงตัวส่วนนี้เอง สมาชิกคนก่อน.
ให้ฉันอธิบาย.
ในการคำนวณสมมติว่า ที่สองดิ๊ก จำเป็นต้องเอา อันดับแรกสมาชิกและ คูณไปที่ตัวส่วน สำหรับการคำนวณ ที่สิบดิ๊ก จำเป็นต้องเอา เก้าสมาชิกและ คูณไปที่ตัวส่วน
ตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนั้นสามารถเป็นอะไรก็ได้ ใครก็ได้แน่นอน! ทั้งหมด, เศษส่วน, บวก, ลบ, ไม่ลงตัว - ทุกอย่าง ยกเว้นศูนย์ นี่คือสิ่งที่คำว่า "ไม่เป็นศูนย์" ในคำจำกัดความบอกเรา เหตุใดจึงต้องมีคำนี้ที่นี่ - มีรายละเอียดเพิ่มเติมในภายหลัง
ตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตส่วนใหญ่มักระบุด้วยจดหมาย ถาม.
จะหาได้อย่างไร ถาม- ไม่มีปัญหา! เราต้องใช้เวลาระยะหนึ่งของความก้าวหน้าและ หารด้วยเทอมก่อนหน้า- ส่วนที่เป็น เศษส่วน- ดังนั้นชื่อ - "ตัวส่วนความก้าวหน้า" ตัวส่วนมักจะอยู่ในเศษส่วน ใช่...) แม้ว่าตามตรรกะแล้ว ค่าก็ตาม ถามควรจะเรียกว่า ส่วนตัวความก้าวหน้าทางเรขาคณิต คล้ายกับ ความแตกต่างเพื่อความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ แต่เราตกลงที่จะโทร ตัวส่วน- และเราจะไม่สร้างวงล้อขึ้นมาใหม่เช่นกัน)
ให้เรากำหนด เช่น ปริมาณ ถามสำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนี้:
2, 6, 18, 54, …
ทุกอย่างเป็นระดับประถมศึกษา เอาล่ะ ใดๆลำดับหมายเลข. เราเอาอะไรก็ตามที่เราต้องการ ยกเว้นอันแรกสุด เช่น 18. และหารด้วย หมายเลขก่อนหน้า- นั่นก็คือตอน 6 โมง
เราได้รับ:
ถาม = 18/6 = 3
นั่นคือทั้งหมดที่ นี่คือคำตอบที่ถูกต้อง สำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนี้ ตัวส่วนคือสาม
ทีนี้ลองหาตัวส่วน ถามสำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอีกอย่างหนึ่ง ตัวอย่างเช่นอันนี้:
1, -2, 4, -8, 16, …
เหมือนกันทั้งหมด. ไม่ว่าสมาชิกจะมีสัญญาณอะไรเราก็ยังรับอยู่ ใดๆจำนวนลำดับ (เช่น 16) และหารด้วย หมายเลขก่อนหน้า(เช่น -8)
เราได้รับ:
ง = 16/(-8) = -2
แค่นั้นแหละ.) คราวนี้ตัวหารของความก้าวหน้ากลายเป็นลบ ลบสอง. เกิดขึ้น)
ตอนนี้เรามาดูความก้าวหน้านี้กันดีกว่า:
1, 1/3, 1/9, 1/27, …
และอีกครั้ง ไม่ว่าตัวเลขในลำดับจะเป็นประเภทใดก็ตาม (ไม่ว่าจะเป็นจำนวนเต็ม เศษส่วนคู่ หรือจำนวนลบ หรือจำนวนตรรกยะ) เราจะนำตัวเลขใดๆ ก็ตาม (เช่น 1/9) แล้วหารด้วยตัวเลขก่อนหน้า (1/3) ตามกฎสำหรับการทำงานกับเศษส่วนแน่นอน
เราได้รับ:
แค่นั้นแหละ.) ตัวส่วนกลายเป็นเศษส่วนที่นี่: ถาม = 1/3.
คุณคิดอย่างไรกับ "ความก้าวหน้า" นี้?
3, 3, 3, 3, 3, …
เห็นได้ชัดว่าที่นี่ ถาม = 1 - อย่างเป็นทางการ นี่เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตด้วยเท่านั้น สมาชิกที่เหมือนกัน.) แต่ความก้าวหน้าดังกล่าวไม่น่าสนใจสำหรับการศึกษาและการประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติ เช่นเดียวกับความก้าวหน้าที่มีศูนย์ทึบ ดังนั้นเราจะไม่พิจารณาพวกเขา
อย่างที่คุณเห็น ตัวส่วนของความก้าวหน้าสามารถเป็นอะไรก็ได้ - จำนวนเต็ม เศษส่วน บวก ลบ - อะไรก็ได้! มันไม่สามารถเป็นศูนย์ได้ เดาไม่ถูกว่าทำไม?
ลองใช้ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงเพื่อดูว่าจะเกิดอะไรขึ้นหากเราเป็นตัวส่วน ถามศูนย์) ยกตัวอย่างให้เรามี ข 1 = 2 , ก ถาม = 0 - แล้วเทอมที่สองจะเท่ากับอะไร?
เรานับ:
ข 2 = ข 1 · ถาม= 2 0 = 0
แล้วสมาชิกคนที่สามล่ะ?
ข 3 = ข 2 · ถาม= 0 0 = 0
ประเภทและพฤติกรรมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ทุกอย่างชัดเจนไม่มากก็น้อย: หากความก้าวหน้าแตกต่างกัน งเป็นบวก แล้วความก้าวหน้าก็จะเพิ่มขึ้น หากความแตกต่างเป็นลบ ความก้าวหน้าจะลดลง มีเพียงสองตัวเลือกเท่านั้น ไม่มีที่สาม)
แต่ด้วยพฤติกรรมความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ทุกอย่างจะน่าสนใจและหลากหลายมากขึ้น!)
ไม่ว่าเงื่อนไขจะมีพฤติกรรมอย่างไรที่นี่: พวกมันเพิ่มขึ้นและลดลงและเข้าใกล้ศูนย์อย่างไม่มีกำหนดและแม้กระทั่งเปลี่ยนสัญญาณสลับกันโยนตัวเองเข้าไปใน "บวก" แล้วจึงเข้าสู่ "ลบ"! และในความหลากหลายทั้งหมดนี้ คุณต้องสามารถเข้าใจได้ดี ใช่...
ลองคิดดูสิ?) เริ่มจากกรณีที่ง่ายที่สุดกันก่อน
ตัวส่วนเป็นบวก ( ถาม >0)
ด้วยตัวส่วนบวก อย่างแรก เงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสามารถเข้าได้ บวกกับอนันต์(กล่าวคือเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจำกัด) และสามารถเข้าไปได้ ลบอนันต์(เช่น ลดลงอย่างไม่มีขีดจำกัด) เราคุ้นเคยกับพฤติกรรมแห่งความก้าวหน้านี้แล้ว
ตัวอย่างเช่น:
(บีเอ็น): 1, 2, 4, 8, 16, …
ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่ แต่ละระยะของความก้าวหน้าจะได้รับ มากขึ้นกว่าเดิม- ยิ่งกว่านั้นแต่ละเทอมจะเปิดออก การคูณสมาชิกคนก่อนหน้าบน เชิงบวกหมายเลข +2 (เช่น ถาม = 2 - พฤติกรรมของความก้าวหน้านั้นชัดเจน: สมาชิกทุกคนของความก้าวหน้าเติบโตอย่างไร้ขีดจำกัด และเข้าสู่อวกาศ บวกกับความไม่มีที่สิ้นสุด...
และตอนนี้นี่คือความคืบหน้า:
(บีเอ็น): -1, -2, -4, -8, -16, …
ที่นี่ก็ได้รับความก้าวหน้าแต่ละระยะเช่นกัน การคูณสมาชิกคนก่อนหน้าบน เชิงบวกหมายเลข +2 แต่พฤติกรรมของความก้าวหน้าดังกล่าวกลับตรงกันข้าม: จะได้รับแต่ละระยะของความก้าวหน้า น้อยกว่าครั้งก่อนและพจน์ทั้งหมดลดลงอย่างไม่มีขีดจำกัด ไปจนถึงลบอนันต์
ทีนี้ลองมาคิดว่า: ความก้าวหน้าทั้งสองนี้มีอะไรเหมือนกัน? ถูกต้องแล้ว ตัวส่วน! ที่นี่และที่นั่น ถาม = +2 . จำนวนบวกสอง. และที่นี่ พฤติกรรมความก้าวหน้าทั้งสองนี้มีความแตกต่างกันโดยพื้นฐาน! เดาไม่ถูกว่าทำไม? ใช่! มันคือทั้งหมดที่เกี่ยวกับ สมาชิกคนแรก!อย่างที่พวกเขาพูดกันว่าใครเป็นคนร้องทำนอง) ดูด้วยตัวคุณเอง
ในกรณีแรก ระยะแรกของความก้าวหน้า เชิงบวก(+1) และดังนั้น เงื่อนไขต่อมาทั้งหมดที่ได้รับจากการคูณด้วย เชิงบวกตัวส่วน ถาม = +2 จะเป็นเช่นกัน เชิงบวก.
แต่ในกรณีที่สอง เทอมแรก เชิงลบ(-1) ดังนั้นเงื่อนไขการก้าวหน้าที่ตามมาทั้งหมดที่ได้จากการคูณด้วย เชิงบวก ถาม = +2 จะได้รับเช่นกัน เชิงลบ.เพราะ "ลบ" ถึง "บวก" จะให้ "ลบ" เสมอใช่)
อย่างที่คุณเห็น ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนั้นแตกต่างจากความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ตรงที่มีพฤติกรรมแตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง ไม่เพียงแต่ขึ้นอยู่กับ จากตัวส่วนถามแต่ยังขึ้นอยู่กับ จากสมาชิกคนแรก, ใช่.)
ข้อควรจำ: พฤติกรรมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนั้นถูกกำหนดโดยเฉพาะจากเทอมแรก ข 1 และตัวส่วนถาม .
และตอนนี้เราเริ่มวิเคราะห์กรณีที่คุ้นเคยน้อยลง แต่มีกรณีที่น่าสนใจมากขึ้น!
ยกตัวอย่างลำดับนี้:
(บีเอ็น): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …
ลำดับนี้ก็เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเช่นกัน! แต่ละวาระของความก้าวหน้านี้ก็ปรากฏเช่นกัน การคูณสมาชิกคนก่อนด้วยหมายเลขเดียวกัน มันเป็นเพียงตัวเลข - เศษส่วน: ถาม = +1/2 - หรือ +0,5 - ยิ่งไปกว่านั้น (สำคัญ!) ตัวเลข น้อยกว่าหนึ่ง:ถาม = 1/2<1.
เหตุใดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนี้จึงน่าสนใจ สมาชิกจะมุ่งหน้าไปไหน? มาดูกันดีกว่า:
1/2 = 0,5;
1/4 = 0,25;
1/8 = 0,125;
1/16 = 0,0625;
…….
คุณสังเกตเห็นสิ่งที่น่าสนใจอะไรบ้างที่นี่? ประการแรก การลดลงในแง่ของความก้าวหน้าจะเห็นได้ทันที: สมาชิกแต่ละคน น้อยอันที่แล้วอย่างแน่นอน 2 ครั้ง.หรือตามคำจำกัดความของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตในแต่ละเทอม มากกว่าก่อนหน้า 1/2 ครั้ง, เพราะ ตัวส่วนความก้าวหน้า ถาม = 1/2 - และเมื่อคูณด้วยจำนวนบวกที่น้อยกว่าหนึ่ง ผลลัพธ์ก็มักจะลดลง ใช่...
อะไร มากกว่าสามารถเห็นได้จากพฤติกรรมของความก้าวหน้านี้หรือไม่? สมาชิกลดลงหรือเปล่า? ไม่ จำกัดจะไปลบอนันต์เหรอ? เลขที่! พวกเขาหายไปในลักษณะพิเศษ ในตอนแรกจะลดลงอย่างรวดเร็ว และต่อมาก็ช้าลงเรื่อยๆ และในขณะที่ยังคงอยู่ตลอดเวลา เชิงบวก- แม้จะเล็กมากก็ตาม และพวกเขาต่อสู้เพื่ออะไร? คุณไม่เดาเหรอ? ใช่! พวกเขามุ่งมั่นสู่ศูนย์!) ยิ่งไปกว่านั้น โปรดใส่ใจ สมาชิกในความก้าวหน้าของเรานั้นมาจากศูนย์ ไม่ถึง!เท่านั้น เข้ามาใกล้เขาอย่างไม่สิ้นสุด. มันสำคัญมาก.)
สถานการณ์ที่คล้ายกันจะเกิดขึ้นในการดำเนินการต่อไปนี้:
(บีเอ็น): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …
ที่นี่ ข 1 = -1 , ก ถาม = 1/2 - ทุกอย่างเหมือนเดิม เฉพาะตอนนี้เงื่อนไขจะเข้าใกล้ศูนย์จากอีกด้านหนึ่งจากด้านล่าง อยู่ตลอดเวลา เชิงลบ.)
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตดังกล่าวซึ่งเงื่อนไขดังกล่าว เข้าใกล้ศูนย์โดยไม่มีขีดจำกัด(ไม่ว่าจะมาจากด้านบวกหรือด้านลบก็ตาม) ในทางคณิตศาสตร์มีชื่อพิเศษว่า - ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตลดลงอย่างไม่สิ้นสุดความก้าวหน้านี้น่าสนใจและแปลกประหลาดมากจนต้องพูดถึงด้วยซ้ำ บทเรียนแยกต่างหาก .)
ดังนั้นเราจึงพิจารณาความเป็นไปได้ทั้งหมดแล้ว เชิงบวกตัวส่วนมีทั้งตัวใหญ่และตัวเล็ก เราไม่ถือว่าหน่วยเป็นตัวส่วนด้วยเหตุผลที่ระบุไว้ข้างต้น (จำตัวอย่างที่มีลำดับแฝดสาม...)
สรุป:
เชิงบวกและ มากกว่าหนึ่ง (ถาม>1) จากนั้นเงื่อนไขของความก้าวหน้า:
ก) เพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจำกัด (ถ้าข 1 >0);
b) ลดลงอย่างไม่มีขีดจำกัด (ถ้าข 1 <0).
ถ้าตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เชิงบวก และ น้อยกว่าหนึ่ง (0< ถาม<1), то члены прогрессии:
ก) ใกล้กับศูนย์อย่างไม่สิ้นสุด ข้างบน(ถ้าข 1 >0);
b) ใกล้ศูนย์อย่างไม่มีที่สิ้นสุด จากด้านล่าง(ถ้าข 1 <0).
ตอนนี้ยังคงต้องพิจารณาคดีต่อไป ตัวส่วนลบ
ตัวส่วนเป็นลบ ( ถาม <0)
เราจะไม่ไปไกลเป็นตัวอย่าง ทำไมคุณย่าขนดกกันแน่?!) ยกตัวอย่างระยะแรกของความก้าวหน้า ข 1 = 1 และลองหาตัวส่วนกัน คิว = -2.
เราได้รับลำดับต่อไปนี้:
(บีเอ็น): 1, -2, 4, -8, 16, …
เป็นต้น.) แต่ละระยะของความก้าวหน้าจะได้รับ การคูณสมาชิกคนก่อนหน้าบน จำนวนลบ-2. ในกรณีนี้ สมาชิกทุกคนที่ยืนอยู่ในตำแหน่งคี่ (อันดับหนึ่ง สาม ห้า ฯลฯ) จะเป็นเช่นนี้ เชิงบวกและในสถานที่คู่ (ที่สอง สี่ ฯลฯ) – เชิงลบ.ป้ายสลับกันอย่างเคร่งครัด บวก-ลบ-บวก-ลบ... ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนี้เรียกว่า - เครื่องหมายที่เพิ่มขึ้นสลับกัน
สมาชิกจะมุ่งหน้าไปไหน? แต่ไม่มีที่ไหนเลย) ใช่ ในค่าสัมบูรณ์ (เช่น โมดูโล่)สมาชิกของความก้าวหน้าของเราเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจำกัด (จึงเป็นที่มาของชื่อ “การเพิ่มขึ้น”) แต่ในขณะเดียวกัน สมาชิกแต่ละคนของความก้าวหน้าก็โยนคุณเข้าสู่ความร้อนแล้วเข้าสู่ความเย็นสลับกัน ไม่ว่าจะ "บวก" หรือ "ลบ" ความก้าวหน้าของเรานั้นไม่แน่นอน... นอกจากนี้ ขอบเขตของความผันผวนก็เพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วในแต่ละก้าว ใช่แล้ว) ดังนั้น ความปรารถนาของสมาชิกความก้าวหน้าจึงไปที่ไหนสักแห่ง โดยเฉพาะที่นี่ เลขที่ไม่ว่าจะบวกอนันต์ หรือลบอนันต์ หรือศูนย์ - ไม่มีเลย
ตอนนี้ให้เราพิจารณาตัวส่วนที่เป็นเศษส่วนระหว่างศูนย์ถึงลบหนึ่ง
เช่น ปล่อยให้มันเป็นไป ข 1 = 1 , ก คิว = -1/2.
จากนั้นเราจะได้รับความก้าวหน้า:
(บีเอ็น): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …
และเรามีสัญญาณสลับกันอีกครั้ง! แต่แตกต่างจากตัวอย่างก่อนหน้านี้ ที่นี่มีแนวโน้มที่ชัดเจนอยู่แล้วสำหรับเงื่อนไขที่จะเข้าใกล้ศูนย์) เฉพาะครั้งนี้ เงื่อนไขของเราเข้าใกล้ศูนย์เท่านั้น ไม่ใช่อย่างเคร่งครัดจากด้านบนหรือด้านล่าง แต่อีกครั้ง ลังเล- สลับกันรับค่าบวกและค่าลบ แต่ในขณะเดียวกันพวกเขาก็ โมดูลกำลังเข้าใกล้ศูนย์อันเป็นที่รักมากขึ้นเรื่อยๆ)
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนี้เรียกว่า เครื่องหมายลดลงไม่สิ้นสุดสลับกัน
เหตุใดสองตัวอย่างนี้จึงน่าสนใจ และความจริงที่ว่าทั้งสองกรณีเกิดขึ้น ป้ายสลับ!เคล็ดลับนี้เป็นเรื่องปกติสำหรับความก้าวหน้าที่มีตัวส่วนเป็นลบเท่านั้น) ดังนั้น หากในบางงานคุณเห็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีเทอมสลับกัน คุณจะรู้แน่นอนว่าตัวส่วนของมันเป็นลบ 100% และคุณจะไม่ทำผิดพลาด ในป้าย)
อย่างไรก็ตาม ในกรณีของตัวส่วนลบ เครื่องหมายของเทอมแรกจะไม่ส่งผลกระทบต่อพฤติกรรมของความก้าวหน้าเลย โดยไม่คำนึงถึงสัญญาณของระยะแรกของความก้าวหน้า ไม่ว่าในกรณีใด ๆ จะต้องสังเกตสัญญาณของเงื่อนไข คำถามเดียวก็คือ ในสถานที่ใดบ้าง(คู่หรือคี่) จะมีสมาชิกที่มีเครื่องหมายเฉพาะ
จดจำ:
ถ้าตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เชิงลบ แล้วสัญญาณของเงื่อนไขความก้าวหน้าอยู่เสมอ สลับกัน
ขณะเดียวกันสมาชิกเองก็:
ก) เพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจำกัดโมดูโล่, ถ้าถาม<-1;
b) เข้าใกล้ศูนย์อย่างไม่สิ้นสุดถ้า -1< ถาม<0 (прогрессия бесконечно убывающая).
นั่นคือทั้งหมดที่ กรณีทั่วไปทั้งหมดได้รับการวิเคราะห์แล้ว)
ในกระบวนการวิเคราะห์ตัวอย่างความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่หลากหลาย ฉันใช้คำว่า: "มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์", "มีแนวโน้มที่จะบวกอนันต์", "มีแนวโน้มที่จะลบอนันต์"... ไม่เป็นไร) คำพูดเหล่านี้ (และตัวอย่างเฉพาะเจาะจง) เป็นเพียงการแนะนำเบื้องต้นเท่านั้น พฤติกรรมลำดับตัวเลขที่หลากหลาย โดยใช้ตัวอย่างความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ทำไมเราต้องรู้ถึงพฤติกรรมของความก้าวหน้าด้วย? เธอไปทำอะไรให้แตกต่าง? มุ่งสู่ศูนย์ บวกอนันต์ ลบอนันต์... สิ่งนี้ส่งผลอะไรกับเราบ้าง?
ประเด็นก็คือ ในมหาวิทยาลัยในหลักสูตรคณิตศาสตร์ขั้นสูง คุณจะต้องมีความสามารถในการทำงานกับลำดับตัวเลขที่หลากหลาย (กับลำดับใดๆ ก็ได้ ไม่ใช่แค่ความก้าวหน้าเท่านั้น!) และความสามารถในการจินตนาการได้อย่างแน่ชัดว่าลำดับนี้หรือลำดับนั้นเป็นอย่างไร ประพฤติ - ไม่ว่าจะเพิ่มขึ้นไม่ว่าจะลดลงไม่ จำกัด ไม่ว่าจะมีแนวโน้มเป็นจำนวนเฉพาะ (และไม่จำเป็นต้องเป็นศูนย์) หรือแม้กระทั่งไม่มีแนวโน้มอะไรเลย... ส่วนทั้งหมดมีไว้สำหรับหัวข้อนี้ในหลักสูตรคณิตศาสตร์ การวิเคราะห์ - ทฤษฎีขีดจำกัดและโดยเฉพาะอย่างยิ่งอีกเล็กน้อย - แนวคิด ขีดจำกัดของลำดับหมายเลขหัวข้อที่น่าสนใจมาก! สมควรไปเรียนมหาวิทยาลัยแล้วคิดออก)
ตัวอย่างบางส่วนจากส่วนนี้ (ลำดับที่มีขีดจำกัด) และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตลดลงอย่างไม่สิ้นสุดพวกเขาเริ่มคุ้นเคยกับมันที่โรงเรียน เราเริ่มคุ้นเคยแล้ว)
นอกจากนี้ความสามารถในการศึกษาพฤติกรรมของลำดับได้ดีจะเป็นประโยชน์ต่อคุณอย่างมากในอนาคตและจะมีประโยชน์มากด้วย การวิจัยฟังก์ชั่นมีความหลากหลายมากที่สุด แต่ความสามารถในการทำงานกับฟังก์ชันต่างๆ ได้อย่างมีประสิทธิภาพ (คำนวณอนุพันธ์ ศึกษามันอย่างครบถ้วน สร้างกราฟ) ทำให้ระดับทางคณิตศาสตร์ของคุณเพิ่มขึ้นอย่างมาก! คุณมีข้อสงสัยหรือไม่? ไม่จำเป็น. จำคำพูดของฉันด้วย)
มาดูความก้าวหน้าทางเรขาคณิตในชีวิตกัน?
ในชีวิตรอบตัวเรา เราเผชิญกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตบ่อยครั้งมาก ถึงแม้จะไม่รู้ก็ตาม)
ตัวอย่างเช่น จุลินทรีย์ต่างๆ ที่ล้อมรอบเราทุกที่ในปริมาณมหาศาล และเราไม่สามารถมองเห็นได้หากไม่มีกล้องจุลทรรศน์ จะทวีคูณอย่างแม่นยำในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
สมมติว่าแบคทีเรียตัวหนึ่งแพร่พันธุ์โดยการแบ่งครึ่ง และให้ลูกหลานออกเป็นแบคทีเรีย 2 ตัว ในทางกลับกันเมื่อคูณแต่ละตัวก็แบ่งครึ่งด้วยทำให้มีแบคทีเรีย 4 ตัวร่วมกัน รุ่นต่อไปจะผลิตแบคทีเรีย 8 ตัว ตามด้วย 16 ตัว 32, 64 ตัวและอื่นๆ ในแต่ละรุ่นต่อๆ ไป จำนวนแบคทีเรียจะเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า ตัวอย่างทั่วไปของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต)
นอกจากนี้ แมลงบางชนิด เช่น เพลี้ยอ่อนและแมลงวัน ยังเพิ่มจำนวนทวีคูณอีกด้วย และบางครั้งก็มีกระต่ายด้วย)
อีกตัวอย่างหนึ่งของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ใกล้ชิดกับชีวิตประจำวันมากขึ้นคือสิ่งที่เรียกว่า ดอกเบี้ยทบต้น.ปรากฏการณ์ที่น่าสนใจนี้มักพบในเงินฝากธนาคารและเรียกว่า การใช้อักษรตัวพิมพ์ใหญ่ของดอกเบี้ยมันคืออะไร?
แน่นอนว่าคุณยังเด็กอยู่ คุณเรียนที่โรงเรียน คุณไม่ได้ไปธนาคาร แต่พ่อแม่ของคุณเป็นผู้ใหญ่และเป็นอิสระแล้ว พวกเขาไปทำงาน หาเงินสำหรับอาหารประจำวัน และนำเงินส่วนหนึ่งไปฝากธนาคาร เพื่อประหยัดเงิน)
สมมติว่าพ่อของคุณต้องการประหยัดเงินจำนวนหนึ่งสำหรับวันหยุดพักผ่อนของครอบครัวในตุรกีและนำเงิน 50,000 รูเบิลเข้าธนาคารที่ 10% ต่อปีเป็นระยะเวลาสามปี ด้วยการแปลงดอกเบี้ยเป็นรายปียิ่งไปกว่านั้น ในช่วงเวลาทั้งหมดนี้ ไม่สามารถดำเนินการใด ๆ กับการฝากเงินได้ คุณไม่สามารถเติมเงินหรือถอนเงินออกจากบัญชีได้ เขาจะทำกำไรได้เท่าไหร่หลังจากสามปีนี้?
ก่อนอื่น เราต้องหาว่า 10% ต่อปีเป็นเท่าใด มันหมายความว่าอย่างนั้น ในหนึ่งปีธนาคารจะเพิ่ม 10% ของจำนวนเงินฝากเริ่มแรก จากสิ่งที่? แน่นอนจาก จำนวนเงินฝากเริ่มต้น
เราคำนวณขนาดของบัญชีหลังจากหนึ่งปี หากจำนวนเงินฝากเริ่มต้นคือ 50,000 รูเบิล (เช่น 100%) หลังจากนั้นหนึ่งปีดอกเบี้ยในบัญชีจะเป็นเท่าใด ถูกต้อง 110%! จาก 50,000 รูเบิล
ดังนั้นเราจึงคำนวณ 110% ของ 50,000 รูเบิล:
50,000·1.1 = 55,000 รูเบิล
ฉันหวังว่าคุณจะเข้าใจว่าการค้นหา 110% ของค่าหมายถึงการคูณค่านั้นด้วยตัวเลข 1.1 หากคุณไม่เข้าใจว่าทำไมถึงเป็นเช่นนั้น ให้จำเกรดห้าและหกไว้ กล่าวคือ – การเชื่อมต่อระหว่างเปอร์เซ็นต์ เศษส่วน และเศษส่วน)
ดังนั้นการเพิ่มขึ้นในปีแรกจะเป็น 5,000 รูเบิล
อีกสองปีจะมีเงินเข้าบัญชีเท่าไหร่? 60,000 รูเบิล? น่าเสียดาย (หรือค่อนข้างโชคดี) ทุกอย่างไม่ง่ายนัก เคล็ดลับทั้งหมดของการแปลงดอกเบี้ยเป็นทุนคือเมื่อมีดอกเบี้ยใหม่แต่ละครั้ง ดอกเบี้ยเดียวกันเหล่านี้จะได้รับการพิจารณาแล้ว จากจำนวนเงินใหม่!จากผู้ที่ เรียบร้อยแล้วอยู่ในบัญชี ในขณะนี้.และดอกเบี้ยที่เกิดขึ้นสำหรับงวดก่อนหน้าจะถูกบวกเข้ากับจำนวนเงินฝากเดิม และด้วยเหตุนี้ ตัวมันเองจึงมีส่วนร่วมในการคำนวณดอกเบี้ยใหม่! นั่นคือพวกเขาจะกลายเป็นส่วนหนึ่งของบัญชีโดยรวมโดยสมบูรณ์ หรือทั่วไป เมืองหลวง.จึงได้ชื่อว่า- การใช้อักษรตัวพิมพ์ใหญ่ของดอกเบี้ย
มันอยู่ในเศรษฐศาสตร์ และในทางคณิตศาสตร์เรียกว่าเปอร์เซ็นต์ดังกล่าว ดอกเบี้ยทบต้น.หรือ เปอร์เซ็นต์ของดอกเบี้ย) เคล็ดลับของพวกเขาคือเมื่อคำนวณตามลำดับ เปอร์เซ็นต์จะถูกคำนวณในแต่ละครั้ง จากค่าใหม่และไม่ใช่จากต้นฉบับ...
ดังนั้นให้คำนวณจำนวนเงินผ่าน สองปีเราต้องคำนวณ 110% ของจำนวนเงินที่จะเข้าบัญชี ในหนึ่งปี.นั่นคือจาก 55,000 รูเบิลแล้ว
เรานับ 110% ของ 55,000 รูเบิล:
55,000·1.1 = 60500 รูเบิล
ซึ่งหมายความว่าเปอร์เซ็นต์ที่เพิ่มขึ้นในปีที่สองจะเป็น 5,500 รูเบิล และเป็นเวลาสองปี - 10,500 รูเบิล
ตอนนี้คุณสามารถเดาได้แล้วว่าหลังจากสามปีจำนวนเงินในบัญชีจะเป็น 110% ของ 60,500 รูเบิล นั่นคืออีกครั้ง 110% จากครั้งก่อน (ปีที่แล้ว)จำนวนเงิน
ที่นี่เราคิดว่า:
60500·1.1 = 66550 รูเบิล
ตอนนี้เราจัดเรียงจำนวนเงินของเราตามปีตามลำดับ:
50000;
55,000 = 50,000 1.1;
60500 = 55000 1.1 = (50000 1.1) 1.1;
66550 = 60500 1.1 = ((50000 1.1) 1.1) 1.1
แล้วมันเป็นยังไงบ้าง? ทำไมไม่ก้าวหน้าทางเรขาคณิต? สมาชิกคนแรก ข 1 = 50000 และตัวส่วน ถาม = 1,1 - แต่ละเทอมมีขนาดใหญ่กว่าเทอมก่อนหน้า 1.1 เท่าอย่างเคร่งครัด ทุกอย่างเป็นไปตามคำจำกัดความอย่างเคร่งครัด)
และพ่อของคุณจะ "สะสม" โบนัสดอกเบี้ยเพิ่มเติมจำนวนเท่าใดในขณะที่เงิน 50,000 รูเบิลของเขาอยู่ในบัญชีธนาคารของเขาเป็นเวลาสามปี?
เรานับ:
66550 – 50,000 = 16550 รูเบิล
ไม่มากแน่นอน แต่นี่คือหากจำนวนเงินฝากเริ่มต้นมีน้อย ถ้ามีมากกว่านี้ล่ะ? สมมติว่าไม่ใช่ 50 แต่เป็น 200,000 รูเบิลใช่ไหม จากนั้นการเพิ่มขึ้นในสามปีจะเป็น 66,200 รูเบิล (ถ้าคุณคำนวณ) ซึ่งก็ดีมากอยู่แล้ว) แล้วถ้ามีส่วนร่วมมากกว่านี้ล่ะ? แค่นั้นแหละ...
สรุป: ยิ่งเงินฝากเริ่มต้นสูงเท่าใด การแปลงดอกเบี้ยเป็นทุนก็จะยิ่งมีกำไรมากขึ้นเท่านั้น นั่นคือเหตุผลที่ธนาคารจัดให้มีเงินฝากที่มีการแปลงดอกเบี้ยเป็นระยะเวลานาน สมมติว่าเป็นเวลาห้าปี
นอกจากนี้ โรคร้ายทุกประเภท เช่น ไข้หวัดใหญ่ โรคหัด และโรคร้ายแรงอื่นๆ (โรคซาร์สแบบเดียวกันในช่วงต้นทศวรรษ 2000 หรือโรคระบาดในยุคกลาง) มักแพร่กระจายแบบทวีคูณ ดังนั้นขนาดของโรคระบาดก็ใช่...) และทั้งหมดก็เนื่องมาจากความจริงที่ว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตด้วย ตัวส่วนบวกทั้งหมด (ถาม>1) – สิ่งที่เติบโตเร็วมาก! จำการสืบพันธุ์ของแบคทีเรีย: จากแบคทีเรียหนึ่งตัวจะได้สองตัวจากสอง - สี่จากสี่ - แปดและอื่น ๆ... มันเหมือนกับการแพร่กระจายของการติดเชื้อใด ๆ )
ปัญหาที่ง่ายที่สุดเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
มาเริ่มกันด้วยปัญหาง่ายๆ เช่นเคย ที่จะเข้าใจความหมายได้อย่างหมดจด
1. เป็นที่ทราบกันว่าเทอมที่สองของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือ 6 และตัวส่วนคือ -0.5 ค้นหาพจน์ที่หนึ่ง สาม และสี่
ดังนั้นเราจึงได้รับ ไม่มีที่สิ้นสุดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแต่รู้จักกัน เทอมที่สองความก้าวหน้านี้:
ข 2 = 6
นอกจากนี้เรายังได้ทราบอีกด้วย ตัวส่วนความก้าวหน้า:
คิว = -0.5
และคุณจำเป็นต้องค้นหา ครั้งแรกที่สามและ ที่สี่สมาชิกของความก้าวหน้าครั้งนี้
ดังนั้นเราจึงดำเนินการ เราเขียนลำดับตามเงื่อนไขของปัญหา โดยตรงในรูปแบบทั่วไป โดยที่เทอมที่สองคือหก:
ข 1, 6,ข 3 , ข 4 , …
ตอนนี้เรามาเริ่มค้นหากันดีกว่า เราเริ่มต้นด้วยสิ่งที่ง่ายที่สุดเช่นเคย คุณสามารถคำนวณได้ เช่น เทอมที่สาม ข 3- สามารถ! คุณและฉันรู้อยู่แล้ว (ในความหมายโดยตรงของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต) ว่าเทอมที่สาม (บี 3)มากกว่าวินาที (ข 2 ) วี "คิว"ครั้งหนึ่ง!
ดังนั้นเราจึงเขียน:
ข 3 =ข 2 · ถาม
เราแทนที่หกในนิพจน์นี้แทน ข 2และ -0.5 แทน ถามและเรานับ และเราก็ไม่ละเลยเครื่องหมายลบเช่นกัน แน่นอนว่า...
ข 3 = 6·(-0.5) = -3
แบบนี้. เทอมที่สามกลายเป็นลบ ไม่น่าแปลกใจเลย: ตัวส่วนของเรา ถาม- เชิงลบ. และแน่นอนว่าการคูณบวกด้วยลบจะเท่ากับลบ)
ตอนนี้เรานับระยะที่สี่ถัดไปของความก้าวหน้า:
ข 4 =ข 3 · ถาม
ข 4 = -3·(-0.5) = 1.5
เทอมที่สี่เป็นอีกครั้งพร้อมเครื่องหมายบวก เทอมที่ห้าจะเป็นลบอีกครั้ง เทอมที่หกจะเป็นบวก ไปเรื่อยๆ ป้ายสลับกัน!
จึงพบพจน์ที่สามและสี่ ผลลัพธ์จะเป็นลำดับต่อไปนี้:
ข 1 ; 6; -3; 1.5; -
ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือการค้นหาเทอมแรก ข 1ตามวินาทีที่รู้จักกันดี เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ก้าวไปอีกทางหนึ่งไปทางซ้าย ซึ่งหมายความว่าในกรณีนี้เราไม่จำเป็นต้องคูณเทอมที่สองของความก้าวหน้าด้วยตัวส่วน แต่ แบ่ง.
เราแบ่งและรับ:
เพียงเท่านี้) คำตอบของปัญหาจะเป็นดังนี้:
-12; 6; -3; 1,5; …
อย่างที่คุณเห็น หลักการแก้ปัญหาจะเหมือนกับใน พวกเรารู้ ใดๆสมาชิกและ ตัวส่วนความก้าวหน้าทางเรขาคณิต - เราสามารถหาสมาชิกอื่นๆ ของมันได้ เราจะหาอันที่เราต้องการ) ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือการบวก/ลบจะถูกแทนที่ด้วยการคูณ/หาร
ข้อควรจำ: ถ้าเรารู้จักสมาชิกและตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอย่างน้อยหนึ่งตัว เราก็จะสามารถหาสมาชิกคนอื่นของความก้าวหน้านี้ได้เสมอ
ตามธรรมเนียมแล้ว ปัญหาต่อไปนี้มาจาก OGE เวอร์ชันจริง:
2.
- 150; เอ็กซ์; 6; 1.2; -
แล้วมันเป็นยังไงบ้าง? คราวนี้ไม่มีเทอมแรก, ไม่มีตัวส่วน ถามก็แค่ให้ลำดับตัวเลขมา... บางอย่างที่คุ้นเคยอยู่แล้วใช่ไหม? ใช่! ปัญหาที่คล้ายกันได้รับการแก้ไขแล้วในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์!
ดังนั้นเราจึงไม่กลัว เหมือนกันทั้งหมด. ลองเปิดใจและจดจำความหมายเบื้องต้นของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เราดูลำดับของเราอย่างรอบคอบและหาว่าพารามิเตอร์ใดของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตของทั้งสามค่าหลัก (เทอมแรก, ตัวส่วน, จำนวนเทอม) ที่ซ่อนอยู่ในนั้น
หมายเลขสมาชิก? ไม่มีหมายเลขสมาชิกใช่... แต่มีสี่หมายเลข ติดต่อกันตัวเลข ฉันไม่เห็นประเด็นใดในการอธิบายความหมายของคำนี้ในขั้นตอนนี้) มีสองหรือไม่ ตัวเลขใกล้เคียงที่รู้จัก?กิน! เหล่านี้คือ 6 และ 1.2 เราจึงสามารถหาได้ ตัวส่วนความก้าวหน้าเราก็เอาเลข 1.2 มาหาร ไปที่หมายเลขก่อนหน้าถึงหก.
เราได้รับ:
เราได้รับ:
x= 150·0.2 = 30
คำตอบ: x = 30 .
อย่างที่คุณเห็นทุกอย่างค่อนข้างง่าย ปัญหาหลักอยู่ที่การคำนวณเท่านั้น เป็นเรื่องยากโดยเฉพาะในกรณีที่มีตัวส่วนเป็นลบและเศษส่วน ดังนั้นใครมีปัญหาก็ทวนเลขคณิต! วิธีทำงานกับเศษส่วน วิธีทำงานกับจำนวนลบ และอื่นๆ... ไม่เช่นนั้นคุณจะช้าลงอย่างไร้ความปราณีที่นี่
ตอนนี้เรามาแก้ไขปัญหากันเล็กน้อย ตอนนี้มันชักจะน่าสนใจแล้ว! ลองลบหมายเลขสุดท้าย 1.2 ออกจากมัน ตอนนี้เรามาแก้ไขปัญหานี้กัน:
3. มีการเขียนคำศัพท์ติดต่อกันหลายคำของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:
- 150; เอ็กซ์; 6; -
ค้นหาเงื่อนไขของความก้าวหน้าที่ระบุด้วยตัวอักษร x
ทุกอย่างเหมือนกันหมด มีเพียงสองอันที่อยู่ติดกัน มีชื่อเสียงตอนนี้เราไม่มีสมาชิกของความก้าวหน้า นี่คือปัญหาหลัก เพราะขนาด ถามเราสามารถระบุเงื่อนไขใกล้เคียงสองคำได้อย่างง่ายดาย เราทำไม่ได้เรามีโอกาสที่จะรับมือกับงานนี้หรือไม่? แน่นอน!
มาเขียนคำที่ไม่รู้จักกันเถอะ " x"โดยตรงในความหมายของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต! โดยทั่วไปแล้ว
ใช่ ๆ! ตรงกับตัวหารที่ไม่รู้จัก!
ในด้านหนึ่ง สำหรับ X เราสามารถเขียนอัตราส่วนได้ดังนี้:
x= 150·ถาม
ในทางกลับกัน เรามีสิทธิ์ทุกประการที่จะอธิบาย X เดียวกันนี้ผ่าน ต่อไปสมาชิกผ่านหก! หารหกด้วยตัวส่วน.
แบบนี้:
x = 6/ ถาม
แน่นอน ตอนนี้เราสามารถเทียบทั้งสองอัตราส่วนนี้ได้ เนื่องจากเรากำลังแสดงออก เหมือนขนาด (x) แต่เป็นสอง วิธีทางที่แตกต่าง.
เราได้รับสมการ:
คูณทุกอย่างด้วย ถามทำให้ง่ายขึ้นและสั้นลง เราได้สมการ:
q2 = 1/25
เราแก้ไขและรับ:
คิว = ±1/5 = ±0.2
อ๊ะ! ตัวส่วนกลายเป็นสองเท่า! +0.2 และ -0.2 และคุณควรเลือกอันไหน? ทางตัน?
เงียบสงบ! ใช่ ปัญหามีจริงๆ สองโซลูชั่น!ไม่มีอะไรผิดปกติกับที่ มันเกิดขึ้น) คุณไม่แปลกใจเลยที่คุณได้รับสองรากเมื่อแก้ไขปัญหาปกติ เช่น? เรื่องเดียวกันนี่..)
สำหรับ คิว = +0.2เราจะได้รับ:
X = 150 0.2 = 30
และสำหรับ ถาม = -0,2 จะ:
X = 150·(-0.2) = -30
เราได้รับคำตอบสองเท่า: x = 30; x = -30.
ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจนี้หมายความว่าอย่างไร? และสิ่งที่มีอยู่ สองความก้าวหน้าตอบโจทย์เงื่อนไขของปัญหา!
เช่นเดียวกับสิ่งเหล่านี้:
…; 150; 30; 6; …
…; 150; -30; 6; …
เหมาะสมทั้งสองอย่าง) คุณคิดว่าเหตุใดเราจึงแยกคำตอบกัน เพียงเพราะการกำจัดสมาชิกเฉพาะของความก้าวหน้า (1,2) ซึ่งมาหลังจากหกคน และเมื่อรู้เพียงเงื่อนไขก่อนหน้า (n-1) และเงื่อนไขที่ตามมา (n+1) ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เราก็ไม่สามารถพูดอะไรได้อย่างคลุมเครืออีกต่อไปเกี่ยวกับเทอมที่ n ที่อยู่ระหว่างพวกมัน มีสองตัวเลือก - บวกและลบ
แต่ไม่มีปัญหา ตามกฎแล้วในงานความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะมีข้อมูลเพิ่มเติมที่ให้คำตอบที่ชัดเจน สมมติว่าคำพูด: "ความก้าวหน้าแบบสลับกัน"หรือ "ก้าวหน้าด้วยตัวส่วนบวก"และอื่นๆ... คำเหล่านี้เองที่ควรใช้เป็นเบาะแสว่าควรเลือกเครื่องหมายบวกหรือลบตัวใดในการเตรียมคำตอบสุดท้าย หากไม่มีข้อมูลดังกล่าว ก็ใช่ งานก็จะมี สองโซลูชั่น)
ตอนนี้เราตัดสินใจด้วยตัวเอง
4. พิจารณาว่าหมายเลข 20 เป็นสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตหรือไม่:
4 ; 6; 9; …
5. ให้สัญญาณของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแบบสลับกัน:
…; 5; x ; 45; …
ค้นหาระยะของความก้าวหน้าที่ระบุโดยตัวอักษร x .
6. ค้นหาพจน์บวกที่สี่ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:
625; -250; 100; …
7. เทอมที่สองของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตมีค่าเท่ากับ -360 และเทอมที่ห้าเท่ากับ 23.04 ค้นหาเทอมแรกของความก้าวหน้านี้
คำตอบ (ผิดปกติ): -15; 900; เลขที่; 2.56.
ขอแสดงความยินดีถ้าทุกอย่างได้ผล!
มีบางอย่างไม่พอดีเหรอ? ที่ไหนสักแห่งมีคำตอบสองครั้ง? อ่านเงื่อนไขการมอบหมายงานอย่างละเอียด!
ปัญหาสุดท้ายไม่ได้ผล? ไม่มีอะไรซับซ้อน) เราทำงานโดยตรงตามความหมายของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต คุณก็วาดภาพได้ มันช่วย.)
อย่างที่คุณเห็นทุกอย่างเป็นระดับประถมศึกษา หากความก้าวหน้านั้นสั้น ถ้ามันยาวล่ะ? หรือจำนวนสมาชิกที่ต้องการมีมาก? โดยการเปรียบเทียบกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ผมอยากให้ได้สูตรที่สะดวกซึ่งทำให้หาได้ง่าย ใดๆระยะของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตใดๆ ตามหมายเลขของเขาโดยไม่ต้องคูณหลาย ๆ ครั้งด้วย ถาม- และมีสูตรดังนี้!) รายละเอียดอยู่ในบทต่อไป
สูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนั้นง่ายมาก ทั้งความหมายและรูปลักษณ์โดยรวม แต่มีปัญหาทุกประเภทในสูตรของเทอมที่ n - ตั้งแต่ดั้งเดิมมากไปจนถึงค่อนข้างจริงจัง และในกระบวนการทำความรู้จักเราจะพิจารณาทั้งสองอย่างอย่างแน่นอน เรามาทำความรู้จักกันดีกว่า?)
จริงๆ แล้ว เริ่มต้นด้วย สูตรn
เธออยู่นี่:
บีเอ็น = ข 1 · qn -1
สูตรเป็นเพียงสูตรไม่มีอะไรเหนือธรรมชาติ มันดูเรียบง่ายและกะทัดรัดกว่าสูตรที่คล้ายกัน ความหมายของสูตรก็เรียบง่ายเหมือนกับรองเท้าบูทสักหลาด
สูตรนี้ช่วยให้คุณค้นหาสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตตามจำนวนของมัน " n".
อย่างที่คุณเห็นความหมายนั้นคล้ายคลึงกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อย่างสมบูรณ์ เรารู้เลข n - เราสามารถนับเทอมใต้เลขนี้ได้ ไม่ว่าเราต้องการแบบไหนก็ตาม โดยไม่ต้องคูณ "q" ซ้ำหลายครั้ง นั่นคือประเด็นทั้งหมด)
ฉันเข้าใจว่าในระดับการทำงานกับความก้าวหน้านี้ ปริมาณทั้งหมดที่รวมอยู่ในสูตรควรมีความชัดเจนสำหรับคุณแล้ว แต่ฉันก็ยังถือว่าเป็นหน้าที่ของฉันในการถอดรหัสแต่ละรายการ เผื่อไว้.
เอาล่ะ:
ข 1 – อันดับแรกเทอมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ถาม – ;
n– หมายเลขสมาชิก
บีเอ็น – ที่ n (nไทย)ระยะของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
สูตรนี้เชื่อมโยงพารามิเตอร์หลักสี่ตัวของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตใดๆ - ขn, ข 1 , ถามและ n- และปัญหาความก้าวหน้าทั้งหมดเกี่ยวข้องกับบุคคลสำคัญทั้งสี่นี้
“ถอดยังไง?”– ฉันได้ยินคำถามที่น่าสงสัย... ระดับประถมศึกษา! ดู!
เท่ากับอะไร ที่สองสมาชิกของความก้าวหน้า? ไม่มีปัญหา! เราเขียนโดยตรง:
ข 2 = ข 1 ·คิว
แล้วสมาชิกคนที่สามล่ะ? ก็ไม่ใช่ปัญหาเช่นกัน! เราคูณเทอมที่สอง อีกครั้งหนึ่งถาม.
แบบนี้:
ข 3 = ข 2 ค
ตอนนี้ให้เราจำไว้ว่าเทอมที่สองจะเท่ากับ b 1 ·q และแทนที่นิพจน์นี้ด้วยความเท่าเทียมกันของเรา:
B 3 = ข 2 q = (ข 1 คิว) q = ข 1 คิว q = ข 1 คิว 2
เราได้รับ:
บี 3 = ข 1 ·คิว 2
ตอนนี้เรามาอ่านรายการของเราเป็นภาษารัสเซีย: ที่สามพจน์จะเท่ากับเทอมแรกคูณด้วย q นิ้ว ที่สององศา คุณเข้าใจไหม? ยัง? เอาล่ะ อีกหนึ่งขั้นตอน
ระยะที่สี่คืออะไร? เหมือนกันทั้งหมด! คูณ ก่อนหน้า(เช่น เทอมที่สาม) บน q:
B 4 = b 3 q = (ข 1 q 2) q = ข 1 q 2 q = ข 1 q 3
ทั้งหมด:
บี 4 = ข 1 ·คิว 3
และเราแปลเป็นภาษารัสเซียอีกครั้ง: ที่สี่พจน์จะเท่ากับเทอมแรกคูณด้วย q นิ้ว ที่สามองศา
และอื่นๆ แล้วมันเป็นยังไงบ้าง? คุณจับรูปแบบหรือไม่? ใช่! สำหรับพจน์ใดๆ ที่มีจำนวนใดๆ จำนวนของตัวประกอบ q (เช่น ระดับของตัวส่วน) ที่เหมือนกันจะเป็นเสมอ น้อยกว่าจำนวนสมาชิกที่ต้องการหนึ่งตัวn.
ดังนั้นสูตรของเราจะเป็นโดยไม่มีการเปลี่ยนแปลง:
บีเอ็น =ข 1 · qn -1
แค่นั้นแหละ.)
เอาละมาแก้ปัญหากันเถอะฉันเดา?)
การแก้ปัญหาเรื่องสูตรnระยะที่ 3 ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
มาเริ่มกันตามปกติด้วยการใช้สูตรโดยตรง นี่เป็นปัญหาทั่วไป:
ในความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเป็นที่ทราบกันดีว่า ข 1 = 512 และ ถาม = -1/2. ค้นหาระยะที่สิบของความก้าวหน้า
แน่นอนว่าปัญหานี้แก้ไขได้โดยไม่ต้องใช้สูตรใดๆ เลย โดยตรงในแง่ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต แต่เราต้องอุ่นสูตรเทอมที่ n ก่อนใช่ไหม? ที่นี่เรากำลังอุ่นเครื่อง
ข้อมูลของเราในการประยุกต์สูตรมีดังนี้
สมาชิกคนแรกเป็นที่รู้จัก นี่คือ 512
ข 1 = 512.
ตัวส่วนของความก้าวหน้าเป็นที่รู้จักกัน: ถาม = -1/2.
ที่เหลือก็แค่หาว่าจำนวนสมาชิก n เป็นเท่าใด ไม่มีปัญหา! เราสนใจเทอมที่สิบไหม? เราจึงแทน 10 แทน n ในสูตรทั่วไป
และคำนวณเลขคณิตอย่างรอบคอบ:
คำตอบ: -1
อย่างที่คุณเห็นระยะที่สิบของความก้าวหน้ากลายเป็นลบ ไม่มีอะไรน่าแปลกใจ: ตัวส่วนความก้าวหน้าของเราคือ -1/2 กล่าวคือ เชิงลบตัวเลข. และนี่บอกเราว่าสัญญาณของความก้าวหน้าของเราสลับกัน ใช่)
ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่ นี่เป็นปัญหาที่คล้ายกัน แต่ซับซ้อนกว่าเล็กน้อยในแง่ของการคำนวณ
ในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เป็นที่ทราบกันดีว่า:
ข 1 = 3
ค้นหาระยะที่สิบสามของความก้าวหน้า
ทุกอย่างเหมือนเดิมแต่คราวนี้ตัวส่วนของความก้าวหน้าเท่านั้น ไม่มีเหตุผล- รากของทั้งสอง ก็ไม่เป็นไร สูตรนี้เป็นของสากลซึ่งสามารถรับมือกับตัวเลขใดก็ได้
เราทำงานโดยตรงตามสูตร:
แน่นอนว่าสูตรนี้ได้ผลอย่างที่ควรจะเป็น แต่... นี่คือจุดที่บางคนติดขัด จะทำอย่างไรต่อไปกับรูต? จะหยั่งรากถึงยกกำลังสิบสองได้อย่างไร?
How-how... ต้องเข้าใจว่าสูตรไหนๆ ก็เป็นสิ่งที่ดี แต่ความรู้คณิตเก่าๆ ทั้งหมดก็ไม่ถูกยกเลิก! วิธีการสร้าง? ใช่แล้ว จำคุณสมบัติขององศาได้นะ! มาเปลี่ยนรากให้เป็น ระดับเศษส่วนและ – ตามสูตรการยกระดับปริญญาขึ้นไป
แบบนี้:
คำตอบ: 192
และนั่นคือทั้งหมด)
อะไรคือปัญหาหลักในการใช้สูตรเทอมที่ n โดยตรง? ใช่! ความยากหลักคือ ทำงานกับปริญญา!กล่าวคือ การเพิ่มจำนวนลบ เศษส่วน ราก และโครงสร้างที่คล้ายกันให้เป็นกำลัง ดังนั้นใครที่มีปัญหาเรื่องนี้โปรดทวนองศาและคุณสมบัติของพวกเขาอีกครั้ง! ไม่อย่างนั้นกระทู้จะช้าลงด้วยใช่...)
ตอนนี้เรามาแก้ไขปัญหาการค้นหาทั่วไปกัน องค์ประกอบหนึ่งของสูตรถ้าได้รับอย่างอื่นทั้งหมด เพื่อแก้ไขปัญหาดังกล่าวได้สำเร็จสูตรจึงมีความสม่ำเสมอและเรียบง่ายมาก - เขียนสูตรn- สมาชิกคนที่ 1 ทั่วไป!อยู่ในสมุดบันทึกข้างสภาพ จากนั้นจากเงื่อนไข เราจะหาได้ว่าสิ่งใดที่มอบให้เรา และสิ่งใดที่ขาดหายไป และเราแสดงค่าที่ต้องการจากสูตร ทั้งหมด!
ตัวอย่างเช่นปัญหาที่ไม่เป็นอันตราย
เทอมที่ห้าของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีตัวส่วน 3 คือ 567 จงหาเทอมแรกของความก้าวหน้านี้
ไม่มีอะไรซับซ้อน เราทำงานโดยตรงตามคาถา
มาเขียนสูตรสำหรับเทอมที่ n กัน!
บีเอ็น = ข 1 · qn -1
เราได้รับอะไรมาบ้าง? ขั้นแรก ให้ระบุตัวส่วนของความก้าวหน้า: ถาม = 3.
ยิ่งกว่านั้นเรายังได้รับ สมาชิกคนที่ห้า: ข 5 = 567 .
ทั้งหมด? เลขที่! เรายังได้รับหมายเลข n! นี่คือห้า: n = 5
ฉันหวังว่าคุณจะเข้าใจสิ่งที่อยู่ในการบันทึกแล้ว ข 5 = 567 ซ่อนพารามิเตอร์สองตัวพร้อมกัน - นี่คือเทอมที่ห้า (567) และหมายเลข (5) ฉันพูดถึงเรื่องนี้แล้วในบทเรียนที่คล้ายกัน แต่ฉันคิดว่ามันคุ้มค่าที่จะพูดถึงที่นี่เช่นกัน)
ตอนนี้เราแทนที่ข้อมูลของเราลงในสูตร:
567 = ข 1 ·3 5-1
เราทำการคำนวณ ลดความซับซ้อน และรับสมการเชิงเส้นอย่างง่าย:
81 ข 1 = 567
เราแก้ไขและรับ:
ข 1 = 7
อย่างที่คุณเห็น ไม่มีปัญหาในการค้นหาเทอมแรก แต่เมื่อค้นหาตัวส่วนแล้ว ถามและตัวเลข nอาจมีเซอร์ไพรส์ด้วย และคุณต้องเตรียมพร้อมสำหรับพวกเขาด้วย (เซอร์ไพรส์) ใช่แล้ว)
ตัวอย่างเช่น ปัญหานี้:
เทอมที่ห้าของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีตัวส่วนเป็นบวกคือ 162 และเทอมแรกของความก้าวหน้านี้คือ 2 จงหาตัวส่วนของความก้าวหน้า
คราวนี้เราได้รับเทอมที่หนึ่งและห้า และถูกขอให้ค้นหาตัวส่วนของความก้าวหน้า ไปเลย.
เราเขียนสูตรnสมาชิกท่านนั้น!
บีเอ็น = ข 1 · qn -1
ข้อมูลเริ่มต้นของเราจะเป็นดังนี้:
ข 5 = 162
ข 1 = 2
n = 5
ไม่มีค่า ถาม- ไม่มีปัญหา! มาหากันตอนนี้เลย) เราแทนที่ทุกสิ่งที่เรารู้ลงในสูตร
เราได้รับ:
162 = 2ถาม 5-1
2 ถาม 4 = 162
ถาม 4 = 81
สมการอย่างง่ายของระดับที่สี่ และตอนนี้ - อย่างระมัดระวัง!ในขั้นตอนของการแก้ปัญหานี้ นักเรียนหลายคนต่างยินดีแยกราก (ของระดับที่ 4) ออกมาอย่างสนุกสนานทันที และรับคำตอบ ถาม=3 .
แบบนี้:
ควอเตอร์ 4 = 81
ถาม = 3
แต่จริงๆ แล้ว นี่เป็นคำตอบที่ยังไม่เสร็จ แม่นยำยิ่งขึ้นไม่สมบูรณ์ ทำไม ประเด็นก็คือคำตอบ ถาม = -3 เหมาะสมด้วย: (-3) 4 จะเป็น 81 ด้วย!
นี่เป็นเพราะสมการยกกำลัง เอ็กซ์เอ็น = กมีเสมอ สองรากที่ตรงกันข้ามที่ สม่ำเสมอn . ด้วยเครื่องหมายบวกและลบ:
ทั้งสองมีความเหมาะสม
เช่น ในการตัดสินใจ (เช่น ที่สององศา)
x 2 = 9
ด้วยเหตุผลบางอย่างคุณไม่แปลกใจกับรูปลักษณ์ภายนอก สองราก x=±3? มันก็เหมือนกันที่นี่ และอีกอย่างด้วย สม่ำเสมอระดับ (ที่สี่, หก, สิบ ฯลฯ ) จะเหมือนกัน รายละเอียดอยู่ในหัวข้อเกี่ยวกับ
ดังนั้น วิธีแก้ไขที่ถูกต้องคือ:
ถาม 4 = 81
ถาม= ±3
โอเค เราได้แยกสัญญาณแล้ว อันไหนถูกต้อง - บวกหรือลบ? เรามาอ่านคำชี้แจงปัญหาอีกครั้งเพื่อค้นหา ข้อมูลเพิ่มเติม.แน่นอนว่าอาจไม่มีอยู่จริง แต่ในปัญหานี้ ข้อมูลดังกล่าว มีอยู่.เงื่อนไขของเราระบุเป็นข้อความธรรมดาว่ามีความก้าวหน้าด้วย ตัวส่วนบวก
ดังนั้นคำตอบจึงชัดเจน:
ถาม = 3
ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่ คุณคิดว่าจะเกิดอะไรขึ้นหากคำชี้แจงปัญหาเป็นดังนี้:
เทอมที่ห้าของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือ 162 และเทอมแรกของความก้าวหน้านี้คือ 2 ค้นหาตัวส่วนของความก้าวหน้า
อะไรคือความแตกต่าง? ใช่! อยู่ในสภาพ ไม่มีอะไรไม่มีการเอ่ยถึงเครื่องหมายของตัวส่วน ไม่ว่าทางตรงหรือทางอ้อม และที่นี่ปัญหาก็จะมีอยู่แล้ว สองโซลูชั่น!
ถาม = 3 และ ถาม = -3
ใช่ ๆ! ทั้งที่มีเครื่องหมายบวกและเครื่องหมายลบ) ในทางคณิตศาสตร์ ข้อเท็จจริงข้อนี้จะหมายความว่ามี สองความก้าวหน้าซึ่งเหมาะสมกับสภาพของปัญหา และแต่ละคนก็มีตัวส่วนเป็นของตัวเอง เพื่อความสนุกสนาน ฝึกฝนและเขียนคำศัพท์ 5 คำแรกของแต่ละคำ)
ตอนนี้เรามาฝึกหาหมายเลขสมาชิกกัน ปัญหานี้ยากที่สุดใช่ แต่ยังมีความคิดสร้างสรรค์มากกว่า)
เมื่อพิจารณาถึงความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:
3; 6; 12; 24; …
เลขอะไรในความก้าวหน้านี้คือเลข 768?
ขั้นตอนแรกยังคงเหมือนเดิม: เขียนสูตรnสมาชิกท่านนั้น!
บีเอ็น = ข 1 · qn -1
และตอนนี้ตามปกติแล้ว เราจะแทนที่ข้อมูลที่เรารู้ลงไป อืม... มันไม่ได้ผล! เทอมแรกอยู่ที่ไหน ตัวส่วนอยู่ที่ไหน อย่างอื่นอยู่ที่ไหน!
ที่ไหน ที่ไหน... ทำไมเราถึงต้องมีตา? กระพือขนตาของคุณ? คราวนี้ความก้าวหน้าจะถูกส่งถึงเราโดยตรงในแบบฟอร์ม ลำดับเราจะได้เห็นสมาชิกคนแรกไหม? ที่เราเห็น! นี่คือสามเท่า (b 1 = 3) แล้วตัวส่วนล่ะ? เรายังไม่เห็นมันแต่นับง่ายมาก แน่นอนว่าถ้าคุณเข้าใจ...
ดังนั้นเราจึงนับ ตามความหมายของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยตรง: เราใช้เงื่อนไขใดๆ ของมัน (ยกเว้นตัวแรก) แล้วหารด้วยอันก่อนหน้า
อย่างน้อยเช่นนี้:
ถาม = 24/12 = 2
เรารู้อะไรอีกบ้าง? เรายังรู้เทอมหนึ่งของความก้าวหน้านี้ด้วย ซึ่งเท่ากับ 768 ภายใต้เลขจำนวนหนึ่ง n:
บีเอ็น = 768
เราไม่ทราบหมายเลขของเขา แต่งานของเราคือตามหาเขาอย่างแม่นยำ) ดังนั้นเราจึงกำลังมองหา เราได้ดาวน์โหลดข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมดเพื่อทดแทนลงในสูตรแล้ว โดยไม่รู้จักตัวเอง)
ที่นี่เราทดแทน:
768 = 3 2n -1
ลองทำแบบเบื้องต้นกัน - หารทั้งสองข้างด้วยสามแล้วเขียนสมการใหม่ในรูปแบบปกติ: ค่าที่ไม่รู้จักอยู่ทางด้านซ้าย, ค่าที่รู้อยู่ทางด้านขวา
เราได้รับ:
2 n -1 = 256
นี่คือสมการที่น่าสนใจ เราจำเป็นต้องค้นหา "n" อะไรผิดปกติ? ใช่ ฉันไม่เถียง จริงๆแล้วนี่คือสิ่งที่ง่ายที่สุด ที่เรียกเช่นนี้เพราะไม่รู้ (ในกรณีนี้คือตัวเลข) n) ต้นทุนใน ตัวบ่งชี้องศา
ในขั้นตอนของการเรียนรู้เกี่ยวกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต (ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9) พวกเขาไม่ได้สอนวิธีแก้สมการเลขชี้กำลัง ใช่แล้ว... นี่เป็นหัวข้อสำหรับโรงเรียนมัธยมปลาย แต่ไม่มีอะไรน่ากลัว แม้ว่าคุณจะไม่รู้ว่าสมการดังกล่าวแก้ได้อย่างไร แต่มาลองค้นหาของเรากัน nชี้นำโดยตรรกะง่ายๆ และสามัญสำนึก
มาเริ่มคุยกันเลย ทางด้านซ้ายเรามีผีสาง ในระดับหนึ่ง- เรายังไม่รู้แน่ชัดว่าปริญญานี้คืออะไร แต่ก็ไม่น่ากลัว แต่เรารู้แน่ว่าดีกรีนี้เท่ากับ 256! เราจำได้ว่า 2 ให้เราได้ 256 มากขนาดไหน. จำได้ไหม? ใช่! ใน ที่แปดองศา!
256 = 2 8
หากคุณจำไม่ได้หรือมีปัญหาในการรู้ค่าองศา ก็ไม่เป็นไร แค่ยกกำลังสอง ลูกบาศก์ สี่ ห้า และอื่นๆ ตามลำดับ การคัดเลือกในความเป็นจริงแต่ในระดับนี้จะได้ผลค่อนข้างดี
ไม่ทางใดก็ทางหนึ่งเราได้รับ:
2 n -1 = 2 8
n-1 = 8
n = 9
768 ก็เป็นอย่างนั้น เก้าสมาชิกของความก้าวหน้าของเรา แค่นี้ก็หมดปัญหาแล้ว)
คำตอบ: 9
อะไร น่าเบื่อ? เบื่อกับเรื่องพื้นฐานเหรอ? เห็นด้วย. และฉันด้วย เรามาต่อกันที่ระดับต่อไปกันเลย)
งานที่ซับซ้อนมากขึ้น
ตอนนี้เรามาแก้ไขปัญหาที่ท้าทายมากขึ้นกันดีกว่า ไม่ได้เจ๋งสุด ๆ แต่เป็นสิ่งที่ต้องอาศัยการทำงานเล็กน้อยเพื่อให้ได้คำตอบ
ตัวอย่างเช่นอันนี้
ค้นหาเทอมที่สองของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตหากเทอมที่สี่คือ -24 และเทอมที่เจ็ดคือ 192
นี่คือคลาสสิกของประเภท ทราบคำศัพท์ที่แตกต่างกันสองคำของความก้าวหน้า แต่จำเป็นต้องค้นหาคำอื่น นอกจากนี้สมาชิกทุกคนไม่ได้อยู่ติดกัน ซึ่งตอนแรกก็สับสนใช่...
ในการแก้ปัญหาดังกล่าวเราจะพิจารณาสองวิธี วิธีแรกนั้นเป็นสากล พีชคณิต ทำงานได้อย่างไร้ที่ติกับแหล่งข้อมูลใด ๆ นั่นคือจุดที่เราจะเริ่มต้น)
เราอธิบายคำศัพท์แต่ละคำตามสูตร nสมาชิกท่านนั้น!
ทุกอย่างเหมือนกันทุกประการกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เฉพาะครั้งนี้เราจะทำงานร่วมกับ อื่นสูตรทั่วไป แค่นั้นแหละ) แต่สาระสำคัญก็เหมือนกัน: เราทำและ ทีละคนเราแทนที่ข้อมูลตั้งต้นของเราลงในสูตรสำหรับเทอมที่ n สำหรับสมาชิกแต่ละคน - ของพวกเขาเอง
สำหรับเทอมที่สี่เราเขียน:
ข 4 = ข 1 · ถาม 3
-24 = ข 1 · ถาม 3
กิน. สมการหนึ่งพร้อมแล้ว
สำหรับเทอมที่ 7 เราเขียนว่า:
ข 7 = ข 1 · ถาม 6
192 = ข 1 · ถาม 6
โดยรวมแล้วเราได้สมการมาสองสมการ ความก้าวหน้าเดียวกัน .
เราประกอบระบบจากพวกเขา:
แม้จะมีรูปลักษณ์ที่ดูน่ากลัว แต่ระบบก็ค่อนข้างเรียบง่าย วิธีแก้ไขที่ชัดเจนที่สุดคือการแทนที่อย่างง่าย เราแสดงออก ข 1 จากสมการบนแล้วแทนที่เป็นสมการล่าง:
หลังจากเล่นซอกับสมการด้านล่างเล็กน้อย (ลดกำลังและหารด้วย -24) เราจะได้:
ถาม 3 = -8
อย่างไรก็ตาม สมการเดียวกันนี้สามารถหาได้ด้วยวิธีที่ง่ายกว่า! อันไหน? ตอนนี้ฉันจะแสดงให้คุณเห็นความลับอีกอย่างหนึ่ง แต่สวยงามมาก ทรงพลังและมีประโยชน์ในการแก้ปัญหาระบบดังกล่าว ระบบดังกล่าวซึ่งมีสมการได้แก่ ใช้งานได้เท่านั้นอย่างน้อยก็ในหนึ่ง เรียกว่า วิธีการหารสมการหนึ่งไปอีกสมการหนึ่ง
ดังนั้นเราจึงมีระบบอยู่ตรงหน้าเรา:
ในสมการทั้งสองทางด้านซ้าย - งานและทางขวาก็เป็นเพียงตัวเลข นี่เป็นสัญญาณที่ดีมาก) เอาล่ะ... หารสมการล่างด้วยสมการบน! แปลว่าอะไร, ลองหารสมการหนึ่งด้วยอีกสมการหนึ่งไหม?ง่ายมาก. เอาล่ะ ด้านซ้ายหนึ่งสมการ (ล่าง) และ แบ่งเธออยู่ ด้านซ้ายอีกสมการหนึ่ง (บน) ด้านขวาจะคล้ายกัน: ด้านขวาสมการหนึ่ง แบ่งบน ด้านขวาอื่น.
กระบวนการแบ่งส่วนทั้งหมดมีลักษณะดังนี้:
ทีนี้ เมื่อลดทุกอย่างที่สามารถลดได้ เราก็จะได้:
ถาม 3 = -8
วิธีนี้มีประโยชน์อย่างไร? ใช่ เพราะในกระบวนการแบ่งเช่นนี้ ทุกอย่างที่แย่และไม่สะดวกสามารถลดลงได้อย่างปลอดภัย และยังคงมีสมการที่ไม่เป็นอันตรายโดยสิ้นเชิง! ด้วยเหตุนี้จึงเป็นเรื่องสำคัญมากที่จะต้องมี การคูณเท่านั้นในสมการของระบบอย่างน้อยหนึ่งสมการ ไม่มีการคูณ - ไม่มีอะไรจะลด ใช่...
โดยทั่วไปวิธีนี้ (เช่นเดียวกับวิธีการแก้ปัญหาระบบอื่น ๆ ที่ไม่สำคัญ) สมควรได้รับบทเรียนแยกต่างหากด้วยซ้ำ ฉันจะดูรายละเอียดเพิ่มเติมอย่างแน่นอน สักวันหนึ่ง…
อย่างไรก็ตาม ไม่สำคัญว่าคุณจะแก้ระบบได้แม่นยำแค่ไหน ไม่ว่าในกรณีใด ตอนนี้เราต้องแก้สมการผลลัพธ์:
ถาม 3 = -8
ไม่มีปัญหา: แยกคิวบ์รูทออก เท่านี้ก็เสร็จแล้ว!
โปรดทราบว่าไม่จำเป็นต้องใส่เครื่องหมายบวก/ลบที่นี่เมื่อทำการแตกไฟล์ รากของเรามีระดับคี่ (สาม) และคำตอบก็เหมือนเดิมคือใช่)
จึงพบตัวส่วนของความก้าวหน้าแล้ว ลบสอง. ยอดเยี่ยม! กระบวนการนี้กำลังดำเนินอยู่)
สำหรับเทอมแรก (เช่น จากสมการบน) เราจะได้:
ยอดเยี่ยม! เรารู้เทอมแรก เรารู้ตัวส่วน. และตอนนี้เรามีโอกาสที่จะค้นหาสมาชิกคนใดคนหนึ่งที่มีความก้าวหน้า รวมทั้งอันที่สองด้วย)
สำหรับระยะที่สอง ทุกอย่างค่อนข้างง่าย:
ข 2 = ข 1 · ถาม= 3·(-2) = -6
คำตอบ: -6
ดังนั้นเราจึงได้แจกแจงวิธีพีชคณิตในการแก้ปัญหา ยาก? ไม่จริงครับ ผมเห็นด้วย ยาวและน่าเบื่อ? ใช่อย่างแน่นอน. แต่บางครั้งคุณสามารถลดปริมาณงานลงได้อย่างมาก สำหรับสิ่งนี้ก็มี วิธีกราฟิกเก่าดีและคุ้นเคยกับเรา)
มาวาดปัญหากันดีกว่า!
ใช่! อย่างแน่นอน. เราแสดงให้เห็นความก้าวหน้าของเราบนแกนตัวเลขอีกครั้ง ไม่จำเป็นต้องปฏิบัติตามไม้บรรทัด ไม่จำเป็นต้องรักษาระยะห่างที่เท่ากันระหว่างคำศัพท์ (ซึ่งจะไม่เหมือนกันเนื่องจากความก้าวหน้านั้นเป็นทางเรขาคณิต!) แต่เพียงแค่ แผนผังลองวาดลำดับของเรากัน
ฉันได้รับมันเช่นนี้:
ตอนนี้ดูภาพแล้วคิดออก มีตัวประกอบ "q" ที่เหมือนกันจำนวนเท่าใดที่แยกจากกัน ที่สี่และ ที่เจ็ดสมาชิก? ถูกต้องสาม!
ดังนั้นเราจึงมีสิทธิ์ทุกประการที่จะเขียน:
-24·ถาม 3 = 192
จากที่นี่มันง่ายที่จะหา q:
ถาม 3 = -8
ถาม = -2
เยี่ยมมาก เรามีตัวส่วนอยู่ในกระเป๋าแล้ว ทีนี้เรามาดูภาพอีกครั้ง: มีตัวส่วนดังกล่าวกี่ตัวที่อยู่ระหว่างนั้น ที่สองและ ที่สี่สมาชิก? สอง! ดังนั้น เพื่อบันทึกความเชื่อมโยงระหว่างพจน์เหล่านี้ เราจะสร้างตัวส่วนขึ้นมา กำลังสอง.
ดังนั้นเราจึงเขียน:
ข 2 · ถาม 2 = -24 , ที่ไหน ข 2 = -24/ ถาม 2
เราแทนที่ตัวส่วนที่พบเป็นนิพจน์สำหรับ b 2 นับและรับ:
คำตอบ: -6
อย่างที่คุณเห็นทุกอย่างง่ายกว่าและเร็วกว่าผ่านระบบมาก ยิ่งกว่านั้น ที่นี่เราไม่จำเป็นต้องนับเทอมแรกเลยด้วยซ้ำ! ได้เลย)
นี่เป็นวิธีแสงที่เรียบง่ายและมองเห็นได้ แต่ก็มีข้อเสียเปรียบร้ายแรงเช่นกัน คุณเดาได้ไหม? ใช่! มันดีเฉพาะกับความก้าวหน้าที่สั้นมากเท่านั้น ผู้ที่มีระยะห่างระหว่างสมาชิกที่เราสนใจไม่มากนัก แต่ในกรณีอื่นๆ ทั้งหมด มันเป็นเรื่องยากอยู่แล้วที่จะวาดภาพ ใช่แล้ว... จากนั้นเราจะแก้ปัญหาแบบวิเคราะห์ผ่านระบบ) และระบบก็เป็นสิ่งที่สากล พวกเขาสามารถจัดการตัวเลขใดก็ได้
อีกหนึ่งความท้าทายที่ยิ่งใหญ่:
เทอมที่สองของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตมากกว่าเทอมแรก 10 และเทอมที่สามมากกว่าเทอมที่สอง 30 ค้นหาตัวหารของความก้าวหน้า
อะไรเจ๋ง? ไม่เลย! เหมือนกันทั้งหมด. เราแปลคำชี้แจงปัญหาเป็นพีชคณิตล้วนๆ อีกครั้ง
1) เราอธิบายแต่ละเทอมตามสูตร nสมาชิกท่านนั้น!
เทอมที่สอง: b 2 = b 1 q
เทอมที่สาม: b 3 = b 1 q 2
2) เราเขียนความเชื่อมโยงระหว่างสมาชิกจากคำชี้แจงปัญหา
เราอ่านเงื่อนไข: “เทอมที่สองของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนั้นมากกว่าเทอมแรกเป็น 10”หยุดเถอะ สิ่งนี้มีค่า!
ดังนั้นเราจึงเขียน:
ข 2 = ข 1 +10
และเราแปลวลีนี้เป็นคณิตศาสตร์บริสุทธิ์:
ข 3 = ข 2 +30
เราได้สมการสองอัน มารวมเข้าด้วยกันเป็นระบบ:
ระบบดูเรียบง่าย แต่มีดัชนีที่แตกต่างกันมากเกินไปสำหรับตัวอักษร ลองใช้พจน์แรกและตัวส่วนแทนพจน์ที่สองและสามแทน! มันไร้ประโยชน์ไหมที่เราทาสีมัน?
เราได้รับ:
แต่ระบบดังกล่าวไม่ใช่ของขวัญอีกต่อไป ใช่... วิธีแก้ปัญหานี้? น่าเสียดายที่ไม่มีคาถาลับสากลสำหรับการแก้ปัญหาที่ซับซ้อน ไม่เชิงเส้นไม่มีระบบในวิชาคณิตศาสตร์และไม่สามารถมีได้ มันวิเศษมาก! แต่สิ่งแรกที่คุณควรคำนึงถึงเมื่อพยายามจะถอดรหัสถั่วที่แข็งเช่นนี้ก็คือการคิดออก แต่สมการของระบบไม่ได้ถูกลดทอนให้เหลือรูปแบบที่สวยงามที่ช่วยให้สามารถแสดงตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งในรูปของตัวแปรอื่นได้อย่างง่ายดายใช่หรือไม่
ลองคิดดูสิ สมการแรกของระบบง่ายกว่าสมการที่สองอย่างชัดเจน เราจะทรมานเขา.) เราไม่ควรลองจากสมการแรกเลย บางสิ่งบางอย่างแสดงผ่าน บางสิ่งบางอย่าง?เนื่องจากเราต้องการหาตัวส่วน ถามแล้วมันจะเป็นข้อได้เปรียบที่สุดสำหรับเราที่จะแสดงออก ข 1 ผ่าน ถาม.
เรามาลองทำขั้นตอนนี้กับสมการแรกโดยใช้สมการเก่าที่ดี:
ข 1 คิว = ข 1 +10
ข 1 คิว – ข 1 = 10
ข 1 (q-1) = 10
ทั้งหมด! เราก็เลยแสดงออกมา ไม่จำเป็นให้ตัวแปร (b 1) แก่เรา จำเป็น(ถาม) ใช่ มันไม่ใช่สำนวนที่ง่ายที่สุดที่เราได้รับ เศษส่วนอะไรสักอย่าง...แต่ระบบของเราก็อยู่ในระดับที่ดีนะเออ)
ทั่วไป. เรารู้ว่าต้องทำอะไร
เราเขียน ODZ (อย่างจำเป็น!) :
คิว ≠ 1
เราคูณทุกอย่างด้วยตัวส่วน (q-1) และยกเลิกเศษส่วนทั้งหมด:
10 ถาม 2 = 10 ถาม + 30(ถาม-1)
เราแบ่งทุกอย่างเป็นสิบ เปิดวงเล็บ แล้วรวบรวมทุกอย่างจากทางซ้าย:
ถาม 2 – 4 ถาม + 3 = 0
เราแก้ไขผลลัพธ์และรับสองรูต:
ถาม 1 = 1
ถาม 2 = 3
มีคำตอบสุดท้ายเพียงข้อเดียว: ถาม = 3 .
คำตอบ: 3
อย่างที่คุณเห็น เส้นทางในการแก้ปัญหาส่วนใหญ่ที่เกี่ยวข้องกับสูตรของเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนั้นเหมือนกันเสมอ: อ่าน อย่างตั้งใจเงื่อนไขของปัญหาและการใช้สูตรของเทอมที่ n เราแปลข้อมูลที่เป็นประโยชน์ทั้งหมดเป็นพีชคณิตล้วนๆ
กล่าวคือ:
1) เราอธิบายแต่ละคำที่กำหนดในปัญหาแยกกันตามสูตรnสมาชิกคนนั้น
2) จากเงื่อนไขของปัญหา เราแปลความเชื่อมโยงระหว่างสมาชิกให้เป็นรูปแบบทางคณิตศาสตร์ เราเขียนสมการหรือระบบสมการ
3) เราแก้สมการหรือระบบสมการผลลัพธ์ค้นหาพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักของความก้าวหน้า
4) กรณีคำตอบไม่ชัดเจน ให้อ่านเงื่อนไขงานอย่างละเอียดเพื่อค้นหาข้อมูลเพิ่มเติม (ถ้ามี) นอกจากนี้เรายังตรวจสอบการตอบกลับที่ได้รับตามเงื่อนไขของ DL (ถ้ามี)
ตอนนี้เรามาดูปัญหาหลักที่มักนำไปสู่ข้อผิดพลาดในกระบวนการแก้ไขปัญหาความก้าวหน้าทางเรขาคณิตกัน
1. เลขคณิตเบื้องต้น การดำเนินการกับเศษส่วนและจำนวนลบ
2. หากมีปัญหาอย่างน้อยหนึ่งในสามประเด็นนี้ คุณจะต้องทำผิดพลาดในหัวข้อนี้อย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ น่าเสียดายที่... ดังนั้นอย่าขี้เกียจและทำซ้ำสิ่งที่กล่าวไว้ข้างต้น และไปตามลิงค์ - ไป บางครั้งก็ช่วยได้)
สูตรที่แก้ไขและเกิดซ้ำ
ตอนนี้เรามาดูปัญหาการสอบทั่วไปสองสามข้อพร้อมการนำเสนอเงื่อนไขที่ไม่ค่อยคุ้นเคยกัน ใช่ ใช่ คุณเดาได้แล้ว! นี้ แก้ไขและ กำเริบสูตรเทอมที่ n เราได้พบสูตรดังกล่าวแล้วและดำเนินการเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ทุกอย่างคล้ายกันที่นี่ สาระสำคัญก็เหมือนกัน
ตัวอย่างเช่น ปัญหานี้จาก OGE:
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตได้มาจากสูตร บีเอ็น = 3 2 n - หาผลรวมของเทอมที่หนึ่งและสี่ของมัน
คราวนี้ความก้าวหน้าไม่ค่อยเหมือนปกติสำหรับเรา ในรูปของสูตรอะไรสักอย่าง แล้วไงล่ะ? สูตรนี้คือ ยังเป็นสูตรnสมาชิกท่านนั้น!คุณและฉันรู้ว่าสูตรของเทอมที่ n สามารถเขียนได้ทั้งในรูปแบบทั่วไป โดยใช้ตัวอักษร และสำหรับ ความก้าวหน้าที่เฉพาะเจาะจง- กับ เฉพาะเจาะจงเทอมแรกและตัวส่วน
ในกรณีของเรา ที่จริงแล้ว เราได้กำหนดสูตรศัพท์ทั่วไปสำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยใช้พารามิเตอร์ต่อไปนี้:
ข 1 = 6
ถาม = 2
เรามาตรวจสอบกันไหม?) ลองเขียนสูตรสำหรับเทอมที่ n ในรูปแบบทั่วไปแล้วแทนที่ลงไป ข 1 และ ถาม- เราได้รับ:
บีเอ็น = ข 1 · qn -1
บีเอ็น= 6 2n -1
เราลดความซับซ้อนโดยใช้การแยกตัวประกอบและคุณสมบัติของกำลัง และเราได้:
บีเอ็น= 6 2n -1 = 3·2·2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n
อย่างที่คุณเห็นทุกอย่างยุติธรรม แต่เป้าหมายของเราไม่ใช่เพื่อแสดงให้เห็นถึงที่มาของสูตรเฉพาะ นี่เป็นการพูดนอกเรื่องโคลงสั้น ๆ เพื่อความเข้าใจล้วนๆ) เป้าหมายของเราคือการแก้ปัญหาตามสูตรที่ให้มาในสภาวะนั้นๆ เข้าใจไหม?) ดังนั้นเราจึงทำงานกับสูตรที่แก้ไขโดยตรง
เรานับเทอมแรก มาทดแทนกัน n=1 ลงในสูตรทั่วไป:
ข 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6
แบบนี้. อย่างไรก็ตาม ฉันจะไม่ขี้เกียจและดึงความสนใจของคุณไปที่ข้อผิดพลาดทั่วไปอีกครั้งด้วยการคำนวณเทอมแรก อย่าดูที่สูตร บีเอ็น= 3 2nรีบเขียนทันทีว่าเทอมแรกเป็นสาม! นี่เป็นความผิดพลาดอย่างร้ายแรง ใช่...)
มาต่อกันเลย มาทดแทนกัน n=4 และนับวาระที่สี่:
ข 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48
และสุดท้าย เราคำนวณจำนวนเงินที่ต้องการ:
ข 1 + ข 4 = 6+48 = 54
คำตอบ: 54
ปัญหาอื่น.
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตถูกกำหนดโดยเงื่อนไข:
ข 1 = -7;
บีเอ็น +1 = 3 บีเอ็น
ค้นหาระยะที่สี่ของความก้าวหน้า
ที่นี่ความก้าวหน้าจะได้รับจากสูตรที่เกิดซ้ำ โอเค.) วิธีการทำงานกับสูตรนี้ – เราก็รู้เช่นกัน
ดังนั้นเราจึงดำเนินการ เป็นขั้นเป็นตอน.
1) นับสอง ติดต่อกันสมาชิกของความก้าวหน้า
เทอมแรกได้มอบให้เราแล้ว ลบเจ็ด. แต่เทอมที่สองถัดไปสามารถคำนวณได้อย่างง่ายดายโดยใช้สูตรการเกิดซ้ำ หากคุณเข้าใจหลักการทำงานของมันแน่นอน)
เราก็นับเทอมที่สอง ตามอันรู้กันก่อนว่า
ข 2 = 3 ข 1 = 3·(-7) = -21
2) คำนวณตัวหารของความก้าวหน้า
ไม่มีปัญหาเช่นกัน เอาตรงๆ แบ่งๆ กัน ที่สองดิ๊ก อันดับแรก.
เราได้รับ:
ถาม = -21/(-7) = 3
3) เขียนสูตรnสมาชิกที่อยู่ในรูปแบบปกติและคำนวณสมาชิกที่ต้องการ
เรารู้เทอมแรก และตัวส่วนก็รู้เช่นกัน ดังนั้นเราจึงเขียน:
บีเอ็น= -7·3n -1
ข 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189
คำตอบ: -189
ดังที่คุณเห็นแล้วว่าการทำงานกับสูตรดังกล่าวสำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนั้นโดยพื้นฐานแล้วไม่ต่างจากความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เลย สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจสาระสำคัญและความหมายทั่วไปของสูตรเหล่านี้เท่านั้น ใช่แล้ว คุณต้องเข้าใจความหมายของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตด้วย) แล้วจะไม่มีข้อผิดพลาดโง่ ๆ
เอาละเรามาตัดสินใจกันเอง?)
งานพื้นฐานมากสำหรับการอุ่นเครื่อง:
1. ได้รับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตซึ่ง ข 1 = 243 ก ถาม = -2/3. ค้นหาระยะที่หกของความก้าวหน้า
2. ระยะทั่วไปของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตกำหนดไว้ในสูตร บีเอ็น = 5∙2 n +1 . ค้นหาตัวเลขของพจน์สามหลักสุดท้ายของความก้าวหน้านี้
3. ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะได้รับตามเงื่อนไข:
ข 1 = -3;
บีเอ็น +1 = 6 บีเอ็น
ค้นหาระยะที่ห้าของความก้าวหน้า
ซับซ้อนกว่านี้เล็กน้อย:
4. เมื่อพิจารณาถึงความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:
ข 1 =2048; ถาม =-0,5
เทอมลบที่หกเท่ากับข้อใด?
อะไรที่ดูเหมือนยากสุดๆ? ไม่เลย. ตรรกะและความเข้าใจในความหมายของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะช่วยคุณได้ แน่นอนว่าสูตรของเทอมที่ n แน่นอน
5. เทอมที่สามของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือ -14 และเทอมที่แปดคือ 112 จงหาตัวส่วนของความก้าวหน้า
6. ผลรวมของเทอมที่หนึ่งและเทอมที่สองของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือ 75 และผลรวมของเทอมที่สองและสามคือ 150 จงหาเทอมที่หกของความก้าวหน้า
คำตอบ (ไม่เป็นระเบียบ): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.
นั่นคือเกือบทั้งหมด สิ่งที่เราต้องทำคือเรียนรู้ที่จะนับ ผลรวมของเทอม n แรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตใช่ ค้นพบ ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตลดลงอย่างไม่สิ้นสุดและปริมาณของมัน สิ่งที่น่าสนใจและแปลกประหลาดมาก! ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ในบทเรียนถัดไป)
จำนวนนี้เรียกว่าตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต กล่าวคือ แต่ละเทอมจะแตกต่างจากเทอมก่อนหน้าด้วย q คูณ (เราจะถือว่า q ≠ 1 ไม่เช่นนั้นทุกอย่างจะเล็กน้อยเกินไป) ง่ายที่จะเห็นว่าสูตรทั่วไปสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือ bn = b 1 qn – 1 ; พจน์ที่มีตัวเลข b n และ b m ต่างกันด้วย q n – m คูณในอียิปต์โบราณพวกเขาไม่เพียงแต่รู้เลขคณิตเท่านั้น แต่ยังรู้จักความก้าวหน้าทางเรขาคณิตด้วย ตัวอย่างเช่น นี่คือปัญหาจากกระดาษปาปิรัส Rhind: “หน้าเจ็ดหน้ามีแมวเจ็ดตัว แมวแต่ละตัวกินหนูเจ็ดตัว หนูแต่ละตัวกินข้าวโพดเจ็ดรวง และข้าวบาร์เลย์แต่ละรวงสามารถปลูกข้าวบาร์เลย์ได้เจ็ดถัง ตัวเลขในชุดนี้มีจำนวนเท่าใดและผลรวมมีจำนวนเท่าใด
 |
|
ข้าว. 1. ปัญหาความก้าวหน้าทางเรขาคณิตของอียิปต์โบราณ |
งานนี้เกิดขึ้นซ้ำหลายครั้งโดยมีความแตกต่างกันในหมู่ชนชาติอื่น ๆ ในเวลาอื่น ตัวอย่างเช่น ที่ถูกเขียนขึ้นในศตวรรษที่ 13 “หนังสือลูกคิด” โดยเลโอนาร์โดแห่งปิซา (ฟีโบนัชชี) มีปัญหาเรื่องหญิงชรา 7 คนปรากฏตัวระหว่างเดินทางไปโรม (เห็นได้ชัดว่าเป็นผู้แสวงบุญ) แต่ละคนมีล่อ 7 ตัว แต่ละตัวมี 7 ถุง แต่ละถุง มีขนมปัง 7 ก้อน แต่ละก้อนมีมีด 7 เล่ม แต่ละก้อนมีฝัก 7 เล่ม ปัญหาถามว่ามีวัตถุกี่ชิ้น
ผลรวมของเทอม n แรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . สูตรนี้สามารถพิสูจน์ได้เช่นนี้: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1
เพิ่มตัวเลข b 1 qn ไปที่ S n และรับ:
|
จากที่นี่ S n (q – 1) = b 1 (q n – 1) และเราได้สูตรที่จำเป็น
บนแผ่นดินเหนียวแห่งหนึ่งของบาบิโลนโบราณ มีอายุย้อนกลับไปตั้งแต่ศตวรรษที่ 6 พ.ศ e. มีผลรวม 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1 จริง เช่นเดียวกับในหลายกรณี เราไม่รู้ว่าชาวบาบิโลนรู้ข้อเท็จจริงนี้ได้อย่างไร .
การเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตในหลายวัฒนธรรม โดยเฉพาะอย่างยิ่งในอินเดีย ถูกนำมาใช้ซ้ำแล้วซ้ำอีกเป็นสัญลักษณ์ที่มองเห็นถึงความกว้างใหญ่ของจักรวาล ในตำนานอันโด่งดังเกี่ยวกับการปรากฏตัวของหมากรุก ผู้ปกครองเปิดโอกาสให้นักประดิษฐ์เลือกรางวัลด้วยตัวเอง และเขาขอจำนวนเมล็ดข้าวสาลีที่จะได้รับหากวางอันหนึ่งไว้ที่สี่เหลี่ยมแรกของกระดานหมากรุก สองอันบน ครั้งที่สอง สี่ในสาม แปดในสี่ และอื่นๆ แต่ละครั้งจำนวนจะเพิ่มเป็นสองเท่า Vladyka คิดว่าอย่างน้อยที่สุดเรากำลังพูดถึงถุงสองสามใบ แต่เขาคำนวณผิด เห็นได้ง่ายว่าสำหรับกระดานหมากรุกทั้ง 64 ช่องนักประดิษฐ์จะต้องได้รับเมล็ดพืช (2 64 - 1) ซึ่งแสดงเป็นตัวเลข 20 หลัก แม้ว่าพื้นผิวโลกทั้งหมดจะถูกหว่าน แต่ก็ต้องใช้เวลาอย่างน้อย 8 ปีในการรวบรวมเมล็ดพืชตามจำนวนที่ต้องการ ตำนานนี้บางครั้งถูกตีความว่าเป็นการบ่งบอกถึงความเป็นไปได้ที่แทบไม่มีขีดจำกัดที่ซ่อนอยู่ในเกมหมากรุก
จะเห็นว่าตัวเลขนี้เป็น 20 หลักจริงๆ:
2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1,024 6 data 16 ∙ 1,000 6 = 1.6∙10 19 (การคำนวณที่แม่นยำยิ่งขึ้นจะให้ 1.84∙10 19) แต่ฉันสงสัยว่าคุณจะพบว่าตัวเลขนี้ลงท้ายด้วยเลขอะไร?
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสามารถเพิ่มขึ้นได้หากตัวส่วนมากกว่า 1 หรือลดลงหากน้อยกว่า 1 ในกรณีหลัง จำนวน q n สำหรับ n ที่มีขนาดใหญ่เพียงพอสามารถกลายเป็นจำนวนที่น้อยได้ตามอำเภอใจ แม้ว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่เพิ่มขึ้นจะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วอย่างไม่คาดคิด แต่ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงก็จะลดลงอย่างรวดเร็วเช่นกัน
ยิ่ง n มีขนาดใหญ่เท่าใด จำนวน q n ก็จะยิ่งแตกต่างจากศูนย์ และยิ่งผลรวมของเงื่อนไข n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตยิ่งใกล้มากขึ้น S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) ถึงตัวเลข S = b 1 / ( 1 – คิว) (เช่น เอฟ.เวียตให้เหตุผลแบบนี้) เลข S เรียกว่าผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด อย่างไรก็ตาม เป็นเวลาหลายศตวรรษมาแล้วที่คำถามว่าอะไรคือความหมายของการสรุปความก้าวหน้าทางเรขาคณิตทั้งหมด พร้อมด้วยจำนวนคำศัพท์ที่ไม่มีที่สิ้นสุด นั้นยังไม่ชัดเจนเพียงพอสำหรับนักคณิตศาสตร์
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงสามารถเห็นได้ เช่น ใน aporias ของ Zeno เรื่อง “Half Division” และ “Achilles and the Tortoise” ในกรณีแรกแสดงให้เห็นชัดเจนว่าถนนทั้งเส้น (สมมุติว่ามีความยาว 1) คือผลรวมของส่วนต่างๆ ที่เป็นจำนวนอนันต์ 1/2, 1/4, 1/8 เป็นต้น แน่นอนว่านี่เป็นกรณีจาก มุมมองของแนวคิดเกี่ยวกับผลรวมอันจำกัดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอนันต์ แล้วนี่จะเป็นไปได้ยังไงล่ะ?
|
ข้าว. 2. ความก้าวหน้าด้วยค่าสัมประสิทธิ์ 1/2 |
ใน aporia เกี่ยวกับจุดอ่อน สถานการณ์มีความซับซ้อนกว่าเล็กน้อย เนื่องจากในตัวส่วนของความก้าวหน้าไม่ใช่ 1/2 แต่เป็นจำนวนอื่น ตัวอย่างเช่น ให้จุดอ่อนวิ่งด้วยความเร็ว v เต่าเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว u และระยะห่างเริ่มต้นระหว่างพวกมันคือ l จุดอ่อนจะครอบคลุมระยะทางนี้ในเวลา l/v และในช่วงเวลานี้เต่าจะเคลื่อนที่เป็นระยะทาง lu/v เมื่อจุดอ่อนวิ่งส่วนนี้ ระยะห่างระหว่างเขากับเต่าจะเท่ากับ l (u /v) 2 เป็นต้น ปรากฎว่าการไล่ตามเต่าหมายถึงการค้นหาผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดกับเทอมแรก l และตัวส่วน u /v ผลรวมนี้ - ส่วนที่จุดอ่อนจะวิ่งไปยังจุดนัดพบกับเต่าในที่สุด - เท่ากับ l / (1 – u /v) = lv / (v – u) แต่ขอย้ำอีกครั้งว่าจะตีความผลลัพธ์นี้อย่างไรและเหตุใดจึงสมเหตุสมผลมาเป็นเวลานานแล้วยังไม่ชัดเจนนัก
|
ข้าว. 3. ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยมีค่าสัมประสิทธิ์ 2/3 |
อาร์คิมิดีสใช้ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเพื่อกำหนดพื้นที่ของส่วนของพาราโบลา ให้ส่วนของพาราโบลานี้คั่นด้วยคอร์ด AB และปล่อยให้แทนเจนต์ที่จุด D ของพาราโบลาขนานกับ AB ให้ C เป็นจุดกึ่งกลางของ AB, E เป็นจุดกึ่งกลางของ AC, F เป็นจุดกึ่งกลางของ CB ลองวาดเส้นขนานกับ DC ผ่านจุด A, E, F, B; ให้เส้นสัมผัสที่ลากที่จุด D ตัดกันเส้นเหล่านี้ที่จุด K, L, M, N มาวาดส่วน AD และ DB กัน ให้เส้น EL ตัดกับเส้น AD ที่จุด G และพาราโบลาที่จุด H เส้น FM ตัดกับเส้น DB ที่จุด Q และพาราโบลาที่จุด R ตามทฤษฎีทั่วไปของหน้าตัดทรงกรวย DC คือเส้นผ่านศูนย์กลางของพาราโบลา (นั่นคือ ส่วนที่ขนานกับแกน) มันและแทนเจนต์ที่จุด D สามารถทำหน้าที่เป็นแกนพิกัด x และ y ซึ่งสมการของพาราโบลาเขียนเป็น y 2 = 2px (x คือระยะห่างจาก D ไปยังจุดใดๆ ของเส้นผ่านศูนย์กลางที่กำหนด y คือความยาวของ ส่วนขนานกับแทนเจนต์ที่กำหนดจากจุดเส้นผ่านศูนย์กลางนี้ไปยังจุดใดจุดหนึ่งบนพาราโบลาเอง)
โดยอาศัยสมการพาราโบลา DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA และเนื่องจาก DK = 2DL ดังนั้น KA = 4LH เพราะ KA = 2LG, LH = HG พื้นที่เซกเมนต์ ADB ของพาราโบลาเท่ากับพื้นที่สามเหลี่ยม ΔADB และพื้นที่ของเซกเมนต์ AHD และ DRB รวมกัน ในทางกลับกัน พื้นที่ของเซ็กเมนต์ AHD จะเท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยม AHD และเซ็กเมนต์ที่เหลือ AH และ HD ในทำนองเดียวกัน โดยแต่ละส่วนคุณสามารถดำเนินการเดียวกันได้ - แบ่งออกเป็นสามเหลี่ยม (Δ) และ สองส่วนที่เหลือ () ฯลฯ :
พื้นที่ของสามเหลี่ยม ΔAHD เท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของสามเหลี่ยม ΔALD (มี AD ฐานร่วมและความสูงต่างกัน 2 เท่า) ซึ่งในทางกลับกันจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ สามเหลี่ยม ΔAKD และครึ่งหนึ่งของพื้นที่สามเหลี่ยม ΔACD ดังนั้น พื้นที่ของสามเหลี่ยม ΔAHD เท่ากับหนึ่งในสี่ของพื้นที่ของสามเหลี่ยม ΔACD ในทำนองเดียวกัน พื้นที่ของสามเหลี่ยม ΔDRB เท่ากับหนึ่งในสี่ของพื้นที่สามเหลี่ยม ΔDFB ดังนั้น พื้นที่ของสามเหลี่ยม ΔAHD และ ΔDRB เมื่อนำมารวมกันจะเท่ากับหนึ่งในสี่ของพื้นที่ของสามเหลี่ยม ΔADB ทำซ้ำการดำเนินการนี้เมื่อนำไปใช้กับกลุ่ม AH, HD, DR และ RB จะเลือกสามเหลี่ยมจากพวกเขา พื้นที่ซึ่งเมื่อนำมารวมกันจะน้อยกว่าพื้นที่สามเหลี่ยม ΔAHD และ ΔDRB 4 เท่า เมื่อนำมารวมกัน และ จึงน้อยกว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยม ΔADB 16 เท่า และอื่นๆ:
ดังนั้น อาร์คิมิดีสจึงพิสูจน์ว่า “ทุกๆ ส่วนระหว่างเส้นตรงและพาราโบลาประกอบขึ้นเป็นสี่ในสามของรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีฐานเท่ากันและมีความสูงเท่ากัน”
