ราก n- ยกกำลังของจำนวนธรรมชาติ กหมายเลขนี้เรียกว่า nระดับที่เท่ากับ ก- รูทถูกกำหนดดังนี้: . เรียกว่าสัญลักษณ์ √ เครื่องหมายรากหรือ เครื่องหมายหัวรุนแรง, ตัวเลข ก - เลขฐานราก, n - เลขชี้กำลังราก.
การกระทำที่พบรากของระดับที่กำหนดเรียกว่า การสกัดราก.
เนื่องจากตามคำจำกัดความของแนวคิดเรื่องราก nปริญญา
ที่ การสกัดราก- การกระทำที่ผกผันกับการยกกำลัง โดยช่วยค้นหาฐานของระดับจากระดับที่กำหนดและจากเลขชี้กำลังที่กำหนด
รากที่สอง
รากที่สองของตัวเลข กคือจำนวนที่มีกำลังสองเท่ากับ ก.
การดำเนินการที่ใช้คำนวณรากที่สองเรียกว่าการรูตกำลังสอง
รากที่สอง- การกระทำตรงกันข้ามของการยกกำลังสอง (หรือการเพิ่มตัวเลขเป็นกำลังสอง) เมื่อยกกำลังสองตัวเลข คุณต้องหากำลังสองของมันให้ได้ เมื่อแยกรากที่สอง เราจะรู้กำลังสองของตัวเลข คุณต้องใช้มันเพื่อค้นหาตัวเลขนั้นเอง
ดังนั้นเพื่อตรวจสอบความถูกต้องของการกระทำคุณสามารถเพิ่มรากที่พบเป็นกำลังสองและหากระดับเท่ากับจำนวนรากก็จะพบรากได้อย่างถูกต้อง
มาดูการแยกรากที่สองและตรวจสอบโดยใช้ตัวอย่าง มาคำนวณกันหรือ (โดยปกติแล้วเลขชี้กำลังรูตที่มีค่า 2 จะไม่ถูกเขียนเนื่องจาก 2 เป็นเลขชี้กำลังที่เล็กที่สุดและควรจำไว้ว่าหากไม่มีเลขชี้กำลังเหนือเครื่องหมายรูท แสดงว่าเลขชี้กำลัง 2 มีความหมายโดยนัย) สำหรับสิ่งนี้ เรา จำเป็นต้องหาตัวเลขเมื่อยกขึ้นเป็นวินาทีระดับจะเป็น 49 แน่นอนว่าตัวเลขดังกล่าวคือ 7 เนื่องจาก
7 7 = 7 2 = 49.
การคำนวณรากที่สอง
หากตัวเลขที่ระบุคือ 100 หรือน้อยกว่า ก็สามารถคำนวณรากที่สองของตัวเลขนั้นได้โดยใช้ตารางสูตรคูณ ตัวอย่างเช่น รากที่สองของ 25 คือ 5 เพราะ 5 5 = 25
ทีนี้ เรามาดูวิธีการหารากที่สองของจำนวนใดๆ โดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลขกัน ตัวอย่างเช่น ลองเอาตัวเลข 4489 มาเริ่มคำนวณทีละขั้นตอน
- ให้เราพิจารณาว่ารากที่ต้องการควรประกอบด้วยตัวเลขใด เนื่องจาก 10 2 = 10 · 10 = 100 และ 100 2 = 100 · 100 = 10,000 จะเห็นได้ชัดว่ารูตที่ต้องการต้องมากกว่า 10 และน้อยกว่า 100 เช่น ประกอบด้วยหลักสิบและหนึ่ง
- หาจำนวนหลักสิบของราก. การคูณหลักสิบจะได้ผลลัพธ์เป็นร้อย และในจำนวนของเราก็มี 44 หลัก ดังนั้นรากจึงต้องมีหลักสิบจำนวนมากจนกำลังสองของหลักสิบได้ประมาณ 44 ร้อย ดังนั้นรากต้องมี 6 สิบ เพราะ 60 2 = 3600 และ 70 2 = 4900 (มากเกินไป) ดังนั้นเราจึงพบว่ารากของเรามี 6 สิบและหลายสิบเนื่องจากมันอยู่ในช่วง 60 ถึง 70
- ตารางสูตรคูณจะช่วยคุณกำหนดจำนวนหน่วยในรูท เมื่อดูเลข 4489 เราจะเห็นว่าเลขหลักสุดท้ายในนั้นคือ 9 ทีนี้เราดูตารางสูตรคูณแล้วพบว่า 9 หน่วยจะได้จากการยกกำลังสองตัวเลข 3 และ 7 เท่านั้น ซึ่งหมายความว่ารากของตัวเลขจะเป็น เท่ากับ 63 หรือ 67
- เราตรวจสอบตัวเลข 63 และ 67 ที่เราได้รับโดยการยกกำลังสอง: 63 2 = 3969, 67 2 = 4489
คณิตศาสตร์เกิดขึ้นเมื่อมนุษย์ตระหนักถึงตนเองและเริ่มวางตำแหน่งตนเองเป็นหน่วยอิสระของโลก ความปรารถนาที่จะวัด เปรียบเทียบ นับสิ่งที่อยู่รอบตัวคุณคือสิ่งที่เป็นรากฐานของวิทยาศาสตร์พื้นฐานประการหนึ่งในยุคของเรา ในตอนแรกสิ่งเหล่านี้เป็นอนุภาคของคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษาซึ่งทำให้สามารถเชื่อมโยงตัวเลขกับการแสดงออกทางกายภาพได้ต่อมาข้อสรุปเริ่มถูกนำเสนอในทางทฤษฎีเท่านั้น (เนื่องจากนามธรรม) แต่หลังจากนั้นไม่นานตามที่นักวิทยาศาสตร์คนหนึ่งกล่าวไว้ " คณิตศาสตร์ถึงจุดสูงสุดของความซับซ้อนเมื่อมันหายไปจากตัวเลขทั้งหมด” แนวคิดของ "รากที่สอง" ปรากฏขึ้นในเวลาที่ข้อมูลเชิงประจักษ์สามารถรองรับได้อย่างง่ายดาย ซึ่งอยู่นอกเหนือระนาบของการคำนวณ
ที่ซึ่งทุกอย่างเริ่มต้นขึ้น
การกล่าวถึงรากครั้งแรกซึ่งปัจจุบันแสดงเป็น √ ได้รับการบันทึกไว้ในงานของนักคณิตศาสตร์ชาวบาบิโลนซึ่งเป็นผู้วางรากฐานสำหรับเลขคณิตสมัยใหม่ แน่นอนว่าพวกเขามีความคล้ายคลึงเล็กน้อยกับรูปแบบปัจจุบัน - นักวิทยาศาสตร์ในช่วงหลายปีที่ผ่านมาใช้แท็บเล็ตขนาดใหญ่เป็นครั้งแรก แต่ในสหัสวรรษที่สองก่อนคริสต์ศักราช จ. พวกเขาได้รับสูตรการคำนวณโดยประมาณที่แสดงวิธีแยกรากที่สอง ภาพด้านล่างแสดงหินที่นักวิทยาศาสตร์ชาวบาบิโลนแกะสลักกระบวนการอนุมาน √2 และปรากฏว่าถูกต้องมากจนพบความคลาดเคลื่อนในคำตอบในทศนิยมตำแหน่งที่สิบเท่านั้น
นอกจากนี้ รากยังถูกใช้หากจำเป็นต้องค้นหาด้านของสามเหลี่ยม โดยที่รู้อีกสองอัน เมื่อแก้สมการกำลังสอง ไม่มีทางหนีจากการแตกรากได้
นอกเหนือจากงานของชาวบาบิโลนแล้ว วัตถุประสงค์ของบทความนี้ยังได้รับการศึกษาในงานจีนเรื่อง "คณิตศาสตร์ในหนังสือเก้าเล่ม" และชาวกรีกโบราณได้ข้อสรุปว่าจำนวนใดก็ตามที่ไม่สามารถแยกรากออกมาได้โดยไม่มีเศษเหลือให้ผลลัพธ์ที่ไม่มีเหตุผล .
ต้นกำเนิดของคำนี้เกี่ยวข้องกับการแทนตัวเลขในภาษาอาหรับ: นักวิทยาศาสตร์โบราณเชื่อว่ากำลังสองของจำนวนตามใจชอบนั้นเติบโตจากรากเหมือนพืช ในภาษาละติน คำนี้ฟังดูเหมือน Radix (คุณสามารถติดตามรูปแบบได้ - ทุกสิ่งที่มีความหมายว่า "ราก" นั้นเป็นพยัญชนะ ไม่ว่าจะเป็นหัวไชเท้าหรือหัวไชเท้าอักเสบ)
นักวิทยาศาสตร์รุ่นต่อๆ มาหยิบยกแนวคิดนี้ขึ้นมา โดยกำหนดให้เป็น Rx ตัวอย่างเช่น ในศตวรรษที่ 15 เพื่อระบุว่ามีการใช้รากที่สองของจำนวนใดๆ a พวกเขาจึงเขียน R 2 a “เห็บ” ที่คุ้นเคยในสายตาของคนยุคใหม่ ปรากฏในศตวรรษที่ 17 เท่านั้น ต้องขอบคุณ Rene Descartes
วันของเรา
ในแง่คณิตศาสตร์ รากที่สองของตัวเลข y คือตัวเลข z ซึ่งกำลังสองเท่ากับ y กล่าวอีกนัยหนึ่ง z 2 =y เทียบเท่ากับ √y=z อย่างไรก็ตาม คำจำกัดความนี้เกี่ยวข้องกับรากเลขคณิตเท่านั้น เนื่องจากมีความหมายเป็นนัยถึงค่าที่ไม่เป็นลบของนิพจน์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง √y=z โดยที่ z มากกว่าหรือเท่ากับ 0
โดยทั่วไป ซึ่งใช้กับการหารากพีชคณิต ค่าของนิพจน์อาจเป็นค่าบวกหรือลบก็ได้ ดังนั้น เนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่า z 2 =y และ (-z) 2 =y เรามี: √y=±z หรือ √y=|z|
เนื่องจากความจริงที่ว่าความรักในคณิตศาสตร์เพิ่มขึ้นเมื่อมีการพัฒนาทางวิทยาศาสตร์เท่านั้นจึงมีอาการแสดงความรักต่อคณิตศาสตร์หลายอย่างที่ไม่ได้แสดงออกด้วยการคำนวณแบบแห้ง ตัวอย่างเช่น นอกเหนือจากปรากฏการณ์ที่น่าสนใจเช่นวันพายแล้ว ก็มีการเฉลิมฉลองวันหยุดรากที่สองด้วย มีการเฉลิมฉลองเก้าครั้งทุกๆ ร้อยปี และถูกกำหนดตามหลักการต่อไปนี้ ตัวเลขที่ระบุตามลำดับวันและเดือนจะต้องเป็นรากที่สองของปี ดังนั้นครั้งต่อไปที่เราจะเฉลิมฉลองวันหยุดนี้คือวันที่ 4 เมษายน 2016
คุณสมบัติของรากที่สองบนสนาม R
นิพจน์ทางคณิตศาสตร์เกือบทั้งหมดมีพื้นฐานทางเรขาคณิต และ √y ซึ่งถูกกำหนดให้เป็นด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่ y ก็ไม่สามารถรอดพ้นชะตากรรมนี้ได้
จะหารากของตัวเลขได้อย่างไร?
มีอัลกอริธึมการคำนวณหลายอย่าง วิธีที่ง่ายที่สุด แต่ในขณะเดียวกันก็ค่อนข้างยุ่งยากคือการคำนวณทางคณิตศาสตร์ตามปกติซึ่งมีดังต่อไปนี้:
1) จากจำนวนที่เราต้องการรูท เลขคี่จะถูกลบออกตามลำดับ - จนกว่าส่วนที่เหลือที่เอาต์พุตจะน้อยกว่าจำนวนที่ถูกลบออกหรือแม้กระทั่งเท่ากับศูนย์ จำนวนการเคลื่อนไหวจะกลายเป็นจำนวนที่ต้องการในที่สุด เช่น คำนวณรากที่สองของ 25:
เลขคี่ถัดไปคือ 11 ส่วนที่เหลือคือ 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?
ในกรณีเช่นนี้ จะมีการขยายซีรีส์ Taylor:
√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n โดยที่ n รับค่าตั้งแต่ 0 ถึง
+∞ และ |y|≤1
การแสดงกราฟของฟังก์ชัน z=√y
ลองพิจารณาฟังก์ชันพื้นฐาน z=√y บนสนามของจำนวนจริง R โดยที่ y มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ กำหนดการมีลักษณะดังนี้:
เส้นโค้งขยายจากจุดกำเนิดและจำเป็นต้องตัดกันจุด (1; 1)
คุณสมบัติของฟังก์ชัน z=√y บนสนามของจำนวนจริง R
1. ขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชันที่พิจารณาคือช่วงจากศูนย์ถึงบวกอนันต์ (รวมศูนย์ด้วย)
2. ช่วงของค่าของฟังก์ชันที่พิจารณาคือช่วงจากศูนย์ถึงบวกอนันต์ (รวมศูนย์อีกครั้ง)
3. ฟังก์ชันรับค่าต่ำสุด (0) ที่จุด (0; 0) เท่านั้น ไม่มีมูลค่าสูงสุด
4. ฟังก์ชัน z=√y ไม่เป็นคู่หรือคี่
5. ฟังก์ชัน z=√y ไม่ใช่คาบ
6. มีจุดตัดกันเพียงจุดเดียวของกราฟของฟังก์ชัน z=√y ที่มีแกนพิกัด: (0; 0)
7. จุดตัดของกราฟของฟังก์ชัน z=√y จะเป็นศูนย์ของฟังก์ชันนี้ด้วย
8. ฟังก์ชัน z=√y มีการเติบโตอย่างต่อเนื่อง
9. ฟังก์ชัน z=√y รับเฉพาะค่าบวก ดังนั้นกราฟจึงครองมุมพิกัดแรก
ตัวเลือกสำหรับการแสดงฟังก์ชัน z=√y
ในทางคณิตศาสตร์ เพื่ออำนวยความสะดวกในการคำนวณนิพจน์ที่ซับซ้อน บางครั้งจึงใช้รูปแบบกำลังของการเขียนรากที่สอง: √y=y 1/2 ตัวเลือกนี้สะดวก เช่น ในการเพิ่มฟังก์ชันเป็นกำลัง: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 วิธีนี้ยังเป็นตัวแทนที่ดีในการหาอนุพันธ์ด้วยการอินทิเกรต เนื่องจากวิธีนี้ทำให้รากที่สองจึงแสดงเป็นฟังก์ชันยกกำลังธรรมดาได้
และในการเขียนโปรแกรม การแทนที่สัญลักษณ์ √ คือการรวมกันของตัวอักษร sqrt
เป็นที่น่าสังเกตว่าในพื้นที่นี้รากที่สองเป็นที่ต้องการอย่างมากเนื่องจากเป็นส่วนหนึ่งของสูตรเรขาคณิตส่วนใหญ่ที่จำเป็นสำหรับการคำนวณ อัลกอริธึมการนับนั้นค่อนข้างซับซ้อนและขึ้นอยู่กับการเรียกซ้ำ (ฟังก์ชันที่เรียกตัวเอง)
รากที่สองในสนามเชิงซ้อน C
โดยทั่วไปแล้ว มันเป็นหัวข้อของบทความนี้ที่กระตุ้นการค้นพบสนามของจำนวนเชิงซ้อน C เนื่องจากนักคณิตศาสตร์ถูกหลอกหลอนด้วยคำถามของการได้รากคู่ของจำนวนลบ นี่คือวิธีที่หน่วยจินตภาพที่ฉันปรากฏ ซึ่งมีคุณสมบัติที่น่าสนใจมาก นั่นคือกำลังสองของมันคือ -1 ด้วยเหตุนี้ สมการกำลังสองจึงถูกแก้ไขแม้จะมีการแบ่งแยกเชิงลบก็ตาม ใน C คุณสมบัติเดียวกันนี้เกี่ยวข้องกับรากที่สองเช่นเดียวกับใน R สิ่งเดียวคือข้อจำกัดเกี่ยวกับนิพจน์รากจะถูกลบออก
ในคำนำฉบับพิมพ์ครั้งแรกของเขา "ในอาณาจักรแห่งความเฉลียวฉลาด" (1908) E. I. Ignatiev เขียนว่า: "... ความคิดริเริ่มทางปัญญาสติปัญญาที่รวดเร็วและ "ความเฉลียวฉลาด" ไม่สามารถ "เจาะ" หรือ "ใส่" ในหัวของใครก็ได้ ผลลัพธ์จะเชื่อถือได้ก็ต่อเมื่อมีการแนะนำความรู้ทางคณิตศาสตร์ด้วยวิธีที่ง่ายและน่าพึงพอใจ โดยใช้วัตถุและตัวอย่างจากสถานการณ์ปกติและในชีวิตประจำวัน คัดเลือกด้วยไหวพริบและความบันเทิงที่เหมาะสม”
ในคำนำของฉบับปี 1911 “บทบาทของความทรงจำในคณิตศาสตร์” E.I. Ignatiev เขียนว่า “... ในทางคณิตศาสตร์ ไม่ใช่สูตรที่ควรจำ แต่เป็นกระบวนการคิด”
หากต้องการแยกรากที่สอง จะมีตารางกำลังสองสำหรับตัวเลขสองหลัก คุณสามารถแยกตัวประกอบตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะและแยกรากที่สองของผลคูณได้ ตารางสี่เหลี่ยมบางครั้งไม่เพียงพอ การแยกรากด้วยการแยกตัวประกอบเป็นงานที่ใช้เวลานาน ซึ่งไม่ได้นำไปสู่ผลลัพธ์ที่ต้องการเสมอไป ลองหารากที่สองของ 209764 ดูไหม? การแยกตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะจะได้ผลคูณ 2*2*52441 โดยการลองผิดลองถูกการเลือก - แน่นอนว่าสามารถทำได้หากคุณแน่ใจว่านี่คือจำนวนเต็ม วิธีที่ผมอยากเสนอให้คุณหาค่ารากที่สองได้ไม่ว่าในกรณีใดก็ตาม
กาลครั้งหนึ่งที่สถาบัน (Perm State Pedagogical Institute) เราได้รับการแนะนำให้รู้จักกับวิธีนี้ซึ่งตอนนี้ฉันอยากจะพูดถึง ฉันไม่เคยสงสัยว่าวิธีนี้มีหลักฐานหรือไม่ ดังนั้นตอนนี้ฉันต้องอนุมานหลักฐานบางส่วนด้วยตัวเอง
พื้นฐานของวิธีนี้คือองค์ประกอบของตัวเลข =
=& เช่น & 2 =596334.
1. แบ่งตัวเลข (5963364) เป็นคู่จากขวาไปซ้าย (5`96`33`64)
2. แยกรากที่สองของกลุ่มแรกทางซ้าย ( - หมายเลข 2) นี่คือวิธีที่เราได้ตัวเลขตัวแรกของ &
3. ค้นหากำลังสองของหลักแรก (2 2 =4)
4. จงหาผลต่างระหว่างกลุ่มแรกกับกำลังสองของหลักแรก (5-4=1)
5. เราลบตัวเลขสองหลักถัดไป (เราได้หมายเลข 196)
6. เพิ่มตัวเลขตัวแรกที่เราพบเป็นสองเท่าแล้วเขียนไว้ทางด้านซ้ายหลังเส้น (2*2=4)
7. ตอนนี้เราต้องหาหลักที่สองของตัวเลข &: สองเท่าของหลักแรกที่เราพบกลายเป็นหลักสิบของตัวเลข ซึ่งเมื่อคูณด้วยจำนวนหน่วยแล้ว จะต้องได้ตัวเลขที่น้อยกว่า 196 (นี่คือ เลข 4, 44*4=176) 4 คือหลักที่สองของ &
8. ค้นหาความแตกต่าง (196-176=20)
9. เราทำลายกลุ่มถัดไป (เราได้หมายเลข 2033)
10. เพิ่มเลข 24 เป็นสองเท่า เราได้ 48
มีสิบ 11.48 ในจำนวน เมื่อคูณด้วยจำนวนหลักเราควรได้ตัวเลขที่น้อยกว่า 2033 (484*4=1936) หลักหน่วยที่เราพบ (4) คือหลักที่สามของตัวเลข &
ข้าพเจ้าได้ให้หลักฐานไว้แล้วในกรณีดังต่อไปนี้
1. แยกรากที่สองของตัวเลขสามหลัก
2. แยกรากที่สองของตัวเลขสี่หลัก
วิธีโดยประมาณในการแยกรากที่สอง (โดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข)
1. ชาวบาบิโลนโบราณใช้วิธีการต่อไปนี้เพื่อค้นหาค่าประมาณของรากที่สองของจำนวน x พวกเขาแสดงตัวเลข x เป็นผลรวมของ a 2 + b โดยที่ 2 คือกำลังสองที่แน่นอนของจำนวนธรรมชาติ a (a 2 ? x) ที่ใกล้กับตัวเลข x มากที่สุด และใช้สูตร 
. (1)
โดยใช้สูตร (1) เราแยกรากที่สองจากหมายเลข 28:
ผลลัพธ์ของการแยกรากของ 28 โดยใช้ MK คือ 5.2915026
ดังที่คุณเห็นแล้วว่าวิธีแบบบาบิโลนให้ค่าประมาณค่าที่แน่นอนของรากได้ดี
2. ไอแซก นิวตันได้พัฒนาวิธีการหารากที่สองซึ่งมีมาตั้งแต่สมัยนกกระสาแห่งอเล็กซานเดรีย (ประมาณ ค.ศ. 100) วิธีนี้ (เรียกว่าวิธีของนิวตัน) มีดังต่อไปนี้
อนุญาต 1- การประมาณค่าแรกของตัวเลข (ในฐานะ 1 คุณสามารถรับค่าของรากที่สองของจำนวนธรรมชาติได้ - กำลังสองที่แน่นอนไม่เกิน เอ็กซ์) .
ถัดไป การประมาณที่แม่นยำยิ่งขึ้น 2ตัวเลข
พบได้ตามสูตร 
.
นักเรียนมักจะถามเสมอว่า “ทำไมฉันไม่สามารถใช้เครื่องคิดเลขในการสอบคณิตศาสตร์ได้? จะแยกรากที่สองของตัวเลขโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลขได้อย่างไร? ลองตอบคำถามนี้กัน
จะแยกรากที่สองของตัวเลขโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลขได้อย่างไร?
การกระทำ รากที่สองผกผันกับการกระทำของกำลังสอง
√81= 9 9 2 =81
หากคุณหารากที่สองของจำนวนบวกแล้วยกกำลังสองผลลัพธ์ คุณจะได้จำนวนเดียวกัน
จากจำนวนเล็กๆ ที่เป็นกำลังสองของจำนวนธรรมชาติ เช่น 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100 สามารถแยกรากที่สองออกมาทางวาจาได้ โดยปกติที่โรงเรียนพวกเขาจะสอนตารางกำลังสองของจำนวนธรรมชาติมากถึงยี่สิบ เมื่อรู้ตารางนี้แล้ว มันเป็นเรื่องง่ายที่จะแยกรากที่สองออกจากตัวเลข 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 จากตัวเลขที่มากกว่า 400 คุณสามารถแยกมันออกมาได้โดยใช้วิธีการเลือกโดยใช้เคล็ดลับบางประการ ลองมาดูวิธีนี้พร้อมตัวอย่าง
ตัวอย่าง: แยกรากของหมายเลข 676.
เราสังเกตว่า 20 2 = 400 และ 30 2 = 900 ซึ่งหมายถึง 20< √676 < 900.
กำลังสองที่แน่นอนของจำนวนธรรมชาติลงท้ายด้วย 0; 1; 4; 5; 6; 9.
หมายเลข 6 ถูกกำหนดโดย 4 2 และ 6 2
ซึ่งหมายความว่าหากรากถูกนำมาจาก 676 จะเป็น 24 หรือ 26
ยังคงต้องตรวจสอบ: 24 2 = 576, 26 2 = 676
คำตอบ: √676 = 26 .
มากกว่า ตัวอย่าง: √6889 .
ตั้งแต่ 80 2 = 6400 และ 90 2 = 8100 จากนั้น 80< √6889 < 90.
หมายเลข 9 กำหนดโดย 3 2 และ 7 2 จากนั้น √6889 จะเท่ากับ 83 หรือ 87
ตรวจสอบกัน: 83 2 = 6889
คำตอบ: √6889 = 83 .
หากคุณพบว่าการแก้ปัญหาโดยใช้วิธีการเลือกนั้นทำได้ยาก คุณสามารถแยกตัวประกอบนิพจน์รากได้
ตัวอย่างเช่น, หา √893025.
ลองแยกตัวประกอบตัวเลข 893025 จำไว้ว่าคุณทำตอนเกรด 6
เราได้: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945
มากกว่า ตัวอย่าง: √20736- ลองแยกตัวประกอบจำนวน 20736:
เราได้ √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144
แน่นอนว่าการแยกตัวประกอบต้องอาศัยความรู้เกี่ยวกับเครื่องหมายการหารลงตัวและทักษะการแยกตัวประกอบ
และสุดท้ายก็มี กฎการแยกรากที่สอง- มาทำความคุ้นเคยกับกฎนี้พร้อมตัวอย่าง
คำนวณ √279841.
หากต้องการแยกรากของจำนวนเต็มหลายหลัก ให้หารจากขวาไปซ้ายเป็นหน้าที่มี 2 หลัก (ขอบซ้ายสุดอาจมีหนึ่งหลัก) เราเขียนแบบนี้: 27'98'41
ในการหาเลขตัวแรกของราก (5) เราจะหารากที่สองของกำลังสองสมบูรณ์ที่ใหญ่ที่สุดที่อยู่ในหน้าแรกทางซ้าย (27)
จากนั้นกำลังสองของหลักแรกของราก (25) จะถูกลบออกจากหน้าแรกและหน้าถัดไป (98) จะถูกบวกเข้ากับผลต่าง (ลบออก)
ทางด้านซ้ายของผลลัพธ์ 298 เขียนเลขสองหลักของรูท (10) หารด้วยจำนวนสิบทั้งหมดของตัวเลขที่ได้รับก่อนหน้านี้ (29/2 data 2) ทดสอบผลหาร (102 ∙ 2 = 204 ไม่ควรเกิน 298) และเขียน (2) หลังเลขหลักแรกของราก
จากนั้นผลหารผลลัพธ์ 204 จะถูกลบออกจาก 298 และขอบถัดไป (41) จะถูกบวกเข้ากับผลต่าง (94)
ทางด้านซ้ายของผลลัพธ์หมายเลข 9441 เขียนผลคูณสองเท่าของหลักราก (52 ∙2 = 104) หารจำนวนสิบทั้งหมดของตัวเลข 9441 (944/104 กลับไปยัง 9) ด้วยผลิตภัณฑ์นี้ ทดสอบ ผลหาร (1,049 ∙9 = 9441) ควรเป็น 9441 และจดไว้ (9) หลังหลักที่สองของราก
เราได้รับคำตอบ √279841 = 529
สกัดในลักษณะเดียวกัน รากของเศษส่วนทศนิยม- เฉพาะจำนวนรากเท่านั้นที่ต้องแบ่งออกเป็นหน้าเพื่อให้ลูกน้ำอยู่ระหว่างหน้า
ตัวอย่าง. ค้นหาค่า √0.00956484
เพียงจำไว้ว่าหากเศษส่วนทศนิยมมีจำนวนตำแหน่งทศนิยมเป็นคี่ ก็จะไม่สามารถถอดรากที่สองจากเศษส่วนนั้นได้
ตอนนี้คุณได้เห็นสามวิธีในการแยกรากแล้ว เลือกอันที่เหมาะกับคุณที่สุดแล้วฝึกฝน หากต้องการเรียนรู้ที่จะแก้ปัญหา คุณต้องแก้ปัญหาเหล่านั้น และหากคุณมีคำถามใดๆ .
blog.site เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มาดั้งเดิม
คอลัมน์อยู่สูงกว่าและเมื่อต้องใช้อักขระมากกว่าสิบห้าอักขระ คอมพิวเตอร์และโทรศัพท์ที่มีเครื่องคิดเลขมักจะพัก ยังคงต้องตรวจสอบว่าคำอธิบายของเทคนิคจะใช้เวลา 4-5,000 ตัวอักษรหรือไม่
ใส่ตัวเลขใดๆ จากจุดทศนิยมเราจะนับคู่หลักทางขวาและซ้าย
ตัวอย่างเช่น 1234567890.098765432100
คู่หลักก็เหมือนกับตัวเลขสองหลัก รากของตัวเลขสองหลักคือตัวเลขหนึ่งหลัก เราเลือกตัวเลขตัวเดียวที่มีกำลังสองน้อยกว่าตัวเลขคู่แรก ในกรณีของเราคือ 3
เหมือนกับการหารด้วยคอลัมน์ เราจะเขียนกำลังสองนี้ใต้คู่แรกแล้วลบออกจากคู่แรก ผลลัพธ์จะถูกขีดเส้นใต้ 12 - 9 = 3 เพิ่มตัวเลขคู่ที่สองเข้าไปในผลต่างนี้ (จะเป็น 334) ทางด้านซ้ายของจำนวนคันดิน ค่าสองเท่าของผลลัพธ์ส่วนที่หาไปแล้วจะเสริมด้วยตัวเลข (เรามี 2 * 6 = 6) โดยเมื่อคูณด้วยตัวเลขที่ไม่ได้รับจะได้ ไม่เกินจำนวนที่มีหลักคู่ที่สอง เราพบว่าตัวเลขที่พบคือห้า เราพบความแตกต่าง (9) อีกครั้งเพิ่มตัวเลขคู่ถัดไปเพื่อให้ได้ 956 เขียนส่วนที่เป็นสองเท่าของผลลัพธ์ (70) อีกครั้งเสริมด้วยตัวเลขที่ต้องการอีกครั้งและต่อไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะหยุด หรือเพื่อความแม่นยำในการคำนวณที่ต้องการ
ประการแรก ในการคำนวณรากที่สอง คุณจำเป็นต้องรู้ตารางสูตรคูณเป็นอย่างดี ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือ 25 (5 x 5 = 25) เป็นต้น หากคุณใช้จำนวนที่ซับซ้อนมากขึ้น คุณสามารถใช้ตารางนี้ได้ โดยเส้นแนวนอนเป็นหน่วยและเส้นแนวตั้งเป็นสิบ
มีวิธีที่ดีในการหารากของตัวเลขโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข ในการทำเช่นนี้คุณจะต้องมีไม้บรรทัดและเข็มทิศ ประเด็นก็คือคุณพบค่าที่อยู่ใต้รากของคุณบนไม้บรรทัด ตัวอย่างเช่น ทำเครื่องหมายไว้ข้าง 9 งานของคุณคือแบ่งตัวเลขนี้ออกเป็นส่วนๆ จำนวนเท่าๆ กัน กล่าวคือ แบ่งออกเป็นสองบรรทัด เส้นละ 4.5 ซม. และเป็นส่วนคู่ เดาได้ง่ายว่าสุดท้ายแล้วคุณจะได้ 3 ส่วน ส่วนละ 3 เซนติเมตร
วิธีการนี้ไม่ใช่เรื่องง่ายและไม่เหมาะกับตัวเลขจำนวนมากแต่สามารถคำนวณได้โดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข
โดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข วิธีการแยกรากที่สองได้รับการสอนในสมัยโซเวียตที่โรงเรียนในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8
ในการทำเช่นนี้ คุณจะต้องแบ่งตัวเลขหลายหลักจากขวาไปซ้ายให้เป็นขอบของ 2 หลัก :
หลักแรกของรากคือรากทั้งหมดของด้านซ้าย ในกรณีนี้คือ 5
เราลบ 5 กำลังสองจาก 31, 31-25 = 6 และบวกด้านถัดไปของหก เราได้ 678
หลักถัดไป x จะจับคู่กับห้าคู่ดังนั้น
10x*x เป็นค่าสูงสุด แต่น้อยกว่า 678
x=6 เนื่องจาก 106*6 = 636
ตอนนี้เราคำนวณ 678 - 636 = 42 และเพิ่มขอบถัดไป 92 เราได้ 4292
อีกครั้งเรากำลังมองหาค่าสูงสุด x เช่น 112x*x lt; 4292.
คำตอบ: รูทคือ 563
คุณสามารถทำเช่นนี้ต่อไปได้นานเท่าที่จำเป็น
ในบางกรณี คุณสามารถลองแยกจำนวนรากออกเป็นตัวประกอบกำลังสองสองตัวหรือมากกว่านั้นได้
นอกจากนี้ยังเป็นประโยชน์ในการจำตาราง (หรืออย่างน้อยบางส่วน) - กำลังสองของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 10 ถึง 99
ฉันเสนอเวอร์ชันที่ฉันคิดค้นขึ้นเพื่อแยกรากที่สองของคอลัมน์ มันแตกต่างจากที่รู้จักโดยทั่วไป ยกเว้นการเลือกตัวเลข แต่อย่างที่ฉันรู้ในภายหลัง วิธีการนี้มีมานานหลายปีก่อนที่ฉันจะเกิด ไอแซก นิวตัน ผู้ยิ่งใหญ่บรรยายเรื่องนี้ไว้ในหนังสือ General Arithmetic หรือหนังสือเกี่ยวกับการสังเคราะห์และวิเคราะห์เลขคณิตของเขา ดังนั้นที่นี่ฉันขอนำเสนอวิสัยทัศน์และเหตุผลของฉันสำหรับอัลกอริธึมของวิธีนิวตัน ไม่จำเป็นต้องจดจำอัลกอริทึม คุณสามารถใช้แผนภาพในรูปเป็นตัวช่วยในการมองเห็นได้หากจำเป็น
ด้วยความช่วยเหลือของตารางคุณไม่สามารถคำนวณได้ แต่ค้นหารากที่สองของตัวเลขที่อยู่ในตาราง วิธีที่ง่ายที่สุดในการคำนวณไม่เพียงแต่ค่ารากที่สองเท่านั้น แต่ยังรวมถึงค่าองศาอื่นๆ ด้วย คือใช้วิธีประมาณค่าต่อเนื่องกัน ตัวอย่างเช่น เราคำนวณรากที่สองของ 10739 แทนที่ตัวเลขสามหลักสุดท้ายด้วยศูนย์ และแยกรากของ 10,000 เราได้ 100 โดยมีข้อเสีย ดังนั้นเราจึงนำตัวเลข 102 มายกกำลังสอง เราได้ 10404 ซึ่งน้อยกว่าเช่นกัน กว่าอันที่ให้มาเราเอา 103*103=10609 อีกแล้ว เสียเปรียบเราเอา 103.5*103.5=10712.25 เอาอีก 103.6*103.6=10732 เอา 103.7*103.7=10753.69 ซึ่งเกินไปแล้ว คุณสามารถหารากของ 10739 ได้ประมาณเท่ากับ 103.6 แม่นยำยิ่งขึ้น 10739=103.629... . - ในทำนองเดียวกัน เราคำนวณรากที่สาม อย่างแรกจาก 10,000 เราจะได้ประมาณ 25*25*25=15625 ซึ่งเกินมา เราเอา 22*22*22=10.648 เราหามากกว่า 22.06*22.06*22.06=10735 เล็กน้อย ซึ่งใกล้เคียงกับอันที่กำหนดมาก
การคำนวณ (หรือแยก) รากที่สองสามารถทำได้หลายวิธี แต่ทั้งหมดนั้นไม่ง่ายนัก แน่นอนว่าการใช้เครื่องคิดเลขง่ายกว่า แต่ถ้าเป็นไปไม่ได้ (หรือคุณต้องการเข้าใจสาระสำคัญของรากที่สอง) ฉันสามารถแนะนำให้คุณใช้วิธีต่อไปนี้ อัลกอริทึมจะเป็นดังนี้:
หากคุณไม่มีความแข็งแกร่ง ความปรารถนา หรือความอดทนในการคำนวณที่ยาวขนาดนั้น คุณสามารถเลือกแบบคร่าว ๆ ได้ ข้อดีของมันคือรวดเร็วอย่างเหลือเชื่อและมีความเฉลียวฉลาดและแม่นยำ ตัวอย่าง:
ตอนที่ฉันอยู่โรงเรียน (ต้นยุค 60) เราถูกสอนให้หารากที่สองของจำนวนใดๆ เทคนิคนี้เรียบง่าย ภายนอกคล้ายกับการหารยาว แต่การนำเสนอที่นี่จะต้องใช้เวลาครึ่งชั่วโมงและข้อความ 4-5,000 ตัวอักษร แต่ทำไมคุณถึงต้องการสิ่งนี้? คุณมีโทรศัพท์หรืออุปกรณ์อื่นๆ NM มีเครื่องคิดเลข มีเครื่องคิดเลขบนคอมพิวเตอร์ทุกเครื่อง โดยส่วนตัวแล้ว ฉันชอบคำนวณประเภทนี้ใน Excel มากกว่า
บ่อยครั้งในโรงเรียนจำเป็นต้องค้นหารากที่สองของจำนวนต่างๆ แต่ถ้าเราคุ้นเคยกับการใช้เครื่องคิดเลขตลอดเวลาในการสอบสิ่งนี้จะเป็นไปไม่ได้ดังนั้นเราจึงต้องเรียนรู้ที่จะค้นหารากโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข และโดยหลักการแล้วสิ่งนี้สามารถทำได้
อัลกอริทึมมีดังนี้:
ดูที่หลักสุดท้ายของหมายเลขของคุณก่อน:
ตัวอย่างเช่น,
ตอนนี้เราจำเป็นต้องกำหนดค่าโดยประมาณสำหรับรูทของกลุ่มซ้ายสุด
ในกรณีที่ตัวเลขมีมากกว่าสองกลุ่ม คุณจะต้องค้นหารากดังนี้:
แต่เลขถัดไปควรจะมากที่สุด คุณต้องเลือกดังนี้:
ตอนนี้เราต้องสร้างตัวเลข A ใหม่โดยการเพิ่มกลุ่มต่อไปนี้เข้ากับส่วนที่เหลือที่ได้รับข้างต้น
ในตัวอย่างของเรา:
