การยกกำลัง กฎเกณฑ์ ตัวอย่าง ปริญญาและคุณสมบัติของมัน คู่มือฉบับสมบูรณ์ (2019) 2 ในตารางทุกองศา

ตารางกำลังประกอบด้วยค่าของจำนวนธรรมชาติที่เป็นบวกตั้งแต่ 1 ถึง 10

รายการ 3 5 อ่านว่า “สามยกกำลังห้า” ในสัญลักษณ์นี้ เลข 3 เรียกว่าฐานของกำลัง เลข 5 คือเลขชี้กำลัง และนิพจน์ 3 5 เรียกว่ากำลัง

ดาวน์โหลดตารางองศาโดยคลิกที่ภาพขนาดย่อ

เครื่องคิดเลขปริญญา

เราขอเชิญชวนให้คุณลองใช้เครื่องคำนวณกำลังของเรา ซึ่งจะช่วยให้คุณเพิ่มตัวเลขใดๆ ให้เป็นยกกำลังออนไลน์ได้

การใช้เครื่องคิดเลขนั้นง่ายมาก - ป้อนตัวเลขที่คุณต้องการยกกำลัง จากนั้นตัวเลข - ยกกำลัง และคลิกที่ปุ่ม "คำนวณ"

เป็นที่น่าสังเกตว่าเครื่องคำนวณระดับออนไลน์ของเราสามารถเพิ่มพลังทั้งบวกและลบได้ และสำหรับการแตกรากนั้นมีเครื่องคิดเลขอีกเครื่องหนึ่งอยู่บนไซต์

วิธียกเลขยกกำลัง

ลองดูกระบวนการยกกำลังด้วยตัวอย่าง สมมติว่าเราต้องยกเลข 5 ยกกำลัง 3 ในภาษาคณิตศาสตร์ 5 เป็นฐาน และ 3 เป็นเลขชี้กำลัง (หรือเพียงแค่ยกกำลัง) และสามารถเขียนได้สั้นๆ ดังนี้

การยกกำลัง

และในการหาค่านั้น เราจะต้องคูณเลข 5 ด้วยตัวมันเอง 3 ครั้ง กล่าวคือ

5 3 = 5 x 5 x 5 = 125

ดังนั้นหากเราต้องการหาค่าของเลข 7 ยกกำลัง 5 เราจะต้องคูณเลข 7 ด้วยตัวมันเอง 5 ครั้ง นั่นคือ 7 x 7 x 7 x 7 x 7 อีกประการหนึ่งคือเมื่อต้องบวกเลข ไปสู่พลังลบ

วิธียกระดับพลังลบ

เมื่อเพิ่มพลังเป็นลบ คุณต้องใช้กฎง่ายๆ:

จะเพิ่มพลังลบได้อย่างไร

ทุกอย่างง่ายมาก - เมื่อยกกำลังเป็นลบ เราต้องหารหนึ่งด้วยฐานเป็นกำลังโดยไม่มีเครื่องหมายลบ - นั่นคือเป็นกำลังบวก จึงจะหาค่าได้

ตารางกำลังของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 25 ในพีชคณิต

เมื่อแก้แบบฝึกหัดคณิตศาสตร์ต่างๆ คุณมักจะต้องยกจำนวนขึ้นเป็นกำลัง โดยหลักๆ คือ 1 ถึง 10 และเพื่อที่จะค้นหาค่าเหล่านี้ได้อย่างรวดเร็ว เราได้สร้างตารางเลขยกกำลังในพีชคณิต ซึ่งฉันจะเผยแพร่ในหน้านี้

ก่อนอื่น มาดูตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 6 ผลลัพธ์ที่นี่มีขนาดไม่ใหญ่มาก คุณสามารถตรวจสอบทั้งหมดได้ด้วยเครื่องคิดเลขทั่วไป

• 1 และ 2 ยกกำลัง 1 ถึง 10

ตารางองศา

ตารางกำลังเป็นเครื่องมือที่ขาดไม่ได้เมื่อคุณต้องการเพิ่มจำนวนธรรมชาติภายใน 10 ให้เป็นกำลังที่มากกว่าสอง ก็เพียงพอที่จะเปิดตารางและค้นหาตัวเลขที่อยู่ตรงข้ามฐานของระดับที่ต้องการและในคอลัมน์ที่มีระดับที่ต้องการ - มันจะเป็นคำตอบของตัวอย่าง นอกจากตารางที่สะดวกแล้ว ที่ด้านล่างของหน้ายังมีตัวอย่างการเพิ่มจำนวนธรรมชาติให้ยกกำลังได้ถึง 10 ด้วยการเลือกคอลัมน์ที่ต้องการพร้อมยกกำลังของจำนวนที่ต้องการ คุณสามารถค้นหาวิธีแก้ปัญหาได้อย่างง่ายดายและง่ายดาย เนื่องจากกำลังทั้งหมดจัดเรียงจากน้อยไปหามาก

ความแตกต่างที่สำคัญ! ตารางจะไม่แสดงการยกกำลังเป็นศูนย์ เนื่องจากตัวเลขใดๆ ที่ยกกำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับ 1: a 0 =1

ตารางสูตรคูณ กำลังสอง และกำลัง

ถึงเวลาที่จะทำคณิตศาสตร์เล็กน้อย คุณยังจำได้ไหมว่าถ้าสองคูณสองจะเท่ากับเท่าไร?

หากใครลืมก็จะมีสี่ ดูเหมือนว่าทุกคนจะจำและรู้จักตารางสูตรคูณได้ แต่ฉันค้นพบคำขอจำนวนมากไปยังยานเดกซ์เช่น "ตารางสูตรคูณ" หรือแม้แต่ "ดาวน์โหลดตารางสูตรคูณ"(!) สำหรับผู้ใช้ประเภทนี้รวมถึงผู้ใช้ขั้นสูงที่สนใจเรื่องกำลังสองและพลังอยู่แล้ว ฉันกำลังโพสต์ตารางเหล่านี้ทั้งหมด คุณยังสามารถดาวน์โหลดเพื่อสุขภาพของคุณได้! ดังนั้น:

10 ถึงระดับที่ 2 + 11 ถึงระดับที่ 2 + 12 ถึงระดับที่ 2 + 13 ถึงระดับที่ 2 + 14 ถึงระดับที่สอง/365

คำถามอื่น ๆ จากหมวดหมู่

โปรดช่วยฉันตัดสินใจ)

อ่านด้วย

วิธีแก้: 3x(ยกกำลัง 2)-48= 3(X ยกกำลัง 2)(x ยกกำลัง 2)-16)=(X-4)(X+4)

5) สามจุดห้า 6) เก้าจุดสองแสนเจ็ดพัน 2) เขียนตัวเลขในรูปเศษส่วนสามัญ: 1)0.3 2)0.516. 3)0.88. 4)0.01. 5)0.402. 5)0.038. 6)0.609. 7)0.91.8)0.5.9)0.171.10)0.815.11)0.27.12)0.081.13)0.803

2 กำลังลบ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 คืออะไร?

2 ยกกำลังลบ 1 เป็นเท่าใด?

2 ยกกำลังลบ 2 เป็นเท่าใด?

2 ยกกำลังลบ 3 เป็นเท่าใด?

2 ยกกำลัง 4 เป็นเท่าใด?

2 ยกกำลังของลบ 5 เป็นเท่าใด?

2 ยกกำลังลบ 6 เป็นเท่าใด?

2 ยกกำลังลบ 7 เป็นเท่าใด?

2 ยกกำลังของลบ 8 เป็นเท่าใด?

2 ยกกำลังลบ 9 เป็นเท่าใด?

2 ยกกำลังของลบ 10 เป็นเท่าใด?

กำลังลบของ n ^(-a) สามารถแสดงได้ในรูปแบบ 1/n^a

2 ยกกำลัง -1 = 1/2 ถ้าแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยม ก็จะได้ 0.5

2 ยกกำลัง - 2 = 1/4 หรือ 0.25

2 ยกกำลัง -3= 1/8 หรือ 0.125

2 ยกกำลัง -4 = 1/16 หรือ 0.0625

2 ยกกำลัง -5 = 1/32 หรือ 0.03125

2 ยกกำลัง - 6 = 1/64 หรือ 0.015625

2 ยกกำลัง - 7 = 1/128 หรือ 0

2 ยกกำลัง -8 = 1/256 หรือ 0

2 ยกกำลัง -9 = 1/512 หรือ 0

2 ยกกำลัง - 10 = 1/1024 หรือ 0

การคำนวณที่คล้ายกันสำหรับตัวเลขอื่นๆ สามารถพบได้ที่นี่: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

เมื่อดูเผินๆ พลังลบของตัวเลขถือเป็นหัวข้อที่ยากในพีชคณิต

ในความเป็นจริงทุกอย่างง่ายมาก - เราทำการคำนวณทางคณิตศาสตร์ด้วยตัวเลข "2" โดยใช้สูตรพีชคณิต (ดูด้านบน) โดยที่แทนที่จะเป็น "a" เราแทนที่ตัวเลข "2" และแทนที่ "n" เราแทนที่ พลังของตัวเลข เครื่องคิดเลขจะช่วยลดเวลาในการคำนวณได้อย่างมาก

น่าเสียดายที่โปรแกรมแก้ไขข้อความของไซต์ไม่อนุญาตให้ใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์สำหรับเศษส่วนและกำลังลบ เรามาจำกัดตัวเองให้อยู่ที่ข้อมูลตัวอักษรและตัวเลขตัวพิมพ์ใหญ่

นี่คือขั้นตอนตัวเลขง่ายๆ ที่เราทำสำเร็จ

กำลังลบของตัวเลขหมายความว่าจำนวนนี้คูณด้วยตัวมันเองหลายครั้งตามที่เขียนไว้ในกำลัง จากนั้นจึงหารหนึ่งด้วยจำนวนผลลัพธ์ สำหรับสอง:

• (-1) องศาคือ 1/2=0.5;
• (-2) องศาคือ 1/(2 2)=0.25;
• (-3) องศาคือ 1/(2 2 2)=0.125;
• (-4) องศาคือ 1/(2 2 2 2)=0.0625;
• (-5) องศาคือ 1/(2 2 2 2 2)=0.03125;
• (-6) องศาคือ 1/(2 2 2 2 2)=0.015625;
• (-7) องศาคือ 1/(2 2 2 2 2 2 2)=0.078125;
• (-8) องศาคือ 1/(2 2 2 2 2 2 2 2)=0,;
• (-9) องศาคือ 1/(2 2 2 2 2 2 2 2 2)=0,;
• (-10) กำลังคือ 1/(2 2 2 2 2 2 2 2 2 2)=0,

โดยพื้นฐานแล้ว เราก็แค่หารค่าก่อนหน้าแต่ละค่าด้วย 2

shkolnyie-zadachi.pp.ua

1) 33²: 11=(3*11)²: 11=3² * 11²: 11=9*11=99

2) 99²: 81=(9*11)²: 9²=9² * 11²: 9²=11²=121

ระดับที่สองหมายความว่าตัวเลขที่ได้รับระหว่างการคำนวณจะคูณด้วยตัวมันเอง

ภาษารัสเซีย: 15 วลีในธีมฤดูใบไม้ผลิ

ต้นฤดูใบไม้ผลิ ปลายฤดูใบไม้ผลิ ใบไม้ในฤดูใบไม้ผลิ พระอาทิตย์ในฤดูใบไม้ผลิ วันฤดูใบไม้ผลิ ฤดูใบไม้ผลิมาแล้ว นกในฤดูใบไม้ผลิ ฤดูใบไม้ผลิเย็น หญ้าในฤดูใบไม้ผลิ สายลมในฤดูใบไม้ผลิ ฝนฤดูใบไม้ผลิ เสื้อผ้าฤดูใบไม้ผลิ รองเท้าบู๊ตฤดูใบไม้ผลิ ฤดูใบไม้ผลิเป็นสีแดง การเดินทางในฤดูใบไม้ผลิ

คำถาม: 5*4 ยกกำลังสอง - (33 ยกกำลังสอง: 11) ยกกำลัง 2: 81 พูดคำตอบด้วยการกระทำ

5*4 ยกกำลังสอง - (33 ยกกำลังสอง: 11) ยกกำลัง 2: 81 พูดคำตอบด้วยการกระทำ

คำตอบ:

5*4²-(33²: 11)²: 81= -41 1) 33²: 11=(3*11)²: 11=3² * 11²: 11=9*11=99 2) 99²: 81=(9* 11)²: 9²=9² * 11²: 9²=11²=121 3) 5*4²=5*16=80 4)= -41

5*4 (2) = 400 1) 5*4= 20 2) 20*20=:11(2)= 9 1) 33:11= 3 2) 3*3= 9 ยกกำลังที่สองหมายความว่า ตัวเลขที่ กลับกลายเป็นว่าต้องคูณด้วยตัวมันเองระหว่างการคำนวณ

10 ยกกำลัง -2 ได้เท่าไหร่

1. 10 กำลัง -2 เท่ากับ 1/10 กำลัง 2 คุณยกกำลัง 10 แล้วคุณจะได้ 1/100 ซึ่งเท่ากับ 0.01

10^-2 = 1/10 * 1/10 = 1/(10*10) = 1/100 = 0.01

=) มืดที่คุณพูด? ..หึ (จาก “ตะวันขาวแห่งทะเลทราย”)

10 ใน -2 หมายถึง 1 หารด้วย 10 ใน 2 เช่น 0.01

0.01 สำเร็จการศึกษาแล้ว!

10 ยกกำลัง 2 หมายถึง 100

10 ยกกำลัง 1 10

ถ้าระดับลดลงหนึ่งผลในกรณีนี้จะลดลง 10 เท่า ดังนั้น 10 ยกกำลัง 0 จะเป็น 1 (10/10)

10 ยกกำลัง -1 คือ 1/10

10 กำลัง -2 คือ 1/100 หรือ 0.01

ฉันไม่เข้าใจว่าระดับ 2 หรือ -2 คืออะไร ถ้า 2 ก่อนคำตอบคือ 100 ถ้า -2 ก็เท่ากับ 0.01

100 มันแปลกที่คุณคิดว่ามันกลายเป็น 0.01

นี่คือ 0.01 - ฉันต้องรับผิดชอบความถูกต้อง!! - และความจริงที่ว่าพวกเขาเขียนให้คุณ 100 คือถ้าเป็น 10 ยกกำลัง 2 ดังนั้นคุณไม่ต้องสงสัยเลยด้วยซ้ำ

ทั้งหมดนี้คือสิบยกกำลังลบสอง

ทุกอย่างยากขนาดนั้นในตอนเย็นเหรอ?

เหตุใดจึงต้องมีวุฒิการศึกษา?

คุณต้องการมันที่ไหน?

เหตุใดคุณจึงควรสละเวลาศึกษาสิ่งเหล่านี้?

หากต้องการทราบทุกอย่างเกี่ยวกับปริญญา โปรดอ่านบทความนี้

และแน่นอนว่าความรู้ด้านปริญญาจะทำให้คุณเข้าใกล้การผ่านการสอบ Unified State มากขึ้น

และเพื่อเข้ามหาวิทยาลัยในฝันของคุณ!

ไปกันเถอะ... (ไปกันเถอะ!)

ระดับแรก

การยกกำลังเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เหมือนกับการบวก ลบ คูณ หาร

ตอนนี้ฉันจะอธิบายทุกอย่างเป็นภาษามนุษย์โดยใช้ตัวอย่างง่ายๆ ระวัง. ตัวอย่างเป็นเพียงเรื่องเบื้องต้นแต่อธิบายเรื่องสำคัญได้

เริ่มต้นด้วยการเพิ่ม

ไม่มีอะไรจะอธิบายที่นี่ คุณรู้ทุกอย่างแล้ว: มีพวกเราแปดคน ทุกคนมีโคล่าสองขวด โคล่ามีเท่าไหร่? ถูกต้อง - 16 ขวด

ตอนนี้การคูณ

ตัวอย่างเดียวกันกับ cola สามารถเขียนได้แตกต่างกัน: . นักคณิตศาสตร์เป็นคนเจ้าเล่ห์และเกียจคร้าน ก่อนอื่นพวกเขาจะสังเกตเห็นรูปแบบบางอย่าง จากนั้นจึงหาวิธี "นับ" พวกมันให้เร็วขึ้น ในกรณีของเรา พวกเขาสังเกตเห็นว่าคนทั้งแปดคนมีจำนวนขวดโคล่าเท่ากัน จึงเกิดเทคนิคที่เรียกว่าการคูณ เห็นด้วยถือว่าง่ายและเร็วกว่า

ดังนั้นหากต้องการนับเร็วขึ้น ง่ายขึ้น และไม่มีข้อผิดพลาด คุณเพียงแค่ต้องจำไว้ ตารางสูตรคูณ- แน่นอนว่าคุณสามารถทำทุกอย่างให้ช้าลง ยากขึ้น และมีข้อผิดพลาดได้! แต่…

นี่คือตารางสูตรคูณ ทำซ้ำ.

และอีกอย่างที่สวยงามกว่า:

นักคณิตศาสตร์ขี้เกียจมีเคล็ดลับการนับอันชาญฉลาดอะไรอีกบ้าง? ขวา - การยกจำนวนให้เป็นกำลัง.

การยกเลขยกกำลัง

หากคุณต้องการคูณตัวเลขด้วยตัวมันเองห้าครั้ง นักคณิตศาสตร์บอกว่าคุณต้องเพิ่มจำนวนนั้นให้เป็นกำลังห้า ตัวอย่างเช่น, . นักคณิตศาสตร์จำได้ว่ากำลังสองยกกำลังห้าคือ... และพวกเขาก็แก้ไขปัญหาในหัวได้ - เร็วขึ้น ง่ายขึ้น และไม่มีข้อผิดพลาด

สิ่งที่คุณต้องทำคือ จำสิ่งที่เน้นด้วยสีในตารางยกกำลังตัวเลข- เชื่อฉันสิสิ่งนี้จะทำให้ชีวิตของคุณง่ายขึ้นมาก

เหตุใดจึงเรียกว่าระดับที่สอง? สี่เหลี่ยมตัวเลขและอันที่สาม - ลูกบาศก์- มันหมายความว่าอะไร? คำถามที่ดีมาก ตอนนี้คุณจะมีทั้งสี่เหลี่ยมและลูกบาศก์

ตัวอย่างชีวิตจริง #1

เริ่มจากกำลังสองหรือกำลังสองของตัวเลขกันก่อน

ลองนึกภาพสระน้ำสี่เหลี่ยมขนาดหนึ่งเมตรคูณหนึ่งเมตร สระว่ายน้ำอยู่ที่เดชาของคุณ ร้อนแล้วอยากเล่นน้ำจังเลย แต่... สระไม่มีก้น! คุณต้องปูกระเบื้องด้านล่างของสระ คุณต้องการกระเบื้องกี่แผ่น? เพื่อระบุสิ่งนี้คุณจำเป็นต้องทราบพื้นที่ด้านล่างของสระ

คุณสามารถคำนวณได้ง่ายๆ ด้วยการชี้นิ้วว่าก้นสระประกอบด้วยลูกบาศก์เมตรต่อลูกบาศก์เมตร หากคุณมีกระเบื้องขนาด 1 เมตร x 1 เมตร คุณจะต้องใช้กระเบื้องเป็นชิ้นๆ ง่ายนิดเดียว...แต่เคยเห็นกระเบื้องแบบนี้ที่ไหน? กระเบื้องน่าจะเป็นซม. ต่อซม. แล้วคุณจะถูกทรมานด้วยการ "นับนิ้ว" จากนั้นคุณต้องคูณ ดังนั้นด้านหนึ่งของก้นสระเราจะใส่กระเบื้อง (ชิ้น) และอีกด้านหนึ่งก็ใส่กระเบื้องด้วย คูณด้วยแล้วคุณจะได้ไทล์ ()

คุณสังเกตไหมว่าในการกำหนดพื้นที่ก้นสระเราคูณจำนวนเดียวกันด้วยตัวมันเอง? มันหมายความว่าอะไร? เนื่องจากเรากำลังคูณจำนวนเดียวกัน เราจึงใช้เทคนิค "การยกกำลัง" ได้ (แน่นอนว่าเมื่อคุณมีตัวเลขเพียงสองตัวคุณยังต้องคูณหรือยกกำลัง แต่ถ้าคุณมีจำนวนมาก การยกกำลังจะง่ายกว่ามากและยังมีข้อผิดพลาดในการคำนวณน้อยลงด้วย . สำหรับการสอบ Unified State สิ่งนี้สำคัญมาก)
ดังนั้น ยกกำลังสามสิบสองจะเป็น () หรือเราบอกได้ว่า 30 กำลังสองจะเป็น. กล่าวอีกนัยหนึ่ง กำลังสองของตัวเลขสามารถแสดงเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้เสมอ และในทางกลับกัน หากคุณเห็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส มันจะเป็นกำลังสองของจำนวนใดจำนวนหนึ่งเสมอ สี่เหลี่ยมจัตุรัสคือภาพกำลังสองของตัวเลข

ตัวอย่างชีวิตจริง #2

นี่คืองานสำหรับคุณ: นับจำนวนสี่เหลี่ยมบนกระดานหมากรุกโดยใช้กำลังสองของตัวเลข... ที่ด้านหนึ่งของเซลล์และอีกด้านหนึ่งด้วย ในการคำนวณจำนวนนั้น คุณต้องคูณแปดด้วยแปด หรือ... หากคุณสังเกตเห็นว่ากระดานหมากรุกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน คุณก็ยกกำลังสองได้ คุณจะได้รับเซลล์ () ดังนั้น?

ตัวอย่างชีวิตจริง #3

ทีนี้ลูกบาศก์หรือกำลังสามของตัวเลข สระเดียวกัน. แต่ตอนนี้คุณต้องค้นหาว่าจะต้องเทน้ำลงในสระนี้มากแค่ไหน คุณต้องคำนวณปริมาตร (ปริมาตรและของเหลววัดเป็นลูกบาศก์เมตร ไม่คาดคิดใช่ไหม?) วาดสระ: ด้านล่างมีขนาด 1 เมตร ลึก 1 เมตร แล้วลองคำนวณดูว่าลูกบาศก์จะวัดได้ 1 เมตรต่อเมตรกี่ลูกบาศก์เมตร พอดีกับสระน้ำของคุณ

เพียงชี้นิ้วของคุณแล้วนับ! หนึ่ง สอง สาม สี่...ยี่สิบสอง ยี่สิบสาม...คุณได้มากี่อัน? ไม่หาย? นิ้วนับยากไหม? ดังนั้น! นำตัวอย่างจากนักคณิตศาสตร์ พวกเขาขี้เกียจ ดังนั้นพวกเขาจึงสังเกตว่าในการคำนวณปริมาตรของสระ คุณต้องคูณความยาว ความกว้าง และความสูงเข้าด้วยกัน ในกรณีของเรา ปริมาตรสระจะเท่ากับลูกบาศก์... ง่ายกว่าใช่ไหม?

ลองจินตนาการดูว่านักคณิตศาสตร์ที่ขี้เกียจและมีไหวพริบจะเป็นอย่างไรหากพวกเขาทำให้มันง่ายขึ้นเช่นกัน เราลดทุกอย่างลงเป็นการกระทำเดียว พวกเขาสังเกตเห็นว่าความยาว ความกว้าง และความสูงเท่ากัน และจำนวนเท่ากันก็คูณด้วยตัวมันเอง... หมายความว่าอย่างไร? ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถใช้ประโยชน์จากปริญญาได้ ดังนั้น สิ่งที่คุณเคยนับด้วยนิ้วของคุณ มันทำในการกระทำเดียว: สามลูกบาศก์มีค่าเท่ากัน มันเขียนไว้แบบนี้: .

สิ่งที่เหลืออยู่ก็คือ จำตารางองศา- เว้นแต่คุณจะขี้เกียจและมีไหวพริบเหมือนนักคณิตศาสตร์ หากคุณชอบทำงานหนักและทำผิดพลาด คุณสามารถนับนิ้วต่อไปได้

ในที่สุด เพื่อโน้มน้าวคุณว่าปริญญาถูกประดิษฐ์ขึ้นโดยผู้เลิกบุหรี่และคนที่มีไหวพริบเพื่อแก้ไขปัญหาชีวิตของพวกเขา และไม่สร้างปัญหาให้กับคุณ นี่คือตัวอย่างเพิ่มเติมจากชีวิต

ตัวอย่างชีวิตจริง #4

คุณมีเงินหนึ่งล้านรูเบิล ในช่วงต้นปี ทุก ๆ ล้านที่คุณทำได้ คุณก็ทำได้อีกล้าน นั่นคือทุก ๆ ล้านที่คุณมีสองเท่าในช่วงต้นปี คุณจะมีเงินเท่าไหร่ในปี? หากคุณกำลังนั่ง "นับนิ้ว" อยู่ตอนนี้ แสดงว่าคุณเป็นคนที่ทำงานหนักมากและ... โง่เขลา แต่ส่วนใหญ่แล้วคุณจะให้คำตอบภายในไม่กี่วินาทีเพราะคุณฉลาด! ดังนั้น ในปีแรก - สองคูณสอง... ในปีที่สอง - เกิดอะไรขึ้น อีกสองในปีที่สาม... หยุด! คุณสังเกตเห็นว่าจำนวนนั้นคูณด้วยตัวมันเองคูณด้วยตัวมันเอง ดังนั้นสองยกกำลังห้าจึงเป็นล้าน! ทีนี้ลองจินตนาการว่าคุณมีการแข่งขันและใครนับได้เร็วที่สุดก็จะได้รับเงินล้านเหล่านี้... มันคุ้มค่าที่จะจดจำพลังของตัวเลขใช่ไหม?

ตัวอย่างชีวิตจริง #5

คุณมีเงินเป็นล้าน ในช่วงต้นปี ทุก ๆ 1 ล้านที่คุณทำ คุณจะได้รับเพิ่มอีก 2 เท่า เยี่ยมมากใช่ไหม? ทุกล้านเป็นสามเท่า คุณจะมีเงินเท่าไหร่ในหนึ่งปี? มานับกัน ปีแรก - คูณด้วยแล้วผลลัพธ์ด้วยอีกปี... มันน่าเบื่ออยู่แล้วเพราะคุณเข้าใจทุกอย่างแล้ว: สามคูณด้วยตัวมันเองคูณด้วยตัวมันเอง ดังนั้นยกกำลังสี่จึงเท่ากับหนึ่งล้าน. คุณแค่ต้องจำไว้ว่าสามยกกำลังสี่คือหรือ

ตอนนี้คุณรู้แล้วว่าการเพิ่มตัวเลขให้มีพลังจะทำให้ชีวิตของคุณง่ายขึ้นมาก เรามาดูกันดีกว่าว่าคุณสามารถทำอะไรได้บ้างกับปริญญาและสิ่งที่คุณต้องรู้เกี่ยวกับปริญญาเหล่านั้น

เงื่อนไขและแนวคิด...เพื่อไม่ให้สับสน

ก่อนอื่น เรามากำหนดแนวคิดกันก่อน คุณคิดอย่างไร, เลขชี้กำลังคืออะไร- ง่ายมาก - มันคือตัวเลขที่ "อยู่ด้านบน" ของเลขยกกำลัง ไม่ใช่วิทยาศาสตร์ แต่ชัดเจนและจำง่าย...

ในขณะเดียวกันอะไร พื้นฐานการศึกษาระดับปริญญาดังกล่าว- ง่ายกว่านั้นคือตัวเลขที่อยู่ด้านล่างที่ฐาน

นี่คือภาพวาดเพื่อการวัดที่ดี

โดยทั่วไปแล้ว เพื่อที่จะสรุปและจดจำได้ดีขึ้น... ดีกรีที่มีฐาน “ ” และเลขชี้กำลัง “ ” อ่านว่า “ถึงดีกรี” และเขียนดังนี้:

กำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ

คุณคงเดาได้แล้ว: เพราะเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ ใช่ แต่มันคืออะไร จำนวนธรรมชาติ- ประถมศึกษา! ตัวเลขธรรมชาติคือตัวเลขที่ใช้ในการนับเมื่อแสดงรายการวัตถุ: หนึ่ง สอง สาม... เมื่อเรานับวัตถุ เราจะไม่พูดว่า: "ลบห้า" "ลบหก" "ลบเจ็ด" เราไม่พูดว่า: "หนึ่งในสาม" หรือ "ศูนย์จุดห้า" พวกนี้ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ คุณคิดว่านี่คือตัวเลขอะไร?

ตัวเลขเช่น "ลบห้า", "ลบหก", "ลบเจ็ด" หมายถึง จำนวนทั้งหมด.โดยทั่วไป จำนวนเต็มประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติทั้งหมด จำนวนที่อยู่ตรงข้ามกับจำนวนธรรมชาติ (นั่นคือ ใช้เครื่องหมายลบ) และจำนวน Zero เป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจ - คือเมื่อไม่มีอะไรเลย ตัวเลขติดลบ (“ลบ”) หมายถึงอะไร? แต่พวกเขาถูกประดิษฐ์ขึ้นเพื่อระบุหนี้เป็นหลัก: หากคุณมียอดคงเหลือในโทรศัพท์เป็นรูเบิลแสดงว่าคุณเป็นหนี้รูเบิลของผู้ให้บริการ

เศษส่วนทั้งหมดเป็นจำนวนตรรกยะ คุณคิดว่าพวกเขาเกิดขึ้นได้อย่างไร? ง่ายมาก. เมื่อหลายพันปีก่อน บรรพบุรุษของเราค้นพบว่าพวกเขาขาดตัวเลขธรรมชาติในการวัดความยาว น้ำหนัก พื้นที่ ฯลฯ และพวกเขาก็คิดขึ้นมาด้วย สรุปตัวเลข... น่าสนใจใช่ไหมล่ะ?

นอกจากนี้ยังมีจำนวนอตรรกยะ ตัวเลขเหล่านี้คืออะไร? สรุปก็คือ มันเป็นเศษส่วนทศนิยมอนันต์ ตัวอย่างเช่น หากคุณหารเส้นรอบวงของวงกลมด้วยเส้นผ่านศูนย์กลาง คุณจะได้จำนวนอตรรกยะ

สรุป:

ให้เรานิยามแนวคิดของระดับที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ (เช่น จำนวนเต็มและบวก)

1. จำนวนใดๆ ที่กำลังยกกำลังแรกจะเท่ากับตัวมันเอง:
2. การยกกำลังสองหมายถึงการคูณด้วยตัวมันเอง:
3. การยกกำลังสามหมายถึงการคูณด้วยตัวมันเองสามครั้ง:

คำนิยาม.การเพิ่มจำนวนให้เป็นพลังธรรมชาติหมายถึงการคูณจำนวนด้วยตัวมันเองด้วย:
.

คุณสมบัติขององศา

คุณสมบัติเหล่านี้มาจากไหน? ฉันจะแสดงให้คุณดูตอนนี้

มาดูกันว่ามันคืออะไร และ ?

A-ไพรเออรี่:

มีตัวคูณทั้งหมดกี่ตัว?

ง่ายมาก: เราบวกตัวคูณเข้ากับปัจจัย และผลลัพธ์ก็คือตัวคูณ

แต่ตามคำจำกัดความแล้ว นี่คือกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลัง ซึ่งก็คือ: ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

ตัวอย่าง: ลดความซับซ้อนของนิพจน์

สารละลาย:

ตัวอย่าง:ลดความซับซ้อนของนิพจน์

สารละลาย:สิ่งสำคัญคือต้องทราบว่าในกฎของเรา อย่างจำเป็นมันคงจะมีเหตุผลเดียวกันสิ!
ดังนั้นเราจึงรวมพลังเข้ากับฐาน แต่ยังคงเป็นปัจจัยที่แยกจากกัน:

เพื่อผลผลิตแห่งพลังเท่านั้น!

คุณไม่สามารถเขียนสิ่งนั้นได้ไม่ว่าในกรณีใด

2. แค่นั้นแหละ กำลังของตัวเลข

เช่นเดียวกับคุณสมบัติก่อนหน้านี้ ให้เรามาดูคำจำกัดความของระดับ:

ปรากฎว่านิพจน์นั้นคูณด้วยตัวมันเองด้วยตัวมันเอง นั่นคือตามคำจำกัดความ นี่คือกำลังที่ th ของตัวเลข:

โดยพื้นฐานแล้ว สิ่งนี้สามารถเรียกได้ว่าเป็น "การเอาตัวบ่งชี้ออกจากวงเล็บ" แต่คุณไม่สามารถทำเช่นนี้ได้ทั้งหมด:

จำสูตรคูณแบบย่อ: เราต้องการเขียนกี่ครั้ง?

แต่นี่ไม่เป็นความจริงเลย

กำลังที่มีฐานลบ

ถึงจุดนี้ เราได้พูดคุยกันเพียงว่าเลขชี้กำลังควรเป็นเช่นไร

แต่อะไรควรเป็นพื้นฐาน?

อยู่ในอำนาจของ ตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติพื้นฐานอาจเป็นได้ หมายเลขใดก็ได้- อันที่จริง เราสามารถคูณตัวเลขใดๆ เข้าด้วยกันได้ ไม่ว่าจะเป็นค่าบวก ลบ หรือเลขคู่

ลองคิดดูว่าเครื่องหมายใด ("" หรือ "") จะมีกำลังเป็นจำนวนบวกและลบ?

เช่น จำนวนเป็นค่าบวกหรือค่าลบ? เอ? - อย่างแรกทุกอย่างชัดเจน: ไม่ว่าเราจะคูณจำนวนบวกจำนวนเท่าใดผลลัพธ์ก็จะเป็นบวก

แต่สิ่งที่เป็นลบนั้นน่าสนใจกว่าเล็กน้อย เราจำกฎง่ายๆ จากชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ได้: “ลบสำหรับลบให้บวก” นั่นก็คือหรือ. แต่ถ้าเราคูณด้วย มันก็ได้ผล.

พิจารณาด้วยตัวคุณเองว่าสำนวนต่อไปนี้จะมีเครื่องหมายอะไร:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

คุณจัดการหรือไม่?

นี่คือคำตอบ: ในสี่ตัวอย่างแรก ฉันหวังว่าทุกอย่างชัดเจน? เราเพียงแค่ดูที่ฐานและเลขชี้กำลังแล้วใช้กฎที่เหมาะสม

ในตัวอย่างที่ 5) ทุกอย่างก็ไม่น่ากลัวเท่าที่ควร: ท้ายที่สุดแล้วไม่สำคัญว่าฐานจะเท่ากับอะไร - ระดับเป็นเลขคู่ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์จะเป็นค่าบวกเสมอ

ยกเว้นเมื่อฐานเป็นศูนย์ ฐานไม่เท่ากันใช่ไหม? ไม่แน่นอน เนื่องจาก (เพราะ)

ตัวอย่างที่ 6) ไม่ง่ายอีกต่อไป!

6 ตัวอย่างที่ต้องฝึกฝน

การวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหา 6 ตัวอย่าง

ทั้งหมดเราเรียกจำนวนธรรมชาติ จำนวนตรงข้าม (นั่นคือ ใช้เครื่องหมาย " ") และจำนวน

จำนวนเต็มบวกและไม่ต่างจากธรรมชาติเลยทุกอย่างก็ดูเหมือนในส่วนที่แล้วทุกประการ

ตอนนี้เรามาดูกรณีใหม่กัน เริ่มจากตัวบ่งชี้ที่เท่ากับ

จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง:

เช่นเคย ขอให้เราถามตัวเองว่า ทำไมจึงเป็นเช่นนั้น?

พิจารณาระดับหนึ่งด้วยฐาน ยกตัวอย่างและคูณด้วย:

เราก็คูณตัวเลขด้วย เราก็ได้เหมือนเดิม - . คุณควรคูณเลขอะไรเพื่อไม่ให้มีการเปลี่ยนแปลง? ถูกต้องแล้ว วิธี.

เราสามารถทำเช่นเดียวกันกับหมายเลขใดก็ได้:

ทำซ้ำกฎ:

จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง

แต่มีข้อยกเว้นสำหรับกฎหลายข้อ และนี่ก็อยู่ตรงนั้นด้วย - นี่คือตัวเลข (เป็นฐาน)

ในด้านหนึ่ง มันจะต้องเท่ากับระดับใดๆ ก็ตาม ไม่ว่าคุณจะคูณศูนย์ด้วยตัวมันเองมากแค่ไหน คุณก็ยังจะได้ศูนย์ นี่ก็ชัดเจน แต่ในทางกลับกัน เช่นเดียวกับเลขยกกำลังศูนย์ ก็ต้องเท่ากัน แล้วเรื่องนี้จริงมากแค่ไหน? นักคณิตศาสตร์ตัดสินใจว่าจะไม่เข้าไปยุ่งและปฏิเสธที่จะเพิ่มศูนย์เป็นศูนย์ นั่นคือตอนนี้เราไม่สามารถหารด้วยศูนย์เท่านั้น แต่ยังเพิ่มเป็นศูนย์ด้วย

เดินหน้าต่อไป นอกจากจำนวนธรรมชาติและตัวเลขแล้ว จำนวนเต็มยังรวมถึงจำนวนลบด้วย เพื่อให้เข้าใจว่ากำลังลบคืออะไร เรามาทำเหมือนครั้งก่อน: คูณจำนวนปกติด้วยจำนวนเดียวกันให้เป็นกำลังลบ:

จากที่นี่ การแสดงสิ่งที่คุณกำลังมองหาเป็นเรื่องง่าย:

ทีนี้ลองขยายกฎผลลัพธ์ไปสู่ระดับที่ต้องการ:

เรามาตั้งกฎกัน:

จำนวนที่มีกำลังเป็นลบคือส่วนกลับของจำนวนเดียวกันที่มีกำลังเป็นบวก แต่ในขณะเดียวกัน ฐานต้องไม่เป็นค่าว่าง:(เพราะคุณไม่สามารถหารด้วย)

สรุป:

งานสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตามปกติแล้ว ตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ:

การวิเคราะห์ปัญหาเพื่อการแก้ปัญหาอย่างอิสระ:

ฉันรู้ ฉันรู้ว่าตัวเลขนั้นน่ากลัว แต่ในการสอบ Unified State คุณต้องเตรียมตัวให้พร้อมสำหรับทุกสิ่ง! แก้ไขตัวอย่างเหล่านี้หรือวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาหากคุณแก้ไม่ได้ แล้วคุณจะได้เรียนรู้ที่จะรับมือกับตัวอย่างเหล่านี้ได้อย่างง่ายดายในการสอบ!

มาขยายขอบเขตของตัวเลขที่ “เหมาะสม” เป็นเลขชี้กำลังต่อไป

ทีนี้ลองมาพิจารณากัน สรุปตัวเลข.ตัวเลขใดที่เรียกว่าตรรกยะ?

คำตอบ: ทุกอย่างที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วน โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม และ

เพื่อทำความเข้าใจว่ามันคืออะไร "ระดับเศษส่วน"ให้พิจารณาเศษส่วน:

ลองยกสมการทั้งสองข้างให้เป็นกำลัง:

ตอนนี้เรามาจำกฎเกี่ยวกับ "ระดับต่อระดับ":

ต้องยกเลขอะไรถึงยกกำลังถึงจะได้?

สูตรนี้เป็นคำจำกัดความของรากของระดับที่

ฉันขอเตือนคุณว่า รากของเลขยกกำลัง th () คือตัวเลขที่เมื่อยกกำลังแล้วจะเท่ากับ

นั่นคือรากของกำลัง th คือการดำเนินการผกผันของการยกกำลัง:

ปรากฎว่า แน่นอนว่ากรณีพิเศษนี้สามารถขยายความได้: .

ตอนนี้เราเพิ่มตัวเศษ: มันคืออะไร? คำตอบนั้นหาได้ง่ายโดยใช้กฎกำลังต่อกำลัง:

แต่ฐานสามารถเป็นตัวเลขใดๆ ได้หรือไม่? ท้ายที่สุดแล้ว ไม่สามารถแยกรูทออกจากตัวเลขทั้งหมดได้

ไม่มี!

จำกฎนี้ไว้: จำนวนใดๆ ที่ถูกยกกำลังเป็นคู่จะเป็นจำนวนบวก นั่นคือมันเป็นไปไม่ได้ที่จะแยกรากออกจากจำนวนลบ!

ซึ่งหมายความว่าตัวเลขดังกล่าวไม่สามารถยกกำลังเศษส่วนโดยมีตัวส่วนเป็นคู่ได้ กล่าวคือ นิพจน์นี้ไม่สมเหตุสมผล

แล้วการแสดงออกล่ะ?

แต่ที่นี่มีปัญหาเกิดขึ้น

ตัวเลขสามารถแสดงในรูปของเศษส่วนอื่นๆ ที่ลดได้ เช่น หรือ

และปรากฎว่ามันมีอยู่ แต่ไม่มีอยู่จริง แต่นี่เป็นเพียงสองบันทึกที่แตกต่างกันที่มีจำนวนเท่ากัน

หรืออีกตัวอย่างหนึ่ง: ครั้งหนึ่ง คุณก็สามารถจดมันลงไปได้ แต่ถ้าเราเขียนตัวบ่งชี้ต่างออกไป เราก็จะประสบปัญหาอีกครั้ง: (นั่นคือ เราได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง!)

เพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้งดังกล่าว เราจึงพิจารณา เลขชี้กำลังฐานบวกเท่านั้นที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน.

ดังนั้นหาก:

• - จำนวนธรรมชาติ
• - จำนวนเต็ม;

ตัวอย่าง:

เลขชี้กำลังแบบตรรกยะมีประโยชน์มากในการแปลงนิพจน์ด้วยราก ตัวอย่างเช่น

5 ตัวอย่างที่ต้องฝึกฝน

วิเคราะห์ 5 ตัวอย่างสำหรับการฝึกอบรม

ตอนนี้มาถึงส่วนที่ยากที่สุดแล้ว ตอนนี้เราจะคิดออก องศาที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว.

กฎและคุณสมบัติทั้งหมดขององศาในที่นี้เหมือนกับองศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะทุกประการ ยกเว้น

ตามคำจำกัดความแล้ว จำนวนอตรรกยะคือตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม (นั่นคือ จำนวนอตรรกยะคือจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้นจำนวนตรรกยะ)

เมื่อศึกษาระดับปริญญาด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติ จำนวนเต็ม และตรรกยะ ทุกครั้งที่เราสร้าง "ภาพ" "การเปรียบเทียบ" หรือคำอธิบายบางอย่างในรูปแบบที่คุ้นเคยมากขึ้น

ตัวอย่างเช่น ระดับที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติคือตัวเลขคูณด้วยตัวมันเองหลายครั้ง

...ตัวเลขยกกำลังศูนย์- นี่คือจำนวนที่คูณด้วยตัวมันเองครั้งหนึ่งนั่นคือยังไม่ได้เริ่มคูณซึ่งหมายความว่าจำนวนนั้นยังไม่ปรากฏด้วยซ้ำ - ดังนั้นผลลัพธ์จึงเป็นเพียง "ตัวเลขว่าง" บางตัวเท่านั้น คือตัวเลข

...องศาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็มลบ- ราวกับว่ามี "กระบวนการย้อนกลับ" เกิดขึ้นนั่นคือจำนวนไม่ได้คูณด้วยตัวมันเอง แต่ถูกหาร

อย่างไรก็ตามในทางวิทยาศาสตร์มักใช้ระดับที่มีเลขชี้กำลังเชิงซ้อนนั่นคือเลขชี้กำลังไม่ใช่จำนวนจริงด้วยซ้ำ

แต่ที่โรงเรียนเราไม่ได้คิดถึงความยากลำบากดังกล่าว คุณจะมีโอกาสเข้าใจแนวคิดใหม่เหล่านี้ที่สถาบัน

เรามั่นใจว่าคุณจะไปที่ไหน! (ถ้าคุณเรียนรู้ที่จะแก้ตัวอย่างดังกล่าว :))

ตัวอย่างเช่น:

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

การวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหา:

1. เริ่มจากกฎการเพิ่มพลังเป็นพลังซึ่งเป็นเรื่องปกติสำหรับเราอยู่แล้ว:

ระดับสูง

การกำหนดระดับ

ปริญญาคือการแสดงออกของรูปแบบ: โดยที่:

• — พื้นฐานการศึกษาระดับปริญญา;
• - เลขชี้กำลัง

องศาที่มีตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติ (n = 1, 2, 3,...)

การเพิ่มจำนวนให้เป็นพลังธรรมชาติ n หมายถึงการคูณจำนวนด้วยตัวมันเองด้วย:

องศาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม (0, ±1, ±2,...)

หากเป็นเลขชี้กำลัง จำนวนเต็มบวกตัวเลข:

การก่อสร้าง ถึงระดับศูนย์:

สำนวนนี้ไม่มีกำหนด เพราะในด้านหนึ่ง ระดับใดๆ ก็เป็นเช่นนี้ และอีกด้านหนึ่ง จำนวนใดๆ ที่อยู่ในระดับ th ก็เป็นเช่นนี้

หากเป็นเลขชี้กำลัง จำนวนเต็มลบตัวเลข:

(เพราะคุณไม่สามารถหารด้วย)

อีกครั้งเกี่ยวกับศูนย์: นิพจน์ไม่ได้ถูกกำหนดไว้ในกรณีนี้ ถ้าอย่างนั้น.

ตัวอย่าง:

กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ

• - จำนวนธรรมชาติ
• - จำนวนเต็ม;

ตัวอย่าง:

คุณสมบัติขององศา

เพื่อให้ง่ายต่อการแก้ปัญหา เรามาลองทำความเข้าใจกันดีกว่าว่าคุณสมบัติเหล่านี้มาจากไหน? มาพิสูจน์กันเถอะ

มาดูกันว่าคืออะไรและ?

A-ไพรเออรี่:

ทางด้านขวาของนิพจน์นี้ เราจะได้ผลลัพธ์ดังนี้:

แต่ตามคำจำกัดความแล้ว มันคือกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลัง นั่นคือ:

Q.E.D.

ตัวอย่าง : ลดความซับซ้อนของนิพจน์

สารละลาย : .

ตัวอย่าง : ลดความซับซ้อนของนิพจน์

สารละลาย : สิ่งสำคัญคือต้องทราบว่าในกฎของเรา อย่างจำเป็นจะต้องมีเหตุผลเดียวกัน ดังนั้นเราจึงรวมพลังเข้ากับฐาน แต่ยังคงเป็นปัจจัยที่แยกจากกัน:

หมายเหตุสำคัญอีกประการหนึ่ง: กฎนี้ - เพื่อผลิตผลแห่งอำนาจเท่านั้น!

คุณไม่สามารถเขียนสิ่งนั้นได้ไม่ว่าในกรณีใด

เช่นเดียวกับคุณสมบัติก่อนหน้านี้ ให้เรามาดูคำจำกัดความของระดับ:

มาจัดเรียงงานนี้ใหม่ดังนี้:

ปรากฎว่านิพจน์นั้นคูณด้วยตัวมันเองด้วยตัวมันเอง นั่นคือตามคำจำกัดความ นี่คือกำลังที่ th ของตัวเลข:

โดยพื้นฐานแล้ว สิ่งนี้สามารถเรียกได้ว่าเป็น "การเอาตัวบ่งชี้ออกจากวงเล็บ" แต่คุณไม่สามารถทำเช่นนี้ได้ทั้งหมด: !

จำสูตรคูณแบบย่อ: เราต้องการเขียนกี่ครั้ง? แต่นี่ไม่เป็นความจริงเลย

กำลังที่มีฐานเป็นลบ

ถึงจุดนี้เราได้พูดคุยกันเพียงว่าควรเป็นอย่างไร ดัชนีองศา แต่อะไรควรเป็นพื้นฐาน? อยู่ในอำนาจของ เป็นธรรมชาติ ตัวบ่งชี้ พื้นฐานอาจเป็นได้ หมายเลขใดก็ได้ .

อันที่จริง เราสามารถคูณตัวเลขใดๆ เข้าด้วยกันได้ ไม่ว่าจะเป็นค่าบวก ลบ หรือเลขคู่ ลองคิดดูว่าเครื่องหมายใด ("" หรือ "") จะมีกำลังเป็นจำนวนบวกและลบ?

เช่น จำนวนเป็นค่าบวกหรือค่าลบ? เอ? -

อย่างแรกทุกอย่างชัดเจน: ไม่ว่าเราจะคูณจำนวนบวกจำนวนเท่าใดผลลัพธ์ก็จะเป็นบวก

แต่สิ่งที่เป็นลบนั้นน่าสนใจกว่าเล็กน้อย เราจำกฎง่ายๆ จากชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ได้: “ลบสำหรับลบให้บวก” นั่นก็คือหรือ. แต่ถ้าเราคูณด้วย () เราจะได้ -

และไม่มีที่สิ้นสุด: ด้วยการคูณแต่ละครั้งเครื่องหมายจะเปลี่ยนไป สามารถกำหนดกฎง่าย ๆ ต่อไปนี้ได้:

1. สม่ำเสมอองศา - หมายเลข เชิงบวก.
2. จำนวนลบยกเป็น แปลกองศา - หมายเลข เชิงลบ.
3. จำนวนบวกทุกระดับจะเป็นจำนวนบวก
4. ศูนย์กำลังใดๆ มีค่าเท่ากับศูนย์

พิจารณาด้วยตัวคุณเองว่าสำนวนต่อไปนี้จะมีเครื่องหมายอะไร:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

คุณจัดการหรือไม่? นี่คือคำตอบ:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

ในสี่ตัวอย่างแรกฉันหวังว่าทุกอย่างชัดเจน? เราเพียงแค่ดูที่ฐานและเลขชี้กำลังแล้วใช้กฎที่เหมาะสม

ในตัวอย่างที่ 5) ทุกอย่างก็ไม่น่ากลัวเท่าที่ควร: ท้ายที่สุดแล้วไม่สำคัญว่าฐานจะเท่ากับอะไร - ระดับเป็นเลขคู่ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์จะเป็นค่าบวกเสมอ ยกเว้นเมื่อฐานเป็นศูนย์ ฐานไม่เท่ากันใช่ไหม? ไม่แน่นอน เนื่องจาก (เพราะ)

ตัวอย่างที่ 6) ไม่ใช่เรื่องง่ายอีกต่อไป ที่นี่คุณต้องค้นหาว่าอันไหนน้อยกว่า: หรือ? ถ้าเราจำได้ ก็จะชัดเจนว่า ซึ่งหมายความว่าฐานมีค่าน้อยกว่าศูนย์ นั่นคือเราใช้กฎข้อที่ 2: ผลลัพธ์จะเป็นลบ

และอีกครั้งที่เราใช้คำจำกัดความของระดับ:

ทุกอย่างเป็นไปตามปกติ - เราเขียนคำจำกัดความขององศาแล้วหารซึ่งกันและกันแบ่งเป็นคู่แล้วรับ:

ก่อนที่เราจะดูกฎข้อสุดท้าย เรามาแก้ตัวอย่างกันก่อน

คำนวณนิพจน์:

โซลูชั่น :

กลับไปที่ตัวอย่าง:

และอีกครั้งด้วยสูตร:

ตอนนี้กฎข้อสุดท้าย:

เราจะพิสูจน์ได้อย่างไร? แน่นอน เหมือนเช่นเคย มาขยายแนวคิดเรื่องปริญญาและทำให้ง่ายขึ้น:

ทีนี้มาเปิดวงเล็บกันดีกว่า มีตัวอักษรทั้งหมดกี่ตัว? คูณด้วยคูณ - สิ่งนี้ทำให้คุณนึกถึงอะไร? นี่ไม่ใช่อะไรมากไปกว่าคำจำกัดความของการดำเนินการ การคูณ: ที่นั่นมีแต่ตัวคูณเท่านั้น ตามคำจำกัดความแล้ว นั่นคือกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลัง:

ตัวอย่าง:

องศาที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว

นอกจากข้อมูลเกี่ยวกับองศาสำหรับระดับเฉลี่ยแล้ว เราจะวิเคราะห์ระดับด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว กฎและคุณสมบัติทั้งหมดขององศาในที่นี้เหมือนกันทุกประการกับดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ ยกเว้นว่า ตามคำจำกัดความแล้ว จำนวนอตรรกยะคือตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม (นั่นคือ จำนวนอตรรกยะคือจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้นจำนวนตรรกยะ)

เมื่อศึกษาระดับปริญญาด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติ จำนวนเต็ม และตรรกยะ ทุกครั้งที่เราสร้าง "ภาพ" "การเปรียบเทียบ" หรือคำอธิบายบางอย่างในรูปแบบที่คุ้นเคยมากขึ้น ตัวอย่างเช่น ระดับที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติคือตัวเลขคูณด้วยตัวมันเองหลายครั้ง จำนวนยกกำลัง 0 เหมือนเดิมคือจำนวนคูณด้วยตัวมันเองหนึ่งครั้ง นั่นคือ ยังไม่ได้เริ่มคูณ ซึ่งหมายความว่าจำนวนนั้นยังไม่ปรากฏด้วยซ้ำ ดังนั้น ผลลัพธ์จึงเป็นเพียงค่าที่แน่นอนเท่านั้น “หมายเลขว่าง” คือตัวเลข ระดับที่มีเลขชี้กำลังลบจำนวนเต็ม - ราวกับว่ามี "กระบวนการย้อนกลับ" เกิดขึ้นนั่นคือจำนวนนั้นไม่ได้คูณด้วยตัวมันเอง แต่ถูกหาร

เป็นเรื่องยากมากที่จะจินตนาการถึงระดับหนึ่งด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว (เช่นเดียวกับที่เป็นการยากที่จะจินตนาการถึงปริภูมิ 4 มิติ) มันค่อนข้างเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ ที่นักคณิตศาสตร์สร้างขึ้นเพื่อขยายแนวคิดเรื่ององศาให้ครอบคลุมพื้นที่ทั้งหมดของตัวเลข

อย่างไรก็ตามในทางวิทยาศาสตร์มักใช้ระดับที่มีเลขชี้กำลังเชิงซ้อนนั่นคือเลขชี้กำลังไม่ใช่จำนวนจริงด้วยซ้ำ แต่ที่โรงเรียนเราไม่คิดถึงความยากลำบากดังกล่าว คุณจะมีโอกาสเข้าใจแนวคิดใหม่เหล่านี้ที่สถาบัน

แล้วเราจะทำอย่างไรถ้าเราเห็นเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว? เราพยายามอย่างดีที่สุดเพื่อกำจัดมัน! :)

ตัวอย่างเช่น:

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

1)

2)

3)

คำตอบ:

สรุปส่วนและสูตรพื้นฐาน

ระดับเรียกว่าการแสดงออกของแบบฟอร์ม: โดยที่:

ปริญญาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม

ระดับที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ (เช่น จำนวนเต็มและบวก)

กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ

องศา ซึ่งมีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนลบและเศษส่วน

องศาที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว

ระดับที่เลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนหรือรากทศนิยมอนันต์

คุณสมบัติขององศา

คุณสมบัติขององศา

• จำนวนลบยกเป็น สม่ำเสมอองศา - หมายเลข เชิงบวก.
• จำนวนลบยกเป็น แปลกองศา - หมายเลข เชิงลบ.
• จำนวนบวกทุกระดับจะเป็นจำนวนบวก
• ศูนย์เท่ากับกำลังใดๆ
• จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากัน

ตอนนี้คุณมีคำว่า...

คุณชอบบทความนี้อย่างไร? เขียนความคิดเห็นด้านล่างไม่ว่าคุณจะชอบหรือไม่

บอกเราเกี่ยวกับประสบการณ์ของคุณในการใช้คุณสมบัติระดับ

บางทีคุณอาจมีคำถาม หรือข้อเสนอแนะ

เขียนในความคิดเห็น

และขอให้โชคดีในการสอบ!

เอาล่ะ หัวข้อมันจบลงแล้ว หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้แสดงว่าคุณเจ๋งมาก

เพราะมีคนเพียง 5% เท่านั้นที่สามารถเชี่ยวชาญบางสิ่งได้ด้วยตัวเอง และถ้าคุณอ่านจนจบแสดงว่าคุณอยู่ใน 5% นี้!

ตอนนี้สิ่งที่สำคัญที่สุด

คุณเข้าใจทฤษฎีในหัวข้อนี้แล้ว และขอย้ำอีกครั้งว่า...นี่มันสุดยอดมาก! คุณเก่งกว่าคนรอบข้างส่วนใหญ่อยู่แล้ว

ปัญหาคือว่านี่อาจไม่เพียงพอ...

เพื่ออะไร?

สำหรับการผ่านการสอบ Unified State ได้สำเร็จ เพื่อเข้าวิทยาลัยด้วยงบประมาณ และที่สำคัญที่สุดคือตลอดชีวิต

ฉันจะไม่โน้มน้าวคุณในสิ่งใด ฉันจะพูดสิ่งเดียวเท่านั้น...

ผู้ที่ได้รับการศึกษาที่ดีจะมีรายได้มากกว่าผู้ที่ไม่ได้รับการศึกษา นี่คือสถิติ

แต่นี่ไม่ใช่สิ่งสำคัญ

สิ่งสำคัญคือพวกเขามีความสุขมากขึ้น (มีการศึกษาเช่นนี้) อาจเป็นเพราะโอกาสอีกมากมายเปิดอยู่ตรงหน้าและชีวิตก็สดใสขึ้นใช่ไหม? ไม่รู้...

แต่คิดเอาเองนะ...

ต้องใช้อะไรบ้างเพื่อให้แน่ใจว่าจะดีกว่าคนอื่นๆ ในการสอบ Unified State และสุดท้ายจะ... มีความสุขมากขึ้น?

รับมือกับปัญหาในหัวข้อนี้

คุณจะไม่ถูกถามถึงทฤษฎีในระหว่างการสอบ

คุณจะต้องการ แก้ปัญหากับเวลา.

และหากคุณยังไม่ได้แก้ไข (มาก!) คุณจะทำผิดพลาดโง่ ๆ อย่างแน่นอนหรือไม่มีเวลาเลย

มันเหมือนกับในกีฬา คุณต้องทำซ้ำหลาย ๆ ครั้งจึงจะชนะอย่างแน่นอน

ค้นหาคอลเลกชันทุกที่ที่คุณต้องการ จำเป็นต้องมีวิธีแก้ปัญหาการวิเคราะห์โดยละเอียดและตัดสินใจ ตัดสินใจ ตัดสินใจ!

คุณสามารถใช้งานของเรา (ไม่จำเป็น) และแน่นอนว่าเราแนะนำพวกเขา

เพื่อให้ใช้งานของเราได้ดียิ่งขึ้น คุณต้องช่วยยืดอายุหนังสือเรียน YouClever ที่คุณกำลังอ่านอยู่

ยังไง? มีสองตัวเลือก:

1. ปลดล็อคงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความนี้ -
2. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความทั้ง 99 บทของหนังสือเรียน - ซื้อหนังสือเรียน - 899 RUR

ใช่ เรามีบทความดังกล่าว 99 บทความในหนังสือเรียนของเราและเข้าถึงงานทั้งหมดได้ และสามารถเปิดข้อความที่ซ่อนอยู่ในนั้นได้ทันที

การเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดมีให้ตลอดทั้งชีวิตของไซต์

สรุปแล้ว...

หากคุณไม่ชอบงานของเราก็หาคนอื่น อย่าหยุดอยู่ที่ทฤษฎีเท่านั้น

“เข้าใจ” และ “ฉันแก้ได้” เป็นทักษะที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง คุณต้องการทั้งสองอย่าง

ค้นหาปัญหาและแก้ไข!

ลองพิจารณาลำดับของตัวเลข โดยลำดับแรกมีค่าเท่ากับ 1 และลำดับต่อมาจะมีขนาดใหญ่เป็นสองเท่า: 1, 2, 4, 8, 16, ... เมื่อใช้เลขชี้กำลัง ก็สามารถเขียนในรูปแบบที่เทียบเท่าได้: 2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4, ... เรียกได้ว่าค่อนข้างคาดหวัง: ลำดับกำลังของทั้งสองดูเหมือนว่าจะไม่มีอะไรโดดเด่นในนั้น - ความสม่ำเสมอก็เหมือนกับความสม่ำเสมอ ไม่ดีกว่าและไม่แย่ไปกว่าสิ่งอื่น แต่ก็มีคุณสมบัติที่น่าทึ่งมาก

ไม่ต้องสงสัยเลยว่าผู้อ่านหลายคนได้พบกับเรื่องราวคลาสสิกเกี่ยวกับนักประดิษฐ์หมากรุกที่ขอให้ไม้บรรทัดเป็นรางวัลสำหรับตารางแรกของกระดานหมากรุกข้าวสาลีหนึ่งเมล็ดสำหรับเมล็ดที่สอง - สองสำหรับสาม - สี่และอื่น ๆ เพิ่มจำนวนเมล็ดพืชเป็นสองเท่าตลอดเวลา เป็นที่ชัดเจนว่าจำนวนรวมของพวกเขาเท่ากับ

ส= 2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + ... + 2 63 . (1)

แต่เนื่องจากปริมาณนี้มีปริมาณมากอย่างไม่น่าเชื่อและเกินกว่าการเก็บเกี่ยวธัญพืชประจำปีทั่วโลกหลายเท่า ปรากฎว่าปราชญ์ได้ไล่ไม้บรรทัดเหมือนท่อนไม้

อย่างไรก็ตาม ให้เราถามตัวเองอีกคำถามหนึ่ง: วิธีคำนวณค่าโดยใช้แรงงานน้อยที่สุด ส- เจ้าของเครื่องคิดเลข (หรือยิ่งกว่านั้นคือคอมพิวเตอร์) สามารถทำการคูณได้อย่างง่ายดายในเวลาอันใกล้แล้วบวกผลลัพธ์ 64 หลักโดยได้รับคำตอบ: 18,446,744,073,709,551,615 และเนื่องจากปริมาณการคำนวณมีมาก ความน่าจะเป็นของข้อผิดพลาดจึงมีมาก สูง.

ผู้ที่มีไหวพริบมากกว่าสามารถเห็นได้ในลำดับนี้ ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต- ผู้ที่ไม่คุ้นเคยกับแนวคิดนี้ (หรือผู้ที่ลืมสูตรมาตรฐานสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต) สามารถใช้เหตุผลต่อไปนี้ได้ ลองคูณทั้งสองข้างของความเท่าเทียมกัน (1) ด้วย 2 เนื่องจากเมื่อยกกำลังสองเป็นสองเท่า เลขชี้กำลังของมันจะเพิ่มขึ้น 1 เราจึงได้

2ส = 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + ... + 2 64 . (2)

ตอนนี้จาก (2) เราลบ (1) ทางซ้ายแน่นอน กลายเป็น 2 ส – ส = ส- ทางด้านขวาจะมีการทำลายล้างกันครั้งใหญ่ของพลังทั้งสองเกือบทั้งหมด - ตั้งแต่ 2 1 ถึง 2 63 รวมและมีเพียง 2 64 – 2 0 = 2 64 – 1 เท่านั้นที่จะยังคงอยู่ ดังนั้น:

ส= 2 64 – 1.

นิพจน์นั้นง่ายขึ้นอย่างเห็นได้ชัด และตอนนี้เมื่อมีเครื่องคิดเลขที่ให้คุณยกกำลังได้ คุณสามารถค้นหาค่าของปริมาณนี้ได้โดยไม่มีปัญหาแม้แต่น้อย

และถ้าคุณไม่มีเครื่องคิดเลขจะทำอย่างไร? คูณ 64 twos ลงในคอลัมน์เดียว? ขาดอะไรอีก! วิศวกรหรือนักคณิตศาสตร์ประยุกต์ที่มีประสบการณ์ซึ่งมีเวลาเป็นปัจจัยหลักจะสามารถคิดได้อย่างรวดเร็ว ประมาณการคำตอบคือ พบได้โดยประมาณด้วยความแม่นยำที่ยอมรับได้ ตามกฎแล้ว ในชีวิตประจำวัน (และในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติส่วนใหญ่) ข้อผิดพลาด 2–3% ค่อนข้างยอมรับได้ และหากไม่เกิน 1% ก็ถือว่าเยี่ยมมาก! ปรากฎว่าคุณสามารถคำนวณธัญพืชของเราโดยมีข้อผิดพลาดดังกล่าวโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลขเลยและในเวลาเพียงไม่กี่นาที ยังไง? คุณจะเห็นตอนนี้

ดังนั้น เราจำเป็นต้องค้นหาผลคูณของ 64 twos ให้แม่นยำที่สุดเท่าที่จะทำได้ (เราจะทิ้งอันนั้นทันทีเนื่องจากไม่มีนัยสำคัญ) ลองแบ่งเป็นกลุ่มๆ ละ 4 สอง และอีก 6 กลุ่ม กลุ่มละ 10 สอง ผลคูณของ twos ในกลุ่มแยกกันเท่ากับ 2 4 = 16 และผลิตภัณฑ์ของ 10 twos ในแต่ละกลุ่มมีค่าเท่ากับ 2 10 = 1,024 (ดูว่าคุณสงสัยหรือไม่!) แต่ 1,024 ก็ประมาณ 1,000 นั่นคือ 10 3. นั่นเป็นเหตุผล สควรอยู่ใกล้ผลคูณของเลข 16 คูณ 6 ซึ่งแต่ละตัวมีค่าเท่ากับ 10 3 กล่าวคือ ส data 16·10 18 (เนื่องจาก 18 = 3·6) จริงอยู่ที่ข้อผิดพลาดยังคงมีขนาดใหญ่ ท้ายที่สุดแล้ว 6 ครั้งเมื่อแทนที่ 1,024 ด้วย 1,000 เราเข้าใจผิด 1.024 ครั้ง และโดยรวมแล้วเราเข้าใจผิด 1.024 6 ครั้ง ตามที่เห็นได้ง่าย แล้วตอนนี้ - คูณ 1.024 เพิ่มเติมหกครั้งด้วยตัวมันเองล่ะ? ไม่ เราจะผ่านไปได้! เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าสำหรับตัวเลขนั้น เอ็กซ์ซึ่งน้อยกว่า 1 หลายเท่า สูตรโดยประมาณต่อไปนี้ใช้ได้และมีความแม่นยำสูง: (1 + x) n ≈ 1 + xn.

ดังนั้น 1.024 6 = (1 + 0.24) 6 ≈ 1 + 0.24 6 = 1.144 ดังนั้นเราจึงต้องคูณตัวเลข 16·10 18 ที่เราเจอด้วยตัวเลข 1.144 ผลลัพธ์ที่ได้คือ 18,304,000,000,000,000,000 และค่านี้แตกต่างจากคำตอบที่ถูกต้องน้อยกว่า 1% นั่นคือสิ่งที่เราต้องการ!

ในกรณีนี้ เราโชคดีมาก: หนึ่งในพลังของสอง (กล่าวคือ ที่สิบ) กลายเป็นว่าใกล้เคียงกับหนึ่งในพลังของสิบ (กล่าวคือ ที่สาม) มาก สิ่งนี้ช่วยให้เราประเมินค่าของกำลังสองได้อย่างรวดเร็ว ไม่จำเป็นต้องเป็นเลข 64 ในบรรดากำลังของตัวเลขอื่นๆ นี่เป็นสิ่งที่หาได้ยาก ตัวอย่างเช่น 5 10 แตกต่างจาก 10 7 เช่นกัน 1.024 เท่า แต่... ในระดับที่น้อยกว่า อย่างไรก็ตาม นี่เป็นสิ่งเดียวกัน เนื่องจาก 2 10 5 10 = 10 10 แล้วกี่ครั้ง 2 10 เหนือกว่า 10 3 จำนวนเท่ากันคูณ 5 10 น้อย, มากกว่า 10 7 .

คุณลักษณะที่น่าสนใจอีกประการหนึ่งของลำดับที่เป็นปัญหาก็คือ สามารถสร้างจำนวนธรรมชาติใดๆ ได้ หลากหลายพลังของทั้งสองและด้วยวิธีเดียวเท่านั้น ตัวอย่างเช่นสำหรับตัวเลขปีปัจจุบันที่เรามี

2012 = 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 + 2 10 .

การพิสูจน์ความเป็นไปได้และเอกลักษณ์นี้ไม่ใช่เรื่องยาก เริ่มต้นด้วย ความเป็นไปได้สมมติว่าเราต้องแทนจำนวนธรรมชาติจำนวนหนึ่งเป็นผลรวมของกำลังสองที่แตกต่างกัน เอ็น- ก่อนอื่น ลองเขียนมันเป็นผลรวม เอ็นหน่วย เนื่องจากหนึ่งคือ 2 0 จากนั้นเริ่มแรก เอ็นมีผลรวมอยู่ เหมือนกันพลังของทั้งสอง จากนั้นเราจะเริ่มรวมพวกมันเป็นคู่ ผลรวมของตัวเลขสองตัวที่เท่ากับ 2 0 คือ 2 1 ผลลัพธ์ก็คือ น้อยลงอย่างเห็นได้ชัดจำนวนพจน์เท่ากับ 2 1 และอาจเป็นหนึ่งหมายเลข 2 0 หากไม่พบคู่ของมัน ต่อไป เราจะรวมพจน์ที่เหมือนกัน 2 1 เข้าด้วยกันเป็นคู่ๆ เพื่อให้ได้ตัวเลข 2 2 จำนวนที่น้อยกว่า (ในที่นี้ การปรากฏตัวของเลขยกกำลัง 2 2 1 ที่ไม่ได้จับคู่ก็เป็นไปได้เช่นกัน) จากนั้นเราก็รวมพจน์ที่เท่ากันเป็นคู่อีกครั้งและอื่นๆ ไม่ช้าก็เร็วกระบวนการนี้จะสิ้นสุดลง เนื่องจากจำนวนกำลังที่เท่ากันของทั้งสองจะลดลงหลังจากแต่ละสหภาพ เมื่อเท่ากับ 1 เรื่องก็จบ สิ่งที่เหลืออยู่คือการเพิ่มพลังที่ไม่ได้จับคู่ทั้งหมดที่เป็นผลลัพธ์ของสอง - และประสิทธิภาพก็พร้อมแล้ว

ส่วนเรื่องการพิสูจน์นั้น เอกลักษณ์การนำเสนอ ดังนั้นวิธี "โดยความขัดแย้ง" จึงเหมาะสมอย่างยิ่งที่นี่ ให้เลขเดียวกัน. เอ็นสามารถแสดงออกมาในรูปแบบได้ สองชุดของพลังที่แตกต่างกันของทั้งสองที่ไม่ตรงกันอย่างสมบูรณ์ (นั่นคือ มีพลังของทั้งสองที่รวมอยู่ในชุดหนึ่งแต่ไม่รวมอยู่ในอีกชุดหนึ่ง และในทางกลับกัน) ขั้นแรก ให้ทิ้งเลขยกกำลังที่ตรงกันทั้งหมดของทั้งสองจากเซตทั้งสอง (ถ้ามี) คุณจะได้รับการแสดงตัวเลขเดียวกันสองตัว (น้อยกว่าหรือเท่ากับ เอ็น) เป็นผลรวมของกำลังต่างๆ ของสอง และ ทั้งหมดองศาในการเป็นตัวแทน แตกต่าง- ในแต่ละการนำเสนอที่เราเน้น ยิ่งระดับ. เนื่องจากข้างต้นสำหรับสองตัวแทนระดับเหล่านี้ แตกต่าง- เราเรียกการเป็นตัวแทนซึ่งมีระดับนี้มากกว่า อันดับแรก, อื่น - ที่สอง- ดังนั้น ให้ค่าดีกรีสูงสุดเป็น 2 แทนในรูปแรก มแล้วในวินาทีนั้นเห็นได้ชัดว่าไม่เกิน 2 ม-1 . แต่เนื่องจาก (และเราพบสิ่งนี้แล้วข้างต้นโดยนับเม็ดบนกระดานหมากรุก) ความเท่าเทียมกันจึงเป็นจริง

2ม = (2ม –1 + 2ม –2 + ... + 2 0) + 1,

แล้ว 2 ม อย่างเคร่งครัดมากขึ้นผลรวมของกำลังทั้งหมดของ 2 ไม่เกิน 2 ม-1 . ด้วยเหตุผลนี้ กำลังที่ใหญ่ที่สุดของทั้งสองที่รวมอยู่ในการแสดงครั้งแรกจึงมากกว่าผลรวมอย่างแน่นอน ทุกคนพลังของทั้งสองรวมอยู่ในการเป็นตัวแทนครั้งที่สอง ความขัดแย้ง!

อันที่จริง เราเพิ่งพิสูจน์ความเป็นไปได้ในการเขียนตัวเลขลงไป ไบนารี่ระบบตัวเลข ดังที่คุณทราบมันใช้เพียงสองหลัก - ศูนย์และหนึ่ง และจำนวนธรรมชาติแต่ละตัวจะถูกเขียนในระบบไบนารี่ด้วยวิธีที่ไม่ซ้ำกัน (ตัวอย่างเช่น 2012 ที่กล่าวถึงข้างต้น - เป็น 11 111 011 100) หากเรานับเลขหลัก (เลขฐานสอง) จากขวาไปซ้ายโดยเริ่มจากศูนย์ จำนวนของหลักที่มีอยู่นั้นจะเป็นตัวบ่งชี้กำลังของเลขสองที่รวมอยู่ในการแทนอย่างแม่นยำ

ที่รู้จักกันดีคือคุณสมบัติของเซตของจำนวนเต็มยกกำลังที่ไม่เป็นลบของทั้งสองดังต่อไปนี้ ลองกำหนดเครื่องหมายลบให้กับเครื่องหมายบางตัวตามอำเภอใจ เช่น เปลี่ยนเครื่องหมายบวกให้เป็นเครื่องหมายลบ ข้อกำหนดเพียงอย่างเดียวคือผลลัพธ์ของทั้งจำนวนบวกและลบจะต้องเป็น จำนวนอนันต์ตัวอย่างเช่น คุณสามารถกำหนดเครื่องหมายลบให้กับทุก ๆ ห้ายกกำลังของสอง หรือปล่อยไว้เพียงตัวเลข 2 10, 2 100, 2 1,000 เป็นต้น - มีตัวเลือกมากมายเท่าที่คุณต้องการ

น่าแปลกที่แต่อย่างใด ทั้งหมดตัวเลขสามารถ (และในทางเดียวเท่านั้น) สามารถแสดงเป็นผลรวมของเงื่อนไขต่างๆ ของลำดับ "บวก-ลบ" ของเราได้ และไม่ใช่เรื่องยากนักที่จะพิสูจน์สิ่งนี้ (เช่น โดยการเหนี่ยวนำเลขชี้กำลังของกำลังสอง) แนวคิดหลักของการพิสูจน์คือการมีอยู่ของทั้งแง่บวกและแง่ลบของค่าสัมบูรณ์ขนาดใหญ่โดยพลการ ลองพิสูจน์ด้วยตัวเอง

เป็นเรื่องที่น่าสนใจที่จะสังเกตเลขตัวสุดท้ายของเงื่อนไขลำดับกำลังของทั้งสอง เนื่องจากแต่ละหมายเลขที่ตามมาในลำดับจะได้มาจากการเพิ่มตัวเลขก่อนหน้าเป็นสองเท่า ตัวเลขหลักสุดท้ายของตัวเลขแต่ละตัวจึงถูกกำหนดโดยตัวเลขสุดท้ายของตัวเลขก่อนหน้า และเนื่องจากหลักที่แตกต่างกันมีจำนวนจำกัด ลำดับของหลักสุดท้ายของเลขยกกำลังของทั้งสองจึงเป็นเพียง จำเป็นต้องเป็นระยะ! โดยปกติแล้วความยาวของคาบจะไม่เกิน 10 (เนื่องจากนั่นคือจำนวนตัวเลขที่เราใช้) แต่นี่เป็นค่าที่ประเมินไว้สูงเกินไปอย่างมาก เรามาลองประเมินโดยไม่ต้องเขียนลำดับออกมาก่อน ชัดเจนว่าเลขท้ายของเลขยกกำลังทั้งหมดตั้งแต่ 2 1 เป็นต้นไป สม่ำเสมอ- นอกจากนี้ ในจำนวนนี้ไม่สามารถมีศูนย์ได้ เนื่องจากตัวเลขที่ลงท้ายด้วยศูนย์นั้นหารด้วย 5 ลงตัว ซึ่งไม่สามารถสงสัยว่าจะเป็นกำลังของสองได้ และเนื่องจากมีเลขคู่เพียงสี่หลักที่ไม่มีศูนย์ ความยาวของจุดจึงไม่เกิน 4

การทดสอบแสดงให้เห็นว่าเป็นเช่นนั้นและช่วงเวลาจะปรากฏขึ้นเกือบจะในทันที: 1, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, ... - เป็นไปตามทฤษฎีอย่างสมบูรณ์!

การประมาณความยาวของช่วงเวลาของตัวเลขคู่สุดท้ายของลำดับกำลังสองนั้นประสบความสำเร็จไม่น้อย เนื่องจากกำลังของทั้งสองทั้งหมดที่เริ่มต้นด้วย 2 2 หารด้วย 4 ลงตัว ดังนั้นตัวเลขที่เกิดจากเลขสองหลักสุดท้ายจึงหารด้วย 4 ลงตัว ไม่มีตัวเลขสองหลักไม่เกิน 25 ตัวที่หารด้วย 4 ลงตัว (สำหรับตัวเลขหลักเดียว เราถือว่าศูนย์เป็นตัวเลขสุดท้าย ) แต่จากนั้นคุณต้องกำจัดตัวเลขห้าตัวที่ลงท้ายด้วยศูนย์: 00, 20, 40, 60 และ 80 ดังนั้นช่วงเวลาสามารถมีได้ไม่เกิน 25 - 5 = 20 ตัวเลข การตรวจสอบแสดงว่าเป็นกรณีนี้ โดยงวดจะขึ้นต้นด้วยตัวเลข 2 2 และมีคู่ตัวเลข 04, 08, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72 , 44, 88, 76, 52 และอีกครั้ง 04 เป็นต้น

ในทำนองเดียวกันก็สามารถพิสูจน์ได้ว่าระยะเวลาของช่วงสุดท้าย มตัวเลขลำดับเลขยกกำลังของทั้งสองต้องไม่เกิน 4 5 ม–1 (ยิ่งกว่านั้น ที่จริงแล้วเธอ เท่ากับ 4·5 ม–1 แต่สิ่งนี้พิสูจน์ได้ยากกว่ามาก)

ดังนั้นจึงมีการกำหนดข้อจำกัดที่ค่อนข้างเข้มงวดกับหลักสุดท้ายของกำลังสอง แล้วไง อันดับแรกตัวเลข? ที่นี่สถานการณ์เกือบจะตรงกันข้าม ปรากฎว่าสำหรับ ใดๆชุดของหลัก (ชุดแรกไม่ใช่ศูนย์) มีพลังของสองโดยเริ่มจากชุดหลักนี้ และพลังของทั้งสองดังกล่าว มากมายไม่สิ้นสุด!ตัวอย่างเช่น มีจำนวนเลขยกกำลังของทั้งสองจำนวนอนันต์ที่เริ่มต้นด้วยตัวเลข 2012 หรือเช่น 3,333,333,333,333,333,333,333

และถ้าเราพิจารณาเพียงหนึ่งหลักแรกของพลังต่าง ๆ ของสอง - จะใช้ค่าอะไรได้บ้าง? เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่ามีรายการใดตั้งแต่ 1 ถึง 9 รวมอยู่ด้วย (แน่นอนว่าไม่มีเลข 0 ในจำนวนเหล่านั้น) แต่อันไหนเป็นเรื่องธรรมดามากกว่าและอันไหนธรรมดาน้อยกว่า? อย่างไรก็ตาม ยังไม่ชัดเจนในทันทีว่าทำไมตัวเลขหนึ่งจึงควรเกิดขึ้นบ่อยกว่าอีกจำนวนหนึ่ง อย่างไรก็ตาม การสะท้อนที่ลึกยิ่งขึ้นแสดงให้เห็นว่าไม่สามารถคาดการณ์จำนวนที่เท่ากันทุกประการได้ อันที่จริง หากหลักแรกของกำลังสองคือ 5, 6, 7, 8 หรือ 9 ดังนั้นหลักแรกของกำลังถัดไปของสองจะต้องเป็น หน่วย!จึงต้องมีความ “เบ้” อย่างน้อยต่อความสามัคคี ดังนั้นจึงไม่น่าเป็นไปได้ที่ตัวเลขที่เหลือจะ “แสดงเท่ากัน”

การปฏิบัติ (กล่าวคือ การคำนวณทางคอมพิวเตอร์โดยตรงสำหรับกำลังสองสามหมื่นแรกของสอง) ยืนยันความสงสัยของเรา นี่คือสัดส่วนสัมพัทธ์ของหลักแรกของกำลังสองโดยปัดเศษเป็นทศนิยม 4 ตำแหน่ง:

1 - 0,3010
2 - 0,1761
3 - 0,1249
4 - 0,0969
5 - 0,0792
6 - 0,0669
7 - 0,0580
8 - 0,0512
9 - 0,0458

ดังที่เราเห็นเมื่อตัวเลขเพิ่มขึ้น ค่านี้จะลดลง (ดังนั้นหน่วยเดียวกันจึงมีแนวโน้มที่จะเป็นเลขหลักแรกของเลขยกกำลังสองมากกว่าเก้าประมาณ 6.5 เท่า) อาจดูแปลกที่อัตราส่วนเกือบเท่ากันของตัวเลขของหลักแรกจะเกิดขึ้นในเกือบทุกลำดับขององศา - ไม่ใช่แค่สอง แต่พูดสามห้าแปดและโดยทั่วไป เกือบทุกคนตัวเลข รวมถึงตัวเลขที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม (ข้อยกเว้นเพียงอย่างเดียวคือตัวเลข “พิเศษ” บางตัว) เหตุผลนี้ลึกซึ้งและซับซ้อนมากและเพื่อที่จะเข้าใจเหตุผลเหล่านี้ คุณจำเป็นต้องรู้ลอการิทึม สำหรับผู้ที่คุ้นเคยกับพวกเขาให้เราเปิดม่านขึ้น: ปรากฎว่าสัดส่วนสัมพัทธ์ของกำลังสองซึ่งมีรูปแบบทศนิยมที่ขึ้นต้นด้วยตัวเลข เอฟ(สำหรับ เอฟ= 1, 2, ..., 9) คือบันทึก ( เอฟ+ 1) – บันทึก ( เอฟ) โดยที่ lg คือสิ่งที่เรียกว่า ลอการิทึมทศนิยม,เท่ากับเลขชี้กำลังที่ต้องยกเลข 10 เพื่อให้ได้ตัวเลขใต้เครื่องหมายลอการิทึม

ด้วยการใช้การเชื่อมโยงที่กล่าวมาข้างต้นระหว่างกำลังสองและห้า A. Canel ค้นพบปรากฏการณ์ที่น่าสนใจ ลองเลือกตัวเลขหลายตัวจากลำดับของเลขหลักแรกของเลขยกกำลังสอง (1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, ...) สัญญาและเขียนกลับกัน ปรากฎว่าตัวเลขเหล่านี้คงมาเจอกันอย่างแน่นอน ติดต่อกันด้วยโดยเริ่มจากจุดใดจุดหนึ่งโดยเรียงตามหลักแรกของเลขยกกำลังของห้า

พลังของทั้งสองยังเป็น "เครื่องกำเนิด" ชนิดหนึ่งสำหรับการผลิตสิ่งที่เป็นที่รู้จัก ตัวเลขที่สมบูรณ์แบบซึ่งเท่ากับผลรวมของตัวหารทั้งหมด โดยไม่รวมตัวมันเอง ตัวอย่างเช่น เลข 6 มีตัวหาร 4 ตัว: 1, 2, 3 และ 6 ลองทิ้งตัวที่เท่ากับเลข 6 ทิ้งไป , 6 เป็นจำนวนสมบูรณ์

เพื่อให้ได้จำนวนสมบูรณ์ ให้ใช้กำลังสองต่อเนื่องกัน: 2 n–1 และ 2 n- ลดค่าที่ใหญ่ที่สุดลง 1 เราได้ 2 n– 1. ปรากฎว่าถ้านี่คือจำนวนเฉพาะ เมื่อคูณด้วยกำลังก่อนหน้าของ 2 เราก็จะได้จำนวนสมบูรณ์ 2 n –1 (2n- 1) เช่น เมื่อใด ป= 3 เราได้ตัวเลขเดิมคือ 4 และ 8 เนื่องจาก 8 – 1 = 7 เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น 4·7 = 28 จึงเป็นจำนวนสมบูรณ์ ยิ่งกว่านั้นครั้งหนึ่งลีโอนาร์ดออยเลอร์ได้พิสูจน์ทุกสิ่งแล้ว สม่ำเสมอจำนวนสมบูรณ์จะมีรูปแบบนี้พอดี จำนวนสมบูรณ์คี่ยังไม่ถูกค้นพบ (และมีเพียงไม่กี่คนที่เชื่อว่ามีอยู่จริง)

กำลังของทั้งสองมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับสิ่งที่เรียกว่า ตัวเลขคาตาลันลำดับคือ 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429... มักเกิดขึ้นเมื่อแก้ไขปัญหาเชิงรวมต่างๆ เช่น คุณสามารถแยกส่วนนูนได้กี่วิธี n- กลายเป็นสามเหลี่ยมที่มีเส้นทแยงมุมไม่ต่อเนื่องกันใช่ไหม? ออยเลอร์คนเดียวกันพบว่าค่านี้เท่ากับ ( n– 1) ถึงหมายเลขคาตาลัน (เราแสดงว่า น–1) และเขาก็ค้นพบสิ่งนั้นด้วย น = น-14 n – 6)/n- ลำดับของตัวเลขคาตาลันมีคุณสมบัติที่น่าสนใจมากมาย และหนึ่งในนั้น (เกี่ยวข้องกับหัวข้อของบทความนี้) ก็คือ เลขลำดับของเลขคาตาลันคี่ทั้งหมดนั้นเป็นกำลังของสอง!

กำลังของทั้งสองมักพบได้ในปัญหาต่างๆ ไม่เพียงแต่ในเงื่อนไขเท่านั้น แต่ยังพบในคำตอบด้วย ยกตัวอย่างที่ครั้งหนึ่งเคยโด่งดัง (และยังไม่ลืม) หอคอยแห่งฮานอย- นี่คือชื่อของเกมไขปริศนาที่ประดิษฐ์ขึ้นในศตวรรษที่ 19 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส E. Luc ประกอบด้วยแท่งสามแท่ง ซึ่งแท่งหนึ่งติดอยู่ nดิสก์ที่มีรูตรงกลางแต่ละแผ่น เส้นผ่านศูนย์กลางของดิสก์ทั้งหมดแตกต่างกัน และจัดเรียงจากมากไปน้อยจากล่างขึ้นบน เช่น ดิสก์ที่ใหญ่ที่สุดอยู่ที่ด้านล่าง (ดูรูป) มันกลายเป็นเหมือนหอคอยแห่งดิสก์

คุณต้องย้ายหอคอยนี้ไปยังแท่งอื่นโดยปฏิบัติตามกฎต่อไปนี้: ถ่ายโอนดิสก์ทีละรายการอย่างเคร่งครัด (ถอดดิสก์ด้านบนออกจากแท่งใด ๆ ) และวางเฉพาะดิสก์ที่เล็กกว่าบนอันที่ใหญ่กว่าเสมอ แต่จะไม่กลับกัน คำถามคือ: จำนวนการเคลื่อนไหวขั้นต่ำที่จำเป็นสำหรับสิ่งนี้คือเท่าใด? (เราเรียกการย้ายดิสก์ออกจากแท่งหนึ่งแล้ววางลงบนอีกแท่งหนึ่ง) คำตอบ: เท่ากับ 2 n– 1 ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ง่ายโดยการเหนี่ยวนำ

ปล่อยให้ nดิสก์ จำนวนการย้ายขั้นต่ำที่ต้องการจะเท่ากับ Xn- เราจะพบ เอ็กซ์ n+1. ในกระบวนการทำงานไม่ช้าก็เร็วคุณจะต้องถอดดิสก์ที่ใหญ่ที่สุดออกจากแกนซึ่งวางดิสก์ทั้งหมดไว้ตั้งแต่แรก เนื่องจากดิสก์นี้สามารถวางบนแท่งเปล่าเท่านั้น (ไม่เช่นนั้นจะ "กด" ดิสก์ขนาดเล็กลงซึ่งเป็นสิ่งต้องห้าม) จากนั้นจึงวางส่วนบนทั้งหมด nดิสก์จะต้องถูกถ่ายโอนไปยังแกนที่สามก่อน ซึ่งจะต้องไม่น้อย Xnย้าย ต่อไปเราจะถ่ายโอนดิสก์ที่ใหญ่ที่สุดไปยังแท่งเปล่า - นี่คือการเคลื่อนไหวอีกครั้ง สุดท้ายนี้เพื่อที่จะ”บีบ”มันด้านบนให้เล็กลง nดิสก์อีกครั้งคุณจะต้องการไม่น้อย Xnย้าย ดังนั้น, Xn +1 ≥ Xn + 1 +Xn = 2Xn+ 1. ในทางกลับกัน ขั้นตอนที่อธิบายไว้ข้างต้นแสดงให้เห็นว่าคุณสามารถรับมือกับภารกิจที่ 2 ได้อย่างไร Xn+ 1 การเคลื่อนไหว ดังนั้นในที่สุด Xn +1 =2Xn+ 1. ได้รับความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำแล้ว แต่เพื่อที่จะทำให้มันอยู่ในรูปแบบ "ปกติ" เรายังจำเป็นต้องค้นหา เอ็กซ์ 1. มันง่ายอย่างที่คิด: เอ็กซ์ 1 = 1 (ต้องไม่น้อยไปกว่านี้!) จากข้อมูลเหล่านี้ การค้นหาสิ่งนั้นไม่ใช่เรื่องยาก Xn = 2n– 1.

นี่เป็นอีกปัญหาที่น่าสนใจ:

ค้นหาจำนวนธรรมชาติทั้งหมดที่ไม่สามารถแสดงเป็นผลรวมของจำนวนธรรมชาติหลายจำนวน (อย่างน้อยสอง) ติดต่อกันได้

เรามาตรวจสอบตัวเลขที่น้อยที่สุดกันก่อน เป็นที่ชัดเจนว่าไม่สามารถแสดงหมายเลข 1 ในแบบฟอร์มนี้ได้ แต่แน่นอนว่าสามารถจินตนาการเลขคี่ทั้งหมดที่มากกว่า 1 ได้ ที่จริงแล้ว จำนวนคี่ใดๆ ที่มากกว่า 1 สามารถเขียนเป็น 2 ได้ เค + 1 (เค- ธรรมชาติ) ซึ่งเป็นผลรวมของจำนวนธรรมชาติสองตัวติดต่อกัน: 2 เค + 1 = เค + (เค + 1).

แล้วเลขคู่ล่ะ? จะเห็นได้ง่ายว่าไม่สามารถแสดงตัวเลข 2 และ 4 ในรูปแบบที่ต้องการได้ บางทีนี่อาจเป็นจริงสำหรับเลขคู่ทั้งหมดใช่ไหม? อนิจจาเลขคู่ถัดไปหักล้างสมมติฐานของเรา: 6 = 1 + 2 + 3 แต่เลข 8 กลับไม่ยอมให้ตัวเองยืม จริงอยู่ที่ตัวเลขต่อไปนี้ยอมจำนนต่อการโจมตีอีกครั้ง: 10 = 1 + 2 + 3 + 4, 12 = 3 + 4 + 5, 14 = 2 + 3 + 4 + 5 แต่ 16 นั้นเป็นไปไม่ได้อีกครั้ง

ข้อมูลที่สะสมช่วยให้เราสามารถสรุปเบื้องต้นได้ โปรดทราบ: ไม่สามารถส่งในแบบฟอร์มที่ระบุได้ พลังของทั้งสองเท่านั้น- สิ่งนี้เป็นจริงสำหรับตัวเลขที่เหลือหรือไม่? ปรากฎว่าใช่! ที่จริงแล้วให้พิจารณาผลรวมของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดจาก มก่อน nรวมอยู่ด้วย เนื่องจากตามเงื่อนไขก็มีอย่างน้อยสองตัวแล้ว n > ม- ดังที่คุณทราบ ผลรวมของเทอมต่อเนื่องของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (และนี่คือสิ่งที่เรากำลังเผชิญอยู่อย่างแน่นอน!) เท่ากับผลคูณของผลรวมครึ่งหนึ่งของเทอมแรกและเทอมสุดท้ายและจำนวน ผลรวมครึ่งหนึ่งคือ ( n + ม)/2 และจำนวนตัวเลขคือ n – ม+ 1 ดังนั้นผลรวมคือ ( n + ม)(n – ม+1)/2. โปรดทราบว่าตัวเศษประกอบด้วยตัวประกอบสองตัว ซึ่งแต่ละตัวมีตัวประกอบอยู่ อย่างเคร่งครัดมากขึ้น 1 และความเท่าเทียมกันของพวกเขาแตกต่างกัน ปรากฎว่าผลรวมของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดมาจาก มก่อน nหารด้วยเลขคี่ที่มากกว่า 1 ลงตัวพอดี ดังนั้นจึงไม่สามารถยกกำลังของสองได้ ตอนนี้ก็ชัดเจนแล้วว่าทำไมจึงไม่สามารถแสดงกำลังของทั้งสองในรูปแบบที่ต้องการได้

มันยังคงเพื่อให้แน่ใจว่า ไม่ใช่พลังของทั้งสองคุณสามารถจินตนาการได้ สำหรับเลขคี่เราได้จัดการกับพวกมันข้างต้นแล้ว ลองหาจำนวนคู่ใดๆ ที่ไม่ใช่กำลังสองกัน. ให้กำลังสูงสุดของสองที่หารลงตัวได้เป็น 2 ก (ก- เป็นธรรมชาติ). แล้วถ้าจำนวนหารด้วย 2 กมันจะได้ผลอยู่แล้ว แปลกจำนวนที่มากกว่า 1 ซึ่งเราเขียนในรูปแบบที่คุ้นเคย - เป็น 2 เค+ 1 (เค- เป็นธรรมชาติด้วย) ซึ่งหมายความว่าโดยทั่วไปจำนวนคู่ของเราที่ไม่ยกกำลังสองคือ 2 ก (2เค+1) ตอนนี้เรามาดูสองตัวเลือก:

1. 2 ก+1 > 2เค+ 1. เอาผลรวม 2 เค+ 1 จำนวนธรรมชาติติดต่อกัน เฉลี่ยซึ่งเท่ากับ 2 ก- มันง่ายที่จะเห็นอย่างนั้น น้อยที่สุดซึ่งเท่ากับ 2 เอ-เคและค่ามากที่สุดคือ 2 ก + เคและสิ่งที่เล็กที่สุด (และดังนั้นทั้งหมดที่เหลือ) ก็เป็นค่าบวกนั่นคือ เป็นธรรมชาติอย่างแท้จริง แน่นอนว่าผลรวมคือ 2 เท่านั้น ก(2เค + 1).
2. 2 ก+1 < 2เค+ 1. เอาผลรวม 2 ก+1 จำนวนธรรมชาติติดต่อกัน ไม่สามารถระบุได้ที่นี่ เฉลี่ย number เพราะจำนวนเลขคู่แต่บ่งบอก ขนาดกลางสองสามอันตัวเลขเป็นไปได้: ให้สิ่งเหล่านี้เป็นตัวเลข เคและ เค+1. จากนั้น น้อยที่สุดของจำนวนทั้งหมดเท่ากัน เค+ 1 – 2ก(และบวกด้วย!) และค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดเท่ากับ เค+ 2ก- ผลรวมของพวกเขาคือ 2 เช่นกัน ก(2เค + 1).

นั่นคือทั้งหมดที่ ดังนั้น คำตอบก็คือ ตัวเลขที่ไม่สามารถแทนค่าได้นั้นเป็นกำลังของสอง และมีเพียงตัวเลขเหล่านั้นเท่านั้น

และนี่คือปัญหาอื่น (เสนอครั้งแรกโดย V. Proizvolov แต่ในสูตรที่แตกต่างกันเล็กน้อย):

พื้นที่สวนล้อมรอบด้วยรั้วต่อเนื่องที่ทำจากไม้ N ตามคำสั่งของป้าพอลลี่ ทอม ซอว์เยอร์ล้างรั้วด้วยปูนขาว แต่ตามระบบของเขาเอง คือ เคลื่อนที่ตามเข็มนาฬิกาตลอดเวลา เขาจะล้างกระดานตามอำเภอใจก่อน จากนั้นข้ามกระดานหนึ่งกระดานแล้วล้างกระดานถัดไป จากนั้นข้ามสองกระดานแล้วล้างกระดานถัดไป หนึ่งจากนั้นข้ามสามกระดานและล้างสีขาวในอันถัดไปและต่อไปเรื่อย ๆ ทุกครั้งที่ข้ามอีกหนึ่งกระดาน (ในกรณีนี้บางบอร์ดสามารถล้างสีขาวได้หลายครั้ง - สิ่งนี้ไม่รบกวนทอม)

ทอมเชื่อว่าด้วยแผนการเช่นนี้ ไม่ช้าก็เร็ว กระดานทั้งหมดจะถูกล้างด้วยสีขาว และป้าพอลลี่มั่นใจว่าอย่างน้อยหนึ่งกระดานจะไม่ถูกฟอกขาว ไม่ว่าทอมจะทำงานมากแค่ไหนก็ตาม ทอมพูดถูกเพราะอะไร N และป้าพอลลี่พูดถูกเพราะอะไร

ระบบการล้างบาปที่อธิบายไว้นั้นดูค่อนข้างวุ่นวาย ดังนั้นในตอนแรกอาจดูเหมือนว่าสำหรับทุกคน (หรือ เกือบใดๆ) เอ็นสักวันหนึ่งแต่ละกระดานจะได้รับส่วนแบ่งของมะนาวเช่น ส่วนใหญ่ทอมพูดถูก แต่ความประทับใจแรกนั้นหลอกลวง เพราะจริงๆ แล้ว ทอมเหมาะสมกับคุณค่าเท่านั้น เอ็นซึ่งเป็นกำลังของทั้งสอง สำหรับคนอื่นๆ เอ็นมีกระดานไม้ที่จะคงความขาวตลอดไป การพิสูจน์ข้อเท็จจริงนี้ค่อนข้างยุ่งยาก (แม้ว่าโดยหลักการแล้วจะไม่ยากก็ตาม) เราขอเชิญชวนผู้อ่านให้ทำด้วยตัวเอง

นั่นคือสิ่งที่พวกเขาเป็น - พลังของทั้งสอง เมื่อมองเผินๆ มันง่ายพอๆ กับการปอกเปลือกลูกแพร์ แต่เมื่อคุณขุดลึกลงไปแล้ว... และเราไม่ได้สัมผัสถึงคุณสมบัติที่น่าทึ่งและลึกลับทั้งหมดของลำดับนี้ที่นี่ แต่มีเพียงคุณสมบัติที่ดึงดูดสายตาเราเท่านั้น ผู้อ่านได้รับสิทธิ์ในการค้นคว้าต่อในด้านนี้อย่างอิสระ พวกเขาจะประสบผลสำเร็จอย่างไม่ต้องสงสัย

จำนวนของพวกเขาคือศูนย์)
และไม่ใช่แค่สองอย่างดังที่กล่าวไว้ข้างต้น!
ผู้ที่กระหายรายละเอียดสามารถอ่านบทความของ V. Boltyansky “พลังของทั้งสองมักเริ่มต้นด้วยหนึ่งเดียวหรือไม่?” (“ควอนตัม” หมายเลข 5, 1978) รวมถึงบทความโดย V. Arnold “สถิติของเลขหลักแรกของกำลังสองและการกระจายตัวของโลก” (“ควอนตัม” หมายเลข 1, 1998)
ดูปัญหา M1599 จาก “หนังสือปัญหา Kvant” (“Kvant” หมายเลข 6, 1997)
ปัจจุบันมีหมายเลขสมบูรณ์ที่รู้จักทั้งหมด 43 หมายเลข โดยหมายเลขที่ใหญ่ที่สุดคือ 2 30402456 (2 30402457 – 1) มันมีมากกว่า 18 ล้านตัวเลข

อัลฟ่าย่อมาจากจำนวนจริง เครื่องหมายเท่ากับในนิพจน์ข้างต้นบ่งบอกว่าหากคุณเพิ่มตัวเลขหรืออนันต์เข้ากับอนันต์ จะไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง ผลลัพธ์ก็จะอนันต์เหมือนเดิม หากเราใช้เซตอนันต์ของจำนวนธรรมชาติเป็นตัวอย่าง ตัวอย่างที่พิจารณาสามารถแสดงในรูปแบบนี้ได้:

เพื่อพิสูจน์อย่างชัดเจนว่าถูกต้อง นักคณิตศาสตร์จึงคิดค้นวิธีการต่างๆ มากมาย โดยส่วนตัวแล้วฉันมองว่าวิธีการทั้งหมดนี้เป็นเหมือนหมอผีเต้นรำกับแทมบูรีน โดยพื้นฐานแล้ว พวกเขาทั้งหมดเดือดลงไปที่ความจริงที่ว่าห้องบางห้องว่างและมีแขกใหม่เข้ามา หรือผู้เยี่ยมชมบางคนถูกโยนออกไปที่ทางเดินเพื่อให้มีที่ว่างสำหรับแขก (เหมือนมนุษย์มาก) ฉันนำเสนอมุมมองของฉันเกี่ยวกับการตัดสินใจดังกล่าวในรูปแบบของเรื่องราวแฟนตาซีเกี่ยวกับสาวผมบลอนด์ เหตุผลของฉันมีพื้นฐานมาจากอะไร? การย้ายผู้เยี่ยมชมเป็นจำนวนไม่สิ้นสุดต้องใช้เวลาไม่สิ้นสุด หลังจากที่เราออกจากห้องแรกสำหรับแขกแล้ว ผู้มาเยี่ยมคนหนึ่งจะเดินไปตามทางเดินจากห้องของเขาไปยังห้องถัดไปจนกว่าจะหมดเวลา แน่นอนว่าปัจจัยด้านเวลาสามารถถูกมองข้ามอย่างโง่เขลาได้ แต่จะอยู่ในหมวดหมู่ของ "ไม่มีกฎหมายเขียนไว้สำหรับคนโง่" ทุกอย่างขึ้นอยู่กับสิ่งที่เรากำลังทำ: ปรับความเป็นจริงให้เป็นทฤษฎีทางคณิตศาสตร์หรือในทางกลับกัน

“โรงแรมที่ไม่มีที่สิ้นสุด” คืออะไร? โรงแรมที่ไม่มีที่สิ้นสุดคือโรงแรมที่มีเตียงว่างจำนวนเท่าใดก็ได้เสมอ ไม่ว่าจะมีคนอยู่กี่ห้องก็ตาม หากทุกห้องในทางเดิน "ผู้มาเยือน" ที่ไม่มีที่สิ้นสุดถูกครอบครอง ก็จะมีทางเดินที่ไม่มีที่สิ้นสุดอีกห้องที่มีห้อง "แขก" จะมีทางเดินดังกล่าวจำนวนอนันต์ ยิ่งไปกว่านั้น “โรงแรมที่ไม่มีที่สิ้นสุด” ยังมีจำนวนชั้นที่ไม่มีที่สิ้นสุดในอาคารจำนวนที่ไม่มีที่สิ้นสุดบนดาวเคราะห์จำนวนไม่สิ้นสุดในจักรวาลจำนวนอนันต์ที่สร้างขึ้นโดยเทพเจ้าจำนวนอนันต์ นักคณิตศาสตร์ไม่สามารถหลีกหนีจากปัญหาซ้ำซากในชีวิตประจำวันได้: พระเจ้า - อัลลอฮ์ - พุทธะมีเพียงองค์เดียวเสมอมีโรงแรมเพียงแห่งเดียวมีทางเดินเพียงแห่งเดียว นักคณิตศาสตร์จึงพยายามสลับเลขลำดับของห้องพักในโรงแรม ทำให้เราเชื่อว่ามีความเป็นไปได้ที่จะ "ยัดเยียดสิ่งที่เป็นไปไม่ได้"

ฉันจะแสดงตรรกะของการใช้เหตุผลให้คุณดูโดยใช้ตัวอย่างเซตของจำนวนธรรมชาติที่ไม่มีที่สิ้นสุด ก่อนอื่นคุณต้องตอบคำถามง่ายๆ: มีจำนวนธรรมชาติกี่ชุด - หนึ่งชุดหรือหลายชุด? ไม่มีคำตอบที่ถูกต้องสำหรับคำถามนี้ เนื่องจากเราประดิษฐ์ตัวเลขขึ้นมาเอง ตัวเลขไม่มีอยู่ในธรรมชาติ ใช่ ธรรมชาติเก่งเรื่องการนับ แต่ด้วยเหตุนี้ เธอจึงใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ที่เราไม่คุ้นเคย ฉันจะบอกคุณว่าธรรมชาติคิดอย่างไรอีกครั้ง เนื่องจากเราประดิษฐ์ตัวเลขขึ้นมา เราก็จะเป็นผู้ตัดสินใจว่าจำนวนธรรมชาติมีกี่ชุด ลองพิจารณาทั้งสองตัวเลือกตามความเหมาะสมกับนักวิทยาศาสตร์ที่แท้จริง

ตัวเลือกที่หนึ่ง “ให้เราได้รับ” ตัวเลขธรรมชาติชุดเดียวซึ่งวางอยู่อย่างสงบบนชั้นวาง เรานำชุดนี้มาจากชั้นวาง เพียงเท่านี้ ไม่มีตัวเลขธรรมชาติอื่นเหลืออยู่บนชั้นวางแล้วและไม่มีที่ไหนที่จะหยิบมันไปได้ เราไม่สามารถเพิ่มหนึ่งรายการในชุดนี้ได้ เนื่องจากเรามีอยู่แล้ว จะทำอย่างไรถ้าคุณต้องการจริงๆ? ไม่มีปัญหา. เราสามารถเอาอันหนึ่งจากชุดที่เราถ่ายไปแล้วและส่งคืนไปที่ชั้นวาง หลังจากนั้นเราก็สามารถนำอันหนึ่งจากชั้นวางมาเพิ่มเข้ากับสิ่งที่เราเหลือ ผลก็คือ เราจะได้เซตของจำนวนธรรมชาติที่ไม่มีที่สิ้นสุดอีกครั้ง คุณสามารถเขียนกิจวัตรทั้งหมดของเราดังนี้:

ฉันเขียนการกระทำในรูปแบบพีชคณิตและสัญลักษณ์ทฤษฎีเซต พร้อมรายการองค์ประกอบของเซตอย่างละเอียด ตัวห้อยระบุว่าเรามีจำนวนธรรมชาติชุดเดียวเท่านั้น ปรากฎว่าเซตของจำนวนธรรมชาติจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลงก็ต่อเมื่อมีการลบออกและเพิ่มหน่วยเดียวกัน

ตัวเลือกที่สอง เรามีชุดจำนวนธรรมชาติอนันต์หลายชุดบนชั้นวางของเรา ฉันเน้นย้ำ - แตกต่างแม้ว่าจะแยกไม่ออกในทางปฏิบัติก็ตาม ลองเอาหนึ่งในชุดเหล่านี้ จากนั้นเราก็นำจำนวนหนึ่งจากชุดของจำนวนธรรมชาติอีกชุดหนึ่งมาบวกเข้ากับชุดที่เราได้มาแล้ว เรายังบวกจำนวนธรรมชาติสองชุดได้ด้วย นี่คือสิ่งที่เราได้รับ:

ตัวห้อย "หนึ่ง" และ "สอง" ระบุว่าองค์ประกอบเหล่านี้เป็นของชุดที่ต่างกัน ใช่ หากคุณเพิ่มหนึ่งเข้าไปในเซตอนันต์ ผลลัพธ์จะเป็นเซตอนันต์ด้วย แต่จะไม่เหมือนกับเซตเดิม หากคุณเพิ่มเซตอนันต์อีกเซตให้กับเซตอนันต์หนึ่งเซต ผลลัพธ์จะเป็นเซตอนันต์ใหม่ที่ประกอบด้วยสมาชิกของสองเซตแรก

เซตของจำนวนธรรมชาติใช้สำหรับการนับแบบเดียวกับไม้บรรทัดสำหรับการวัด ทีนี้ลองนึกภาพว่าคุณบวกหนึ่งเซนติเมตรเข้ากับไม้บรรทัด นี่จะเป็นเส้นอื่นไม่เท่ากับเส้นเดิม

คุณสามารถยอมรับหรือไม่ยอมรับเหตุผลของฉันได้ - มันเป็นธุรกิจของคุณเอง แต่ถ้าคุณเคยประสบปัญหาทางคณิตศาสตร์ ลองพิจารณาว่าคุณกำลังเดินตามแนวทางการใช้เหตุผลผิดๆ ที่นักคณิตศาสตร์รุ่นต่อรุ่นเคยเหยียบย่ำอยู่หรือไม่ ท้ายที่สุดแล้ว การศึกษาคณิตศาสตร์ ประการแรก ก่อให้เกิดทัศนคติแบบเหมารวมของการคิดที่มั่นคงในตัวเรา จากนั้นจึงเพิ่มความสามารถทางจิตของเรา (หรือในทางกลับกัน กีดกันเราจากการคิดอย่างอิสระ)

วันอาทิตย์ที่ 4 สิงหาคม 2019

ฉันกำลังเขียนบทความเกี่ยวกับบทความเกี่ยวกับเรื่องนี้อยู่และเห็นข้อความที่ยอดเยี่ยมนี้ใน Wikipedia:

เราอ่านว่า: "... พื้นฐานทางทฤษฎีอันเข้มข้นของคณิตศาสตร์แห่งบาบิโลนนั้นไม่มีคุณลักษณะแบบองค์รวมและถูกลดทอนลงเหลือเพียงชุดเทคนิคที่แตกต่างกัน ปราศจากระบบและฐานหลักฐานที่เหมือนกัน"

ว้าว! เราฉลาดแค่ไหนและมองเห็นข้อบกพร่องของผู้อื่นได้ดีเพียงใด เป็นเรื่องยากสำหรับเราที่จะมองคณิตศาสตร์สมัยใหม่ในบริบทเดียวกันหรือไม่? จากการถอดความข้อความข้างต้นเล็กน้อย ฉันได้รับสิ่งต่อไปนี้เป็นการส่วนตัว:

พื้นฐานทางทฤษฎีอันเข้มข้นของคณิตศาสตร์สมัยใหม่นั้นไม่ได้มีลักษณะเป็นองค์รวมและถูกลดทอนลงเหลือเพียงส่วนต่างๆ ที่แตกต่างกัน ปราศจากระบบและฐานหลักฐานที่เหมือนกัน

ฉันจะไม่ไปไกลเพื่อยืนยันคำพูดของฉัน - มันมีภาษาและแบบแผนที่แตกต่างจากภาษาและแบบแผนของคณิตศาสตร์สาขาอื่น ๆ ชื่อเดียวกันในสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันสามารถมีความหมายต่างกันได้ ฉันต้องการอุทิศสิ่งพิมพ์ทั้งชุดให้กับข้อผิดพลาดที่ชัดเจนที่สุดของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ แล้วพบกันใหม่เร็วๆ นี้

วันเสาร์ที่ 3 สิงหาคม 2019

จะแบ่งเซตออกเป็นเซตย่อยได้อย่างไร? ในการดำเนินการนี้ คุณจะต้องป้อนหน่วยการวัดใหม่ที่มีอยู่ในองค์ประกอบบางส่วนของชุดที่เลือก ลองดูตัวอย่าง

ขอให้เรามีมากมาย กประกอบด้วยสี่คน ชุดนี้ถูกสร้างขึ้นบนพื้นฐานของ "คน" ให้เราแสดงองค์ประกอบของชุดนี้ด้วยตัวอักษร กตัวห้อยที่มีตัวเลขจะระบุหมายเลขซีเรียลของแต่ละคนในชุดนี้ ขอแนะนำหน่วยวัด "เพศ" ใหม่และเขียนแทนด้วยตัวอักษร ข- เนื่องจากลักษณะทางเพศมีอยู่ในทุกคน เราจึงเพิ่มแต่ละองค์ประกอบของชุด กขึ้นอยู่กับเพศ ข- โปรดสังเกตว่าตอนนี้กลุ่ม "คน" ของเรากลายเป็นกลุ่ม "คนที่มีลักษณะทางเพศ" แล้ว หลังจากนี้เราสามารถแบ่งลักษณะทางเพศออกเป็นผู้ชายได้ บีเอ็มและของผู้หญิง bwลักษณะทางเพศ ตอนนี้เราสามารถใช้ตัวกรองทางคณิตศาสตร์ได้: เราเลือกลักษณะทางเพศอย่างใดอย่างหนึ่งเหล่านี้ ไม่ว่าจะเป็นชายหรือหญิงก็ตาม ถ้าคนมี เราก็คูณมันด้วย 1 หากไม่มีเครื่องหมาย เราก็คูณมันด้วยศูนย์ แล้วเราก็ใช้คณิตศาสตร์ของโรงเรียนปกติ ดูสิ่งที่เกิดขึ้น

หลังจากการคูณ การลดลง และการจัดเรียงใหม่ เราก็ได้เซตย่อยสองชุด: เซตย่อยของผู้ชาย บีมและกลุ่มย่อยของผู้หญิง บว- นักคณิตศาสตร์ให้เหตุผลในลักษณะเดียวกันโดยประมาณเมื่อพวกเขาใช้ทฤษฎีเซตในทางปฏิบัติ แต่พวกเขาไม่ได้บอกรายละเอียดให้เราทราบ แต่ให้ผลลัพธ์ที่ครบถ้วนแก่เรา - "ผู้คนจำนวนมากประกอบด้วยกลุ่มย่อยของผู้ชายและส่วนหนึ่งของผู้หญิง" โดยปกติแล้ว คุณอาจมีคำถาม: คณิตศาสตร์ถูกนำไปใช้ในการแปลงที่อธิบายไว้ข้างต้นอย่างถูกต้องเพียงใด ฉันกล้ารับรองกับคุณว่าโดยพื้นฐานแล้วทุกอย่างถูกต้องแล้ว การรู้พื้นฐานทางคณิตศาสตร์ของเลขคณิต พีชคณิตแบบบูลีน และสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ก็เพียงพอแล้ว มันคืออะไร? ฉันจะบอกคุณเกี่ยวกับเรื่องนี้อีกครั้ง

สำหรับซูเปอร์เซ็ต คุณสามารถรวมสองชุดให้เป็นซูเปอร์เซ็ตเดียวได้โดยการเลือกหน่วยการวัดที่มีอยู่ในองค์ประกอบของทั้งสองชุดนี้

ดังที่คุณเห็น หน่วยการวัดและคณิตศาสตร์ทั่วไปทำให้ทฤษฎีเซตกลายเป็นมรดกตกทอดจากอดีต สัญญาณที่บ่งบอกว่าทุกอย่างไม่เป็นไปตามทฤษฎีเซตก็คือนักคณิตศาสตร์มีภาษาและสัญลักษณ์ของตนเองขึ้นมาสำหรับทฤษฎีเซต นักคณิตศาสตร์ก็ทำตัวเหมือนหมอผีที่ครั้งหนึ่งเคยทำ มีเพียงหมอผีเท่านั้นที่รู้วิธีใช้ “ความรู้” ของตน “อย่างถูกต้อง” พวกเขาสอนเรา "ความรู้" นี้

โดยสรุป ฉันต้องการแสดงให้คุณเห็นว่านักคณิตศาสตร์จัดการกับ .

วันจันทร์ที่ 7 มกราคม 2019

ในศตวรรษที่ห้าก่อนคริสต์ศักราช นักปรัชญาชาวกรีกโบราณ Zeno of Elea ได้คิดค้น aporia ที่มีชื่อเสียงของเขาขึ้นมา ซึ่งที่มีชื่อเสียงที่สุดก็คือ aporia "Achilles and the Tortoise" นี่คือสิ่งที่ดูเหมือน:

สมมติว่าจุดอ่อนวิ่งเร็วกว่าเต่าสิบเท่าและตามหลังเต่าไปหนึ่งพันก้าว ในช่วงเวลาที่จุดอ่อนต้องใช้เพื่อวิ่งระยะนี้ เต่าจะคลานไปร้อยขั้นในทิศทางเดียวกัน เมื่ออคิลลีสวิ่งร้อยก้าว เต่าจะคลานไปอีกสิบก้าว ไปเรื่อยๆ กระบวนการนี้จะดำเนินต่อไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุด อคิลลีสจะตามเต่าไม่ทัน

เหตุผลนี้สร้างความตกใจให้กับคนรุ่นต่อๆ ไป Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... พวกเขาทั้งหมดถือว่า Aporia ของ Zeno ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง ช็อกหนักมากจน” ... การอภิปรายยังคงดำเนินต่อไปจนถึงทุกวันนี้ ชุมชนวิทยาศาสตร์ยังไม่สามารถมีความเห็นร่วมกันเกี่ยวกับสาระสำคัญของความขัดแย้งได้ ... การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีเซต วิธีทางกายภาพและปรัชญาใหม่ ๆ มีส่วนร่วมในการศึกษาปัญหานี้ ; ไม่มีวิธีใดที่กลายเป็นวิธีแก้ปัญหาที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไป..."[วิกิพีเดีย "Aporia ของ Zeno" ทุกคนเข้าใจว่าพวกเขากำลังถูกหลอก แต่ไม่มีใครเข้าใจว่าการหลอกลวงประกอบด้วยอะไร

จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ฉีโนใน Aporia ของเขาแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงการเปลี่ยนจากปริมาณเป็น การเปลี่ยนแปลงนี้แสดงถึงการใช้งานแทนที่จะเป็นแบบถาวร เท่าที่ฉันเข้าใจ เครื่องมือทางคณิตศาสตร์สำหรับการใช้หน่วยการวัดแบบแปรผันยังไม่ได้รับการพัฒนา หรือไม่ได้นำไปใช้กับ Aporia ของ Zeno การใช้ตรรกะตามปกติของเราจะนำเราเข้าสู่กับดัก เนื่องจากความเฉื่อยของการคิด เราใช้หน่วยเวลาคงที่กับค่าส่วนกลับ จากมุมมองทางกายภาพ ดูเหมือนว่าเวลาจะเดินช้าลงจนกระทั่งหยุดสนิทในขณะที่ Achilles ตามทันเต่า หากเวลาหยุดลง Achilles จะไม่สามารถวิ่งเร็วกว่าเต่าได้อีกต่อไป

ถ้าเราเปลี่ยนตรรกะตามปกติ ทุกอย่างก็เข้าที่ Achilles วิ่งด้วยความเร็วคงที่ แต่ละส่วนต่อมาของเส้นทางของเขาจะสั้นกว่าส่วนก่อนหน้าสิบเท่า ดังนั้นเวลาที่ใช้ในการเอาชนะจึงน้อยกว่าครั้งก่อนถึงสิบเท่า หากเราใช้แนวคิดเรื่อง "อนันต์" ในสถานการณ์นี้ ก็คงจะถูกต้องที่จะพูดว่า "อคิลลีสจะไล่ตามเต่าอย่างรวดเร็วอย่างไม่สิ้นสุด"

จะหลีกเลี่ยงกับดักเชิงตรรกะนี้ได้อย่างไร? คงอยู่ในหน่วยเวลาคงที่และอย่าเปลี่ยนไปใช้หน่วยต่างตอบแทน ในภาษาของ Zeno มีลักษณะดังนี้:

ในเวลาที่อคิลลิสต้องวิ่งพันก้าว เต่าจะคลานไปในทิศทางเดียวกันนับร้อยก้าว ในช่วงเวลาถัดไปเท่ากับช่วงแรก อคิลลีสจะวิ่งอีกพันก้าว และเต่าจะคลานไปหนึ่งร้อยก้าว ตอนนี้อคิลลิสนำหน้าเต่าไปแปดร้อยก้าว

แนวทางนี้อธิบายความเป็นจริงได้อย่างเพียงพอโดยไม่มีความขัดแย้งทางตรรกะใดๆ แต่นี่ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาที่สมบูรณ์ คำกล่าวของไอน์สไตน์เกี่ยวกับความเร็วแสงที่ไม่อาจต้านทานได้นั้นคล้ายคลึงกับเรื่อง "Achilles and the Tortoise" ของ Zeno มาก เรายังต้องศึกษา คิดใหม่ และแก้ไขปัญหานี้ และต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาไม่ใช่ในจำนวนมากไม่สิ้นสุด แต่ต้องค้นหาในหน่วยการวัด

Aporia ที่น่าสนใจอีกประการหนึ่งของ Zeno เล่าเกี่ยวกับลูกศรบิน:

ลูกธนูที่บินอยู่นั้นไม่เคลื่อนไหว เนื่องจากมันจะอยู่นิ่งทุกช่วงเวลา และเนื่องจากมันอยู่นิ่งอยู่ทุกช่วงเวลา มันจึงอยู่นิ่งอยู่เสมอ

ใน aporia นี้ ความขัดแย้งเชิงตรรกะจะเอาชนะได้ง่ายมาก - ก็เพียงพอที่จะชี้แจงว่าในแต่ละช่วงเวลาลูกศรที่บินอยู่จะหยุดนิ่ง ณ จุดต่าง ๆ ในอวกาศ ซึ่งในความเป็นจริงคือการเคลื่อนไหว อีกประเด็นหนึ่งที่ต้องสังเกตที่นี่ จากภาพถ่ายของรถยนต์คันหนึ่งบนท้องถนนไม่สามารถระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนไหวหรือระยะทางได้ ในการตรวจสอบว่ารถยนต์กำลังเคลื่อนที่อยู่หรือไม่ คุณต้องถ่ายภาพสองภาพที่ถ่ายจากจุดเดียวกันและเวลาที่ต่างกัน แต่คุณไม่สามารถระบุระยะห่างจากรถเหล่านั้นได้ ในการกำหนดระยะทางถึงรถยนต์คุณต้องมีภาพถ่ายสองภาพที่ถ่ายจากจุดต่าง ๆ ในอวกาศ ณ จุดใดเวลาหนึ่ง แต่จากภาพถ่ายเหล่านี้คุณไม่สามารถระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนไหวได้ (แน่นอนว่าคุณยังต้องการข้อมูลเพิ่มเติมสำหรับการคำนวณ ตรีโกณมิติจะช่วยคุณ ). สิ่งที่ฉันต้องการให้ความสนใจเป็นพิเศษคือ จุดสองจุดในเวลาและสองจุดในอวกาศเป็นสิ่งที่ต่างกันซึ่งไม่ควรสับสน เพราะมันให้โอกาสในการวิจัยที่แตกต่างกัน

วันพุธที่ 4 กรกฎาคม 2018

ฉันได้บอกคุณไปแล้วว่าด้วยความช่วยเหลือจากหมอผีที่พยายามจัดเรียง "" ความเป็นจริง พวกเขาทำเช่นนี้ได้อย่างไร? การก่อตัวของเซตเกิดขึ้นจริงได้อย่างไร?

เรามาดูคำจำกัดความของเซตกันดีกว่า: "กลุ่มขององค์ประกอบต่างๆ ที่รวมกันเป็นหนึ่งเดียว" ตอนนี้รู้สึกถึงความแตกต่างระหว่างสองวลี: “เป็นไปได้โดยรวม” และ “เป็นไปได้โดยรวม” วลีแรกคือผลลัพธ์สุดท้ายคือเซต ระยะที่ 2 คือการเตรียมการเบื้องต้นเพื่อจัดตั้งมวลชน ในขั้นตอนนี้ ความจริงถูกแบ่งออกเป็นองค์ประกอบแต่ละส่วน ("ทั้งหมด") ซึ่งจากนั้นจะก่อให้เกิดฝูงชนจำนวนมาก ("ทั้งหมดเดียว") ในเวลาเดียวกันปัจจัยที่ทำให้สามารถรวม "ทั้งหมด" ให้เป็น "ทั้งหมดเดียว" จะได้รับการตรวจสอบอย่างรอบคอบ มิฉะนั้นหมอผีจะไม่ประสบความสำเร็จ ท้ายที่สุดหมอรู้ล่วงหน้าว่าพวกเขาต้องการแสดงให้เราดูอะไร

ฉันจะแสดงกระบวนการพร้อมตัวอย่างให้คุณดู เราเลือก "ของแข็งสีแดงในสิว" - นี่คือ "ทั้งหมด" ของเรา ในขณะเดียวกัน เราก็เห็นว่าสิ่งเหล่านี้มีธนูและไม่มีธนู หลังจากนั้นเราเลือกส่วนหนึ่งของ "ทั้งหมด" และสร้างชุด "พร้อมธนู" นี่คือวิธีที่หมอผีได้รับอาหารโดยผูกทฤษฎีเซตไว้กับความเป็นจริง

ตอนนี้เรามาทำเคล็ดลับเล็กน้อย เรามาลอง "แข็งด้วยสิวด้วยธนู" แล้วรวม "ทั้งก้อน" เหล่านี้ตามสี โดยเลือกองค์ประกอบสีแดง เรามี "สีแดง" มากมาย มาถึงคำถามสุดท้าย: ชุดผลลัพธ์ "มีธนู" และ "สีแดง" เป็นชุดเดียวกันหรือสองชุดที่แตกต่างกันหรือไม่? หมอผีเท่านั้นที่รู้คำตอบ แม่นยำยิ่งขึ้นพวกเขาเองไม่รู้อะไรเลย แต่อย่างที่พวกเขาพูดมันก็เป็นเช่นนั้น

ตัวอย่างง่ายๆ นี้แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีเซตไม่มีประโยชน์เลยเมื่อพูดถึงความเป็นจริง ความลับคืออะไร? เราสร้างชุด "ของแข็งสีแดงมีสิวและธนู" การก่อตัวเกิดขึ้นในหน่วยการวัดที่แตกต่างกันสี่หน่วย: สี (สีแดง) ความแข็งแกร่ง (ของแข็ง) ความหยาบ (สิว) การตกแต่ง (ด้วยธนู) มีเพียงชุดหน่วยวัดเท่านั้นที่ช่วยให้เราอธิบายวัตถุจริงในภาษาคณิตศาสตร์ได้อย่างเพียงพอ- นี่คือสิ่งที่ดูเหมือน

ตัวอักษร "a" ที่มีดัชนีต่างกันแสดงถึงหน่วยการวัดที่แตกต่างกัน หน่วยการวัดที่แยกแยะ "ทั้งหมด" ในขั้นตอนเบื้องต้นจะถูกเน้นในวงเล็บ หน่วยวัดที่ใช้สร้างเซตจะถูกนำออกจากวงเล็บ บรรทัดสุดท้ายแสดงผลสุดท้าย - องค์ประกอบของชุด อย่างที่คุณเห็น หากเราใช้หน่วยการวัดเพื่อสร้างเซต ผลลัพธ์ที่ได้จะไม่ขึ้นอยู่กับลำดับการกระทำของเรา และนี่คือคณิตศาสตร์ ไม่ใช่การเต้นรำของหมอผีกับแทมบูรีน หมอผีสามารถ "เกิดสัญชาตญาณ" ได้ผลลัพธ์เดียวกัน โดยโต้แย้งว่า "ชัดเจน" เพราะหน่วยการวัดไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของคลังแสง "ทางวิทยาศาสตร์" ของพวกเขา

การใช้หน่วยวัดทำให้เป็นเรื่องง่ายมากที่จะแยกหนึ่งชุดหรือรวมหลายชุดเป็นซูเปอร์เซ็ตเดียว มาดูพีชคณิตของกระบวนการนี้กันดีกว่า

วันเสาร์ที่ 30 มิถุนายน 2018

หากนักคณิตศาสตร์ไม่สามารถลดแนวความคิดไปสู่แนวคิดอื่นได้ พวกเขาก็ไม่เข้าใจอะไรเกี่ยวกับคณิตศาสตร์เลย ฉันตอบ: องค์ประกอบของชุดหนึ่งแตกต่างจากองค์ประกอบของชุดอื่นอย่างไร คำตอบนั้นง่ายมาก: ตัวเลขและหน่วยการวัด

ทุกวันนี้ ทุกสิ่งที่เราไม่ได้ใช้เป็นของบางเซต (ตามที่นักคณิตศาสตร์รับรองเรา) คุณเห็นรายการชุดที่คุณเป็นเจ้าของในกระจกบนหน้าผากของคุณหรือไม่? และฉันไม่ได้เห็นรายการดังกล่าว ฉันจะพูดมากกว่านี้ - ในความเป็นจริงไม่ใช่สิ่งเดียวที่มีแท็กพร้อมรายการชุดที่เป็นของสิ่งนี้ ฉากทั้งหมดล้วนเป็นสิ่งประดิษฐ์ของหมอผี พวกเขาทำมันได้อย่างไร? เรามาดูประวัติศาสตร์ให้ลึกลงไปอีกหน่อยแล้วดูว่าองค์ประกอบของฉากนี้เป็นอย่างไร ก่อนที่หมอผีนักคณิตศาสตร์จะพาพวกมันเข้าไปในฉากของพวกเขา

นานมาแล้ว เมื่อไม่มีใครเคยได้ยินเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ และมีเพียงต้นไม้และดาวเสาร์เท่านั้นที่มีวงแหวน ฝูงองค์ประกอบป่าจำนวนมหาศาลที่ตระเวนไปทั่วสนามฟิสิกส์ (ท้ายที่สุดแล้ว หมอผียังไม่ได้คิดค้นสนามคณิตศาสตร์เลย) พวกเขามีลักษณะเช่นนี้

ใช่ ไม่ต้องแปลกใจเลย จากมุมมองของคณิตศาสตร์ องค์ประกอบทั้งหมดของเซตจะคล้ายกับเม่นทะเลมากที่สุด - จากจุดหนึ่ง เช่น เข็ม หน่วยวัดจะยื่นออกมาในทุกทิศทาง สำหรับผู้ที่ ฉันขอเตือนคุณว่าหน่วยการวัดใดๆ สามารถแสดงเป็นรูปทรงเรขาคณิตเป็นส่วนหนึ่งของความยาวใดๆ ก็ได้ และแสดงตัวเลขเป็นจุดได้ ในเชิงเรขาคณิต ปริมาณใดๆ สามารถแสดงเป็นกลุ่มของส่วนต่างๆ ที่ยื่นออกมาในทิศทางที่ต่างกันจากจุดหนึ่งได้ จุดนี้คือจุดศูนย์ ฉันจะไม่วาดภาพศิลปะเรขาคณิตชิ้นนี้ (ไม่มีแรงบันดาลใจ) แต่คุณสามารถจินตนาการได้อย่างง่ายดาย

หน่วยวัดใดที่ประกอบเป็นองค์ประกอบของเซต? สิ่งต่าง ๆ มากมายที่อธิบายองค์ประกอบที่กำหนดจากมุมมองที่ต่างกัน เหล่านี้เป็นหน่วยวัดโบราณที่บรรพบุรุษของเราใช้และทุกคนลืมไปนานแล้ว นี่คือหน่วยวัดสมัยใหม่ที่เราใช้อยู่ตอนนี้ สิ่งเหล่านี้เป็นหน่วยวัดที่เราไม่รู้จัก ซึ่งลูกหลานของเราจะเกิดขึ้นและจะใช้อธิบายความเป็นจริง

เราได้แยกแยะเรขาคณิตออกแล้ว - แบบจำลองที่นำเสนอขององค์ประกอบของชุดนั้นมีการนำเสนอทางเรขาคณิตที่ชัดเจน แล้วฟิสิกส์ล่ะ? หน่วยวัดคือการเชื่อมโยงโดยตรงระหว่างคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ หากหมอผีไม่ยอมรับหน่วยการวัดว่าเป็นองค์ประกอบที่ครบถ้วนของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ นี่ก็เป็นปัญหาของพวกเขา โดยส่วนตัวแล้วฉันไม่สามารถจินตนาการถึงวิทยาศาสตร์ที่แท้จริงของคณิตศาสตร์ได้หากไม่มีหน่วยการวัด นั่นคือเหตุผลว่าทำไมในตอนเริ่มต้นของเรื่องราวเกี่ยวกับทฤษฎีเซต ฉันจึงพูดถึงทฤษฎีเซตนี้ว่าอยู่ในยุคหิน

แต่มาดูสิ่งที่น่าสนใจที่สุดกันดีกว่า - พีชคณิตขององค์ประกอบของเซต ในทางพีชคณิต องค์ประกอบใดๆ ของเซตจะเป็นผลคูณ (ผลคูณ) ของปริมาณที่ต่างกัน มีลักษณะดังนี้

ฉันจงใจไม่ใช้แบบแผนของทฤษฎีเซต เนื่องจากเรากำลังพิจารณาองค์ประกอบของเซตในสภาพแวดล้อมทางธรรมชาติของมันก่อนที่ทฤษฎีเซตจะเกิดขึ้น ตัวอักษรแต่ละคู่ในวงเล็บแสดงถึงปริมาณที่แยกจากกัน ซึ่งประกอบด้วยตัวเลขที่ระบุด้วยตัวอักษร " n" และหน่วยวัดที่ระบุด้วยตัวอักษร " ก" ดัชนีถัดจากตัวอักษรระบุว่าตัวเลขและหน่วยวัดแตกต่างกัน องค์ประกอบหนึ่งของชุดสามารถประกอบด้วยจำนวนอนันต์ (เท่าที่เราและลูกหลานของเรามีจินตนาการเพียงพอ) แต่ละวงเล็บจะแสดงเป็นรูปทรงเรขาคณิต เป็นส่วนแยกต่างหาก ในตัวอย่างที่มีเม่นทะเล วงเล็บหนึ่งอันคือหนึ่งเข็ม

หมอผีสร้างเซตจากองค์ประกอบที่แตกต่างกันได้อย่างไร ในความเป็นจริงตามหน่วยวัดหรือตามตัวเลข เนื่องจากไม่เข้าใจอะไรเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ พวกเขาจึงนำเม่นทะเลหลายๆ ชนิดมาตรวจสอบอย่างละเอียดเพื่อค้นหาเข็มอันเดียวที่ใช้ประกอบเป็นชุด หากมีเข็มเช่นนี้แสดงว่าองค์ประกอบนี้เป็นของชุดหากไม่มีเข็มดังกล่าวแสดงว่าองค์ประกอบนี้ไม่ได้มาจากชุดนี้ หมอเล่านิทานเกี่ยวกับกระบวนการคิดและภาพรวมให้เราฟัง

ดังที่คุณอาจเดาได้ องค์ประกอบเดียวกันสามารถอยู่ในเซตที่ต่างกันมากได้ ต่อไป ฉันจะแสดงให้คุณเห็นว่าเซต เซ็ตย่อย และเรื่องไร้สาระแบบชามานิกอื่นๆ เกิดขึ้นได้อย่างไร ดังที่คุณเห็นว่า “ในเซตหนึ่งจะมีองค์ประกอบที่เหมือนกันไม่ได้” แต่หากมีองค์ประกอบที่เหมือนกันในชุดหนึ่ง เซตดังกล่าวจะเรียกว่า “มัลติเซต” สิ่งมีชีวิตที่มีเหตุผลจะไม่มีวันเข้าใจตรรกะที่ไร้สาระเช่นนี้ นี่คือระดับของนกแก้วพูดได้และลิงฝึกหัดที่ไม่มีสติปัญญาจากคำว่า "สมบูรณ์" นักคณิตศาสตร์ทำหน้าที่เป็นผู้ฝึกสอนธรรมดาๆ โดยสั่งสอนแนวคิดที่ไร้สาระของพวกเขาให้เราฟัง

กาลครั้งหนึ่ง วิศวกรผู้สร้างสะพานอยู่ในเรือใต้สะพานขณะทดสอบสะพาน หากสะพานพัง วิศวกรธรรมดาๆ ก็เสียชีวิตภายใต้ซากปรักหักพังที่เขาสร้างขึ้น หากสะพานสามารถรับน้ำหนักได้ วิศวกรผู้มีความสามารถก็สร้างสะพานอื่นขึ้นมา

ไม่ว่านักคณิตศาสตร์จะซ่อนอยู่เบื้องหลังวลีที่ว่า "โปรดบอกฉันหน่อย ฉันอยู่ในบ้าน" หรือ "คณิตศาสตร์ศึกษาแนวคิดเชิงนามธรรม" อย่างไร มีสายสะดือเส้นหนึ่งที่เชื่อมโยงพวกเขากับความเป็นจริงอย่างแยกไม่ออก สายสะดือนี้คือเงิน ขอให้เราใช้ทฤษฎีเซตทางคณิตศาสตร์กับนักคณิตศาสตร์เอง

เราเรียนคณิตศาสตร์มาดีมาก และตอนนี้เรากำลังนั่งอยู่ที่เครื่องคิดเงิน แจกเงินเดือน นักคณิตศาสตร์มาหาเราเพื่อเงินของเขา เรานับจำนวนเงินทั้งหมดให้เขาและวางลงบนโต๊ะของเราเป็นกองต่าง ๆ โดยเราใส่ธนบัตรที่มีสกุลเงินเดียวกัน จากนั้นเราหยิบบิลหนึ่งใบจากแต่ละกอง และมอบ "ชุดเงินเดือนทางคณิตศาสตร์" ให้กับนักคณิตศาสตร์ ให้เราอธิบายให้นักคณิตศาสตร์ฟังว่าเขาจะได้รับบิลที่เหลือก็ต่อเมื่อเขาพิสูจน์ว่าเซตที่ไม่มีสมาชิกเหมือนกันจะไม่เท่ากับเซตที่มีสมาชิกเหมือนกัน นี่คือจุดเริ่มต้นของความสนุก

ก่อนอื่น ตรรกะของเจ้าหน้าที่จะได้ผล: “สิ่งนี้ใช้ได้กับผู้อื่น แต่ไม่ใช่กับฉัน!” จากนั้นพวกเขาจะเริ่มทำให้เรามั่นใจว่าตั๋วเงินประเภทเดียวกันมีหมายเลขบิลที่แตกต่างกัน ซึ่งหมายความว่าไม่สามารถพิจารณาว่าเป็นองค์ประกอบเดียวกันได้ เอาล่ะ เรามานับเงินเดือนเป็นเหรียญกันดีกว่า - ไม่มีตัวเลขบนเหรียญ ที่นี่นักคณิตศาสตร์จะเริ่มจดจำฟิสิกส์อย่างบ้าคลั่ง เหรียญแต่ละเหรียญมีจำนวนดินต่างกัน โครงสร้างผลึกและการจัดเรียงอะตอมไม่ซ้ำกันในแต่ละเหรียญ...

และตอนนี้ฉันมีคำถามที่น่าสนใจที่สุด: เส้นตรงที่องค์ประกอบของ multiset กลายเป็นองค์ประกอบของ set และในทางกลับกันอยู่ที่ไหน? ไม่มีบรรทัดดังกล่าว - ทุกอย่างถูกตัดสินโดยหมอผีวิทยาศาสตร์ไม่ได้ใกล้เคียงกับการโกหกที่นี่ด้วยซ้ำ

ดูนี่. เราคัดเลือกสนามฟุตบอลที่มีพื้นที่สนามเดียวกัน พื้นที่ในทุ่งเหมือนกัน - ซึ่งหมายความว่าเรามีชุดหลายชุด แต่ถ้าเราดูชื่อสนามเดียวกันนี้ เราจะได้หลายชื่อ เพราะชื่อต่างกัน อย่างที่คุณเห็น ชุดองค์ประกอบเดียวกันนั้นเป็นทั้งเซตและมัลติเซต ข้อไหนถูกต้อง? และที่นี่นักคณิตศาสตร์ - หมอผี - นักแม่นปืนดึงเอซออกมาจากแขนเสื้อของเขาและเริ่มบอกเราเกี่ยวกับชุดหรือชุดหลายชุด ไม่ว่าในกรณีใดเขาจะโน้มน้าวเราว่าเขาพูดถูก

เพื่อทำความเข้าใจว่าหมอผียุคใหม่ดำเนินการอย่างไรกับทฤษฎีเซตโดยเชื่อมโยงกับความเป็นจริงก็เพียงพอที่จะตอบคำถามหนึ่งข้อ: องค์ประกอบของชุดหนึ่งแตกต่างจากองค์ประกอบของชุดอื่นอย่างไร ฉันจะแสดงให้คุณเห็น โดยไม่มี "สิ่งที่เป็นไปได้ว่าไม่ใช่ทั้งหมดเดียว" หรือ "ไม่สามารถเป็นไปได้ในภาพรวมเดียว"