ระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่ทราบค่าสองตัวคือสมการเชิงเส้นตั้งแต่สองตัวขึ้นไปซึ่งจำเป็นต้องค้นหาคำตอบร่วมทั้งหมด เราจะพิจารณาระบบของสมการเชิงเส้นสองสมการโดยไม่ทราบค่าสองตัว มุมมองทั่วไปของระบบสมการเชิงเส้นสองสมการที่ไม่ทราบค่าสองตัวแสดงอยู่ในภาพด้านล่าง:
( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2
โดยที่ x และ y เป็นตัวแปรที่ไม่รู้จัก a1, a2, b1, b2, c1, c2 เป็นจำนวนจริงบางตัว วิธีแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองสมการโดยไม่ทราบค่าสองตัวคือคู่ของตัวเลข (x,y) โดยที่ถ้าเราแทนตัวเลขเหล่านี้เป็นสมการของระบบ แต่ละสมการของระบบจะกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริง มีหลายวิธีในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ลองพิจารณาวิธีหนึ่งในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น กล่าวคือ วิธีการบวก
อัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาโดยวิธีบวก
อัลกอริทึมสำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยไม่ทราบค่าสองตัวโดยใช้วิธีการบวก
1. หากจำเป็น โดยใช้การแปลงที่เท่ากัน ทำให้ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่ไม่รู้จักตัวใดตัวหนึ่งในทั้งสองสมการเท่ากัน
2. โดยการบวกหรือลบสมการผลลัพธ์ จะได้สมการเชิงเส้นที่ไม่ทราบค่า
3. แก้สมการผลลัพธ์ด้วยค่าที่ไม่รู้จักและค้นหาตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง
4. แทนนิพจน์ผลลัพธ์ลงในสมการใดก็ได้จากสองสมการของระบบแล้วแก้สมการนี้ จะได้ตัวแปรตัวที่สอง
5. ตรวจสอบวิธีแก้ปัญหา
ตัวอย่างวิธีแก้ปัญหาโดยใช้วิธีการบวก
เพื่อความชัดเจนยิ่งขึ้น ให้เราแก้ระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนี้โดยไม่ทราบค่าสองตัวโดยใช้วิธีการบวก:
(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;
เนื่องจากไม่มีตัวแปรใดที่มีค่าสัมประสิทธิ์เหมือนกัน เราจึงทำให้ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร y เท่ากัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณสมการแรกด้วยสาม และสมการที่สองคูณสอง
(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2
เราได้รับ ระบบสมการต่อไปนี้:
(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;
ตอนนี้เราลบอันแรกออกจากสมการที่สอง เรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันและแก้สมการเชิงเส้นที่ได้
10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;
เราแทนค่าผลลัพธ์ลงในสมการแรกจากระบบดั้งเดิมของเรา และแก้สมการผลลัพธ์
(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y =14;
ผลลัพธ์คือตัวเลขคู่ x=6 และ y=14 เรากำลังตรวจสอบ. มาทำการทดแทนกันเถอะ
(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;
{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;
{10 = 10;
{12=12;
อย่างที่คุณเห็น เรามีค่าเท่ากันที่ถูกต้องสองค่า ดังนั้นเราจึงพบวิธีแก้ไขที่ถูกต้อง
บทเรียนและการนำเสนอในหัวข้อ "ระบบสมการ วิธีการทดแทน วิธีการบวก วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่"
วัสดุเพิ่มเติม
เรียนผู้ใช้ อย่าลืมแสดงความคิดเห็น บทวิจารณ์ และความปรารถนาของคุณ! วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส
เครื่องช่วยสอนและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ Integral สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 9
เครื่องจำลองสำหรับตำราเรียนโดย Atanasyan L.S. โปรแกรมจำลองสำหรับตำราเรียน Pogorelova A.V.
วิธีการแก้ระบบอสมการ
เพื่อนๆ เราได้ศึกษาระบบสมการและเรียนรู้วิธีแก้สมการโดยใช้กราฟแล้ว ทีนี้เรามาดูวิธีอื่นในการแก้ปัญหาระบบที่มีอยู่บ้าง?วิธีการแก้ปัญหาเกือบทั้งหมดไม่แตกต่างจากที่เราเรียนในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ตอนนี้เราจำเป็นต้องทำการปรับเปลี่ยนตามสมการที่เราได้เรียนรู้ที่จะแก้
สาระสำคัญของวิธีการทั้งหมดที่อธิบายไว้ในบทนี้คือการแทนที่ระบบด้วยระบบที่เทียบเท่าด้วยรูปแบบและวิธีแก้ปัญหาที่ง่ายกว่า พวกคุณจำได้ไหมว่าระบบที่เทียบเท่าคืออะไร
วิธีการทดแทน
วิธีแรกในการแก้ระบบสมการที่มีตัวแปรสองตัวเป็นที่รู้จักกันดีสำหรับเรา - นี่คือวิธีการทดแทน เราใช้วิธีนี้เพื่อแก้สมการเชิงเส้น ทีนี้มาดูวิธีการแก้สมการในกรณีทั่วไปกัน?คุณควรดำเนินการอย่างไรในการตัดสินใจ?
1. แสดงตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งในรูปของตัวแปรอื่น ตัวแปรที่ใช้บ่อยที่สุดในสมการคือ x และ y ในสมการหนึ่ง เราแสดงตัวแปรหนึ่งในแง่ของอีกตัวแปรหนึ่ง เคล็ดลับ: ดูสมการทั้งสองอย่างรอบคอบก่อนที่จะเริ่มแก้โจทย์ และเลือกสมการที่จะแสดงตัวแปรได้ง่ายกว่า
2. แทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ลงในสมการที่สอง แทนตัวแปรที่ถูกแสดง
3. แก้สมการที่เราได้มา
4. แทนผลลัพธ์ที่ได้ลงในสมการที่สอง หากมีวิธีแก้ไขปัญหาหลายวิธี คุณจะต้องเปลี่ยนวิธีแก้ปัญหาตามลำดับเพื่อไม่ให้สูญเสียวิธีแก้ไขปัญหาสองสามข้อ
5. ด้วยเหตุนี้ คุณจะได้รับตัวเลขคู่หนึ่ง $(x;y)$ ซึ่งจะต้องเขียนไว้เป็นคำตอบ
ตัวอย่าง.
แก้ระบบที่มีตัวแปรสองตัวโดยใช้วิธีการทดแทน: $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end(cases)$
สารละลาย.
มาดูสมการของเรากันดีกว่า แน่นอนว่า การแสดง y ในรูปของ x ในสมการแรกนั้นง่ายกว่ามาก
$\begin(cases)y=5-x, \\xy=6\end(cases)$.
ลองแทนที่นิพจน์แรกลงในสมการที่สอง $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(cases)$
มาแก้สมการที่สองแยกกัน:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
เราได้คำตอบสองข้อสำหรับสมการที่สอง $x_1=2$ และ $x_2=3$
แทนตามลำดับในสมการที่สอง
ถ้า $x=2$ แล้ว $y=3$ ถ้า $x=3$ แล้ว $y=2$
คำตอบจะเป็นตัวเลขสองคู่
คำตอบ: $(2;3)$ และ $(3;2)$.
วิธีการบวกพีชคณิต
เรายังศึกษาวิธีนี้ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7เป็นที่รู้กันว่าเราสามารถคูณสมการตรรกยะในตัวแปรสองตัวด้วยจำนวนเท่าใดก็ได้ โดยไม่ลืมที่จะคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย เราคูณสมการหนึ่งด้วยจำนวนหนึ่ง เพื่อว่าเมื่อบวกสมการผลลัพธ์เข้ากับสมการที่สองของระบบ ตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งจะถูกทำลาย จากนั้นจึงแก้สมการของตัวแปรที่เหลือ
วิธีนี้ยังใช้งานได้ แม้ว่าจะไม่สามารถทำลายตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งได้เสมอไป แต่จะทำให้รูปแบบของสมการใดสมการหนึ่งง่ายขึ้นอย่างมาก
ตัวอย่าง.
แก้ระบบ: $\begin(cases)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$
สารละลาย.
ลองคูณสมการแรกด้วย 2
$\begin(เคส)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(เคส)$
ลองลบอันที่สองออกจากสมการแรก
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$
อย่างที่คุณเห็นรูปแบบของสมการที่ได้นั้นง่ายกว่าสมการดั้งเดิมมาก ตอนนี้เราสามารถใช้วิธีทดแทนได้
$\begin(เคส)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end(เคส)$
ลองเขียน x ในรูปของ y ในสมการผลลัพธ์กัน
$\begin(กรณี)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end(กรณี)$
$\begin(กรณี)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\end(กรณี)$
$\begin(กรณี)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\end(กรณี)$
$\begin(กรณี)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end(กรณี)$
$\begin(กรณี)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end(กรณี)$
$\begin(กรณี)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end(กรณี)$
เราได้ $y=-1$ และ $y=-3$
ลองแทนค่าเหล่านี้ตามลำดับในสมการแรก เราได้ตัวเลขสองคู่: $(1;-1)$ และ $(-1;-3)$
คำตอบ: $(1;-1)$ และ $(-1;-3)$.
วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่
เราศึกษาวิธีนี้ด้วย แต่ลองดูอีกครั้งตัวอย่าง.
แก้โจทย์ระบบ: $\begin(cases)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$
สารละลาย.
ให้เราแนะนำการแทนที่ $t=\frac(x)(y)$
ลองเขียนสมการแรกใหม่ด้วยตัวแปรใหม่: $t+\frac(2)(t)=3$
มาแก้สมการผลลัพธ์กัน:
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
เราได้ $t=2$ หรือ $t=1$ ให้เราแนะนำการเปลี่ยนแปลงแบบย้อนกลับ $t=\frac(x)(y)$
เราได้: $x=2y$ และ $x=y$
สำหรับแต่ละนิพจน์ ระบบดั้งเดิมจะต้องแก้ไขแยกกัน:
$\begin(กรณี)x=2y, \\2x^2-y^2=1\end(กรณี)$ $\begin(กรณี)x=y, \\2x^2-y^2=1\end(กรณี)$
$\begin(กรณี)x=2y, \\8y^2-y^2=1\end(กรณี)$ $\begin(กรณี)x=y, \\2y^2-y^2=1\end(กรณี)$
$\begin(กรณี)x=2y, \\7y^2=1\end(กรณี)$ $\begin(กรณี)x=2y, \\y^2=1\end(กรณี)$
$\begin(cases)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$. $\begin(กรณี)x=y, \\y=±1\end(กรณี)$
$\begin(cases)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$. $\begin(กรณี)x=±1, \\y=±1\end(กรณี)$
เราได้รับโซลูชันสี่คู่
คำตอบ: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.
ตัวอย่าง.
แก้โจทย์ระบบ: $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2, \\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\end(กรณี)$
สารละลาย.
ให้เราแนะนำการแทนที่: $z=\frac(2)(x-3y)$ และ $t=\frac(3)(2x+y)$
ลองเขียนสมการเดิมด้วยตัวแปรใหม่:
$\begin(กรณี)z+t=2, \\4z-3t=1\end(กรณี)$
ลองใช้วิธีบวกพีชคณิต:
$\begin(เคส)3z+3t=6, \\4z-3t=1\end(เคส)$
$\begin(เคส)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end(เคส)$
$\begin(กรณี)7z=7, \\4z-3t=1\end(กรณี)$
$\begin(กรณี)z=1, \\-3t=1-4\end(กรณี)$.
$\begin(กรณี)z=1, \\t=1\end(กรณี)$.
เรามาแนะนำการทดแทนแบบย้อนกลับ:
$\begin(กรณี)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\end(กรณี)$
$\begin(กรณี)x-3y=2, \\2x+y=3\end(กรณี)$
ลองใช้วิธีทดแทน:
$\begin(กรณี)x=2+3y, \\4+6y+y=3\end(กรณี)$
$\begin(กรณี)x=2+3y, \\7y=-1\end(กรณี)$
$\begin(cases)x=2+3(\frac(-1)(7)), \\y=\frac(-1)(7)\end(cases)$.
$\begin(กรณี)x=\frac(11)(7), \\x=-\frac(11)(7)\end(กรณี)$
คำตอบ: $(\frac(11)(7);-\frac(1)(7))$.
ปัญหาเกี่ยวกับระบบสมการสำหรับการแก้ปัญหาอิสระ
แก้ระบบ:1. $\begin(กรณี)2x-2y=6,\\xy =-2\end(กรณี)$
2. $\begin(กรณี)x+y^2=3, \\xy^2=4\end(กรณี)$
3. $\begin(cases)xy+y^2=3,\\y^2-xy=5\end(cases)$.
4. $\begin(cases)\frac(2)(x)+\frac(1)(y)=4, \\\frac(1)(x)+\frac(3)(y)=9\ สิ้นสุด(กรณี)$.
5. $\begin(cases)\frac(5)(x^2-xy)+\frac(4)(y^2-xy)=-\frac(1)(6), \\\frac(7) )(x^2-xy)-\frac(3)(y^2-xy)=\frac(6)(5)\end(กรณี)$
ระบบสมการมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในภาคเศรษฐกิจสำหรับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการต่างๆ ตัวอย่างเช่น เมื่อแก้ไขปัญหาด้านการจัดการและการวางแผนการผลิต เส้นทางลอจิสติกส์ (ปัญหาการขนส่ง) หรือการจัดวางอุปกรณ์
ระบบสมการไม่เพียงแต่ใช้ในคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังใช้ในฟิสิกส์ เคมี และชีววิทยาด้วย เมื่อแก้ปัญหาการหาขนาดประชากร
ระบบสมการเชิงเส้นคือสมการตั้งแต่สองสมการขึ้นไปที่มีตัวแปรหลายตัวซึ่งจำเป็นต้องหาคำตอบร่วมกัน ลำดับตัวเลขที่สมการทั้งหมดกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริงหรือพิสูจน์ว่าไม่มีลำดับดังกล่าว
สมการเชิงเส้น
สมการที่อยู่ในรูปแบบ ax+by=c เรียกว่าเชิงเส้น การกำหนด x, y คือสิ่งที่ไม่ทราบซึ่งจะต้องค้นหาค่า, b, a คือสัมประสิทธิ์ของตัวแปร, c คือเทอมอิสระของสมการ
การแก้สมการโดยพล็อตจะมีลักษณะเป็นเส้นตรง ซึ่งทุกจุดเป็นคำตอบของพหุนาม
ประเภทของระบบสมการเชิงเส้น
ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดถือเป็นระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปร X และ Y สองตัว
F1(x, y) = 0 และ F2(x, y) = 0 โดยที่ F1,2 เป็นฟังก์ชัน และ (x, y) เป็นตัวแปรฟังก์ชัน
แก้ระบบสมการ - นี่หมายถึงการค้นหาค่า (x, y) ที่ระบบเปลี่ยนเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริงหรือการสร้างค่าที่เหมาะสมของ x และ y ไม่มีอยู่
คู่ของค่า (x, y) ซึ่งเขียนเป็นพิกัดของจุดเรียกว่าการแก้ระบบสมการเชิงเส้น
หากระบบมีวิธีแก้ปัญหาร่วมกันเพียงวิธีเดียวหรือไม่มีวิธีแก้ปัญหาเลย จะเรียกว่าเทียบเท่า
ระบบสมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันคือระบบที่ด้านขวามือเท่ากับศูนย์ หากส่วนขวาหลังเครื่องหมายเท่ากับมีค่าหรือแสดงโดยฟังก์ชัน ระบบดังกล่าวจะไม่เหมือนกัน
จำนวนตัวแปรสามารถมีได้มากกว่า 2 ตัวมาก เราควรพูดถึงตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรตั้งแต่ 3 ตัวขึ้นไป
เมื่อต้องเผชิญกับระบบต่างๆ เด็กนักเรียนจะถือว่าจำนวนสมการต้องตรงกับจำนวนที่ไม่ทราบเสมอไป แต่ไม่ได้เป็นเช่นนั้น จำนวนสมการในระบบไม่ได้ขึ้นอยู่กับตัวแปร สามารถมีได้มากเท่าที่ต้องการ
วิธีการแก้ระบบสมการที่ง่ายและซับซ้อน
ไม่มีวิธีการวิเคราะห์ทั่วไปสำหรับการแก้ปัญหาระบบดังกล่าว วิธีการทั้งหมดจะขึ้นอยู่กับการแก้ปัญหาเชิงตัวเลข หลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนอธิบายรายละเอียดวิธีการต่างๆ เช่น การเรียงสับเปลี่ยน การบวกพีชคณิต การทดแทน รวมถึงวิธีกราฟิกและเมทริกซ์ วิธีแก้ด้วยวิธีเกาส์เซียน
ภารกิจหลักในการสอนวิธีการแก้ปัญหาคือการสอนวิธีวิเคราะห์ระบบอย่างถูกต้องและค้นหาอัลกอริธึมการแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดสำหรับแต่ละตัวอย่าง สิ่งสำคัญคือไม่ต้องจดจำระบบกฎและการกระทำสำหรับแต่ละวิธี แต่ต้องเข้าใจหลักการของการใช้วิธีเฉพาะ
การแก้ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นในหลักสูตรการศึกษาทั่วไปชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 นั้นค่อนข้างง่ายและอธิบายได้ละเอียดมาก ในตำราคณิตศาสตร์เล่มใดก็ตาม ส่วนนี้ได้รับความสนใจเพียงพอ การแก้ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์และแครมเมอร์ได้รับการศึกษาอย่างละเอียดในปีแรกของการศึกษาระดับอุดมศึกษา
การแก้ระบบโดยใช้วิธีทดแทน
การกระทำของวิธีการทดแทนมีวัตถุประสงค์เพื่อแสดงค่าของตัวแปรหนึ่งในรูปของตัวแปรที่สอง นิพจน์จะถูกแทนที่ลงในสมการที่เหลือ จากนั้นจึงลดลงเป็นรูปแบบที่มีตัวแปรเดียว การดำเนินการซ้ำขึ้นอยู่กับจำนวนสิ่งที่ไม่รู้จักในระบบ
ให้เราแก้ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นของคลาส 7 โดยใช้วิธีการทดแทน:
ดังที่เห็นได้จากตัวอย่าง ตัวแปร x ถูกแสดงผ่าน F(X) = 7 + Y ผลลัพธ์ที่ได้ซึ่งถูกแทนที่ในสมการที่ 2 ของระบบแทน X ช่วยให้ได้ตัวแปร Y หนึ่งตัวในสมการที่ 2 . การแก้ตัวอย่างนี้เป็นเรื่องง่ายและช่วยให้คุณได้รับค่า Y ขั้นตอนสุดท้ายคือการตรวจสอบค่าที่ได้รับ
ไม่สามารถแก้ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นด้วยการทดแทนได้เสมอไป สมการอาจซับซ้อนและการแสดงตัวแปรในรูปของค่าที่ไม่ทราบค่าที่สองนั้นยุ่งยากเกินไปสำหรับการคำนวณต่อไป เมื่อมีสิ่งแปลกปลอมในระบบมากกว่า 3 รายการ การแก้ไขด้วยการทดแทนก็ไม่เหมาะสมเช่นกัน
เฉลยตัวอย่างระบบสมการไม่เอกพันธ์เชิงเส้น:
วิธีแก้ปัญหาโดยใช้การบวกพีชคณิต
เมื่อค้นหาคำตอบของระบบโดยใช้วิธีการบวก สมการจะถูกบวกทีละเทอมและคูณด้วยตัวเลขต่างๆ เป้าหมายสูงสุดของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์คือสมการในตัวแปรตัวเดียว
การใช้วิธีนี้ต้องอาศัยการฝึกฝนและการสังเกต การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีบวกเมื่อมีตัวแปร 3 ตัวขึ้นไปไม่ใช่เรื่องง่าย การบวกพีชคณิตใช้สะดวกเมื่อสมการประกอบด้วยเศษส่วนและทศนิยม
อัลกอริธึมโซลูชัน:
- คูณทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนที่กำหนด จากผลการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ค่าสัมประสิทธิ์หนึ่งของตัวแปรควรเท่ากับ 1
- เพิ่มผลลัพธ์ของนิพจน์ทีละเทอมและค้นหาหนึ่งในสิ่งที่ไม่รู้จัก
- แทนค่าผลลัพธ์ลงในสมการที่ 2 ของระบบเพื่อค้นหาตัวแปรที่เหลือ
วิธีการแก้ปัญหาโดยการแนะนำตัวแปรใหม่
ตัวแปรใหม่สามารถนำมาใช้ได้หากระบบต้องการคำตอบสำหรับสมการไม่เกินสองสมการ และจำนวนที่ไม่ทราบก็ไม่ควรเกินสองสมการด้วย
วิธีการนี้ใช้เพื่อทำให้สมการใดสมการหนึ่งง่ายขึ้นโดยการแนะนำตัวแปรใหม่ สมการใหม่ได้รับการแก้ไขสำหรับค่าที่ไม่รู้จักที่แนะนำ และใช้ค่าผลลัพธ์เพื่อกำหนดตัวแปรดั้งเดิม
ตัวอย่างแสดงให้เห็นว่าด้วยการแนะนำตัวแปร t ใหม่ มันเป็นไปได้ที่จะลดสมการที่ 1 ของระบบให้เป็นตรีโกณมิติกำลังสองมาตรฐาน คุณสามารถแก้โจทย์พหุนามได้โดยการหาค่าจำแนก
จำเป็นต้องค้นหาค่าของตัวแยกแยะโดยใช้สูตรที่รู้จักกันดี: D = b2 - 4*a*c โดยที่ D คือตัวจำแนกที่ต้องการ b, a, c คือตัวประกอบของพหุนาม ในตัวอย่างที่ให้มา a=1, b=16, c=39 ดังนั้น D=100 หากตัวแยกแยะมีค่ามากกว่าศูนย์ แสดงว่ามีวิธีแก้ 2 วิธี: t = -b±√D / 2*a หากตัวแยกแยะน้อยกว่า 0 ก็มีวิธีแก้ 1 วิธี: x = -b / 2*a
วิธีแก้ไขสำหรับระบบผลลัพธ์จะพบได้โดยวิธีการบวก
วิธีการแก้ระบบด้วยภาพ
เหมาะสำหรับ 3 ระบบสมการ วิธีการประกอบด้วยการสร้างกราฟของแต่ละสมการที่รวมอยู่ในระบบบนแกนพิกัด พิกัดของจุดตัดกันของเส้นโค้งจะเป็นคำตอบทั่วไปของระบบ
วิธีการแบบกราฟิกมีความแตกต่างหลายประการ ลองดูตัวอย่างต่างๆ ของการแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยภาพ
ดังที่เห็นได้จากตัวอย่างสำหรับแต่ละบรรทัดมีการสร้างจุดสองจุดค่าของตัวแปร x จะถูกเลือกโดยพลการ: 0 และ 3 ขึ้นอยู่กับค่าของ x พบค่าสำหรับ y: 3 และ 0 จุดที่มีพิกัด (0, 3) และ (3, 0) ถูกทำเครื่องหมายบนกราฟและเชื่อมต่อกันด้วยเส้นตรง
ต้องทำซ้ำขั้นตอนสำหรับสมการที่สอง จุดตัดกันของเส้นตรงคือคำตอบของระบบ
ตัวอย่างต่อไปนี้จำเป็นต้องค้นหาคำตอบแบบกราฟิกของระบบสมการเชิงเส้น: 0.5x-y+2=0 และ 0.5x-y-1=0
ดังที่เห็นได้จากตัวอย่าง ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา เนื่องจากกราฟมีความขนานกันและไม่ตัดกันตลอดความยาวกราฟ
ระบบจากตัวอย่างที่ 2 และ 3 คล้ายกัน แต่เมื่อสร้างเสร็จแล้ว จะเห็นได้ชัดว่าวิธีแก้ปัญหาต่างกัน ควรจำไว้ว่าเป็นไปไม่ได้เสมอไปที่จะบอกว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาหรือไม่ จำเป็นต้องสร้างกราฟเสมอไป
เมทริกซ์และพันธุ์ของมัน
เมทริกซ์ใช้เพื่อเขียนระบบสมการเชิงเส้นอย่างกระชับ เมทริกซ์เป็นตารางชนิดพิเศษที่เต็มไปด้วยตัวเลข n*m มี n - แถวและ m - คอลัมน์
เมทริกซ์จะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสเมื่อจำนวนคอลัมน์และแถวเท่ากัน matrix-vector คือเมทริกซ์ของหนึ่งคอลัมน์ที่มีจำนวนแถวที่เป็นไปได้อย่างไม่สิ้นสุด เมทริกซ์ที่มีองค์ประกอบอยู่ในเส้นทแยงมุมหนึ่งและองค์ประกอบที่เป็นศูนย์อื่นๆ เรียกว่าเอกลักษณ์
เมทริกซ์ผกผันคือเมทริกซ์เมื่อคูณด้วยเมทริกซ์ดั้งเดิมที่เปลี่ยนเป็นเมทริกซ์หน่วย
กฎสำหรับการแปลงระบบสมการให้เป็นเมทริกซ์
ในส่วนที่เกี่ยวข้องกับระบบสมการ ค่าสัมประสิทธิ์และเงื่อนไขอิสระของสมการจะเขียนเป็นตัวเลขเมทริกซ์ โดยสมการหนึ่งคือหนึ่งแถวของเมทริกซ์
แถวเมทริกซ์จะบอกว่าไม่เป็นศูนย์ ถ้าอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบของแถวไม่เป็นศูนย์ ดังนั้น หากจำนวนตัวแปรแตกต่างกันในสมการใดๆ ก็จำเป็นต้องป้อนศูนย์แทนค่าที่ไม่รู้จักที่หายไป
คอลัมน์เมทริกซ์ต้องสอดคล้องกับตัวแปรอย่างเคร่งครัด ซึ่งหมายความว่าค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x สามารถเขียนได้ในคอลัมน์เดียวเท่านั้น เช่น คอลัมน์แรก ค่าสัมประสิทธิ์ของ y ที่ไม่รู้จัก - เฉพาะในคอลัมน์ที่สองเท่านั้น
เมื่อคูณเมทริกซ์ องค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์จะคูณด้วยตัวเลขตามลำดับ
ตัวเลือกสำหรับการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน
สูตรในการค้นหาเมทริกซ์ผกผันนั้นค่อนข้างง่าย: K -1 = 1 / |K| โดยที่ K -1 คือเมทริกซ์ผกผันและ |K| คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ |เค| ต้องไม่เท่ากับศูนย์แล้วระบบก็มีทางแก้
ดีเทอร์มิแนนต์คำนวณได้ง่ายสำหรับเมทริกซ์ขนาด 2 x 2 คุณเพียงแค่ต้องคูณองค์ประกอบในแนวทแยงเข้าด้วยกัน สำหรับตัวเลือก "สามคูณสาม" มีสูตร |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + ก 3 ข 2 ค 1 . คุณสามารถใช้สูตรหรือจำไว้ว่าคุณต้องนำหนึ่งองค์ประกอบจากแต่ละแถวและแต่ละคอลัมน์เพื่อไม่ให้จำนวนคอลัมน์และแถวขององค์ประกอบซ้ำในการทำงาน
การแก้ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเมทริกซ์
วิธีเมทริกซ์ในการค้นหาวิธีแก้ปัญหาช่วยให้คุณลดรายการที่ยุ่งยากเมื่อแก้ระบบที่มีตัวแปรและสมการจำนวนมาก
ในตัวอย่าง nm คือสัมประสิทธิ์ของสมการ เมทริกซ์คือเวกเตอร์ x n คือตัวแปร และ bn คือเทอมอิสระ
การแก้ระบบโดยใช้วิธีเกาส์เซียน
ในคณิตศาสตร์ชั้นสูง วิธีเกาส์เซียนได้รับการศึกษาร่วมกับวิธีแครมเมอร์ และกระบวนการค้นหาคำตอบของระบบเรียกว่าวิธีแก้เกาส์-แครเมอร์ วิธีการเหล่านี้ใช้เพื่อค้นหาตัวแปรของระบบที่มีสมการเชิงเส้นจำนวนมาก
วิธีเกาส์นั้นคล้ายกับวิธีแก้โจทย์โดยการแทนที่และการบวกพีชคณิตมาก แต่จะเป็นระบบมากกว่า ในหลักสูตรของโรงเรียน วิธีแก้แบบเกาส์เซียนจะใช้กับระบบสมการ 3 และ 4 วัตถุประสงค์ของวิธีนี้คือเพื่อลดระบบให้อยู่ในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูกลับหัว โดยการแปลงพีชคณิตและการแทนที่ ค่าของตัวแปรหนึ่งจะพบได้ในสมการของระบบใดสมการหนึ่ง สมการที่สองคือนิพจน์ที่มีตัวแปร 2 ตัวที่ไม่รู้จัก ในขณะที่ 3 และ 4 เป็นนิพจน์ที่มีตัวแปร 3 และ 4 ตัวตามลำดับ
หลังจากนำระบบไปสู่รูปแบบที่อธิบายไว้แล้ว วิธีแก้ไขเพิ่มเติมจะลดลงเป็นการทดแทนตัวแปรที่ทราบตามลำดับลงในสมการของระบบ
ในหนังสือเรียนของโรงเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ตัวอย่างของการแก้ปัญหาด้วยวิธีเกาส์มีดังต่อไปนี้:
ดังที่เห็นได้จากตัวอย่าง ในขั้นตอนที่ (3) จะได้สมการสองสมการ: 3x 3 -2x 4 =11 และ 3x 3 +2x 4 =7 การแก้สมการใดๆ จะทำให้คุณสามารถหาตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง x n ได้
ทฤษฎีบทที่ 5 ซึ่งกล่าวถึงในเนื้อหา ระบุว่าหากสมการใดสมการของระบบถูกแทนที่ด้วยสมการที่เทียบเท่ากัน ระบบผลลัพธ์ที่ได้ก็จะเทียบเท่ากับสมการเดิมด้วย
วิธีเกาส์เซียนเป็นเรื่องยากสำหรับนักเรียนมัธยมต้นที่จะเข้าใจ แต่เป็นวิธีที่น่าสนใจที่สุดวิธีหนึ่งในการพัฒนาความฉลาดของเด็กที่ลงทะเบียนในโปรแกรมการเรียนรู้ขั้นสูงในชั้นเรียนคณิตศาสตร์และฟิสิกส์
เพื่อความสะดวกในการบันทึก มักจะคำนวณดังนี้:
ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการและพจน์อิสระเขียนในรูปแบบของเมทริกซ์ โดยที่แต่ละแถวของเมทริกซ์สอดคล้องกับหนึ่งในสมการของระบบ แยกด้านซ้ายของสมการออกจากด้านขวา เลขโรมันระบุจำนวนสมการในระบบ
ขั้นแรก เขียนเมทริกซ์ที่จะใช้ทำงาน จากนั้นจึงดำเนินการทั้งหมดกับแถวใดแถวหนึ่ง เมทริกซ์ผลลัพธ์จะถูกเขียนหลังเครื่องหมาย "ลูกศร" และการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตที่จำเป็นจะดำเนินต่อไปจนกระทั่งได้ผลลัพธ์
ผลลัพธ์ควรเป็นเมทริกซ์ที่หนึ่งในเส้นทแยงมุมเท่ากับ 1 และค่าสัมประสิทธิ์อื่น ๆ ทั้งหมดเท่ากับศูนย์นั่นคือเมทริกซ์จะลดลงเป็นรูปแบบหน่วย เราต้องไม่ลืมที่จะคำนวณด้วยตัวเลขทั้งสองข้างของสมการ
วิธีการบันทึกนี้ยุ่งยากน้อยกว่าและช่วยให้คุณไม่ต้องเสียสมาธิในการแสดงรายการสิ่งที่ไม่รู้จักมากมาย
การใช้วิธีการแก้ปัญหาใด ๆ ฟรีจะต้องได้รับการดูแลและประสบการณ์บางอย่าง ไม่ใช่ทุกวิธีจะมีลักษณะประยุกต์ วิธีการหาวิธีแก้ปัญหาบางอย่างนั้นเป็นที่นิยมมากกว่าในกิจกรรมเฉพาะของมนุษย์ในขณะที่วิธีอื่นนั้นมีไว้เพื่อวัตถุประสงค์ทางการศึกษา
