สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์สำหรับสองมุม α และ β ช่วยให้เราสามารถย้ายจากผลรวมของมุมเหล่านี้ไปเป็นผลคูณของมุม α + β 2 และ α - β 2 โปรดทราบทันทีว่าคุณไม่ควรสับสนสูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์กับสูตรสำหรับไซน์และโคไซน์ของผลรวมและผลต่าง ด้านล่างนี้เราแสดงรายการสูตรเหล่านี้ ให้ที่มา และแสดงตัวอย่างการใช้งานสำหรับงานเฉพาะ
ยานเดกซ์RTB R-A-339285-1
สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์
ลองเขียนลงไปว่าสูตรผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์มีลักษณะอย่างไร
สูตรผลรวมและผลต่างของไซน์
บาป α + บาป β = 2 บาป α + β 2 cos α - β 2 บาป α - บาป β = 2 บาป α - β 2 cos α + β 2
สูตรผลรวมและผลต่างของโคไซน์
cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 บาป α + β 2 cos α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · β - α 2
สูตรเหล่านี้ใช้ได้กับมุม α และ β ทุกมุม มุม α + β 2 และ α - β 2 เรียกว่าผลรวมครึ่งและผลต่างครึ่งของมุมอัลฟาและเบตา ตามลำดับ ให้เราให้สูตรสำหรับแต่ละสูตร
คำจำกัดความของสูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์
ผลรวมของไซน์ของสองมุมเท่ากับสองเท่าของผลคูณของไซน์ของผลรวมครึ่งหนึ่งของมุมเหล่านี้และโคไซน์ของผลต่างครึ่งหนึ่ง
ผลต่างของไซน์ของสองมุมเท่ากับสองเท่าของผลคูณของไซน์ของผลต่างครึ่งหนึ่งของมุมเหล่านี้และโคไซน์ของผลรวมครึ่งหนึ่ง
ผลรวมของโคไซน์ของสองมุมเท่ากับสองเท่าของผลคูณของโคไซน์ของผลรวมครึ่งหนึ่งและโคไซน์ของผลต่างครึ่งหนึ่งของมุมเหล่านี้
ผลต่างของโคไซน์ของสองมุมเท่ากับสองเท่าของผลคูณของไซน์ของผลรวมครึ่งหนึ่งและโคไซน์ของผลต่างครึ่งหนึ่งของมุมเหล่านี้ โดยมีเครื่องหมายลบ
หาสูตรหาผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์
ในการหาสูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์ของสองมุม จะใช้สูตรบวก เราแสดงรายการไว้ด้านล่าง
บาป (α + β) = บาป α · cos β + cos α · บาป β บาป (α - β) = บาป α · cos β - cos α · บาป β cos (α + β) = cos α · cos β - sin α บาป β cos (α - β) = cos α cos β + บาป α บาป β
ลองจินตนาการว่ามุมต่างๆ เป็นผลรวมของผลรวมครึ่งหนึ่งและผลต่างครึ่งหนึ่ง
α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2
เราดำเนินการโดยตรงกับการหาสูตรผลรวมและผลต่างของบาปและคอส
ที่มาของสูตรสำหรับผลรวมของไซน์
ในผลรวม sin α + sin β เราแทนที่ α และ β ด้วยนิพจน์สำหรับมุมเหล่านี้ที่ให้ไว้ข้างต้น เราได้รับ
บาป α + บาป β = บาป α + β 2 + α - β 2 + บาป α + β 2 - α - β 2
ตอนนี้เราใช้สูตรการบวกกับนิพจน์แรก และสูตรที่สองคือสูตรสำหรับไซน์ของผลต่างมุม (ดูสูตรด้านบน)
บาป α + β 2 + α - β 2 = บาป α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 บาป α - β 2 บาป α + β 2 - α - β 2 = บาป α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = บาป α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 เปิดวงเล็บ เพิ่มคำที่คล้ายกันและรับสูตรที่ต้องการ
บาป α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 บาป α - β 2 + บาป α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 บาป α - β 2 = = 2 บาป α + β 2 คอส α - β 2
ขั้นตอนในการรับสูตรที่เหลือจะคล้ายกัน
ที่มาของสูตรผลต่างของไซน์
บาป α - บาป β = บาป α + β 2 + α - β 2 - บาป α + β 2 - α - β 2 บาป α + β 2 + α - β 2 - บาป α + β 2 - α - β 2 = บาป α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 คอส α + β 2
ที่มาของสูตรสำหรับผลรวมของโคไซน์
cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - บาป α + β 2 บาป α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + บาป α + β 2 บาป α - β 2 = = 2 cos α + β 2 คอส α - β 2
ที่มาของสูตรสำหรับผลต่างของโคไซน์
cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - บาป α + β 2 บาป α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + บาป α + β 2 บาป α - β 2 = = - 2 บาป α + β 2 บาป α - β 2
ตัวอย่างการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติ
ขั้นแรก ให้ตรวจสอบสูตรใดสูตรหนึ่งโดยแทนที่ค่ามุมเฉพาะลงไป ให้ α = π 2, β = π 6 ให้เราคำนวณค่าผลรวมของไซน์ของมุมเหล่านี้ อันดับแรก เราจะใช้ตารางค่าพื้นฐานของฟังก์ชันตรีโกณมิติ จากนั้นเราจะใช้สูตรสำหรับผลรวมของไซน์
ตัวอย่างที่ 1 ตรวจสอบสูตรหาผลรวมของไซน์ของสองมุม
α = π 2, β = π 6 บาป π 2 + บาป π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 บาป π 2 + บาป π 6 = 2 บาป π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 บาป π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2
ให้เราพิจารณากรณีที่ค่ามุมแตกต่างจากค่าพื้นฐานที่แสดงในตาราง ให้ α = 165°, β = 75° ลองคำนวณความแตกต่างระหว่างไซน์ของมุมเหล่านี้กัน
ตัวอย่างที่ 2 การใช้สูตรผลต่างของไซน์
α = 165 °, β = 75 ° บาป α - บาป β = บาป 165 ° - บาป 75 ° บาป 165 - บาป 75 = 2 บาป 165 ° - บาป 75 ° 2 cos 165 ° + บาป 75 ° 2 = = 2 บาป 45 ° เพราะ 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2
การใช้สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์ คุณสามารถย้ายจากผลรวมหรือผลต่างไปเป็นผลคูณของฟังก์ชันตรีโกณมิติได้ บ่อยครั้งที่สูตรเหล่านี้เรียกว่าสูตรสำหรับการย้ายจากผลรวมไปสู่ผลคูณ สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์ใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้สมการตรีโกณมิติและการแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติ
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter
ในบทความนี้เราจะมาดูอย่างละเอียด ข้อมูลประจำตัวตรีโกณมิติพื้นฐานคือความเท่าเทียมกันที่สร้างการเชื่อมโยงระหว่างไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมหนึ่ง และอนุญาตให้เราค้นหาฟังก์ชันตรีโกณมิติเหล่านี้ผ่านฟังก์ชันอื่นที่รู้จัก
ให้เราแสดงรายการอัตลักษณ์ตรีโกณมิติหลักที่เราจะวิเคราะห์ในบทความนี้ทันที มาเขียนมันลงในตาราง แล้วเราจะให้ผลลัพธ์ของสูตรเหล่านี้พร้อมคำอธิบายที่จำเป็นด้านล่าง
การนำทางหน้า
ความสัมพันธ์ระหว่างไซน์และโคไซน์ของมุมหนึ่ง
บางครั้งพวกเขาไม่ได้พูดถึงอัตลักษณ์ตรีโกณมิติหลักที่แสดงอยู่ในตารางด้านบน แต่เกี่ยวกับข้อมูลเดียว อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานใจดี - คำอธิบายข้อเท็จจริงนี้ค่อนข้างง่าย: ความเท่าเทียมกันจะได้มาจากอัตลักษณ์ตรีโกณมิติหลักหลังจากหารทั้งสองส่วนด้วย และ ตามลำดับ และความเท่าเทียมกัน
และ
ติดตามจากคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ เราจะพูดถึงเรื่องนี้โดยละเอียดในย่อหน้าต่อไปนี้
นั่นคือความเท่าเทียมกันที่เป็นที่สนใจเป็นพิเศษซึ่งได้รับชื่อของเอกลักษณ์ตรีโกณมิติหลัก
ก่อนที่จะพิสูจน์เอกลักษณ์ตรีโกณมิติหลัก เราจะให้สูตรดังนี้ ผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์ของมุมหนึ่งจะเท่ากับหนึ่งเท่ากัน ทีนี้เรามาพิสูจน์กัน
ข้อมูลประจำตัวตรีโกณมิติพื้นฐานมักใช้เมื่อใด การแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติ- ช่วยให้ผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์ของมุมหนึ่งถูกแทนที่ด้วยหนึ่ง ไม่บ่อยนักที่อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานจะถูกนำมาใช้ในลำดับย้อนกลับ: หน่วยจะถูกแทนที่ด้วยผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์ของมุมใดๆ
แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ผ่านไซน์และโคไซน์
อัตลักษณ์ที่เชื่อมโยงแทนเจนต์และโคแทนเจนต์กับไซน์และโคไซน์ของมุมมองเดียวและ ปฏิบัติตามทันทีจากคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ ตามคำนิยามแล้ว ไซน์คือลำดับของ y โคไซน์คือค่าแอบซิสซาของ x แทนเจนต์คืออัตราส่วนของค่าพิกัดต่อค่าแอบซิสซา นั่นคือ
และโคแทนเจนต์คืออัตราส่วนของแอบซิสซาต่อพิกัด นั่นคือ
.
ขอบคุณความชัดเจนของตัวตนและ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์มักไม่ได้ถูกกำหนดผ่านอัตราส่วนของแอบซิสซาและพิกัด แต่ผ่านอัตราส่วนของไซน์และโคไซน์ ดังนั้นแทนเจนต์ของมุมคืออัตราส่วนของไซน์ต่อโคไซน์ของมุมนี้ และโคแทนเจนต์คืออัตราส่วนของโคไซน์ต่อไซน์
โดยสรุปของย่อหน้านี้ก็ควรสังเกตว่าอัตลักษณ์และ เกิดขึ้นสำหรับทุกมุมที่ฟังก์ชันตรีโกณมิติรวมอยู่ในมุมเหล่านั้นอย่างสมเหตุสมผล ดังนั้นสูตรนี้ใช้ได้กับค่าใดๆ ก็ตาม นอกเหนือจาก (ไม่เช่นนั้นตัวส่วนจะมีศูนย์และเราไม่ได้กำหนดการหารด้วยศูนย์) และสูตร
- สำหรับทั้งหมด แตกต่างจาก โดยที่ z คือค่าใดๆ
ความสัมพันธ์ระหว่างแทนเจนต์และโคแทนเจนต์
อัตลักษณ์ตรีโกณมิติที่ชัดเจนยิ่งกว่าสองประการก่อนหน้านี้คืออัตลักษณ์ที่เชื่อมต่อแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมหนึ่งของรูปแบบ - เห็นได้ชัดว่ามันคงไว้สำหรับมุมอื่นๆ ที่ไม่ใช่ มิฉะนั้น จะไม่ได้นิยามแทนเจนต์หรือโคแทนเจนต์
หลักฐานของสูตร ง่ายมาก. ตามคำจำกัดความและจากที่ไหน
- การพิสูจน์อาจดำเนินการแตกต่างออกไปเล็กน้อย เนื่องจาก
, ที่
.
ดังนั้น แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมเดียวกันที่เข้าท่าคือ
ในบทความนี้เราจะพูดถึง การทดแทนตรีโกณมิติสากล- มันเกี่ยวข้องกับการแสดงไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมใดๆ ผ่านแทนเจนต์ของครึ่งมุม ยิ่งกว่านั้นการแทนที่นั้นดำเนินการอย่างมีเหตุผลนั่นคือไม่มีราก
ขั้นแรก เราจะเขียนสูตรที่แสดงไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ในรูปของแทนเจนต์ของครึ่งมุม ต่อไปเราจะแสดงที่มาของสูตรเหล่านี้ โดยสรุป เรามาดูตัวอย่างบางส่วนของการใช้การทดแทนตรีโกณมิติสากลกัน
การนำทางหน้า
ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ผ่านแทนเจนต์ของครึ่งมุม
ขั้นแรก ลองเขียนสูตรสี่สูตรที่แสดงไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมผ่านแทนเจนต์ของครึ่งมุม
สูตรที่ระบุใช้ได้กับทุกมุมที่มีการกำหนดแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ที่รวมอยู่ในนั้น:
![](https://i1.wp.com/cleverstudents.ru/trigonometry/images/universal_trigonometric_substitution/002.png)
การหาสูตร
ให้เราวิเคราะห์ที่มาของสูตรที่แสดงไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมผ่านแทนเจนต์ของครึ่งมุม เริ่มจากสูตรสำหรับไซน์และโคไซน์กันก่อน
ลองแทนไซน์และโคไซน์โดยใช้สูตรมุมคู่เป็น และ
ตามลำดับ ตอนนี้การแสดงออก
และ
เราเขียนมันในรูปเศษส่วนโดยมีส่วนเป็น 1 เช่น
และ
- ต่อไป ตามเอกลักษณ์ตรีโกณมิติหลัก เราจะแทนที่หน่วยในตัวส่วนด้วยผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์ หลังจากนั้นเราจะได้
และ
- ในที่สุดเราหารตัวเศษและส่วนของเศษส่วนผลลัพธ์ด้วย (ค่าของมันแตกต่างจากศูนย์ที่ระบุ
- เป็นผลให้ห่วงโซ่การกระทำทั้งหมดมีลักษณะดังนี้:
และ
ซึ่งจะทำให้การได้มาของสูตรที่แสดงไซน์และโคไซน์ผ่านแทนเจนต์ของครึ่งมุมเสร็จสมบูรณ์
มันยังคงได้รับสูตรสำหรับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ ตอนนี้คำนึงถึงสูตรที่ได้รับข้างต้นทั้งสูตรและ เราจะได้สูตรที่แสดงแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ทันทีผ่านแทนเจนต์ของครึ่งมุม:
ดังนั้นเราจึงได้สูตรทั้งหมดสำหรับการทดแทนตรีโกณมิติสากลมา
ตัวอย่างการใช้การทดแทนตรีโกณมิติสากล
ขั้นแรก เรามาดูตัวอย่างการใช้การทดแทนตรีโกณมิติสากลเมื่อแปลงนิพจน์
ตัวอย่าง.
ให้การแสดงออก เป็นนิพจน์ที่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติเพียงฟังก์ชันเดียว
สารละลาย.
คำตอบ:
.
บรรณานุกรม.
- พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับเกรด 9 เฉลี่ย โรงเรียน/ยู N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; เอ็ด S. A. Telyakovsky.- M.: การศึกษา, 1990.- 272 p.: ill.- isbn 5-09-002727-7
- บาชมาคอฟ เอ็ม.ไอ.พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียน สำหรับเกรด 10-11 เฉลี่ย โรงเรียน - ฉบับที่ 3 - อ.: การศึกษา พ.ศ. 2536 - 351 หน้า: ป่วย - ไอ 5-09-004617-4.
- พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: Proc. สำหรับเกรด 10-11 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn และคนอื่น ๆ ; เอ็ด A. N. Kolmogorov - ฉบับที่ 14 - ม.: การศึกษา, 2547 - 384 หน้า: ป่วย - ISBN 5-09-013651-3
- Gusev V.A., Mordkovich A.G.คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค) พรบ. เบี้ยเลี้ยง.- ม.; สูงกว่า โรงเรียน พ.ศ. 2527-351 น. ป่วย
– จะมีงานเกี่ยวกับวิชาตรีโกณมิติอย่างแน่นอน ตรีโกณมิติมักไม่ชอบที่ต้องยัดสูตรยากๆ จำนวนมาก ซึ่งเต็มไปด้วยไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ เว็บไซต์เคยให้คำแนะนำเกี่ยวกับวิธีการจำสูตรที่ถูกลืมไปแล้ว โดยใช้ตัวอย่างสูตรออยเลอร์และพีล
และในบทความนี้ เราจะพยายามแสดงให้เห็นว่า การรู้สูตรตรีโกณมิติง่ายๆ เพียงห้าสูตรก็เพียงพอแล้ว และมีความเข้าใจทั่วไปเกี่ยวกับส่วนที่เหลือและหาค่ามาได้เรื่อยๆ มันเหมือนกับ DNA: โมเลกุลไม่ได้เก็บพิมพ์เขียวที่สมบูรณ์ของสิ่งมีชีวิตที่เสร็จสมบูรณ์แล้ว แต่มีคำแนะนำในการประกอบจากกรดอะมิโนที่มีอยู่ ดังนั้นในวิชาตรีโกณมิติ เมื่อทราบหลักการทั่วไปบางประการ เราจะได้สูตรที่จำเป็นทั้งหมดจากสูตรชุดเล็กๆ ที่ต้องคำนึงถึง
เราจะอาศัยสูตรต่อไปนี้:
จากสูตรสำหรับผลบวกของไซน์และโคไซน์ เมื่อทราบความเท่าเทียมกันของฟังก์ชันโคไซน์และความคี่ของฟังก์ชันไซน์ โดยแทนที่ -b แทน b เราจะได้สูตรสำหรับความแตกต่าง:
- ไซน์ของความแตกต่าง: บาป(ก-ข) = บาปกเพราะ(-ข)+เพราะกบาป(-ข) = บาปกเพราะข-เพราะกบาปข
- โคไซน์ของผลต่าง: เพราะ(ก-ข) = เพราะกเพราะ(-ข)-บาปกบาป(-ข) = เพราะกเพราะข+บาปกบาปข
เมื่อใส่ a = b ลงในสูตรเดียวกัน เราจะได้สูตรสำหรับไซน์และโคไซน์ของมุมคู่:
- ไซน์ของมุมคู่: บาป2ก = บาป(ก+ก) = บาปกเพราะก+เพราะกบาปก = 2บาปกเพราะก
- โคไซน์ของมุมคู่: เพราะ2ก = เพราะ(ก+ก) = เพราะกเพราะก-บาปกบาปก = เพราะ2 ก-บาป2 ก
สูตรสำหรับหลายมุมอื่นๆ จะได้มาในทำนองเดียวกัน:
- ไซน์ของมุมสามมุม: บาป3ก = บาป(2a+ก) = บาป2กเพราะก+เพราะ2กบาปก = (2บาปกเพราะก)เพราะก+(เพราะ2 ก-บาป2 ก)บาปก = 2บาปกเพราะ2 ก+บาปกเพราะ2 ก-บาป 3 ก = 3 บาปกเพราะ2 ก-บาป 3 ก = 3 บาปก(1-บาป2 ก)-บาป 3 ก = 3 บาปก-4บาป 3ก
- โคไซน์ของมุมสามมุม: เพราะ3ก = เพราะ(2a+ก) = เพราะ2กเพราะก-บาป2กบาปก = (เพราะ2 ก-บาป2 ก)เพราะก-(2บาปกเพราะก)บาปก = เพราะ 3 ก- บาป2 กเพราะก-2บาป2 กเพราะก = เพราะ 3 เอ-3 บาป2 กเพราะก = เพราะ 3 a-3(1- เพราะ2 ก)เพราะก = 4เพราะ 3 เอ-3 เพราะก
ก่อนที่จะไปต่อ เรามาดูปัญหาหนึ่งกันก่อน
ให้ไว้: มุมเป็นแบบเฉียบพลัน
ค้นหาโคไซน์ของมันถ้า
วิธีแก้ปัญหาที่ได้รับจากนักเรียนคนหนึ่ง:
เพราะ , ที่ บาปก= 3,ก เพราะก = 4.
(จากอารมณ์ขันคณิต)
ดังนั้น คำจำกัดความของแทนเจนต์จึงเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันนี้กับทั้งไซน์และโคไซน์ แต่คุณจะได้สูตรที่เกี่ยวข้องกับแทนเจนต์กับโคไซน์เท่านั้น เพื่อให้ได้มา เราใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติหลัก: บาป 2 ก+เพราะ 2 ก= 1 แล้วหารด้วย เพราะ 2 ก- เราได้รับ:
ดังนั้นวิธีแก้ปัญหานี้จะเป็นดังนี้:
(เนื่องจากมุมแหลมเมื่อแยกรากออกจะมีเครื่องหมาย +)
สูตรแทนเจนต์ของผลรวมเป็นอีกสูตรหนึ่งที่จำยาก ลองส่งออกแบบนี้:
ปรากฏทันทีและ
จากสูตรโคไซน์สำหรับมุมสองมุม คุณสามารถได้สูตรไซน์และโคไซน์สำหรับครึ่งมุม เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ทาทางด้านซ้ายของสูตรโคไซน์มุมคู่:
เพราะ2
ก = เพราะ 2
ก-บาป 2
ก
เราเพิ่มหนึ่งหน่วยและทางด้านขวา - หน่วยตรีโกณมิติเช่น ผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์
เพราะ2ก+1 = เพราะ2 ก-บาป2 ก+เพราะ2 ก+บาป2 ก
2เพราะ 2
ก = เพราะ2
ก+1
กำลังแสดงออก เพราะกผ่าน เพราะ2
กและทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปรเราจะได้:
เครื่องหมายจะถูกยึดขึ้นอยู่กับจตุภาค
ในทำนองเดียวกัน ลบหนึ่งจากด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันและผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์จากทางขวา เราจะได้:
เพราะ2ก-1 = เพราะ2 ก-บาป2 ก-เพราะ2 ก-บาป2 ก
2บาป 2
ก = 1-เพราะ2
ก
และสุดท้าย ในการแปลงผลรวมของฟังก์ชันตรีโกณมิติให้เป็นผลคูณ เราใช้เทคนิคต่อไปนี้ สมมติว่าเราจำเป็นต้องแสดงผลรวมของไซน์เป็นผลิตภัณฑ์ บาปก+บาปข- เรามาแนะนำตัวแปร x และ y โดยที่ a = x+y, b+x-y แล้ว
บาปก+บาปข = บาป(x+y)+ บาป(x-y) = บาป x เพราะย+ เพราะ x บาปย+ บาป x เพราะย- เพราะ x บาปย=2 บาป x เพราะย. ตอนนี้ให้เราเขียน x และ y ในรูปของ a และ b
เนื่องจาก a = x+y, b = x-y ดังนั้น นั่นเป็นเหตุผล
คุณสามารถถอนเงินได้ทันที
- สูตรการแบ่งพาร์ติชัน ผลคูณของไซน์และโคไซน์วี จำนวน: บาปกเพราะข = 0.5(บาป(ก+ข)+บาป(ก-ข))
เราขอแนะนำให้คุณฝึกฝนและรับสูตรด้วยตัวเองเพื่อแปลงผลต่างของไซน์และผลรวมและผลต่างของโคไซน์ให้เป็นผลคูณ รวมทั้งแบ่งผลคูณของไซน์และโคไซน์เป็นผลบวกด้วย เมื่อทำแบบฝึกหัดเหล่านี้เสร็จแล้ว คุณจะเชี่ยวชาญทักษะการหาสูตรตรีโกณมิติอย่างละเอียดและจะไม่หลงทางแม้แต่ในการทดสอบโอลิมปิกหรือการทดสอบที่ยากที่สุด