ปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยม: สูตรทั่วไปและสูตรปริซึมปกติ ปริมาณปริซึม – ไฮเปอร์มาร์เก็ตแห่งความรู้

เด็กนักเรียนที่กำลังเตรียมสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ควรเรียนรู้วิธีการแก้ปัญหาการหาพื้นที่ของปริซึมตรงและสม่ำเสมออย่างแน่นอน การฝึกฝนหลายปียืนยันความจริงที่ว่านักเรียนหลายคนคิดว่างานเรขาคณิตดังกล่าวค่อนข้างยาก

ในเวลาเดียวกัน นักเรียนมัธยมปลายที่มีระดับการฝึกอบรมใดๆ ควรจะสามารถหาพื้นที่และปริมาตรของปริซึมปกติและปริซึมตรงได้ ในกรณีนี้เท่านั้นที่พวกเขาจะสามารถนับคะแนนการแข่งขันโดยพิจารณาจากผลการผ่านการสอบ Unified State

ประเด็นสำคัญที่ต้องจำ

• ถ้าขอบด้านข้างของปริซึมตั้งฉากกับฐาน เรียกว่าเส้นตรง ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดของรูปนี้เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ความสูงของปริซึมตรงตรงกับขอบของมัน
• ปริซึมธรรมดาคือปริซึมที่ขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐานซึ่งมีรูปหลายเหลี่ยมปกติอยู่ ใบหน้าด้านข้างของรูปนี้เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากัน ปริซึมที่ถูกต้องจะต้องตรงเสมอ

การเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State ร่วมกับ Shkolkovo เป็นกุญแจสู่ความสำเร็จของคุณ!

เพื่อให้ชั้นเรียนของคุณง่ายและมีประสิทธิภาพที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ให้เลือกพอร์ทัลคณิตศาสตร์ของเรา ที่นี่คุณจะพบเอกสารที่จำเป็นทั้งหมดที่จะช่วยคุณเตรียมความพร้อมสำหรับการผ่านการทดสอบการรับรอง

ผู้เชี่ยวชาญของโครงการการศึกษา Shkolkovo เสนอให้เปลี่ยนจากง่ายไปสู่ซับซ้อน: อันดับแรกเราจะให้ทฤษฎี สูตรพื้นฐาน ทฤษฎีบทและปัญหาเบื้องต้นพร้อมวิธีแก้ไข จากนั้นค่อย ๆ ไปสู่งานระดับผู้เชี่ยวชาญ

ข้อมูลพื้นฐานมีการจัดระบบและนำเสนออย่างชัดเจนในหัวข้อ “ข้อมูลเชิงทฤษฎี” หากคุณสามารถทำซ้ำเนื้อหาที่จำเป็นได้แล้ว เราขอแนะนำให้คุณฝึกการแก้ปัญหาในการหาพื้นที่และปริมาตรของปริซึมที่ถูกต้อง ส่วน "แคตตาล็อก" นำเสนอแบบฝึกหัดที่มีระดับความยากต่างกันให้เลือกมากมาย

ลองคำนวณพื้นที่ของปริซึมตรงและปริซึมหรือตอนนี้ดู วิเคราะห์งานใด ๆ หากไม่ก่อให้เกิดปัญหาใด ๆ คุณสามารถไปยังแบบฝึกหัดระดับผู้เชี่ยวชาญได้อย่างปลอดภัย และหากมีปัญหาเกิดขึ้น เราขอแนะนำให้คุณเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State ออนไลน์ร่วมกับพอร์ทัลทางคณิตศาสตร์ Shkolkovo เป็นประจำ และงานในหัวข้อ "ปริซึมตรงและปกติ" จะเป็นเรื่องง่ายสำหรับคุณ

ในหลักสูตรของโรงเรียนสำหรับหลักสูตร Stereometry การศึกษาตัวเลขสามมิติมักจะเริ่มต้นด้วยรูปทรงเรขาคณิตที่เรียบง่าย - รูปทรงหลายเหลี่ยมของปริซึม บทบาทของฐานนั้นแสดงโดยรูปหลายเหลี่ยม 2 รูปเท่ากันซึ่งอยู่ในระนาบขนานกัน กรณีพิเศษคือปริซึมทรงสี่เหลี่ยมปกติ ฐานของมันคือสี่เหลี่ยมจัตุรัสปกติ 2 อันที่เหมือนกัน โดยด้านข้างตั้งฉากกัน โดยมีรูปร่างเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน (หรือสี่เหลี่ยม ถ้าปริซึมไม่เอียง)

ปริซึมมีลักษณะอย่างไร?

ปริซึมรูปสี่เหลี่ยมปกติเป็นรูปหกเหลี่ยม โดยมีฐานเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส 2 อัน และด้านด้านข้างแสดงด้วยสี่เหลี่ยมมุมฉาก อีกชื่อหนึ่งของรูปทรงเรขาคณิตนี้คือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานตรง

ภาพวาดที่แสดงปริซึมสี่เหลี่ยมแสดงอยู่ด้านล่าง

คุณยังสามารถเห็นในภาพ องค์ประกอบที่สำคัญที่สุดที่ประกอบเป็นรูปทรงเรขาคณิต- ซึ่งรวมถึง:

บางครั้งในปัญหาทางเรขาคณิต คุณอาจเจอแนวคิดของส่วนต่างๆ ได้ คำจำกัดความจะมีลักษณะดังนี้: ส่วนคือจุดทั้งหมดของปริมาตรที่อยู่ในระนาบการตัด ส่วนสามารถตั้งฉากได้ (ตัดขอบของรูปภาพที่มุม 90 องศา) สำหรับปริซึมสี่เหลี่ยม จะพิจารณาส่วนทแยงด้วย (จำนวนส่วนสูงสุดที่สามารถสร้างได้คือ 2) ผ่าน 2 ขอบและเส้นทแยงมุมของฐาน

ถ้าส่วนถูกวาดในลักษณะที่ระนาบการตัดไม่ขนานกับฐานหรือหน้าด้านข้าง ผลลัพธ์ที่ได้คือปริซึมที่ถูกตัดทอน

ในการค้นหาองค์ประกอบปริซึมที่ลดลง จะใช้ความสัมพันธ์และสูตรต่างๆ บางส่วนเป็นที่รู้จักจากหลักสูตร planimetry (ตัวอย่างเช่นหากต้องการหาพื้นที่ฐานของปริซึมก็เพียงพอที่จะจำสูตรสำหรับพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสได้)

พื้นที่ผิวและปริมาตร

ในการกำหนดปริมาตรของปริซึมโดยใช้สูตร คุณจำเป็นต้องทราบพื้นที่ของฐานและความสูงของมัน:

V = สบาส ช

เนื่องจากฐานของปริซึมทรงสี่หน้าปกติเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านข้าง ก,คุณสามารถเขียนสูตรในรูปแบบรายละเอียดเพิ่มเติมได้:

วี = a²·ชม

หากเรากำลังพูดถึงลูกบาศก์ - ปริซึมปกติที่มีความยาว ความกว้าง และความสูงเท่ากัน ปริมาตรจะถูกคำนวณดังนี้:

เพื่อให้เข้าใจวิธีการหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึมคุณต้องจินตนาการถึงการพัฒนาของมัน

จากรูปวาดจะเห็นว่าพื้นผิวด้านข้างประกอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัส 4 รูปที่มีขนาดเท่ากัน พื้นที่ของมันถูกคำนวณเป็นผลคูณของเส้นรอบวงของฐานและความสูงของรูป:

Sside = ตำแหน่ง h

โดยคำนึงว่าเส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีค่าเท่ากับ พ = 4ก,สูตรจะอยู่ในรูปแบบ:

ไซด์ = 4ah

สำหรับลูกบาศก์:

ด้าน = 4a²

ในการคำนวณพื้นที่ผิวรวมของปริซึม คุณต้องเพิ่มพื้นที่ฐาน 2 แห่งให้กับพื้นที่ด้านข้าง:

Sfull = Sside + 2Smain

เมื่อสัมพันธ์กับปริซึมปกติรูปสี่เหลี่ยม สูตรจะมีลักษณะดังนี้:

รวม = 4ah + 2a²

สำหรับพื้นที่ผิวของลูกบาศก์:

เต็ม = 6a²

เมื่อรู้ปริมาตรหรือพื้นที่ผิวแล้ว คุณสามารถคำนวณองค์ประกอบแต่ละส่วนของตัวเรขาคณิตได้

การค้นหาองค์ประกอบของปริซึม

บ่อยครั้งที่มีปัญหาในการให้ปริมาตรหรือทราบค่าของพื้นที่ผิวด้านข้างซึ่งจำเป็นต้องกำหนดความยาวของด้านข้างของฐานหรือความสูง ในกรณีเช่นนี้ สามารถหาสูตรได้:

• ความยาวด้านฐาน: a = ด้าน / 4h = √(V / h);
• ความสูงหรือความยาวซี่โครงด้านข้าง: h = ด้าน / 4a = V / a²;
• พื้นที่ฐาน: Sbas = V / ชม.;
• บริเวณใบหน้าด้านข้าง: ด้านข้าง gr = ด้าน / 4.

หากต้องการทราบว่าส่วนทแยงมีพื้นที่เท่าใด คุณจำเป็นต้องทราบความยาวของเส้นทแยงมุมและความสูงของรูป สำหรับสี่เหลี่ยมจัตุรัส ง = a√2ดังนั้น:

ซเดียก = ah√2

ในการคำนวณเส้นทแยงมุมของปริซึม ให้ใช้สูตร:

รางวัล = √(2a² + h²)

เพื่อให้เข้าใจถึงวิธีใช้ความสัมพันธ์ที่กำหนด คุณสามารถฝึกฝนและแก้ไขงานง่ายๆ หลายๆ งานได้

ตัวอย่างปัญหาพร้อมวิธีแก้ไข

ต่อไปนี้เป็นงานบางส่วนที่พบในการสอบปลายภาควิชาคณิตศาสตร์

แบบฝึกหัดที่ 1

เททรายลงในกล่องที่มีรูปร่างคล้ายปริซึมสี่เหลี่ยมทั่วไป ความสูงของระดับคือ 10 ซม. ระดับทรายจะเป็นอย่างไรหากคุณย้ายมันไปไว้ในภาชนะที่มีรูปร่างเหมือนกัน แต่มีฐานยาวเป็นสองเท่า?

ควรให้เหตุผลดังนี้ ปริมาณทรายในภาชนะที่หนึ่งและที่สองไม่เปลี่ยนแปลงนั่นคือ ปริมาตรในนั้นเท่าเดิม คุณสามารถระบุความยาวของฐานได้โดย ก- ในกรณีนี้ สำหรับกล่องแรก ปริมาตรของสารจะเป็น:

V₁ = ฮ่า² = 10a²

กล่องที่ 2 ความยาวของฐานคือ 2กแต่ไม่ทราบความสูงของระดับทราย:

V₂ = ชั่วโมง (2a)² = 4ha²

เพราะว่า วี₁ = วี₂เราสามารถเทียบนิพจน์ได้:

10a² = 4ha²

หลังจากลดสมการทั้งสองข้างลง a² เราจะได้:

ส่งผลให้ระดับทรายใหม่จะเป็น ชั่วโมง = 10/4 = 2.5ซม.

ภารกิจที่ 2

ABCDA₁B₁C₁D₁ เป็นปริซึมที่ถูกต้อง เป็นที่รู้กันว่า BD = AB₁ = 6√2 หาพื้นที่ผิวทั้งหมดของร่างกาย

เพื่อให้เข้าใจได้ง่ายขึ้นว่าองค์ประกอบใดที่ทราบ คุณสามารถวาดรูปได้

เนื่องจากเรากำลังพูดถึงปริซึมปกติ เราสามารถสรุปได้ว่าที่ฐานจะมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีเส้นทแยงมุม 6√2 เส้นทแยงมุมของหน้าด้านข้างมีขนาดเท่ากัน ดังนั้น หน้าด้านข้างจึงมีรูปทรงสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับฐาน ปรากฎว่าสามมิติทั้งความยาว ความกว้าง และความสูง เท่ากัน เราสามารถสรุปได้ว่า ABCDA₁B₁C₁D₁ เป็นลูกบาศก์

ความยาวของขอบใดๆ จะถูกกำหนดโดยเส้นทแยงมุมที่ทราบ:

ก = ง / √2 = 6√2 / √2 = 6

พื้นที่ผิวทั้งหมดหาได้จากสูตรของลูกบาศก์:

เต็ม = 6a² = 6 6² = 216

ภารกิจที่ 3

ห้องกำลังอยู่ในระหว่างการปรับปรุง เป็นที่ทราบกันว่าพื้นมีลักษณะเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีพื้นที่ 9 ตร.ม. ความสูงของห้องคือ 2.5 ม. ราคาต่ำสุดในการติดวอลเปเปอร์คือเท่าไรถ้า 1 ตารางเมตรราคา 50 รูเบิล?

เนื่องจากพื้นและเพดานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เช่น รูปสี่เหลี่ยมปกติ และผนังตั้งฉากกับพื้นผิวแนวนอน เราจึงสรุปได้ว่านี่คือปริซึมปกติ จำเป็นต้องกำหนดพื้นที่พื้นผิวด้านข้าง

ความยาวของห้องคือ ก = √9 = 3ม.

พื้นที่จะปูด้วยวอลเปเปอร์ ด้านข้าง = 4 3 2.5 = 30 ตร.ม.

วอลเปเปอร์ราคาต่ำสุดสำหรับห้องนี้คือ 50·30 = 1500รูเบิล

ดังนั้น ในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับปริซึมสี่เหลี่ยมนั้น ก็เพียงพอแล้วที่จะสามารถคำนวณพื้นที่และเส้นรอบวงของสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้ รวมทั้งรู้สูตรในการหาปริมาตรและพื้นที่ผิวด้วย

วิธีหาพื้นที่ของลูกบาศก์

ปริซึมโดยตรง พื้นผิวและปริมาตรของปริซึมโดยตรง

§ 68. ปริมาณของปริซึมโดยตรง

1. ปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉาก

สมมติว่าเราต้องค้นหาปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉาก พื้นที่ฐานเท่ากับ S และความสูงเท่ากับ ชม.= AA" = = BB" = SS" (รูปวาด 306)

ให้เราวาดฐานของปริซึมแยกกัน เช่น สามเหลี่ยม ABC (รูปที่ 307, a) และสร้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งเราวาดเส้นตรง KM ผ่านจุดยอด B || AC และจากจุด A และ C เราลด AF และ CE ตั้งฉากลงในบรรทัดนี้ เราได้สี่เหลี่ยม ACEF เมื่อวาดส่วนสูง ВD ของสามเหลี่ยม ABC เราจะเห็นว่าสี่เหลี่ยม ACEF แบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก 4 รูป นอกจากนี้ /\ ทั้งหมด = /\ บีซีดีและ /\ วีเอเอฟ = /\ ภาษีมูลค่าเพิ่ม ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า ACEF นั้นเป็นสองเท่าของพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC นั่นคือ เท่ากับ 2S

สำหรับปริซึมที่มีฐาน ABC เราจะติดปริซึมที่มีฐาน ALL และ BAF และความสูง ชม.(รูปที่ 307 ข) เราได้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกับฐาน
เอซีเอฟ.

หากเราผ่ารูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้โดยมีระนาบผ่านเส้นตรง BD และ BB" เราจะเห็นว่าสี่เหลี่ยมด้านขนานประกอบด้วยปริซึม 4 อันพร้อมฐาน
BCD, ทั้งหมด, BAD และ BAF

ปริซึมที่มีฐาน BCD และ VSE สามารถนำมารวมกันได้ เนื่องจากฐานเท่ากัน ( /\ วซีดี = /\ BSE) และขอบด้านข้างก็เท่ากัน ซึ่งตั้งฉากกับระนาบเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าปริมาตรของปริซึมเหล่านี้เท่ากัน ปริมาตรของปริซึมที่มีฐาน BAD และ BAF ก็เท่ากัน

ดังนั้นปรากฎว่าปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมที่กำหนดมีฐาน
ABC คือครึ่งหนึ่งของปริมาตรของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีฐาน ACEF

เรารู้ว่าปริมาตรของสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นเท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูงของมันนั่นคือ ในกรณีนี้จะเท่ากับ 2S ชม.- ดังนั้น ปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉากนี้จึงเท่ากับ S ชม..

ปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูงของมัน

2. ปริมาตรของปริซึมเหลี่ยมมุมฉาก

การหาปริมาตรของปริซึมตรงรูปหลายเหลี่ยม เช่น ปริซึมห้าเหลี่ยม โดยมีพื้นที่ฐาน S และความสูง ชม.ลองแบ่งออกเป็นปริซึมสามเหลี่ยม (รูปที่ 308)

แทนพื้นที่ฐานของปริซึมสามเหลี่ยมด้วย S 1, S 2 และ S 3 และปริมาตรของปริซึมรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนดด้วย V เราได้รับ:

วี = ส 1 ชม.+ ส 2 ชม.+ ส 3 ชม., หรือ
วี = (ส 1 + ส 2 + ส 3) ชม..

และสุดท้าย: V = S ชม..

ในทำนองเดียวกัน จะได้สูตรสำหรับปริมาตรของปริซึมตรงที่มีรูปหลายเหลี่ยมอยู่ที่ฐาน

วิธี, ปริมาตรของปริซึมขวาใด ๆ เท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูงของมัน

การออกกำลังกาย.

1. คำนวณปริมาตรของปริซึมตรงที่มีรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ฐานโดยใช้ข้อมูลต่อไปนี้:

2. คำนวณปริมาตรของปริซึมตรงที่มีสามเหลี่ยมอยู่ที่ฐานโดยใช้ข้อมูลต่อไปนี้

3. คำนวณปริมาตรของปริซึมตรงที่มีฐานเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า โดยมีด้านยาว 12 ซม. (32 ซม., 40 ซม.) ปริซึมสูง 60 ซม.

4. คำนวณปริมาตรของปริซึมตรงที่มีฐานเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยมีขายาว 12 ซม. และ 8 ซม. (16 ซม. และ 7 ซม.; 9 ม. และ 6 ม.) ความสูงของปริซึมคือ 0.3 ม.

5. คำนวณปริมาตรของปริซึมตรงที่มีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูด้านยาว 18 ซม. และ 14 ซม. และสูง 7.5 ซม. ความสูงของปริซึมคือ 40 ซม.

6. คำนวณปริมาตรของห้องเรียนของคุณ (หอพลศึกษา, ห้องของคุณ)

7. พื้นผิวทั้งหมดของลูกบาศก์คือ 150 ซม. 2 (294 ซม. 2, 864 ซม. 2) คำนวณปริมาตรของลูกบาศก์นี้

8. ความยาวของอิฐอาคารคือ 25.0 ซม. ความกว้าง 12.0 ซม. ความหนา 6.5 ซม. ก) คำนวณปริมาตร b) กำหนดน้ำหนักถ้าอิฐ 1 ลูกบาศก์เซนติเมตรหนัก 1.6 กรัม

9. ต้องใช้อิฐอาคารจำนวนกี่ก้อนในการสร้างกำแพงอิฐทึบเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานยาว 12 ม. กว้าง 0.6 ม. สูง 10 ม. (ขนาดอิฐจากแบบฝึกหัดที่ 8)

10. ความยาวของกระดานที่ตัดเรียบร้อยคือ 4.5 ม. กว้าง 35 ซม. ความหนา 6 ซม. ก) คำนวณปริมาตร b) กำหนดน้ำหนักหากกระดานลูกบาศก์เดซิเมตรมีน้ำหนัก 0.6 กก.

11. หญ้าแห้งสามารถวางซ้อนกันได้กี่ตันในชั้นหญ้าแห้งที่คลุมด้วยหลังคาหน้าจั่ว (รูปที่ 309) ถ้าความยาวของหญ้าแห้งคือ 12 ม. กว้าง 8 ม. สูง 3.5 ม. และความสูงของหญ้าแห้งคือ 12 ม. สันหลังคาสูง 1.5 ม.? (ใช้ความถ่วงจำเพาะของหญ้าแห้งเป็น 0.2)

12. ต้องขุดคูน้ำยาว 0.8 กม. ในส่วนของคูน้ำควรมีรูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีฐาน 0.9 ม. และ 0.4 ม. และความลึกของคูน้ำควรอยู่ที่ 0.5 ม. (รูปวาด 310) จะต้องกำจัดดินออกไปกี่ลูกบาศก์เมตร?

สมมติว่าเราต้องค้นหาปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉาก พื้นที่ฐานเท่ากับ S และความสูงเท่ากับ ชม.= AA' = BB' = CC' (รูปที่ 306)

ให้เราวาดฐานของปริซึมแยกกัน เช่น สามเหลี่ยม ABC (รูปที่ 307, a) และสร้างมันขึ้นมาเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งเราวาดเส้นตรง KM ผ่านจุดยอด B || AC และจากจุด A และ C เราลด AF และ CE ตั้งฉากลงในบรรทัดนี้ เราได้สี่เหลี่ยม ACEF เมื่อวาดส่วนสูง ВD ของสามเหลี่ยม ABC เราจะเห็นว่าสี่เหลี่ยม ACEF แบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก 4 รูป ยิ่งไปกว่านั้น \(\Delta\)ALL = \(\Delta\)BCD และ \(\Delta\)BAF = \(\Delta\)BAD ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า ACEF นั้นเป็นสองเท่าของพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC นั่นคือ เท่ากับ 2S

สำหรับปริซึมที่มีฐาน ABC เราจะติดปริซึมที่มีฐาน ALL และ BAF และความสูง ชม.(รูปที่ 307, b). เราได้สี่เหลี่ยมขนานที่มีฐาน ACEF

หากเราผ่ารูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้โดยมีระนาบที่ลากผ่านเส้นตรง BD และ BB’ เราจะเห็นว่าสี่เหลี่ยมด้านขนานประกอบด้วยปริซึม 4 อันที่มีฐาน BCD, ALL, BAD และ BAF

ปริซึมที่มีฐาน BCD และ BC สามารถนำมารวมกันได้ เนื่องจากฐานของปริซึมเท่ากัน (\(\Delta\)BCD = \(\Delta\)BCE) และขอบด้านข้างซึ่งตั้งฉากกับระนาบเดียวกันก็จะเท่ากันเช่นกัน ซึ่งหมายความว่าปริมาตรของปริซึมเหล่านี้เท่ากัน ปริมาตรของปริซึมที่มีฐาน BAD และ BAF ก็เท่ากัน

ดังนั้น ปรากฎว่าปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมที่กำหนดซึ่งมีฐาน ABC เท่ากับครึ่งหนึ่งของปริมาตรของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนานกับฐาน ACEF

เรารู้ว่าปริมาตรของสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นเท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูงของมันนั่นคือ ในกรณีนี้จะเท่ากับ 2S ชม.- ดังนั้น ปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉากนี้จึงเท่ากับ S ชม..

ปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูงของมัน

2. ปริมาตรของปริซึมเหลี่ยมมุมฉาก

การหาปริมาตรของปริซึมตรงรูปหลายเหลี่ยม เช่น ปริซึมห้าเหลี่ยม โดยมีพื้นที่ฐาน S และความสูง ชม.ลองแบ่งออกเป็นปริซึมสามเหลี่ยม (รูปที่ 308)

แทนพื้นที่ฐานของปริซึมสามเหลี่ยมด้วย S 1, S 2 และ S 3 และปริมาตรของปริซึมรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนดด้วย V เราได้รับ:

วี = ส 1 ชม.+ ส 2 ชม.+ ส 3 ชม., หรือ

วี = (ส 1 + ส 2 + ส 3) ชม..

และสุดท้าย: V = S ชม..

ในทำนองเดียวกัน จะได้สูตรสำหรับปริมาตรของปริซึมตรงที่มีรูปหลายเหลี่ยมอยู่ที่ฐาน

วิธี, ปริมาตรของปริซึมขวาใด ๆ เท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูงของมัน

ปริมาตรปริซึม

ทฤษฎีบท. ปริมาตรของปริซึมเท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูง

ก่อนอื่น เราพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้สำหรับปริซึมสามเหลี่ยม จากนั้นจึงพิสูจน์ทฤษฎีบทรูปหลายเหลี่ยม

1) ให้เราวาด (รูปที่ 95) ผ่านขอบ AA 1 ของปริซึมสามเหลี่ยม ABCA 1 B 1 C 1 ระนาบขนานกับใบหน้า BB 1 C 1 C และผ่านขอบ CC 1 - ระนาบขนานกับใบหน้า เอเอ 1 บี 1 บี; จากนั้นเราจะทำระนาบของฐานทั้งสองของปริซึมต่อไปจนกว่ามันจะตัดกับระนาบที่วาดไว้

จากนั้นเราจะได้ BD 1 ที่ขนานกัน ซึ่งหารด้วยระนาบแนวทแยง AA 1 C 1 C ออกเป็นปริซึมสามเหลี่ยมสองอัน (หนึ่งในนั้นคืออันนี้) ขอให้เราพิสูจน์ว่าปริซึมเหล่านี้มีขนาดเท่ากัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้วาดส่วนตั้งฉาก เอบีซีดี- หน้าตัดจะสร้างสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งมีเส้นทแยงมุม เครื่องปรับอากาศแบ่งออกเป็นสองรูปสามเหลี่ยมเท่าๆ กัน ปริซึมนี้มีขนาดเท่ากับปริซึมตรงที่มีฐานเป็น \(\Delta\) เอบีซีและความสูงคือขอบ AA 1 ปริซึมสามเหลี่ยมอีกอันหนึ่งมีพื้นที่เท่ากันกับเส้นตรงซึ่งมีฐานเป็น \(\Delta\) โฆษณาและความสูงคือขอบ AA 1 แต่ปริซึมตรงสองอันที่มีฐานเท่ากันและความสูงเท่ากันจะเท่ากัน (เพราะเมื่อใส่เข้าไปจะรวมกัน) ซึ่งหมายความว่าปริซึม ABCA 1 B 1 C 1 และ ADCA 1 D 1 C 1 มีขนาดเท่ากัน จากนี้ไปปริมาตรของปริซึมนี้คือครึ่งหนึ่งของปริมาตรของ BD 1 ที่ขนานกัน ดังนั้น เมื่อแทนความสูงของปริซึมด้วย H เราจะได้:

$$ V_(\เดลต้า เช่น) = \frac(S_(ABCD)\cdot H)(2) = \frac(S_(ABCD))(2)\cdot H = S_(ABC)\cdot H $$

2) ให้เราวาดระนาบแนวทแยง AA 1 C 1 C และ AA 1 D 1 D ผ่านขอบ AA 1 ของปริซึมเหลี่ยม (รูปที่ 96)

จากนั้นปริซึมนี้จะถูกตัดออกเป็นปริซึมสามเหลี่ยมหลายๆ อัน ผลรวมของปริมาตรของปริซึมเหล่านี้ประกอบเป็นปริมาตรที่ต้องการ ถ้าเราแสดงพื้นที่ฐานของพวกเขาด้วย ข 1 , ข 2 , ข 3 และความสูงรวมจนถึง H เราได้:

ปริมาตรของปริซึมเหลี่ยม = ข 1H+ ข 2H+ ข 3 ชั่วโมง =( ข 1 + ข 2 + ข 3) ฮ =

= (พื้นที่ ABCDE) ฮ.

ผลที่ตามมา ถ้า V, B และ H เป็นตัวเลขที่แสดงปริมาตร พื้นที่ฐาน และความสูงของปริซึมในหน่วยที่สอดคล้องกัน จากนั้น ตามที่พิสูจน์แล้ว เราสามารถเขียนได้:

วัสดุอื่นๆ

ปริซึมที่แตกต่างกันจะแตกต่างกัน ในขณะเดียวกันก็มีอะไรที่เหมือนกันหลายอย่าง หากต้องการหาพื้นที่ฐานของปริซึมคุณจะต้องเข้าใจว่าปริซึมนั้นมีประเภทใด

ทฤษฎีทั่วไป

ปริซึมคือรูปทรงหลายเหลี่ยมใดๆ ที่ด้านข้างมีรูปร่างเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ยิ่งไปกว่านั้นฐานของมันสามารถเป็นรูปหลายเหลี่ยมใดก็ได้ตั้งแต่รูปสามเหลี่ยมไปจนถึงรูป n-gon นอกจากนี้ฐานของปริซึมจะเท่ากันเสมอ สิ่งที่ใช้ไม่ได้กับใบหน้าด้านข้างคือขนาดอาจแตกต่างกันอย่างมาก

เมื่อแก้ไขปัญหาไม่เพียงแต่จะพบพื้นที่ฐานของปริซึมเท่านั้น อาจต้องอาศัยความรู้พื้นผิวด้านข้าง กล่าวคือ ใบหน้าทั้งหมดที่ไม่ใช่ฐาน พื้นผิวที่สมบูรณ์จะเป็นการรวมกันของใบหน้าทั้งหมดที่ประกอบกันเป็นปริซึม

บางครั้งปัญหาก็เกี่ยวข้องกับความสูง มันตั้งฉากกับฐาน เส้นทแยงมุมของรูปทรงหลายเหลี่ยมคือส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดสองจุดใดๆ ที่ไม่อยู่ในหน้าเดียวกันเป็นคู่

ควรสังเกตว่าพื้นที่ฐานของปริซึมตรงหรือเอียงไม่ได้ขึ้นอยู่กับมุมระหว่างปริซึมกับใบหน้าด้านข้าง หากพวกมันมีรูปร่างเหมือนกันทั้งด้านบนและด้านล่าง พื้นที่ของพวกมันก็จะเท่ากัน

ปริซึมสามเหลี่ยม

ที่ฐานจะมีจุดยอดสามจุดคือรูปสามเหลี่ยม อย่างที่คุณทราบมันอาจจะแตกต่างออกไป ถ้าเป็นเช่นนั้น ก็เพียงพอที่จะจำไว้ว่าพื้นที่ของมันถูกกำหนดโดยครึ่งหนึ่งของผลคูณของขา

สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์มีลักษณะดังนี้: S = ½ av

หากต้องการทราบพื้นที่ของฐานโดยทั่วไปสูตรจะมีประโยชน์: นกกระสาและสูตรที่ความสูงที่ดึงลงไปครึ่งหนึ่งของด้านข้าง

ควรเขียนสูตรแรกดังนี้: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)) สัญกรณ์นี้ประกอบด้วยกึ่งเส้นรอบรูป (p) นั่นคือผลรวมของด้านทั้งสามหารด้วยสอง

ประการที่สอง: S = ½ n a * a

หากคุณต้องการหาพื้นที่ฐานของปริซึมสามเหลี่ยมซึ่งเป็นปริซึมสม่ำเสมอ สามเหลี่ยมนั้นจะกลายเป็นด้านเท่ากันหมด มีสูตรดังนี้: S = ¼ a 2 * √3

ปริซึมสี่เหลี่ยม

ฐานของมันคือจตุรัสใดๆ ที่รู้จัก อาจเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือสี่เหลี่ยมจัตุรัส สี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนก็ได้ ในแต่ละกรณีในการคำนวณพื้นที่ฐานของปริซึม คุณจะต้องมีสูตรของคุณเอง

หากฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า พื้นที่จะถูกกำหนดดังนี้ S = ab โดยที่ a, b คือด้านของสี่เหลี่ยม

เมื่อพูดถึงปริซึมสี่เหลี่ยม พื้นที่ฐานของปริซึมปกติจะคำนวณโดยใช้สูตรสี่เหลี่ยมจัตุรัส เพราะเขาคือผู้ที่นอนอยู่ที่รากฐาน ส = ก 2

ในกรณีที่ฐานเป็นรูปขนาน จะต้องมีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: S = a * n a มันเกิดขึ้นที่ด้านของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานและมุมใดมุมหนึ่งได้รับมา จากนั้น ในการคำนวณความสูง คุณจะต้องใช้สูตรเพิ่มเติม: n a = b * sin A ยิ่งไปกว่านั้น มุม A อยู่ติดกับด้าน “b” และความสูง n อยู่ตรงข้ามกับมุมนี้

หากมีรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนอยู่ที่ฐานของปริซึม คุณจะต้องใช้สูตรเดียวกันกับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานในการกำหนดพื้นที่ (เนื่องจากเป็นกรณีพิเศษ) แต่คุณสามารถใช้สิ่งนี้ได้: S = ½ d 1 d 2 โดยที่ d 1 และ d 2 คือเส้นทแยงมุมสองเส้นของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

ปริซึมห้าเหลี่ยมปกติ

กรณีนี้เกี่ยวข้องกับการแบ่งรูปหลายเหลี่ยมออกเป็นรูปสามเหลี่ยม ซึ่งจะหาพื้นที่ได้ง่ายกว่า แม้ว่ามันจะเกิดขึ้นที่ตัวเลขสามารถมีจำนวนจุดยอดที่แตกต่างกันได้

เนื่องจากฐานของปริซึมเป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติ จึงสามารถแบ่งรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าได้ห้ารูป จากนั้นพื้นที่ฐานของปริซึมจะเท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยมดังกล่าวหนึ่งอัน (ดูสูตรด้านบน) คูณด้วย 5

ปริซึมหกเหลี่ยมปกติ

ตามหลักการที่อธิบายไว้สำหรับปริซึมห้าเหลี่ยม เราสามารถแบ่งรูปหกเหลี่ยมของฐานออกเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าได้ 6 รูป สูตรสำหรับพื้นที่ฐานของปริซึมดังกล่าวคล้ายกับสูตรก่อนหน้า ควรคูณด้วยหกเท่านั้น

สูตรจะมีลักษณะดังนี้: S = 3/2 a 2 * √3

งาน

ลำดับที่ 1 เมื่อพิจารณาจากเส้นตรงปกติ เส้นทแยงมุมคือ 22 ซม. ความสูงของรูปทรงหลายเหลี่ยมคือ 14 ซม. คำนวณพื้นที่ฐานของปริซึมและพื้นผิวทั้งหมด

สารละลาย.ฐานของปริซึมเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส แต่ไม่ทราบด้านข้าง คุณสามารถหาค่าได้จากเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส (x) ซึ่งสัมพันธ์กับเส้นทแยงมุมของปริซึม (d) และความสูง (h) x 2 = ง 2 - n 2 ในทางกลับกัน ส่วน “x” นี้ก็คือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมซึ่งมีขาเท่ากับด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัส นั่นคือ x 2 = a 2 + a 2 ปรากฎว่า a 2 = (d 2 - n 2)/2

แทนที่ตัวเลข 22 แทน d และแทนที่ "n" ด้วยค่าของมัน - 14 ปรากฎว่าด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ 12 ซม. ตอนนี้แค่หาพื้นที่ของฐาน: 12 * 12 = 144 ซม 2.

หากต้องการทราบพื้นที่ของพื้นผิวทั้งหมด คุณต้องเพิ่มพื้นที่ฐานสองเท่าและเพิ่มพื้นที่ด้านข้างเป็นสี่เท่า อย่างหลังสามารถพบได้ง่ายโดยใช้สูตรสำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้า: คูณความสูงของรูปทรงหลายเหลี่ยมและด้านข้างของฐาน นั่นคือ 14 และ 12 ตัวเลขนี้จะเท่ากับ 168 ซม. 2 พื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึมกลายเป็น 960 ซม. 2

คำตอบ.พื้นที่ฐานปริซึม 144 ซม. 2 พื้นผิวทั้งหมดคือ 960 ซม. 2

ลำดับที่ 2. ให้ไว้ที่ฐานมีรูปสามเหลี่ยมด้านหนึ่งยาว 6 ซม. ในกรณีนี้ เส้นทแยงมุมของหน้าด้านข้างคือ 10 ซม. จงคำนวณพื้นที่: ฐานและพื้นผิวด้านข้าง

สารละลาย.เนื่องจากปริซึมเป็นแบบปกติ ฐานจึงเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า ดังนั้น พื้นที่ของมันจะเท่ากับ 6 กำลังสอง คูณด้วย ¼ และรากที่สองของ 3 การคำนวณอย่างง่ายนำไปสู่ผลลัพธ์: 9√3 ซม. 2 นี่คือพื้นที่ฐานหนึ่งของปริซึม

ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดเหมือนกันและเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านขนาด 6 และ 10 ซม. หากต้องการคำนวณพื้นที่ ให้คูณตัวเลขเหล่านี้ แล้วคูณด้วยสาม เพราะปริซึมมีด้านหลายด้านพอดี จากนั้นพื้นที่ผิวด้านข้างของแผลจะเท่ากับ 180 ซม. 2

คำตอบ.พื้นที่: ฐาน - 9√3 ซม. 2, พื้นผิวด้านข้างของปริซึม - 180 ซม. 2