การแก้สมการตรีโกณมิติตรรกศาสตร์เศษส่วน วิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อกับบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมลของคุณ ฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณเพื่อรับข้อเสนอ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเรา
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดี ในการดำเนินการทางกฎหมาย และ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - ให้เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงการบริหารจัดการ ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

บทเรียนและการนำเสนอในหัวข้อ: "การแก้สมการตรีโกณมิติอย่างง่าย"

วัสดุเพิ่มเติม
เรียนผู้ใช้ อย่าลืมแสดงความคิดเห็น บทวิจารณ์ และความปรารถนาของคุณ! วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส

คู่มือและตัวจำลองในร้านค้าออนไลน์ Integral สำหรับเกรด 10 จาก 1C
เราแก้ปัญหาทางเรขาคณิต งานแบบโต้ตอบสำหรับการสร้างในอวกาศ
สภาพแวดล้อมซอฟต์แวร์ "1C: ตัวสร้างทางคณิตศาสตร์ 6.1"

สิ่งที่เราจะศึกษา:
1. สมการตรีโกณมิติคืออะไร?

3. สองวิธีหลักในการแก้สมการตรีโกณมิติ
4. สมการตรีโกณมิติที่เป็นเนื้อเดียวกัน
5. ตัวอย่าง.

สมการตรีโกณมิติคืออะไร?

เพื่อนๆ เราได้ศึกษาอาร์คไซน์ อาร์คโคไซน์ อาร์กแทนเจนต์ และอาร์กโคแทนเจนต์แล้ว ทีนี้มาดูสมการตรีโกณมิติโดยทั่วไปกัน

สมการตรีโกณมิติคือสมการที่มีตัวแปรอยู่ใต้เครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ให้เราทำซ้ำรูปแบบของการแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด:

1)ถ้า |a|≤ 1 แล้วสมการ cos(x) = a มีคำตอบ:

X= ± ส่วนโค้ง(a) + 2πk

2) ถ้า |a|≤ 1 ดังนั้นสมการ sin(x) = a มีคำตอบ:

3) ถ้า |a| > 1 ดังนั้นสมการ sin(x) = a และ cos(x) = a ไม่มีคำตอบ 4) สมการ tg(x)=a มีคำตอบ: x=arctg(a)+ πk

5) สมการ ctg(x)=a มีคำตอบ: x=arcctg(a)+ πk

สำหรับสูตรทั้งหมด k คือจำนวนเต็ม

สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดมีรูปแบบ: T(kx+m)=a, T คือฟังก์ชันตรีโกณมิติบางส่วน

ตัวอย่าง.

แก้สมการ: a) sin(3x)= √3/2

สารละลาย:

A) ให้เราแทน 3x=t จากนั้นเราจะเขียนสมการของเราใหม่ในรูปแบบ:

ผลเฉลยของสมการนี้คือ: t=((-1)^n)อาร์คซิน(√3 /2)+ πn

จากตารางค่าที่เราได้รับ: t=((-1)^n)×π/3+ πn

ลองกลับไปที่ตัวแปรของเรา: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

จากนั้น x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

คำตอบ: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3 โดยที่ n คือจำนวนเต็ม (-1)^n – ลบ 1 ยกกำลัง n

ตัวอย่างเพิ่มเติมของสมการตรีโกณมิติ

แก้สมการ: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

สารละลาย:

A) คราวนี้ เราจะมาคำนวณรากของสมการกันโดยตรง:

X/5= ± ส่วนโค้ง(1) + 2πk จากนั้น x/5= πk => x=5πk

คำตอบ: x=5πk โดยที่ k คือจำนวนเต็ม

B) เราเขียนมันในรูปแบบ: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk เรารู้ว่า: อาร์คแทน(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

คำตอบ: x=2π/9 + πk/3 โดยที่ k เป็นจำนวนเต็ม

แก้สมการ: cos(4x)= √2/2 และค้นหารากทั้งหมดบนเซ็กเมนต์

สารละลาย:

ให้เราแก้สมการในรูปแบบทั่วไป: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

ตอนนี้เรามาดูกันว่ารากใดอยู่ในส่วนของเรา ที่ k ที่ k=0, x= π/16 เราอยู่ในส่วนที่กำหนดให้
ด้วย k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 เราก็ตีอีกครั้ง
สำหรับ k=2, x= π/16+ π=17π/16 แต่ตรงนี้เราไม่ได้ตี ซึ่งหมายความว่าสำหรับ k ขนาดใหญ่ เราจะไม่ตีแน่นอนเช่นกัน

คำตอบ: x= π/16, x= 9π/16

สองวิธีแก้ไขปัญหาหลัก

เราดูสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด แต่ก็มีสมการที่ซับซ้อนกว่าเช่นกัน เพื่อแก้ปัญหาเหล่านี้จะใช้วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่และวิธีการแยกตัวประกอบ ลองดูตัวอย่าง

มาแก้สมการกัน:

สารละลาย:
ในการแก้สมการ เราจะใช้วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่ ซึ่งหมายถึง: t=tg(x)

จากการแทนที่เราได้รับ: t 2 + 2t -1 = 0

มาหารากของสมการกำลังสองกัน: t=-1 และ t=1/3

จากนั้น tg(x)=-1 และ tg(x)=1/3 เราได้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด มาหารากของมันกัน

X=ส่วนโค้งg(-1) +πk= -π/4+πk; x=ส่วนโค้งg(1/3) + πk

คำตอบ: x= -π/4+πk; x=ส่วนโค้งg(1/3) + πk

ตัวอย่างการแก้สมการ

แก้สมการ: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

สารละลาย:

ลองใช้เอกลักษณ์: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

สมการของเราจะอยู่ในรูปแบบ: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 คอส 2 (x) - 3 คอส(x) -2 = 0

ให้เราแนะนำการแทนที่ t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

วิธีแก้สมการกำลังสองของเราคือราก: t=2 และ t=-1/2

จากนั้น cos(x)=2 และ cos(x)=-1/2

เพราะ โคไซน์ไม่สามารถรับค่าที่มากกว่า 1 ได้ ดังนั้น cos(x)=2 จึงไม่มีราก

สำหรับ cos(x)=-1/2: x= ± ส่วนโค้ง (-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

คำตอบ: x= ±2π/3 + 2πk

สมการตรีโกณมิติที่เป็นเนื้อเดียวกัน

คำจำกัดความ: สมการที่มีรูปแบบ a sin(x)+b cos(x) เรียกว่าสมการตรีโกณมิติเอกพันธ์ของดีกรีแรก

สมการของแบบฟอร์ม

สมการตรีโกณมิติเอกพันธ์ของระดับที่สอง

ในการแก้สมการตรีโกณมิติเอกพันธ์ของระดับแรก ให้หารด้วย cos(x): คุณไม่สามารถหารด้วยโคไซน์ได้ถ้ามันเท่ากับศูนย์ ต้องแน่ใจว่าไม่เป็นเช่นนั้น:
กำหนดให้ cos(x)=0 แล้ว asin(x)+0=0 => sin(x)=0 แต่ไซน์และโคไซน์ไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน เราจะได้ความขัดแย้ง ดังนั้นเราจึงสามารถหารได้อย่างปลอดภัย โดยศูนย์

แก้สมการ:
ตัวอย่าง: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

สารละลาย:

ลองหาปัจจัยร่วมออกมา: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

จากนั้นเราจะต้องแก้สมการสองสมการ:

Cos(x)=0 และ cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 ที่ x= π/2 + πk;

พิจารณาสมการ cos(x)+sin(x)=0 หารสมการของเราด้วย cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=ส่วนโค้งg(-1) +πk= -π/4+πk

คำตอบ: x= π/2 + πk และ x= -π/4+πk

จะแก้สมการตรีโกณมิติเอกพันธ์ของระดับที่สองได้อย่างไร?
เพื่อนๆ ปฏิบัติตามกฎเหล่านี้เสมอ!

1. ดูว่าสัมประสิทธิ์ a เท่ากับเท่าใด ถ้า a=0 สมการของเราจะอยู่ในรูปแบบ cos(x)(bsin(x)+ccos(x)) ซึ่งเป็นตัวอย่างวิธีแก้ปัญหาในสไลด์ที่แล้ว

2. ถ้า a≠0 คุณต้องหารทั้งสองข้างของสมการด้วยโคไซน์กำลังสอง เราจะได้:

เราเปลี่ยนตัวแปร t=tg(x) และรับสมการ:

แก้ตัวอย่างหมายเลข:3

แก้สมการ:
สารละลาย:

ลองหารทั้งสองข้างของสมการด้วยกำลังสองโคไซน์:

เราเปลี่ยนตัวแปร t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

มาหารากของสมการกำลังสองกัน: t=-3 และ t=1

จากนั้น: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

คำตอบ: x=-arctg(3) + πk และ x= π/4+ πk

แก้ตัวอย่างหมายเลข:4

แก้สมการ:

สารละลาย:
มาเปลี่ยนการแสดงออกของเรา:

เราสามารถแก้สมการได้: x= - π/4 + 2πk และ x=5π/4 + 2πk

คำตอบ: x= - π/4 + 2πk และ x=5π/4 + 2πk

แก้ตัวอย่างหมายเลข:5

แก้สมการ:

สารละลาย:
มาเปลี่ยนการแสดงออกของเรา:

ให้เราแนะนำการแทนที่ tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

วิธีแก้สมการกำลังสองของเราคือราก: t=-2 และ t=1/2

จากนั้นเราจะได้: tg(2x)=-2 และ tg(2x)=1/2
2x=-ส่วนโค้ง(2)+ πk => x=-ส่วนโค้ง(2)/2 + πk/2

2x= ส่วนโค้ง(1/2) + πk => x=ส่วนโค้ง(1/2)/2+ πk/2

คำตอบ: x=-arctg(2)/2 + πk/2 และ x=arctg(1/2)/2+ πk/2

ปัญหาสำหรับการแก้ปัญหาอย่างอิสระ

1) แก้สมการ

A) บาป(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0.5x) = -1.7

2) แก้สมการ: sin(3x)= √3/2 และหารากทั้งหมดของเซกเมนต์ [π/2; พาย].

3) แก้สมการ: เปล 2 (x) + 2 เปล (x) + 1 =0

4) แก้สมการ: 3 บาป 2 (x) + √3ซิน (x) cos(x) = 0

5) แก้สมการ: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) แก้สมการ: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

เมื่อแก้ได้หลายอย่าง ปัญหาทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่เกิดขึ้นก่อนชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 มีการกำหนดลำดับการกระทำที่จะนำไปสู่เป้าหมายอย่างชัดเจน ปัญหาดังกล่าวได้แก่ สมการเชิงเส้นและสมการกำลังสอง อสมการเชิงเส้นและกำลังสอง สมการเศษส่วนและสมการที่ลดขนาดเป็นกำลังสอง หลักการแก้ปัญหาแต่ละอย่างให้ประสบความสำเร็จมีดังนี้: คุณต้องกำหนดประเภทของปัญหาที่คุณกำลังแก้ไข จำลำดับการกระทำที่จำเป็นที่จะนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ต้องการ เช่น ตอบและทำตามขั้นตอนเหล่านี้

เห็นได้ชัดว่าความสำเร็จหรือความล้มเหลวในการแก้ปัญหาเฉพาะนั้นขึ้นอยู่กับวิธีการกำหนดประเภทของสมการที่กำลังแก้อย่างถูกต้องและวิธีการสร้างลำดับของทุกขั้นตอนของการแก้ปัญหาอย่างถูกต้องเพียงใด แน่นอน ในกรณีนี้ จำเป็นต้องมีทักษะในการดำเนินการแปลงและการคำนวณที่เหมือนกัน

สถานการณ์จะแตกต่างออกไปด้วย สมการตรีโกณมิติไม่ใช่เรื่องยากเลยที่จะระบุความจริงที่ว่าสมการนี้เป็นวิชาตรีโกณมิติ ความยากลำบากเกิดขึ้นเมื่อกำหนดลำดับการกระทำที่จะนำไปสู่คำตอบที่ถูกต้อง

บางครั้งเป็นการยากที่จะกำหนดประเภทของมันตามลักษณะของสมการ และหากไม่ทราบประเภทของสมการ ก็แทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะเลือกสมการที่ถูกต้องจากสูตรตรีโกณมิติหลายสิบสูตร

ในการแก้สมการตรีโกณมิติ คุณต้องลอง:

1. นำฟังก์ชันทั้งหมดที่รวมอยู่ในสมการมาสู่ "มุมเดียวกัน"
2. นำสมการมาสู่ "ฟังก์ชันเหมือนกัน"
3. แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการ ฯลฯ

ลองพิจารณาดู วิธีพื้นฐานในการแก้สมการตรีโกณมิติ

I. การลดสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด

แผนภาพการแก้ปัญหา

ขั้นตอนที่ 1.แสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติในแง่ขององค์ประกอบที่ทราบ

ขั้นตอนที่ 2.ค้นหาอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันโดยใช้สูตร:

คอส x = ก; x = ±อาร์คคอส a + 2πn, n ЄZ

บาป x = ก; x = (-1) n อาร์คซิน a + πn, n Є Z

สีแทน x = ก; x = อาร์คแทน a + πn, n Є Z

ซีทีจี x = ก; x = ส่วนโค้ง a + πn, n Є Z

ขั้นตอนที่ 3ค้นหาตัวแปรที่ไม่รู้จัก

ตัวอย่าง.

2 คอส(3x – π/4) = -√2

สารละลาย.

1) คอส(3x – π/4) = -√2/2

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z

คำตอบ: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z

ครั้งที่สอง การแทนที่ตัวแปร

แผนภาพการแก้ปัญหา

ขั้นตอนที่ 1.ลดสมการให้อยู่ในรูปพีชคณิตโดยเทียบกับหนึ่งในฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ขั้นตอนที่ 2.แสดงฟังก์ชันผลลัพธ์ด้วยตัวแปร t (หากจำเป็น ให้กำหนดข้อจำกัดของ t)

ขั้นตอนที่ 3เขียนและแก้สมการพีชคณิตที่ได้

ขั้นตอนที่ 4ทำการเปลี่ยนแบบย้อนกลับ

ขั้นตอนที่ 5แก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด

ตัวอย่าง.

2คอส 2 (x/2) – 5ซิน (x/2) – 5 = 0

สารละลาย.

1) 2(1 – บาป 2 (x/2)) – 5ซิน (x/2) – 5 = 0;

2ซิน 2 (x/2) + 5ซิน (x/2) + 3 = 0

2) ให้บาป (x/2) = t โดยที่ |t| ≤ 1

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 หรือ e = -3/2 ไม่ตรงตามเงื่อนไข |t| ≤ 1

4) บาป(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z

คำตอบ: x = π + 4πn, n Є Z

สาม. วิธีการลดลำดับสมการ

แผนภาพการแก้ปัญหา

ขั้นตอนที่ 1.แทนที่สมการนี้ด้วยสมการเชิงเส้นโดยใช้สูตรลดระดับ:

บาป 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

คอส 2 x = 1/2 · (1 + คอส 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x)

ขั้นตอนที่ 2.แก้สมการผลลัพธ์โดยใช้วิธีที่ I และ II

ตัวอย่าง.

คอส 2x + คอส 2 x = 5/4

สารละลาย.

1) คอส 2x + 1/2 · (1 + คอส 2x) = 5/4

2) คอส 2x + 1/2 + 1/2 · คอส 2x = 5/4;

3/2 คอส 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z

คำตอบ: x = ±π/6 + πn, n Є Z

IV. สมการเอกพันธ์

แผนภาพการแก้ปัญหา

ขั้นตอนที่ 1.ลดสมการนี้ให้อยู่ในรูปแบบ

a) a sin x + b cos x = 0 (สมการเอกพันธ์ของดีกรีแรก)

หรือเพื่อชมวิว

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (สมการเอกพันธ์ของดีกรีที่สอง)

ขั้นตอนที่ 2.หารทั้งสองข้างของสมการด้วย

ก) cos x ≠ 0;

ข) cos 2 x ≠ 0;

และรับสมการของ tan x:

ก) สีน้ำตาล x + b = 0;

b) สีน้ำตาล 2 x + b arctan x + c = 0

ขั้นตอนที่ 3แก้สมการโดยใช้วิธีที่รู้จัก

ตัวอย่าง.

5ซิน 2 x + 3ซิน x คอส x – 4 = 0

สารละลาย.

1) 5ซิน 2 x + 3ซิน x · cos x – 4(ซิน 2 x + cos 2 x) = 0;

5ซิน 2 x + 3ซิน x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

บาป 2 x + 3ซิน x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0

2) ทีจี 2 x + 3ทีจี x – 4 = 0

3) ให้ tg x = t แล้ว

เสื้อ 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 หรือ t = -4 ซึ่งหมายถึง

tg x = 1 หรือ tg x = -4

จากสมการแรก x = π/4 + πn, n Є Z; จากสมการที่สอง x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

คำตอบ: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z

V. วิธีการแปลงสมการโดยใช้สูตรตรีโกณมิติ

แผนภาพการแก้ปัญหา

ขั้นตอนที่ 1.ใช้สูตรตรีโกณมิติที่เป็นไปได้ทั้งหมด ลดสมการนี้ให้เป็นสมการที่แก้ได้โดยวิธีที่ I, II, III, IV

ขั้นตอนที่ 2.แก้สมการผลลัพธ์โดยใช้วิธีที่ทราบ

ตัวอย่าง.

บาป x + บาป 2x + บาป 3x = 0

สารละลาย.

1) (บาป x + บาป 3x) + บาป 2x = 0;

2ซิน 2x คอส x + บาป 2x = 0

2) บาป 2x (2cos x + 1) = 0;

บาป 2x = 0 หรือ 2cos x + 1 = 0;

จากสมการแรก 2x = π/2 + πn, n Є Z; จากสมการที่สอง cos x = -1/2

เรามี x = π/4 + πn/2, n Є Z; จากสมการที่สอง x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z

ผลลัพธ์ก็คือ x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z

คำตอบ: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z

ความสามารถและทักษะในการแก้สมการตรีโกณมิติเป็นอย่างมาก ที่สำคัญการพัฒนาต้องใช้ความพยายามอย่างมากทั้งในส่วนของนักเรียนและในส่วนของครู

ปัญหาหลายประการของสามมิติ ฟิสิกส์ ฯลฯ เกี่ยวข้องกับการแก้สมการตรีโกณมิติ กระบวนการในการแก้ปัญหาดังกล่าวรวบรวมความรู้และทักษะมากมายที่ได้รับจากการศึกษาองค์ประกอบของตรีโกณมิติ

สมการตรีโกณมิติมีบทบาทสำคัญในกระบวนการเรียนรู้คณิตศาสตร์และการพัฒนาตนเองโดยทั่วไป

ยังมีคำถามอยู่ใช่ไหม? ไม่รู้วิธีแก้สมการตรีโกณมิติใช่ไหม?
เพื่อขอความช่วยเหลือจากครูสอนพิเศษ -.
บทเรียนแรกฟรี!

blog.site เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มาดั้งเดิม

แนวคิดของการแก้สมการตรีโกณมิติ

• หากต้องการแก้สมการตรีโกณมิติ ให้แปลงสมการนั้นเป็นสมการตรีโกณมิติพื้นฐานหนึ่งรายการขึ้นไป การแก้สมการตรีโกณมิติในท้ายที่สุดต้องอาศัยการแก้สมการตรีโกณมิติพื้นฐานทั้งสี่เท่านั้น

การแก้สมการตรีโกณมิติพื้นฐาน

• สมการตรีโกณมิติพื้นฐานมี 4 ประเภท:
• บาป x = ก; เพราะ x = ก
• สีแทน x = ก; ซีทีจี x = ก
• การแก้สมการตรีโกณมิติพื้นฐานเกี่ยวข้องกับการดูตำแหน่ง x ต่างๆ บนวงกลมหน่วย รวมถึงการใช้ตารางแปลง (หรือเครื่องคิดเลข)
• ตัวอย่างที่ 1 บาป x = 0.866 เมื่อใช้ตารางแปลง (หรือเครื่องคิดเลข) คุณจะได้คำตอบ: x = π/3 วงกลมหน่วยให้คำตอบอีกข้อ: 2π/3 ข้อควรจำ: ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดเป็นระยะซึ่งหมายความว่าค่าจะซ้ำกัน ตัวอย่างเช่น คาบของ sin x และ cos x คือ 2πn และคาบของ tg x และ ctg x คือ πn จึงเขียนคำตอบได้ดังนี้
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn
• ตัวอย่างที่ 2 cos x = -1/2 เมื่อใช้ตารางแปลง (หรือเครื่องคิดเลข) คุณจะได้คำตอบ: x = 2π/3 วงกลมหน่วยให้คำตอบอีกข้อ: -2π/3
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π
• ตัวอย่างที่ 3 tg (x - π/4) = 0
• คำตอบ: x = π/4 + πn
• ตัวอย่างที่ 4.ctg 2x = 1.732
• คำตอบ: x = π/12 + πn

การแปลงที่ใช้ในการแก้สมการตรีโกณมิติ

• ในการแปลงสมการตรีโกณมิติ จะใช้การแปลงพีชคณิต (การแยกตัวประกอบ การลดเงื่อนไขที่เป็นเนื้อเดียวกัน ฯลฯ) และอัตลักษณ์ตรีโกณมิติ
• ตัวอย่างที่ 5: การใช้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติ สมการ sin x + sin 2x + sin 3x = 0 จะถูกแปลงเป็นสมการ 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0 ดังนั้น สมการตรีโกณมิติพื้นฐานต่อไปนี้ จำเป็นต้องแก้ไข: cos x = 0; บาป(3x/2) = 0; คอส(x/2) = 0

• การหามุมโดยใช้ค่าฟังก์ชันที่ทราบ

  • ก่อนที่จะเรียนรู้วิธีแก้สมการตรีโกณมิติ คุณต้องเรียนรู้วิธีค้นหามุมโดยใช้ค่าฟังก์ชันที่ทราบก่อน ซึ่งสามารถทำได้โดยใช้ตารางการแปลงหรือเครื่องคิดเลข
  • ตัวอย่าง: cos x = 0.732 เครื่องคิดเลขจะให้คำตอบ x = 42.95 องศา วงกลมหน่วยจะให้มุมเพิ่มเติม โดยมีโคไซน์เท่ากับ 0.732 เช่นกัน

• วางสารละลายไว้บนวงกลมหนึ่งหน่วย

  • คุณสามารถพล็อตคำตอบของสมการตรีโกณมิติบนวงกลมหน่วยได้ คำตอบของสมการตรีโกณมิติบนวงกลมหน่วยคือจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมปกติ
  • ตัวอย่าง: ผลเฉลย x = π/3 + πn/2 บนวงกลมหนึ่งหน่วยแทนจุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัส
  • ตัวอย่าง: ผลเฉลย x = π/4 + πn/3 บนวงกลมหนึ่งหน่วยแทนจุดยอดของรูปหกเหลี่ยมปกติ

• วิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ

  • ถ้าสมการตรีโกณมิติที่กำหนดมีฟังก์ชันตรีโกณมิติเพียงฟังก์ชันเดียว ให้แก้สมการนั้นเป็นสมการตรีโกณมิติพื้นฐาน หากสมการที่กำหนดมีฟังก์ชันตรีโกณมิติตั้งแต่สองฟังก์ชันขึ้นไป จะมี 2 วิธีในการแก้สมการดังกล่าว (ขึ้นอยู่กับความเป็นไปได้ของการแปลง)
    • วิธีที่ 1
  • แปลงสมการนี้เป็นสมการในรูปแบบ: f(x)*g(x)*h(x) = 0 โดยที่ f(x), g(x), h(x) คือสมการตรีโกณมิติพื้นฐาน
  • ตัวอย่างที่ 6 2cos x + sin 2x = 0 (0< x < 2π)
  • สารละลาย. ใช้สูตรมุมคู่ sin 2x = 2*sin x*cos x แทนที่ sin 2x
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0 ทีนี้แก้สมการตรีโกณมิติพื้นฐานสองสมการ: cos x = 0 และ (sin x + 1) = 0
  • ตัวอย่างที่ 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0 (0< x < 2π)
  • วิธีแก้: ใช้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติ แปลงสมการนี้เป็นสมการในรูปแบบ: cos 2x(2cos x + 1) = 0 ทีนี้ แก้สมการตรีโกณมิติพื้นฐานสองสมการ: cos 2x = 0 และ (2cos x + 1) = 0
  • ตัวอย่างที่ 8 บาป x - บาป 3x = cos 2x (0< x < 2π)
  • วิธีแก้: ใช้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติ แปลงสมการนี้เป็นสมการในรูปแบบ: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0 ทีนี้ แก้สมการตรีโกณมิติพื้นฐานสองสมการ: cos 2x = 0 และ (2sin x + 1) = 0 .
    • วิธีที่ 2
  • แปลงสมการตรีโกณมิติที่กำหนดให้เป็นสมการที่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติเพียงฟังก์ชันเดียว จากนั้นแทนที่ฟังก์ชันตรีโกณมิติด้วยฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก เช่น t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t ฯลฯ)
  • ตัวอย่างที่ 9 3ซิน^2 x - 2cos^2 x = 4ซิน x + 7 (0< x < 2π).
  • สารละลาย. ในสมการนี้ ให้แทนที่ (cos^2 x) ด้วย (1 - sin^2 x) (ตามเอกลักษณ์) สมการที่แปลงแล้วคือ:
  • 3ซิน^2 x - 2 + 2ซิน^2 x - 4ซิน x - 7 = 0 แทนที่บาป x ด้วย t ตอนนี้สมการจะเป็นดังนี้: 5t^2 - 4t - 9 = 0 นี่คือสมการกำลังสองที่มีรากสองตัว: t1 = -1 และ t2 = 9/5 รูตที่สอง t2 ไม่เป็นไปตามช่วงฟังก์ชัน (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • ตัวอย่างที่ 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • สารละลาย. แทนที่ tg x ด้วย t เขียนสมการเดิมใหม่ดังนี้: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0 ตอนนี้หา t แล้วหา x สำหรับ t = tan x

บทเรียนการประยุกต์ใช้ความรู้แบบบูรณาการ

วัตถุประสงค์ของบทเรียน

1. พิจารณาวิธีการต่างๆ ในการแก้สมการตรีโกณมิติ
2. พัฒนาความสามารถเชิงสร้างสรรค์ของนักเรียนโดยการแก้สมการ
3. ส่งเสริมให้นักเรียนควบคุมตนเอง ควบคุมร่วมกัน และวิเคราะห์ตนเองของกิจกรรมการศึกษาของตน

อุปกรณ์ : จอภาพ, โปรเจ็กเตอร์, วัสดุอ้างอิง

ในระหว่างเรียน

บทสนทนาเบื้องต้น.

วิธีการหลักในการแก้สมการตรีโกณมิติคือการลดให้เหลือรูปแบบที่ง่ายที่สุด ในกรณีนี้ จะใช้วิธีการปกติ เช่น การแยกตัวประกอบ รวมถึงเทคนิคที่ใช้สำหรับการแก้สมการตรีโกณมิติเท่านั้น มีเทคนิคเหล่านี้ค่อนข้างมาก เช่น การแทนที่ตรีโกณมิติต่างๆ การแปลงมุม การแปลงฟังก์ชันตรีโกณมิติ การใช้การแปลงตรีโกณมิติอย่างไม่เลือกปฏิบัติมักจะไม่ได้ทำให้สมการง่ายขึ้น แต่กลับทำให้เกิดความยุ่งยากอย่างร้ายแรง เพื่อที่จะพัฒนาแผนทั่วไปสำหรับการแก้สมการ เพื่อร่างวิธีการลดสมการให้เหลือน้อยที่สุด คุณต้องวิเคราะห์มุมก่อน - อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่รวมอยู่ในสมการ

วันนี้เราจะพูดถึงวิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ วิธีการเลือกที่ถูกต้องมักจะทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นอย่างมาก ดังนั้น วิธีการทั้งหมดที่เราศึกษาจึงควรเก็บไว้ในขอบเขตความสนใจของเราเสมอเพื่อที่จะแก้สมการตรีโกณมิติด้วยวิธีที่เหมาะสมที่สุด

ครั้งที่สอง (เราทำซ้ำวิธีการแก้สมการโดยใช้โปรเจ็กเตอร์)

1. วิธีการลดสมการตรีโกณมิติให้เป็นพีชคณิต

จำเป็นต้องแสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดผ่านฟังก์ชันเดียวโดยมีอาร์กิวเมนต์เดียวกัน ซึ่งสามารถทำได้โดยใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานและผลที่ตามมา เราได้สมการที่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติหนึ่งฟังก์ชัน เมื่อพิจารณาว่าเป็นสิ่งที่ไม่รู้จักใหม่ เราได้สมการพีชคณิต เราค้นหารากของมันและกลับไปสู่สิ่งเก่าที่ไม่รู้จักโดยแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด

2. วิธีการแยกตัวประกอบ

ในการเปลี่ยนมุม สูตรสำหรับการลดลง ผลรวม และผลต่างของอาร์กิวเมนต์มักจะมีประโยชน์ เช่นเดียวกับสูตรสำหรับการแปลงผลรวม (ผลต่าง) ของฟังก์ชันตรีโกณมิติให้เป็นผลคูณและในทางกลับกัน

บาป x + บาป 3x = บาป 2x + บาป 4x

3. วิธีการแนะนำมุมเพิ่มเติม

4. วิธีการใช้การทดแทนสากล

สมการในรูปแบบ F(sinx, cosx, tanx) = 0 จะถูกรีดิวซ์เป็นพีชคณิตโดยใช้การทดแทนตรีโกณมิติสากล

แสดงไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ในรูปของแทนเจนต์ของครึ่งมุม เทคนิคนี้สามารถนำไปสู่สมการลำดับที่สูงขึ้นได้ วิธีแก้ปัญหาที่ยากคือ