ตัวเลขที่มีกำลังเท่ากันจะคูณกันได้อย่างไร? การบวก ลบ คูณ หารยกกำลัง

แนวคิดเรื่องปริญญาทางคณิตศาสตร์ถูกนำมาใช้ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ในชั้นเรียนพีชคณิต และต่อมาตลอดหลักสูตรการศึกษาคณิตศาสตร์แนวคิดนี้ถูกนำมาใช้อย่างแข็งขันในรูปแบบต่างๆ องศาเป็นหัวข้อที่ค่อนข้างยากซึ่งต้องจดจำค่าและความสามารถในการนับอย่างถูกต้องและรวดเร็ว เพื่อให้ทำงานกับปริญญาได้เร็วและดีขึ้น นักคณิตศาสตร์จึงได้คุณสมบัติปริญญาขึ้นมา ช่วยลดการคำนวณจำนวนมาก แปลงตัวอย่างใหญ่ ๆ ให้เป็นตัวเลขตัวเดียวได้ในระดับหนึ่ง มีคุณสมบัติไม่มากนัก และทั้งหมดง่ายต่อการจดจำและนำไปใช้ในทางปฏิบัติ ดังนั้นบทความนี้จะกล่าวถึงคุณสมบัติพื้นฐานของปริญญารวมถึงตำแหน่งที่จะนำไปใช้

คุณสมบัติของปริญญา

เราจะดูคุณสมบัติขององศาทั้ง 12 แบบ รวมถึงคุณสมบัติขององศาที่มีฐานเดียวกันด้วย และยกตัวอย่างคุณสมบัติแต่ละอย่าง คุณสมบัติแต่ละอย่างเหล่านี้จะช่วยให้คุณแก้ปัญหาด้วยองศาได้เร็วขึ้น และยังช่วยให้คุณประหยัดจากข้อผิดพลาดในการคำนวณมากมายอีกด้วย

คุณสมบัติที่ 1

หลายๆ คนมักลืมเกี่ยวกับคุณสมบัตินี้และทำผิดพลาด โดยแสดงตัวเลขยกกำลังเป็นศูนย์

ทรัพย์สินที่ 2.

ทรัพย์สินที่ 3.

ต้องจำไว้ว่าคุณสมบัตินี้สามารถใช้ได้เมื่อคูณตัวเลขเท่านั้น ไม่สามารถใช้กับผลรวมได้! และเราต้องไม่ลืมว่าคุณสมบัตินี้และคุณสมบัติต่อไปนี้ใช้เฉพาะกับกำลังที่มีฐานเดียวกันเท่านั้น

คุณสมบัติที่ 4.

หากตัวเลขในตัวส่วนถูกยกกำลังเป็นลบ จากนั้นเมื่อลบออก ระดับของตัวส่วนจะถูกใส่ในวงเล็บเพื่อเปลี่ยนเครื่องหมายอย่างถูกต้องในการคำนวณเพิ่มเติม

คุณสมบัติใช้งานได้เฉพาะเมื่อหารเท่านั้น ไม่สามารถใช้เมื่อลบ!

ทรัพย์สินที่ 5.

ทรัพย์สินที่ 6.

คุณสมบัตินี้สามารถนำไปใช้ในทิศทางตรงกันข้ามได้ หน่วยที่หารด้วยตัวเลขในระดับหนึ่งก็คือตัวเลขนั้นยกกำลังลบ

ทรัพย์สินที่ 7.

คุณสมบัตินี้ไม่สามารถใช้กับผลรวมและส่วนต่างได้! การเพิ่มผลรวมหรือผลต่างยกกำลังจะใช้สูตรการคูณแบบย่อ แทนที่จะเป็นคุณสมบัติของกำลัง

ทรัพย์สินที่ 8.

ทรัพย์สินที่ 9.

คุณสมบัตินี้ใช้ได้กับกำลังเศษส่วนใดๆ ที่มีตัวเศษเท่ากับ 1 สูตรจะเหมือนกัน เฉพาะกำลังของรากเท่านั้นที่จะเปลี่ยนแปลงขึ้นอยู่กับตัวส่วนของกำลัง

คุณสมบัตินี้มักใช้ในทางกลับกัน รากของยกกำลังใดๆ ของตัวเลขสามารถแสดงเป็นจำนวนนี้ยกกำลังหนึ่งหารด้วยยกกำลังของราก คุณสมบัตินี้มีประโยชน์มากในกรณีที่ไม่สามารถแยกรากของตัวเลขได้

ทรัพย์สินที่ 10.

คุณสมบัตินี้ใช้ได้กับรากที่สองและกำลังสองเท่านั้น ถ้าระดับของรากและระดับของรากนี้ที่ยกขึ้นตรงกัน คำตอบจะเป็นการแสดงออกถึงรากศัพท์

ทรัพย์สินที่ 11.

คุณต้องสามารถเห็นคุณสมบัตินี้ได้ทันเวลาเมื่อทำการแก้ไขเพื่อช่วยตัวเองจากการคำนวณจำนวนมาก

ทรัพย์สินที่ 12.

คุณสมบัติแต่ละรายการจะพบคุณมากกว่าหนึ่งครั้งในงานต่างๆ สามารถกำหนดได้ในรูปแบบที่บริสุทธิ์ หรืออาจต้องมีการแปลงบางอย่างและใช้สูตรอื่น ดังนั้น เพื่อการตัดสินใจที่ถูกต้อง การรู้แต่คุณสมบัติเพียงอย่างเดียวนั้นไม่เพียงพอ คุณต้องฝึกฝนและนำความรู้ทางคณิตศาสตร์อื่นๆ มาใช้ด้วย

การประยุกต์ปริญญาและคุณสมบัติ

มีการใช้อย่างแข็งขันในพีชคณิตและเรขาคณิต องศาในวิชาคณิตศาสตร์มีสถานที่สำคัญแยกต่างหาก ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา สมการเอ็กซ์โพเนนเชียลและอสมการได้รับการแก้ไข และสมการและตัวอย่างที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์สาขาอื่นๆ มักจะซับซ้อนด้วยกำลัง อำนาจช่วยหลีกเลี่ยงการคำนวณขนาดใหญ่และยาว อำนาจจะง่ายต่อการย่อและคำนวณ แต่ในการทำงานกับพลังขนาดใหญ่หรือด้วยพลังจำนวนมาก คุณจำเป็นต้องรู้ไม่เพียงแต่คุณสมบัติของพลังเท่านั้น แต่ยังต้องทำงานกับฐานอย่างเชี่ยวชาญด้วยเพื่อให้สามารถขยายพวกมันเพื่อทำให้งานของคุณง่ายขึ้น เพื่อความสะดวกคุณควรรู้ความหมายของตัวเลขที่ยกกำลังด้วย วิธีนี้จะช่วยลดเวลาในการแก้ไข และลดความจำเป็นในการคำนวณที่ยืดเยื้อ

แนวคิดเรื่องดีกรีมีบทบาทพิเศษในลอการิทึม เนื่องจากโดยพื้นฐานแล้วลอการิทึมคือกำลังของตัวเลข

สูตรคูณแบบย่อเป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของการใช้กำลัง ไม่สามารถใช้คุณสมบัติขององศาได้ แต่จะขยายตามกฎพิเศษ แต่ในแต่ละสูตรของการคูณแบบย่อจะมีองศาคงที่

องศายังถูกนำมาใช้อย่างแข็งขันในวิชาฟิสิกส์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ การแปลงเป็นระบบ SI ทั้งหมดเกิดขึ้นโดยใช้กำลัง และในอนาคต เมื่อแก้ไขปัญหา คุณสมบัติของกำลังจะถูกใช้ ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ มีการใช้กำลังสองอย่างแข็งขันเพื่อความสะดวกในการนับและทำให้การรับรู้ตัวเลขง่ายขึ้น การคำนวณเพิ่มเติมสำหรับการแปลงหน่วยการวัดหรือการคำนวณปัญหา เช่นเดียวกับในฟิสิกส์ เกิดขึ้นโดยใช้คุณสมบัติขององศา

องศายังมีประโยชน์อย่างมากในดาราศาสตร์ โดยที่คุณไม่ค่อยเห็นการใช้คุณสมบัติขององศา แต่องศานั้นกลับถูกใช้อย่างแข็งขันเพื่อทำให้สัญลักษณ์ของปริมาณและระยะทางต่างๆ สั้นลง

องศายังใช้ในชีวิตประจำวันเมื่อคำนวณพื้นที่ ปริมาตร และระยะทาง

องศาใช้ในการบันทึกปริมาณมากและน้อยมากในสาขาวิทยาศาสตร์ใดๆ

สมการเลขชี้กำลังและอสมการ

คุณสมบัติขององศาครอบครองสถานที่พิเศษอย่างแม่นยำในสมการเลขชี้กำลังและอสมการ งานเหล่านี้เป็นเรื่องปกติมาก ทั้งในหลักสูตรของโรงเรียนและในการสอบ ทั้งหมดนี้แก้ไขได้โดยการนำคุณสมบัติของดีกรีไปใช้ สิ่งที่ไม่ทราบนั้นมักจะพบได้ในระดับนั้น ดังนั้นการรู้คุณสมบัติทั้งหมด การแก้สมการหรืออสมการดังกล่าวจึงไม่ใช่เรื่องยาก

บทเรียนในหัวข้อ: "กฎการคูณและการหารยกกำลังที่มีเลขยกกำลังเท่ากันและต่างกัน ตัวอย่าง"

วัสดุเพิ่มเติม
เรียนผู้ใช้ อย่าลืมแสดงความคิดเห็น บทวิจารณ์ และความปรารถนาของคุณ วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส

เครื่องช่วยสอนและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ Integral สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 7
คู่มือตำราเรียน Yu.N. คู่มือ Makarycheva สำหรับตำราเรียนโดย A.G. มอร์ดโควิช

วัตถุประสงค์ของบทเรียน: เรียนรู้การดำเนินการด้วยพลังของตัวเลข

ก่อนอื่น เรามาจำแนวคิดของ "พลังของตัวเลข" กันก่อน นิพจน์ในรูปแบบ $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ สามารถแสดงเป็น $a^n$

การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$

ความเท่าเทียมกันนี้เรียกว่า "การบันทึกระดับเป็นผลิตภัณฑ์" มันจะช่วยให้เรากำหนดวิธีคูณและแบ่งอำนาจ
จดจำ:
ก– พื้นฐานของปริญญา
n– เลขชี้กำลัง
ถ้า n=1ซึ่งหมายถึงตัวเลข กใช้เวลาหนึ่งครั้งและตามลำดับ: $a^n= 1$
ถ้า n= 0จากนั้น $a^0= 1$

เราจะรู้ได้ว่าเหตุใดสิ่งนี้จึงเกิดขึ้นเมื่อเราทำความคุ้นเคยกับกฎของการคูณและการหารยกกำลัง

กฎการคูณ

ก) ถ้าอำนาจที่มีฐานเดียวกันถูกคูณ
ในการรับ $a^n * a^m$ เราเขียนองศาเป็นผลคูณ: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a ) _(ม.)$.
ในรูปแสดงว่าเป็นจำนวนนั้น กได้ดำเนินการแล้ว n+มคูณด้วย $a^n * a^m = a^(n + m)$

ตัวอย่าง.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

คุณสมบัตินี้สะดวกในการใช้เพื่อทำให้งานง่ายขึ้นเมื่อเพิ่มตัวเลขให้มีกำลังสูงขึ้น
ตัวอย่าง.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) ถ้าองศาที่มีฐานต่างกันแต่มีเลขยกกำลังเท่ากัน
ในการรับ $a^n * b^n$ เราเขียนองศาเป็นผลคูณ: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(ม.)$.
หากเราสลับตัวประกอบและนับคู่ผลลัพธ์ เราจะได้: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

ดังนั้น $a^n * b^n= (a * b)^n$

ตัวอย่าง.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

กฎการแบ่ง

ก) พื้นฐานของการศึกษาระดับปริญญาจะเหมือนกัน แต่ตัวบ่งชี้จะแตกต่างกัน
ลองพิจารณาการหารกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่มากกว่าโดยการหารกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่น้อยกว่า

ดังนั้นเราจึงต้องการ $\frac(a^n)(a^m)$, ที่ไหน น>ม.

ลองเขียนองศาเป็นเศษส่วน:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

เพื่อความสะดวก เราจะเขียนการหารเป็นเศษส่วนอย่างง่าย

ทีนี้มาลดเศษส่วนกัน.

ปรากฎว่า: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$
วิธี, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

คุณสมบัตินี้จะช่วยอธิบายสถานการณ์โดยการเพิ่มตัวเลขเป็นศูนย์ สมมุติว่า n=มจากนั้น $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$

ตัวอย่าง.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) ฐานของระดับนั้นแตกต่างกันตัวบ่งชี้จะเหมือนกัน
สมมติว่า $\frac(a^n)( b^n)$ เป็นสิ่งจำเป็น เขียนยกกำลังของตัวเลขเป็นเศษส่วน:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

เพื่อความสะดวกลองจินตนาการดู

ด้วยการใช้คุณสมบัติของเศษส่วน เราจึงหารเศษส่วนขนาดใหญ่เป็นผลคูณของเศษส่วนเล็ก เราได้
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
ตามนั้น: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$

ตัวอย่าง.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$

เห็นได้ชัดว่าสามารถบวกเลขยกกำลังได้เหมือนกับจำนวนอื่นๆ โดยเพิ่มเครื่องหมายทีละรายการ.

ดังนั้น ผลรวมของ a 3 และ b 2 คือ 3 + b 2
ผลรวมของ 3 - bn และ h 5 -d 4 คือ 3 - bn + h 5 - d 4

ราคาต่อรอง กำลังเท่ากันของตัวแปรที่เหมือนกันสามารถเพิ่มหรือลบได้

ดังนั้น ผลรวมของ 2a 2 และ 3a 2 เท่ากับ 5a 2

เห็นได้ชัดว่าถ้าคุณเอาสองกำลังสอง a หรือสามกำลังสอง a หรือห้ากำลังสอง a

แต่องศา. ตัวแปรต่างๆและ องศาต่างๆ ตัวแปรที่เหมือนกันจะต้องแต่งโดยเพิ่มเครื่องหมายไว้ด้วย

ดังนั้น ผลรวมของ 2 และ 3 คือผลรวมของ 2 + 3

เห็นได้ชัดว่ากำลังสองของ a และกำลังสามของ a ไม่เท่ากับสองเท่าของกำลังสองของ a แต่เป็นสองเท่าของกำลังสามของ a

ผลรวมของ 3 bn และ 3a 5 b 6 คือ 3 bn + 3a 5 b 6

การลบอำนาจกระทำในลักษณะเดียวกับการบวก เว้นแต่จะต้องเปลี่ยนเครื่องหมายของส่วนย่อยตามนั้น

หรือ:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(ก - ชม.) 6 - 2(ก - ชม.) 6 = 3(ก - ชม.) 6

ทวีคูณพลัง

ตัวเลขที่ยกกำลังสามารถคูณได้ เช่นเดียวกับจำนวนอื่นๆ โดยเขียนทีละตัว โดยมีหรือไม่มีเครื่องหมายคูณคั่นระหว่างตัวเลขเหล่านั้น

ดังนั้น ผลลัพธ์ของการคูณ a 3 ด้วย b 2 จึงเป็น 3 b 2 หรือ aaabb

หรือ:
x -3 ⋅ น ม. = ม. x -3
3a 6 ปี 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

ผลลัพธ์ในตัวอย่างสุดท้ายสามารถเรียงลำดับได้โดยการเพิ่มตัวแปรที่เหมือนกัน
นิพจน์จะอยู่ในรูปแบบ: a 5 b 5 y 3

โดยการเปรียบเทียบตัวเลข (ตัวแปร) หลายตัวกับกำลัง เราจะเห็นว่าถ้าสองตัวใดตัวหนึ่งคูณกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นตัวเลข (ตัวแปร) ที่มีกำลังเท่ากับ จำนวนองศาของเงื่อนไข

ดังนั้น a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5

โดยที่ 5 คือพลังของผลลัพธ์ของการคูณ เท่ากับ 2 + 3 ซึ่งเป็นผลรวมของพลังของเทอม

ดังนั้น a n .a m = a m+n

สำหรับ n , a ถือเป็นตัวประกอบหลายเท่าของกำลังของ n;

และ m จะถูกนำมาเป็นตัวประกอบหลาย ๆ ครั้งเมื่อระดับ m เท่ากับ

นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไม เลขยกกำลังที่มีฐานเท่ากันสามารถคูณได้ด้วยการบวกเลขชี้กำลังของเลขยกกำลัง

ดังนั้น 2 .a 6 = 2+6 = 8 และ x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

หรือ:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
ข 2 ปี 3 ⋅ ข 4 ปี = ข 6 ปี 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

คูณ (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y)
คำตอบ: x 4 - y 4
คูณ (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1)

กฎนี้ยังใช้ได้กับตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังด้วย เชิงลบ.

1. ดังนั้น a -2 .a -3 = a -5 . เขียนได้เป็น (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaa

2. y -n .y -m = y -n-m

3. a -n .a m = a m-n .

ถ้า a + b คูณด้วย a - b ผลลัพธ์จะเป็น 2 - b 2 นั่นคือ

ผลลัพธ์ของการคูณผลรวมหรือผลต่างของตัวเลขสองตัวจะเท่ากับผลรวมหรือผลต่างของกำลังสอง

ถ้าคุณคูณผลรวมและผลต่างของตัวเลขสองตัวที่ยกขึ้นมา สี่เหลี่ยมผลลัพธ์จะเท่ากับผลรวมหรือผลต่างของตัวเลขเหล่านี้ ที่สี่องศา

ดังนั้น (a - y).(a + y) = a 2 - y 2
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8

การแบ่งองศา

ตัวเลขที่ยกกำลังสามารถหารได้เช่นเดียวกับตัวเลขอื่นๆ โดยการลบออกจากเงินปันผล หรือโดยการวางไว้ในรูปเศษส่วน

ดังนั้น a 3 b 2 หารด้วย b 2 จึงเท่ากับ 3

หรือ:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

การเขียน 5 หารด้วย 3 ดูเหมือน $\frac(a^5)(a^3)$ แต่นี่เท่ากับ a 2 ในชุดตัวเลข
ก +4 , ก +3 , ก +2 , ก +1 , 0 , ก -1 , ก -2 , ก -3 , ก -4 .
จำนวนใดๆ ก็สามารถหารด้วยอีกจำนวนหนึ่งได้ และเลขชี้กำลังจะเท่ากับ ความแตกต่างตัวบ่งชี้ตัวเลขที่หารลงตัว

เมื่อหารองศาด้วยฐานเดียวกัน เลขยกกำลังจะถูกลบออก.

ดังนั้น y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 นั่นคือ $\frac(yyy)(yy) = y$

และ n+1:a = a n+1-1 = a n นั่นคือ $\frac(aa^n)(a) = a^n$

หรือ:
y 2m: y m = y m
8 ก.+ม.: 4 ก.ม. = 2 ก.น
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

กฎนี้ใช้กับตัวเลขด้วย เชิงลบค่าองศา
ผลลัพธ์ของการหาร -5 ด้วย -3 จะได้ -2
นอกจากนี้ $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(เอเอ)$.

ชั่วโมง 2:h -1 = ชั่วโมง 2+1 = ชั่วโมง 3 หรือ $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

จำเป็นต้องเชี่ยวชาญการคูณและการหารยกกำลังเป็นอย่างดี เนื่องจากการดำเนินการดังกล่าวมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในพีชคณิต

ตัวอย่างการแก้ตัวอย่างเศษส่วนที่มีตัวเลขยกกำลัง

1. ลดเลขชี้กำลังลงด้วย $\frac(5a^4)(3a^2)$ คำตอบ: $\frac(5a^2)(3)$

2. ลดเลขชี้กำลังลงด้วย $\frac(6x^6)(3x^5)$ คำตอบ: $\frac(2x)(1)$ หรือ 2x

3. ลดเลขยกกำลัง 2 /a 3 และ a -3 /a -4 แล้วหารด้วยตัวส่วนร่วม
a 2 .a -4 คือ -2 เป็นตัวเศษตัวแรก
a 3 .a -3 คือ 0 = 1 ซึ่งเป็นตัวเศษที่สอง
a 3 .a -4 คือ -1 ซึ่งเป็นตัวเศษร่วม
หลังจากการทำให้เข้าใจง่าย: a -2 /a -1 และ 1/a -1 .

4. ลดเลขชี้กำลัง 2a 4 /5a 3 และ 2 /a 4 แล้วนำมาหารด้วยตัวส่วนร่วม
คำตอบ: 2a 3 /5a 7 และ 5a 5 /5a 7 หรือ 2a 3 /5a 2 และ 5/5a 2

5. คูณ (a 3 + b)/b 4 ด้วย (a - b)/3

6. คูณ (a 5 + 1)/x 2 ด้วย (b 2 - 1)/(x + a)

7. คูณ b 4 /a -2 ด้วย h -3 /x และ n /y -3

8. หาร 4 /y 3 ด้วย 3 /y 2. คำตอบ: มี/มี.

9. หาร (h 3 - 1)/d 4 ด้วย (d n + 1)/h.

สูตรปริญญาใช้ในกระบวนการลดและลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่ซับซ้อนในการแก้สมการและอสมการ

ตัวเลข คเป็น n- กำลังของตัวเลข กเมื่อไร:

การดำเนินงานที่มีองศา

1. โดยการคูณองศาด้วยฐานเดียวกัน ตัวบ่งชี้จะถูกเพิ่ม:

เช้า·a n = a m + n

2. เมื่อหารองศาด้วยฐานเดียวกัน เลขยกกำลังจะถูกลบออก:

3. ระดับของผลคูณของ 2 ปัจจัยขึ้นไปจะเท่ากับผลคูณของระดับของปัจจัยเหล่านี้:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. ระดับของเศษส่วนเท่ากับอัตราส่วนของระดับของเงินปันผลและตัวหาร:

(ก/ข) n = n /b n

5. การยกกำลังให้เป็นกำลัง เลขชี้กำลังจะถูกคูณ:

(ก) n = ก ม n .

แต่ละสูตรข้างต้นเป็นจริงในทิศทางจากซ้ายไปขวาและในทางกลับกัน

ตัวอย่างเช่น. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

การดำเนินการที่มีราก

1. รากของผลคูณของปัจจัยหลายประการเท่ากับผลคูณของรากของปัจจัยเหล่านี้:

2. รากของอัตราส่วนเท่ากับอัตราส่วนของเงินปันผลและตัวหารของราก:

3. เมื่อยกรากเป็นกำลัง ก็เพียงพอที่จะเพิ่มเลขรากเป็นกำลังนี้:

4. หากเพิ่มระดับรากเข้าไป nครั้งหนึ่งและในเวลาเดียวกันก็สร้างเป็น nยกกำลังเป็นเลขราก ดังนั้นค่าของรากจะไม่เปลี่ยนแปลง:

5.ถ้าลดระดับรากลง nแยกรากไปพร้อมๆ กัน n- กำลังของจำนวนราก ดังนั้นค่าของรากจะไม่เปลี่ยนแปลง:

องศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบกำลังของจำนวนหนึ่งที่มีเลขชี้กำลังที่ไม่ใช่ค่าบวก (จำนวนเต็ม) ถูกกำหนดให้เป็นค่าที่หารด้วยกำลังของจำนวนเดียวกัน โดยมีเลขชี้กำลังเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของเลขชี้กำลังที่ไม่ใช่ค่าบวก:

สูตร เช้า:a n =a ม - nสามารถใช้ได้ไม่เพียงแต่สำหรับ ม> nแต่ยังมี ม< n.

ตัวอย่างเช่น. ก4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

ให้เป็นสูตร เช้า:a n =a ม - nยุติธรรมเมื่อ ม.=นจำเป็นต้องมีระดับศูนย์

องศาที่มีดัชนีเป็นศูนย์กำลังของจำนวนใดๆ ที่ไม่เท่ากับศูนย์โดยมีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง

ตัวอย่างเช่น. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

องศาที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนเพื่อเพิ่มจำนวนจริง กในระดับ ม./นคุณต้องแยกรากออก nระดับของ ม- ยกกำลังของเลขนี้ ก.

หากคุณต้องการเพิ่มจำนวนเฉพาะให้เป็นเลขยกกำลัง คุณสามารถใช้ . ตอนนี้เรามาดูกันดีกว่า คุณสมบัติขององศา.

เลขชี้กำลังเปิดความเป็นไปได้ที่ยิ่งใหญ่ พวกมันช่วยให้เราแปลงการคูณเป็นการบวกได้ และการบวกนั้นง่ายกว่าการคูณมาก

ตัวอย่างเช่น เราต้องคูณ 16 ด้วย 64 ผลคูณของการคูณตัวเลขสองตัวนี้คือ 1024 แต่ 16 คือ 4x4 และ 64 คือ 4x4x4 นั่นคือ 16 x 64 = 4x4x4x4x4 ซึ่งเท่ากับ 1,024 เช่นกัน

เลข 16 ยังสามารถแสดงเป็น 2x2x2x2 และ 64 แสดงเป็น 2x2x2x2x2x2 และถ้าเราคูณ เราจะได้ 1024 อีกครั้ง

ทีนี้ลองใช้กฎกัน 16=4 2 หรือ 2 4, 64=4 3 หรือ 2 6 ในเวลาเดียวกัน 1024=6 4 =4 5 หรือ 2 10

ดังนั้น ปัญหาของเราจึงสามารถเขียนแตกต่างออกไปได้: 4 2 x4 3 =4 5 หรือ 2 4 x2 6 =2 10 และทุกครั้งที่เราได้ 1,024

เราสามารถแก้ตัวอย่างที่คล้ายกันได้จำนวนหนึ่งและพบว่าการคูณตัวเลขด้วยกำลังลดลง การเพิ่มเลขชี้กำลังหรือเลขชี้กำลัง แน่นอน โดยมีเงื่อนไขว่าฐานของตัวประกอบจะเท่ากัน

ดังนั้น หากไม่คูณ เราก็บอกได้ทันทีว่า 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20

กฎนี้ยังใช้ได้เมื่อหารตัวเลขด้วยกำลัง แต่ในกรณีนี้ เลขชี้กำลังของตัวหารจะถูกลบออกจากเลขชี้กำลังของเงินปันผล- ดังนั้น 2 5:2 3 =2 2 ซึ่งในจำนวนสามัญจะเท่ากับ 32:8 = 4 นั่นคือ 2 2 สรุป:

a m x a n = a m+n, a m: a n = a m-n โดยที่ m และ n เป็นจำนวนเต็ม

เมื่อมองแวบแรกอาจดูเหมือนว่าเป็นเช่นนี้ การคูณและหารตัวเลขด้วยกำลังไม่สะดวกนัก เพราะก่อนอื่นคุณต้องแสดงตัวเลขในรูปแบบเลขชี้กำลัง การแสดงตัวเลข 8 และ 16 นั่นคือ 2 3 และ 2 4 ในรูปแบบนี้ไม่ใช่เรื่องยาก แต่จะทำอย่างไรกับตัวเลข 7 และ 17? หรือจะทำอย่างไรในกรณีที่สามารถแสดงตัวเลขในรูปแบบเลขชี้กำลังได้ แต่ฐานของนิพจน์เลขชี้กำลังแตกต่างกันมาก ตัวอย่างเช่น 8x9 คือ 2 3 x 3 2 ซึ่งในกรณีนี้เราไม่สามารถหาผลรวมเลขยกกำลังได้ ทั้ง 2 5 และ 3 5 ไม่ใช่คำตอบ และคำตอบก็ไม่ได้อยู่ในช่วงเวลาระหว่างตัวเลขสองตัวนี้

ถ้าอย่างนั้นมันคุ้มค่าที่จะกังวลกับวิธีนี้เลยเหรอ? คุ้มค่าแน่นอน ให้ประโยชน์มหาศาล โดยเฉพาะการคำนวณที่ซับซ้อนและใช้เวลานาน