คำนิยาม. ปริซึมเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยม โดยจุดยอดทั้งหมดอยู่ในระนาบขนานกันสองระนาบ และในระนาบเดียวกันนี้ มีใบหน้าสองหน้าของปริซึม ซึ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยมเท่ากันและมีด้านขนานกันตามลำดับ และขอบทั้งหมดที่ไม่อยู่ในระนาบเหล่านี้จะขนานกัน

เรียกว่ามีหน้าเท่ากันสองหน้า ฐานปริซึม(เอบีซี ก 1 บี 1 ค 1 ง 1 อี 1).

เรียกว่าหน้าอื่นๆ ของปริซึม ใบหน้าด้านข้าง(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A)

ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดเกิดขึ้น พื้นผิวด้านข้างของปริซึม .

ใบหน้าด้านข้างของปริซึมทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน .

ขอบที่ไม่อยู่ที่ฐานเรียกว่าขอบด้านข้างของปริซึม ( เอเอ 1, บีบี 1, ซีซี 1, ดีดี 1, อีอี 1).

ปริซึมในแนวทแยง คือ ส่วนที่มีปลายเป็นยอดปริซึม 2 จุดซึ่งไม่ได้อยู่หน้าเดียวกัน (ค.ศ. 1)

ความยาวของส่วนที่ต่อฐานของปริซึมและตั้งฉากกับฐานทั้งสองพร้อมกัน เรียกว่า ความสูงของปริซึม .

การกำหนด:ABCDE ก 1 B 1 C 1 D 1 E 1- (ขั้นแรก ในลำดับการเคลื่อนที่ จุดยอดของฐานหนึ่งจะถูกระบุ และจากนั้นในลำดับเดียวกัน จุดยอดของอีกฐานหนึ่ง ปลายของขอบแต่ละด้านถูกกำหนดด้วยตัวอักษรเดียวกัน กำหนดเฉพาะจุดยอดที่อยู่ในฐานเดียวเท่านั้นที่กำหนด ด้วยตัวอักษรที่ไม่มีดัชนีและอีกอัน - มีดัชนี)

ชื่อของปริซึมสัมพันธ์กับจำนวนมุมในรูปที่วางอยู่ที่ฐาน เช่น รูปที่ 1 มีรูปห้าเหลี่ยมอยู่ที่ฐาน จึงเรียกว่าปริซึม ปริซึมห้าเหลี่ยม- แต่เพราะว่า ปริซึมดังกล่าวมี 7 หน้าแล้วนั่นเอง เฮปตาเฮดรอน(2 หน้า - ฐานของปริซึม, 5 หน้า - สี่เหลี่ยมด้านขนาน - หน้าด้านข้าง)

ในบรรดาปริซึมตรง มีประเภทใดประเภทหนึ่งที่โดดเด่น: ปริซึมธรรมดา

เรียกว่าปริซึมตรง ถูกต้อง,ถ้าฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ

ขนานกัน

เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกัน- รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

คุณสมบัติและทฤษฎีบท:

,

โดยที่ d คือเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส
a คือด้านข้างของสี่เหลี่ยม

แนวคิดของปริซึมได้รับจาก:

• โครงสร้างทางสถาปัตยกรรมต่างๆ
• ของเล่นเด็ก;
• กล่องบรรจุภัณฑ์
• สินค้าของนักออกแบบ ฯลฯ

พื้นที่ผิวรวมและด้านข้างของปริซึม

S เต็ม = ฝั่ง S + 2S หลัก,

ที่ไหน สเต็มเลย- พื้นที่ผิวทั้งหมด ด้านเอส- พื้นที่ผิวด้านข้าง ฐานเอส- พื้นที่ฐาน

พื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึมตรงเท่ากับผลคูณของเส้นรอบวงฐานและความสูงของปริซึม.

ด้านเอส= P พื้นฐาน * h,

ที่ไหน ด้านเอส-พื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึมตรง

P main - เส้นรอบวงของฐานของปริซึมตรง

h คือความสูงของปริซึมตรง เท่ากับขอบข้าง

ปริมาตรปริซึม

ปริมาตรของปริซึมเท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูง

ปริซึมที่แตกต่างกันจะแตกต่างกัน ในขณะเดียวกันก็มีอะไรที่เหมือนกันหลายอย่าง หากต้องการหาพื้นที่ฐานของปริซึมคุณจะต้องเข้าใจว่าปริซึมนั้นมีประเภทใด

ทฤษฎีทั่วไป

ปริซึมคือรูปทรงหลายเหลี่ยมใดๆ ที่ด้านข้างมีรูปร่างเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ยิ่งไปกว่านั้นฐานของมันสามารถเป็นรูปหลายเหลี่ยมใดก็ได้ตั้งแต่รูปสามเหลี่ยมไปจนถึงรูป n-gon ยิ่งไปกว่านั้น ฐานของปริซึมจะเท่ากันเสมอ สิ่งที่ใช้ไม่ได้กับใบหน้าด้านข้างคือขนาดอาจแตกต่างกันอย่างมาก

เมื่อแก้ไขปัญหาไม่เพียงแต่จะพบพื้นที่ฐานของปริซึมเท่านั้น อาจต้องอาศัยความรู้พื้นผิวด้านข้าง กล่าวคือ ใบหน้าทั้งหมดที่ไม่ใช่ฐาน พื้นผิวที่สมบูรณ์จะเป็นการรวมกันของใบหน้าทั้งหมดที่ประกอบกันเป็นปริซึม

บางครั้งปัญหาก็เกี่ยวข้องกับความสูง มันตั้งฉากกับฐาน เส้นทแยงมุมของรูปทรงหลายเหลี่ยมคือส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดสองจุดใดๆ ที่ไม่อยู่ในหน้าเดียวกันเป็นคู่

ควรสังเกตว่าพื้นที่ฐานของปริซึมตรงหรือเอียงไม่ได้ขึ้นอยู่กับมุมระหว่างปริซึมกับใบหน้าด้านข้าง หากพวกมันมีรูปร่างเหมือนกันทั้งด้านบนและด้านล่าง พื้นที่ของพวกมันก็จะเท่ากัน

ปริซึมสามเหลี่ยม

ที่ฐานจะมีจุดยอดสามจุดคือรูปสามเหลี่ยม อย่างที่คุณทราบมันอาจจะแตกต่างออกไป ถ้าเป็นเช่นนั้น ก็เพียงพอที่จะจำไว้ว่าพื้นที่ของมันถูกกำหนดโดยครึ่งหนึ่งของผลคูณของขา

สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์มีลักษณะดังนี้: S = ½ av

หากต้องการทราบพื้นที่ของฐานโดยทั่วไปสูตรนี้มีประโยชน์: นกกระสาและสูตรที่ความสูงที่ดึงลงไปครึ่งหนึ่งของด้านข้าง

ควรเขียนสูตรแรกดังนี้: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)) สัญกรณ์นี้ประกอบด้วยกึ่งเส้นรอบรูป (p) นั่นคือผลรวมของด้านทั้งสามหารด้วยสอง

ประการที่สอง: S = ½ n a * a

หากคุณต้องการหาพื้นที่ฐานของปริซึมสามเหลี่ยมซึ่งเป็นปริซึมสม่ำเสมอ สามเหลี่ยมนั้นจะกลายเป็นด้านเท่ากันหมด มีสูตรดังนี้: S = ¼ a 2 * √3

ปริซึมสี่เหลี่ยม

ฐานของมันคือจตุรัสใดๆ ที่รู้จัก อาจเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือสี่เหลี่ยมจัตุรัส สี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนก็ได้ ในแต่ละกรณีในการคำนวณพื้นที่ฐานของปริซึม คุณจะต้องมีสูตรของคุณเอง

หากฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า พื้นที่จะถูกกำหนดดังนี้ S = ab โดยที่ a, b คือด้านของสี่เหลี่ยม

เมื่อพูดถึงปริซึมสี่เหลี่ยม พื้นที่ฐานของปริซึมปกติจะคำนวณโดยใช้สูตรสี่เหลี่ยมจัตุรัส เพราะเขาคือผู้ที่นอนอยู่ที่รากฐาน ส = ก 2

ในกรณีที่ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน จะต้องมีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: S = a * n a มันเกิดขึ้นที่ด้านของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานและมุมใดมุมหนึ่งได้รับมา จากนั้น ในการคำนวณความสูง คุณจะต้องใช้สูตรเพิ่มเติม: n a = b * sin A ยิ่งไปกว่านั้น มุม A อยู่ติดกับด้าน "b" และความสูง n อยู่ตรงข้ามกับมุมนี้

หากมีรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนอยู่ที่ฐานของปริซึม คุณจะต้องใช้สูตรเดียวกันกับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานในการกำหนดพื้นที่ (เนื่องจากเป็นกรณีพิเศษ) แต่คุณสามารถใช้สิ่งนี้ได้: S = ½ d 1 d 2 โดยที่ d 1 และ d 2 คือเส้นทแยงมุมสองเส้นของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

ปริซึมห้าเหลี่ยมปกติ

กรณีนี้เกี่ยวข้องกับการแบ่งรูปหลายเหลี่ยมออกเป็นรูปสามเหลี่ยม ซึ่งจะหาพื้นที่ได้ง่ายกว่า แม้ว่ามันจะเกิดขึ้นที่ตัวเลขสามารถมีจำนวนจุดยอดที่แตกต่างกันได้

เนื่องจากฐานของปริซึมเป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติ จึงสามารถแบ่งรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าได้ห้ารูป จากนั้นพื้นที่ฐานของปริซึมจะเท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยมดังกล่าวหนึ่งอัน (ดูสูตรด้านบน) คูณด้วย 5

ปริซึมหกเหลี่ยมปกติ

การใช้หลักการที่อธิบายไว้สำหรับปริซึมห้าเหลี่ยม ทำให้สามารถแบ่งรูปหกเหลี่ยมของฐานออกเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าได้ 6 รูป สูตรสำหรับพื้นที่ฐานของปริซึมดังกล่าวคล้ายกับสูตรก่อนหน้า ควรคูณด้วยหกเท่านั้น

สูตรจะมีลักษณะดังนี้: S = 3/2 a 2 * √3

งาน

ลำดับที่ 1 เมื่อพิจารณาจากเส้นตรงปกติ เส้นทแยงมุมคือ 22 ซม. ความสูงของรูปทรงหลายเหลี่ยมคือ 14 ซม. คำนวณพื้นที่ฐานของปริซึมและพื้นผิวทั้งหมด

สารละลาย.ฐานของปริซึมเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส แต่ไม่ทราบด้านข้าง คุณสามารถหาค่าได้จากเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส (x) ซึ่งสัมพันธ์กับเส้นทแยงมุมของปริซึม (d) และความสูง (h) x 2 = ง 2 - n 2 ในทางกลับกัน ส่วน “x” นี้ก็คือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมซึ่งมีขาเท่ากับด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัส นั่นคือ x 2 = a 2 + a 2 ปรากฎว่า a 2 = (d 2 - n 2)/2

แทนที่ตัวเลข 22 แทน d และแทนที่ "n" ด้วยค่าของมัน - 14 ปรากฎว่าด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ 12 ซม. ตอนนี้แค่หาพื้นที่ของฐาน: 12 * 12 = 144 ซม 2.

หากต้องการทราบพื้นที่ของพื้นผิวทั้งหมด คุณต้องเพิ่มพื้นที่ฐานสองเท่าและเพิ่มพื้นที่ด้านข้างเป็นสี่เท่า อย่างหลังสามารถพบได้ง่ายโดยใช้สูตรสำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้า: คูณความสูงของรูปทรงหลายเหลี่ยมและด้านข้างของฐาน นั่นคือ 14 และ 12 ตัวเลขนี้จะเท่ากับ 168 ซม. 2 พื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึมกลายเป็น 960 ซม. 2

คำตอบ.พื้นที่ฐานปริซึม 144 ซม. 2 พื้นผิวทั้งหมดคือ 960 ซม. 2

ลำดับที่ 2. ให้ไว้ที่ฐานมีรูปสามเหลี่ยมด้านหนึ่งยาว 6 ซม. ในกรณีนี้ เส้นทแยงมุมของหน้าด้านข้างคือ 10 ซม. จงคำนวณพื้นที่: ฐานและพื้นผิวด้านข้าง

สารละลาย.เนื่องจากปริซึมเป็นแบบปกติ ฐานจึงเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า ดังนั้น พื้นที่ของมันจะเท่ากับ 6 กำลังสอง คูณด้วย ¼ และรากที่สองของ 3 การคำนวณอย่างง่ายนำไปสู่ผลลัพธ์: 9√3 ซม. 2 นี่คือพื้นที่ฐานหนึ่งของปริซึม

ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดเหมือนกันและเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านขนาด 6 และ 10 ซม. หากต้องการคำนวณพื้นที่ ให้คูณตัวเลขเหล่านี้ แล้วคูณด้วยสาม เพราะปริซึมมีด้านหลายด้านพอดี จากนั้นพื้นที่ผิวด้านข้างของแผลจะเท่ากับ 180 ซม. 2

คำตอบ.พื้นที่: ฐาน - 9√3 ซม. 2, พื้นผิวด้านข้างของปริซึม - 180 ซม. 2

ปริซึม. ขนานกัน

ปริซึมคือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีใบหน้าสองหน้ามี n-gons เท่ากัน (ฐาน) นอนอยู่ในระนาบขนาน และใบหน้าที่เหลืออีก n หน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน (หน้าด้านข้าง) . ซี่โครงด้านข้าง ด้านของปริซึมที่ไม่อยู่ในฐานเรียกว่าด้านของปริซึม

ปริซึมที่มีขอบด้านข้างตั้งฉากกับระนาบของฐานเรียกว่าปริซึม ตรง ปริซึม (รูปที่ 1) หากขอบด้านข้างไม่ตั้งฉากกับระนาบของฐาน ปริซึมจะถูกเรียก โน้มเอียง . ถูกต้อง ปริซึมคือปริซึมตรงที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ

ความสูงปริซึมคือระยะห่างระหว่างระนาบของฐาน เส้นทแยงมุม ปริซึมคือส่วนที่เชื่อมระหว่างจุดยอดสองจุดซึ่งไม่อยู่ในด้านเดียวกัน ส่วนแนวทแยง เรียกว่าส่วนของปริซึมโดยเครื่องบินที่ผ่านขอบด้านข้างทั้งสองซึ่งไม่อยู่ในหน้าเดียวกัน ส่วนตั้งฉาก เรียกว่าส่วนของปริซึมโดยระนาบที่ตั้งฉากกับขอบด้านข้างของปริซึม

พื้นที่ผิวด้านข้าง ของปริซึมคือผลรวมของพื้นที่ของหน้าด้านข้างทั้งหมด พื้นที่ผิวทั้งหมด เรียกว่า ผลรวมของพื้นที่หน้าทั้งหมดของปริซึม (ได้แก่ ผลรวมของพื้นที่หน้าข้างและพื้นที่ฐาน)

สำหรับปริซึมตามใจชอบ สูตรต่อไปนี้จะเป็นจริง::

ที่ไหน ล– ความยาวของซี่โครงด้านข้าง

ชม- ความสูง;

ป

ถาม

ด้านเอส

สเต็มเลย

ฐานเอส– พื้นที่ฐาน;

วี– ปริมาตรของปริซึม

สำหรับปริซึมตรง สูตรต่อไปนี้ถูกต้อง:

ที่ไหน พี– เส้นรอบฐานฐาน

ล– ความยาวของซี่โครงด้านข้าง

ชม- ความสูง.

ขนานกันเรียกว่าปริซึมซึ่งมีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ขนานที่มีขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐานเรียกว่า โดยตรง (รูปที่ 2) หากขอบด้านข้างไม่ตั้งฉากกับฐานแสดงว่าขนานกัน โน้มเอียง - ขนานด้านขวาซึ่งมีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเรียกว่า สี่เหลี่ยม เรียกว่าสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีขอบเท่ากันทุกด้าน ลูกบาศก์

ใบหน้าของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ไม่มีจุดยอดร่วมกันเรียกว่า ตรงข้าม - ความยาวของขอบที่เล็ดลอดออกมาจากจุดยอดหนึ่งเรียกว่า การวัด ขนานกัน เนื่องจากรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นเป็นปริซึม องค์ประกอบหลักของมันจึงถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับที่นิยามไว้สำหรับปริซึม

ทฤษฎีบท

1. เส้นทแยงมุมของเส้นขนานที่ตัดกันที่จุดหนึ่งแล้วแบ่งออกเป็นสองส่วน

2. ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน กำลังสองของความยาวของเส้นทแยงมุมจะเท่ากับผลรวมของกำลังสองในสามมิติ:

3. เส้นทแยงมุมทั้งสี่เส้นของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะมีขนาดเท่ากัน

สำหรับเส้นขนานโดยพลการ สูตรต่อไปนี้ใช้ได้:

ที่ไหน ล– ความยาวของซี่โครงด้านข้าง

ชม- ความสูง;

ป– เส้นรอบวงของส่วนตั้งฉาก

ถาม– พื้นที่หน้าตัดตั้งฉาก

ด้านเอส– พื้นที่ผิวด้านข้าง

สเต็มเลย– พื้นที่ผิวทั้งหมด

ฐานเอส– พื้นที่ฐาน;

วี– ปริมาตรของปริซึม

สำหรับเส้นขนานที่ถูกต้อง สูตรต่อไปนี้ถูกต้อง:

ที่ไหน พี– เส้นรอบฐานฐาน

ล– ความยาวของซี่โครงด้านข้าง

ชม– ความสูงของเส้นขนานด้านขวา

สำหรับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน สูตรต่อไปนี้ถูกต้อง:

(3)

ที่ไหน พี– เส้นรอบฐานฐาน

ชม- ความสูง;

ง– เส้นทแยงมุม;

ก,ข,ค– การวัดเส้นขนาน

สูตรต่อไปนี้ถูกต้องสำหรับคิวบ์:

ที่ไหน ก– ความยาวซี่โครง;

ง- เส้นทแยงมุมของลูกบาศก์

ตัวอย่างที่ 1เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ 33 dm และขนาดของมันอยู่ในอัตราส่วน 2: 6: 9 ค้นหาขนาดของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

สารละลาย.ในการค้นหาขนาดของเส้นขนานเราใช้สูตร (3) เช่น โดยข้อเท็จจริงที่ว่ากำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากของทรงลูกบาศก์เท่ากับผลรวมของกำลังสองของมิติของมัน ให้เราแสดงโดย เคปัจจัยสัดส่วน จากนั้นขนาดของเส้นขนานจะเท่ากับ 2 เค, 6เคและ 9 เค- ให้เราเขียนสูตร (3) สำหรับข้อมูลปัญหา:

การแก้สมการนี้เพื่อ เค, เราได้รับ:

ซึ่งหมายความว่าขนาดของเส้นขนานคือ 6 dm, 18 dm และ 27 dm

คำตอบ: 6 ซม., 18 ซม., 27 ซม.

ตัวอย่างที่ 2จงหาปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมมุมเอียง ซึ่งมีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้านยาว 8 ซม. ถ้าขอบด้านข้างเท่ากับด้านข้างของฐานและเอียงเป็นมุม 60 องศากับฐาน

สารละลาย . มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 3)

เพื่อที่จะหาปริมาตรของปริซึมที่มีความเอียง คุณจำเป็นต้องรู้พื้นที่ฐานและความสูงของปริซึมนั้น พื้นที่ฐานของปริซึมนี้คือพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้านยาว 8 ซม. ให้เราคำนวณดังนี้

ความสูงของปริซึมคือระยะห่างระหว่างฐาน จากด้านบน ก 1 ของฐานบน ลดตั้งฉากกับระนาบของฐานล่าง ก 1 ดี- ความยาวจะเป็นความสูงของปริซึม พิจารณา D ก 1 ค.ศ: เนื่องจากนี่คือมุมเอียงของขอบด้านข้าง ก 1 กไปยังระนาบฐาน ก 1 ก= 8 ซม. จากสามเหลี่ยมนี้เราพบ ก 1 ดี:

ตอนนี้เราคำนวณปริมาตรโดยใช้สูตร (1):

คำตอบ: 192 ซม.3.

ตัวอย่างที่ 3ขอบด้านข้างของปริซึมหกเหลี่ยมปกติคือ 14 ซม. พื้นที่ของส่วนทแยงที่ใหญ่ที่สุดคือ 168 ซม. 2 หาพื้นที่ผิวรวมของปริซึม

สารละลาย.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 4)

ส่วนเส้นทแยงมุมที่ใหญ่ที่สุดคือสี่เหลี่ยมผืนผ้า เอเอ 1 วว 1 ตั้งแต่เส้นทแยงมุม ค.ศหกเหลี่ยมปกติ เอบีซีดีเอฟมีขนาดใหญ่ที่สุด ในการคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึมจำเป็นต้องทราบด้านข้างของฐานและความยาวของขอบด้านข้าง

เมื่อทราบพื้นที่ของส่วนตัดขวาง (สี่เหลี่ยม) เราจะพบเส้นทแยงมุมของฐาน

ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา

ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา เอบี= 6 ซม.

จากนั้นเส้นรอบวงของฐานคือ:

ให้เราหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึม:

พื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมปกติด้าน 6 ซม. คือ:

ค้นหาพื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึม:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 4ฐานของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนด้านขวาเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน พื้นที่หน้าตัดในแนวทแยงคือ 300 ตารางเซนติเมตร และ 875 ตารางเซนติเมตร ค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

สารละลาย.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 5)

ให้เราแสดงด้านของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนด้วย กเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ง 1 และ ง 2 ความสูงขนาน ชม.- ในการหาพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานด้านขวา จำเป็นต้องคูณเส้นรอบวงของฐานด้วยความสูง: (สูตร (2)) เส้นรอบฐานฐาน p = AB + BC + ซีดี + DA = 4AB = 4a, เพราะ เอบีซีดี- รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เอช = เอเอ 1 = ชม.- ที่. จำเป็นต้องค้นหา กและ ชม..

ลองพิจารณาส่วนทแยงมุม เอเอ 1 เอสเอส 1 – สี่เหลี่ยมผืนผ้า ด้านหนึ่งเป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เครื่องปรับอากาศ = ง 1, ที่สอง – ขอบด้าน เอเอ 1 = ชม., แล้ว

ในทำนองเดียวกันสำหรับส่วน BB 1 วว 1 เราได้รับ:

การใช้คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยที่ผลรวมของกำลังสองของเส้นทแยงมุมเท่ากับผลรวมของกำลังสองของทุกด้าน เราจะได้ค่าความเท่าเทียมกันที่เราได้รับดังต่อไปนี้

ในหลักสูตรของโรงเรียนสำหรับหลักสูตร Stereometry การศึกษาตัวเลขสามมิติมักจะเริ่มต้นด้วยรูปทรงเรขาคณิตที่เรียบง่าย - รูปทรงหลายเหลี่ยมของปริซึม บทบาทของฐานนั้นแสดงโดยรูปหลายเหลี่ยม 2 รูปเท่ากันซึ่งอยู่ในระนาบขนานกัน กรณีพิเศษคือปริซึมทรงสี่เหลี่ยมปกติ ฐานของมันคือสี่เหลี่ยมจัตุรัสปกติ 2 อันที่เหมือนกัน โดยด้านข้างตั้งฉากกัน โดยมีรูปร่างเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน (หรือสี่เหลี่ยม ถ้าปริซึมไม่เอียง)

ปริซึมมีลักษณะอย่างไร?

ปริซึมรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสปกติเป็นรูปหกเหลี่ยม โดยมีฐานเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส 2 อัน และด้านด้านข้างแสดงด้วยสี่เหลี่ยมมุมฉาก อีกชื่อหนึ่งของรูปทรงเรขาคณิตนี้คือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานตรง

ภาพวาดที่แสดงปริซึมสี่เหลี่ยมแสดงอยู่ด้านล่าง

คุณยังสามารถเห็นในภาพ องค์ประกอบที่สำคัญที่สุดที่ประกอบเป็นรูปทรงเรขาคณิต- ซึ่งรวมถึง:

บางครั้งในปัญหาทางเรขาคณิต คุณอาจเจอแนวคิดของส่วนต่างๆ ได้ คำจำกัดความจะมีลักษณะดังนี้: ส่วนคือจุดทั้งหมดของปริมาตรที่อยู่ในระนาบการตัด ส่วนสามารถตั้งฉากได้ (ตัดขอบของรูปภาพที่มุม 90 องศา) สำหรับปริซึมสี่เหลี่ยม จะพิจารณาส่วนทแยงด้วย (จำนวนส่วนสูงสุดที่สามารถสร้างได้คือ 2) ผ่าน 2 ขอบและเส้นทแยงมุมของฐาน

ถ้าส่วนถูกวาดในลักษณะที่ระนาบการตัดไม่ขนานกับฐานหรือหน้าด้านข้าง ผลลัพธ์ที่ได้คือปริซึมที่ถูกตัดทอน

ในการค้นหาองค์ประกอบปริซึมที่ลดลง จะใช้ความสัมพันธ์และสูตรต่างๆ บางส่วนเป็นที่รู้จักจากหลักสูตร planimetry (เช่นหากต้องการหาพื้นที่ฐานของปริซึมก็เพียงพอที่จะจำสูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส)

พื้นที่ผิวและปริมาตร

ในการกำหนดปริมาตรของปริซึมโดยใช้สูตร คุณจำเป็นต้องทราบพื้นที่ของฐานและความสูงของมัน:

V = สบาส ช

เนื่องจากฐานของปริซึมทรงสี่หน้าปกติเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านข้าง ก,คุณสามารถเขียนสูตรในรูปแบบรายละเอียดเพิ่มเติมได้:

วี = a²·ชม

หากเรากำลังพูดถึงลูกบาศก์ - ปริซึมปกติที่มีความยาว ความกว้าง และความสูงเท่ากัน ปริมาตรจะถูกคำนวณดังนี้:

เพื่อให้เข้าใจวิธีการหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึมคุณต้องจินตนาการถึงการพัฒนาของมัน

จากรูปวาดจะเห็นว่าพื้นผิวด้านข้างประกอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัส 4 รูปที่มีขนาดเท่ากัน พื้นที่ของมันถูกคำนวณเป็นผลคูณของเส้นรอบวงของฐานและความสูงของรูป:

Sside = ตำแหน่ง h

โดยคำนึงว่าเส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีค่าเท่ากับ พ = 4ก,สูตรจะอยู่ในรูปแบบ:

ไซด์ = 4ah

สำหรับลูกบาศก์:

ด้าน = 4a²

ในการคำนวณพื้นที่ผิวรวมของปริซึม คุณต้องเพิ่มพื้นที่ฐาน 2 แห่งให้กับพื้นที่ด้านข้าง:

Sfull = Sside + 2Smain

เมื่อสัมพันธ์กับปริซึมปกติรูปสี่เหลี่ยม สูตรจะมีลักษณะดังนี้:

รวม = 4ah + 2a²

สำหรับพื้นที่ผิวของลูกบาศก์:

เต็ม = 6a²

เมื่อรู้ปริมาตรหรือพื้นที่ผิวแล้ว คุณสามารถคำนวณองค์ประกอบแต่ละส่วนของตัวเรขาคณิตได้

การค้นหาองค์ประกอบของปริซึม

บ่อยครั้งที่มีปัญหาในการให้ปริมาตรหรือทราบค่าของพื้นที่ผิวด้านข้างซึ่งจำเป็นต้องกำหนดความยาวของด้านข้างของฐานหรือความสูง ในกรณีเช่นนี้ สามารถหาสูตรได้:

• ความยาวด้านฐาน: a = ด้าน / 4h = √(V / h);
• ความสูงหรือความยาวซี่โครงด้านข้าง: h = ด้าน / 4a = V / a²;
• พื้นที่ฐาน: Sbas = V / ชม.;
• บริเวณใบหน้าด้านข้าง: ด้านข้าง gr = ด้าน / 4.

หากต้องการทราบว่าส่วนทแยงมีพื้นที่เท่าใด คุณจำเป็นต้องทราบความยาวของเส้นทแยงมุมและความสูงของรูป สำหรับสี่เหลี่ยมจัตุรัส ง = a√2ดังนั้น:

ซเดียก = ah√2

ในการคำนวณเส้นทแยงมุมของปริซึม ให้ใช้สูตร:

รางวัล = √(2a² + h²)

เพื่อให้เข้าใจถึงวิธีใช้ความสัมพันธ์ที่กำหนด คุณสามารถฝึกฝนและแก้ไขงานง่ายๆ หลายๆ งานได้

ตัวอย่างปัญหาพร้อมวิธีแก้ไข

ต่อไปนี้เป็นงานบางส่วนที่พบในการสอบปลายภาควิชาคณิตศาสตร์

แบบฝึกหัดที่ 1

เททรายลงในกล่องที่มีรูปร่างคล้ายปริซึมสี่เหลี่ยมทั่วไป ความสูงของระดับคือ 10 ซม. ระดับทรายจะเป็นอย่างไรหากคุณย้ายมันไปไว้ในภาชนะที่มีรูปร่างเหมือนกัน แต่มีฐานยาวเป็นสองเท่า?

ควรให้เหตุผลดังนี้ ปริมาณทรายในภาชนะที่หนึ่งและที่สองไม่เปลี่ยนแปลงนั่นคือ ปริมาตรในนั้นเท่าเดิม คุณสามารถระบุความยาวของฐานได้โดย ก- ในกรณีนี้ สำหรับกล่องแรก ปริมาตรของสารจะเป็นดังนี้:

V₁ = ฮ่า² = 10a²

กล่องที่ 2 ความยาวของฐานคือ 2กแต่ไม่ทราบความสูงของระดับทราย:

V₂ = ชั่วโมง (2a)² = 4ha²

เพราะว่า วี₁ = วี₂เราสามารถเทียบนิพจน์ได้:

10a² = 4ha²

หลังจากลดสมการทั้งสองข้างลง a² เราจะได้:

ส่งผลให้ระดับทรายใหม่จะเป็น ชั่วโมง = 10/4 = 2.5ซม.

ภารกิจที่ 2

ABCDA₁B₁C₁D₁ เป็นปริซึมที่ถูกต้อง เป็นที่รู้กันว่า BD = AB₁ = 6√2 หาพื้นที่ผิวทั้งหมดของร่างกาย

เพื่อให้เข้าใจได้ง่ายขึ้นว่าองค์ประกอบใดที่ทราบ คุณสามารถวาดรูปได้

เนื่องจากเรากำลังพูดถึงปริซึมปกติ เราสามารถสรุปได้ว่าที่ฐานจะมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีเส้นทแยงมุม 6√2 เส้นทแยงมุมของหน้าด้านข้างมีขนาดเท่ากัน ดังนั้น ใบหน้าด้านข้างจึงมีรูปทรงสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับฐานด้วย ปรากฎว่าสามมิติทั้งความยาว ความกว้าง และความสูง เท่ากัน เราสามารถสรุปได้ว่า ABCDA₁B₁C₁D₁ เป็นลูกบาศก์

ความยาวของขอบใดๆ จะถูกกำหนดโดยเส้นทแยงมุมที่ทราบ:

ก = ง / √2 = 6√2 / √2 = 6

พื้นที่ผิวทั้งหมดหาได้จากสูตรของลูกบาศก์:

เต็ม = 6a² = 6 6² = 216

ภารกิจที่ 3

ห้องกำลังอยู่ในระหว่างการปรับปรุง เป็นที่ทราบกันว่าพื้นมีลักษณะเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีพื้นที่ 9 ตร.ม. ความสูงของห้องคือ 2.5 ม. ราคาต่ำสุดในการติดวอลเปเปอร์คือเท่าไรถ้า 1 ตารางเมตรราคา 50 รูเบิล?

เนื่องจากพื้นและเพดานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เช่น รูปสี่เหลี่ยมปกติ และผนังตั้งฉากกับพื้นผิวแนวนอน เราจึงสรุปได้ว่านี่คือปริซึมปกติ จำเป็นต้องกำหนดพื้นที่พื้นผิวด้านข้าง

ความยาวของห้องคือ ก = √9 = 3ม.

พื้นที่จะปูด้วยวอลเปเปอร์ ด้านข้าง = 4 3 2.5 = 30 ตร.ม.

วอลเปเปอร์ราคาถูกที่สุดของห้องนี้คือ 50·30 = 1500รูเบิล

ดังนั้น ในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับปริซึมสี่เหลี่ยมนั้น ก็เพียงพอแล้วที่จะสามารถคำนวณพื้นที่และปริมณฑลของสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้ รวมทั้งรู้สูตรในการหาปริมาตรและพื้นที่ผิวด้วย

วิธีหาพื้นที่ของลูกบาศก์