Muitos números adquiriram sua magnitude e significado supersticioso nos tempos antigos. Hoje em dia, novos mitos estão sendo acrescentados a eles. Existem muitas lendas sobre o número pi; os famosos números de Fibonacci não são muito menos famosos que ele. Mas talvez a coisa mais surpreendente seja o número e, que ele não pode prescindir matemática moderna, física e até economia.
O valor aritmético de e é aproximadamente 2,718. Por que não exatamente, mas aproximadamente? Por ser irracional e transcendental, esse número não pode ser expresso como uma fração com inteiros naturais ou como um polinômio com coeficientes racionais. Para a maioria dos cálculos, a precisão especificada de 2,718 é suficiente, embora o nível moderno da tecnologia computacional permita que seu valor seja determinado com uma precisão de mais de um trilhão de casas decimais.
A principal característica do número e é que a derivada de sua função exponencial f (x) = e x é igual ao valor da própria função e x. Nenhuma outra relação matemática possui uma propriedade tão incomum. Vamos falar sobre isso com um pouco mais de detalhes.
O que é um limite
Primeiro, vamos entender o conceito de limite. Considere alguma expressão matemática, por exemplo, i = 1/n. Pode ver, que à medida que “n” aumenta", o valor de "i" diminuirá e, à medida que "n" tende ao infinito (que é denotado pelo sinal ∞), "i" tenderá ao valor limite (mais frequentemente chamado simplesmente de limite) igual a zero. A expressão para o limite (denotado como lim) para o caso em consideração pode ser escrita como lim n →∞ (1/ n) = 0.
Existem limites diferentes para expressões diferentes. Um desses limites, incluído nos livros didáticos soviéticos e russos como o segundo limite notável, é a expressão lim n →∞ (1+1/ n) n. Já na Idade Média foi estabelecido que o limite desta expressão é o número e.
O primeiro limite notável inclui a expressão lim n →∞ (Sin n / n) = 1.
Como encontrar a derivada de e x - neste vídeo.
Qual é a derivada de uma função
Para explicar o conceito de derivada, devemos lembrar o que é uma função em matemática. Para não sobrecarregar o texto com definições complexas, focaremos no conceito matemático intuitivo de função, que consiste no fato de que nela uma ou mais quantidades determinam completamente o valor de outra quantidade se estiverem inter-relacionadas. Por exemplo, na fórmula S = π ∙ r 2 a área de um círculo, o valor do raio r determina completa e exclusivamente a área do círculo S.
Dependendo do tipo, as funções podem ser algébricas, trigonométricas, logarítmicas, etc. Podem ter dois, três ou mais argumentos interligados. Por exemplo, a distância S percorrida, que um objeto percorreu a uma velocidade uniformemente acelerada, é descrita pela função S = 0,5 ∙ a ∙ t 2 + V ∙ t, onde “t” é o tempo do movimento, o argumento “a ”é a aceleração (pode ser positiva ou negativa) e “V” é a velocidade inicial do movimento. Assim, a distância percorrida depende dos valores de três argumentos, dois dos quais (“a” e “V”) são constantes.
Vamos usar este exemplo para demonstrar o conceito elementar de derivada de uma função. Caracteriza a taxa de variação da função em um determinado ponto. No nosso exemplo, esta será a velocidade de movimento do objeto em um momento específico. Com constantes “a” e “V”, depende apenas do tempo “t”, ou seja, em linguagem científica, é preciso tirar a derivada da função S em relação ao tempo “t”.
Este processo é chamado de diferenciação e é realizado calculando o limite da razão entre o crescimento de uma função e o crescimento de seu argumento em uma quantidade insignificantemente pequena. Resolver tais problemas para funções individuais é muitas vezes difícil e não é discutido aqui. Também é importante notar que algumas funções em determinados pontos não possuem tais limites.
No nosso exemplo, a derivada S com o tempo “t” assumirá a forma S" = ds/dt = a ∙ t + V, a partir da qual pode-se ver que a velocidade S" varia linearmente dependendo de “t”.
Derivada do expoente
Uma função exponencial é chamada de função exponencial, cuja base é o número e. Geralmente é exibida na forma F (x) = e x, onde o expoente x é uma quantidade variável. Esta função possui diferenciabilidade completa em todo o intervalo de números reais. À medida que x cresce, ele aumenta constantemente e é sempre maior que zero. Sua função inversa é o logaritmo.
O famoso matemático Taylor conseguiu expandir esta função em uma série com seu nome e x = 1 + x/1! +x2/2! +x3/3! +… no intervalo x de - ∞ a + ∞.
Lei baseada nesta função, é chamado de exponencial. Ele descreve:
- aumento das taxas de juros bancárias compostas;
- aumento das populações animais e da população global;
- tempo de rigor mortis e muito mais.
Repitamos mais uma vez a notável propriedade desta dependência - o valor de sua derivada em qualquer ponto é sempre igual ao valor da função neste ponto, ou seja, (ex)" = e x.
Apresentamos as derivadas para os casos mais gerais da exponencial:
- (e machado)" = a ∙ e machado ;
- (e f (x))" = f"(x) ∙ e f (x) .
Usando essas dependências, é fácil encontrar derivadas para outros tipos específicos desta função.
Alguns fatos interessantes sobre o número e
Os nomes de cientistas como Napier, Oughtred, Huygens, Bernoulli, Leibniz, Newton, Euler e outros estão associados a este número. Este último introduziu a notação e para este número, e também encontrou os primeiros 18 sinais, usando a série e = 1 + 1/1 que descobriu para o cálculo! + 2/2! +3/3! ...
O número e aparece nos lugares mais inesperados. Por exemplo, está incluído na equação da catenária, que descreve a curvatura de uma corda sob seu próprio peso quando suas extremidades são fixadas em suportes.
Vídeo
O tema da videoaula é a derivada da função exponencial.
Prova e derivação das fórmulas da derivada da exponencial (e elevado à potência x) e da função exponencial (a elevada à potência x). Exemplos de cálculo de derivadas de e^2x, e^3x e e^nx. Fórmulas para derivadas de ordens superiores.
ContenteVeja também: Função exponencial - propriedades, fórmulas, gráfico
Expoente, e elevado à potência x - propriedades, fórmulas, gráfico
Fórmulas básicas
A derivada de um expoente é igual ao próprio expoente (a derivada de e elevado à potência x é igual a e elevado à potência x):
(1)
(e x )′ = e x.
A derivada de uma função exponencial com base a é igual à própria função multiplicada pelo logaritmo natural de a:
(2)
.
Uma exponencial é uma função exponencial cuja base é igual ao número e, que é o seguinte limite:
.
Aqui pode ser um número natural ou um número real. A seguir, derivamos a fórmula (1) para a derivada da exponencial.
Derivação da fórmula da derivada exponencial
Considere o exponencial, e elevado à potência x:
y = e x .
Esta função é definida para todos. Vamos encontrar sua derivada em relação à variável x. Por definição, a derivada é o seguinte limite:
(3)
.
Vamos transformar esta expressão para reduzi-la a propriedades e regras matemáticas conhecidas. Para fazer isso, precisamos dos seguintes fatos:
A) Propriedade do expoente:
(4)
;
B) Propriedade do logaritmo:
(5)
;
EM) Continuidade do logaritmo e propriedade dos limites para uma função contínua:
(6)
.
Aqui está uma função que tem um limite e este limite é positivo.
G) O significado do segundo limite notável:
(7)
.
Vamos aplicar esses fatos ao nosso limite (3). Usamos a propriedade (4):
;
.
Vamos fazer uma substituição. Então ; .
Devido à continuidade da exponencial,
.
Portanto, quando , . Como resultado obtemos:
.
Vamos fazer uma substituição. Então . No , . E nós temos:
.
Vamos aplicar a propriedade do logaritmo (5):
. Então
.
Vamos aplicar a propriedade (6). Como existe um limite positivo e o logaritmo é contínuo, então:
.
Aqui também usamos o segundo limite notável (7). Então
.
Assim, obtivemos a fórmula (1) para a derivada da exponencial.
Derivação da fórmula para a derivada de uma função exponencial
Agora derivamos a fórmula (2) para a derivada da função exponencial com base de grau a. Acreditamos nisso e. Então a função exponencial
(8)
Definido para todos.
Vamos transformar a fórmula (8). Para fazer isso, usaremos as propriedades da função exponencial e do logaritmo.
;
.
Então, transformamos a fórmula (8) na seguinte forma:
.
Derivadas de ordem superior de e elevado à potência x
Agora vamos encontrar derivadas de ordens superiores. Vejamos primeiro o expoente:
(14)
.
(1)
.
Vemos que a derivada da função (14) é igual à própria função (14). Diferenciando (1), obtemos derivadas de segunda e terceira ordem:
;
.
Isso mostra que a derivada de enésima ordem também é igual à função original:
.
Derivadas de ordens superiores da função exponencial
Agora considere uma função exponencial com base de grau a:
.
Encontramos sua derivada de primeira ordem:
(15)
.
Diferenciando (15), obtemos derivadas de segunda e terceira ordem:
;
.
Vemos que cada diferenciação leva à multiplicação da função original por. Portanto, a derivada de enésima ordem tem a seguinte forma:
.
Conceitos Básicos
Antes de examinar a questão da derivada de uma exponencial elevada à potência $x$, vamos relembrar as definições
- funções;
- limite de sequência;
- derivado;
- expositores.
Isso é necessário para uma compreensão clara da derivada de uma exponencial elevada à potência de $x$.
Definição 1
Uma função é uma relação entre duas variáveis.
Vamos pegar $y=f(x)$, onde $x$ e $y$ são variáveis. Aqui $x$ é chamado de argumento e $y$ é a função. O argumento pode assumir valores arbitrários. Por sua vez, a variável $y$ muda de acordo com uma certa lei dependendo do argumento. Ou seja, o argumento $x$ é a variável independente e a função $y$ é a variável dependente. Para qualquer valor $x$ existe um valor único $y$.
Se, em virtude de alguma lei, cada número natural $n=1, 2, 3, ...$ está associado a um número $x_n$, então dizemos que a sequência de números $x_1,x_2,..., x_n$ está definido. Caso contrário, tal sequência é escrita como $\(x_n\)$. Todos os números $x_n$ são chamados de membros ou elementos da sequência.
Definição 2
O limite de uma sequência é o ponto finito ou infinitamente distante da reta numérica. O limite é escrito da seguinte forma: $\lim x_n = \lim\limits_(n\to\infty)x_n = a$. Esta notação significa que a variável $x_n$ tende para $a$ $x_n\to a$.
A derivada da função $f$ no ponto $x_0$ é chamada de seguinte limite:
$\lim\limits_(x\to x_0)\frac(f(x) - f(x_o))(x-x_o)$. É denotado por $f"(x_0)$.
O número $e$ é igual ao seguinte limite:
$e=\lim\limits_(x\to\infty) (1+\frac(1)(n))\aprox2.718281828459045...$
Neste limite, $n$ é um número natural ou real.
Tendo dominado os conceitos de limite, derivada e expoente, podemos começar a provar a fórmula $(e^x)"=e^x$.
Derivação da derivada de uma exponencial elevada à potência $x$
Temos $e^x$, onde $x: -\infty
$y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(x+\Delta x)-e^x)(\Delta x)$.
Pela propriedade do expoente $e^(a+bx)=e^a*e^b$ podemos transformar o numerador do limite:
$e^(x+\Delta x)-e^x = e^x*e^(\Delta x)-e^x = e^x(e^(\Delta x)-1)$.
Ou seja, $y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(x+\Delta x)-e^x)(\Delta x)=\lim\limits_(\Delta x\ para 0) \frac(e^x(e^(\Delta x)-1))(\Delta x)$.
Vamos denotar $t=e^(\Delta x)-1$. Obtemos $e^(\Delta x)=t+1$, e pela propriedade do logaritmo verifica-se que $\Delta x = ln(t+1)$.
Como a exponencial é contínua, temos $\lim\limits_(\Delta x\to 0) e^(\Delta x)=e^0=1.$ Portanto, se $\Delta x\to 0$, então $ t \ para 0$.
Como resultado, mostramos a transformação:
$y"=\lim\limites_(\Delta x\to 0) \frac(e^(\Delta x)-1)(\Delta x)=e^x\lim\limits_(t\to 0)\frac (t)(ln(t+1))$.
Vamos denotar $n=\frac (1)(t)$, então $t=\frac(1)(n)$. Acontece que se $t\to 0$, então $n\to\infty$.
Vamos transformar nosso limite:
$y"=e^x\lim\limits_(t\to 0)\frac(t)(ln(t+1))=e^x\lim\limits_(n\to\infty)\frac(1) (n\cdot ln(\frac(1)(n)+1)^n)$.
Pela propriedade do logaritmo $b\cdot ln c=ln c^b$ temos
$n\cdot ln (\frac(1)(n)+1)=ln(\frac(1)(n)+1)^n=ln(1+\frac(1)(n))^n$ .
O limite é convertido da seguinte forma:
$y"=e^x\lim\limits_(n\to\infty)\frac(1)(n\cdot ln(\frac(1)(n)+1)) = e^x\lim\limits_( n\to\infty)\frac(1)(ln(\frac(1)(n)+1)^n)= e^x\frac(1)(\lim\limits_(n\to\infty) ln (\frac(1)(n)+1)^n)$.
De acordo com a propriedade de continuidade do logaritmo e a propriedade de limites para uma função contínua: $\lim\limits_(x\to x_0)ln(f(x))=ln(\lim\limits_f(x))$, onde $f(x)$ tem limite positivo $\lim\limits_(x\to x_0)f(x)$. Então, devido ao fato do logaritmo ser contínuo e haver um limite positivo $\lim\limits_(n\to\infty)(\frac(1)(n)+1)^n$, podemos deduzir:
$\lim\limits_(n\to\infty)ln(1+\frac(1)(n))^n=ln\lim\limits_(n\to\infty)ln(1+\frac(1)( n))^n=ln e=1$.
Vamos usar o valor do segundo limite notável $\lim\limits_(n\to\infty)(1+\frac(1)(n))^n=e$. Nós temos:
$y"= e^x\frac(1)(\lim\limits_(n\to\infty) ln(\frac(1)(n)+1)^n) = e^x\cdot\frac(1 )(ln e) = e^x\cdot\frac(1)(1)=e^x$.
Assim, derivamos a fórmula para a derivada de uma exponencial e podemos afirmar que a derivada de uma exponencial elevada a $x$ é equivalente à derivada de uma exponencial elevada a $x$:
Existem também outras maneiras de derivar esta fórmula usando outras fórmulas e regras.
Exemplo 1
Vejamos um exemplo de como encontrar a derivada de uma função.
Doença: Encontre a derivada da função $y=2^x + 3^x + 10^x + e^x$.
Solução: Aos termos $2^x, 3^x$ e $10^x$ aplicamos a fórmula $(a^x)"=a^x\cdot ln a$. De acordo com a fórmula derivada $(e^x)" =e^x$ o quarto termo $e^x$ não muda.
Responder: $y" = 2^x\cdot ln 2 + 3^x\cdot ln 3 + 10^x\cdot ln 10 + e^x$.
Assim, derivamos a fórmula $(e^x)"=e^x$, ao mesmo tempo que damos definições aos conceitos básicos, e analisamos um exemplo de como encontrar a derivada de uma função com um expoente como um dos termos.
Apresentamos um quadro resumo para maior comodidade e clareza no estudo do tema.
|
Constantey = C Função de potência y = x p (x p) " = p x p - 1 |
Função exponencialy = machado (a x) " = a x ln a Em particular, quandouma = eNós temos y = e x (e x) " = e x |
|
Função logarítmica (log a x) " = 1 x ln a Em particular, quandouma = eNós temos y = log x (em x) " = 1 x |
Funções trigonométricas (sen x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sen 2 x |
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Funções trigonométricas inversas (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2 |
Funções hiperbólicas (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x |
Analisemos como foram obtidas as fórmulas da tabela especificada ou, em outras palavras, provaremos a derivação de fórmulas derivadas para cada tipo de função.
Derivada de uma constante
Evidência 1Para derivar esta fórmula, tomamos como base a definição da derivada de uma função num ponto. Usamos x 0 = x, onde x assume o valor de qualquer número real, ou, em outras palavras, xé qualquer número do domínio da função f (x) = C. Vamos escrever o limite da razão entre o incremento de uma função e o incremento do argumento como ∆ x → 0:
lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0
Observe que a expressão 0 ∆ x está sob o sinal de limite. Não é a incerteza “zero dividido por zero”, pois o numerador não contém um valor infinitesimal, mas precisamente zero. Em outras palavras, o incremento de uma função constante é sempre zero.
Assim, a derivada da função constante f (x) = C é igual a zero em todo o domínio de definição.
Exemplo 1
As funções constantes são dadas:
f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7
Solução
Vamos descrever as condições dadas. Na primeira função vemos a derivada do número natural 3. No exemplo a seguir, você precisa calcular a derivada de A, Onde A- qualquer número real. O terceiro exemplo nos dá a derivada do número irracional 4. 13 7 22, o quarto é a derivada de zero (zero é um número inteiro). Por fim, no quinto caso temos a derivada da fração racional - 8 7.
Responder: derivadas de determinadas funções são zero para qualquer real x(em toda a área de definição)
f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0
Derivada de uma função de potência
Vamos passar para a função potência e a fórmula de sua derivada, que tem a forma: (x p) " = p x p - 1, onde o expoente pé qualquer número real.
Evidência 2
Aqui está uma prova da fórmula quando o expoente é um número natural: p = 1, 2, 3,…
Novamente nos baseamos na definição de derivada. Vamos anotar o limite da razão entre o incremento de uma função de potência e o incremento do argumento:
(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x
Para simplificar a expressão no numerador, usamos a fórmula binomial de Newton:
(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p
Por isso:
(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 ( C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 · x p - . 1 + 0 + .
Assim, provamos a fórmula da derivada de uma função potência quando o expoente é um número natural.
Evidência 3
Para fornecer evidências para o caso quando p- qualquer número real diferente de zero, usamos a derivada logarítmica (aqui devemos entender a diferença da derivada de uma função logarítmica). Para uma compreensão mais completa, é aconselhável estudar a derivada de uma função logarítmica e, adicionalmente, compreender a derivada de uma função implícita e a derivada de uma função complexa.
Consideremos dois casos: quando x positivo e quando x negativo.
Então x > 0. Então: x p > 0 . Vamos logaritmar a igualdade y = x p na base e e aplicar a propriedade do logaritmo:
y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x
Nesta fase, obtivemos uma função especificada implicitamente. Vamos definir sua derivada:
(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1
Agora consideramos o caso quando x- um número negativo.
Se o indicador pé um número par, então a função de potência é definida para x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1
Então x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.
Se pé um número ímpar, então a função de potência é definida para x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:
y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1
A última transição é possível devido ao fato de que se pé um número ímpar, então p-1 um número par ou zero (para p = 1), portanto, para negativo x a igualdade (- x) p - 1 = x p - 1 é verdadeira.
Assim, provamos a fórmula da derivada de uma função potência para qualquer p real.
Exemplo 2
Funções dadas:
f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12
Determine suas derivadas.
Solução
Transformamos algumas das funções fornecidas na forma tabular y = x p , com base nas propriedades do grau, e então usamos a fórmula:
f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84
Derivada de uma função exponencial
Prova 4Vamos derivar a fórmula da derivada usando a definição como base:
(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0
Temos incerteza. Para expandi-lo, vamos escrever uma nova variável z = a ∆ x - 1 (z → 0 como ∆ x → 0). Neste caso, a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Para a última transição, foi utilizada a fórmula de transição para uma nova base logarítmica.
Vamos substituir no limite original:
(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z
Lembremos o segundo limite notável e então obtemos a fórmula da derivada da função exponencial:
(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a
Exemplo 3
As funções exponenciais são dadas:
f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x
É necessário encontrar suas derivadas.
Solução
Usamos a fórmula da derivada da função exponencial e as propriedades do logaritmo:
f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x
Derivada de uma função logarítmica
Evidência 5Apresentamos uma prova da fórmula da derivada de uma função logarítmica para qualquer x no domínio de definição e quaisquer valores permitidos da base a do logaritmo. Com base na definição de derivada, obtemos:
(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a
Pela cadeia de igualdades indicada fica claro que as transformações foram baseadas na propriedade do logaritmo. O limite de igualdade ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e é verdadeiro de acordo com o segundo limite notável.
Exemplo 4
Funções logarítmicas são fornecidas:
f 1 (x) = log ln 3 x , f 2 (x) = ln x
É necessário calcular suas derivadas.
Solução
Vamos aplicar a fórmula derivada:
f 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; f 2 " (x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x
Então, a derivada do logaritmo natural é dividida por x.
Derivadas de funções trigonométricas
Prova 6Vamos usar algumas fórmulas trigonométricas e o primeiro limite maravilhoso para derivar a fórmula da derivada de uma função trigonométrica.
De acordo com a definição da derivada da função seno, obtemos:
(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x
A fórmula da diferença dos senos nos permitirá realizar as seguintes ações:
(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sen ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sen ∆ x 2 ∆ x 2
Finalmente, usamos o primeiro limite maravilhoso:
pecado " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 pecado ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x
Então, a derivada da função pecado x vai porque x.
Também provaremos a fórmula da derivada do cosseno:
cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sen x + ∆ x - x 2 sen x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sen ∆ x 2 sen x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sen x + 0 2 lim ∆ x → 0 sen ∆ x 2 ∆ x 2 = - sen x
Aqueles. a derivada da função cos x será – pecado x.
Derivamos as fórmulas para as derivadas da tangente e cotangente com base nas regras de diferenciação:
t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x sen 2 x = - sen 2 x + cos 2 x sen 2 x = - 1 sen 2 x
Derivadas de funções trigonométricas inversas
A seção sobre a derivada de funções inversas fornece informações abrangentes sobre a prova das fórmulas para as derivadas de arco seno, arco cosseno, arco tangente e arco tangente, portanto, não duplicaremos o material aqui.
Derivadas de funções hiperbólicas
Evidência 7Podemos derivar as fórmulas para as derivadas do seno, cosseno, tangente e cotangente hiperbólico usando a regra de diferenciação e a fórmula para a derivada da função exponencial:
s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x
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Ao derivar a primeira fórmula da tabela, procederemos da definição da função derivada em um ponto. Vamos levar para onde x– qualquer número real, isto é, x– qualquer número do domínio de definição da função. Vamos anotar o limite da razão entre o incremento da função e o incremento do argumento em : 
Ressalta-se que sob o sinal limite obtém-se a expressão, que não é a incerteza de zero dividida por zero, pois o numerador não contém um valor infinitesimal, mas precisamente zero. Em outras palavras, o incremento de uma função constante é sempre zero.
Por isso, derivada de uma função constanteé igual a zero em todo o domínio de definição.
Derivada de uma função de potência.
A fórmula para a derivada de uma função de potência tem a forma 
, onde o expoente p– qualquer número real.
Vamos primeiro provar a fórmula do expoente natural, ou seja, para p = 1, 2, 3,…
Usaremos a definição de derivada. Vamos escrever o limite da razão entre o incremento de uma função de potência e o incremento do argumento: 
Para simplificar a expressão no numerador, recorremos à fórmula binomial de Newton: 
Por isso, 
Isto prova a fórmula da derivada de uma função potência para um expoente natural.
Derivada de uma função exponencial.
Apresentamos a derivação da fórmula derivada com base na definição:
Chegamos à incerteza. Para expandi-lo, introduzimos uma nova variável, e em . Então . Na última transição, utilizamos a fórmula de transição para uma nova base logarítmica.
Vamos substituir no limite original: 
Se recordarmos o segundo limite notável, chegamos à fórmula da derivada da função exponencial: 
Derivada de uma função logarítmica.
Vamos provar a fórmula da derivada de uma função logarítmica para todos x do domínio de definição e todos os valores válidos da base a logaritmo Pela definição de derivada temos: 
Como você percebeu, durante a prova as transformações foram realizadas utilizando as propriedades do logaritmo. Igualdade 
é verdade devido ao segundo limite notável.
Derivadas de funções trigonométricas.
Para derivar fórmulas para derivadas de funções trigonométricas, teremos que relembrar algumas fórmulas de trigonometria, bem como o primeiro limite notável.
Pela definição da derivada da função seno, temos 
.
Vamos usar a fórmula da diferença de senos: 
Resta voltar ao primeiro limite notável: 
Assim, a derivada da função pecado x Há porque x.
A fórmula da derivada do cosseno é provada exatamente da mesma maneira. 
Portanto, a derivada da função porque x Há –pecado x.
Derivaremos fórmulas para a tabela de derivadas para tangente e cotangente usando regras comprovadas de diferenciação (derivada de uma fração). 
Derivadas de funções hiperbólicas.
As regras de diferenciação e a fórmula da derivada da função exponencial da tabela de derivadas permitem derivar fórmulas para as derivadas do seno, cosseno, tangente e cotangente hiperbólico. 
Derivada da função inversa.
Para evitar confusão durante a apresentação, vamos denotar em subscrito o argumento da função pela qual a diferenciação é realizada, ou seja, é a derivada da função f(x) Por x.
Agora vamos formular regra para encontrar a derivada de uma função inversa.
Deixe as funções y =f(x) E x = g(y) mutuamente inversos, definidos nos intervalos e respectivamente. Se em um ponto existe uma derivada finita diferente de zero da função f(x), então no ponto há uma derivada finita da função inversa g(s), e 
. Em outra postagem 
.
Esta regra pode ser reformulada para qualquer x do intervalo, então obtemos 
.
Vamos verificar a validade dessas fórmulas.
Vamos encontrar a função inversa do logaritmo natural 
(Aqui simé uma função e x- argumento). Tendo resolvido esta equação para x, obtemos (aqui xé uma função e sim– seu argumento). Aquilo é, 
e funções mutuamente inversas.
Da tabela de derivadas vemos que 
E 
.
Vamos ter certeza de que as fórmulas para encontrar as derivadas da função inversa nos levam aos mesmos resultados: 
