учитель математики МОУ «Упшинская ООШ»
Оршанского района Республики Марий Эл
(К учебнику Ю.А.Макарычева Алгебра 8)
АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
Найдем по графику значение у при х = 1,5
у=х 2
у ≈2,3
Найдем значение у при х = 1,5 по формуле
у =1,5 2 = 2,25
Приближенное значение отличается от точного на 2,3 – 2,25 = 0,05
АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
Найдем по графику значение у при х = 1,8
у=х 2
у ≈3,2
Найдем значение у при х = 1,8 по формуле
у =1,8 2 = 3,24
Приближенное значение отличается от точного на 3,24 – 3,2 = 0,04
АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
х
1,5
Точное значение у
(по формуле)
1,8
2,25
Приближенное значение у (по графику)
3,24
2,3
3,2
у=х 2
Определение. Абсолютной погрешностью
у = 2,3 А.П. = |2,25 – 2,3| = |- 0,0 5| = 0,05
у = 3,2 А.П. = |3,24 – 3,2| = | 0,0 4| = 0,04
АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
Определение. Абсолютной погрешностью приближенного значения называют модуль разности точного и приближенного значений.
Пример 1 пуд равна 16,38. Округлите это значение до целых и найдите абсолютную погрешность приближенного значения.
Решение. 1 6 ,38 ≈ 16
16,38 – точное значение;
16 – приближенное значение.
А.П. = | 16,38 – 16 | = |0 ,38 | = 0, 38
АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
Определение. Абсолютной погрешностью приближенного значения называют модуль разности точного и приближенного значений.
Пример 2 верста равна 1067 м. Округлите это значение до десятков и найдите абсолютную погрешность приближенного значения.
Решение. 10 6 7 ≈ 1070
1067 – точное значение;
1070 – приближенное значение.
А.П. = | 1067 – 1070 | = |-3| = 3
АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
Определение. Абсолютной погрешностью приближенного значения называют модуль разности точного и приближенного значений.
Пример 3 . Старинная русская мера длины сажень равна 2,13 м. Округлите это значение до десятых и найдите абсолютную погрешность приближенного значения.
Решение. 2, 1 3 ≈ 2,1
2,13 – точное значение;
2,1 – приближенное значение.
А.П. = | 2,13 – 2,1 | = | 0,03 | = 0,03
АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
Пример 4 . Представьте дробь в виде бесконечной периодической дроби. Округлите результат до сотых и найдите абсолютную погрешность приближенного значения.
ТОЧНОСТЬ ПРИБЛИЖЕНИЯ
Всегда ли можно найти абсолютную погрешность?
АВ ≈ 5,3 см
Найдем длину отрезка АВ
Точного значения длины отрезка АВ мы определить не можем, поэтому и абсолютную погрешность приближенного значения найти невозможно.
В подобных случаях в качестве погрешности указывают такое число, больше которого абсолютная погрешность быть не может.
В нашем примере в качестве такого числа можно взять число 0,1.
ПОЧЕМУ? Цена деления линейки равна 0,1 см и поэтому абсолютная погрешность приближенного значения 5,3 не больше 0,1.
ТОЧНОСТЬ ПРИБЛИЖЕНИЯ
Говорят, что число 5,3 есть приближенное значение длины отрезка АВ (в санти-метрах) с точностью до 0,1
АВ ≈ 5,3 см
t ≈ 28 0 с точностью до 1
t ≈ 14 0 с точностью до 2
Определите точность приближенных значений величин, полученных при измерении приборами, изображенными на рисунках 1- 4
ТОЧНОСТЬ ПРИБЛИЖЕНИЯ
Говорят, что число 5,3 есть приближенное значение длины отрезка АВ (в сантиметрах) с точностью до 0,1
АВ ≈ 5,3 см
Если х ≈ а и абсолютная погрешность приближенного значения не превосходит некоторого числа h , то число а называют приближенным значением х с точностью до h
х ≈ а с точностью до h
х = а ± h
ТОЧНОСТЬ ПРИБЛИЖЕНИЯ
АВ ≈ 5,3 см
с точностью до 0,1
t ≈ 28 0 с точностью до 1
с точностью до 2
Определение . Относительной погрешностью (точностью) приближенного значения называется отношение абсолютной погрешности (точности) к модулю приближенного значения
Для оценки качества измерения можно использовать определения относительной погрешности и относительной точности
l = 100,0 ± 0,1
b = 0,4 ± 0,1
ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
Определение .
Пример 5 . Старинная русская мера массы пуд равна 16,38. Округлите это значение до целых и найдите относительную погрешность приближенного значения.
Решение. 1 6 ,38 ≈ 16
16,38 – точное значение;
16 – приближенное значение.
А.П. = | 16,38 – 16 | = |0 ,38 | = 0, 38
ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
Определение . Относительной погрешностью приближенного значения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения
Пример 6 . Старинная русская мера длины верста равна 1067 м. Округлите это значение до десятков и найдите относительную погрешность приближенного значения.
Решение. 10 6 7 ≈ 1070
1067 – точное значение;
1070 – приближенное значение.
А.П. = | 1067 – 1070 | = |-3| = 3
ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
Пример 7 . Представьте дробь в виде бесконечной периодической дроби. Округлите результат до сотых и найдите относительную погрешность приближенного значения.
Инструкция
В первую очередь, проведите несколько измерений прибором одной и той же величины, чтобы иметь возможность действительное значение. Чем больше будет проведено измерений, тем точнее будет результат. Например, взвесьте на электронных весах. Допустим, вы получили результаты 0,106, 0,111, 0,098 кг.
Теперь посчитайте действительное значение величины (действительное, поскольку истинное найти невозможно). Для этого сложите полученные результаты и разделите их на количество измерений, то есть найдите среднее арифметическое. В примере действительное значение будет равно (0,106+0,111+0,098)/3=0,105.
Источники:
- как найти погрешность измерений
Неотъемлемой частью любого измерения является некоторая погрешность . Она представляет собой качественную характеристику точности проведенного исследования. По форме представления она может быть абсолютной и относительной.
Вам понадобится
- - калькулятор.
Инструкция
Вторые возникают от влияния причин, и случайный характер. К ним можно отнести неправильное округление при подсчете показаний и влияние . Если такие ошибки значительно меньше, чем деления шкалы этого прибора измерения, то в качестве абсолютной погрешности целесообразно взять половину деления.
Промах или грубая погрешность представляет собой результат наблюдения, который резко отличается от всех остальных.
Абсолютная погрешность приближенного числового значения – это разность между результатом, в ходе измерения и истинным значением измеряемой величины. Истинное или действительное значение отражает исследуемую физическую величину. Эта погрешность является самой простой количественной мерой ошибки. Её можно рассчитать по следующей формуле: ∆Х = Хисл - Хист. Она может принимать положительное и отрицательное значение. Для большего понимания рассмотрим . В школе 1205 учащихся, при округлении до 1200 абсолютная погрешность равняется: ∆ = 1200 - 1205 = 5.
Существуют определенные расчета погрешности величин. Во-первых, абсолютная погрешность суммы двух независимых величин равна сумме их абсолютных погрешностей: ∆(Х+Y) = ∆Х+∆Y. Аналогичный подход применим для разности двух погрешностей. Можно воспользоваться формулой: ∆(Х-Y) = ∆Х+∆Y.
Источники:
- как определить абсолютную погрешность
Измерения физических величин всегда сопровождаются той или иной погрешностью . Она представляет собой отклонение результатов измерения от истинного значения измеряемой величины.
Вам понадобится
- -измерительный прибор:
- -калькулятор.
Инструкция
Погрешности могут возникнуть в результате влияния различных факторов. Среди них можно выделить несовершенство средств или методов измерения, неточности при их изготовлении, несоблюдение специальных условий при проведении исследования.
Существует несколько классификаций . По форме представления они могут быть абсолютными, относительными и приведенными. Первые представляют собой разность между исчисленным и действительным значением величины. Выражаются в единицах измеряемого явления и находятся по формуле:∆х = хисл- хист. Вторые определяются отношением абсолютных погрешностей к величине истинного значения показателя.Формула расчета имеет вид:δ = ∆х/хист. Измеряется в процентах или долях.
Приведенная погрешность измерительного прибора находится как отношение ∆х к нормирующему значению хн. В зависимости типа прибора оно принимается либо равным пределу измерений, либо отнесено к их определенному диапазону.
По условиям возникновения различают основные и дополнительные. Если измерения проводились в нормальных условиях, то возникает первый вид. Отклонения, обусловленные выходом значений за пределы нормальных, является дополнительной. Для ее оценки в документации обычно устанавливают нормы, в пределах которых может изменяться величина при нарушении условий проведения измерений.
Также погрешности физических измерений подразделяются на систематические, случайные и грубые. Первые вызываются факторами, которые действуют при многократном повторении измерений. Вторые возникают от влияния причин, и характер. Промах представляет собой результат наблюдения, который резко отличается от всех остальных.
В зависимости от характера измеряемой величины могут использоваться различные способы измерения погрешности. Первый из них это метод Корнфельда. Он основан на исчислении доверительного интервала в пределах от минимального до максимального результата. Погрешность в этом случае будет представлять собой половину разности этих результатов: ∆х = (хmax-xmin)/2. Еще один из способов – это расчет средней квадратической погрешности.
Измерения могут проводиться с разной степенью точности. При этом абсолютно точными не бывают даже прецизионные приборы. Абсолютная и относительная погрешности могут быть малы, но в реальности они есть практически всегда. Разница между приближенным и точным значениями некой величины называется абсолютной погрешностью . При этом отклонение может быть как в большую, так и в меньшую сторону.
Вам понадобится
- - данные измерений;
- - калькулятор.
Инструкция
Перед тем как рассчитывать абсолютную погрешность, примите за исходные данные несколько постулатов. Исключите грубые погрешности. Примите, что необходимые поправки уже вычислены и внесены в результат. Такой поправкой может быть, перенос исходной точки измерений.
Примите в качестве исходного положения то, что и учтены случайные погрешности. При этом подразумевается, что они меньше систематических, то есть абсолютной и относительной, характерных именно для этого прибора.
Случайные погрешности влияют на результат даже высокоточных измерений. Поэтому любой результат будет более или менее приближенным к абсолютному, но всегда будут расхождения. Определите этот интервал. Его можно выразить формулой (Xизм- ΔХ)≤Хизм ≤ (Хизм+ΔХ).
Определите величину, максимально приближенную к значению. В измерениях берется арифметическое, которое можно по формуле, на рисунке. Примите результат за истинную величину. Во многих случаях в качестве точного принимается показание эталонного прибора.
Зная истинную величину , вы можете найти абсолютную погрешность, необходимо учитывать при всех последующих измерениях. Найдите величину Х1 – данные конкретного измерения. Определите разность ΔХ, отняв от большего меньшее. При определении погрешности учитывается только модуль этой разности.
Обратите внимание
Как правило, на практике абсолютно точное измерение провести не удается. Поэтому за эталонную величину принимается предельная погрешность. Она представляет собой максимальное значение модуля абсолютной погрешности.
Полезный совет
В практических измерениях за величину абсолютной погрешности обычно принимается половина наименьшей цены деления. При действиях с числами за абсолютную погрешность принимается половина значения цифры, которая находится в следующим за точными цифрами разряде.
Для определения класса точности прибора более важным бывает отношение абсолютной погрешности к результату измерений или к длине шкалы.
Погрешности измерений связаны с несовершенством приборов, инструментов, методики. Точность зависит также от внимательности и состояния экспериментатора. Погрешности разделяются на абсолютные, относительные и приведенные.
Инструкция
Пусть однократное измерение величины дало результат x. Истинное значение обозначено за x0. Тогда абсолютная погрешность Δx=|x-x0|. Она оценивает абсолютную . Абсолютная погрешность складывается из трех составляющих: случайных погрешностей, систематических погрешностей и промахов. Обычно при измерении прибором берут в качестве погрешности половину цены деления. Для миллиметровой линейки это будет 0,5 мм.
Истинное значение измеряемой величины в промежутке (x-Δx ; x+Δx). Короче это записывается как x0=x±Δx. Важно измерять x и Δx в одних и тех же единицах измерения и записывать в одном и том же формате , например, целая часть и три запятой. Итак, абсолютная погрешность дает границы интервала, в котором с некоторой вероятностью находится истинное значение.
Относительная погрешность отношение абсолютной погрешности к действительному значению величины: ε(x)=Δx/x0. Это безразмерная величина, она может записываться также в процентах.
Измерения прямые и косвенные. В прямых измерениях сразу замеряется искомая величина соответствующим прибором. Например, тела линейкой, напряжение – вольтметром. При косвенных измерениях величина находится по формуле зависимости между ней и замеряемыми величинами.
Если результат представляет собой зависимость от трех непосредственно измеряемых величин, имеющих погрешности Δx1, Δx2, Δx3, то погрешность косвенного измерения ΔF=√[(Δx1 ∂F/∂x1)²+(Δx2 ∂F/∂x2)²+(Δx3 ∂F/∂x3)²]. Здесь ∂F/∂x(i) – частные производные от функции по каждой из непосредственно измеряемых величин.
Полезный совет
Промахи – это грубые неточности измерений, возникающие при неисправности приборов, невнимательности экспериментатора, нарушении методики эксперимента. Чтобы уменьшить вероятность таких промахов, при проведении измерений будьте внимательны и подробно расписывайте полученный результат.
Источники:
- Методические указания к лабораторным работам по физике
- как найти относительную ошибку
Результат любого измерения неизбежно сопровождается отклонением от истинного значения. Вычислить погрешность измерения можно несколькими способами в зависимости от ее типа, например, статистическими методами определения доверительного интервала, среднеквадратического отклонения и пр.
В месяц потребуется сахар. Иногда забор крови на анализ многократно в течение дня, иногда достаточно 1-2 раз в неделю. Самоконтроль особенно необходим и больным 1 типом диабета.
Допустимая погрешность у глюкометра по мировым стандартам
Глюкометр не считается высокоточным прибором. Он предназначен только для ориентировочного определения концентрации сахара в крови.
Допустимая погрешность у глюкометра по мировым стандартам составляет 20% при гликемии более 4,2 ммоль/л.
Например, если при самоконтроле уровень сахара 5 ммоль/л, то реальное значение концентрации находится в промежутке от 4 до 6 ммоль/л.
Допустимая погрешность у глюкометра в стандартных измеряется , а не в ммоль/л. Чем выше показатели, тем больше погрешность в абсолютных числах. Например, если достигает около 10 ммоль/л, то ошибка не превышает 2 ммоль/л, а если сахар - около 20 ммоль/л, то с результатом лабораторного измерения может быть до 4 ммоль/л.
В большинстве случаев глюкометр завышает показатели гликемии.
Стандарты допускают превышение заявленной погрешности измерения в 5% случаев. Это значит, что каждое двадцатое исследование может существенно искажать результаты.
Допустимая погрешность у глюкометров разных фирм
Глюкометры подлежат обязательной сертификации. В сопровождающих прибор документах обычно указаны цифры допустимой погрешности измерений. Если этого пункта нет в инструкции, то погрешность соответствует 20%.
Некоторые производители уделяют особое внимание точности измерений. Существуют приборы европейских фирм, которые имеют допустимую погрешность меньше 20%. Наилучший показатель на сегодняшний день составляет 10-15%.
Погрешность у глюкометра при самоконтроле
Допустимая погрешность измерения характеризует работу прибора. На точность исследования влияют и некоторые другие факторы. Неправильно подготовленная кожа, слишком малый или большой объем полученной капли крови, недопустимый температурный режим - все это может приводить к ошибкам.
Только в том случае, если все правила самоконтроля соблюдаются, можно рассчитывать на заявленную допустимую погрешность исследования.
Правила самоконтроля с помощью глюкометра можно узнать у лечащего врача.
Точность глюкометра можно проверить в сервисном центре. Гарантийные обязательства производителей предусматривают бесплатные консультации и устранение неполадок.
Рассчитывая значения систематической, случайной и суммарной погрешностей, особенно при использовании электронного калькулятора, получают значение с большим числом знаков. Однако исходные данные для этих расчетов всегда указываются с одной или двумя значащими цифрами. Действительно, класс точности прибора на его шкале указывается не более чем с двумя значащими цифрами, а среднее квадратическое отклонение не имеет смысла записывать с более чем двумя значащими цифрами, так как точность этой оценки при 10 измерениях не выше 30 %. Вследствие этого и в окончательном значении расчетной погрешности должны быть оставлены только первые одна - две значащие цифры. При этом необходимо учитывать следующее. Если полученное число начинается с цифры 1 или 2, то отбрасывание второго знака приводит к очень большой ошибке (до 30– 50 %), это недопустимо. Если же полученное число начинается, например, с цифры 9, то сохранение второго знака, то есть указание погрешности, например, 0,94 вместо 0,9, является дезинформацией, так как исходные данные не обеспечивают такой точности.
В итоге можно сформулировать правила округления рассчитанного значения погрешности и полученного экспериментального результата измерения:
1. Абсолютная погрешность результата измерения указывается двумя значащими цифрами, если первая из них равна 1 или 2, и одной, – если первая есть 3 и более.
2. Среднее значение измеренной величины округляется до того же десятичного разряда, которым оканчивается округленное значение абсолютной погрешности.
3. Относительную погрешность, выраженную в процентах, достаточно записать двумя значащими цифрами.
4. Округление производится лишь в окончательном ответе, а все предварительные вычисления проводятся с одним лишним знаком.
Пример:
На вольтметре класса точности 2,5
с пределом измерений 300 В
были произведены несколько повторных измерений одного и того же напряжения. При этом оказалось, что все замеры дали одинаковый результат 267,5 В
.
Отсутствие различий между знаками говорит о том, что случайная погрешность пренебрежимо мала, поэтому суммарная погрешность совпадает с систематической (см. рис. 1а).
Сначала найдем абсолютную, а затем относительную погрешности. Абсолютная погрешность градуировки прибора равна:
Так как первая значащая цифра абсолютной погрешности больше трех, то это значение должно быть округлено до 8 В . Относительная погрешность:
В значении относительной погрешности должны быть сохранены два значащих разряда: 2,8 %.
Таким образом, в окончательном ответе должно быть сообщено “Измеренное напряжение U=(268+8) В при относительной погрешности d U =2,8 % ”.
Тема “ ” изучается в 9 классе бегло. И у учащихся, как правило, не до конца формируются навыки ее вычисления.
А ведь с практическим применением относительной погрешности числа , в равно степени как и с абсолютной погрешностью, мы сталкиваемся на каждом шагу.
Во время ремонтных работ измерили (в сантиметрах) толщину m коврового покрытия и ширину n порожка. Получили следующие результаты:
m≈0,8 (с точностью до 0,1);
n≈100,0 (с точностью до 0,1).
Заметим, что абсолютная погрешность каждого из данных измерений не больше 0,1.
Однако 0,1 – это солидная часть числа 0,8 . Как для числа 100 она представляет незначительную ч асть. Это показывает, что качество второго измерения намного выше, чем первого.
Для оценки качества измерения используется относительная погрешность приближенного числа.
Определение.
Относительной погрешностью приближенного числа (значения) называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения.
Относительную погрешность договорились выражать в процентах.
Пример 1.
Рассмотрим дробь 14,7 и округлим ее до целых. Также найдем относительную погрешность приближенного числа:
14,7≈15.
Для вычисления относительной погрешности, кроме приближенного значения, как правило, нужно еще знать и абсолютную погрешность. Абсолютная погрешность не всегда бывает известна. Поэтому вычислить невозможно. И в таком случае достаточно бывает указать оценку относительной погрешности.
Вспомним пример, который был приведен в начале статьи. Там были указаны измерение толщины m ковролина и ширина n порожка.
По итогам измерений m ≈0,8 с точностью до 0,1. Можно сказать, что абсолютная погрешность измерения не больше 0,1. Значит, результат деления абсолютной погрешности на приближенное значение (а это и есть относительная погрешность) меньше или равно 0,1/0,8 = 0,125 = 12,5%.
Т. о., относительная погрешность приближения ≤ 12,5%.
Аналогичным образом вычислим относительную погрешность приближения ширины порожка; она не более 0,1/100 = 0,001 = 0,1%.
Говорят, что в первом случае измерение выполнено с относительной точность до 12,5%, а во втором – с относительной точностью до 0,1%.
Подведем итог.
Абсолютная погрешность приближенного числа - это разность между точным числом x и его приближенным значением a.
Если модуль разности | x – a | меньше некоторого D a , то величину D a называют абсолютной погрешностью приближенного числа a .
Относительная погрешность приближенного числа - это отношение абсолютной погрешности D a к модулю числа a , то есть D a / |a | = d a .
Пример 2.
Рассмотрим известное приближенное значение числа π≈3,14.
Учитывая его значение с точностью до стотысячных долей, можно указать его погрешность 0,00159… (запомнить цифры числа π поможет )
Абсолютная погрешность числа π равна: | 3,14 – 3,14159 | = 0,00159 ≈0,0016.
Относительная погрешность числа π равна: 0.0016/3.14 = 0,00051 = 0,051%.
Пример 3.
Попробуйте самостоятельно вычислить относительную погрешность приближенного числа √2. есть несколько способов, чтобы запомнить цифры числа “квадратный корень из 2″.
