Концепция решения тригонометрических уравнений.
- Для решения тригонометрического уравнения преобразуйте его в одно или несколько основных тригонометрических уравнений. Решение тригонометрического уравнения в конечном итоге сводится к решению четырех основных тригонометрических уравнений.
Решение основных тригонометрических уравнений.
- Существуют 4 вида основных тригонометрических уравнений:
- sin x = a; cos x = a
- tg x = a; ctg x = a
- Решение основных тригонометрических уравнений подразумевает рассмотрение различных положений «х» на единичной окружности, а также использование таблицы преобразования (или калькулятора).
- Пример 1. sin x = 0,866. Используя таблицу преобразования (или калькулятор), вы получите ответ: х = π/3. Единичная окружность дает еще один ответ: 2π/3. Запомните: все тригонометрические функции являются периодическими, то есть их значения повторяются. Например, периодичность sin x и cos x равна 2πn, а периодичность tg x и ctg x равна πn. Поэтому ответ записывается следующим образом:
- x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
- Пример 2. соs х = -1/2. Используя таблицу преобразования (или калькулятор), вы получите ответ: х = 2π/3. Единичная окружность дает еще один ответ: -2π/3.
- x1 = 2π/3 + 2π; х2 = -2π/3 + 2π.
- Пример 3. tg (x - π/4) = 0.
- Ответ: х = π/4 + πn.
- Пример 4. ctg 2x = 1,732.
- Ответ: х = π/12 + πn.
Преобразования, используемые при решении тригонометрических уравнений.
- Для преобразования тригонометрических уравнений используются алгебраические преобразования (разложение на множители, приведение однородных членов и т.д.) и тригонометрические тождества.
- Пример 5. Используя тригонометрические тождества, уравнение sin x + sin 2x + sin 3x = 0 преобразуется в уравнение 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Таким образом, нужно решить следующие основные тригонометрические уравнения: cos x = 0; sin (3x/2) = 0; cos (x/2) = 0.
-
Нахождение углов по известным значениям функций.
- Перед изучением методов решения тригонометрических уравнений вам необходимо научиться находить углы по известным значениям функций. Это можно сделать при помощи таблицы преобразования или калькулятора.
- Пример: соs х = 0,732. Калькулятор даст ответ х = 42,95 градусов. Единичная окружность даст дополнительные углы, косинус которых также равен 0,732.
-
Отложите решение на единичной окружности.
- Вы можете отложить решения тригонометрического уравнения на единичной окружности. Решения тригонометрического уравнения на единичной окружности представляют собой вершины правильного многоугольника.
- Пример: Решения x = π/3 + πn/2 на единичной окружности представляют собой вершины квадрата.
- Пример: Решения x = π/4 + πn/3 на единичной окружности представляют собой вершины правильного шестиугольника.
-
Методы решения тригонометрических уравнений.
- Если данное тригонометрическое уравнение содержит только одну тригонометрическую функцию, решите это уравнение как основное тригонометрическое уравнение. Если данное уравнение включает две или более тригонометрические функции, то существуют 2 метода решения такого уравнения (в зависимости от возможности его преобразования).
- Метод 1.
- Преобразуйте данное уравнение в уравнение вида: f(x)*g(x)*h(x) = 0, где f(x), g(x), h(x) - основные тригонометрические уравнения.
- Пример 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0 < x < 2π)
- Решение. Используя формулу двойного угла sin 2x = 2*sin х*соs х, замените sin 2x.
- 2соs х + 2*sin х*соs х = 2cos х*(sin х + 1) = 0. Теперь решите два основных тригонометрических уравнения: соs х = 0 и (sin х + 1) = 0.
- Пример 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 < x < 2π)
- Решение: Используя тригонометрические тождества, преобразуйте данное уравнение в уравнение вида: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Теперь решите два основных тригонометрических уравнения: cos 2x = 0 и (2cos x + 1) = 0.
- Пример 8. sin x - sin 3x = cos 2x . (0 < x < 2π)
- Решение: Используя тригонометрические тождества, преобразуйте данное уравнение в уравнение вида: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Теперь решите два основных тригонометрических уравнения: cos 2x = 0 и (2sin x + 1) = 0.
- Метод 2.
- Преобразуйте данное тригонометрическое уравнение в уравнение, содержащее только одну тригонометрическую функцию. Затем замените эту тригонометрическую функцию на некоторую неизвестную, например, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t и т.д.).
- Пример 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0 < x < 2π).
- Решение. В данном уравнении замените (cos^2 x) на (1 - sin^2 x) (согласно тождеству). Преобразованное уравнение имеет вид:
- 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Замените sin х на t. Теперь уравнение имеет вид: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Это квадратное уравнение, имеющее два корня: t1 = -1 и t2 = 9/5. Второй корень t2 не удовлетворяет области значений функции (-1 < sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- Пример 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- Решение. Замените tg x на t. Перепишите исходное уравнение в следующем виде: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Теперь найдите t, а затем найдите х для t = tg х.
- Если данное тригонометрическое уравнение содержит только одну тригонометрическую функцию, решите это уравнение как основное тригонометрическое уравнение. Если данное уравнение включает две или более тригонометрические функции, то существуют 2 метода решения такого уравнения (в зависимости от возможности его преобразования).
Более сложные тригонометрические уравнения
Уравнения
sin х = а
,
cos х = а
,
tg х = а
,
ctg х = а
являются простейшими тригонометрическими уравнениями. В этом параграфе на конкретных примерах мы рассмотрим более сложные тригонометрические уравнения. Их решение, как правило, сводится к решению простейших тригонометрических уравнений.
Пример 1 . Решить уравнение
sin 2х = cos х sin 2x .
Перенося все члены этого уравнения в левую часть и разлагая полученное выражение на множители, получаем:
sin 2х (1 - cos х ) = 0.
Произведение двух выражений тогда и только тогда равно нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю, а другой принимает любое числовое значение, лишь бы он был определен.
Если sin 2х = 0 , то 2х = nπ ; х = π / 2 n .
Если же 1 - cos х = 0 , то cos х = 1; х = 2k π .
Итак, мы получили две группы корней: х
= π /
2 n
; х
= 2k
π
. Втoрая группа корней, очевидно, содержится в первой, поскольку при n = 4k выражение х
= π /
2 n
обращается в
х
= 2k
π
.
Поэтому ответ можно записать одной формулой: х = π / 2 n , где n -любое целое число.
Заметим, что данное уравнение нельзя было решать путем сокращения на sin 2x . Действительно, после сокращения мы получили бы 1 - cos х = 0, откуда х = 2kπ . Таким образом, мы потеряли бы некоторые корни, например π / 2 , π , 3π / 2 .
П р и м е р 2. Решить уравнение
Дробь равна нулю лишь в том случае, когда ее числитель равен нулю.
Поэтому sin 2х
= 0
, откуда 2х
= nπ
; х
= π /
2 n
.
Из этих значений х
нужно выбросить как посторонние те значения, при которых sin
х
обращается в нуль (дроби с нулевыми знаменателями не имеют смысла: деление на нуль не определено). Такими значениями являются числа, кратные π
. В формуле
х
= π /
2 n
они получаются при четных n
. Следовательно, корнями данного уравнения
будут
числа
х = π / 2 (2k + 1),
где k - любое целое число.
Пример 3 . Решить уравнение
2 sin 2 х + 7 cos x - 5 = 0.
Выразим sin 2 х через cos x : sin 2 х = 1 - cos 2 x . Тогда данное уравнение можно переписать в виде
2 (1 - cos 2 x ) + 7 cos x - 5 = 0 , или
2cos 2 x - 7 cos x + 3 = 0.
Обозначая cos x через у , мы приходим к квадратному уравнению
2у 2 - 7у + 3 = 0,
корнями которого являются числа 1 / 2 и 3. Значит, либо cos x = 1 / 2 , либо cos х = 3. Однако последнее невозможно, поскольку косинус любого угла по абсолютной величине не превышает 1.
Остается признать, что cos x = 1 / 2 , откуда
x = ± 60° + 360° n .
Пример 4 . Решить уравнение
2 sin х + 3cos x = 6.
Поскольку sin x
и cos x
по абсолютной величине не превышают 1, то выражение
2 sin х
+ 3cos x
не может принимать значений, больших, чем 5
. Поэтому данное уравнение не имеет корней.
Пример 5 . Решить уравнение
sin х + cos x = 1
Возвысив обе части данного уравнения в квадрат, мы получим:
sin 2 х + 2 sin x cos x + cos 2 x = 1,
но sin 2 х
+ cos 2 x
= 1
. Поэтому 2 sin x
cos x
= 0
. Если sin x
= 0
, то х
= n
π
; если же
cos x
, то х
= π /
2
+ k
π
. Эти две группы решений можно записать одной формулой:
х = π / 2 n
Поскольку обе части данного уравнения мы возводили в квадрат,то не исключена возможность, что среди полученных нами корней имеются посторонние. Вот почему в этом примере, в отличие от всех предыдущих, необходимо сделать проверку. Все значения
х = π / 2 n можно разбить на 4 группы
1) х = 2k π . |
(n = 4k) | |
2) х = π / 2 + 2k π . |
(n = 4k + 1) | |
3) х = π + 2k π . |
(n = 4k + 2) | |
4) х = 3π / 2 + 2k π . |
(n = 4k + 3) |
При х = 2kπ sin x + cos x = 0 + 1 = 1. Следовательно, х = 2kπ - корни данного уравнения.
При х = π / 2 + 2kπ . sin x + cos x = 1 + 0 = 1 Значит, х = π / 2 + 2kπ - также корни данного уравнения.
При х = π + 2kπ sin x + cos x = 0 - 1 = - 1. Поэтому значения х = π + 2kπ не являются корнями данного уравнения. Аналогично показывается, что х = 3π / 2 + 2kπ . не являются корнями.
Таким образом, данное уравнение имеет следующие корни: х = 2kπ и х = π / 2 + 2mπ ., где k и m - любые целые числа.
Урок комплексного применения знаний.
Цели урока.
- Рассмотреть различные методы решения тригонометрических уравнений.
- Развитие творческих способностей учеников путем решения уравнений.
- Побуждение учеников к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу своей учебной деятельности.
Оборудование: экран, проектор, справочный материал.
Ход урока
Вводная беседа.
Основным методом решения тригонометрических уравнений является сведения их простейшим. При этом применяются обычные способы, например, разложения на множители, а также приемы, используемые только для решения тригонометрических уравнений. Этих приемов довольно много, например, различные тригонометрические подстановки, преобразования углов, преобразования тригонометрических функций. Беспорядочное применение каких-либо тригонометрических преобразований обычно не упрощает уравнение, а катастрофически его усложняет. Чтобы выработать в общих чертах план решения уравнения, наметить путь сведения уравнения к простейшему, нужно в первую очередь проанализировать углы – аргументы тригонометрических функций, входящих в уравнение.
Сегодня мы поговорим о методах решения тригонометрических уравнений. Правильно выбранный метод часто позволяет существенно упростить решение, поэтому все изученные нами методы всегда нужно держать в зоне своего внимания, чтобы решать тригонометрические уравнения наиболее подходящим методом.
II. (С помощью проектора повторяем методы решения уравнений.)
1. Метод приведения тригонометрического уравнения к алгебраическому.
Необходимо выразить все тригонометрические функции через одну, с одним и тем же аргументом. Это можно сделать с помощью основного тригонометрического тождества и его следствий. Получим уравнение с одной тригонометрической функцией. Приняв ее за новую неизвестную, получим алгебраическое уравнение. Находим его корни и возвращаемся к старой неизвестной, решая простейшие тригонометрические уравнения.
2. Метод разложения на множители.
Для изменения углов часто бывают полезны формулы приведения, суммы и разности аргументов, а также формулы преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение и наоборот.
sin x + sin 3x = sin 2x + sin4x
3. Метод введения дополнительного угла.
4. Метод использования универсальной подстановки.
Уравнения вида F(sinx, cosx, tgx) = 0 сводятся к алгебраическому при помощи универсальной тригонометрической подстановки
Выразив синус, косинус и тангенс через тангенс половинного угла. Этот прием может привести к уравнению высокого порядка. Решение которого затруднительно.
Тригонометрические уравнения - тема не самая простая. Уж больно они разнообразные.) Например, такие:
sin 2 x + cos3x = ctg5x
sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
И тому подобное...
Но у этих (и всех остальных) тригонометрических монстров есть два общих и обязательных признака. Первый - вы не поверите - в уравнениях присутствуют тригонометрические функции.) Второй: все выражения с иксом находятся внутри этих самых функций. И только там! Если икс появится где-нибудь снаружи, например, sin2x + 3x = 3, это уже будет уравнение смешанного типа. Такие уравнения требуют индивидуального подхода. Здесь мы их рассматривать не будем.
Злые уравнения в этом уроке мы тоже решать не будем.) Здесь мы будем разбираться с самыми простыми тригонометрическими уравнениями. Почему? Да потому, что решение любых тригонометрических уравнений состоит из двух этапов. На первом этапе злое уравнение путём самых различных преобразований сводится к простому. На втором - решается это самое простое уравнение. Иначе - никак.
Так что, если на втором этапе у вас проблемы - первый этап особого смысла не имеет.)
Как выглядят элементарные тригонометрические уравнения?
sinx = а
cosx = а
tgx = а
ctgx = а
Здесь а обозначает любое число. Любое.
Кстати, внутри функции может находиться не чистый икс, а какое-то выражение, типа:
cos(3x+π /3) = 1/2
и тому подобное. Это усложняет жизнь, но на методе решения тригонометрического уравнения никак не сказывается.
Как решать тригонометрические уравнения?
Тригонометрические уравнения можно решать двумя путями. Первый путь: с использованием логики и тригонометрического круга. Этот путь мы рассмотрим здесь. Второй путь - с использованием памяти и формул - рассмотрим в следующем уроке.
Первый путь понятен, надёжен, и его трудно забыть.) Он хорош для решения и тригонометрических уравнений, и неравенств, и всяких хитрых нестандартных примеров. Логика сильнее памяти!)
Решаем уравнения с помощью тригонометрического круга.
Включаем элементарную логику и умение пользоваться тригонометрическим кругом. Не умеете!? Однако... Трудно же вам в тригонометрии придётся...) Но не беда. Загляните в уроки "Тригонометрический круг...... Что это такое?" и "Отсчёт углов на тригонометрическом круге". Там всё просто. В отличие от учебников...)
Ах, вы в курсе!? И даже освоили "Практическую работу с тригонометрическим кругом" !? Примите поздравления. Эта тема будет вам близка и понятна.) Что особо радует, тригонометрическому кругу безразлично, какое уравнение вы решаете. Синус, косинус, тангенс, котангенс - ему всё едино. Принцип решения один.
Вот и берём любое элементарное тригонометрическое уравнение. Хотя бы это:
cosx = 0,5
Надо найти икс. Если говорить человеческим языком, нужно найти угол (икс), косинус которого равен 0,5.
Как мы ранее использовали круг? Мы рисовали на нём угол. В градусах или радианах. И сразу видели тригонометрические функции этого угла. Сейчас поступим наоборот. Нарисуем на круге косинус, равный 0,5 и сразу увидим угол. Останется только записать ответ.) Да-да!
Рисуем круг и отмечаем косинус, равный 0,5. На оси косинусов, разумеется. Вот так:
Теперь нарисуем угол, который даёт нам этот косинус. Наведите курсор мышки на рисунок (или коснитесь картинки на планшете), и увидите этот самый угол х.
Косинус какого угла равен 0,5?
х = π /3
cos60° = cos(π /3 ) = 0,5
Кое-кто скептически хмыкнет, да... Мол, стоило ли круг городить, когда и так всё ясно... Можно, конечно, хмыкать...) Но дело в том, что это - ошибочный ответ. Вернее, недостаточный. Знатоки круга понимают, что здесь ещё целая куча углов, которые тоже дают косинус, равный 0,5.
Если провернуть подвижную сторону ОА на полный оборот , точка А попадёт в исходное положение. С тем же косинусом, равным 0,5. Т.е. угол изменится на 360° или 2π радиан, а косинус - нет. Новый угол 60° + 360° = 420° тоже будет решением нашего уравнения, т.к.
Таких полных оборотов можно накрутить бесконечное множество... И все эти новые углы будут решениями нашего тригонометрического уравнения. И их все надо как-то записать в ответ. Все. Иначе решение не считается, да...)
Математика умеет это делать просто и элегантно. В одном кратком ответе записывать бесконечное множество решений. Вот как это выглядит для нашего уравнения:
х = π /3 + 2π n, n ∈ Z
Расшифрую. Всё-таки писать осмысленно приятнее, чем тупо рисовать какие-то загадочные буковки, правда?)
π /3 - это тот самый угол, который мы увидели на круге и определили по таблице косинусов.
2π - это один полный оборот в радианах.
n - это количество полных, т.е. целых оборотов. Понятно, что n может быть равно 0, ±1, ±2, ±3.... и так далее. Что и указано краткой записью:
n ∈ Z
n принадлежит (∈ ) множеству целых чисел (Z ). Кстати, вместо буквы n вполне могут употребляться буквы k, m, t и т.д.
Эта запись означает, что вы можете взять любое целое n . Хоть -3, хоть 0, хоть +55. Какое хотите. Если подставите это число в запись ответа, получите конкретный угол, который обязательно будет решением нашего сурового уравнения.)
Или, другими словами, х = π /3 - это единственный корень из бесконечного множества. Чтобы получить все остальные корни, достаточно к π /3 прибавить любое количество полных оборотов (n ) в радианах. Т.е. 2π n радиан.
Всё? Нет. Я специально удовольствие растягиваю. Чтобы запомнилось получше.) Мы получили только часть ответов к нашему уравнению. Эту первую часть решения я запишу вот как:
х 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
х 1 - не один корень, это целая серия корней, записанная в краткой форме.
Но есть ещё углы, которые тоже дают косинус, равный 0,5!
Вернёмся к нашей картинке, по которой записывали ответ. Вот она:
Наводим мышку на картинку и видим ещё один угол, который тоже даёт косинус 0,5. Как вы думаете, чему он равен? Треугольнички одинаковые... Да! Он равен углу х , только отложен в отрицательном направлении. Это угол -х. Но икс-то мы уже вычислили. π /3 или 60°. Стало быть, можно смело записать:
х 2 = - π /3
Ну и, разумеется, добавляем все углы, которые получаются через полные обороты:
х 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Вот теперь всё.) По тригонометрическому кругу мы увидели (кто понимает, конечно)) все углы, дающие косинус, равный 0,5. И записали эти углы в краткой математической форме. В ответе получились две бесконечные серии корней:
х 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
х 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Это правильный ответ.
Надеюсь, общий принцип решения тригонометрических уравнений с помощью круга понятен. Отмечаем на круге косинус (синус, тангенс, котангенс) из заданного уравнения, рисуем соответствующие ему углы и записываем ответ. Конечно, нужно сообразить, что за углы мы увидели на круге. Иногда это не так очевидно. Ну так я и говорил, что здесь логика требуется.)
Для примера разберём ещё одно тригонометрическое уравнение:
Прошу учесть, что число 0,5 - это не единственно возможное число в уравнениях!) Просто мне его писать удобнее, чем корни и дроби.
Работаем по общему принципу. Рисуем круг, отмечаем (на оси синусов, разумеется!) 0,5. Рисуем сразу все углы, соответствующие этому синусу. Получим вот такую картину:
Сначала разбираемся с углом х в первой четверти. Вспоминаем таблицу синусов и определяем величину этого угла. Дело нехитрое:
х = π /6
Вспоминаем про полные обороты и, с чистой совестью, записываем первую серию ответов:
х 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
Половина дела сделана. А вот теперь надо определить второй угол... Это похитрее, чем в косинусах, да... Но логика нас спасёт! Как определить второй угол через х? Да легко! Треугольнички на картинке одинаковые, и красный угол х равен углу х . Только отсчитан он от угла π в отрицательном направлении. Потому и красный.) А нам для ответа нужен угол, отсчитанный правильно, от положительной полуоси ОХ, т.е. от угла 0 градусов.
Наводим курсор на рисунок и всё видим. Первый угол я убрал, чтобы не усложнял картинку. Интересующий нас угол (нарисован зелёным) будет равен:
π - х
Икс мы знаем, это π /6 . Стало быть, второй угол будет:
π - π /6 = 5π /6
Снова вспоминаем про добавку полных оборотов и записываем вторую серию ответов:
х 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Вот и всё. Полноценный ответ состоит из двух серий корней:
х 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
х 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Уравнения с тангенсом и котангенсом можно легко решать по тому же общему принципу решения тригонометрических уравнений. Если, конечно, знаете, как нарисовать тангенс и котангенс на тригонометрическом круге.
В приведённых выше примерах я использовал табличное значение синуса и косинуса: 0,5. Т.е. одно из тех значений, которые ученик знать обязан. А теперь расширим наши возможности на все остальные значения. Решать, так решать!)
Итак, пусть нам надо решить вот такое тригонометрическое уравнение:
Такого значения косинуса в кратких таблицах нет. Хладнокровно игнорируем этот жуткий факт. Рисуем круг, отмечаем на оси косинусов 2/3 и рисуем соответствующие углы. Получаем вот такую картинку.
Разбираемся, для начала, с углом в первой четверти. Знать бы, чему равен икс, сразу бы ответ записали! Не знаем... Провал!? Спокойствие! Математика своих в беде не бросает! Она на этот случай придумала арккосинусы. Не в курсе? Зря. Выясните, Это много проще, чем вы думаете. По этой ссылке ни одного мудрёного заклинания насчёт "обратных тригонометрических функций" нету... Лишнее это в данной теме.
Если вы в курсе, достаточно сказать себе: "Икс - это угол, косинус которого равен 2/3". И сразу, чисто по определению арккосинуса, можно записать:
Вспоминаем про дополнительные обороты и спокойно записываем первую серию корней нашего тригонометрического уравнения:
х 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Практически автоматом записывается и вторая серия корней, для второго угла. Всё то же самое, только икс (arccos 2/3) будет с минусом:
х 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
И все дела! Это правильный ответ. Даже проще, чем с табличными значениями. Ничего вспоминать не надо.) Кстати, самые внимательные заметят, что эта картинка с решением через арккосинус ничем, в сущности, не отличается от картинки для уравнения cosx = 0,5.
Именно так! Общий принцип на то и общий! Я специально нарисовал две почти одинаковые картинки. Круг нам показывает угол х по его косинусу. Табличный это косинус, или нет - кругу неведомо. Что это за угол, π /3, или арккосинус какой - это уж нам решать.
С синусом та же песня. Например:
Вновь рисуем круг, отмечаем синус, равный 1/3, рисуем углы. Получается вот такая картина:
И опять картинка почти та же, что и для уравнения sinx = 0,5. Опять начинаем с угла в первой четверти. Чему равен икс, если его синус равен 1/3 ? Не вопрос!
Вот и готова первая пачка корней:
х 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Разбираемся со вторым углом. В примере с табличным значением 0,5 он был равен:
π - х
Так и здесь он будет точно такой же! Только икс другой, arcsin 1/3. Ну и что!? Можно смело записывать вторую пачку корней:
х 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Это совершенно правильный ответ. Хотя и выглядит не очень привычно. Зато понятно, надеюсь.)
Вот так решаются тригонометрические уравнения с помощью круга. Этот путь нагляден и понятен. Именно он спасает в тригонометрических уравнениях с отбором корней на заданном интервале, в тригонометрических неравенствах - те вообще решаются практически всегда по кругу. Короче, в любых заданиях, которые чуть сложнее стандартных.
Применим знания на практике?)
Решить тригонометрические уравнения:
Сначала попроще, прямо по этому уроку.
Теперь посложнее.
Подсказка: здесь придётся поразмышлять над кругом. Лично.)
А теперь внешне простенькие... Их ещё частными случаями называют.
sinx = 0
sinx = 1
cosx = 0
cosx = -1
Подсказка: здесь надо сообразить по кругу, где две серии ответов, а где одна... И как вместо двух серий ответов записать одну. Да так, чтобы ни один корень из бесконечного количества не потерялся!)
Ну и совсем простые):
sinx = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
Подсказка: здесь надо знать, что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс? Самые простые определения. Зато вспоминать никаких табличных значений не надо!)
Ответы, разумеется, в беспорядке):
х 1
= arcsin0,3 + 2π
n, n ∈ Z
х 2
= π
- arcsin0,3 + 2
Не всё получается? Бывает. Прочтите урок ещё раз. Только вдумчиво (есть такое устаревшее слово...) И по ссылкам походите. Главные ссылки - про круг. Без него в тригонометрии - как дорогу переходить с завязанными глазами. Иногда получается.)
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Требует знания основных формул тригонометрии - сумму квадратов синуса и косинуса, выражение тангенса через синус и косинус и другие. Для тех, кто их забыл или не знает рекомендуем прочитать статью " ".
Итак, основные тригонометрические формулы мы знаем, пришло время использовать их на практике. Решение тригонометрических уравнений
при правильном подходе – довольно увлекательное занятие, как, например, собрать кубик Рубика.
Исходя из самого названия видно, что тригонометрическое уравнение – это уравнение, в котором неизвестное находится под знаком тригонометрической функции.
Существуют так называемые простейшие тригонометрические уравнения. Вот как они выглядят: sinх = а, cos x = a, tg x = a. Рассмотрим, как решить такие тригонометрические уравнения
, для наглядности будем использовать уже знакомый тригонометрический круг.
sinх = а
cos x = a
tg x = a
cot x = a
Любое тригонометрическое уравнение решается в два этапа: приводим уравнение к простейшему виду и далее решаем его, как простейшее тригонометрическое уравнение.
Существует 7 основных методов, с помощью которых решаются тригонометрические уравнения.
Метод замены переменной и подстановки
Решение тригонометрических уравнений через разложение на множители
Приведение к однородному уравнению
Решение уравнений, через переход к половинному углу
Введение вспомогательного угла
Решить уравнение 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0
Используя формулы приведения получим:
2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0
Заменим cos(x + /6) на y для упрощения и получаем обычное квадратное уравнение:
2y 2 – 3y + 1 + 0
Корни которого y 1 = 1, y 2 = 1/2
Теперь идем в обратном порядке
Подставляем найденные значения y и получаем два варианта ответа:
Как решить уравнение sin x + cos x = 1 ?
Перенесем все влево, чтобы справа остался 0:
sin x + cos x – 1 = 0
Воспользуемся вышерассмотренными тождествами для упрощения уравнения:
sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0
Делаем разложение на множители:
2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0
2sin(x/2) * = 0
Получаем два уравнения
Уравнение является однородным относительно синуса и косинуса, если все его члены относительно синуса и косинуса одной и той же степени одного и того же угла. Для решения однородного уравнения, поступают следующим образом:
а) переносят все его члены в левую часть;
б) выносят все общие множители за скобки;
в) приравнивают все множители и скобки к 0;
г) в скобках получено однородное уравнение меньшей степени, его в свою очередь делят на синус или косинус в старшей степени;
д) решают полученное уравнение относительно tg.
Решить уравнение 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2
Воспользуемся формулой sin 2 x + cos 2 x = 1 и избавимся от открытой двойки справа:
3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x
sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0
Делим на cos x:
tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0
Заменяем tg x на y и получаем квадратное уравнение:
y 2 + 4y +3 = 0, корни которого y 1 =1, y 2 = 3
Отсюда находим два решения исходного уравнения:
x 2 = arctg 3 + k
Решить уравнение 3sin x – 5cos x = 7
Переходим к x/2:
6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)
Пререносим все влево:
2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0
Делим на cos(x/2):
tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0
Для рассмотрения возьмем уравнение вида: a sin x + b cos x = c ,
где a, b, c – некоторые произвольные коэффициенты, а x – неизвестное.
Обе части уравнения разделим на :
Теперь коэффициенты уравнения согласно тригонометрическим формулам обладают свойствами sin и cos, а именно: их модуль не более 1 и сумма квадратов = 1. Обозначим их соответственно как cos и sin , где – это и есть так называемый вспомогательный угол. Тогда уравнение примет вид:
cos * sin x + sin * cos x = С
или sin(x + ) = C
Решением этого простейшего тригонометрического уравнения будет
х = (-1) k * arcsin С - + k, где
Следует отметить, что обозначения cos и sin взаимозаменяемые.
Решить уравнение sin 3x – cos 3x = 1
В этом уравнении коэффициенты:
а = , b = -1, поэтому делим обе части на = 2