ГЛАВНАЯ Визы Виза в Грецию Виза в Грецию для россиян в 2016 году: нужна ли, как сделать

Точечная и дуговая эластичность

21.09.2019

Точечная эластичность - эластичность, измеренная в одной точке кривой спроса или предложения; является постоянной величиной повсюду, вдоль линии спроса и предложения.

Точечная эластичность представляет собой точный показатель чувствительности спроса или предложения к изменениям цен, доходов и т. д. Точечная эластичность отражает реакцию спроса или предложения на бесконечно незначительное изменение цены, доходов и других факторов. Нередко возникает ситуация, когда необходимо знать эластичность на определенном участке кривой, соответствующем переходу от одного состояния к другому. В данном варианте обычно функция спроса или предложения не задана.

Определение точечной эластичности иллюстрируется на рис. 18.1.

Чтобы определить эластичность при цене Р, следует установить наклон кривой спроса в точке А, т. е. наклон касательной (LL) к кривой спроса в этой точке. Если прирост цены (ΔP) незначителен, прирост объема (ΔQ,), определяемый касательной LL, приближается к действительному. Из этого вытекает, что формула точечной эластичности представляется таким образом:

Рис. 18.1. Точечная эластичность

Если абсолютное значение Е больше единицы, спрос будет эластичным. Если абсолютное значение Е меньше единицы, но больше нуля - спрос неэластичен.

Дуговая эластичность - примерная (ориентировочная) степень реакции спроса или предложения на изменения цены, дохода и других факторов.

Дуговая эластичность определяется как средняя эластичность, или эластичность в середине хорды, соединяющей две точки. В действительности применяются средние для дуги значения цены и объема спроса или предложения.

Эластичность спроса по цене - это отношение относительного изменения спроса (Q) к относительному изменению цены (Р), которое на рис. 18.2 изображено точкой М.

Рис. 18.2. Дуговая эластичность

Дуговая эластичность математически может быть выражена таким образом:

где P 0 - начальная цена;

Q 0 - начальный объем спроса;

P 1 - новая цена;

Q 1 - новый объем спроса.

Дуговая эластичность спроса используется в случаях с относительно большими изменениями цен, доходов и других факторов.

Коэффициент дуговой эластичности, по утверждению Р. Пиндайка и Д. Рубинфельда, всегда лежит где-то (но не всегда посередине) между двумя показателями точечной эластичности для низкой и высокой цен.

Итак, при незначительных изменениях рассматриваемых величин, как правило, используется формула точечной эластичности, а при больших (например, свыше 5 % от начальных величин) используется формула дуговой эластичности.

АЛЛЕИ Рой Джордж Дуглас (р. 1906), английский экономист-математик и статистик. С1944 г. профессор статистики Лондонского университета, читал курс математической экономики в ряде других английских высших учебных заведений. Член советов Экономического и Эконометрического обществ и ряда других научных организаций. Труды Аллена - главным образом учебные пособия по математической экономии, посвященные систематизации и анализу математических методов, используемых при изучении различных экономических проблем. Исходным пунктом экономических исследований он считал не производство, а получение дохода.

Аллен внес существенный вклад в разработку проблемы дуговой эластичности.

Рассмотрим два метода определения ценовой эластичности спроса.

1. Дуговой метод . Обратимся к кривой спроса на рис. 2.11.

Рис. 2.11. Определение ценовой эластичности спроса.

Ценовая эластичность спроса будет различной на различных ее участках. Так, на участке ab спрос будет неэластичным, а на участке cd – эластичным. Измеренная на этих участках эластичность называется дуговой эластичностью .

Предостережение . Одна из проблем, которая возникает при подсчете эластичности на основе изменений в количестве и цене как процентном соотношении от начальной величины (что мы проделали сейчас), состоит в том, что этот способ подсчета приводит к несоответствиям. Рост цен на 20% (с 12 ф.ст. до 14,40 ф.ст.) покрывает 20 % снижения объема продаж (с 200 до 160) и создает эластичность, равную 1 (единичную эластичность), и общий доход должен, следовательно, оставаться неизменным. Но вместо этого он уменьшается с 2400 ф.ст. (12 200) до 2304 (14,40 160) ф.ст. Почему так происходит? Это несоответствие возникает в связи с тем, что если эластичность спроса подсчитывается между двумя точками на кривой спроса, величина меняется в зависимости от того, начинаем мы считать с начальной величины или с конечной величины. Рост цены с 12 ф.ст. до 14,40 ф.ст. представляет собой 20 % изменение, равно как и уменьшение объема продаж с 200 до 160. Эластичность спроса в этом случае равна 1 (20/20). Но если мы пойдем в противоположном направлении, то получим совсем иной результат. Снижение цены с 14,40 до 12 ф.ст. сокращает объем продаж на 16,7 %, в то время как увеличение величины спроса с 160 до 200 - это изменение в 25%. В данном случае эластичность спроса равна 1,5 (25/16,7). Эластичность спроса различна в зависимости от того, с начальной или с конечной величины мы начинаем расчет. Одним из способов решения этой проблемы является расчет эластичности на основе процентного отношения средних величин или средних между двумя крайними величинами. Этот метод подсчитывает процентное изменение эластичности спроса путем деления разности конечной и начальной величин на их среднее значение. Например, 13,20 ф. ст. - есть средняя величина от двух величин - 12 ф.ст. и 14,40 ф.ст. Следовательно, согласно этому методу изменение цены с 12 ф.ст. до 14,40 ф.ст. считается ростом в 18,2%,поскольку(14,40-12)/13,20 100 = 18,2. Равно и изменение цены с 14,40 ф.ст. до 12 ф.ст. считается уменьшением в 18,2 %. Таким образом, метод расчета на основе средних величин дает в обоих случаях один и тот же ответ независимо от направления изменений цены. Для величины спроса средней величиной является 180. В этом случае, если величина продаж увеличивается с 160 до 200 (или уменьшается с 2 (до 160), мы считаем, что она изменилась на 22,2 % (поскольку 200-160 / 180 ·100 = 22,2). Итак, при использовании этого способа эластичность спроса по цене равна 1,22 (22/ 18,2). В данной лекции не ставится специальной задачи изучить, каким образом рассчитывается эластичность спроса по цене; для нас гораздо важнее, чтобы вы поняли взаимосвязь величины спроса и цены. Несмотря на это, данный пример показывает, что если вам необходимо подсчитать эластичность, то лучше использовать процентное отношение средней величины или средней между двумя величинами. (Добсон С., Полфреман С. Основы экономики: Минск: УП «Экоперспектива», 2004.)

Дуговая эластичность – это эластичность, измеренная между двумя точками кривой .

Фактически приведенная нами выше формула 2.8 была формулой дуговой эластичности. В числителе в ней фигурировало изменение количества блага в процентном выражении. Если мы отвлечемся от процентного выражения этого изменения и посмотрим, что есть относительное изменение Q , то нетрудно определить его как DQ /Q . Аналогичным образом относительное изменение цены можно представить как DР /Р . Тогда ценовая эластичность спроса может быть представлена:

E D = (2.9)

В качестве DQ берется разность между двумя значениями спроса на благо. Например, применительно к рис. 2.11 это могут быть разности (Q a - Q b) или (Q c - Q d). В качестве DР берется разность между двумя значениями цены, допустим (P a - P b) или (P c - P d). Проблема заключается в том, какое из двух значений количества блага и цены использовать в формуле 2.9 в качестве значений Q и Р . Понятно, что при разных значениях получается разный результат. Решение проблемы заключается в том, чтобы использовать среднее арифметическое двух значений. В таком случае мы измеряем некую среднюю эластичность на спрямляющих дуги отрезках ab и cd, и формула дуговой эластичности принимает вид:

E D = ,

где = (P a + P b)/2 или = (P с + P d)/2, а = (Q a + Q b)/2 или = (Q с + Q d)/2 (опять же нижние индексы отвечают обозначениям из рис. 2.11). Если же мы рассмотрим некий общий случай и обозначим значения количеств блага и цены как Q 1 , Q 2 и P 1 , P 2 , соответственно, то окончательно формулу дуговой эластичности после некоторых элементарных алгебраических преобразований можно представить как:

E D =

Именно этой формулой удобнее всего пользоваться при реальных вычислениях дуговой эластичности. Конечно, для этого необходимо знать числовые значения Q 1 , Q 2 и P 1 , P 2 .

Дуговая эластичность может рассчитываться и для случая линейной функции спроса для любых ее отрезков.

2. Точечный метод . Представим теперь, что нам нужно определить эластичность не на отрезках ab и cd , а в некоторой произвольно взятой точке f на кривой спроса (рис. 2.11). В этом случае можно воспользоваться формулой 2.9, но заменив DQ и DР бесконечно малыми величинами. Тогда эластичность можно определить как:

Формула 2.10 показывает точечную эластичность спроса.

Точечная эластичность – это эластичность, измеренная в некоторой точке кривой .

dQ /dP – показывает изменение спроса в ответ на изменение цены. На рис. 2.11 – это тангенс угла, образуемый касательной к кривой спроса в точке f и осью ординат (tg a). Он равен –70/50 = - 1,44 (знак минус обусловлен отрицательным наклоном кривой спроса и, соответственно, касательной к ней). Относительно точки f P f = 25, а Q f = 35. Подставляем эти значения в формулу 2.10 и получаем, что E D = - 1,44 × (25/35) = - 1,0. Следовательно, выше этой точки по кривой спроса спрос неэластичен, ниже – эластичен.

При изучении эластичности необходимо особо обратить внимание на то, что она лишь частично определяется наклоном кривой спроса. Это можно легко заметить на примере линейной функции спроса. С этой целью выберем знакомую нам функцию спроса Q D = 60 - 4P и изобразим ее на рис. 2.12.

Рис. 2.12. Различные эластичности линейных функций спроса.

Очевидно, что у линейной функции угол наклона во всех ее точках одинаков. В нашем случае dQ /dP = tg a = - 4 на всем ее протяжении. Однако в разных ее точках значение ценовой эластичности будет различным в зависимости от выбранных значений Р и Q . Так, например, в точке k эластичность равна 2, а в точке l уже только 0,5. В точке u, которая делитлинию спроса mn ровно пополам, эластичность составляет 1.

Теперь предположим, что спрос возрос так, что линия спроса сместилась в положение m ¢n . Она теперь описывается функцией Q D = 60 - 1,5P . Хорошо видно, что угол ее наклона существенно изменился. Здесь dQ /dP = tg b = - 1,5. Однако, например, в точке u ¢ эластичность спроса равна - 1, как и в точке u на линии спроса mn .

Заметим, что в точке, которая делит прямую линию спроса пополам, эластичность всегда равна – 1. На отрезке выше этой точки спрос в любой точке эластичный, ниже - неэластичный в любой точке. Эти утверждения можно легко доказать, зная формулу определения эластичности и элементарную геометрию.

До сих пор мы стремились показать, что значения ценовой эластичности спроса различны для различных участков и точек линии, представляющих одну и ту же функцию спроса. Однако можно указать на три исключения, когда эластичность одинакова для всей кривой спроса. Во-первых, нетрудно заметить, что когда последняя представлена вертикальной прямой линией (рис. 2.13, график А), то эластичность спроса равна 0 (т.к. dQ /dP = 0). Такой спрос называют абсолютно неэластичным.

Рис. 2.13. Графики функций спроса с постоянными эластичностями.

Во-вторых, если кривая спроса представлена горизонтальной прямой линией (рис. 2.13, график Б), то эластичность спроса равна бесконечности (т.к. dQ /dP = ). Такой спрос называют абсолютно эластичным.

И, наконец, в-третьих, когда кривая спроса представлена правильной гиперболой (рис. 2.13, график В), т.е. Q D = 1/P . Используя формулу 2.10 можно установить, что ее эластичность постоянна и равна - 1, т.е. |E D | = 1.

ТОЧЕЧНАЯ ЭЛАСТИЧНОСТЬ – эластичность, измеренная в одной точке кривой спроса или предложения; будет постоянной величиной повсюду, вдоль линии спроса и предложения.

Точечная эластичность представляет собой точный показатель чувствительности спроса или предложения к изменениям цен, доходов и т. д. Точечная эластичность демонстрирует реакцию спроса или предложения на бесконечно незначительное изменение цены, доходов и других факторов. Довольно часто возникает ситуация, когда крайне важно знать эластичность на определенном участке кривой, ϲᴏᴏᴛʙᴇᴛϲᴛʙующем переходу от одного состояния к другому. В данном варианте обычно функция спроса или предложения не задана.

Определение точечной эластичности иллюстрируется на рис. 18.1.

Чтобы определить эластичность при цене Р, следует установить наклон кривой спроса в точке А, т. е. наклон касательной (LL) к кривой спроса в ϶ᴛᴏй точке. В случае если прирост цены (ΔP) незначителен, прирост объема (ΔQ,), определяемый касательной LL, приближается к действительному. Из ϶ᴛᴏго вытекает, что формула точечной эластичности представляется таким образом:

Рисунок № 18.1. Точечная эластичность

В случае если абсолютное значение Е больше единицы, спрос будет эластичным. В случае если абсолютное значение Е меньше единицы, но больше нуля – спрос неэластичен.

ДУГОВАЯ ЭЛАСТИЧНОСТЬ – примерная (ориентировочная) степень реакции спроса или предложения на изменения цены, дохода и других факторов.

Эластичность спроса по цене – ϶ᴛᴏ отношение относительного изменения спроса (Q) к относительному изменению цены (Р), кᴏᴛᴏᴩое на рис. 18.2 изображено точкой М.

Рисунок № 18.2. Дуговая эластичность

Дуговая эластичность математически может быть выражена таким образом:

где P 0 – начальная цена;

Q 0 – начальный объем спроса;

P 1 – новая цена;

Q 1 – новый объем спроса.

Таким образом, при незначительных изменениях рассматриваемых величинтрадиционно используется формула точечной эластичности, а при больших (например, свыше 5 % от начальных величин) используется формула дуговой эластичности.

АЛЛЕИ Рой Джордж Дуглас (р. 1906), английский экономист-математик и статистик. С1944 г. профессор статистики Лондонского университета, читал курс математической экономики в ряде других английских высших учебных заведений. Член советов Экономического и Эконометрического обществ и ряда других научных организаций. Труды Аллена – главным образом учебные пособия по математической экономии, посвященные систематизации и анализу математических методов, используемых при изучении различных экономических проблем. Исходным пунктом экономических исследований он считал не производство, а получение дохода.

Аллен внес существенный вклад в разработку проблемы дуговой эластичности.

Точечная эластичность

Данный вид эластичности является одним из методов расчета эластичности. Такой расчет предполагает, что на графике спрос имеет вид прямой под влиянием цены. А это значит, что спрос будет изменяться пропорционально ценам на какое-либо благо.

Такая величина измеряется в одной конкретной точке. Данный показатель является более точным, а величина постоянна в конкретной точке.

В задачах такой вариант используется тогда, когда нужно узнать чувствительность спроса к цене на каком-то определенном участке спроса при конкретной цене или объеме спроса. В таком случае принимается точный показатель, который рассчитывается с помощью точечного варианта эластичности. В таком случае часто сама функция спроса не дается или неизвестна.

Замечание 1

Данный метод расчета также используется в ситуации, когда необходимо определить, как изменилась эластичность от одного перехода параметра к другому параметру.

производная функции спроса (цена / объем спроса)

изменение спроса / изменение цены (цена / объем спроса)

Дуговая эластичность

Замечание 2

Если рост одного из параметров (цена и спрос) становится выше, чем уровень в 5 %, то применяется данный тип расчета.

Данный расчет является приблизительным, так как в расчете используются средние значения. От первого вида расчета расчет дуговой эластичности отличается тем, что результат вычислений будет являться относительным к среднему. При этом кривая спроса примет вид дуги.

Данный метод расчета необходим в том случае, если нужно найти приближенную эластичность в целом за период без учета локальных изменений. Например, найти, как изменялся спрос, если цены в начальном периоде были 20 условных единиц, а стали 10. Иногда нужно определить не точную величину в данной точке, а величину в среднем выражении к ценам в периоде.

Это происходит потому, что при больших изменениях начального и конечного значения параметра сложно найти взаимосвязь, поэтому используются средние и приближенная величина эластичности, рассчитанная с помощью дуговой эластичности.

Формула для исчисления следующая:

((новый объем спроса - предыдущий объем спроса) / (новая цена – предыдущая цена)) ((новая цена + предыдущая цена) / (новый объем спроса + предыдущий объем спроса))

В таком случае, если индикатор эластичности находится на уровне больше 1, то спрос эластичный (то есть чувствительный к изменению цен), а если индикатор от 0 до 1, то спрос буде неэластичным.

Примеры расчетов

Рассмотрим пример задачи на точечную эластичность. Допустим, экономистами фирмы выявлена следующая функция спроса на рынке : $Q(p) = 100 – 2P$. Найдем ту эластичность, которая образуется при установлении цены в 20 рублей.

Тогда для решения найдем производную от функции: $-2$.

Видно, что знак отрицательный, а это говорит о выполнении закона спроса.

Тогда получим следующее: -220 / 60 = -0,66 или -2/3

Так как значение рассматривается по модулю (так как нужно определить не наклон направления изменения), то рассмотрим абсолютное значение. Так как по модулю значение меньше единицы, то считается, что спрос неэластичен.

Замечание 3

Таким образом, точечная эластичность покажет эластичность в одной конкретной точке (цене), а дуговая эластичность покажет значение в серединной точке. Поэтому значение индикатора эластичности на графике всегда будет находиться примерно посередине кривой спроса.

Точечная эластичность - эластичность, измеренная в одной точке кривой спроса или предложения; является постоянной величиной повсюду, вдоль линии спроса и предложения.

Определение точечной эластичности иллюстрируется на рис. 9.

Чтобы определить эластичность при цене Р, следует установить наклон кривой спроса в точке А, т. е. наклон касательной (LL) к кривой спроса в этой точке. Если прирост цены (ДР) незначителен, прирост объема (AQ), определяемый касательной LL, приближается к действительному. Из этого вытекает, что формула точечной эластичности представляется таким образом:

Рис. 9. Точечная эластичность

Дуговая эластичность - примерная (ориентировочная) степень реакции спроса или предложения на изменения цены, дохода и других факторов.

Рис. 18.2. Дуговая эластичность

Дуговая эластичность математически может быть выражена таким образом:

где Р0 - начальная цена;

Q0 - начальный объем спроса;

P1 - новая цена;

Q1 - новый объем спроса.

Дуговая эластичность спроса используется в случаях с относительно большими изменениями цен, доходов и других факторов.

Итак, при незначительных изменениях рассматриваемых величин, как правило, используется формула точечной эластичности, а при больших (например, свыше 5% от начальных величин) используется формула дуговой эластичности.

Точечную эластичность рассчитывают тогда, когда рассматривается реакция спроса на изменение цены с величины Р 1 до величины Р 2, то есть тогда, когда цена изменилась один раз. Для того чтобы определить среднюю реакцию спроса не в точке, а на отрезке (то есть когда рассматривают изменение спроса в диапазоне), рассчитывают показатель дуговой эластичности:

Эластичность и темпы роста спроса . Чем больше эластичность и чем выше темпы роста спроса (изменения числа потребителей данного товара), тем меньше оказывается рыночная власть фирмы. Эластичность спроса ограничивает возможности увеличения цены, поскольку в условиях эластичного спроса рост цен не компенсирует падение объемов сбыта: совокупная выручка фирмы при увеличении цены начинает падать. Тем самым обостряются проблемы конкуренции для фирм, действующих на рынках с эластичным спросом. При росте спроса происходит изменение соотношения размера рынка и величины минимально эффективного выпуска отрасли. Это увеличивает число эффективных фирм на рынке, что в свою очередь ведет к ослаблению рыночной власти отдельной фирмы.