Тонкая структура энергетических уровней и спектральных линии. Тонкая структура. Методы спектрального разложения

Исследование спектров щелочных металлов при помощи приборов с большой разрешающей силой показало, что каждая линия этих спектров является двойной (дублет). Так, например, характерная для натрия желтая линия (см. рис. 29.1) состоит из двух линий с длинами волн 5890 и 5896 А. То же относится и к другим линиям главной серии, а также к линиям других серий.

Структура спектра, отражающая расщепление линий на компоненты, называется тонкой структурой. Сложные линии, состоящие из нескольких компонент, получили название мультиплетов. Тонкая структура обнаруживается, кроме щелочных металлов, также и у других элементов, причем число компонент в мультиплете может быть равно двум (дублеты), трем (триплеты), четырем (квартеты), пяти (квинтеты) и т. д. В частном случае спектральные линии даже с учетом тонкой структуры могут быть одиночными (синглеты).

Расщепление спектральных линий, очевидно, обусловлено расщеплением энергетических уровней. Для объяснения расщепления уровней Гаудсмит и Уленбек выдвинули в 1925 г. гипотезу о том, что электрон обладает собственным моментом импульса , не связанным с движением электрона в пространстве.

Этот собственный момент был назван спином.

Первоначально предполагалось, что спин обусловлен вращением электрона вокруг своей оси. Согласно этим представлениям электрон уподоблялся волчку или веретену. Кстати, отсюда происходит и сам термин «спин»: по-английски spin означает «верчение». Однако очень скоро пришлось отказаться от подобных модельных представлений, в частности по следующей причине. Вращающийся заряженный шарик должен обладать магнитным моментом, причем отношение магнитного момента к механическому должно иметь значение

(см. формулу (56.3) 2-го тома).

Действительно, было установлено, что электрон, наряду с собственным механическим моментом, обладает также и собственным магнитным моментом Однако ряд опытных фактов, в частности сложный эффект Зеемана, свидетельствует о том, что отношение собственных магнитного и механического моментов в два раза больше, чем для орбитальных моментов:

Таким образом, представление об электроне как о вращающемся шарике оказалось несостоятельным. Спин следует считать внутренним свойством, присущим электрону, подобно тому как ему присущи заряд и масса.

Предположение о спине электрона было подтверждено большим количеством опытных фактов и должно считаться совершенно доказанным. Оказалось также, что наличие спина и все его свойства автоматически вытекают из установленного Дираком уравнения квантовой механики, удовлетворяющего требованиям теории относительности. Таким образом, выяснилось, что спин электрона является свойством одновременно квантовым и релятивистским. Спином обладают также протоны, нейтроны, фотоны и другие элементарные частицы (кроме мезонов).

Величина собственного момента импульса электрона определяется по общим законам квантовой механики (см. формулу (24.2)) так называемым спиновым квантовым числом s, равным

Проекция спина на заданное направление может принимать едантованные значения, отличающиеся друг от друга на

Чтобы найти значение собственного магнитного момента электрона, умножим на отношение (см. (31.2)):

( - магнетон Бора; см. формулу (56.7) 2-го тома). Знак минус указывает на то, что механический и магнитный моменты электрона направлены в противоположные стороны.

Проекция собственного магнитного момента электрона на заданное направление может иметь следующие значения:

(минус получается, если плюс - если

Таким образом, проекция собственного момента импульса электрона может принимать значения а собственного магнитного момента - значения . В ряд формул, в частности в выражение для энергии, входят не сами моменты, а их проекции. Поэтому принято говорить, что собственный механический момент (спин) электрона равен половине (подразумевается: в единицах ), а собственный магнитный момент равен одному магнетону Бора.

Рассмотрим теперь на примере атома натрия, как существование спина электрона может объяснить мультиплетную структуру спектра. Поскольку момент атомного остатка равен нулю, момент атома натрия равен моменту валентного электрона. Момент же электрона будет слагаться из двух моментов: орбитального обусловленного движением электрона в атоме, и спинового не связанного с движением электрона в пространстве. Результирующая этих двух моментов дает полный момент импульса валентного электрона. Сложение орбитального и спинового моментов в полный момент осуществляется по тем же квантовым законам, по которым складываются орбитальные моменты разных электронов (см. формулы (24.7) и (24.8)). Вели чина полного момента определяется квантовым числом

причем может иметь значения

где I и s - соответственно азимутальное и спиновое квантовые числа. При квантовое число имеет только одно значение; При отличном от нуля, возможны два значения} , которые соответствуют двум возможным взаимным ориентациям моментов - «параллельной» и «антипараллельной».

Теперь учтем, что с механическими моментами связаны магнитные моменты, которые взаимодействуют друг с другом подобно тому, как взаимодействуют два тока или две магнитные стрелки. Энергия этого взаимодействия (называемого спин-орбитальным взаимодействием) зависит от взаимной ориентации орбитального и собственного моментов. Следовательно, состояния с различными должны обладать различной энергией.

Таким образом, каждый терм ряда расщепляется на два, соответствующих каждый терм ряда расщепляется на термы с и т. д. Каждому терму ряда соответствует только одно значение поэтому термы ряда S не расщепляются.

Итак, каждый ряд термов, кроме S, распадается на два ряда - структура термов оказывается дублетной (двойной). Термы принято обозначать символами:

Правый нижний индекс дает значение j. Верхний левый индекс указывает мультиплетность термов. Хотя ряд S является одиночным, при символе терма также ставится 2, чтобы показать, что этот ряд принадлежит к системе термов, в целом дублетной.

С учетом тонкой структуры схема термов выглядит более сложно, о чем дают представление схемы уровней натрия (рис. 31.1) и цезия (рис. 31.2). Схему для натрия следует сравнить со схемой, изображенной на рис. 29.1. Поскольку мультиплетное расщепление термов D и F для натрия очень мало, подуровни D и F, отличающиеся значениями изображены на схеме слитно.

Для квантового числа полного момента импульса атома имеется правило отбора

Мультиплетное расщепление у цезия значительно больше, чем у натрия. На схеме цезия видно, что тонкая структура диффузной серии состоит не из двух линий, а из трех:

Возникновение этих линий пояснено дополнительно на рис. 31.3. Изображенный пунктиром переход запрещен правилом отбора (31.7). В нижней части схемы показано, как выглядит сам мультиплет.

Толщина линий на схеме примерно соответствует интенсивности спектральных линий. Совокупность получающихся линий выглядит как дублет, у которого одна из компонент в свою очередь оказывается двойной.

Такая группа линий называется не триплетом, а сложным дублетом, так как она возникает в результате комбинации дублетных термов.

Заметим, что в связи с существованием спина электрона естественно возникает вопрос о том, что и у водородного атома уровни с должны быть двойными, а спектральные линии - дублетными.

Тонкая структура водородного спектра действительно была обнаружена экспериментально.

Обусловленное спином расщепление энергетических уровней является релятивистским эффектом. Релятивистская квантовая теория дает для расстояния между уровнями тонкой структуры водородного атома значение раз меньше, чем расстояние между основными уровнями.

Постоянная тонкой структуры принадлежит к числу фундаментальных констант природы. Ее смысл становится очевидным при переходе к так называемой естественной системе единиц, применяемой в квантовой электродинамике. В этой системе в качестве единицы массы принимается масса электрона те, в качестве единицы длины - комптоновская длина волны электрона (см. § 11), в качестве единицы энергии - энергия покоя электрона и т. д. Вычислим в этих единицах электрическую энергию взаимодействия двух электронов, находящихся на расстоянии друг от друга. Для этого нужно выражение разделить на В результате получится безразмерная величина, равная

(см. формулу (31.9)). Если бы мы заряд электрона q выражали в естественных единицах, то формула для энергии взаимодействия имела бы вид

Отсюда следует, что а представляет собой квадрат элементарного заряда, выраженного в естественных единицах.

Согласно (31.10) постоянная тонкой структуры характеризует энергию взаимодействия двух электронов. Иначе можно сказать, что а определяет, как сильно электрон связан с электромагнитным полем. По этой причине постоянную а называют константой связи электрона с электромагнитным полем.

В выражение (31.10) для а масса электрона не входит. Следовательно, а является константой связи с электромагнитным полем для любой элементарной частицы, имеющей заряд .

Макроскопическая структура спектральных линий - это число линий и их расположение. Она определяется разницей в энергетических уровнях различных атомных орбиталей . Однако при более детальном исследовании каждая линия проявляет свою детальную тонкую структуру. Эта структура объясняется малыми взаимодействиями, которые немного сдвигают и расщепляют энергетические уровни. Их можно анализировать методами теории возмущений . Тонкая структура атома водорода на самом деле представляет собой две независимые поправки к боровским энергиям : одна из-за релятивистского движения электрона, а вторая из-за спин-орбитального взаимодействия .

Релятивистские поправки

В классической теории кинетический член гамильтониана : $T=\backslash frac\{p^\{2\}\}\{2m\}$

Однако, учитывая СТО , мы должны использовать релятивистское выражение для кинетической энергии, $T=\backslash sqrt\{p^\{2\}c^\{2\}+m^\{2\}c^\{4\}\}-mc^\{2\}$

где первый член - это общая релятивистская энергия, а второй член - это энергия покоя электрона. Раскладывая это в ряд, получаем

$T=\backslash frac\{p^\{2\}\}\{2m\}-\backslash frac\{p^\{4\}\}\{8m^\{3\}c^\{2\}\}+\backslash dots$

Отсюда, поправка первого порядка к гамильтониану равна $H"=-\backslash frac\{p^\{4\}\}\{8m^\{3\}c^\{2\}\}$

Используя это как возмущение, мы можем вычислить релятивистские энергетические поправки первого порядка.

$E\_\{n\}^\{(1)\}=\backslash langle\backslash psi^\{0\}\backslash vert\; H"\backslash vert\backslash psi^\{0\}\backslash rangle=-\backslash frac\{1\}\{8m^\{3\}c^\{2\}\}\backslash langle\backslash psi^\{0\}\backslash vert\; p^\{4\}\backslash vert\backslash psi^\{0\}\backslash rangle=-\backslash frac\{1\}\{8m^\{3\}c^\{2\}\}\backslash langle\backslash psi^\{0\}\backslash vert\; p^\{2\}p^\{2\}\backslash vert\backslash psi^\{0\}\backslash rangle$

где $\backslash psi^\{0\}$ - невозмущенная волновая функция . Вспоминая невозмущенный гамильтониан, мы видим

$H^\{0\}\backslash vert\backslash psi^\{0\}\backslash rangle=E\_\{n\}\backslash vert\backslash psi^\{0\}\backslash rangle$

$\backslash left(\backslash frac\{p^\{2\}\}\{2m\}+U\backslash right)\backslash vert\backslash psi^\{0\}\backslash rangle=E\_\{n\}\backslash vert\backslash psi^\{0\}\backslash rangle$

$p^\{2\}\backslash vert\backslash psi^\{0\}\backslash rangle=2m(E\_\{n\}-U)\backslash vert\backslash psi^\{0\}\backslash rangle$

$E\_\{n\}^\{(1)\}=-\backslash frac\{1\}\{8m^\{3\}c^\{2\}\}\backslash langle\backslash psi^\{0\}\backslash vert\; p^\{2\}p^\{2\}\backslash vert\backslash psi^\{0\}\backslash rangle$

$E\_\{n\}^\{(1)\}=-\backslash frac\{1\}\{8m^\{3\}c^\{2\}\}\backslash langle\backslash psi^\{0\}\backslash vert\; (2m)^\{2\}(E\_\{n\}-U)^\{2\}\backslash vert\backslash psi^\{0\}\backslash rangle$

$E\_\{n\}^\{(1)\}=-\backslash frac\{1\}\{2mc^\{2\}\}(E\_\{n\}^\{2\}-2E\_\{n\}\backslash langle\; U\backslash rangle\; +\backslash langle\; U^\{2\}\backslash rangle)$

Для атома водорода, $U=\backslash frac\{e^\{2\}\}\{r\}$, $\backslash langle\; U\backslash rangle=\backslash frac\{e^\{2\}\}\{a\_\{0\}n^\{2\}\}$ и $\backslash langle\; U^\{2\}\backslash rangle=\backslash frac\{e^\{4\}\}\{(l+1/2)n^\{3\}a\_\{0\}^\{2\}\}$ где $a\_\{0\}$ - боровский радиус , $n$ - главное квантовое число и $l$ - орбитальное квантовое число . Следовательно, релятивистская поправка для атома водорода равна

$E\_\{n\}^\{(1)\}=-\backslash frac\{1\}\{2mc^\{2\}\}\backslash left(E\_\{n\}^\{2\}-2E\_\{n\}\backslash frac\{e^\{2\}\}\{a\_\{0\}n^\{2\}\}\; +\backslash frac\{e^\{4\}\}\{(l+1/2)n^\{3\}a\_\{0\}^\{2\}\}\backslash right)=-\backslash frac\{E\_\{n\}^\{2\}\}\{2mc^\{2\}\}\backslash left(\backslash frac\{4n\}\{l+1/2\}-3\backslash right)$

Связь спин-орбита

Поправка спин-орбита появляется, когда мы из стандартной системы отсчёта (где электрон облетает вокруг ядра) переходим в систему, где электрон покоится, а ядро облетает вокруг него. В этом случае движущееся ядро представляет собой эффективную петлю с током , которая в свою очередь создаёт магнитное поле . Однако электрон сам по себе имеет магнитный момент из-за спина. Два магнитных вектора, $\backslash vec\; B$ и $\backslash vec\backslash mu\_s$ сцепляются вместе так, что появляется определённая энергия , зависящая от их относительной ориентации. Так появляется энергетическая поправка вида $\backslash Delta\; E\_\{SO\}\; =\; \backslash xi\; (r)\backslash vec\; L\; \backslash cdot\; \backslash vec\; S$

См. также

Напишите отзыв о статье "Тонкая структура"

Литература

• Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). - Prentice Hall, 2004. - ISBN ISBN 0-13-805326-X .
• Liboff, Richard L. Introductory Quantum Mechanics. - Addison-Wesley, 2002. - ISBN ISBN 0-8053-8714-5 .

Ссылки

Отрывок, характеризующий Тонкая структура

– Какой рыцарь? Отчего? – краснея, спросил Пьер.
– Ну, полноте, милый граф, c"est la fable de tout Moscou. Je vous admire, ma parole d"honneur. [это вся Москва знает. Право, я вам удивляюсь.]
– Штраф! Штраф! – сказал ополченец.
– Ну, хорошо. Нельзя говорить, как скучно!
– Qu"est ce qui est la fable de tout Moscou? [Что знает вся Москва?] – вставая, сказал сердито Пьер.
– Полноте, граф. Вы знаете!
– Ничего не знаю, – сказал Пьер.
– Я знаю, что вы дружны были с Натали, и потому… Нет, я всегда дружнее с Верой. Cette chere Vera! [Эта милая Вера!]
– Non, madame, [Нет, сударыня.] – продолжал Пьер недовольным тоном. – Я вовсе не взял на себя роль рыцаря Ростовой, и я уже почти месяц не был у них. Но я не понимаю жестокость…
– Qui s"excuse – s"accuse, [Кто извиняется, тот обвиняет себя.] – улыбаясь и махая корпией, говорила Жюли и, чтобы за ней осталось последнее слово, сейчас же переменила разговор. – Каково, я нынче узнала: бедная Мари Волконская приехала вчера в Москву. Вы слышали, она потеряла отца?
– Неужели! Где она? Я бы очень желал увидать ее, – сказал Пьер.
– Я вчера провела с ней вечер. Она нынче или завтра утром едет в подмосковную с племянником.
– Ну что она, как? – сказал Пьер.
– Ничего, грустна. Но знаете, кто ее спас? Это целый роман. Nicolas Ростов. Ее окружили, хотели убить, ранили ее людей. Он бросился и спас ее…
– Еще роман, – сказал ополченец. – Решительно это общее бегство сделано, чтобы все старые невесты шли замуж. Catiche – одна, княжна Болконская – другая.
– Вы знаете, что я в самом деле думаю, что она un petit peu amoureuse du jeune homme. [немножечко влюблена в молодого человека.]
– Штраф! Штраф! Штраф!
– Но как же это по русски сказать?..

Когда Пьер вернулся домой, ему подали две принесенные в этот день афиши Растопчина.
В первой говорилось о том, что слух, будто графом Растопчиным запрещен выезд из Москвы, – несправедлив и что, напротив, граф Растопчин рад, что из Москвы уезжают барыни и купеческие жены. «Меньше страху, меньше новостей, – говорилось в афише, – но я жизнью отвечаю, что злодей в Москве не будет». Эти слова в первый раз ясно ыоказали Пьеру, что французы будут в Москве. Во второй афише говорилось, что главная квартира наша в Вязьме, что граф Витгснштейн победил французов, но что так как многие жители желают вооружиться, то для них есть приготовленное в арсенале оружие: сабли, пистолеты, ружья, которые жители могут получать по дешевой цене. Тон афиш был уже не такой шутливый, как в прежних чигиринских разговорах. Пьер задумался над этими афишами. Очевидно, та страшная грозовая туча, которую он призывал всеми силами своей души и которая вместе с тем возбуждала в нем невольный ужас, – очевидно, туча эта приближалась.
«Поступить в военную службу и ехать в армию или дожидаться? – в сотый раз задавал себе Пьер этот вопрос. Он взял колоду карт, лежавших у него на столе, и стал делать пасьянс.
– Ежели выйдет этот пасьянс, – говорил он сам себе, смешав колоду, держа ее в руке и глядя вверх, – ежели выйдет, то значит… что значит?.. – Он не успел решить, что значит, как за дверью кабинета послышался голос старшей княжны, спрашивающей, можно ли войти.
– Тогда будет значить, что я должен ехать в армию, – договорил себе Пьер. – Войдите, войдите, – прибавил он, обращаясь к княжие.
(Одна старшая княжна, с длинной талией и окаменелым лидом, продолжала жить в доме Пьера; две меньшие вышли замуж.)
– Простите, mon cousin, что я пришла к вам, – сказала она укоризненно взволнованным голосом. – Ведь надо наконец на что нибудь решиться! Что ж это будет такое? Все выехали из Москвы, и народ бунтует. Что ж мы остаемся?
– Напротив, все, кажется, благополучно, ma cousine, – сказал Пьер с тою привычкой шутливости, которую Пьер, всегда конфузно переносивший свою роль благодетеля перед княжною, усвоил себе в отношении к ней.

Учебные элементы.

1. В спектре атома любого щелочного металла выделяют четыре серии: главная, резкая, диффузная и основная.

Обобщенная формула Ридберга, по которой можно рассчитать частоту линий этих серий, записывается следующим образом:

Здесь m и n - целые числа, а α и β – дробные числа, названные поправками Ридберга.

Эта формула учитывает возможность ионизации атомов других групп до состояния с одним внешним электроном (Z - номер группы).

2. Для конкретного атома (например, для лития), получим следующие четыре формулы:

Главная серия:

Резкая серия:

Диффузная серия:

Основная серия:

3. Для каждого атома имеется свой набор поправок Ридберга, которые были определены исходя из изучения энергий ионизации и длин волн головных и коротковолновых границ серий.

4. Головная линия серии. Для любой серии это спектральная линия с наибольшей длиной волны (наименьшей частотой) в данной серии. Соответствует первому разрешенному переходу из начального состояния в ближайшее возбужденное состояние.

5. Коротковолновая граница серии. Для любой серии это спектральная линия с наименьшей длиной волны (наибольшей частотой) в данной серии. Соответствует разрешенному переходу из начального состояния в возбужденное состояние с главным квантовым числом, стремящимся к ∞. Является границей между линейчатым спектром и областью сплошного спектра.

6. Энергия диссоциации численно равна работе, которую необходимо совершить, чтобы оторвать электрон от атома. Энергия перехода электрона из начального состояния в возбужденное состояние с главным квантовым числом, стремящимся к ∞, численно соответствует этой работе.

7. Потенциал ионизации. При бомбардировке исследуемых атомов электронами, которые разгоняются в электрическом поле, регистрируется разность потенциалов, при которой происходит отрыв электрона от исследуемого атома (ионизация атома). Эта разность потенциалов называется потенциалом ионизации.

8. Первый потенциал возбуждения. В опыте Франка и Герца при бомбардировке исследуемых атомов электронами, которые разгоняются в электрическом поле, регистрируется разность потенциалов, при которой наблюдается резкий провал в вольтамперной характеристике. При этом электрон в исследуемом атоме переходит из основного состояния в первое возможное возбужденное. Энергия этого перехода равна энергии электрона, разогнанного электрическим полем.

9. Тонкая структура спектров. Постоянная тонкой структуры.

При увеличении разрешающей способности спектральных приборов, было установлено, что все спектральные линии имеют тонкую структуру (они сложные). Линии главной и диффузной серии – двойные (дублеты), а линии резкой и основных серий – тройные (триплеты). Тонкая структура может быть объяснена тем, что энергетические уровни атома расщепляются. При вычислении энергии расщепления, было получено следующее соотношение: . Число получило название постоянная тонкой структуры, а E i – энергия ионизации атома.

10. Спин электрона. Квантование спина. Спиновое квантовое число.

Собственный механический момент атома и его проекция на выделенное направление:

Для объяснения расщепления спектральных линий и ряда других экспериментов (эффект Зеемана, магнитомеханические явления) значение спинового квантового числа s положили равным ½, а значение магнитного квантового числа m s ,определяющего ориентацию спина, равным ±½.

11. Векторная модель одноэлектронного атома

При таком представлении состояния электрона оказывается, что ему приписывают два механических момента (орбитальный и спиновый), которые должны складываться между собой. Для вычисления результата сложения строим векторную модель одноэлектронного атома. Необходимо напомнить студентам результаты вычисления коммутаторов операторов проекций механического момента (не коммутируют) и одной из проекций механического момента и квадрата модуля механического момента (коммутируют). Таким образом, нельзя определить точное направление вектора механического момента, а можно определить его проекцию на заданную ось (ось Z ) и его длину. А сам механический момент будет вращаться (прецессировать) вокруг этого направления.

m s =-½

L s

L s

L l

m s =½

L

L z
12. Спин-орбитальное взаимодействие.

При сложении орбитального и спинового механических моментов возможны две взаимные ориентации этих моментов, которые будут давать разные состояния. Энергии этих состояний будут отличаться, т.к. помимо энергии, определяемой значениями главного и орбитального квантовых чисел, необходимо учитывать энергию спин-орбитального взаимодействия. Эта энергия определяется взаимодействием спинового магнитного момента с магнитным полем, которое возникает из-за орбитального движения заряженной частицы: . Величина и знак этой энергии определяется скалярным произведением орбитального и спинового механических моментов. Как видно из рисунка, в одном случае знак будет положительный (острый угол между моментами), в другом – отрицательный (тупой угол между моментами).

13. Полный механический момент.

При сложении орбитального и спинового механических моментов получается новый механический момент (полный или внутренний), величина которого и его проекция на ось Z , записываются следующим образом:

Причем значение полного квантового числа j для одноэлектронного атома может принимать значения: l + ½ или l - ½. Значения числа m j могут принимать значения от –j до j через единицу.

Таким образом, можно объяснить расщепление энергетических уровней. Образование дублетов и триплетов можно объяснить, только рассмотрев правила отбора для спектральных переходов.
14. Правила отбора для спектральных переходов.

Это правила изменения квантовых чисел при переходе электрона из одного состояния атома в другое при поглощении или испускании фотона. Рассмотрим только однофотонные процессы.

Для главного квантового числа n нет никаких ограничений. Электрон может переходить с любого уровня n 1 на любой другой n 2 .

Для орбитального квантового числа l действует правило отбора, основанное на законе сохранения механического момента. Фотон имеет собственный механический момент равный единице ℏ. Поэтому при поглощении или излучении фотона механический момент атома должен изменяться на единицу. Отсюда правило отбора:

Для спинового квантового числа s действует строгое правило: оно не должно изменяться: .

Для полного квантового числа j установлено следующее правило отбора:

Для магнитного квантового числа m j установлено такое же правило отбора:

Таким образом, поскольку полное квантовое число j при оптических переходах может изменяться максимум тремя способами, то и тонкая структура линий для атомов щелочных металлов может быть либо дублетом, либо триплетом.

Дальнейшее исследование атомных спектров показало, что многие спектральные линии имеют два близких компонента. Так, еще в 1887 г. А. Майкельсон обнаружил расщепление - линии серии Бальмера в водороде, порождаемой переходом

Она оказалась состоящей из двух линий со средней длиной волны 6 563 Å.

Рис. 5.9. Альберт Абрахам Майкельсон 1852–1931

Разность длин волн равна 0.14 Å (то есть относительная величина расщепления порядка 10 – 5 ). Были обнаружены и линии, расщепленные на 3 , 4 и более компонентов. Расщепление линий, как мы теперь понимаем, означает расщепление энергетических уровней атома: у них появляется, как говорят, тонкая структура. Значит, существует неучтенное взаимодействие. Мы говорили, что расщепление линий возникает, например, когда наложенное внешнее поле нарушает симметрию системы. А здесь неучтенное взаимодействие проявляется в отсутствие внешних полей, то есть оно должно быть связано с какими-то внутренними свойствами атома.

Оказалось, что это действительно проявление внутренних свойств, но не атома в целом, а электрона. В 1925 г. С. Гаудсмит и Дж. Уленбек выдвинули гипотезу спина электрона : они предположили существование у электрона собственного момента импульса, не связанного с орбитальным движением. Сначала спин представляли себе как верчение (англ. spin ) электрона вокруг собственной оси (аналог суточного вращения Земли). Потом осознали, что «верчение» нельзя понимать буквально: численные оценки давали линейную скорость верчения, превышающую скорость света в вакууме.

Рис. 5.10. Сэмюэл Абрахам Гаудсмит 1902–1978

Рис. 5.11. Джо́рдж Ю́джин Уленбе́к 1900–1988

Его существование остается загадкой, если находиться только в рамках квантовой механики Гейзенберга - Шредингера. Естественное объяснение спин получил только в релятивистской квантовой теории П. Дирака , соединившей теорию относительности с квантовой механикой.

Рис. 5.12. Поль Адриен Морис Дира́к, 1902–1984

Из опытов следовало, что электрону надо приписать спиновое квантовое число s = 1/2 , имеющее те же свойства (см. формулу (5.5)), что и квантовое число l . Принято для краткости спиновое квантовое число называть спином . В дальнейшем мы тоже будем использовать эту, общепринятую терминологию.

Соответственно, существует единственное собственное значение оператора квадрата спина

а проекция спина на какую-то ось (пробегая через единицу ħ все значения от максимального до минимального) записывается в виде

где принимает лишь два значения

Число называют магнитным спиновым квантовым числом .

Откуда же взялось расщепление спектральных линий? Попытаемся понять это с помощью полуклассических рассуждений. В классической физике любое вращение электрического заряда создает магнитное поле. Вращающийся по орбите радиусом R классический электрон можно представить как виток с током силой l , охватывающий площадь , то есть как магнитный диполь с магнитным моментом

Рис. 5.13. Модель спина и магнитного момента электрона в рамках классической физики

Классическая оценка: электрон на орбите радиусом R и скоростью v имеет период обращения

Возьмем какую-нибудь точку на орбите. За время T через нее проходит заряд е, то есть сила тока по определению равна

Кроме того, электрон имеет орбитальный момент

так что ток можно выразить через орбитальный момент, исключив скорость электрона:

Тогда орбитальный магнитный момент, создаваемый электроном, равен

Рис. 5.14. Классическая модель электрона на круговой орбите

Заменим теперь в соответствии с правилами квантования

и получим выражение для орбитального магнитного момента, которое может быть выведено и более строго:

Отсюда следуют выводы:

· Естественная единица для магнитных моментов в микромире - так называемый магнетон Бора · Проекция магнитного момента на любую ось всегда должна быть целым кратным магнетона Бора: (Теперь понятно, почему квантовое число n названо магнитным.) · Отношение орбитального магнитного момента электрона к его орбитальному моменту импульса, называемое гиромагнитным отношением , равно

Эксперименты показали, что спин электрона обладает двойным магнетизмом: собственный магнитный момент электрона, связанный со спином, равен

то есть гиромагнитное отношение для него оказалось в два раза большим . Это - лишнее доказательство того, что электрон нельзя представлять себе как заряженный шарик, вращающийся вокруг собственной оси: в таком случае должно было бы получиться обычное гиромагнитное отношение. Для проекции собственного магнитного момента имеем

и поскольку

В итоге для проекции спинового магнитного момента снова получились целые кратные магнетона Бора, как и для орбитального движения. По какой-то причине природа предпочитает иметь дело с целым магнетоном Бора, а не с его частями. Поэтому полуцелое значение собственного момента количества движения она компенсирует двойным гиромагнитным отношением.

Рис. 5.15. Иллюстрация орбитального и спинового моментов электрона

Теперь можно понять, почему наличие у электрона собственного магнитного момента приводит к появлению какого-то неучтенного до сих пор взаимодействия. Для этого опять перейдем на полуклассический язык. Орбитальное движение электрона создает магнитное поле, которое действует на собственный магнитный момент электрона. Подобным образом магнитное поле Земли воздействует на стрелку компаса. Энергия этого взаимодействия сдвигает энергетические уровни атома, причем величина сдвига зависит, вообще говоря, от спинового и орбитального моментов количества движения.

Важный вывод:

Пример 1. Оценим расщепление уровней энергии вследствие взаимодействия спинового и орбитального магнитного моментов электрона в атоме водорода.

Круговой виток радиусом R с током силой I порождает в центре магнитное поле

В этой главе было показано, что вращающийся по орбите электрон можно представить как виток с током

Здесь для оценки мы положили

Тогда получаем для магнитного поля, создаваемого орбитальным движением электрона в атоме, величину порядка

Энергия взаимодействия собственного магнитного момента электрона с этим магнитным полем равна по порядку величины

Для оценки положим R равным боровскому радиусу первой орбиты . Подставляя сюда выражения для и и учитывая, что

получаем оценку сдвига энергетических уровней

где - введенная выше (см. (3.3)) постоянная тонкой структуры. Энергия первого уровня атома водорода, как известно, равна

так что (3.13) можно переписать как

Поскольку

a E = 13 6эВ , то

а относительный сдвиг уровней

что соответствует экспериментальным данным.

Это и есть оценка (не расчет) искомого расщепления уровней. В сущности, расщепление уровней - это релятивистский эффект: по Бору скорость электрона на первой орбите

Поэтому не удивительно, что до конца свойства спина могут быть поняты только в релятивистской квантовой теории. Мы не ставим себе такую задачу, но просто будем учитывать наличие у электрона этого удивительного свойства.

Экспериментальное доказательство существования спина электрона было дано в опыте Штерна - Герлаха в 1922 г. Идея опыта состоит в том, что в магнитном поле, неоднородном по оси z, на электроны действует смещающая сила, направленная вдоль поля. Происхождение этой силы проще уяснить сначала на примере электрического диполя, помещенного в электрическое поле. Электрический диполь представляет собой пару противоположных зарядов , расположенных на малом расстоянии l друг от друга. Величина электрического дипольного момента определяется как

причем вектор l считается направленным от отрицательного заряда к положительному.

Пусть положительный заряд находится в точке r, а отрицательный - в точке , так что

Пусть диполь помещен в электрическое поле с напряженностью . Найдем силу, действующую на диполь. На положительный заряд действует сила

на отрицательный -

Результирующая сила будет

Так как расстояние между зарядами мало, то поле в точке расположения отрицательного заряда можно приближенно записать как

Подставляя это разложение в выражение для силы F , находим

Если поле однородно (Е не зависит от ), то на заряды диполя действуют равные и противоположно направленные силы и результирующая сила равна нулю, как и следует из уравнения (5.14). Как известно, такая пара сил не смещает диполь (который в целом электрически нейтрален), но лишь поворачивает его вдоль поля (магнитный аналог - стрелка компаса). В неоднородном же поле результирующая сила отлична от нуля. В частном случае, когда поле зависит только от координаты z, в уравнении (5.14) отлична от нуля лишь производная по z

где - проекция электрического момента на ось z. Неоднородное поле стремится втянуть диполь в область, где оно сильнее.

Магнитных зарядов не существует, но магнитный диполь реализуется витком с током, и его свойства аналогичны свойствам электрического диполя. Поэтому в формуле (5.15) надо заменить электрическое поле на магнитное, электрический момент - на магнитный и написать для силы, действующей на электрон в опыте Штерна - Герлаха, аналогичное выражение

Схема опыта: пучок атомов пролетает сквозь неоднородное магнитное поле, направленное поперечно к скорости атомов. Сила, действующая на магнитные моменты атомов, отклоняет их. Соответственно возможным значениям проекции магнитного момента на направление поля первоначальный пучок расщепляется на несколько пучков. Если полный магнитный момент атома определяется только спином электрона, то первоначальный пучок расщепится на два. Для многоэлектронных атомов расщепленных пучков может быть больше. Для своего эксперимента Штерн и Герлах использовали серебро, которое испарялось в электрической печке. Численные значения расщепления составляли доли миллиметра. Авторы подчеркнули в своих выводах, что неотклоненных атомов не было зарегистрировано. Ниже мы увидим, что это - специфика опытов с элементами первой группы.

Рис. 5.16. Схема опыта Штерна и Герлаха

Главный результат опытов Штерна и Герлаха - прямое экспериментальное доказательство квантования направления магнитного момента атомов. Согласно классической физике, первоначальный пучок должен не расщепиться, а размазаться в соответствии с произвольностью проекции магнитного момента на направление магнитного поля. Соответственно, на экране за прибором вместо двух раздельных линий, оставленных атомами серебра, должна была бы наблюдаться размытая полоска.

Рис. 5.17. Отто Штерн, 1888–1969

Рис. 5.18. Ва́льтер Ге́рлах, 1889–1979

Пример 2. Узкий пучок атомов со скоростью и массой n пропускается через поперечное неоднородное магнитное поле, в котором на них действует сила (рис. 5.19). Протяженность области поля , расстояние от магнита до экрана . Определим угол отклонения следа пучка атомов на экране от его положения при выключенном магнитном поле.

До сих пор речь шла об особенностях структуры спектров, объясняющихся свойствами электронного облака атома.

Однако уже давно отмечались детали в структуре спектров, не объяснимые с этой точки зрения. Сюда относится сложная структура отдельных линий ртути и обнаруженная в 1928 г. Л. Н. Добрецовым и А. Н. Терениным двойная структура каждой из двух желтых линий натрия. В последнем случае расстояние между компонентами составляло всего 0,02 А, что в 25 раз меньше радиуса атома водорода. Указаные детали строения спектра получили название сверхтонкой структуры (рис. 266).

Рис. 266. Сверхтонкая структура натриевой линии.

Для ее исследования обычно применяются эталон Фабри - Перо и другие приборы с большой разрешающей способностью. Малейшее расширение спектральных линий, вызванное взаимодействием атомов между собой или их тепловым движением, приводит к слиянию компонент сверхтонкой структуры. Поэтому в настоящее время широко применяется метод молекулярных пучков, впервые предложенный Л. Н. Добрецовым и А. Н. Терениным. При этом методе наблюдается свечение или поглощение пучка атомов, летящих в вакууме.

В 1924 г. японский физик Нагаока сделал первую попытку связать сверхтонкую структуру с ролью атомного ядра в спектрах. Эта попытка была сделана в очень неубедительной форме и вызвала совершенно издевательскую критику со стороны известного

спектроскописта И. Рунге. Он приписал каждой букве фамилии Нагаока ее порядковое число в алфавите и показал, что произвольная комбинация этих чисел между собой дает такое же хорошее согласие с опытными данными, как и теория Нагаоки.

Однако Паули вскоре установил, что в идеях Нагаоки было зерно истины и что сверхтонкая структура действительно непосредственно связана со свойствами атомного ядра.

Следует различать два типа сверхтонкой структуры. Первому типу соответствует сверхтонкая структура, одинаковая по числу компонент для всех линий спектра данного элемента. Возникновение этой сверхтонкой структуры связано с наличием изотопов. При исследовании спектра одного выделенного изотопа остается только одна компонента сверхтонкой структуры данного типа. Для легких элементов возникновение такой сверхтонкой структуры объясняется простыми механическими соображениями. В § 58, рассматривая атом водорода, мы считали ядро неподвижным. На самом деле ядро и электрон вращаются вокруг общего центра массы (рис. 267). Расстояние от ядра до центра масс очень невелико, оно равно примерно где расстояние до электрона, масса электрона, масса ядра.

Рис. 267. Вращение ядра и электрона вокруг общего центра масс.

В результате энергия атома приобретает несколько иное значение, что приводит к изменению постоянной Ридберга

где значение постоянной Ридберга, соответствующее неподвижному ядру

Таким образом, зависит от а следовательно, и частоты линий должны зависеть от Последнее обстоятельство и послужило основой для спектроскопического открытия тяжелого водорода В 1932 г. Юри, Мэффи и Бриквид обнаружили в спектре водорода слабые спутники линии серии Бальмера.

Предположив, что эти спутники соответствуют линиям тяжелого изотопа водорода с атомным весом, равным двум, они вычислили, пользуясь (1), длины волн и сравнили их с экспериментальными данными.

Согласно формуле (1) у элементов со средними и большими атомными весами изотопический эффект должен быть исчезающе мал.

Этот вывод подтверждается экспериментально для элементов со средними весами, но, как это ни странно, находится в резком противоречии с данными для тяжелых элементов. У тяжелых элементов явно наблюдается изотопическая сверхтонкая структура. Согласно имеющейся теории в данном случае играет роль уже не масса, а конечные размеры ядра.

Определение метра в системе СИ (ГОСТ 9867-61) учитывает роль сверхтонкой структуры указанием изотопа криптона: «Метр - длина, равная 1650763,73 длин волн в вакууме излучения, соответствующего переходу между уровнями атома криптона 86».

Второй тип сверхтонкой структуры не связан с наличием смеси изотопов; в частности, сверхтонкая структура данного типа наблюдается у висмута, имеющего только один изотоп.

Второй тип сверхтонкой структуры имеет различный вид у различных спектральных линий одного и того же элемента. Второй тип сверхтонкой структуры объяснен Паули, приписавшим ядру собственный механический вращательный момент (спин), кратный

Рис. 268. Происхождение сверхтонкой структуры желтых линий натрия.

Полный вращательный момент атома равен векторной сумме ядерного момента и момента электронной оболочки. Полный вращательный момент должен быть квантован, как все атомные моменты. Поэтому опять возникает пространственное квантование - дозволены только определенные ориентации вращательного момента ядра по отношению к вращательному моменту электронной оболочки. Каждой ориентации соответствует определенный подуровень энергии атома Как и в мультиплетах, здесь различным подуровням соответствует различный запас магнитной энергии атома. Но масса ядра в тысячи раз больше массы электрона, и поэтому магнитный момент ядра примерно в такое же число раз меньше магнитного момента электрона. Таким образом, изменения ориентации ядерного момента должны вызывать лишь очень небольшие изменения энергии, проявляющиеся в сверхтонкой структуре линий. На рис. 268 изображены схемы сверхтонкой структуры натрия. Справа от каждого уровняэнергиистоитчислоя, характеризующее полный вращательный момент. Спин атомного ядра натрия оказался равным

Как видно из рисунка, каждая из желтых линий натрия состоит из большого числа компонент, которые при недостаточном разрешении выглядят, как два узких дублета. Определенные из анализа сверхтонкой структуры вращательные моменты ядер (в частности, для азота оказались в противоречии с гипотезой о существовании электронов в составе ядра, что и было использовано Д. Д. Иваненко для утверждения, что ядра состоят из протонов и нейтронов (§ 86).

В дальнейшем (с 1939 г.) для определения ядерных моментов стали применять гораздо более точный радиоспектрографический метод Раби.

Радиоспектроскопическая схема Раби для определения ядерных магнитных моментов представляет собой как бы две последовательно расположенные установки Штерна - Герлаха (стр. 317) с взаимно противоположными направлениями неоднородных магнитных полей. Молекулярный пучок пронизывает последовательно обе установки. Если в первой установке молекулярный пучок отклоняется, например, направо, то во второй установке он отклоняется налево. Действие одной установки компенсирует действие другой. Между этими двумя установками расположено устройство, нарушающее компенсацию. Оно состоит из электромагнита, создающего однородное магнитное поле, и электродов, соединенных с генератором высокочастотных колебаний. Однородное магнитное поле направлено параллельно магнитному полю в первой установке Штерна - Герлаха.

Частица с магнитным моментом направленным под углом к направлению поля обладает потенциальной энергией (т. II, § 58). Этим же углом определяется величина отклонения пучка в первой установке Штерна - Герлаха. Под действием высокочастотного поля ориентация магнитного момента может измениться и магнитная энергия станет равной Это изменение магнитной энергии должно быть равно энергии фотона, вызвавшего переход (абсорбция или вынужденный переход, § 73):

Возможные значения определяются законом пространственного квантования. Отклонение пучка во второй установке зависит от величины угла Поскольку угол не равен углу это отклонение не будет равно отклонению в первой установке и компенсация нарушится. Нарушение компенсации отклонений наблюдается только при частотах, удовлетворяющих указанному соотношению; иначе говоря, наблюдаемый эффект является резонансным эффектом, что чрезвычайно повышает точность метода. По измеренным частотам с большой точностью вычисляются магнитные моменты ядер

Однако обычная оптическая спектроскопия сохраняет свое значение в полной мере для исследования изотопических эффектов, где радиоспектроскопия принципиально неприменима. Изотопические эффекты представляют особый интерес для теории ядерных сил и внутриядерных процессов.

За последние годы спектроскописты опять вернулись к тщательному изучению спектра водорода. Спектр водорода оказался буквально неисчерпаемым источником новых открытий.

В § 59 уже говорилось, что при исследовании аппаратурой с большой разрешающей способностью каждая линия спектра водорода оказывается двой ной. Долгое время считали, что теория этих тонких деталей спектра водорода находится в прекрасном согласии с опытными данными. Но, начиная с 1934 г., спектроскописты стали осторожно указывать на наличие небольших расхождений между теорией и опытом. Расхождения лежали в пределах точности измерений. О малости эффектов можно судить по следующим цифрам: линия согласно теории, должна в основном состоять из двух линий со следующими волновыми числами: 15233,423 и Теоретическая разность волновых чисел составляет всего т. е. тысячную долю процента от каждого вол нового числа. Эксперимент дал для этой разности величину, примерно на 2% меньшую Майкельсон в свое время говорил, что «мы должны искать наши будущие открытия в шестом десятичном знаке». Здесь речь идет о расхождении в восьмом десятичном знаке. В 1947 г. Лэмб и Ризерфорд вернулись к этой же задаче, но уже с использованием последних достижений техники физического эксперимента. Старая теория приводила к схеме нижних энергетических уровней для линии изображенной на рис. 269.