Gauss'un indüksiyon teoremi. Elektriksel indüksiyon vektör akışı. Ostrogradsky-Gauss teoreminin düzlemler, küreler ve silindirler tarafından oluşturulan elektrik alanlarını hesaplamak için uygulanması

Elektrik alan kuvveti vektör akısı. Küçük bir platform olsun DS(Şekil 1.2), yönü normal olan elektrik alan çizgilerini keser N bu siteye açı A. Gerilim vektörünün olduğunu varsayarsak e site içinde değişmez DS, tanımlayalım gerilim vektör akışı platform aracılığıyla DS Nasıl

DFe =e DSçünkü A.(1.3)

Enerji hatlarının yoğunluğu gerilimin sayısal değerine eşit olduğundan e, ardından bölgeyi geçen elektrik hatlarının sayısıDS, sayısal olarak akış değerine eşit olacaktırDFeyüzey boyuncaDS. (1.3) ifadesinin sağ tarafını vektörlerin skaler çarpımı olarak temsil edelim. e VeDS= NDS, Nerede N– yüzeye normal birim vektörDS. Temel alan d için S ifadesi (1.3) şu formu alır

DFe = e D S

Sitenin tamamında S gerilim vektörünün akısı yüzey üzerinde bir integral olarak hesaplanır

Elektriksel indüksiyon vektör akışı. Elektrik indüksiyon vektörünün akısı, elektrik alan kuvveti vektörünün akısı ile benzer şekilde belirlenir.

DFD = D D S

Her yüzey için iki yüzeyin bulunması nedeniyle akış tanımlarında bazı belirsizlikler vardır. ters yöndeki normaller. Kapalı bir yüzey için dış normal pozitif kabul edilir.

Gauss teoremi. Hadi düşünelim pozitif nokta elektrik şarjı Q keyfi kapalı bir yüzeyin içine yerleştirilmiş S(Şekil 1.3). Yüzey elemanı d boyunca indüksiyon vektör akısı S eşittir
(1.4)

Bileşen d SD = D S çünkü Ayüzey elemanı d S indüksiyon vektörü yönündeDyarıçaplı küresel bir yüzeyin bir elemanı olarak kabul edilir R, yükün bulunduğu merkezdeQ.

bunu göz önünde bulundurarak d SD/ R 2 eşittir temel bedensel köşe dw, yükün bulunduğu noktadan itibarenQyüzey elemanı d görünür S ifadeyi (1.4) forma dönüştürüyoruz D FD = Q D w / 4 P, buradan, yükü çevreleyen tüm alan boyunca entegrasyondan sonra, yani 0'dan 4'e kadar katı açı dahilindeP, alıyoruz

FD = Q.

Elektrik indüksiyon vektörünün keyfi şekildeki kapalı bir yüzey boyunca akışı, bu yüzeyin içerdiği yüke eşittir.

Keyfi olarak kapalı bir yüzey ise S puan ücretini kapsamaz Q(Şekil 1.4), daha sonra tepe noktası yükün bulunduğu noktada konik bir yüzey oluşturarak yüzeyi böleriz S iki parçaya: S 1 ve S 2. Akış vektörü D yüzey boyunca S yüzeylerden geçen akıların cebirsel toplamı olarak buluruz S 1 ve S 2:

.

Yükün bulunduğu noktadan itibaren her iki yüzey Q tek bir açıdan görülebilir w. Bu nedenle akışlar eşittir

Kapalı bir yüzeyden geçen akışı hesaplarken şunu kullanırız: dış normal yüzeye doğru F akışının olduğunu görmek kolaydır 1 boyutlu < 0, тогда как поток Ф2 boyutlu> 0. Toplam akış Ф D= 0. Bu şu anlama gelir: Elektrik indüksiyon vektörünün keyfi şekle sahip kapalı bir yüzey boyunca akışı, bu yüzeyin dışında bulunan yüklere bağlı değildir.

Elektrik alanı bir nokta yük sistemi tarafından yaratılıyorsa Q 1 , Q 2 ,¼ , qn kapalı bir yüzeyle kaplıdır S daha sonra, süperpozisyon ilkesine uygun olarak, indüksiyon vektörünün bu yüzeyden akısı, yüklerin her biri tarafından oluşturulan akıların toplamı olarak belirlenir. Elektrik indüksiyon vektörünün isteğe bağlı bir şekle sahip kapalı bir yüzey boyunca akışı, bu yüzeyin kapladığı yüklerin cebirsel toplamına eşittir:

Şunu belirtmek gerekir ki suçlamalar ki Noktasal olmasına gerek yok, gerekli koşul yüklü alanın tamamen yüzey tarafından kaplanmış olmasıdır. Kapalı bir yüzeyle sınırlanmış bir alanda ise S, elektrik yükü sürekli olarak dağıtılırsa, her temel hacmin d olduğu varsayılmalıdır. V bir şarjı var. Bu durumda, (1.5) ifadesinin sağ tarafında, yüklerin cebirsel toplamı, kapalı bir yüzeyin içindeki hacim üzerindeki integral ile değiştirilir. S:

(1.6)

İfade (1.6) en genel formülasyondur Gauss teoremi: elektrik indüksiyon vektörünün isteğe bağlı kapalı bir yüzey boyunca akışı, bu yüzeyin kapladığı hacimdeki toplam yüke eşittir ve söz konusu yüzeyin dışında bulunan yüklere bağlı değildir. Gauss teoremi elektrik alan kuvveti vektörünün akışı için de yazılabilir:

.

Elektrik alanının önemli bir özelliği Gauss teoreminden kaynaklanmaktadır: Kuvvet çizgileri yalnızca elektrik yüklerinde başlar veya biter veya sonsuza gider. Bir kez daha vurgulayalım ki, her ne kadar elektrik alan şiddeti e ve elektriksel indüksiyon D tüm yüklerin uzaydaki konumuna bağlı olarak, bu vektörlerin keyfi bir kapalı yüzey boyunca akışı S yalnızca belirlenir yüzeyin içinde bulunan yükler S.

Gauss teoreminin diferansiyel formu. Dikkat integral formu Gauss teoremi, hacimdeki elektrik alanı kaynakları (yükler) ile elektrik alanının özellikleri (gerilim veya indüksiyon) arasındaki ilişkiyi karakterize eder. V keyfi, ancak integral ilişkilerin oluşumu için yeterli, büyüklük. Hacmi bölerek V küçük hacimler için V ben, ifadesini elde ederiz

hem bir bütün olarak hem de her dönem için geçerlidir. Ortaya çıkan ifadeyi aşağıdaki gibi dönüştürelim:

(1.7)

ve eşitliğin sağ tarafında küme parantezleri içine alınmış ifadenin hacmin sınırsız bölünmesine yöneldiği sınırı düşünün V. Matematikte bu limite denir uyuşmazlık vektör (bu durumda elektriksel indüksiyon vektörü) D):

Vektör farklılığı D Kartezyen koordinatlarda:

Böylece ifade (1.7) şu şekle dönüştürülür:

.

Sınırsız bölmeyle son ifadenin sol tarafındaki toplamın hacim integraline girdiğini düşünürsek, şunu elde ederiz:

Ortaya çıkan ilişki, keyfi olarak seçilen herhangi bir hacim için karşılanmalıdır. V. Bu ancak uzaydaki her noktadaki integrandların değerlerinin aynı olması durumunda mümkündür. Bu nedenle, vektörün ıraksaması D aynı noktadaki yük yoğunluğu ile eşitlikle ilgilidir

veya elektrostatik alan kuvveti vektörü için

Bu eşitlikler Gauss teoremini şu şekilde ifade eder: diferansiyel form.

Gauss teoreminin diferansiyel formuna geçiş sürecinde genel karaktere sahip bir ilişkinin elde edildiğini unutmayın:

.

İfadeye Gauss-Ostrogradsky formülü denir ve bir vektörün diverjansının hacim integralini, bu vektörün hacmi sınırlayan kapalı bir yüzey boyunca akışına bağlar.

Sorular

1) Vakumdaki elektrostatik alan için Gauss teoreminin fiziksel anlamı nedir?

2) Küpün merkezinde bir nokta yük varQ. Bir vektörün akısı nedir? e:

a) küpün tüm yüzeyi boyunca; b) küpün yüzlerinden birinden.

Aşağıdaki durumlarda cevaplar değişecek mi:

a) yük küpün merkezinde değil, içindedir ; b) yük küpün dışındadır.

3) Doğrusal, yüzeysel ve hacimsel yük yoğunlukları nelerdir?

4) Hacim ve yüzey yük yoğunlukları arasındaki ilişkiyi belirtiniz.

5) Zıt ve düzgün yüklü paralel sonsuz düzlemlerin dışındaki alan sıfırdan farklı olabilir mi?

6) Kapalı bir yüzeyin içine bir elektrik dipolü yerleştirilir. Bu yüzeyden geçen akış nedir?

Genel formülasyon: Elektrik alan kuvveti vektörünün rastgele seçilen herhangi bir kapalı yüzeyden akışı, bu yüzeyin içinde bulunan elektrik yüküyle orantılıdır.

SGSE sisteminde:

SI sisteminde:

elektrik alan kuvveti vektörünün kapalı bir yüzey boyunca akışıdır.

- yüzeyi sınırlayan hacimde bulunan toplam yük.

- elektriksel sabit.

Bu ifade Gauss teoremini integral formda temsil eder.

Diferansiyel formda Gauss teoremi, Maxwell denklemlerinden birine karşılık gelir ve aşağıdaki şekilde ifade edilir.

SI sisteminde:

,

SGSE sisteminde:

Burada hacimsel yük yoğunluğu (bir ortamın mevcut olması durumunda, serbest ve bağlı yüklerin toplam yoğunluğu) ve nabla operatörü bulunmaktadır.

Gauss teoremine göre süperpozisyon ilkesi geçerlidir, yani yoğunluk vektörünün yüzeyden akışı yüzey içindeki yük dağılımına bağlı değildir.

Gauss teoreminin fiziksel temeli Coulomb yasasıdır veya başka bir deyişle Gauss teoremi Coulomb yasasının integral bir formülasyonudur.

Elektrik indüksiyonu için Gauss teoremi (elektriksel yer değiştirme).

Maddedeki bir alan için Gauss'un elektrostatik teoremi, elektrik yer değiştirme vektörünün akışı (elektriksel indüksiyon) aracılığıyla farklı şekilde yazılabilir. Bu durumda teoremin formülasyonu şu şekildedir: Elektrik yer değiştirme vektörünün kapalı bir yüzey boyunca akışı, bu yüzeyin içinde bulunan serbest elektrik yüküyle orantılıdır:

Bir maddedeki alan kuvveti teoremini düşünürsek, Q yükü olarak yüzeyin içinde bulunan serbest yükün ve dielektrikin polarizasyon (indüklenen, bağlı) yükünün toplamını almak gerekir:

,

Nerede ,
dielektrikin polarizasyon vektörüdür.

Manyetik indüksiyon için Gauss teoremi

Manyetik indüksiyon vektörünün herhangi bir kapalı yüzeyden akısı sıfırdır:

.

Bu, tıpkı elektrik yüklerinin elektrik alanı yaratması gibi, doğada manyetik alan yaratacak hiçbir "manyetik yükün" (monopol) bulunmadığı gerçeğine eşdeğerdir. Başka bir deyişle, Gauss'un manyetik indüksiyon teoremi, manyetik alanın girdap olduğunu göstermektedir.

Gauss teoreminin uygulanması

Elektromanyetik alanları hesaplamak için aşağıdaki miktarlar kullanılır:

Hacimsel yük yoğunluğu (yukarıya bakın).

Yüzey yük yoğunluğu

burada dS sonsuz küçük bir yüzey alanıdır.

Doğrusal yük yoğunluğu

burada dl sonsuz küçük bir parçanın uzunluğudur.

Sonsuz düzgün yüklü bir düzlemin yarattığı alanı düşünelim. Düzlemin yüzey yük yoğunluğunun σ ile aynı ve eşit olmasına izin verin. Generatrisleri düzleme dik olan ve ΔS tabanı düzleme göre simetrik olarak yerleştirilmiş bir silindir hayal edelim. Simetriden dolayı. Gerilim vektörünün akısı eşittir. Gauss teoremini uygulayarak şunu elde ederiz:

,

olan

SSSE sisteminde

Evrenselliğine ve genelliğine rağmen, Gauss'un integral formundaki teoreminin, integrali hesaplamanın zorluğundan dolayı nispeten sınırlı bir uygulamaya sahip olduğunu belirtmek önemlidir. Ancak simetrik bir problem durumunda çözümü süperpozisyon ilkesini kullanmaktan çok daha basit hale gelir.

Elektrostatiğin uygulamalı temel görevi, çeşitli cihaz ve cihazlarda oluşturulan elektrik alanlarının hesaplanmasıdır. Genel olarak bu problem Coulomb yasası ve süperpozisyon ilkesi kullanılarak çözülür. Ancak çok sayıda noktasal veya mekansal olarak dağıtılmış yükler dikkate alındığında bu görev çok karmaşık hale gelir. Uzayda dielektrikler veya iletkenler olduğunda, harici bir E 0 alanının etkisi altında, mikroskobik yüklerin yeniden dağıtımı meydana geldiğinde, kendi ek E alanlarını yarattığında daha da büyük zorluklar ortaya çıkar. Bu nedenle, bu sorunları pratik olarak çözmek için yardımcı yöntemler ve teknikler vardır. Karmaşık matematiksel aygıtları kullanan kullanılır. Ostrogradsky-Gauss teoreminin uygulanmasına dayalı en basit yöntemi ele alacağız. Bu teoremi formüle etmek için birkaç yeni kavram sunuyoruz:

A) yük yoğunluğu

Yüklü cisim büyükse, o zaman cisim içindeki yüklerin dağılımını bilmeniz gerekir.

Hacim yük yoğunluğu– birim hacim başına yük ile ölçülür:

Yüzey yük yoğunluğu– bir cismin birim yüzeyi başına yük ile ölçülür (yük yüzeye dağıtıldığında):

Doğrusal yük yoğunluğu(iletken boyunca yük dağılımı):

B) elektrostatik indüksiyon vektörü

Elektrostatik indüksiyon vektörü (elektrik yer değiştirme vektörü), elektrik alanını karakterize eden bir vektör miktarıdır.

Vektör vektörün çarpımına eşit Belirli bir noktada ortamın mutlak dielektrik sabiti üzerine:

Boyutu kontrol edelim D SI birimlerinde:

, Çünkü
,

o zaman D ve E boyutları çakışmaz ve sayısal değerleri de farklıdır.

Tanımdan vektör alanı için şunu takip eder alan için aynı süperpozisyon ilkesi geçerlidir :

Alan tıpkı alan gibi indüksiyon çizgileriyle grafiksel olarak temsil edilir . İndüksiyon çizgileri, her noktadaki teğet yön ile çakışacak şekilde çizilir. ve satır sayısı belirli bir konumdaki D'nin sayısal değerine eşittir.

Girişin anlamını anlamak için Bir örneğe bakalım.

	ε> 1	Boşluğun dielektrik ile sınırında ilgili negatif yükler yoğunlaşır ve Alan  faktörü kadar azalır ve yoğunluk aniden azalır.
Aynı durum için: D = Eεε 0	, sonra: çizgiler sürekli devam edin. çizgiler ücretsiz ücretlerle başlayın (en herhangi bir bağlı veya serbest) ve dielektrik sınırda yoğunlukları değişmeden kalır. Böylece– endüksiyon hatlarının sürekliliği hesaplamayı büyük ölçüde kolaylaştırır ve bağlantıyı bilmek İle vektörü bulabilirsin .

V) elektrostatik indüksiyon vektör akısı

Bir elektrik alanındaki S yüzeyini düşünün ve normalin yönünü seçin.

1. Alan düzgünse, S yüzeyinden geçen alan çizgilerinin sayısı:

2. Alan düzgün değilse, yüzey düz kabul edilen sonsuz küçük dS elemanlarına bölünür ve bunların etrafındaki alan düzgündür. Bu nedenle yüzey elemanından geçen akı: dN = D n dS,

ve herhangi bir yüzeyden geçen toplam akış:

(6)

İndüksiyon akısı N skaler bir miktardır; 'ye bağlı olarak > 0 veya olabilir< 0, или = 0.

Yüklerin çok olduğu durumlarda alanların hesaplanmasında bazı zorluklar ortaya çıkar.

Gauss teoremi bunların üstesinden gelmeye yardımcı olur. Öz Gauss teoremiözetle şuna varılabilir: eğer rastgele sayıda yük zihinsel olarak kapalı bir S yüzeyi tarafından çevrelenmişse, o zaman elektrik alan kuvvetinin bir temel alan dS boyunca akışı dФ = Есоsα۰dS olarak yazılabilir; burada α, normal ile normal arasındaki açıdır. düzlem ve kuvvet vektörü . (Şekil 12.7)

Tüm yüzey boyunca toplam akı, içinde rastgele dağıtılan tüm yüklerden gelen akıların toplamına eşit olacak ve bu yükün büyüklüğüyle orantılı olacaktır.

(12.9)

Yoğunluk vektörünün, merkezinde +q nokta yükünün bulunduğu r yarıçaplı küresel bir yüzey boyunca akışını belirleyelim (Şekil 12.8). Gerilme çizgileri kürenin yüzeyine diktir, α = 0, dolayısıyla cosα = 1. O zaman

Alan bir yük sistemi tarafından oluşturulmuşsa, o zaman

Gauss teoremi: Elektrostatik alan kuvveti vektörünün vakumda herhangi bir kapalı yüzey boyunca akışı, bu yüzeyin içinde bulunan yüklerin cebirsel toplamının elektrik sabitine bölünmesine eşittir.

(12.10)

Kürenin içinde yük yoksa Ф = 0 olur.

Gauss teoremi, simetrik olarak dağılmış yükler için elektrik alanlarının hesaplanmasını nispeten kolaylaştırır.

Dağıtılmış yüklerin yoğunluğu kavramını tanıtalım.

Doğrusal yoğunluk τ ile gösterilir ve birim uzunluk ℓ başına q yükünü karakterize eder. Genel olarak aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

(12.11)

Düzgün bir yük dağılımı ile doğrusal yoğunluk şuna eşittir:

Yüzey yoğunluğu σ ile gösterilir ve S birim alanı başına q yükünü karakterize eder. Genel olarak formülle belirlenir.

(12.12)

Yüklerin yüzey üzerinde düzgün bir dağılımı ile yüzey yoğunluğu eşittir

Hacim yoğunluğu ρ ile gösterilir ve birim hacim V başına q yükünü karakterize eder. Genel olarak formülle belirlenir.

(12.13)

Yüklerin düzgün bir şekilde dağıtılmasıyla, şuna eşittir:
.

Q yükü küre üzerinde düzgün olarak dağıldığı için, o zaman

σ = sabit. Gauss teoremini uygulayalım. A noktasından geçen yarıçaplı bir küre çizelim. Şekil 12.9'daki gerilim vektörünün yarıçaplı küresel bir yüzey boyunca akışı, α = 0 olduğundan cosα = 1'e eşittir. Gauss teoremine göre,
.

veya

(12.14)

(12.14) ifadesinden, yüklü kürenin dışındaki alan kuvvetinin, kürenin merkezine yerleştirilen noktasal yükün alan kuvvetiyle aynı olduğu sonucu çıkar. Kürenin yüzeyinde, yani. r 1 = r 0, gerilim
.

Kürenin içinde r 1< r 0 (рис.12.9) напряжённость Е = 0, так как сфера радиусом r 2 внутри никаких зарядов не содержит и, по теореме Гаусса, поток вектора сквозь такую сферу равен нулю.

Yarıçapı r 0 olan bir silindir, yüzey yoğunluğu σ ile eşit şekilde yüklenir (Şekil 12.10). Rastgele seçilmiş bir A noktasındaki alan kuvvetini belirleyelim. A noktasından R yarıçaplı ve uzunluğu ℓ olan hayali bir silindirik yüzey çizelim. Simetri nedeniyle, r 0 yarıçaplı silindir üzerindeki yükler yüzeyi üzerinde eşit olarak dağıtıldığından akış yalnızca silindirin yan yüzeylerinden çıkacaktır. Gerilme çizgileri her iki silindirin yan yüzeylerine dik radyal düz çizgiler olacaktır. Silindirlerin tabanından geçen akış sıfır olduğundan (cos α = 0) ve silindirin yan yüzeyi kuvvet çizgilerine dik olduğundan (cos α = 1), bu durumda

veya

(12.15)

E'nin değerini σ - yüzey yoğunluğuna kadar ifade edelim. A-tarikatı,

buradan,

Q'nun değerini formül (12.15)'te yerine koyalım

(12.16)

Doğrusal yoğunluğun tanımı gereği,
, Neresi
; bu ifadeyi formül (12.16)'da değiştiririz:

(12.17)

onlar. Sonsuz uzunluktaki yüklü bir silindirin oluşturduğu alan kuvveti, doğrusal yük yoğunluğuyla orantılı, mesafeyle ters orantılıdır.

Sonsuz, eşit yüklü bir düzlemin yarattığı alan kuvveti

A noktasında sonsuz, düzgün yüklü bir düzlemin oluşturduğu alan kuvvetini belirleyelim. Düzlemin yüzey yük yoğunluğu σ'ya eşit olsun. Kapalı yüzey olarak ekseni düzleme dik olan ve sağ tabanı A noktasını içeren bir silindirin seçilmesi uygundur. Düzlem silindiri ikiye böler. Açıkçası, kuvvet çizgileri düzleme dik ve silindirin yan yüzeyine paraleldir, dolayısıyla akışın tamamı yalnızca silindirin tabanından geçer. Her iki temelde de alan gücü aynıdır çünkü A ve B noktaları düzleme göre simetriktir. Daha sonra silindirin tabanından geçen akış şuna eşittir:

Gauss'un teoremine göre,

Çünkü
, O
, Neresi

(12.18)

Böylece sonsuz yüklü bir düzlemin alan kuvveti, yüzey yük yoğunluğuyla orantılıdır ve düzleme olan mesafeye bağlı değildir. Bu nedenle düzlemin alanı düzgündür.

Karşıt olarak eşit yüklü iki paralel düzlem tarafından oluşturulan alan kuvveti

İki düzlem tarafından oluşturulan sonuçtaki alan, alan süperpozisyonu ilkesine göre belirlenir:
(Şekil 12.12). Her bir düzlemin yarattığı alan tekdüzedir, bu alanların kuvvetleri büyüklük bakımından eşit fakat yön bakımından zıttır:
. Süperpozisyon ilkesine göre düzlemin dışındaki toplam alan kuvveti sıfırdır:

Düzlemler arasında alan kuvvetleri aynı yönlere sahiptir, dolayısıyla ortaya çıkan kuvvet şuna eşittir:

Böylece, farklı yüklü iki düzlem arasındaki alan tekdüzedir ve yoğunluğu, bir düzlemin yarattığı alan yoğunluğunun iki katı kadardır. Uçakların sağında ve solunda alan yok. Sonlu düzlemlerin alanı da aynı biçime sahiptir; distorsiyon yalnızca sınırların yakınında görülür. Ortaya çıkan formülü kullanarak düz bir kapasitörün plakaları arasındaki alanı hesaplayabilirsiniz.

Elektrik yüklerinin etkileşimi yasası - Coulomb yasası - Gauss teoremi adı verilen biçimde farklı şekilde formüle edilebilir. Gauss teoremi Coulomb yasası ve süperpozisyon ilkesinin bir sonucu olarak elde edilir. Kanıt, iki noktasal yük arasındaki etkileşim kuvvetinin, aralarındaki mesafenin karesiyle ters orantılı olmasına dayanmaktadır. Bu nedenle Gauss teoremi, ters kare yasasının ve süperpozisyon ilkesinin örneğin yerçekimi alanına uygulandığı herhangi bir fiziksel alana uygulanabilir.

Pirinç. 9. Kapalı bir X yüzeyiyle kesişen nokta yükünün elektrik alan şiddeti çizgileri

Gauss teoremini formüle etmek için, durağan bir noktasal yükün elektrik alan çizgilerinin resmine dönelim. Tek bir nokta yükünün alan çizgileri simetrik olarak yerleştirilmiş radyal düz çizgilerdir (Şekil 7). Bu tür çizgilerden istediğiniz sayıda çizebilirsiniz. Toplam sayılarını şu şekilde gösterelim: O zaman yükten belirli bir mesafedeki alan çizgilerinin yoğunluğu, yani yarıçaplı bir kürenin birim yüzeyinden geçen çizgilerin sayısı eşittir. Bu ilişkiyi bir kürenin alan kuvveti ifadesiyle karşılaştırırsak nokta yükü (4), çizgilerin yoğunluğunun alan kuvvetiyle orantılı olduğunu görüyoruz. Toplam alan çizgisi sayısını N doğru seçerek bu miktarları sayısal olarak eşitleyebiliriz:

Böylece, bir nokta yükünü çevreleyen herhangi bir yarıçaptaki bir kürenin yüzeyi aynı sayıda kuvvet çizgisiyle kesişir. Bu, kuvvet çizgilerinin sürekli olduğu anlamına gelir: farklı yarıçaplara sahip herhangi iki eşmerkezli küre arasındaki aralıkta çizgilerin hiçbiri kesilmez ve yenileri eklenmez. Alan çizgileri sürekli olduğundan, aynı sayıda alan çizgisi yükü kaplayan herhangi bir kapalı yüzeyle (Şekil 9) kesişir.

Kuvvet çizgilerinin bir yönü vardır. Pozitif yük olması durumunda, Şekil 2'de gösterildiği gibi yükü çevreleyen kapalı yüzeyden dışarı çıkarlar. 9. Negatif yük olması durumunda yüzeyin içine girerler. Giden hatların sayısı pozitif ve gelen hatların sayısı negatif kabul edilirse, formül (8)'de yük modülünün işaretini atlayabilir ve onu formda yazabiliriz.

Gerilim akışı.Şimdi bir yüzeyden geçen alan şiddeti vektör akışı kavramını tanıtalım. Rastgele bir alan, zihinsel olarak, yoğunluğun büyüklüğü ve yönü o kadar az değişen küçük bölgelere bölünebilir ki, bu bölge içinde alan tekdüze kabul edilebilir. Bu alanların her birinde alan çizgileri paralel düz çizgilerdir ve sabit yoğunluğa sahiptir.

Pirinç. 10. Alan şiddeti vektörünün sahadaki akışını belirlemek

Küçük bir alana kaç tane kuvvet çizgisinin nüfuz ettiğini düşünelim; normalin yönü, gerilim çizgilerinin yönü ile bir açı oluşturur (Şekil 10). Kuvvet çizgilerine dik bir düzlem üzerine izdüşüm olsun. Geçen çizgilerin sayısı aynı olduğundan ve kabul edilen duruma göre çizgilerin yoğunluğu alan kuvveti E modülüne eşit olduğundan, o zaman

a değeri, E vektörünün sahaya normalin yönüne izdüşümüdür

Bu nedenle alanı geçen enerji hatlarının sayısı eşittir

Ürün, yüzey boyunca alan kuvveti akısı olarak adlandırılır. Formül (10), E vektörünün yüzeyden akışının, bu yüzeyi kesen alan çizgilerinin sayısına eşit olduğunu gösterir. Yüzeyden geçen alan çizgilerinin sayısı gibi yoğunluk vektörü akısının da skaler olduğuna dikkat edin.

Pirinç. 11. Gerilim vektörü E'nin saha boyunca akışı

Akışın kuvvet çizgilerine göre sahanın oryantasyonuna bağımlılığı Şekil 2'de gösterilmektedir.

Rastgele bir yüzey boyunca alan şiddeti akışı, bu yüzeyin bölünebildiği temel alanlardan geçen akışların toplamıdır. (9) ve (10) bağıntıları sayesinde, bir nokta yükünün alan kuvvetinin, yükü saran herhangi bir kapalı yüzey (2) boyunca akışının (bkz. Şekil 9), buradan çıkan alan çizgilerinin sayısı olarak ifade edilebileceği ifade edilebilir. bu yüzey eşittir. Bu durumda elemanter alanların normal vektörü kapalı yüzeye doğru yönlendirilmelidir. Yüzeyin içindeki yük negatifse alan çizgileri bu yüzeyin içine girer ve yüke bağlı alan şiddeti vektörünün akısı da negatif olur.

Kapalı bir yüzeyin içinde birden fazla yük varsa, süperpozisyon ilkesine uygun olarak bunların alan kuvvetlerinin akışları toplanacaktır. Toplam akı, yüzeyin içinde bulunan tüm yüklerin cebirsel toplamı olarak anlaşılması gereken yere eşit olacaktır.

Kapalı bir yüzeyin içinde elektrik yükü yoksa veya bunların cebirsel toplamı sıfırsa, o zaman bu yüzey boyunca alan kuvvetinin toplam akışı sıfırdır: Yüzeyin sınırladığı hacme ne kadar çok kuvvet çizgisi girerse aynı sayı da dışarı çıkar.

Artık nihayet Gauss teoremini formüle edebiliriz: Elektrik alan kuvveti vektörü E'nin boşluktaki herhangi bir kapalı yüzeyden akışı, bu yüzeyin içinde bulunan toplam yük ile orantılıdır. Matematiksel olarak Gauss teoremi aynı formül (9) ile ifade edilir; burada yüklerin cebirsel toplamı kastedilmektedir. Mutlak elektrostatik olarak

SGSE birim sisteminde katsayı ve Gauss teoremi şu şekilde yazılır:

SI'da kapalı bir yüzey boyunca gerilim akışı aşağıdaki formülle ifade edilir:

Gauss teoremi elektrostatikte yaygın olarak kullanılmaktadır. Bazı durumlarda simetrik konumdaki yüklerin oluşturduğu alanları kolaylıkla hesaplamak için kullanılabilir.

Simetrik kaynak alanları. Yarıçaplı bir topun yüzeyi üzerinde eşit olarak yüklenen elektrik alanının yoğunluğunu hesaplamak için Gauss teoremini uygulayalım. Kesinlik açısından, yükünün pozitif olduğunu varsayacağız. Alanı oluşturan yüklerin dağılımı küresel simetriye sahiptir. Dolayısıyla alan da aynı simetriye sahiptir. Böyle bir alanın kuvvet çizgileri yarıçaplar boyunca yönlendirilir ve yoğunluk modülü, topun merkezinden eşit uzaklıktaki tüm noktalarda aynıdır.

Topun merkezinden uzaktaki alan kuvvetini bulmak için, topla eş merkezli yarıçaplı küresel bir yüzey çizelim. Bu kürenin tüm noktalarında alan kuvveti yüzeye dik olarak yönlendirilir. mutlak değerde aynı olduğundan, akış yoğunluğu basitçe alan kuvvetinin ve kürenin yüzey alanının çarpımına eşittir:

Ancak bu miktar Gauss teoremi kullanılarak da ifade edilebilir. Topun dışındaki alanla ilgileniyorsak, yani örneğin SI ile ve (13) ile karşılaştırarak şunu buluruz:

SGSE birim sisteminde açıkçası,

Böylece topun dışındaki alan kuvveti, topun merkezine yerleştirilen nokta yükünkiyle aynıdır. Topun içindeki alanla ilgileniyorsak, yani topun yüzeyine dağıtılan yükün tamamı zihinsel olarak çizdiğimiz kürenin dışında yer aldığından. Bu nedenle topun içinde alan yoktur:

Benzer şekilde Gauss teoremi kullanılarak sonsuz yüklü bir cismin yarattığı elektrostatik alan hesaplanabilir.

Düzlemin her noktasında sabit yoğunluğa sahip düzlem. Simetri nedeniyle, kuvvet çizgilerinin düzleme dik olduğunu, her iki yönde de yönlendirildiğini ve her yerde aynı yoğunluğa sahip olduğunu varsayabiliriz. Gerçekten de, farklı noktalardaki alan çizgilerinin yoğunluğu farklı olsaydı, yüklü bir düzlemin kendi boyunca hareket ettirilmesi, bu noktalardaki alanda bir değişikliğe yol açardı, bu da sistemin simetrisiyle çelişirdi - böyle bir kayma, alanı değiştirmemelidir. Başka bir deyişle, eşit yüklü sonsuz bir düzlemin alanı düzgündür.

Gauss teoremini uygulamak için kapalı bir yüzey olarak, aşağıdaki şekilde oluşturulmuş bir silindirin yüzeyini seçiyoruz: silindirin generatrisi kuvvet çizgilerine paraleldir ve tabanlar yüklü düzleme paralel alanlara sahiptir ve onun zıt taraflarında yer alır. (Şekil 12). Yan yüzeyden geçen alan kuvveti akısı sıfırdır, dolayısıyla kapalı yüzeyden geçen toplam akı, silindirin tabanlarından geçen akıların toplamına eşittir:

Pirinç. 12. Düzgün yüklü bir düzlemin alan kuvvetinin hesaplanmasına doğru

Gauss teoremine göre, aynı akı, düzlemin silindirin içinde yer alan kısmının yükü tarafından belirlenir ve SI'da eşittir. Bu ifadeleri akı için karşılaştırırsak, şunu buluruz:

SGSE sisteminde, düzgün yüklü sonsuz bir düzlemin alan kuvveti aşağıdaki formülle verilir:

Sonlu boyutlu, düzgün yüklü bir plaka için elde edilen ifadeler, plakanın kenarlarından yeterince uzakta ve yüzeyinden çok uzak olmayan bir bölgede yaklaşık olarak geçerlidir. Plakanın kenarlarına yakın yerlerde alan artık tek biçimli olmayacak ve alan çizgileri bükülecektir. Plakanın boyutuyla karşılaştırıldığında çok büyük mesafelerde, alan, noktasal yükün alanıyla aynı şekilde mesafeyle azalır.

Simetrik olarak dağıtılmış kaynaklar tarafından oluşturulan alanların diğer örnekleri arasında, sonsuz doğrusal bir ipliğin uzunluğu boyunca eşit olarak yüklenmiş bir alanın alanı, eşit olarak yüklenmiş bir sonsuz dairesel silindirin alanı, bir topun alanı,

hacim boyunca eşit şekilde yüklenmiştir vb. Gauss teoremi tüm bu durumlarda alan kuvvetinin kolayca hesaplanmasını mümkün kılar.

Gauss teoremi, alan ile onun kaynakları arasında bir ilişki verir; bu, bir bakıma, verilen yüklerden elektrik alanının belirlenmesine izin veren Coulomb yasasında verilenin tersidir. Gauss teoremini kullanarak, elektrik alanının dağılımının bilindiği uzayın herhangi bir bölgesindeki toplam yükü belirleyebilirsiniz.

Elektrik yüklerinin etkileşimini açıklarken uzun menzilli ve kısa menzilli etki kavramları arasındaki fark nedir? Bu kavramlar yerçekimsel etkileşimlere ne ölçüde uygulanabilir?

Elektrik alan kuvveti nedir? Elektrik alanının kuvvet karakteristiği denildiğinde ne anlama geliyor?

Belirli bir noktadaki alan kuvvetinin yönü ve büyüklüğü, alan çizgilerinin deseninden nasıl değerlendirilebilir?

Elektrik alan çizgileri kesişebilir mi? Cevabınızın nedenlerini belirtin.

İki yükün elektrostatik alan çizgilerinin niteliksel bir resmini çizin;

Elektrik alan kuvvetinin kapalı bir yüzeyden akışı GSE ve SI birimlerinde farklı formüller (11) ve (12) ile ifade edilir. Bu, yüzeyi kesen kuvvet çizgilerinin sayısıyla belirlenen akışın geometrik anlamı ile nasıl bağdaştırılabilir?

Gauss teoremini, onu oluşturan yükler simetrik olarak dağıldığında elektrik alan kuvvetini bulmak için nasıl kullanırız?

Negatif yüklü bir topun alan kuvvetini hesaplamak için (14) ve (15) formülleri nasıl uygulanır?

Gauss teoremi ve fiziksel uzayın geometrisi. Gauss teoreminin ispatına biraz farklı bir bakış açısıyla bakalım. Bir yükü çevreleyen herhangi bir küresel yüzeyden aynı sayıda kuvvet çizgisinin geçtiği sonucuna varılan formül (7)'ye dönelim. Bu sonuç eşitliğin her iki tarafının paydalarında azalma olmasından kaynaklanmaktadır.

Sağ tarafta, Coulomb yasasıyla tanımlanan yükler arasındaki etkileşim kuvvetinin, yükler arasındaki mesafenin karesiyle ters orantılı olması nedeniyle ortaya çıktı. Sol tarafta görünüm geometriyle ilgilidir: Bir kürenin yüzey alanı yarıçapının karesiyle orantılıdır.

Yüzey alanının doğrusal boyutların karesine oranı, üç boyutlu uzayda Öklid geometrisinin ayırt edici özelliğidir. Aslında, alanların başka herhangi bir tamsayı derecesine değil, tam olarak doğrusal boyutların karelerine orantılı olması uzayın karakteristik özelliğidir.

üç boyut. Bu üssün tam olarak ikiye eşit olması ve ihmal edilebilecek kadar küçük bir miktar bile olsa ikiden farklı olmaması, bu üç boyutlu uzayın kavisli olmadığını, yani geometrisinin tam olarak Öklidyen olduğunu gösterir.

Dolayısıyla Gauss teoremi, elektrik yüklerinin etkileşiminin temel yasasındaki fiziksel uzayın özelliklerinin bir tezahürüdür.

Fiziğin temel yasalarıyla uzayın özellikleri arasında yakın bir bağlantı olduğu fikri, bu yasaların kendileri oluşturulmadan çok önce birçok seçkin beyin tarafından dile getirildi. Böylece, I. Kant, Coulomb yasasının keşfinden otuz yıl önce, uzayın özellikleri hakkında şunları yazmıştı: “Görünüşe göre, üç boyutluluk, mevcut dünyadaki maddelerin birbirlerine etki kuvvetinin eşit olacağı şekilde etki etmesi nedeniyle ortaya çıkıyor. uzaklığın karesiyle ters orantılıdır.”

Coulomb yasası ve Gauss teoremi aslında farklı biçimlerde ifade edilen aynı doğa yasasını temsil eder. Coulomb yasası uzun menzilli etki kavramını yansıtırken, Gauss teoremi uzayı dolduran bir kuvvet alanı fikrinden, yani kısa mesafeli etki kavramından gelmektedir. Elektrostatikte, kuvvet alanının kaynağı bir yüktür ve kaynakla ilişkili alanın özelliği - yoğunluk akışı - başka hiçbir yükün bulunmadığı boş uzayda değişemez. Akış görsel olarak bir dizi alan çizgileri olarak hayal edilebildiğinden, akışın değişmezliği bu çizgilerin sürekliliğinde kendini gösterir.

Etkileşimin mesafenin karesiyle ters orantılılığına ve süperpozisyon ilkesine (etkileşimin toplamsallığı) dayanan Gauss teoremi, ters kare yasasının işlediği herhangi bir fiziksel alana uygulanabilir. Özellikle yerçekimi alanı için de geçerlidir. Bunun sadece bir tesadüf değil, üç boyutlu Öklidyen fiziksel uzayda hem elektriksel hem de yerçekimsel etkileşimlerin ortaya çıktığı gerçeğinin bir yansıması olduğu açıktır.

Gauss teoremi elektrik yüklerinin etkileşimi yasasının hangi özelliğine dayanmaktadır?

Gauss teoremine dayanarak, bir noktasal yükün elektrik alan kuvvetinin mesafenin karesiyle ters orantılı olduğunu kanıtlayın. Bu ispatta uzay simetrisinin hangi özellikleri kullanılıyor?

Fiziksel uzayın geometrisi Coulomb yasasına ve Gauss teoremine nasıl yansır? Bu yasaların hangi özelliği geometrinin Öklidci doğasını ve fiziksel uzayın üç boyutluluğunu gösterir?