ฉันจะพูดสั้น ๆ มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นเท่ากับมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทาง ดังนั้น หากคุณจัดการเพื่อค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง a = (x 1 ; y 1 ; z 1) และ b = (x 2 ; y 2 ; z 2) คุณจะพบมุมได้ แม่นยำยิ่งขึ้นโคไซน์ของมุมตามสูตร:
มาดูกันว่าสูตรนี้ทำงานอย่างไรโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ:
งาน. ในลูกบาศก์ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 มีการทำเครื่องหมายจุด E และ F - จุดกึ่งกลางของขอบ A 1 B 1 และ B 1 C 1 ตามลำดับ ค้นหามุมระหว่างเส้น AE และ BF
เนื่องจากไม่ได้ระบุขอบของลูกบาศก์ ให้เราตั้งค่า AB = 1 เราแนะนำระบบพิกัดมาตรฐาน: จุดกำเนิดอยู่ที่จุด A แกน x, y, z ถูกกำหนดทิศทางไปตาม AB, AD และ AA 1 ตามลำดับ ส่วนของหน่วยเท่ากับ AB = 1 ทีนี้ ลองหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงของเรากัน
ลองหาพิกัดของเวกเตอร์ AE กัน สำหรับสิ่งนี้เราต้องการคะแนน A = (0; 0; 0) และ E = (0.5; 0; 1) เนื่องจากจุด E อยู่ตรงกลางของส่วน A 1 B 1 พิกัดของมันจึงเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพิกัดของจุดสิ้นสุด โปรดทราบว่าจุดกำเนิดของเวกเตอร์ AE เกิดขึ้นพร้อมกับจุดกำเนิดของพิกัด ดังนั้น AE = (0.5; 0; 1)
ทีนี้ ลองดูเวกเตอร์ BF กัน ในทำนองเดียวกัน เราวิเคราะห์จุด B = (1; 0; 0) และ F = (1; 0.5; 1) เพราะ F อยู่ตรงกลางของส่วน B 1 C 1 เรามี:
BF = (1 − 1; 0.5 − 0; 1 − 0) = (0; 0.5; 1)
ดังนั้นเวกเตอร์ทิศทางพร้อมแล้ว โคไซน์ของมุมระหว่างเส้นตรงคือโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทาง ดังนั้นเราจึงได้:
งาน. ในปริซึมสามเหลี่ยมปกติ ABCA 1 B 1 C 1 ขอบทั้งหมดซึ่งเท่ากับ 1 มีเครื่องหมายจุด D และ E - จุดกึ่งกลางของขอบ A 1 B 1 และ B 1 C 1 ตามลำดับ ค้นหามุมระหว่างเส้น AD และ BE
ขอแนะนำระบบพิกัดมาตรฐาน: จุดกำเนิดอยู่ที่จุด A, แกน x มุ่งไปตาม AB, z - ตามแนว AA 1 ลองกำหนดทิศทางแกน y เพื่อให้ระนาบ OXY ตรงกับระนาบ ABC ส่วนของหน่วยเท่ากับ AB = 1 ให้เราค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นที่ต้องการ
อันดับแรก เรามาค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ AD กันก่อน พิจารณาประเด็น: A = (0; 0; 0) และ D = (0.5; 0; 1) เพราะ D - ตรงกลางของส่วน A 1 B 1 เนื่องจากจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ AD เกิดขึ้นพร้อมกับที่มาของพิกัด เราจึงได้ AD = (0.5; 0; 1)
ทีนี้ลองหาพิกัดของเวกเตอร์ BE กัน จุด B = (1; 0; 0) คำนวณได้ง่าย ด้วยจุด E - ตรงกลางของส่วน C 1 B 1 - มันซับซ้อนกว่าเล็กน้อย เรามี:
ยังคงต้องหาโคไซน์ของมุม:
งาน. ในปริซึมหกเหลี่ยมปกติ ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 ขอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับ 1 มีเครื่องหมายจุด K และ L - จุดกึ่งกลางของขอบ A 1 B 1 และ B 1 C 1 ตามลำดับ . ค้นหามุมระหว่างเส้น AK และ BL
ให้เราแนะนำระบบพิกัดมาตรฐานสำหรับปริซึม: เราวางจุดกำเนิดของพิกัดไว้ที่กึ่งกลางของฐานด้านล่าง แกน x ถูกกำหนดทิศทางตาม FC แกน y กำหนดทิศทางผ่านจุดกึ่งกลางของส่วน AB และ DE และ z แกนถูกชี้ขึ้นในแนวตั้งขึ้น ส่วนของหน่วยจะเท่ากับ AB = 1 อีกครั้ง ลองเขียนพิกัดของจุดสนใจให้เราทราบ:
จุด K และ L เป็นจุดกึ่งกลางของกลุ่ม A 1 B 1 และ B 1 C 1 ตามลำดับ ดังนั้นพิกัดของจุดเหล่านี้จะพบได้จากค่าเฉลี่ยเลขคณิต เมื่อทราบจุดต่างๆ เราจะพบพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง AK และ BL:
ทีนี้ลองหาโคไซน์ของมุม:
งาน. ในพีระมิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ SABCD ขอบทั้งหมดเท่ากับ 1 มีเครื่องหมายจุด E และ F - จุดกึ่งกลางของด้าน SB และ SC ตามลำดับ ค้นหามุมระหว่างเส้น AE และ BF
ขอแนะนำระบบพิกัดมาตรฐาน: จุดกำเนิดอยู่ที่จุด A แกน x และ y ถูกกำหนดทิศทางตาม AB และ AD ตามลำดับ และแกน z ถูกกำหนดทิศทางขึ้นในแนวตั้ง ส่วนหน่วยเท่ากับ AB = 1
จุด E และ F เป็นจุดกึ่งกลางของกลุ่ม SB และ SC ตามลำดับ ดังนั้นพิกัดของจุดเหล่านี้จึงถือเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของจุดสิ้นสุด มาเขียนพิกัดของจุดสนใจให้เราทราบ:
ก = (0; 0; 0); ข = (1; 0; 0)
เมื่อทราบจุดต่างๆ เราจะพบพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง AE และ BF:
พิกัดของเวกเตอร์ AE ตรงกับพิกัดของจุด E เนื่องจากจุด A คือจุดกำเนิด ยังคงต้องหาโคไซน์ของมุม:
วัสดุนี้มีไว้สำหรับแนวคิดเช่นมุมระหว่างเส้นตัดกันสองเส้น ในย่อหน้าแรกเราจะอธิบายว่ามันคืออะไรและแสดงไว้ในภาพประกอบ จากนั้นเราจะดูวิธีที่คุณสามารถค้นหาไซน์, โคไซน์ของมุมนี้และมุมนั้นเอง (เราจะพิจารณากรณีที่มีระนาบและพื้นที่สามมิติแยกกัน) เราจะให้สูตรที่จำเป็นและแสดงพร้อมตัวอย่างทุกประการ วิธีการใช้ในทางปฏิบัติ
ยานเดกซ์RTB R-A-339285-1
เพื่อที่จะเข้าใจว่ามุมที่เกิดขึ้นเมื่อเส้นตรงสองเส้นตัดกันคืออะไร เราต้องจำคำจำกัดความของมุม ความตั้งฉาก และจุดตัดกัน
คำจำกัดความ 1
เราเรียกเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกันหากมีจุดร่วมจุดเดียว จุดนี้เรียกว่าจุดตัดกันของเส้นสองเส้น
เส้นตรงแต่ละเส้นจะถูกหารด้วยจุดตัดกันเป็นรังสี เส้นตรงทั้งสองประกอบกันเป็นมุม 4 มุม โดย 2 มุมเป็นแนวตั้ง และอีก 2 มุมอยู่ติดกัน ถ้าเรารู้ขนาดของอันใดอันหนึ่ง เราก็จะสามารถกำหนดอันที่เหลือได้
สมมุติว่าเรารู้ว่ามุมใดมุมหนึ่งเท่ากับ α ในกรณีนี้ มุมที่อยู่ในแนวตั้งเทียบกับมุมนั้นจะเท่ากับ α เช่นกัน หากต้องการหามุมที่เหลือ เราต้องคำนวณความแตกต่าง 180 ° - α ถ้า α เท่ากับ 90 องศา มุมทั้งหมดจะเป็นมุมฉาก เส้นที่ตัดกันที่มุมฉากเรียกว่าเส้นตั้งฉาก (บทความแยกต่างหากเกี่ยวกับแนวคิดเรื่องตั้งฉาก)
ลองดูที่ภาพ:
มาดูการกำหนดคำจำกัดความหลักกันดีกว่า
คำจำกัดความ 2
มุมที่เกิดจากเส้นตัดกันสองเส้นคือการวัดมุมที่เล็กกว่าของมุมทั้งสี่ที่ประกอบเป็นเส้นทั้งสองนี้
ข้อสรุปที่สำคัญจะต้องได้มาจากคำจำกัดความ: ขนาดของมุมในกรณีนี้จะแสดงด้วยจำนวนจริงใด ๆ ในช่วงเวลา (0, 90] หากเส้นตั้งฉากมุมระหว่างเส้นเหล่านั้นจะเป็นเช่นไร เท่ากับ 90 องศา
ความสามารถในการค้นหาการวัดมุมระหว่างเส้นตัดกันสองเส้นมีประโยชน์ในการแก้ปัญหาในทางปฏิบัติหลายอย่าง สามารถเลือกวิธีการแก้ปัญหาได้จากหลายตัวเลือก
เริ่มต้นด้วยการใช้วิธีทางเรขาคณิต ถ้าเรารู้บางอย่างเกี่ยวกับมุมเสริม เราก็สามารถเชื่อมโยงมันกับมุมที่เราต้องการได้โดยใช้คุณสมบัติของตัวเลขที่เท่ากันหรือคล้ายกัน ตัวอย่างเช่น ถ้าเรารู้ด้านของสามเหลี่ยมและจำเป็นต้องคำนวณมุมระหว่างเส้นตรงที่ด้านเหล่านี้ตั้งอยู่ ทฤษฎีบทโคไซน์ก็เหมาะสมสำหรับการแก้โจทย์นี้ หากเรามีสามเหลี่ยมมุมฉากในสภาพของเรา ในการคำนวณ เราจำเป็นต้องรู้ไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุมด้วย
วิธีการประสานงานยังสะดวกมากสำหรับการแก้ปัญหาประเภทนี้ ให้เราอธิบายวิธีการใช้อย่างถูกต้อง
เรามีระบบพิกัดสี่เหลี่ยม (คาร์ทีเซียน) O x y โดยให้เส้นตรงสองเส้น เรามาแสดงด้วยตัวอักษร a และ b เส้นตรงสามารถอธิบายได้โดยใช้สมการบางประการ เส้นเดิมมีจุดตัด M จะกำหนดมุมที่ต้องการได้อย่างไร (แสดงว่าเป็น α) ระหว่างเส้นตรงเหล่านี้
เริ่มต้นด้วยการกำหนดหลักการพื้นฐานของการหามุมภายใต้เงื่อนไขที่กำหนด
เรารู้ว่าแนวคิดของเส้นตรงมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับแนวคิดเช่นเวกเตอร์ทิศทางและเวกเตอร์ปกติ หากเรามีสมการของเส้นตรงเส้นหนึ่ง เราก็สามารถหาพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้จากเส้นนั้นได้ เราสามารถทำได้สำหรับเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกันในคราวเดียว
มุมที่ต่อด้วยเส้นตัดกันสองเส้นสามารถพบได้โดยใช้:
- มุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทาง
- มุมระหว่างเวกเตอร์ปกติ
- มุมระหว่างเวกเตอร์ปกติของเส้นหนึ่งกับเวกเตอร์ทิศทางของอีกเส้นหนึ่ง
ตอนนี้เรามาดูแต่ละวิธีแยกกัน
1. สมมติว่าเรามีเส้นตรง a ที่มีเวกเตอร์ทิศทาง a → = (a x, a y) และเส้นตรง b ที่มีเวกเตอร์ทิศทาง b → (b x, b y) ทีนี้ลองพลอตเวกเตอร์สองตัว a → และ b → จากจุดตัดกัน หลังจากนี้เราจะเห็นว่าแต่ละคนจะอยู่เป็นเส้นตรงของตัวเอง จากนั้นเรามีสี่ตัวเลือกสำหรับการจัดเรียงแบบสัมพันธ์กัน ดูภาพประกอบ:
ถ้ามุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวไม่เป็นมุมป้าน มันจะเท่ากับมุมที่เราต้องการระหว่างเส้นตัดกัน a และ b หากเป็นมุมป้าน มุมที่ต้องการจะเท่ากับมุมที่อยู่ติดกับมุม a →, b → ^ ดังนั้น α = a → , b → ^ ถ้า a → , b → ^ ≤ 90 ° และ α = 180 ° - a → , b → ^ ถ้า a → , b → ^ > 90 ° .
จากข้อเท็จจริงที่ว่าโคไซน์ของมุมเท่ากันเท่ากัน เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นใหม่ได้ดังนี้: cos α = cos a →, b → ^, ถ้า a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, ถ้า a →, b → ^ > 90 °
ในกรณีที่สอง ใช้สูตรลดขนาด ดังนั้น,
cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
มาเขียนสูตรสุดท้ายด้วยคำพูด:
คำจำกัดความ 3
โคไซน์ของมุมที่เกิดจากเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกันจะเท่ากับโมดูลัสของโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทาง
รูปแบบทั่วไปของสูตรสำหรับโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว a → = (a x , a y) และ b → = (b x , by) มีลักษณะดังนี้:
เพราะ → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + by a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
จากนั้นเราจะได้สูตรสำหรับโคไซน์ของมุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นที่กำหนด:
cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
จากนั้นสามารถหามุมได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:
α = a rc cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
โดยที่ a → = (a x , a y) และ b → = (b x , b y) คือเวกเตอร์ทิศทางของเส้นที่กำหนด
ลองยกตัวอย่างการแก้ปัญหา
ตัวอย่างที่ 1
ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนเครื่องบิน จะมีเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกัน a และ b มาให้ อธิบายได้ด้วยสมการพาราเมตริก x = 1 + 4 · แลมบ์ y = 2 + แลมแล ∈ R และ x 5 = y - 6 - 3 คำนวณมุมระหว่างเส้นเหล่านี้
สารละลาย
เรามีสมการพาราเมตริกในเงื่อนไขของเรา ซึ่งหมายความว่าสำหรับเส้นนี้เราสามารถเขียนพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางได้ทันที ในการทำเช่นนี้เราจำเป็นต้องรับค่าสัมประสิทธิ์ของพารามิเตอร์เช่น เส้นตรง x = 1 + 4 แลมบ์ y = 2 + แลมแลม ∈ R จะมีเวกเตอร์ทิศทาง a → = (4, 1)
บรรทัดที่สองอธิบายโดยใช้สมการมาตรฐาน x 5 = y - 6 - 3 ตรงนี้เราสามารถหาพิกัดจากตัวส่วนได้ ดังนั้น เส้นตรงนี้จึงมีเวกเตอร์ทิศทาง b → = (5 , - 3)
ต่อไป เราจะมุ่งตรงไปที่การหามุม เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เพียงแทนที่พิกัดที่มีอยู่ของเวกเตอร์สองตัวลงในสูตรข้างต้น α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 เราได้รับสิ่งต่อไปนี้:
α = a rc cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a rc cos 17 17 34 = a rc cos 1 2 = 45 °
คำตอบ: เส้นตรงเหล่านี้ทำมุม 45 องศา
เราสามารถแก้ปัญหาที่คล้ายกันได้โดยการหามุมระหว่างเวกเตอร์ปกติ ถ้าเรามีเส้นตรง a ที่มีเวกเตอร์ปกติ n a → = (n a x , n a y) และเส้น b ที่มีเวกเตอร์ปกติ n b → = (n b x , n b y) แล้วมุมระหว่างพวกมันจะเท่ากับมุมระหว่าง n a → และ n b → หรือมุมที่จะอยู่ติดกับ n a →, n b → ^ วิธีการนี้แสดงไว้ในภาพ:
สูตรในการคำนวณโคไซน์ของมุมระหว่างเส้นตัดกับมุมนี้เองโดยใช้พิกัดของเวกเตอร์ปกติมีลักษณะดังนี้:
cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n by n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n by n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2
โดยที่ n a → และ n b → แสดงถึงเวกเตอร์ปกติของเส้นตรงที่กำหนดสองเส้น
ตัวอย่างที่ 2
ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม เส้นตรงสองเส้นถูกกำหนดโดยใช้สมการ 3 x + 5 y - 30 = 0 และ x + 4 y - 17 = 0 ค้นหาไซน์และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมันกับขนาดของมุมนี้เอง
สารละลาย
เส้นเดิมระบุโดยใช้สมการเส้นปกติในรูปแบบ A x + B y + C = 0 เราแทนเวกเตอร์ปกติเป็น n → = (A, B) ลองหาพิกัดของเวกเตอร์ปกติตัวแรกสำหรับหนึ่งบรรทัดแล้วเขียนมัน: n a → = (3, 5) . สำหรับเส้นที่สอง x + 4 y - 17 = 0 เวกเตอร์ปกติจะมีพิกัด n b → = (1, 4) ตอนนี้ให้เพิ่มค่าที่ได้รับลงในสูตรแล้วคำนวณผลรวม:
cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34
ถ้าเรารู้โคไซน์ของมุม เราก็สามารถคำนวณไซน์ของมันได้โดยใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน เนื่องจากมุม α ที่เกิดจากเส้นตรงไม่ป้าน ดังนั้น sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34
ในกรณีนี้ α = a rc cos 23 2 34 = a rc sin 7 2 34
คำตอบ: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a rc cos 23 2 34 = a rc sin 7 2 34
มาวิเคราะห์กรณีสุดท้ายกัน - ค้นหามุมระหว่างเส้นตรงถ้าเรารู้พิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงเส้นหนึ่งกับเวกเตอร์ปกติของอีกเส้นหนึ่ง
สมมติว่าเส้นตรง a มีเวกเตอร์ทิศทาง a → = (a x , a y) และเส้นตรง b มีเวกเตอร์ปกติ n b → = (n b x , n b y) เราจำเป็นต้องแยกเวกเตอร์เหล่านี้ออกจากจุดตัดกัน และพิจารณาตัวเลือกทั้งหมดสำหรับตำแหน่งสัมพันธ์กัน ดูในภาพ:
หากมุมระหว่างเวกเตอร์ที่กำหนดไม่เกิน 90 องศา ปรากฎว่ามุมระหว่าง a และ b จะมาเสริมกับมุมฉาก
ก → , n ข → ^ = 90 ° - α ถ้า → , n ข → ^ ≤ 90 ° .
หากน้อยกว่า 90 องศา เราจะได้สิ่งต่อไปนี้:
ก → , n ข → ^ > 90 ° จากนั้น a → , n ข → ^ = 90 ° + α
ใช้กฎความเท่าเทียมกันของโคไซน์ของมุมเท่ากัน เราเขียนว่า:
cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α สำหรับ a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
cos → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α สำหรับ → , n b → ^ > 90 ° .
ดังนั้น,
บาป α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , ก → , n ข → ^ > 0 - เพราะ → , n ข → ^ , → , n ข → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
ให้เรากำหนดข้อสรุป
คำจำกัดความที่ 4
ในการหาไซน์ของมุมระหว่างเส้นสองเส้นที่ตัดกันบนระนาบ คุณต้องคำนวณโมดูลัสของโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทางของเส้นแรกกับเวกเตอร์ปกติของเส้นที่สอง
มาเขียนสูตรที่จำเป็นกัน การหาไซน์ของมุม:
บาป α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
การค้นหามุมนั้นเอง:
α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
โดยที่ a → คือเวกเตอร์ทิศทางของเส้นแรก และ n b → คือเวกเตอร์ปกติของเส้นที่สอง
ตัวอย่างที่ 3
เส้นตัดกันสองเส้นกำหนดโดยสมการ x - 5 = y - 6 3 และ x + 4 y - 17 = 0 ค้นหามุมของจุดตัด
สารละลาย
เราใช้พิกัดของไกด์และเวกเตอร์ปกติจากสมการที่กำหนด ปรากฎว่า a → = (- 5, 3) และ n → b = (1, 4) เราใช้สูตร α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 และคำนวณ:
α = a rc sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a rc sin 7 2 34
โปรดทราบว่าเราได้นำสมการจากปัญหาครั้งก่อนและได้ผลลัพธ์เดียวกันทุกประการ แต่ใช้วิธีที่แตกต่างออกไป
คำตอบ:α = a rc บาป 7 2 34
ให้เรานำเสนออีกวิธีหนึ่งในการค้นหามุมที่ต้องการโดยใช้สัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงที่กำหนด
เรามีเส้น a ซึ่งกำหนดไว้ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมโดยใช้สมการ y = k 1 x + b 1 และเส้น b กำหนดเป็น y = k 2 x + b 2 นี่คือสมการของเส้นตรงที่มีความชัน เพื่อหามุมตัดกัน เราใช้สูตร:
α = a rc cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1 โดยที่ k 1 และ k 2 คือความชันของเส้นที่กำหนด เพื่อให้ได้บันทึกนี้ มีการใช้สูตรในการกำหนดมุมผ่านพิกัดของเวกเตอร์ปกติ
ตัวอย่างที่ 4
เส้นตรงสองเส้นตัดกันในระนาบ โดยสมการ y = - 3 5 x + 6 และ y = - 1 4 x + 17 4 คำนวณค่าของมุมตัดกัน
สารละลาย
ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงของเราเท่ากับ k 1 = - 3 5 และ k 2 = - 1 4 ลองเพิ่มพวกมันลงในสูตร α = a rc cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1 แล้วคำนวณ:
α = a rc cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a rc cos 23 20 34 24 · 17 16 = a rc cos 23 2 34
คำตอบ:α = a rc cos 23 2 34
ในบทสรุปของย่อหน้านี้ ควรสังเกตว่าสูตรที่ให้ไว้ที่นี่เพื่อค้นหามุมไม่จำเป็นต้องเรียนรู้ด้วยหัวใจ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะทราบพิกัดของเส้นบอกแนวและ/หรือเวกเตอร์ปกติของเส้นที่กำหนด และสามารถระบุได้โดยใช้สมการประเภทต่างๆ แต่ควรจำหรือเขียนสูตรในการคำนวณโคไซน์ของมุมจะดีกว่า
วิธีการคำนวณมุมระหว่างเส้นที่ตัดกันในอวกาศ
การคำนวณมุมดังกล่าวสามารถลดลงเป็นการคำนวณพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางและกำหนดขนาดของมุมที่เกิดจากเวกเตอร์เหล่านี้ สำหรับตัวอย่างดังกล่าว จะใช้เหตุผลเดียวกันกับที่เราให้ไว้ก่อนหน้านี้
สมมติว่าเรามีระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่อยู่ในอวกาศสามมิติ ประกอบด้วยเส้นตรงสองเส้น a และ b โดยมีจุดตัด M ในการคำนวณพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง เราจำเป็นต้องรู้สมการของเส้นเหล่านี้ ให้เราแสดงเวกเตอร์ทิศทาง a → = (a x , a y , a z) และ b → = (b x , b y , b z) . ในการคำนวณโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน เราใช้สูตร:
cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
เพื่อหามุม เราต้องการสูตรนี้:
α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
ตัวอย่างที่ 5
เรามีเส้นตรงที่กำหนดในปริภูมิสามมิติโดยใช้สมการ x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 เป็นที่รู้กันว่ามันตัดกับแกน O z คำนวณมุมตัดแกนและโคไซน์ของมุมนั้น
สารละลาย
ให้เราแสดงมุมที่ต้องคำนวณด้วยตัวอักษร α ลองเขียนพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางสำหรับเส้นตรงเส้นแรก – a → = (1, - 3, - 2) . สำหรับแกนประยุกต์ เราสามารถใช้เวกเตอร์พิกัด k → = (0, 0, 1) เป็นแนวทางได้ เราได้รับข้อมูลที่จำเป็นแล้วและสามารถเพิ่มลงในสูตรที่ต้องการได้:
cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2
เป็นผลให้เราพบว่ามุมที่เราต้องการจะเท่ากับ a rc cos 1 2 = 45 °
คำตอบ: cos α = 1 2 , α = 45 ° .
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter
มุมระหว่างเส้นตรงในอวกาศ เราจะเรียกมุมที่อยู่ติดกันใดๆ ที่เกิดจากเส้นตรงสองเส้นที่ลากผ่านจุดใดก็ได้ที่ขนานกับข้อมูล
ให้มีสองบรรทัดในช่องว่าง:
แน่นอนว่ามุม φ ระหว่างเส้นตรงสามารถใช้เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทางกับ ตั้งแต่ จากนั้นใช้สูตรสำหรับโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ที่เราได้รับ
เงื่อนไขของการขนานและความตั้งฉากของเส้นตรงสองเส้นเทียบเท่ากับเงื่อนไขของการขนานและการตั้งฉากของเวกเตอร์ทิศทางและ:
สองตรง ขนานถ้าหากสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันนั้นเป็นสัดส่วนเท่านั้นนั่นคือ ล 1 เส้นขนาน ล 2 ถ้าและต่อเมื่อขนานกัน 
.
สองตรง ตั้งฉากถ้าหากผลรวมของผลิตภัณฑ์ของสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันเท่ากับศูนย์: .
คุณ เป้าหมายระหว่างเส้นและระนาบ
ให้มันตรงไป ง- ไม่ตั้งฉากกับระนาบ θ;
ง′− การฉายเส้น งไปยังระนาบ θ;
มุมที่เล็กที่สุดระหว่างเส้นตรง งและ ง′ เราจะโทร มุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ.
ให้เราแสดงว่ามันเป็น φ=( ง,θ)
ถ้า ง⊥θ จากนั้น ( ง,θ)=π/2
อ้อย→เจ→เค→− ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม
สมการเครื่องบิน:
θ: ขวาน+โดย+ซีซี+ดี=0
เราถือว่าเส้นตรงถูกกำหนดโดยจุดและเวกเตอร์ทิศทาง: ง[ม 0,พี→]
เวกเตอร์ n→(ก,บี,ค)⊥θ
จากนั้นก็ยังคงต้องหามุมระหว่างเวกเตอร์ n→ และ พี→ ให้เราแสดงว่ามันเป็น γ=( n→,พี→).
ถ้าเป็นมุม γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .
ถ้ามุมคือ γ>π/2 มุมที่ต้องการคือ φ=γ−π/2
บาปφ=บาป(2π−γ)=cosγ
sinφ=บาป(γ−2π)=−cosγ
แล้ว, มุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:
บาปφ=∣cosγ∣=∣ ∣ แอพ 1+บีพี 2+ซีพี 3∣ ∣ √ก 2+บี 2+ค 2√พี 21+พี 22+พี 23
คำถาม29. แนวคิดเรื่องรูปแบบกำลังสอง เครื่องหมายความแน่นอนของรูปกำลังสอง
รูปแบบกำลังสอง j (x 1, x 2, …, xn) n ตัวแปรจำนวนจริง x 1, x 2, …, x nเรียกว่าผลรวมของแบบฟอร์ม 
, (1)
ที่ไหน ไอจ – ตัวเลขบางตัวเรียกว่าสัมประสิทธิ์ โดยไม่สูญเสียความเป็นทั่วไป เราสามารถสรุปได้ว่า ไอจ = จิ.
รูปทรงกำลังสองเรียกว่า ถูกต้อง,ถ้า ไอจ
Î GR. เมทริกซ์ของรูปแบบกำลังสองเรียกว่าเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ของมัน รูปแบบกำลังสอง (1) สอดคล้องกับเมทริกซ์สมมาตรเพียงตัวเดียว 
นั่นก็คือ เอ ที = อ- ดังนั้น รูปสมการกำลังสอง (1) สามารถเขียนได้ในรูปเมทริกซ์ j ( เอ็กซ์) = x ที อา, ที่ไหน x ต = (เอ็กซ์ 1 เอ็กซ์ 2 … เอ็กซ์เอ็น). (2)
และในทางกลับกัน เมทริกซ์สมมาตรทุกตัว (2) จะสอดคล้องกับรูปแบบกำลังสองเฉพาะจนถึงสัญลักษณ์ของตัวแปร
อันดับของรูปแบบกำลังสองเรียกว่าอันดับของเมทริกซ์ รูปทรงกำลังสองเรียกว่า ไม่เสื่อมโทรมถ้าเมทริกซ์ของมันไม่เอกพจน์ ก- (จำได้ว่าเมทริกซ์ กเรียกว่าไม่เสื่อมถ้าปัจจัยกำหนดไม่เท่ากับศูนย์) มิฉะนั้นรูปแบบกำลังสองจะเสื่อมลง
บวกแน่นอน(หรือเชิงบวกอย่างเคร่งครัด) ถ้า
เจ ( เอ็กซ์) > 0 สำหรับใครก็ตาม เอ็กซ์ = (เอ็กซ์ 1 , เอ็กซ์ 2 , …, เอ็กซ์เอ็น), ยกเว้น เอ็กซ์ = (0, 0, …, 0).
เมทริกซ์ กรูปแบบกำลังสองแน่นอนบวก j ( เอ็กซ์) เรียกอีกอย่างว่าค่าบวกแน่นอน ดังนั้น รูปแบบกำลังสองที่แน่นอนเชิงบวกจึงสอดคล้องกับเมทริกซ์เฉพาะที่แน่นอนเชิงบวกและในทางกลับกัน
เรียกว่ารูปกำลังสอง (1) กำหนดไว้ในทางลบ(หรือเชิงลบอย่างเคร่งครัด) ถ้า
เจ ( เอ็กซ์) < 0, для любого เอ็กซ์ = (เอ็กซ์ 1 , เอ็กซ์ 2 , …, เอ็กซ์เอ็น), ยกเว้น เอ็กซ์ = (0, 0, …, 0).
เช่นเดียวกับข้างต้น เมทริกซ์ที่มีรูปแบบกำลังสองแน่นอนเชิงลบเรียกอีกอย่างว่าลบแน่นอน
ดังนั้น รูปกำลังสองแน่นอนบวก (ลบ) j ( เอ็กซ์) ถึงค่าต่ำสุด (สูงสุด) j ( เอ็กซ์*) = 0 ณ เอ็กซ์* = (0, 0, …, 0).
โปรดทราบว่ารูปแบบกำลังสองส่วนใหญ่ไม่มีเครื่องหมายกำหนด กล่าวคือ ไม่เป็นทั้งเชิงบวกและเชิงลบ รูปแบบกำลังสองดังกล่าวหายไปไม่เพียงแต่ที่จุดกำเนิดของระบบพิกัดเท่านั้น แต่ยังหายไปที่จุดอื่นๆ ด้วย
เมื่อไร n> 2 ต้องใช้เกณฑ์พิเศษในการตรวจสอบเครื่องหมายของรูปกำลังสอง มาดูพวกเขากันดีกว่า
ผู้เยาว์รายใหญ่รูปแบบกำลังสองเรียกว่าผู้เยาว์:
นั่นคือเหล่านี้เป็นผู้เยาว์ลำดับที่ 1, 2, ... , nเมทริกซ์ กซึ่งอยู่ที่มุมซ้ายบน ส่วนสุดท้ายตรงกับดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ ก.
เกณฑ์ความชัดเจนเชิงบวก (เกณฑ์ซิลเวสเตอร์)
เอ็กซ์) = x ที อาเป็นบวกแน่นอน มีความจำเป็นและเพียงพอที่ค่ารองที่สำคัญทั้งหมดของเมทริกซ์ กเป็นบวก นั่นคือ: ม 1 > 0, ม 2 > 0, …, เอ็ม เอ็น > 0. เกณฑ์ความแน่นอนเชิงลบ จะได้รูปกำลังสอง j ( เอ็กซ์) = x ที อาเป็นลบแน่นอน มีความจำเป็นและเพียงพอที่ผู้เยาว์หลักของลำดับคู่จะเป็นค่าบวก และลำดับคี่ - ลบ เช่น: ม 1 < 0, ม 2 > 0, ม 3 < 0, …, (–1)n
คำแนะนำ
โปรดทราบ
คาบของฟังก์ชันแทนเจนต์ตรีโกณมิติเท่ากับ 180 องศา ซึ่งหมายความว่ามุมลาดของเส้นตรงจะต้องไม่เกินค่านี้ตามค่าสัมบูรณ์
คำแนะนำที่เป็นประโยชน์
หากค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมเท่ากัน มุมระหว่างเส้นดังกล่าวจะเป็น 0 เนื่องจากเส้นดังกล่าวตรงกันหรือขนานกัน
ในการกำหนดค่ามุมระหว่างเส้นที่ตัดกัน จำเป็นต้องย้ายทั้งสองเส้น (หรือหนึ่งในนั้น) ไปยังตำแหน่งใหม่โดยใช้วิธีการแปลแบบขนานจนกว่าจะตัดกัน หลังจากนี้ คุณควรหามุมระหว่างเส้นตัดกันที่เกิดขึ้น
คุณจะต้อง
- ไม้บรรทัด สามเหลี่ยมมุมฉาก ดินสอ ไม้โปรแทรกเตอร์
คำแนะนำ
ดังนั้น ให้เวกเตอร์ V = (a, b, c) และระนาบ A x + B y + C z = 0 โดยที่ A, B และ C เป็นพิกัดของ N ปกติ จากนั้นโคไซน์ของมุม α ระหว่างเวกเตอร์ V และ N เท่ากับ: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))
ในการคำนวณมุมเป็นองศาหรือเรเดียน คุณต้องคำนวณค่าผกผันของฟังก์ชันโคไซน์จากนิพจน์ผลลัพธ์ เช่น อาร์คโคไซน์:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)))
ตัวอย่าง: ค้นหา มุมระหว่าง เวกเตอร์(5, -3, 8) และ เครื่องบินกำหนดโดยสมการทั่วไป 2 x – 5 y + 3 z = 0 วิธีแก้ไข: เขียนพิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบ N = (2, -5, 3) แทนค่าที่ทราบทั้งหมดลงในสูตรที่กำหนด: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 data 0.8 → α = 36.87°
วิดีโอในหัวข้อ
เส้นตรงที่มีจุดร่วมหนึ่งจุดกับวงกลมจะสัมผัสกันกับวงกลม คุณลักษณะอีกประการหนึ่งของแทนเจนต์คือมันจะตั้งฉากกับรัศมีที่ลากไปยังจุดสัมผัสเสมอนั่นคือแทนเจนต์และรัศมีก่อตัวเป็นเส้นตรง มุม- หากลากแทนเจนต์สองเส้นของวงกลม AB และ AC จากจุด A ทั้งสองจุดจะเท่ากันเสมอ การกำหนดมุมระหว่างแทนเจนต์ ( มุม ABC) สร้างโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
คำแนะนำ
ในการกำหนดมุม คุณจำเป็นต้องทราบรัศมีของวงกลม OB และ OS และระยะห่างของจุดเริ่มต้นของแทนเจนต์จากศูนย์กลางของวงกลม - O ดังนั้น มุม ABO และ ASO เท่ากัน รัศมี OB คือ เช่น 10 ซม. และระยะห่างถึงจุดศูนย์กลางของวงกลม AO คือ 15 ซม. จงหาความยาวของแทนเจนต์โดยใช้สูตรตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส: AB = รากที่สองของ AO2 – OB2 หรือ 152 - 102 = 225 – 100 = 125;
