การแยกตัวประกอบนิพจน์หมายความว่าอย่างไร แยกตัวประกอบพหุนาม วิธีการเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์ การรวมกันของวิธีการ

โดยทั่วไปงานนี้ต้องใช้แนวทางที่สร้างสรรค์เนื่องจากไม่มีวิธีการสากลในการแก้ปัญหา แต่เรามาลองให้คำแนะนำเล็กน้อย

ในกรณีส่วนใหญ่อย่างท่วมท้น การแยกตัวประกอบของพหุนามขึ้นอยู่กับข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทของเบซูต์ กล่าวคือ พบหรือเลือกรากได้ และระดับของพหุนามจะลดลงหนึ่งโดยหารด้วย ค้นหารากของพหุนามผลลัพธ์แล้วทำซ้ำจนกระทั่งขยายตัวสมบูรณ์

หากไม่พบรูต จะใช้วิธีการขยายเฉพาะ: ตั้งแต่การจัดกลุ่มไปจนถึงการแนะนำข้อกำหนดเพิ่มเติมที่ไม่เกิดร่วมกัน

การนำเสนอเพิ่มเติมขึ้นอยู่กับทักษะการแก้สมการระดับที่สูงกว่าด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม

คร่อมปัจจัยร่วม

เริ่มต้นด้วยกรณีที่ง่ายที่สุด เมื่อเทอมอิสระเท่ากับศูนย์ นั่นคือพหุนามมีรูปแบบ .

แน่นอน รากของพหุนามดังกล่าวคือ นั่นคือ เราสามารถแสดงพหุนามในรูปแบบได้

วิธีการนี้ไม่มีอะไรมากไปกว่า นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ.

ตัวอย่าง.

แยกตัวประกอบพหุนามดีกรี 3.

สารละลาย.

แน่นอนว่ารากของพหุนามคืออะไร เอ็กซ์สามารถถอดออกจากวงเล็บได้:

ลองหารากของตรีโกณมิติกำลังสองกัน

ดังนั้น,

ด้านบนของหน้า

แยกตัวประกอบพหุนามด้วยรากตรรกยะ

ขั้นแรก ลองพิจารณาวิธีการขยายพหุนามด้วยค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มในรูปแบบ ค่าสัมประสิทธิ์ระดับสูงสุดจะเท่ากับหนึ่ง

ในกรณีนี้ ถ้าพหุนามมีรากที่เป็นจำนวนเต็ม พวกมันก็จะเป็นตัวหารของพจน์อิสระ

ตัวอย่าง.

สารละลาย.

ตรวจสอบว่ามีรากที่สมบูรณ์หรือไม่ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เขียนตัวหารของตัวเลขลงไป -18 - นั่นคือ ถ้าพหุนามมีรากที่เป็นจำนวนเต็ม แสดงว่าพวกมันอยู่ในกลุ่มตัวเลขที่เขียน มาตรวจสอบตัวเลขเหล่านี้ตามลำดับโดยใช้แผนของฮอร์เนอร์ ความสะดวกของมันยังอยู่ที่ว่าท้ายที่สุดแล้วเราได้ค่าสัมประสิทธิ์การขยายตัวของพหุนาม:

นั่นคือ x=2และ x=-3เป็นรากของพหุนามดั้งเดิมและเราสามารถแสดงมันเป็นผลคูณได้:

มันยังคงต้องขยายตรีโกณมิติกำลังสอง

การแยกแยะของตรีนามนี้เป็นลบ ดังนั้นจึงไม่มีรากที่แท้จริง

คำตอบ:

ความคิดเห็น:

แทนที่จะใช้แผนผังของฮอร์เนอร์ เราสามารถใช้การเลือกรากและการหารพหุนามในภายหลังด้วยพหุนามได้

ตอนนี้ให้พิจารณาการขยายตัวของพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มในรูปแบบ และค่าสัมประสิทธิ์ระดับสูงสุดไม่เท่ากับหนึ่ง

ในกรณีนี้ พหุนามสามารถมีรากที่เป็นตรรกยะแบบเศษส่วนได้

ตัวอย่าง.

แยกตัวประกอบนิพจน์

สารละลาย.

โดยทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปร y=2xมาดูพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากับ 1 ที่ระดับสูงสุดกันดีกว่า เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ขั้นแรกให้คูณนิพจน์ด้วย 4 .

หากฟังก์ชันผลลัพธ์มีรากเป็นจำนวนเต็ม แสดงว่าฟังก์ชันเหล่านั้นอยู่ในตัวหารของพจน์อิสระ มาเขียนกัน:

ให้เราคำนวณค่าของฟังก์ชันตามลำดับ ก(ย)ณ จุดเหล่านี้จนกระทั่งถึงศูนย์

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมลของคุณ ฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณเพื่อรับข้อเสนอ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดี ในการดำเนินการทางกฎหมาย และ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - ให้เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงด้านการบริหาร ด้านเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเราและบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

การแยกตัวประกอบพหุนามเป็นการเปลี่ยนแปลงเอกลักษณ์ ซึ่งเป็นผลมาจากการที่พหุนามถูกแปลงเป็นผลคูณของปัจจัยหลายประการ ได้แก่ พหุนามหรือเอกนาม

มีหลายวิธีในการแยกตัวประกอบพหุนาม

วิธีที่ 1. นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

การแปลงนี้เป็นไปตามกฎการกระจายของการคูณ: ac + bc = c(a + b) สาระสำคัญของการเปลี่ยนแปลงคือการแยกปัจจัยร่วมในองค์ประกอบทั้งสองที่อยู่ระหว่างการพิจารณาออก และ "นำมันออกจากวงเล็บ"

ให้เราแยกตัวประกอบพหุนาม 28x 3 – 35x 4

สารละลาย.

1. ค้นหาตัวหารร่วมสำหรับองค์ประกอบ 28x3 และ 35x4 สำหรับ 28 และ 35 จะเป็น 7; สำหรับ x 3 และ x 4 – x 3 กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัวประกอบร่วมของเราคือ 7x 3

2. เราแสดงแต่ละองค์ประกอบเป็นผลคูณของปัจจัย ซึ่งหนึ่งในนั้น
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x

3. เรานำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x)

วิธีที่ 2. การใช้สูตรคูณแบบย่อ “ความเชี่ยวชาญ” ของการใช้วิธีนี้คือการสังเกตหนึ่งในสูตรการคูณแบบย่อในนิพจน์

ให้เราแยกตัวประกอบพหุนาม x 6 – 1

สารละลาย.

1. เราสามารถใช้สูตรผลต่างของสูตรกำลังสองกับนิพจน์นี้ได้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ลองจินตนาการถึง x 6 เป็น (x 3) 2 และ 1 เป็น 1 2 เช่น 1. นิพจน์จะอยู่ในรูปแบบ:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1)

2. เราสามารถใช้สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของลูกบาศก์กับนิพจน์ผลลัพธ์:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1)

ดังนั้น,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1)

วิธีที่ 3 การจัดกลุ่ม วิธีการจัดกลุ่มคือการรวมส่วนประกอบของพหุนามในลักษณะที่ง่ายต่อการดำเนินการกับส่วนประกอบเหล่านั้น (การบวก การลบ การลบตัวประกอบร่วม)

ลองแยกตัวประกอบพหุนาม x 3 – 3x 2 + 5x – 15 กัน

สารละลาย.

1. มาจัดกลุ่มส่วนประกอบต่างๆ กันดังนี้ อันดับแรกกับอันดับที่ 2 และอันดับที่ 3 กับอันดับที่ 4
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15)

2. ในนิพจน์ผลลัพธ์ เราจะนำปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บ: x 2 ในกรณีแรกและ 5 ในกรณีที่สอง
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3)

3. เรานำตัวประกอบร่วม x – 3 ออกจากวงเล็บแล้วได้:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5)

ดังนั้น,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).

มารักษาความปลอดภัยของวัสดุกันเถอะ

แยกตัวประกอบพหุนาม a 2 – 7ab + 12b 2

สารละลาย.

1. ให้เราแทน monomial 7ab เป็นผลรวมของ 3ab + 4ab การแสดงออกจะอยู่ในรูปแบบ:
ก 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

มาเปิดวงเล็บแล้วรับ:
ก 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. มาจัดกลุ่มส่วนประกอบของพหุนามในลักษณะนี้: อันดับแรกกับอันดับที่ 2 และอันดับที่ 3 กับอันดับที่ 4 เราได้รับ:
(ก 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2)

3. นำปัจจัยทั่วไปออกจากวงเล็บ:
(ก 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = ก(ก – 3b) – 4b(ก – 3b)

4. นำตัวประกอบร่วม (a – 3b) ออกจากวงเล็บ:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b)

ดังนั้น,
ก 2 – 7ab + 12b 2 =
= ก 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= ก 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (ก 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= ก(ก – 3b) – 4b(ก – 3b) =
= (ก – 3 ข) ∙ (ก – 4ข)

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

ในบทนี้ เราจะจำวิธีการแยกตัวประกอบพหุนามที่ศึกษาก่อนหน้านี้ทั้งหมดและพิจารณาตัวอย่างการประยุกต์ใช้ นอกจากนี้ เราจะศึกษาวิธีการใหม่ - วิธีการแยกกำลังสองสมบูรณ์และเรียนรู้วิธีใช้ในการแก้ปัญหาต่างๆ .

เรื่อง:แยกตัวประกอบพหุนาม

บทเรียน:แยกตัวประกอบพหุนาม วิธีการเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์ การรวมกันของวิธีการ

ให้เรานึกถึงวิธีการพื้นฐานในการแยกตัวประกอบพหุนามที่ได้รับการศึกษาก่อนหน้านี้:

วิธีการนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ ซึ่งก็คือตัวประกอบที่มีอยู่ในทุกเทอมของพหุนาม ลองดูตัวอย่าง:

โปรดจำไว้ว่า monomial คือผลคูณของกำลังและตัวเลข ในตัวอย่างของเรา ทั้งสองคำมีองค์ประกอบที่เหมือนกันและเหมือนกัน

ลองนำปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บ:

;

เราขอเตือนคุณว่าการคูณตัวประกอบที่นำออกมาด้วยวงเล็บจะทำให้คุณสามารถตรวจสอบความถูกต้องของตัวประกอบที่นำออกมาได้

วิธีการจัดกลุ่ม ไม่สามารถแยกตัวประกอบร่วมในพหุนามได้เสมอไป ในกรณีนี้ คุณต้องแบ่งสมาชิกออกเป็นกลุ่มๆ โดยในแต่ละกลุ่ม คุณสามารถแยกตัวประกอบร่วมออกมาได้ และพยายามแยกย่อย เพื่อว่าหลังจากแยกปัจจัยในกลุ่มออกแล้ว ก็จะมีปัจจัยร่วมปรากฏใน การแสดงออกทั้งหมด และคุณสามารถสลายตัวต่อไปได้ ลองดูตัวอย่าง:

ลองจัดกลุ่มเทอมแรกกับเทอมที่สี่ เทอมที่สองกับเทอมที่ห้า และเทอมที่สามกับเทอมที่หก:

มาดูปัจจัยทั่วไปในกลุ่ม:

ตอนนี้นิพจน์มีปัจจัยร่วมแล้ว เอามันออกไป:

การใช้สูตรคูณแบบย่อ ลองดูตัวอย่าง:

;

มาเขียนนิพจน์โดยละเอียด:

แน่นอนว่าเรามีสูตรสำหรับผลต่างกำลังสองอยู่แล้ว เนื่องจากมันคือผลรวมของกำลังสองของสองนิพจน์และผลคูณสองเท่าของนิพจน์นั้นถูกลบออกไป ลองใช้สูตร:

วันนี้เราจะมาเรียนรู้วิธีอื่น - วิธีการเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์ ขึ้นอยู่กับสูตรกำลังสองของผลรวมและกำลังสองของผลต่าง มาเตือนพวกเขากัน:

สูตรกำลังสองของผลรวม (ผลต่าง)

ลักษณะเฉพาะของสูตรเหล่านี้คือประกอบด้วยกำลังสองของสองนิพจน์และผลคูณสองเท่า ลองดูตัวอย่าง:

ลองเขียนนิพจน์:

ดังนั้น นิพจน์แรกคือ และนิพจน์ที่สองคือ

ในการสร้างสูตรสำหรับกำลังสองของผลรวมหรือผลต่าง ผลคูณของนิพจน์สองเท่านั้นไม่เพียงพอ จำเป็นต้องบวกและลบ:

มาทำให้กำลังสองของผลรวมสมบูรณ์:

มาแปลงนิพจน์ผลลัพธ์กัน:

ลองใช้สูตรสำหรับผลต่างของกำลังสอง จำไว้ว่าผลต่างของกำลังสองของสองนิพจน์เป็นผลคูณของผลรวมของผลต่าง:

ดังนั้น ประการแรกวิธีนี้ประกอบด้วยในการระบุนิพจน์ a และ b ที่ถูกยกกำลังสอง นั่นคือ การกำหนดนิพจน์ที่ถูกยกกำลังสองในตัวอย่างนี้ หลังจากนี้ คุณจะต้องตรวจสอบว่ามีผลิตภัณฑ์สองเท่าหรือไม่ และหากไม่มี ให้บวกและลบออก ซึ่งจะไม่เปลี่ยนความหมายของตัวอย่าง แต่สามารถแยกตัวประกอบพหุนามได้โดยใช้สูตรสำหรับกำลังสองของ ผลรวมหรือผลต่างและผลต่างของกำลังสอง ถ้าเป็นไปได้

มาดูการแก้ตัวอย่างกันดีกว่า

ตัวอย่างที่ 1 - แยกตัวประกอบ:

เรามาค้นหานิพจน์ที่กำลังสองกัน:

ให้เราเขียนว่าผลิตภัณฑ์สองเท่าควรเป็นอย่างไร:

ลองบวกและลบผลคูณสองเท่า:

เรามาเติมกำลังสองของผลรวมให้สมบูรณ์แล้วให้อันที่คล้ายกัน:

ลองเขียนมันโดยใช้สูตรผลต่างของกำลังสอง:

ตัวอย่างที่ 2 - แก้สมการ:

;

ทางด้านซ้ายของสมการคือตรีโกณมิติ คุณต้องแยกตัวประกอบเป็นปัจจัย เราใช้สูตรผลต่างกำลังสอง:

เรามีกำลังสองของนิพจน์แรกและผลคูณสองเท่า กำลังสองของนิพจน์ที่สองหายไป ลองบวกและลบมันกัน:

ลองพับสี่เหลี่ยมจัตุรัสให้สมบูรณ์แล้วให้เงื่อนไขที่คล้ายกัน:

ลองใช้สูตรผลต่างของกำลังสอง:

เราก็จะได้สมการ

เรารู้ว่าผลคูณจะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อมีปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวเท่ากับศูนย์ เรามาสร้างสมการต่อไปนี้ตามสิ่งนี้:

มาแก้สมการแรกกัน:

มาแก้สมการที่สองกัน:

คำตอบ: หรือ

;

เราดำเนินการคล้ายกับตัวอย่างก่อนหน้า - เลือกกำลังสองของความแตกต่าง

เมื่อแก้สมการและอสมการ มักจำเป็นต้องแยกตัวประกอบพหุนามที่มีดีกรีเป็น 3 หรือสูงกว่า ในบทความนี้เราจะดูวิธีที่ง่ายที่สุดในการทำเช่นนี้

ตามปกติเราจะหันไปหาทฤษฎีเพื่อขอความช่วยเหลือ

ทฤษฎีบทของเบซูต์ระบุว่าส่วนที่เหลือเมื่อหารพหุนามด้วยทวินามคือ

แต่สิ่งที่สำคัญสำหรับเราไม่ใช่ทฤษฎีบท แต่เป็น ข้อพิสูจน์จากมัน:

ถ้าตัวเลขเป็นรากของพหุนาม พหุนามก็จะหารด้วยทวินามลงตัวโดยไม่มีเศษ

เรากำลังเผชิญกับภารกิจในการหารากของพหุนามอย่างน้อยหนึ่งราก จากนั้นจึงหารพหุนามด้วย โดยที่รากของพหุนามอยู่ที่ไหน เป็นผลให้เราได้พหุนามซึ่งมีดีกรีน้อยกว่าดีกรีดั้งเดิมหนึ่งอัน จากนั้นหากจำเป็นคุณสามารถทำซ้ำได้

งานนี้แบ่งออกเป็นสอง: วิธีค้นหารากของพหุนาม และวิธีหารพหุนามด้วยทวินาม.

ลองมาดูประเด็นเหล่านี้ให้ละเอียดยิ่งขึ้น

1. วิธีค้นหารากของพหุนาม

ก่อนอื่น เราตรวจสอบว่าตัวเลข 1 และ -1 เป็นรากของพหุนามหรือไม่

ข้อเท็จจริงต่อไปนี้จะช่วยเราได้ที่นี่:

ถ้าผลรวมของสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของพหุนามเป็นศูนย์ ตัวเลขนั้นก็จะเป็นรากของพหุนาม

ตัวอย่างเช่น ในพหุนาม ผลรวมของสัมประสิทธิ์จะเป็นศูนย์: เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่ารากของพหุนามคืออะไร

ถ้าผลรวมของสัมประสิทธิ์ของพหุนามที่กำลังเลขคู่ เท่ากับผลรวมของสัมประสิทธิ์ที่กำลังเลขคี่ แล้วตัวเลขดังกล่าวจะเป็นรากของพหุนามเทอมอิสระถือเป็นสัมประสิทธิ์ของดีกรีคู่ เนื่องจาก a เป็นจำนวนคู่

ตัวอย่างเช่น ในพหุนาม ผลรวมของสัมประสิทธิ์สำหรับกำลังคู่คือ: และผลรวมของสัมประสิทธิ์สำหรับกำลังคี่คือ: เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่ารากของพหุนามคืออะไร

ถ้าทั้ง 1 และ -1 ไม่ใช่รากของพหุนาม เราก็ไปต่อ

สำหรับพหุนามรีดิวซ์ของดีกรี (นั่นคือ พหุนามที่สัมประสิทธิ์นำหน้า - สัมประสิทธิ์ที่ - เท่ากับเอกภาพ) สูตร Vieta ใช้ได้:

รากของพหุนามอยู่ที่ไหน

ยังมีสูตรเวียตต้าเกี่ยวกับสัมประสิทธิ์ที่เหลืออยู่ของพหุนามด้วย แต่เราสนใจสูตรนี้

จากสูตรเวียตต้านี้จึงเป็นไปตามนั้น ถ้ารากของพหุนามเป็นจำนวนเต็ม พวกมันก็จะเป็นตัวหารของพจน์อิสระ ซึ่งก็คือจำนวนเต็มด้วย

บนพื้นฐานนี้ เราจำเป็นต้องแยกตัวประกอบเทอมอิสระของพหุนามเป็นปัจจัย และตามลำดับจากน้อยไปมาก ให้ตรวจสอบว่าปัจจัยใดที่เป็นรากของพหุนาม

ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาพหุนาม

ตัวหารของคำอิสระ: ;

- -

ผลรวมของสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของพหุนามเท่ากับ ดังนั้น จำนวน 1 จึงไม่ใช่รากของพหุนาม

ผลรวมของสัมประสิทธิ์สำหรับกำลังคู่:

ผลรวมของสัมประสิทธิ์สำหรับกำลังคี่:

ดังนั้น ตัวเลข -1 จึงไม่ใช่รากของพหุนามด้วย

ตรวจสอบว่าหมายเลข 2 เป็นรากของพหุนามหรือไม่ ดังนั้น หมายเลข 2 จึงเป็นรากของพหุนาม ซึ่งหมายความว่า ตามทฤษฎีบทของเบซูต์ พหุนามสามารถหารด้วยทวินามได้โดยไม่มีเศษ

2. วิธีหารพหุนามให้เป็นทวินาม

พหุนามสามารถแบ่งออกเป็นทวินามได้ด้วยคอลัมน์

หารพหุนามด้วยทวินามโดยใช้คอลัมน์:

มีอีกวิธีหนึ่งในการหารพหุนามด้วยทวินาม - แบบแผนของฮอร์เนอร์ ชมวิดีโอนี้เพื่อทำความเข้าใจ

วิธีหารพหุนามด้วยทวินามด้วยคอลัมน์ และใช้แผนภาพฮอร์เนอร์

ฉันสังเกตว่าหากหารด้วยคอลัมน์ ระดับของสิ่งที่ไม่ทราบหายไปในพหุนามดั้งเดิม เราจะเขียน 0 ในตำแหน่งนั้น - เช่นเดียวกับเมื่อรวบรวมตารางสำหรับโครงร่างของ Horner

ดังนั้น หากเราต้องหารพหุนามด้วยทวินามและผลจากการหารทำให้เราได้พหุนาม เราก็สามารถหาค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามได้โดยใช้โครงร่างของฮอร์เนอร์: เรายังสามารถใช้ได้แผนการของฮอร์เนอร์

เพื่อตรวจสอบว่าตัวเลขที่กำหนดเป็นรากของพหุนามหรือไม่ ถ้าตัวเลขนั้นเป็นรากของพหุนาม แล้วเศษที่เหลือเมื่อหารพหุนามด้วยจะเท่ากับศูนย์ กล่าวคือ ในคอลัมน์สุดท้ายของแถวที่สองของ แผนภาพฮอร์เนอร์เราได้ 0

ตัวอย่าง.โดยใช้แผนของฮอร์เนอร์ เรา "ฆ่านกสองตัวด้วยหินนัดเดียว": เราตรวจสอบพร้อมกันว่าตัวเลขนั้นเป็นรากของพหุนามหรือไม่ และหารพหุนามนี้ด้วยทวินาม

แก้สมการ:

1. ลองเขียนตัวหารของเทอมอิสระแล้วค้นหารากของพหุนามจากตัวหารของเทอมอิสระ

ตัวหารของ 24:

2. ลองตรวจสอบว่าหมายเลข 1 เป็นรากของพหุนามหรือไม่

3. แบ่งพหุนามดั้งเดิมออกเป็นทวินามโดยใช้โครงร่างของฮอร์เนอร์

A) มาเขียนสัมประสิทธิ์ของพหุนามดั้งเดิมในแถวแรกของตารางกัน

เนื่องจากคำที่มีหายไปในคอลัมน์ของตารางที่ควรเขียนสัมประสิทธิ์เราจึงเขียน 0 ทางด้านซ้ายเราเขียนรูทที่พบ: หมายเลข 1

B) กรอกข้อมูลในแถวแรกของตาราง

ในคอลัมน์สุดท้าย ตามที่คาดไว้ เราได้ศูนย์ เราหารพหุนามเดิมด้วยทวินามโดยไม่มีเศษ ค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามที่เกิดจากการหารจะแสดงเป็นสีน้ำเงินในแถวที่สองของตาราง:

เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าตัวเลข 1 และ -1 ไม่ใช่รากของพหุนาม

B) เรามาต่อตารางกัน ตรวจสอบว่าหมายเลข 2 เป็นรากของพหุนามหรือไม่:

ดังนั้นระดับของพหุนามซึ่งได้มาจากการหารด้วยหนึ่งจึงน้อยกว่าระดับของพหุนามดั้งเดิม ดังนั้นจำนวนสัมประสิทธิ์และจำนวนคอลัมน์จึงน้อยกว่าหนึ่งคอลัมน์

ในคอลัมน์สุดท้าย เราได้ -40 ซึ่งเป็นตัวเลขที่ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น พหุนามจึงหารด้วยทวินามด้วยเศษที่เหลือ และเลข 2 ไม่ใช่รากของพหุนาม

C) ลองตรวจสอบว่าตัวเลข -2 เป็นรากของพหุนามหรือไม่ เนื่องจากความพยายามครั้งก่อนล้มเหลว เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนกับค่าสัมประสิทธิ์ ฉันจะลบบรรทัดที่เกี่ยวข้องกับความพยายามนี้:

ยอดเยี่ยม! เราได้ศูนย์เป็นเศษ ดังนั้น พหุนามจึงถูกแบ่งออกเป็นทวินามโดยไม่มีเศษ ดังนั้น เลข -2 จึงเป็นรากของพหุนาม ค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามที่ได้จากการหารพหุนามด้วยทวินามจะแสดงเป็นสีเขียวในตาราง

ผลจากการหารทำให้เราได้ตรีโกณมิติกำลังสอง ซึ่งรากของมันหาได้ง่ายโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta:

ดังนั้น รากของสมการดั้งเดิมคือ:

{}

คำตอบ: ( }