และคำถามอีกครั้ง: รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานหรือไม่?
ด้วยสิทธิ์เต็ม - สี่เหลี่ยมด้านขนานเพราะมันมี และ (จำคุณลักษณะของเรา 2)
ขอย้ำอีกครั้ง เนื่องจากสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังนั้น มันจึงต้องมีคุณสมบัติทั้งหมดของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งหมายความว่าในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน มุมตรงข้ามจะเท่ากัน ด้านตรงข้ามจะขนานกัน และเส้นทแยงมุมจะแบ่งครึ่งที่จุดตัดกัน
คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
ดูภาพ:
เช่นเดียวกับในกรณีของสี่เหลี่ยมผืนผ้า คุณสมบัติเหล่านี้มีความโดดเด่น กล่าวคือ สำหรับแต่ละคุณสมบัติเหล่านี้ เราสามารถสรุปได้ว่านี่ไม่ใช่แค่สี่เหลี่ยมด้านขนาน แต่เป็นสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
สัญญาณของเพชร
และขอย้ำอีกครั้งว่า ต้องไม่ใช่แค่รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีเส้นทแยงมุมตั้งฉากเท่านั้น แต่ต้องมีรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานด้วย ตรวจสอบให้แน่ใจว่า:
ไม่ แน่นอน แม้ว่าเส้นทแยงมุมจะตั้งฉากกัน แต่เส้นทแยงมุมก็เป็นเส้นแบ่งครึ่งของมุม และ แต่... เส้นทแยงมุมจะไม่ถูกแบ่งครึ่งตามจุดตัด ดังนั้น จึงไม่ใช่สี่เหลี่ยมด้านขนาน และดังนั้นจึงไม่ใช่สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
นั่นคือสี่เหลี่ยมจัตุรัสก็คือสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนในเวลาเดียวกัน มาดูกันว่าเกิดอะไรขึ้น
ชัดเจนไหมว่าทำไม? - รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือเส้นแบ่งครึ่งของมุม A ซึ่งเท่ากับ ซึ่งหมายความว่าจะแบ่ง (และ) ออกเป็นสองมุมตาม
มันค่อนข้างชัดเจน: เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากัน เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจะตั้งฉากกัน และโดยทั่วไปแล้ว สี่เหลี่ยมด้านขนานของเส้นทแยงมุมจะถูกแบ่งครึ่งตามจุดตัด
ระดับกลาง
คุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยมด้านขนาน
คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ความสนใจ! คำ " คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน“หมายความว่าถ้าอยู่ในงานของคุณ มีสี่เหลี่ยมด้านขนาน แล้วจึงใช้สิ่งต่อไปนี้ได้ทั้งหมด
ทฤษฎีบทเกี่ยวกับคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ในสี่เหลี่ยมด้านขนานใดๆ:
เรามาทำความเข้าใจว่าทำไมทั้งหมดนี้ถึงเป็นความจริง เราจะพิสูจน์ทฤษฎีบท.
แล้วทำไม 1) ถึงเป็นจริงล่ะ?
หากเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแล้ว:
- นอนกากบาท
- โกหกเหมือนไม้กางเขน
ซึ่งหมายความว่า (ตามเกณฑ์ II: และ - ทั่วไป)
นั่นสินะ นั่นสินะ! - พิสูจน์แล้ว
แต่ยังไงซะ! เรายังพิสูจน์แล้ว 2)!
ทำไม แต่(ดูรูป) นั่นก็เพราะว่า
เหลือเพียง 3 เท่านั้น)
เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณยังต้องวาดเส้นทแยงมุมที่สอง
และตอนนี้เราได้เห็นแล้วว่า - ตามคุณลักษณะ II (มุมและด้าน "ระหว่าง" พวกเขา)
คุณสมบัติพิสูจน์แล้ว! มาดูป้ายกันดีกว่า
สัญญาณของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
จำได้ว่าเครื่องหมายสี่เหลี่ยมด้านขนานตอบคำถาม "คุณรู้ได้อย่างไร" ว่ารูปนั้นเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ในไอคอนจะเป็นดังนี้:
ทำไม คงจะดีถ้าเข้าใจว่าทำไม - ก็พอแล้ว แต่ดูสิ:
เราหาได้แล้วว่าทำไมเครื่องหมาย 1 ถึงเป็นจริง.
มันง่ายยิ่งขึ้น! ลองวาดเส้นทแยงมุมอีกครั้ง
ซึ่งหมายความว่า:
และนอกจากนี้ยังเป็นเรื่องง่าย แต่...แตกต่าง!
วิธี, . ว้าว! แต่ยัง - ด้านเดียวภายในด้วยซีแคนต์!
ดังนั้นความจริงจึงหมายความว่า
และถ้าคุณมองจากอีกด้านหนึ่ง - ภายในมีซีแคนต์ด้านเดียว! และนั่นคือเหตุผล
เห็นมั้ยว่ามันสุดยอดขนาดไหน!
และเรียบง่ายอีกครั้ง:
เหมือนกันเลยและ.
โปรดทราบ:ถ้าคุณพบ อย่างน้อยเครื่องหมายหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานในปัญหาของคุณ คุณก็จะได้ อย่างแน่นอนสี่เหลี่ยมด้านขนานและคุณสามารถใช้ ทุกคนคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
เพื่อความชัดเจนที่สมบูรณ์ โปรดดูแผนภาพ:
คุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยมผืนผ้า.
คุณสมบัติสี่เหลี่ยมผืนผ้า:
จุดที่ 1) ค่อนข้างชัดเจน - ท้ายที่สุดแล้ว ลงชื่อ 3 () ก็สำเร็จแล้ว
และจุดที่ 2) - สำคัญมาก- งั้นเรามาพิสูจน์กัน
ซึ่งหมายความว่าทั้งสองด้าน (และ - ทั่วไป)
เนื่องจากสามเหลี่ยมเท่ากัน ด้านตรงข้ามมุมฉากของพวกมันก็เท่ากันเช่นกัน
พิสูจน์แล้ว!
ลองนึกภาพความเท่าเทียมกันของเส้นทแยงมุมเป็นคุณสมบัติพิเศษของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าในบรรดารูปสี่เหลี่ยมด้านขนานทั้งหมด นั่นคือข้อความนี้เป็นจริง ^
มาทำความเข้าใจว่าทำไม?
นี่หมายถึง (หมายถึงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน) แต่ให้เราจำไว้อีกครั้งว่ามันคือสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังนั้น.
วิธี, . แน่นอนว่ามันเป็นไปตามนั้นแต่ละคน! ท้ายที่สุดพวกเขาก็ต้องให้ทั้งหมด!
ดังนั้นพวกเขาจึงพิสูจน์ว่าถ้า สี่เหลี่ยมด้านขนานทันใดนั้น (!) เส้นทแยงมุมก็เท่ากันแล้วก็เป็นเช่นนี้ เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าพอดี.
แต่! ใส่ใจ!เรากำลังพูดถึง สี่เหลี่ยมด้านขนาน! ไม่ใช่แค่ใครก็ได้รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีเส้นทแยงมุมเท่ากันคือรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า และ เท่านั้นสี่เหลี่ยมด้านขนาน!
คุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
และคำถามอีกครั้ง: รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานหรือไม่?
ด้วยสิทธิ์เต็ม - สี่เหลี่ยมด้านขนานเพราะมันมี (จำคุณลักษณะของเรา 2)
ขอย้ำอีกครั้ง เนื่องจากสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน มันจึงต้องมีคุณสมบัติทั้งหมดของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งหมายความว่าในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน มุมตรงข้ามจะเท่ากัน ด้านตรงข้ามขนานกัน และเส้นทแยงมุมจะแบ่งครึ่งที่จุดตัดกัน
แต่ยังมีคุณสมบัติพิเศษอีกด้วย มากำหนดกัน
คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
ทำไม เนื่องจากสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังนั้นเส้นทแยงมุมจึงถูกแบ่งออกเป็นสองส่วน
ทำไม ใช่แล้ว นั่นคือเหตุผล!
กล่าวอีกนัยหนึ่ง เส้นทแยงมุมกลายเป็นเส้นแบ่งครึ่งของมุมของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
เช่นเดียวกับในกรณีของสี่เหลี่ยมคุณสมบัติเหล่านี้คือ โดดเด่นแต่ละอันก็เป็นสัญลักษณ์ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเช่นกัน
สัญญาณของเพชร
ทำไมเป็นเช่นนี้? และดูสิ
นั่นหมายถึง ทั้งคู่สามเหลี่ยมเหล่านี้เป็นหน้าจั่ว
ในการที่จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจะต้อง "กลายเป็น" สี่เหลี่ยมด้านขนานก่อน จากนั้นจึงแสดงลักษณะที่ 1 หรือลักษณะที่ 2
คุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยม
นั่นคือสี่เหลี่ยมจัตุรัสก็คือสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนในเวลาเดียวกัน มาดูกันว่าเกิดอะไรขึ้น
ชัดเจนไหมว่าทำไม? สี่เหลี่ยมจัตุรัส - รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน - คือเส้นแบ่งครึ่งของมุมที่เท่ากับ ซึ่งหมายความว่าจะแบ่ง (และ) ออกเป็นสองมุมตาม
มันค่อนข้างชัดเจน: เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากัน เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจะตั้งฉากกัน และโดยทั่วไปแล้ว สี่เหลี่ยมด้านขนานของเส้นทแยงมุมจะถูกแบ่งครึ่งตามจุดตัด
ทำไม ลองใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับ...
สรุปและสูตรพื้นฐาน
คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน:
- ด้านตรงข้ามเท่ากัน: , .
- มุมตรงข้ามจะเท่ากัน: , .
- มุมด้านหนึ่งรวมกันเป็น: , .
- เส้นทแยงมุมจะถูกแบ่งครึ่งตามจุดตัด: .
คุณสมบัติสี่เหลี่ยมผืนผ้า:
- เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะเท่ากัน: .
- สี่เหลี่ยมผืนผ้าคือสี่เหลี่ยมด้านขนาน (สำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้า คุณสมบัติทั้งหมดของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเป็นไปตามนั้น)
คุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน:
- เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนตั้งฉากกัน:
- เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือเส้นแบ่งครึ่งของมุม: ; - - -
- รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน (สำหรับรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน คุณสมบัติทั้งหมดของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะสมบูรณ์)
คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมจัตุรัส:
สี่เหลี่ยมจัตุรัสคือสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนและสี่เหลี่ยมในเวลาเดียวกัน ดังนั้นสำหรับสี่เหลี่ยมจัตุรัส คุณสมบัติทั้งหมดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจึงเป็นไปตามความเป็นจริง และยัง
ในหลักสูตรของโรงเรียนในบทเรียนเรขาคณิต คุณจะต้องจัดการกับรูปสี่เหลี่ยมหลายประเภท: รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน สี่เหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยมคางหมู สี่เหลี่ยม รูปร่างแรกๆ ที่ต้องศึกษาคือสี่เหลี่ยมและสี่เหลี่ยมจัตุรัส
แล้วสี่เหลี่ยมคืออะไร? คำจำกัดความของโรงเรียนมัธยมศึกษาปีที่ 2 จะมีหน้าตาดังนี้ นี่คือรูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมทั้งสี่ด้านเป็นมุมฉาก เป็นเรื่องง่ายที่จะจินตนาการว่าสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีลักษณะอย่างไร: เป็นรูปที่มีมุมฉาก 4 มุมและมีด้านขนานกันเป็นคู่
เราจะเข้าใจได้อย่างไรเมื่อแก้ไขปัญหาเรขาคณิตอื่นซึ่งเรากำลังเผชิญกับรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน? มีสามสัญญาณหลักโดยที่เราสามารถระบุได้อย่างไม่ผิดเพี้ยนว่าเรากำลังพูดถึงรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า มาเรียกพวกเขาว่า:
- รูปนี้คือรูปสี่เหลี่ยมซึ่งมีมุมทั้งสามเท่ากับ 90°;
- รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่แสดงเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีเส้นทแยงมุมเท่ากัน
- สี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีมุมฉากอย่างน้อยหนึ่งมุม
เป็นเรื่องน่าสนใจที่จะรู้ว่าอะไรคือนูนลักษณะและอาการของมัน
เนื่องจากสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน (เช่น รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้านตรงข้ามขนานกันเป็นคู่) คุณสมบัติและลักษณะเฉพาะทั้งหมดจึงจะครบถ้วน
สูตรคำนวณความยาวด้าน
ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านตรงข้ามมีความเท่ากันและขนานกัน ด้านที่ยาวกว่ามักเรียกว่าความยาว (แสดงด้วย a) ด้านที่สั้นกว่าเรียกว่าความกว้าง (แสดงด้วย b) ในรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากของรูปภาพ ความยาวคือด้าน AB และ CD และความกว้างคือ AC และ B.D และยังตั้งฉากกับฐานด้วย (นั่นคือ ความสูงคือ)
หากต้องการค้นหาด้านข้าง คุณสามารถใช้สูตรด้านล่างนี้ พวกเขาใช้แบบแผนต่อไปนี้: a - ความยาวของสี่เหลี่ยมผืนผ้า, b - ความกว้าง, d - เส้นทแยงมุม (ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของมุมสองมุมที่อยู่ตรงข้ามกัน), S - พื้นที่ของรูป, P - เส้นรอบวง, α - มุมระหว่างเส้นทแยงมุมและความยาว, βเป็นมุมแหลมที่เกิดจากเส้นทแยงมุมทั้งสอง วิธีการหาความยาวด้าน:
- การใช้เส้นทแยงมุมและด้านที่ทราบ: a = √(d² - b²), b = √(d² - a²)
- ขึ้นอยู่กับพื้นที่ของรูปและด้านใดด้านหนึ่ง: a = S / b, b = S / a
- ใช้เส้นรอบวงและด้านที่ทราบ: a = (P - 2 b) / 2, b = (P - 2 a) / 2
- ผ่านเส้นทแยงมุมและมุมระหว่างมันกับความยาว: a = d sinα, b = d cosα
- ผ่านเส้นทแยงมุมและมุม β: a = d sin 0.5 β, b = d cos 0.5 β
ปริมณฑลและพื้นที่
เส้นรอบวงของรูปสี่เหลี่ยมเรียกว่าผลรวมของความยาวของด้านทั้งหมด ในการคำนวณเส้นรอบวงคุณสามารถใช้สูตรต่อไปนี้:
- ผ่านทั้งสองด้าน: P = 2 (a + b)
- ผ่านพื้นที่และด้านใดด้านหนึ่ง: P = (2S + 2a²) / a, P = (2S + 2b²) / b
พื้นที่คือพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นรอบวง- สามวิธีหลักในการคำนวณพื้นที่:
- ผ่านความยาวของทั้งสองด้าน: S = a*b
- ใช้เส้นรอบวงและด้านใดด้านหนึ่งที่รู้จัก: S = (Pa - 2 a²) / 2; S = (Pb - 2 b²) / 2
- แนวทแยงและมุม β: S = 0.5 d² sinβ
ปัญหาในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนมักต้องมีการควบคุมที่ดี คุณสมบัติของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยม- เราแสดงรายการหลัก:
- เส้นทแยงมุมมีค่าเท่ากันและแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน ณ จุดตัดกัน
- เส้นทแยงมุมถูกกำหนดให้เป็นรากของผลรวมของทั้งสองด้านยกกำลังสอง (ต่อจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส)
- เส้นทแยงมุมแบ่งสี่เหลี่ยมผืนผ้าออกเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป
- จุดตัดเกิดขึ้นพร้อมกับจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกกำหนดขอบเขตไว้ และเส้นทแยงมุมก็ตรงกับเส้นผ่านศูนย์กลางของมัน
สูตรต่อไปนี้ใช้ในการคำนวณความยาวของเส้นทแยงมุม:
- ใช้ความยาวและความกว้างของรูป: d = √(a² + b²)
- การใช้รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน: d = 2 R
ความหมายและคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมจัตุรัส
สี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นกรณีพิเศษของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน สี่เหลี่ยมด้านขนาน หรือสี่เหลี่ยมผืนผ้า ความแตกต่างจากตัวเลขเหล่านี้คือมุมทุกมุมถูกต้องและทั้งสี่ด้านเท่ากัน สี่เหลี่ยมจัตุรัสคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนปกติ
รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเรียกว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัสในกรณีต่อไปนี้:
- ถ้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความยาว a และความกว้าง b เท่ากัน
- ถ้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีเส้นทแยงมุมยาวเท่ากันและมีมุมฉากสี่มุมเท่ากัน
คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมจัตุรัสประกอบด้วยคุณสมบัติที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้ทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับสี่เหลี่ยมผืนผ้า รวมถึงคุณสมบัติต่อไปนี้:
- เส้นทแยงมุมตั้งฉากกัน (คุณสมบัติรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน)
- จุดตัดเกิดขึ้นพร้อมกับจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้
- เส้นทแยงมุมทั้งสองแบ่งรูปสี่เหลี่ยมออกเป็นสี่ส่วนเท่า ๆ กันและสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
นี่คือสูตรที่ใช้บ่อยสำหรับ 
การคำนวณองค์ประกอบเส้นรอบวง พื้นที่ และสี่เหลี่ยม:
- เส้นทแยงมุม d = a √2
- เส้นรอบวง P = 4 ก.
- พื้นที่ S = a²
- รัศมีของวงกลมที่ขอบคือครึ่งหนึ่งของเส้นทแยงมุม: R = 0.5 a √2
- รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ถูกกำหนดให้เป็นครึ่งหนึ่งของความยาวของด้าน: r = a / 2
ตัวอย่างคำถามและงาน
มาดูคำถามบางข้อที่คุณอาจพบเมื่อเรียนหลักสูตรคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน และแก้ปัญหาง่ายๆ สองสามข้อ
ปัญหาที่ 1- พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะเปลี่ยนไปอย่างไรถ้าความยาวของด้านเป็นสามเท่า?
สารละลาย : ให้เราแสดงพื้นที่ของรูปดั้งเดิมเป็น S0 และพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีความยาวด้านเป็นสามเท่าเป็น S1 เมื่อใช้สูตรที่กล่าวถึงข้างต้น เราได้: S0 = ab ทีนี้ลองเพิ่มความยาวและความกว้างขึ้น 3 เท่าแล้วเขียน: S1= 3 a 3 b = 9 ab เมื่อเปรียบเทียบ S0 และ S1 จะเห็นได้ชัดว่าพื้นที่ที่สองมีขนาดใหญ่กว่าพื้นที่แรกถึง 9 เท่า
คำถามที่ 1. รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีมุมฉากเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสใช่หรือไม่?
สารละลาย : จากคำนิยาม รูปที่มีมุมฉากจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสก็ต่อเมื่อความยาวของด้านทุกด้านเท่ากัน ในกรณีอื่นๆ รูปจะเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า
ปัญหาที่ 2- เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีมุม 60 องศา ความกว้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ 8 คำนวณว่าเส้นทแยงมุมคืออะไร
สารละลาย:โปรดจำไว้ว่าเส้นทแยงมุมถูกแบ่งครึ่งตามจุดตัด ดังนั้นเราจึงจัดการกับสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีมุมยอด 60° เนื่องจากสามเหลี่ยมเป็นหน้าจั่ว มุมที่ฐานก็จะเท่ากันเช่นกัน จากการคำนวณอย่างง่าย เราจะพบว่าแต่ละอันมีค่าเท่ากับ 60° ตามมาว่าสามเหลี่ยมนั้นมีด้านเท่ากันหมด ความกว้างที่เรารู้คือฐานของสามเหลี่ยม ดังนั้นครึ่งหนึ่งของเส้นทแยงมุมจึงเท่ากับ 8 เช่นกัน และความยาวของเส้นทแยงมุมทั้งหมดมีขนาดใหญ่เป็นสองเท่าและเท่ากับ 16
คำถามที่ 2. สี่เหลี่ยมมีด้านเท่ากันทุกด้านหรือไม่?
สารละลาย : พึงระลึกไว้ว่าทุกด้านจะต้องเท่ากันในสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของสี่เหลี่ยมผืนผ้า ในกรณีอื่นๆ ทั้งหมด เงื่อนไขที่เพียงพอคือการมีมุมฉากอย่างน้อย 3 มุม ความเท่าเทียมกันของทั้งสองฝ่ายไม่ใช่คุณลักษณะบังคับ
ปัญหา 3- ทราบพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสและเท่ากับ 289 ค้นหารัศมีของวงกลมที่จารึกไว้และวงกลมที่ล้อมรอบ
สารละลาย :
เราจะทำการคำนวณต่อไปนี้โดยใช้สูตรสำหรับสี่เหลี่ยมจัตุรัส:
- เรามาพิจารณาว่าองค์ประกอบพื้นฐานของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีค่าเท่ากับเท่าใด: a = √ S = √289 = 17; ง = ก √2 =1 7√2
- ลองคำนวณรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน: R = 0.5 d = 8.5√2
- มาหารัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้: r = a / 2 = 17 / 2 = 8.5
ในบทความนี้เราจะดูที่หลักทั้งหมด คุณสมบัติและลักษณะของรูปสี่เหลี่ยม.
ขั้นแรกฉันจะจัดเรียงรูปสี่เหลี่ยมทุกประเภทในรูปแบบของแผนภาพสรุป:
แผนภาพนี้มีความโดดเด่นตรงที่รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนในแต่ละแถวมีคุณสมบัติทั้งหมดของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่อยู่ด้านบน จึงต้องจำให้น้อยมาก
สี่เหลี่ยมคางหมูคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ซึ่งมีด้านสองด้านขนานกัน และอีกสองด้านไม่ขนานกัน ด้านขนานเรียกว่า ฐานสี่เหลี่ยมคางหมูไม่ขนานกัน - ด้านข้าง.
1
- ในราวสำหรับออกกำลังกาย ผลรวมของมุมที่อยู่ประชิดด้านหนึ่งเท่ากับ 180°: A+B=180°, C+D=180°
2
. เส้นแบ่งครึ่งของมุมใดๆ ของสี่เหลี่ยมคางหมูตัดส่วนเท่ากับด้านข้างที่ฐาน: 
3. เส้นแบ่งครึ่งของมุมที่อยู่ติดกันของสี่เหลี่ยมคางหมูตัดกันที่มุมขวา
4 . เรียกว่าสี่เหลี่ยมคางหมู หน้าจั่วถ้าด้านเท่ากัน:
ในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว
5. พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับผลคูณของผลรวมของฐานและความสูงครึ่งหนึ่ง:
สี่เหลี่ยมด้านขนาน
คือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกันเป็นคู่ 
ในสี่เหลี่ยมด้านขนาน:
- ด้านตรงข้ามและมุมตรงข้ามเท่ากัน
- เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะถูกแบ่งครึ่งโดยจุดตัด:
ดังนั้น หากรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีคุณสมบัติเหล่านี้ ก็จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลคูณของฐานและความสูง:
หรือผลคูณของด้านข้างและไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน:
:
รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ทุกด้านเท่ากัน:
- มุมตรงข้ามจะเท่ากัน
- เส้นทแยงมุมจะถูกแบ่งครึ่งตามจุดตัด
- เส้นทแยงมุมตั้งฉากกัน
- เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือเส้นแบ่งครึ่งของมุม
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของเส้นทแยงมุม:
หรือผลคูณของกำลังสองของด้านกับไซน์ของมุมระหว่างด้าน:
รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนูนเป็นรูปที่ประกอบด้วยด้านทั้งสี่เชื่อมต่อกันที่จุดยอด โดยประกอบเป็นมุมสี่มุมพร้อมกับด้านข้าง ในขณะที่รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนั้นอยู่ในระนาบเดียวกันเสมอสัมพันธ์กับเส้นตรงที่มีด้านใดด้านหนึ่งอยู่ กล่าวอีกนัยหนึ่ง รูปร่างทั้งหมดอยู่ด้านเดียวกันของด้านใดด้านหนึ่ง
อย่างที่คุณเห็นคำจำกัดความนั้นค่อนข้างง่ายต่อการจดจำ
คุณสมบัติและประเภทพื้นฐาน
รูปทรงที่รู้จักเกือบทั้งหมดซึ่งประกอบด้วยมุมทั้งสี่ด้านและด้านข้างสามารถจำแนกได้เป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนูน สามารถแยกแยะได้ดังต่อไปนี้:
- สี่เหลี่ยมด้านขนาน;
- สี่เหลี่ยม;
- สี่เหลี่ยมผืนผ้า;
- สี่เหลี่ยมคางหมู;
- รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
ตัวเลขทั้งหมดเหล่านี้ไม่เพียงแต่รวมกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมเท่านั้น แต่ยังรวมถึงข้อเท็จจริงที่ว่ามันนูนด้วย เพียงแค่ดูแผนภาพ:
รูปนี้แสดงสี่เหลี่ยมคางหมูนูน- จากนี้คุณจะเห็นได้ว่าสี่เหลี่ยมคางหมูอยู่บนระนาบเดียวกันหรือด้านใดด้านหนึ่งของส่วน หากคุณทำการกระทำที่คล้ายกัน คุณจะพบว่าในกรณีของด้านอื่นๆ ทั้งหมด สี่เหลี่ยมคางหมูจะนูนออกมา
สี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนูนหรือไม่?
ด้านบนเป็นภาพสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังจะเห็นได้จากรูป สี่เหลี่ยมด้านขนานก็นูนออกมาเช่นกัน- หากคุณดูตัวเลขที่สัมพันธ์กับเส้นที่ส่วน AB, BC, CD และ AD อยู่ จะเห็นได้ชัดว่าเส้นเหล่านี้อยู่บนระนาบเดียวกันเสมอ ลักษณะสำคัญของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานคือด้านของมันขนานกันเป็นคู่และเท่ากัน เช่นเดียวกับที่มุมตรงข้ามจะเท่ากัน
ตอนนี้ ลองจินตนาการถึงสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือสี่เหลี่ยมผืนผ้า ตามคุณสมบัติพื้นฐาน พวกมันยังเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานด้วย นั่นคือด้านทั้งหมดอยู่ในคู่ขนานกัน เฉพาะในกรณีของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่านั้น ความยาวของด้านจะต่างกันได้ และมุมก็ตั้งฉากกัน (เท่ากับ 90 องศา) สี่เหลี่ยมจัตุรัสก็คือสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ด้านทุกด้านเท่ากันและมุมก็ตั้งฉากด้วย แต่ใน สี่เหลี่ยมด้านขนาน ความยาวของด้านและมุมอาจแตกต่างกันได้
ผลรวมของมุมทั้งสี่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ควรเท่ากับ 360 องศา- วิธีที่ง่ายที่สุดในการระบุสิ่งนี้คือการดูที่สี่เหลี่ยมมุมฉาก มุมทั้งสี่ของสี่เหลี่ยมนั้นอยู่ทางขวา นั่นคือเท่ากับ 90 องศา ผลรวมของมุม 90 องศาเหล่านี้ได้ 360 องศา หรืออีกนัยหนึ่ง ถ้าคุณบวก 90 องศา 4 ครั้ง คุณจะได้ผลลัพธ์ที่ต้องการ
คุณสมบัติของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมนูน
เส้นทแยงมุมของจุดตัดรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนูน- อันที่จริงปรากฏการณ์นี้สามารถสังเกตได้ด้วยสายตาเพียงแค่ดูรูป:
รูปด้านซ้ายแสดงรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนหรือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่ไม่นูน อะไรก็ตาม. อย่างที่คุณเห็น เส้นทแยงมุมไม่ได้ตัดกัน อย่างน้อยก็ไม่ใช่ทั้งหมด ด้านขวาเป็นรูปสี่เหลี่ยมนูน ที่นี่มีคุณสมบัติของเส้นทแยงมุมที่จะตัดกันอยู่แล้ว คุณสมบัติเดียวกันถือได้ว่าเป็นสัญญาณของการนูนของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
คุณสมบัติอื่นและสัญญาณของการนูนของรูปสี่เหลี่ยม
เป็นการยากมากที่จะตั้งชื่อคุณสมบัติและลักษณะเฉพาะใดๆ โดยใช้คำนี้ แยกแยะได้ง่ายกว่าตามประเภทรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนประเภทนี้ คุณสามารถเริ่มต้นด้วยสี่เหลี่ยมด้านขนาน เรารู้แล้วว่านี่คือรูปสี่เหลี่ยมซึ่งมีด้านขนานกันและเป็นคู่เท่ากัน ในเวลาเดียวกันนี้ยังรวมถึงคุณสมบัติของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่จะตัดกันเช่นเดียวกับสัญญาณของความนูนของรูป: สี่เหลี่ยมด้านขนานจะอยู่ในระนาบเดียวกันเสมอและอยู่ด้านเดียวกันสัมพันธ์กับด้านใดด้านหนึ่งของมัน .
ดังนั้น, ทราบคุณสมบัติและคุณสมบัติหลัก:
- ผลรวมของมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือ 360 องศา
- เส้นทแยงมุมของตัวเลขตัดกันที่จุดหนึ่ง
สี่เหลี่ยมผืนผ้า- รูปนี้มีคุณสมบัติและคุณลักษณะเหมือนกันทั้งหมดกับสี่เหลี่ยมด้านขนาน แต่ในขณะเดียวกันมุมทั้งหมดก็เท่ากับ 90 องศา ดังนั้นชื่อ - สี่เหลี่ยมผืนผ้า
สี่เหลี่ยมด้านขนานอันเดียวกันแต่มุมของมันตรงเหมือนสี่เหลี่ยม ด้วยเหตุนี้ สี่เหลี่ยมจัตุรัสจึงไม่ค่อยถูกเรียกว่าสี่เหลี่ยมผืนผ้า แต่ลักษณะเด่นที่สำคัญของสี่เหลี่ยมจัตุรัส นอกเหนือจากที่กล่าวไปแล้วข้างต้น คือ ด้านทั้งสี่ด้านเท่ากัน
สี่เหลี่ยมคางหมูเป็นตัวเลขที่น่าสนใจมาก- นี่คือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนและนูนด้วย ในบทความนี้ มีการตรวจสอบรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโดยใช้ตัวอย่างภาพวาดแล้ว เห็นได้ชัดว่ามันนูนด้วย ความแตกต่างที่สำคัญและด้วยเหตุนี้จึงเป็นสัญญาณของสี่เหลี่ยมคางหมูก็คือด้านของมันอาจมีความยาวไม่เท่ากันโดยสิ้นเชิง รวมถึงค่ามุมด้วย ในกรณีนี้ รูปภาพจะยังคงอยู่ในระนาบเดียวกันเสมอโดยสัมพันธ์กับเส้นใดๆ ที่เชื่อมจุดยอดสองจุดใดๆ ไปตามส่วนที่ประกอบเป็นรูปร่าง
รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนก็เป็นตัวเลขที่น่าสนใจไม่แพ้กัน- บางส่วนรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนถือได้ว่าเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส สัญลักษณ์ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือความจริงที่ว่าเส้นทแยงมุมของมันไม่เพียงตัดกันเท่านั้น แต่ยังแบ่งมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนครึ่งหนึ่งด้วยและเส้นทแยงมุมเองก็ตัดกันเป็นมุมฉากนั่นคือพวกมันตั้งฉากกัน ถ้าความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากัน เมื่อตัดกันเส้นทแยงมุมก็จะถูกแบ่งครึ่งเช่นกัน
เดลทอยด์หรือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนูน (รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน)อาจมีความยาวด้านต่างกัน แต่ในขณะเดียวกันทั้งคุณสมบัติพื้นฐานและลักษณะเฉพาะของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนั้นเองตลอดจนลักษณะและคุณสมบัติของความนูนยังคงได้รับการเก็บรักษาไว้ นั่นคือเราสามารถสังเกตได้ว่าเส้นทแยงมุมตัดมุมและตัดกันที่มุมฉาก
ภารกิจของวันนี้คือการพิจารณาและทำความเข้าใจว่ารูปสี่เหลี่ยมนูนคืออะไร มีลักษณะอย่างไร รวมถึงลักษณะและคุณสมบัติหลัก ความสนใจ! ควรระลึกไว้อีกครั้งว่าผลรวมของมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนูนคือ 360 องศา ตัวอย่างเช่น เส้นรอบวงของรูปจะเท่ากับผลรวมของความยาวของส่วนทั้งหมดที่สร้างรูปนั้น สูตรการคำนวณเส้นรอบวงและพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจะกล่าวถึงในบทความต่อไปนี้
ประเภทของรูปสี่เหลี่ยมนูน
