Unë sugjeroj që pjesa tjetër e lexuesve të zgjerojë ndjeshëm njohuritë e tyre shkollore për parabolat dhe hiperbolat. Hiperbola dhe parabola - a janë të thjeshta? ...Mezi pres =)

Hiperbola dhe ekuacioni i saj kanonik

Struktura e përgjithshme e prezantimit të materialit do të ngjajë me paragrafin e mëparshëm. Le të fillojmë me konceptin e përgjithshëm të hiperbolës dhe detyrën e ndërtimit të saj.

Ekuacioni kanonik i hiperbolës ka formën , ku janë numra realë pozitivë. Ju lutemi vini re se, ndryshe nga elips, kushti nuk vendoset këtu, pra vlera e “a” mund të jetë më e vogël se vlera e “be”.

Duhet të them, krejt papritur... ekuacioni i hiperbolës "shkollë" as që i ngjan shumë shënimit kanonik. Por ky mister do të duhet të na presë akoma, por tani për tani le të gërvishtim kokën dhe të kujtojmë se çfarë tipare karakteristike ka kurba në fjalë? Le ta shpërndajmë në ekranin e imagjinatës sonë grafiku i një funksioni ….

Një hiperbolë ka dy degë simetrike.

Progres jo i keq! Çdo hiperbolë ka këto veti, dhe tani ne do të shikojmë me admirim të vërtetë në qafën e kësaj linje:

Shembulli 4

Ndërtoni hiperbolën e dhënë nga ekuacioni

Zgjidhje: në hapin e parë, e sjellim këtë ekuacion në formën kanonik. Ju lutemi mbani mend procedurën standarde. Në të djathtë ju duhet të merrni "një", kështu që ne ndajmë të dy anët e ekuacionit origjinal me 20:

Këtu mund të zvogëloni të dy fraksionet, por është më optimale të bëni secilën prej tyre trekatëshe:

Dhe vetëm pas kësaj kryeni uljen:

Zgjidhni katrorët në emërues:

Pse është më mirë të kryhen transformime në këtë mënyrë? Në fund të fundit, fraksionet në anën e majtë mund të zvogëlohen dhe të merren menjëherë. Fakti është se në shembullin në shqyrtim ishim pak me fat: numri 20 pjesëtohet si me 4 ashtu edhe me 5. Në rastin e përgjithshëm, një numër i tillë nuk funksionon. Konsideroni, për shembull, ekuacionin . Këtu gjithçka është më e trishtuar me pjesëtueshmëri dhe pa thyesat trekatëshe nuk është më e mundur:

Pra, le të përdorim frytin e punës sonë - ekuacionin kanonik:

Si të ndërtoni një hiperbolë?

Ekzistojnë dy qasje për të ndërtuar një hiperbolë - gjeometrike dhe algjebrike.
Nga pikëpamja praktike, vizatimi me busull... madje do të thosha utopik, ndaj është shumë më fitimprurëse të përdorësh edhe një herë llogaritjet e thjeshta për të ndihmuar.

Këshillohet që t'i përmbaheni algoritmit të mëposhtëm, së pari vizatimin e përfunduar, pastaj komentet:

Në praktikë, shpesh haset një kombinim i rrotullimit nga një kënd arbitrar dhe përkthimi paralel i hiperbolës. Kjo situatë diskutohet në klasë Reduktimi i ekuacionit të linjës së rendit të dytë në formën kanonike.

Parabola dhe ekuacioni i saj kanonik

Eshte mbaruar! Ajo është ajo. Gati për të zbuluar shumë sekrete. Ekuacioni kanonik i një parabole ka formën , ku është një numër real. Është e lehtë të vërehet se në pozicionin e saj standard parabola "shtrihet në anën e saj" dhe kulmi i saj është në origjinë. Në këtë rast, funksioni specifikon degën e sipërme të kësaj linje, dhe funksioni - degën e poshtme. Është e qartë se parabola është simetrike rreth boshtit. Në fakt, pse të shqetësoheni:

Shembulli 6

Ndërtoni një parabolë

Zgjidhje: kulmi është i njohur, le të gjejmë pika shtesë. Ekuacioni përcakton harkun e sipërm të parabolës, ekuacioni përcakton harkun e poshtëm.

Për të shkurtuar regjistrimin e llogaritjeve, ne do të kryejmë llogaritjet "me një furçë":

Për regjistrim kompakt, rezultatet mund të përmblidhen në një tabelë.

Përpara se të kryejmë një vizatim elementar pikë për pikë, le të formulojmë një strikt

Përkufizimi i parabolës:

Një parabolë është bashkësia e të gjitha pikave në rrafsh që janë të barabarta nga një pikë e caktuar dhe një vijë e caktuar që nuk kalon nëpër pikë.

Pika quhet fokusi parabola, vijë e drejtë - drejtoreshë (shkruhen me një "es") parabolat. Konstanta "pe" e ekuacionit kanonik quhet parametri fokal, e cila është e barabartë me distancën nga fokusi në drejtimin. Në këtë rast . Në këtë rast, fokusi ka koordinata, dhe direktoria jepet nga ekuacioni.
Në shembullin tonë:

Përkufizimi i një parabole është edhe më i thjeshtë për t'u kuptuar sesa përkufizimet e një elipsi dhe një hiperbole. Për çdo pikë në një parabolë, gjatësia e segmentit (distanca nga fokusi në pikën) është e barabartë me gjatësinë e pingules (distanca nga pika në drejtimin):

urime! Shumë prej jush kanë bërë një zbulim të vërtetë sot. Rezulton se një hiperbolë dhe një parabolë nuk janë fare grafikë të funksioneve "të zakonshme", por kanë një origjinë të theksuar gjeometrike.

Natyrisht, me një rritje të parametrit fokal, degët e grafikut do të "ngriten" lart e poshtë, duke u afruar pafundësisht afër boshtit. Ndërsa vlera "pe" zvogëlohet, ato do të fillojnë të ngjeshen dhe shtrihen përgjatë boshtit

Ekscentriciteti i çdo parabole është i barabartë me unitetin:

Rrotullimi dhe përkthimi paralel i një parabole

Parabola është një nga linjat më të zakonshme në matematikë dhe do t'ju duhet ta ndërtoni shumë shpesh. Prandaj, ju lutemi kushtojini vëmendje të veçantë paragrafit të fundit të mësimit, ku do të diskutoj opsionet tipike për vendndodhjen e kësaj kurbë.

! shënim : si në rastet me kurbat e mëparshme, është më e saktë të flitet për rrotullim dhe përkthim paralel të boshteve koordinative, por autori do të kufizohet në një version të thjeshtuar të prezantimit, në mënyrë që lexuesi të ketë një kuptim bazë të këtyre shndërrimeve.

Konsideroni një vijë në aeroplan dhe një pikë që nuk shtrihet në këtë vijë. DHE elips, Dhe hiperbolë mund të përkufizohet në një mënyrë të unifikuar si vendndodhja gjeometrike e pikave për të cilat raporti i distancës me një pikë të caktuar me distancën me një drejtëz të caktuar është një vlerë konstante

gradë ε. Në 0 1 - hiperbolë. Parametri ε është ekscentriciteti i elipsit dhe i hiperbolës. Nga vlerat e mundshme pozitive të parametrit ε, një, përkatësisht ε = 1, rezulton të jetë e papërdorur. Kjo vlerë korrespondon me vendndodhjen gjeometrike të pikave të barabarta nga një pikë e caktuar dhe nga një vijë e caktuar.

Përkufizimi 8.1. Vendndodhja e pikave në një rrafsh të barabartë nga një pikë fikse dhe nga një drejtëz fikse quhet parabolë.

Pika fikse quhet fokusi i parabolës, dhe vija e drejtë - drejtimi i një parabole. Në të njëjtën kohë, besohet se ekscentriciteti i parabolës e barabartë me një.

Nga konsideratat gjeometrike rezulton se parabola është simetrike në lidhje me vijën e drejtë pingul me drejtimin dhe kalon nëpër fokusin e parabolës. Kjo vijë e drejtë quhet boshti i simetrisë së parabolës ose thjesht boshti i parabolës. Një parabolë kryqëzon boshtin e saj të simetrisë në një pikë të vetme. Kjo pikë quhet kulmi i parabolës. Ndodhet në mes të segmentit që lidh fokusin e parabolës me pikën e kryqëzimit të boshtit të saj me direktriksin (Fig. 8.3).

Ekuacioni i parabolës. Për të nxjerrë ekuacionin e një parabole, ne zgjedhim në plan origjinën në kulmin e parabolës, si boshti x- boshti i parabolës, drejtimi pozitiv në të cilin përcaktohet nga pozicioni i fokusit (shih Fig. 8.3). Ky sistem koordinativ quhet kanonike për parabolën në fjalë, dhe variablat përkatëse janë kanonike.

Le të shënojmë distancën nga fokusi në drejtimin me p. Ai quhet parametri fokal i parabolës.

Pastaj fokusi ka koordinatat F(p/2; 0), dhe direktoria d përshkruhet nga ekuacioni x = - p/2. Vendndodhja e pikave M(x; y), të barabarta nga pika F dhe nga drejtëza d, jepet nga ekuacioni

Le të bëjmë ekuacionin katror (8.2) dhe të paraqesim të ngjashme. Ne marrim ekuacionin

që quhet ekuacioni kanonik i parabolës.

Vini re se katrori në këtë rast është një transformim ekuivalent i ekuacionit (8.2), pasi të dyja anët e ekuacionit janë jonegative, siç është shprehja nën radikalin.

Lloji i parabolës. Nëse parabola y 2 = x, forma e së cilës e konsiderojmë të njohur, është e ngjeshur me një koeficient 1/(2р) përgjatë boshtit të abshisës, atëherë fitohet një parabolë e formës së përgjithshme, e cila përshkruhet me ekuacionin (8.3).

Shembulli 8.2. Le të gjejmë koordinatat e fokusit dhe ekuacionin e drejtimit të një parabole nëse ajo kalon nga një pikë, koordinatat kanonike të së cilës janë (25; 10).

Në koordinatat kanonike, ekuacioni i parabolës ka formën y 2 = 2px. Meqenëse pika (25; 10) është në parabolë, atëherë 100 = 50p dhe prandaj p = 2. Prandaj, y 2 = 4x është ekuacioni kanonik i parabolës, x = - 1 është ekuacioni i direktrikës së saj, dhe fokusi është në pikën (1; 0 ).

Vetia optike e një parabole. Parabola ka si më poshtë veti optike. Nëse një burim drite vendoset në fokusin e parabolës, atëherë të gjitha rrezet e dritës pas reflektimit nga parabola do të jenë paralele me boshtin e parabolës (Fig. 8.4). Vetia optike do të thotë që në çdo pikë M të parabolës vektor normal tangjentja bën kënde të barabarta me rrezen fokale MF dhe boshtin e abshisës.

Niveli III

3.1. Hiperbola prek linjat 5 x – 6y – 16 = 0, 13x – 10y– – 48 = 0. Shkruani ekuacionin e hiperbolës, me kusht që boshtet e saj të përkojnë me boshtet koordinative.

3.2. Shkruani ekuacionet për tangjentet e një hiperbole

1) duke kaluar nëpër një pikë A(4, 1), B(5, 2) dhe C(5, 6);

2) paralel me vijën e drejtë 10 x – 3y + 9 = 0;

3) pingul me vijën e drejtë 10 x – 3y + 9 = 0.

Parabolaështë vendndodhja gjeometrike e pikave në rrafsh, koordinatat e të cilit plotësojnë ekuacionin

Parametrat e parabolës:

Pika F(fq/2, 0) quhet fokusi parabolat, madhësia fq – parametri , pika RRETH(0, 0) – krye . Në këtë rast, vija e drejtë OF, rreth së cilës parabola është simetrike, përcakton boshtin e kësaj lakore.

Madhësia Ku M(x, y) – një pikë arbitrare e një parabole, e quajtur rrezja fokale , drejt D: x = –fq/2 – drejtoreshë (nuk e kryqëzon rajonin e brendshëm të parabolës). Madhësia quhet ekscentriciteti i parabolës.

Vetia kryesore karakteristike e një parabole: të gjitha pikat e parabolës janë të barabarta nga drejtimi dhe fokusi (Fig. 24).

Ekzistojnë forma të tjera të ekuacionit kanonik të parabolës që përcaktojnë drejtime të tjera të degëve të tij në sistemin koordinativ (Fig. 25):

Për përkufizimi parametrik i një parabole si parametër t vlera ordinate e pikës së parabolës mund të merret:

Ku tështë një numër real arbitrar.

Shembulli 1. Përcaktoni parametrat dhe formën e një parabole duke përdorur ekuacionin e saj kanonik:

Zgjidhje. 1. Ekuacioni y 2 = –8x përcakton një parabolë me kulm në pikë RRETH Oh. Degët e saj drejtohen në të majtë. Krahasimi i këtij ekuacioni me ekuacionin y 2 = –2px, gjejmë: 2 fq = 8, fq = 4, fq/2 = 2. Prandaj, fokusi është në pikë F(–2; 0), ekuacioni direktriks D: x= 2 (Fig. 26).

2. Ekuacioni x 2 = –4y përcakton një parabolë me kulm në pikë O(0; 0), simetrike rreth boshtit Oy. Degët e saj janë të drejtuara poshtë. Krahasimi i këtij ekuacioni me ekuacionin x 2 = –2py, gjejmë: 2 fq = 4, fq = 2, fq/2 = 1. Prandaj, fokusi është në pikën F(0; –1), ekuacioni direktriks D: y= 1 (Fig. 27).

Shembulli 2. Përcaktoni parametrat dhe llojin e kurbës x 2 + 8x – 16y– 32 = 0. Bëni një vizatim.

Zgjidhje. Le të transformojmë anën e majtë të ekuacionit duke përdorur metodën e nxjerrjes së plotë të katrorit:

x 2 + 8x– 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16 – 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16y – 48 =0;

(x + 4) 2 – 16(y + 3).

Si rezultat marrim

(x + 4) 2 = 16(y + 3).

Ky është ekuacioni kanonik i një parabole me kulmin në pikën (–4, –3), parametri fq= 8, degët e drejtuara lart (), boshti x= –4. Fokusi është te pika F(–4; –3 + fq/2), d.m.th. F(–4; 1) Drejtoresha D dhënë nga ekuacioni y = –3 – fq/2 ose y= –7 (Fig. 28).

Shembulli 4. Shkruani një ekuacion për një parabolë me kulmin e saj në pikë V(3; -2) dhe fokusohuni në pikën F(1; –2).

Zgjidhje. Kulmi dhe fokusi i një parabole të caktuar shtrihen në një vijë të drejtë paralele me boshtin kau(të njëjtat ordinata), degët e parabolës janë të drejtuara në të majtë (abshisa e fokusit është më e vogël se abshisa e kulmit), distanca nga fokusi në kulm është fq/2 = 3 – 1 = 2, fq= 4. Prandaj, ekuacioni i kërkuar

(y+ 2) 2 = –2 4( x- 3) ose ( y + 2) 2 = = –8(x – 3).

Detyrat për zgjidhje të pavarur

I niveloj

1.1. Përcaktoni parametrat e parabolës dhe ndërtoni atë:

1) y 2 = 2x; 2) y 2 = –3x;

3) x 2 = 6y; 4) x 2 = –y.

1.2. Shkruani ekuacionin e një parabole me kulmin e saj në origjinë nëse e dini se:

1) parabola ndodhet në gjysmëplanin e majtë në mënyrë simetrike në lidhje me boshtin kau Dhe fq = 4;

2) parabola ndodhet në mënyrë simetrike në lidhje me boshtin Oy dhe kalon nëpër pikë M(4; –2).

3) direktriksi jepet nga ekuacioni 3 y + 4 = 0.

1.3. Shkruani një ekuacion për një kurbë, të gjitha pikat e së cilës janë të barabarta nga pika (2; 0) dhe drejtëza x = –2.

Niveli II

2.1. Përcaktoni llojin dhe parametrat e kurbës.

6. Teorema mbi zbërthimin e një përcaktori në një shumë të përcaktorëve dhe pasojat prej tij.

7. Teorema mbi zgjerimin e përcaktorit në elementet e një rreshti (kolone) dhe pasojat e saj.

8. Veprimet mbi matricat dhe vetitë e tyre. Vërtetoni njërën prej tyre.

9. Operacioni i transpozimit të matricës dhe vetitë e tij.

10. Përkufizimi i një matrice inverse. Vërtetoni se çdo matricë e kthyeshme ka vetëm një përmbysje.

13. Matricat e bllokut. Mbledhja dhe shumëzimi i matricave të bllokut. Teorema mbi përcaktorin e një matrice thuajse trekëndore.

14. Teorema mbi përcaktorin e prodhimit të matricave.

15. Teorema mbi ekzistencën e një matrice të anasjelltë.

16.Përcaktimi i renditjes së matricës. Teorema mbi bazën minore dhe rrjedhoja e saj.

17. Koncepti i varësisë lineare të rreshtave dhe kolonave të një matrice. Teorema e renditjes së matricës.

18. Metodat për llogaritjen e rangut të një matrice: metoda e kufirit të të miturve, metoda e shndërrimeve elementare.

19. Zbatimi i shndërrimeve elementare vetëm të rreshtave (vetëm kolonave) për të gjetur matricën e kundërt.

20. Sistemet e ekuacioneve lineare. Kriteri i përputhshmërisë dhe kriteri i sigurisë.

21. Zgjidhja e një sistemi të përbashkët ekuacionesh lineare.

22. Sistemet homogjene të ekuacioneve lineare. Teorema mbi ekzistencën e një sistemi themelor zgjidhjesh.

23. Veprimet lineare mbi vektorët dhe vetitë e tyre. Vërtetoni njërën prej tyre.

24. Përcaktimi i ndryshimit ndërmjet dy vektorëve. Vërtetoni se për çdo vektor dhe ndryshimi ekziston dhe është unik.

25. Përkufizimi i bazës, koordinatat vektoriale në bazë. Teorema mbi zbërthimin e një vektori në lidhje me një bazë.

26. Varësia lineare e vektorëve. Vetitë e konceptit të varësisë lineare, vërtetojnë njërën prej tyre.

28. Sistemet e koordinatave karteziane në hapësirë, në rrafsh dhe në një vijë. Teorema mbi kombinimin linear të vektorëve dhe pasojat prej tij.

29. Nxjerrja e formulave që shprehin koordinatat e një pike në një DCS përmes koordinatave të së njëjtës pikë në një DCS tjetër.

30. Prodhimi pikash i vektorëve. Përkufizimi dhe vetitë themelore.

31. Prodhimi i kryqëzuar i vektorëve. Përkufizimi dhe vetitë themelore.

32. Prodhimi i përzier i vektorëve. Përkufizimi dhe vetitë themelore.

33. Prodhimi vektorial i dyfishtë i vektorëve. Përkufizimi dhe formula për llogaritje (pa vërtetim).

34. Vijat dhe sipërfaqet algjebrike. Teorema mbi pandryshueshmërinë (pandryshueshmërinë) e rendit.

35. Ekuacionet e përgjithshme të rrafshit dhe drejtëzës.

36. Ekuacionet parametrike të drejtëzës dhe rrafshit.

37. Kalimi nga ekuacionet e përgjithshme të rrafshit dhe drejtëzës në rrafsh në ekuacionet e tyre parametrike. Kuptimi gjeometrik i koeficientëve a, b, c (a, b) në ekuacionin e përgjithshëm të një rrafshi (vijë e drejtë në një rrafsh).

38. Eliminimi i një parametri nga ekuacionet parametrike në një plan (në hapësirë), ekuacione kanonike të një drejtëze.

39. Ekuacionet vektoriale të drejtëzës dhe rrafshit.

40. Ekuacionet e përgjithshme të drejtëzës në hapësirë, reduktimi në trajtë kanonike.

41. Largësia nga një pikë në një plan. Largësia nga një pikë në një vijë. Probleme të tjera në lidhje me linjat dhe aeroplanët.

42. Përkufizimi i një elipsi. Ekuacioni kanonik i një elipsi. Ekuacionet parametrike të elipsës. Ekscentriciteti i elipsit.

44. Përkufizimi i një parabole. Nxjerrja e ekuacionit kanonik të parabolës.

45. Lakoret e rendit të dytë dhe klasifikimi i tyre. Teorema kryesore rreth kvp.

45. Sipërfaqet e rendit të dytë dhe klasifikimi i tyre. Teorema kryesore rreth pvp. Sipërfaqet e rrotullimit.

47.Përkufizimi i hapësirës lineare. Shembuj.

49. Përkufizimi i hapësirës Euklidiane. Gjatësia e vektorit. Këndi ndërmjet vektorëve. Pabarazia Cauchy-Bunyakovsky. Shembull.

50. Përkufizimi i hapësirës Euklidiane. Teorema e Pitagorës. Shembull i pabarazisë së trekëndëshit.

44. Përkufizimi i një parabole. Nxjerrja e ekuacionit kanonik të parabolës.

Përkufizimi: Parabola është vendndodhja e pikave në një rrafsh për të cilin distanca në një pikë fikse F të këtij rrafshi është e barabartë me distancën nga një vijë e drejtë fikse. Pika F quhet fokusi i parabolës, dhe vija fikse quhet drejtimi i parabolës.

Për të nxjerrë ekuacionin, le të ndërtojmë:

ME sipas përkufizimit:

Meqenëse 2 >=0, parabola shtrihet në gjysmërrafshin e djathtë. Ndërsa x rritet nga 0 në pafundësi
. Parabola është simetrike për Ox. Pika e prerjes së një parabole me boshtin e saj të simetrisë quhet kulmi i parabolës.

45. Lakoret e rendit të dytë dhe klasifikimi i tyre. Teorema kryesore rreth kvp.

Ekzistojnë 8 lloje të KVP:

1.elipsa

2.hiperbolat

3.parabola

Kurbat 1,2,3 janë seksione kanonike. Nëse e presim konin me një rrafsh paralel me boshtin e konit, marrim një hiperbolë. Nëse rrafshi është paralel me gjeneratorin, atëherë ai është një parabolë. Të gjithë rrafshet nuk kalojnë nëpër kulmin e konit. Nëse është ndonjë aeroplan tjetër, atëherë është një elips.

4. çift drejtëzash paralele y 2 +a 2 =0, a0

5. çift drejtëzash prerëse y 2 -k 2 x 2 =0

6.një drejtëz y 2 =0

7.një pikë x 2 + y 2 =0

8. grup bosh - kurba boshe (lakore pa pika) x 2 + y 2 +1=0 ose x 2 + 1=0

Teorema (teorema kryesore rreth KVP): Ekuacioni i formës

a 11 x 2 + 2 a 12 x y + a 22 y 2 + 2 a 1 x + 2a 2 y+a 0 = 0

mund të përfaqësojë vetëm një kurbë të një prej këtyre tetë llojeve.

Ideja e provësështë kalimi në një sistem koordinativ në të cilin ekuacioni KVP do të marrë formën më të thjeshtë, kur lloji i kurbës që përfaqëson bëhet i dukshëm. Teorema vërtetohet duke rrotulluar sistemin koordinativ përmes një këndi në të cilin termi me prodhimin e koordinatave zhduket. Dhe me ndihmën e transferimit paralel të sistemit koordinativ në të cilin ose termi me ndryshoren x ose termi me ndryshoren y zhduket.

Kalimi në një sistem të ri koordinativ: 1. Transferimi paralel

2. Rrotulloni

45. Sipërfaqet e rendit të dytë dhe klasifikimi i tyre. Teorema kryesore rreth pvp. Sipërfaqet e rrotullimit.

P VP - një grup pikash, koordinatat drejtkëndore të të cilave plotësojnë ekuacionin e shkallës së dytë: (1)

Supozohet se të paktën një nga koeficientët e katrorëve ose produkteve është i ndryshëm nga 0. Ekuacioni është i pandryshueshëm në lidhje me zgjedhjen e sistemit të koordinatave.

TeoremaÇdo rrafsh kryqëzon PVP përgjatë CVP, me përjashtim të një rasti të veçantë kur i gjithë rrafshi është në seksion (PVP mund të jetë një aeroplan ose një palë planesh).

Ekzistojnë 15 lloje të PVP. Le t'i rendisim ato, duke treguar ekuacionet me të cilat ato specifikohen në sisteme të përshtatshme koordinative. Këto ekuacione quhen kanonike (më të thjeshtat). Ndërtoni imazhe gjeometrike që u korrespondojnë ekuacioneve kanonike duke përdorur metodën e seksioneve paralele: Ndërpritet sipërfaqja me plane koordinative dhe rrafshe paralele me to. Rezultati janë seksione dhe kthesa që japin një ide për formën e sipërfaqes.

1. Elipsoid.

Nëse a=b=c atëherë marrim një sferë.

2. Hiperboloidet.

1). Hiperboloid me një fletë:

Seksioni i hiperboloidit me një fletë sipas planeve koordinative: XOZ:
- hiperbolë.

YOZ:
- hiperbolë.

Aeroplani XOY:
- elips.

2). Hiperboloid me dy fletë.

Origjina është një pikë simetrie.

Planet e koordinatave janë rrafshe të simetrisë.

Aeroplan z = h kryqëzon një hiperboloid përgjatë një elipse
, d.m.th. aeroplan z = h fillon të presë hiperboloidin në | h |  c. Seksioni i një hiperboloidi sipas planeve x = 0 Dhe y = 0 - këto janë hiperbola.

Numrat a, b, c në barazimet (2), (3), (4) quhen gjysmëboshtet e elipsoideve dhe hiperboloideve.

3. Paraboloidet.

1). Paraboloid eliptik:

Seksioni i aeroplanit z = h ka
, Ku
. Nga ekuacioni del qartë se z  0 është një tas i pafund.

Kryqëzimi i avionëve y = h Dhe x= h
- kjo është një parabolë dhe në përgjithësi

2). Paraboloid hiperbolik:

Natyrisht, planet XOZ dhe YOZ janë rrafshe simetrie, boshti z është boshti i paraboloidit. Kryqëzimi i një paraboloidi me një plan z = h- hiperbolat:
,
. Aeroplan z=0 kryqëzon një paraboloid hiperbolik përgjatë dy boshteve
të cilat janë asimptota.

4. Koni dhe cilindrat e rendit të dytë.

1). Një kon është një sipërfaqe
. Koni formohet nga vija të drejta që kalojnë përmes origjinës 0 (0, 0, 0). Seksioni kryq i një koni është një elips me gjysmë boshte
.

2). Cilindra të rendit të dytë.

Ky është një cilindër eliptik
.

Cilado vijë që marrim që kryqëzon elipset dhe është paralele me boshtin Oz, e plotëson këtë ekuacion. Duke lëvizur këtë vijë të drejtë rreth elipsit, ne marrim një sipërfaqe.

G cilindër hiperbolik:

Në rrafshin XOU është një hiperbolë. Ne e lëvizim vijën e drejtë që pret hiperbolën paralelisht me Ozin përgjatë hiperbolës.

Cilindri parabolik:

N dhe aeroplani XOU është një parabolë.

Sipërfaqet cilindrike formohen nga një vijë e drejtë (gjenerative) që lëviz paralel me vetveten përgjatë një vije të caktuar të drejtë (udhëzuese).

10. Çifti i rrafsheve të kryqëzuara

11.Çifti i rrafsheve paralele

12.
- drejt

13. Vija e drejtë - një "cilindër" i ndërtuar në një pikë

14.Një pikë

15.Set bosh

Teorema kryesore rreth PVP:Çdo PVP i përket një prej 15 llojeve të diskutuara më sipër. Nuk ka PVP të tjera.

Sipërfaqet e rrotullimit. Le të jepet PDSC Oxyz dhe në rrafshin Oyz drejtëza e e përcaktuar me ekuacionin F(y,z)=0 (1). Le të krijojmë një ekuacion për sipërfaqen e përftuar duke rrotulluar këtë vijë rreth boshtit Oz. Le të marrim një pikë M(y,z) në vijën e. Kur avioni Oyz rrotullohet rreth Ozit, pika M do të përshkruajë një rreth. Le të jetë N(X,Y,Z) një pikë arbitrare e këtij rrethi. Është e qartë se z=Z.

.

Duke zëvendësuar vlerat e gjetura të z dhe y në ekuacionin (1) marrim barazinë e saktë:
ato. koordinatat e pikës N plotësojnë ekuacionin
. Kështu, çdo pikë në sipërfaqen e rrotullimit plotëson ekuacionin (2). Nuk është e vështirë të vërtetohet se nëse një pikë N(x 1 ,y 1 ,z 1) plotëson ekuacionin (2) atëherë ajo i përket sipërfaqes në fjalë. Tani mund të themi se ekuacioni (2) është ekuacioni i dëshiruar për sipërfaqen e rrotullimit.

"

Gjatë gjithë këtij kapitulli supozohet se është zgjedhur një shkallë e caktuar në plan (në të cilin qëndrojnë të gjitha figurat e konsideruara më poshtë); Merren parasysh vetëm sistemet e koordinatave drejtkëndore me këtë shkallë.

§ 1. Parabola

Një parabolë është e njohur për lexuesin nga një kurs i matematikës shkollore si një kurbë, e cila është grafiku i një funksioni.

(Fig. 76). (1)

Grafiku i çdo trinomi kuadratik

është gjithashtu një parabolë; është e mundur thjesht duke zhvendosur sistemin e koordinatave (nga disa vektorë OO), pra duke transformuar

sigurohuni që grafiku i funksionit (në sistemin e dytë të koordinatave) të përputhet me grafikun (2) (në sistemin e parë të koordinatave).

Në fakt, le të zëvendësojmë (3) në barazi (2). marrim

Ne duam të zgjedhim në mënyrë që koeficienti në dhe termi i lirë i polinomit (në lidhje me ) në anën e djathtë të kësaj barazie të jenë të barabartë me zero. Për ta bërë këtë, ne përcaktojmë nga ekuacioni

që jep

Tani ne përcaktojmë nga gjendja

në të cilën zëvendësojmë vlerën e gjetur tashmë. marrim

Pra, me anë të zhvendosjes (3), në të cilën

kaluam në një sistem të ri koordinativ, në të cilin ekuacioni i parabolës (2) mori formën

(Fig. 77).

Le të kthehemi te ekuacioni (1). Mund të shërbejë si përkufizim i një parabole. Le të kujtojmë vetitë e tij më të thjeshta. Kurba ka një bosht simetrie: nëse një pikë plotëson ekuacionin (1), atëherë një pikë simetrike me pikën M në lidhje me boshtin e ordinatave plotëson gjithashtu ekuacionin (1) - kurba është simetrike në lidhje me boshtin e ordinatës (Fig. 76) .

Nëse , atëherë parabola (1) shtrihet në gjysmërrafshin e sipërm, që ka një pikë të vetme të përbashkët O me boshtin e abshisave.

Me një rritje të pakufizuar të vlerës absolute të abshisës rritet pa kufi edhe ordinata. Pamja e përgjithshme e kurbës është paraqitur në Fig. 76, a.

Nëse (Fig. 76, b), atëherë kurba është e vendosur në gjysmë-rrafshin e poshtëm në mënyrë simetrike në raport me boshtin e abshisë ndaj kurbës.

Nëse kalojmë në një sistem të ri koordinativ, të marrë nga ai i vjetri duke zëvendësuar drejtimin pozitiv të boshtit të ordinatave me atë të kundërt, atëherë parabola, e cila ka ekuacionin y në sistemin e vjetër, do të marrë ekuacionin y në sistemin e ri. sistemi i koordinatave. Prandaj, kur studiojmë parabolat, ne mund të kufizohemi në ekuacionet (1), në të cilat .

Le të ndryshojmë më në fund emrat e boshteve, d.m.th., do të kalojmë në një sistem të ri koordinativ, në të cilin boshti i ordinatave do të jetë boshti i vjetër i abshisave dhe boshti i abshisave do të jetë boshti i vjetër i ordinatave. Në këtë sistem të ri, ekuacioni (1) do të shkruhet në formë

Ose, nëse numri shënohet me , në formë

Ekuacioni (4) quhet në gjeometrinë analitike ekuacioni kanonik i një parabole; sistemi koordinativ drejtkëndor në të cilin një parabolë e dhënë ka ekuacionin (4) quhet sistemi i koordinatave kanonik (për këtë parabolë).

Tani do të përcaktojmë kuptimin gjeometrik të koeficientit. Për ta bërë këtë ne marrim pikën

quhet fokusi i parabolës (4), dhe drejtëza d, e përcaktuar nga ekuacioni

Kjo linjë quhet drejtimi i parabolës (4) (shih Fig. 78).

Le të jetë një pikë arbitrare e parabolës (4). Nga ekuacioni (4) rezulton se, pra, distanca e pikës M nga direktoria d është numri

Distanca e pikës M nga fokusi F është

Por, prandaj

Pra, të gjitha pikat M të parabolës janë të barabarta nga fokusi dhe drejtimi i saj:

Anasjelltas, çdo pikë M që plotëson kushtin (8) shtrihet në parabolën (4).

Me të vërtetë,

Prandaj,

dhe, pas hapjes së kllapave dhe sjelljes së termave të ngjashëm,

Kemi vërtetuar se çdo parabolë (4) është vendndodhja e pikave të barabarta nga fokusi F dhe nga drejtimi d i kësaj parabole.

Në të njëjtën kohë, ne kemi vendosur kuptimin gjeometrik të koeficientit në ekuacionin (4): numri është i barabartë me distancën midis fokusit dhe drejtimit të parabolës.

Le të supozojmë tani se një pikë F dhe një drejtëz d që nuk kalon nga kjo pikë jepen në mënyrë arbitrare në rrafsh. Le të vërtetojmë se ekziston një parabolë me fokus F dhe drejtim d.

Për ta bërë këtë, vizatoni një vijë g përmes pikës F (Fig. 79), pingul me vijën d; le të shënojmë pikën e kryqëzimit të të dy drejtëzave me D; distanca (d.m.th. distanca ndërmjet pikës F dhe drejtëzës d) do të shënohet me .

Le ta kthejmë drejtëzën g në një bosht, duke marrë drejtimin DF mbi të si pozitiv. Le ta bëjmë këtë bosht boshtin e abshisave të një sistemi koordinativ drejtkëndor, origjina e të cilit është O mesi i segmentit

Atëherë drejtëza d gjithashtu merr ekuacionin .

Tani mund të shkruajmë ekuacionin kanonik të parabolës në sistemin e zgjedhur të koordinatave:

ku pika F do të jetë fokusi, dhe drejtëza d do të jetë drejtimi i parabolës (4).

Më sipër konstatuam se një parabolë është vendndodhja e pikave M të barabarta nga pika F dhe drejtëza d. Pra, ne mund të japim një përkufizim të tillë gjeometrik (d.m.th., i pavarur nga çdo sistem koordinativ) i një parabole.

Përkufizimi. Një parabolë është vendndodhja e pikave të barabarta nga një pikë fikse (“fokusi” i parabolës) dhe një vijë fikse (“drejtoria” e parabolës).