Formula frecvență versus timp. Formula de frecvență. Frecventa naturala

1. Unde mecanice, frecventa undelor. Unde longitudinale și transversale.

2. Frontul de val. Viteza si lungimea de unda.

3. Ecuația undelor plane.

4. Caracteristicile energetice ale undei.

5. Unele tipuri speciale de valuri.

6. Efectul Doppler și utilizarea sa în medicină.

7. Anizotropia în timpul propagării undelor de suprafață. Efectul undelor de șoc asupra țesuturilor biologice.

8. Concepte și formule de bază.

9. Sarcini.

2.1. Unde mecanice, frecvența undelor. Unde longitudinale și transversale

Dacă în orice loc al unui mediu elastic (solid, lichid sau gazos) sunt excitate vibrațiile particulelor sale, atunci, datorită interacțiunii dintre particule, această vibrație va începe să se propagă în mediu de la particulă la particulă cu o anumită viteză. v.

De exemplu, dacă un corp oscilant este plasat într-un mediu lichid sau gazos, mișcarea oscilativă a corpului va fi transmisă particulelor mediului adiacent acestuia. Ele, la rândul lor, implică particule învecinate în mișcare oscilativă și așa mai departe. În acest caz, toate punctele mediului vibrează cu aceeași frecvență, egală cu frecvența de vibrație a corpului. Această frecvență se numește frecvența undelor.

Val este procesul de propagare a vibrațiilor mecanice într-un mediu elastic.

Frecvența undelor este frecvența oscilațiilor punctelor mediului în care se propagă unda.

Unda este asociată cu transferul energiei de oscilație de la sursa de oscilații către părțile periferice ale mediului. În același timp, în mediu apar

deformatii periodice care sunt transferate de o unda dintr-un punct al mediului in altul. Particulele mediului în sine nu se mișcă odată cu unda, ci oscilează în jurul pozițiilor lor de echilibru. Prin urmare, propagarea undelor nu este însoțită de transfer de materie.

În funcție de frecvență, undele mecanice sunt împărțite în diferite game, care sunt enumerate în tabel. 2.1.

Tabelul 2.1. Scala de unde mecanice

În funcție de direcția oscilațiilor particulelor în raport cu direcția de propagare a undelor, se disting undele longitudinale și transversale.

Unde longitudinale- unde, în timpul propagării cărora particulele mediului oscilează pe aceeași linie dreaptă de-a lungul căreia se propagă unda. În acest caz, zonele de compresie și rarefacție alternează în mediu.

Pot apărea unde mecanice longitudinale in toate medii (solide, lichide și gazoase).

Unde transversale- unde, în timpul propagării cărora particulele oscilează perpendicular pe direcția de propagare a undei. În acest caz, în mediu apar deformații periodice de forfecare.

În lichide și gaze, forțele elastice apar numai în timpul compresiei și nu apar în timpul forfeinței, prin urmare unde transversale nu se formează în aceste medii. Excepție fac valurile de pe suprafața unui lichid.

2.2. Frontul de val. Viteza si lungimea de unda

În natură, nu există procese care se propagă cu o viteză infinit de mare, prin urmare, o perturbare creată de o influență externă într-un punct al mediului nu va ajunge în alt punct instantaneu, ci după un timp. În acest caz, mediul este împărțit în două regiuni: o regiune ale cărei puncte sunt deja implicate în mișcare oscilativă și o regiune ale cărei puncte sunt încă în echilibru. Suprafața care separă aceste zone se numește frontul de val.

Frontul de val - locul geometric al punctelor la care oscilația (perturbarea mediului) a ajuns în acest moment.

Când o undă se propagă, frontul ei se mișcă, mișcându-se cu o anumită viteză, care se numește viteza undei.

Viteza undei (v) este viteza cu care se mișcă frontul său.

Viteza undei depinde de proprietățile mediului și de tipul undei: undele transversale și longitudinale într-un corp solid se propagă la viteze diferite.

Viteza de propagare a tuturor tipurilor de unde este determinată în condiția unei atenuări slabe a undei prin următoarea expresie:

unde G este modulul efectiv de elasticitate, ρ este densitatea mediului.

Viteza unei unde într-un mediu nu trebuie confundată cu viteza de mișcare a particulelor mediului implicat în procesul undei. De exemplu, atunci când o undă sonoră se propagă în aer, viteza medie de vibrație a moleculelor sale este de aproximativ 10 cm/s, iar viteza unei unde sonore în condiții normale este de aproximativ 330 m/s.

Forma frontului de undă determină tipul geometric al undei. Cele mai simple tipuri de valuri pe această bază sunt apartamentȘi sferic.

Apartament este o undă al cărei front este un plan perpendicular pe direcția de propagare.

Undele plane apar, de exemplu, într-un cilindru de piston închis cu gaz atunci când pistonul oscilează.

Amplitudinea undei plane rămâne practic neschimbată. Scăderea sa ușoară cu distanța față de sursa de undă este asociată cu vâscozitatea mediului lichid sau gazos.

Sferic numită undă al cărei front are forma unei sfere.

Aceasta, de exemplu, este o undă cauzată într-un mediu lichid sau gazos de o sursă sferică pulsatorie.

Amplitudinea unei unde sferice scade cu distanța de la sursă în proporție inversă cu pătratul distanței.

Pentru a descrie o serie de fenomene de undă, cum ar fi interferența și difracția, este utilizată o caracteristică specială numită lungime de undă.

Lungime de undă este distanța pe care se mișcă frontul său într-un timp egal cu perioada de oscilație a particulelor mediului:

Aici v- viteza undei, T - perioada de oscilație, ν - frecvența oscilațiilor punctelor din mediu, ω - frecventa ciclica.

Deoarece viteza de propagare a undelor depinde de proprietățile mediului, lungimea de undă λ la trecerea dintr-un mediu în altul se modifică, în timp ce frecvența ν rămâne la fel.

Această definiție a lungimii de undă are o interpretare geometrică importantă. Să ne uităm la Fig. 2.1 a, care arată deplasările punctelor din mediu la un moment dat în timp. Poziția frontului de undă este marcată de punctele A și B.

După un timp T egal cu o perioadă de oscilație, frontul de undă se va mișca. Pozițiile sale sunt prezentate în Fig. 2.1, b punctele A 1 și B 1. Din figură se poate observa că lungimea de undă λ egală cu distanța dintre punctele adiacente care oscilează în aceeași fază, de exemplu, distanța dintre două maxime sau minime adiacente ale unei perturbări.

Orez. 2.1. Interpretarea geometrică a lungimii de undă

2.3. Ecuația undelor plane

Un val apare ca urmare a influențelor externe periodice asupra mediului. Luați în considerare distribuția apartament undă creată de oscilațiile armonice ale sursei:

unde x și este deplasarea sursei, A este amplitudinea oscilațiilor, ω este frecvența circulară a oscilațiilor.

Dacă un punct din mediu este îndepărtat de sursă la o distanță s, iar viteza undei este egală cu v, atunci perturbația creată de sursă va ajunge în acest punct după timpul τ = s/v. Prin urmare, faza de oscilații în punctul în cauză la momentul t va fi aceeași cu faza de oscilații a sursei în timp (t - s/v), iar amplitudinea oscilaţiilor va rămâne practic neschimbată. Ca urmare, oscilațiile acestui punct vor fi determinate de ecuație

Aici am folosit formule pentru frecvența circulară (ω = 2π/T) și lungimea de undă (λ = v T).

Înlocuind această expresie în formula originală, obținem

Ecuația (2.2), care determină deplasarea oricărui punct din mediu în orice moment, se numește ecuația undelor plane. Argumentul pentru cosinus este mărimea φ = ωt - 2 π s /λ - sunat faza de val.

2.4. Caracteristicile energetice ale undei

Mediul în care se propagă unda are energie mecanică, care este suma energiilor mișcării vibraționale a tuturor particulelor sale. Energia unei particule cu masa m 0 se găsește conform formulei (1.21): E 0 = m 0 Α 2ω 2/2. O unitate de volum a mediului conține n = p/m 0 particule (ρ - densitatea mediului). Prin urmare, o unitate de volum a mediului are energie w р = nЕ 0 = ρ Α 2ω 2 /2.

Densitatea energiei volumetrice(\¥р) - energia mișcării vibraționale a particulelor mediului conținute într-o unitate a volumului său:

unde ρ este densitatea mediului, A este amplitudinea oscilațiilor particulelor, ω este frecvența undei.

Pe măsură ce unda se propagă, energia transmisă de sursă este transferată în zone îndepărtate.

Pentru a descrie cantitativ transferul de energie, sunt introduse următoarele mărimi.

Flux de energie(F) - o valoare egală cu energia transferată de o undă printr-o suprafață dată pe unitate de timp:

Intensitatea undei sau densitatea fluxului de energie (I) - o valoare egală cu fluxul de energie transferat de o undă printr-o unitate de suprafață perpendiculară pe direcția de propagare a undei:

Se poate demonstra că intensitatea unei unde este egală cu produsul dintre viteza de propagare a acesteia și densitatea de energie volumetrică

2.5. Câteva soiuri speciale

valuri

1. Unde de șoc. Când undele sonore se propagă, viteza de vibrație a particulelor nu depășește câțiva cm/s, adică. este de sute de ori mai mică decât viteza undei. Sub perturbări puternice (explozie, mișcarea corpurilor la viteză supersonică, descărcări electrice puternice), viteza particulelor oscilante ale mediului poate deveni comparabilă cu viteza sunetului. Acest lucru creează un efect numit undă de șoc.

În timpul unei explozii, produsele de înaltă densitate încălzite la temperaturi ridicate se extind și comprimă un strat subțire de aer din jur.

Unda de soc - o regiune de tranziție subțire care se propagă cu viteză supersonică, în care are loc o creștere bruscă a presiunii, a densității și a vitezei de mișcare a materiei.

Unda de șoc poate avea o energie semnificativă. Astfel, în timpul unei explozii nucleare, aproximativ 50% din energia totală a exploziei este cheltuită pentru formarea unei unde de șoc în mediu. Unda de șoc, care ajunge la obiecte, poate provoca distrugeri.

2. Unde de suprafață. Alături de undele corpului în medii continue, în prezența limitelor extinse, pot exista unde localizate în apropierea limitelor, care joacă rolul de ghiduri de undă. Acestea sunt, în special, unde de suprafață în lichide și medii elastice, descoperite de fizicianul englez W. Strutt (Lord Rayleigh) în anii 90 ai secolului al XIX-lea. În cazul ideal, undele Rayleigh se propagă de-a lungul limitei semi-spațiului, decadând exponențial în direcția transversală. Ca urmare, undele de suprafață localizează energia perturbațiilor create pe suprafață într-un strat relativ îngust de aproape de suprafață.

Unde de suprafață - undele care se propagă de-a lungul suprafeței libere a unui corp sau de-a lungul limitei unui corp cu alte medii și se atenuează rapid cu distanța față de graniță.

Un exemplu de astfel de valuri sunt undele din scoarța terestră (unde seismice). Adâncimea de penetrare a undelor de suprafață este de mai multe lungimi de undă. La o adâncime egală cu lungimea de undă λ, densitatea de energie volumetrică a undei este de aproximativ 0,05 din densitatea sa volumetrică la suprafață. Amplitudinea deplasării scade rapid cu distanța de la suprafață și practic dispare la o adâncime de mai multe lungimi de undă.

3. Unde de excitație în medii active.

Un mediu activ excitabil, sau activ, este un mediu continuu format dintr-un număr mare de elemente, fiecare dintre ele având o rezervă de energie.

În acest caz, fiecare element poate fi în una dintre cele trei stări: 1 - excitație, 2 - refractaritate (non-excitabilitate pentru un anumit timp după excitare), 3 - repaus. Elementele pot deveni excitate doar dintr-o stare de repaus. Undele de excitare din mediile active se numesc unde auto. Unde automate - Acestea sunt unde autosusținute într-un mediu activ, menținându-și constante caracteristicile datorită surselor de energie distribuite în mediu.

Caracteristicile unei autounde - perioada, lungimea de unda, viteza de propagare, amplitudinea si forma - in stare statica depind doar de proprietatile locale ale mediului si nu depind de conditiile initiale. În tabel 2.2 arată asemănările și diferențele dintre undele auto și undele mecanice obișnuite.

Undele auto pot fi comparate cu răspândirea focului în stepă. Flacăra se extinde pe o zonă cu rezerve de energie distribuite (iarbă uscată). Fiecare element ulterior (fir de iarbă uscat) este aprins de la cel precedent. Și astfel frontul undei de excitație (flacără) se propagă prin mediul activ (iarba uscată). Când două incendii se întâlnesc, flacăra dispare deoarece rezervele de energie sunt epuizate - toată iarba s-a ars.

O descriere a proceselor de propagare a undelor auto în medii active este utilizată pentru a studia propagarea potențialelor de acțiune de-a lungul fibrelor nervoase și musculare.

Tabelul 2.2. Comparație între undele auto și undele mecanice obișnuite

2.6. Efectul Doppler și utilizarea sa în medicină

Christian Doppler (1803-1853) - fizician, matematician, astronom austriac, director al primului institut de fizică din lume.

efectul Doppler constă într-o modificare a frecvenței oscilațiilor percepute de observator datorită mișcării relative a sursei de oscilații și a observatorului.

Efectul se observă în acustică și optică.

Să obținem o formulă care descrie efectul Doppler pentru cazul în care sursa și receptorul undei se mișcă față de mediu de-a lungul aceleiași linii drepte cu viteze v I și, respectiv, v P. Sursă efectuează oscilații armonice cu frecvența ν 0 față de poziția sa de echilibru. Unda creată de aceste oscilații se propagă prin mediu cu o viteză v. Să aflăm ce frecvență a oscilațiilor va fi înregistrată în acest caz receptor.

Perturbațiile create de oscilațiile sursei se propagă prin mediu și ajung la receptor. Luați în considerare o oscilație completă a sursei, care începe la momentul t 1 = 0

şi se termină în momentul t 2 = T 0 (T 0 este perioada de oscilaţie a sursei). Perturbațiile mediului create în aceste momente de timp ajung la receptor în momentele t" 1 și, respectiv, t" 2. În acest caz, receptorul înregistrează oscilații cu o perioadă și o frecvență:

Să găsim momentele t" 1 și t" 2 pentru cazul în care sursa și receptorul se mișcă către unul de altul, iar distanța inițială dintre ele este egală cu S. În momentul t 2 = T 0 această distanță va deveni egală cu S - (v И + v П)T 0 (Fig. 2.2).

Orez. 2.2. Poziția relativă a sursei și a receptorului în momentele t 1 și t 2

Această formulă este valabilă pentru cazul în care vitezele v și v p sunt direcționate către reciproc. În general, la mișcare

sursă și receptor de-a lungul unei linii drepte, formula efectului Doppler ia forma

Pentru sursă, viteza v Și este luată cu semnul „+” dacă se mișcă în direcția receptorului, iar cu semnul „-” în caz contrar. Pentru receptor - în mod similar (Fig. 2.3).

Orez. 2.3. Selectarea semnelor pentru vitezele sursei și receptorului undelor

Să luăm în considerare un caz special de utilizare a efectului Doppler în medicină. Lăsați generatorul de ultrasunete să fie combinat cu un receptor sub forma unui sistem tehnic care este staționar față de mediu. Generatorul emite ultrasunete cu o frecvență ν 0, care se propagă în mediu cu viteza v. Către un anumit corp se deplasează într-un sistem cu o viteză vt. Mai întâi sistemul îndeplinește rolul sursa (v AND= 0), iar corpul este rolul receptorului (v Tl= v T). Unda este apoi reflectată de obiect și înregistrată de un dispozitiv de recepție staționar. În acest caz v И = v T,și v p = 0.

Aplicând formula (2.7) de două ori, obținem o formulă pentru frecvența înregistrată de sistem după reflectarea semnalului emis:

La apropiindu-se obiect la frecvența senzorului a semnalului reflectat crește,și atunci când îndepărtarea – scade.

Măsurând deplasarea frecvenței Doppler, din formula (2.8) puteți găsi viteza de mișcare a corpului reflectorizant:

Semnul „+” corespunde mișcării corpului către emițător.

Efectul Doppler este utilizat pentru a determina viteza fluxului sanguin, viteza de mișcare a valvelor și pereților inimii (ecocardiografie Doppler) și a altor organe. O diagramă a instalației corespunzătoare pentru măsurarea vitezei sângelui este prezentată în Fig. 2.4.

Orez. 2.4. Schema de instalare pentru măsurarea vitezei sângelui: 1 - sursă de ultrasunete, 2 - receptor de ultrasunete

Instalația este formată din două cristale piezoelectrice, dintre care unul este folosit pentru a genera vibrații ultrasonice (efect piezoelectric invers), iar cel de-al doilea este folosit pentru recepționarea ultrasunetelor (efect piezoelectric direct) împrăștiate de sânge.

Exemplu. Determinați viteza fluxului sanguin în arteră dacă, cu contrareflexia ultrasunetelor (ν 0 = 100 kHz = 100.000 Hz, v = 1500 m/s) are loc o schimbare de frecvență Doppler din celulele roșii din sânge ν D = 40 Hz.

Soluţie. Folosind formula (2.9) găsim:

v 0 = v D v /2v 0 = 40X 1500/(2X 100.000) = 0,3 m/s.

2.7. Anizotropia în timpul propagării undelor de suprafață. Efectul undelor de șoc asupra țesuturilor biologice

1. Anizotropia propagării undelor de suprafață. Când se studiază proprietățile mecanice ale pielii folosind unde de suprafață la o frecvență de 5-6 kHz (a nu se confunda cu ultrasunetele), apare anizotropia acustică a pielii. Acest lucru se exprimă prin faptul că viteza de propagare a unei unde de suprafață în direcții reciproc perpendiculare - de-a lungul axelor verticale (Y) și orizontală (X) ale corpului - diferă.

Pentru a cuantifica severitatea anizotropiei acustice, se utilizează coeficientul de anizotropie mecanică, care se calculează prin formula:

Unde v y- viteza de-a lungul axei verticale, v x- de-a lungul axei orizontale.

Coeficientul de anizotropie este considerat pozitiv (K+) dacă v y> v x la v y < v x coeficientul este considerat negativ (K -). Valorile numerice ale vitezei undelor de suprafață în piele și gradul de anizotropie sunt criterii obiective pentru evaluarea diferitelor efecte, inclusiv asupra pielii.

2. Efectul undelor de șoc asupra țesuturilor biologice.În multe cazuri de impact asupra țesuturilor (organelor) biologice, este necesar să se țină cont de undele de șoc rezultate.

De exemplu, o undă de șoc apare atunci când un obiect contondent lovește capul. Prin urmare, la proiectarea căștilor de protecție, se are grijă să absoarbă unda de șoc și să protejeze spatele capului în cazul unui impact frontal. Acest scop este servit de banda interioară din cască, care la prima vedere pare necesară doar pentru ventilație.

Undele de șoc apar în țesuturi atunci când sunt expuse la radiații laser de mare intensitate. Adesea, după aceasta, în piele încep să se dezvolte cicatrici (sau alte modificări). Acest lucru, de exemplu, se întâmplă în procedurile cosmetice. Prin urmare, pentru a reduce efectele nocive ale undelor de șoc, este necesar să se calculeze în prealabil doza de expunere, ținând cont de proprietățile fizice atât ale radiației, cât și ale pielii însăși.

Orez. 2.5. Propagarea undelor de șoc radial

Undele de șoc sunt utilizate în terapia cu unde de șoc radiale. În fig. Figura 2.5 prezintă propagarea undelor de șoc radiale de la aplicator.

Astfel de valuri sunt create în dispozitivele echipate cu un compresor special. Unda de șoc radială este generată printr-o metodă pneumatică. Pistonul situat în manipulator se mișcă cu viteză mare sub influența unui impuls controlat de aer comprimat. Când pistonul lovește aplicatorul montat în manipulator, energia sa cinetică este convertită în energie mecanică a zonei corpului care a fost impactată. În acest caz, pentru a reduce pierderile în timpul transmiterii undelor în spațiul de aer situat între aplicator și piele și pentru a asigura o bună conductivitate a undelor de șoc, se folosește un gel de contact. Mod de funcționare normal: frecvență 6-10 Hz, presiune de funcționare 250 kPa, număr de impulsuri pe sesiune - până la 2000.

1. Pe navă se aprinde o sirenă care semnalizează în ceață, iar după t = 6,6 s se aude un ecou. Cât de departe este suprafața reflectorizante? Viteza sunetului în aer v= 330 m/s.

Soluţie

În timpul t, sunetul parcurge o distanță de 2S: 2S = vt →S = vt/2 = 1090 m. Răspuns: S = 1090 m.

2. Care este dimensiunea minimă a obiectelor pe care liliecii le pot detecta folosind senzorul lor de 100.000 Hz? Care este dimensiunea minimă a obiectelor pe care delfinii le pot detecta folosind o frecvență de 100.000 Hz?

Soluţie

Dimensiunile minime ale unui obiect sunt egale cu lungimea de undă:

λ 1= 330 m/s / 10 5 Hz = 3,3 mm. Aceasta este aproximativ dimensiunea insectelor cu care se hrănesc liliecii;

λ 2= 1500 m/s / 10 5 Hz = 1,5 cm Un delfin poate detecta un pește mic.

Răspuns:λ 1= 3,3 mm; λ 2= 1,5 cm.

3. Mai întâi, o persoană vede un fulger, iar 8 secunde mai târziu aude un tunet. La ce distanţă de el a fulgerat fulgerul?

Soluţie

S = v stea t = 330 X 8 = 2640 m. Răspuns: 2640 m.

4. Două unde sonore au aceleași caracteristici, cu excepția faptului că una are o lungime de undă de două ori mai mare decât cealaltă. Care transportă mai multă energie? De câte ori?

Soluţie

Intensitatea undei este direct proporțională cu pătratul frecvenței (2.6) și invers proporțională cu pătratul lungimii de undă (ω = 2πv/λ ). Răspuns: cel cu lungimea de undă mai scurtă; de 4 ori.

5. O undă sonoră cu o frecvență de 262 Hz se deplasează prin aer cu o viteză de 345 m/s. a) Care este lungimea sa de undă? b) Cât durează până când faza dintr-un punct dat din spațiu se modifică cu 90°? c) Care este diferența de fază (în grade) între punctele aflate la 6,4 cm unul de celălalt?

Soluţie

A) λ =v /ν = 345/262 = 1,32 m;

V) Δφ = 360°s/λ= 360 X 0,064/1,32 = 17,5°. Răspuns: A) λ = 1,32 m; b) t = T/4; V) Δφ = 17,5°.

6. Estimați limita superioară (frecvența) a ultrasunetelor în aer dacă este cunoscută viteza de propagare a acestuia v= 330 m/s. Să presupunem că moleculele de aer au o dimensiune de ordinul d = 10 -10 m.

Soluţie

În aer, o undă mecanică este longitudinală, iar lungimea de undă corespunde distanței dintre cele mai apropiate două concentrații (sau rarefacții) de molecule. Deoarece distanța dintre condensări nu poate fi în niciun fel mai mică decât dimensiunea moleculelor, atunci d = λ. Din aceste considerente avem ν =v /λ = 3,3X 10 12 Hz. Răspuns:ν = 3,3X 10 12 Hz.

7. Două mașini se deplasează una spre alta cu viteze v 1 = 20 m/s și v 2 = 10 m/s. Prima mașină emite un semnal cu o frecvență ν 0 = 800 Hz. Viteza sunetului v= 340 m/s. Ce semnal de frecvență va auzi șoferul celui de-al doilea automobil: a) înainte de întâlnirea mașinilor; b) după ce mașinile se întâlnesc?

8. Pe măsură ce un tren trece, auziți frecvența fluierului său schimbându-se de la ν 1 = 1000 Hz (pe măsură ce se apropie) la ν 2 = 800 Hz (pe măsură ce trenul se îndepărtează). Care este viteza trenului?

Soluţie

Această problemă diferă de cele anterioare prin faptul că nu cunoaștem viteza sursei de sunet - trenul - și frecvența semnalului său ν 0 este necunoscută. Prin urmare, obținem un sistem de ecuații cu două necunoscute:

Soluţie

Lăsa v- viteza vântului și suflă de la o persoană (receptor) la sursa de sunet. Sunt staționari în raport cu pământul, dar în raport cu aerul ambii se deplasează spre dreapta cu viteza u.

Folosind formula (2.7), obținem frecvența sunetului. perceput de o persoană. Este neschimbat:

Răspuns: frecvența nu se va schimba.

Deoarece viteza liniară își schimbă uniform direcția, mișcarea circulară nu poate fi numită uniformă, este uniform accelerată.

Viteză unghiulară

Să alegem un punct pe cerc 1 . Să construim raza. Într-o unitate de timp, punctul se va muta în punct 2 . În acest caz, raza descrie unghiul. Viteza unghiulară este numeric egală cu unghiul de rotație al razei pe unitatea de timp.

Perioada și frecvența

Perioada de rotație T- acesta este timpul în care corpul face o singură revoluție.

Frecvența de rotație este numărul de rotații pe secundă.

Frecvența și perioada sunt interdependente de relație

Relația cu viteza unghiulară

Viteza liniară

Fiecare punct de pe cerc se mișcă cu o anumită viteză. Această viteză se numește liniară. Direcția vectorului de viteză liniară coincide întotdeauna cu tangenta la cerc. De exemplu, scânteile de sub o mașină de șlefuit se mișcă, repetând direcția vitezei instantanee.

Luați în considerare un punct dintr-un cerc care face o revoluție, timpul petrecut este perioada T. Calea pe care o parcurge un punct este circumferința.

Accelerație centripetă

Când se deplasează într-un cerc, vectorul accelerație este întotdeauna perpendicular pe vectorul viteză, îndreptat spre centrul cercului.

Folosind formulele anterioare, putem deriva următoarele relații

Punctele situate pe aceeași linie dreaptă care emană din centrul cercului (de exemplu, acestea ar putea fi puncte care se află pe spițele unei roți) vor avea aceleași viteze unghiulare, perioadă și frecvență. Adică se vor roti în același mod, dar cu viteze liniare diferite. Cu cât un punct este mai departe de centru, cu atât se va mișca mai repede.

Legea adunării vitezelor este valabilă și pentru mișcarea de rotație. Dacă mișcarea unui corp sau a unui cadru de referință nu este uniformă, atunci legea se aplică vitezelor instantanee. De exemplu, viteza unei persoane care merge de-a lungul marginii unui carusel rotativ este egală cu suma vectorială a vitezei liniare de rotație a marginii caruselului și a vitezei persoanei.

Pământul participă la două mișcări principale de rotație: diurnă (în jurul axei sale) și orbitală (în jurul Soarelui). Perioada de rotație a Pământului în jurul Soarelui este de 1 an sau 365 de zile. Pământul se rotește în jurul axei sale de la vest la est, perioada acestei rotații este de 1 zi sau 24 de ore. Latitudinea este unghiul dintre planul ecuatorului și direcția de la centrul Pământului până la un punct de pe suprafața acestuia.

Conform celei de-a doua legi a lui Newton, cauza oricărei accelerații este forța. Dacă un corp în mișcare experimentează o accelerație centripetă, atunci natura forțelor care provoacă această accelerație poate fi diferită. De exemplu, dacă un corp se mișcă în cerc pe o frânghie legată de el, atunci forța care acționează este forța elastică.

Dacă un corp aflat pe un disc se rotește cu discul în jurul axei sale, atunci o astfel de forță este forța de frecare. Dacă forța își oprește acțiunea, atunci corpul va continua să se miște în linie dreaptă

Considerăm mișcarea unui punct pe un cerc de la A la B. Viteza liniară este egală cu v AȘi v B respectiv. Accelerația este modificarea vitezei pe unitatea de timp. Să găsim diferența dintre vectori.

Funcția FREQUENCY este utilizată pentru a determina numărul de apariții ale anumitor valori într-un interval dat și returnează datele ca o matrice de valori. Folosind funcția FREQUENCY, vom învăța cum să calculăm frecvența în Excel.

Exemplu de utilizare a funcției FREQUENCY în Excel

Exemplul 1. Studenții de la una din grupele de la universitate au promovat un examen de fizică. La evaluarea calității examenului, se utilizează un sistem de 100 de puncte. Pentru a determina nota finală folosind un sistem de 5 puncte, se folosesc următoarele criterii:

1. De la 0 la 50 de puncte – examenul nu este promovat.
2. De la 51 la 65 de puncte – scor 3.
3. De la 66 la 85 de puncte – scor 4.
4. Peste 86 de puncte – scor 5.

Pentru statistică, este necesar să se stabilească câți elevi au primit 5, 4, 3 puncte și numărul celor care nu au promovat examenul.

Să introducem datele în tabel:

Pentru a rezolva, selectați zone din 4 celule și introduceți următoarea funcție:

Descrierea argumentelor:

• B3:B20 – matrice de date despre notele elevilor;
• D3:D5 – matrice de criterii pentru găsirea frecvenței de apariție în matricea de date a evaluărilor.

Selectați intervalul F3:F6, apăsați mai întâi tasta F2 și apoi combinația de taste Ctrl+Shift+Enter, astfel încât funcția FREQUENCY să fie executată în matrice. Parantezele () din bara de formule de-a lungul marginilor vor servi drept confirmare că totul a fost făcut corect. Aceasta înseamnă că formula este executată într-o matrice. Ca rezultat obținem:

Adică 6 elevi nu au promovat examenul, notele 3, 4 și 5 au fost primite de 3, 4 și respectiv 5 elevi.



Un exemplu de determinare a probabilității utilizând funcția FREQUENCY în Excel

Exemplul 2. Se știe că dacă există doar două scenarii posibile, probabilitățile primului și al doilea sunt, respectiv, 0,5. De exemplu, probabilitățile de a obține „capete” sau „cozi” pentru o monedă aruncată sunt ½ și ½ (dacă neglijăm posibilitatea ca moneda să cadă pe marginea ei). O distribuție de probabilitate estimată similară se aplică următoarei funcții RANDBETWEEN(1;2), care returnează un număr aleatoriu între 1 și 2. Au fost 20 de calcule folosind această funcție. Determinați probabilitățile reale de apariție a numerelor 1 și, respectiv, 2, pe baza rezultatelor obținute.

Să umplem tabelul original cu valori aleatorii de la 1 la 2:

O funcție specială a fost folosită pentru a determina valori aleatorii în tabelul sursă:

RANDBTREEN(1,2)

Pentru a determina numărul de 1 și 2 generați folosim funcția:

FRECVENȚĂ(A2:A21;1)

Descrierea argumentelor:

• A2:A21 – matrice de valori generate de funcția =RANDBETWEEN(1,2) values;
• 1 – criteriu de căutare (funcția FREQUENTĂ caută valori de la 0 la 1 inclusiv și valori >1).

Ca rezultat obținem:

Să calculăm probabilitățile împărțind numărul de evenimente de fiecare tip la numărul lor total:

Pentru a număra numărul de evenimente, utilizați funcția =COUNT($A$2:$A$21). Sau puteți pur și simplu împărți la valoarea 20. Dacă numărul de evenimente și dimensiunea intervalului cu valori aleatoare nu sunt cunoscute în avans, atunci puteți utiliza o referință la întreaga coloană în argumentele COUNT funcția: =COUNT(A:A). Aceasta va număra automat numărul de numere din coloana A.

Probabilitățile de a rula „1” și „2” sunt 0,45 și, respectiv, 0,55. Asigurați-vă că oferiți celulelor E2:E3 un format procentual pentru a le afișa valorile sub formă de procente: 45% și 55%.

Acum să folosim o formulă mai complexă pentru a calcula rata maximă de repetare:

!}

Formulele din celulele F2 și F3 diferă doar într-un număr după operatorul de comparare „nu este egal”:<>1 și<>2.

Fapt interesant! Folosind această formulă, puteți verifica cu ușurință de ce strategia de dublare a pariurilor în ruleta de cazinou nu funcționează. Această strategie de gestionare a pariurilor în jocurile de noroc se mai numește și Martingale. Faptul este că numărul de repetări aleatorii la rând poate ajunge de 18 ori sau mai mult, adică de optsprezece ori la rând roșu sau negru. De exemplu, dacă dublezi un pariu de 2 USD de 18 ori, aceasta înseamnă deja o reducere de peste jumătate de milion de dolari. Acesta este deja un eșec conform oricărei tehnici de planificare a riscurilor. De asemenea, trebuie avut în vedere că pe lângă „negru” și „roșu”, uneori apare și „zero”, ceea ce distruge complet toate șansele. De asemenea, este interesant că suma tuturor numerelor din ruleta de la 0 la 36 este 666.

Cum se numără valorile care nu se repetă în Excel?

Exemplul 3. Determinați numărul de apariții unice dintr-o matrice de date numerice, adică valori care nu se repetă.

Tabel sursă:

Să determinăm valoarea necesară folosind formula:

!}

În acest caz, funcția FREQUENCY verifică prezența fiecăruia dintre elementele matricei de date în aceeași matrice de date (ambele argumente sunt aceleași). Folosind funcția IF, se specifică o condiție care are următoarea semnificație:

1. Dacă elementul pe care îl căutați se află în intervalul de valori, va fi returnat 1 în loc de numărul real de apariții;
2. Dacă elementul pe care îl căutați nu există, va fi returnat 0 (zero).

Se însumează valoarea rezultată (numărul de unități).

Ca rezultat obținem:

Adică, matricea specificată conține 8 valori unice.

Funcția FREQUENCY în Excel și caracteristicile sintaxei sale

Această funcție are următoarea sintaxă:

Descrierea argumentelor funcției (ambele sunt necesare):

• data_array – date sub forma unui tablou sau o referință la un interval de valori pentru care trebuie determinate frecvențele.
• interval_array - datele în format matrice sau o referință nu sunt un set de valori în care sunt grupate valorile primului argument al acestei funcții.

Note 1:

1. Dacă o matrice goală sau o referință la un interval de valori goale a fost transmisă ca argument range_array, rezultatul funcției FREQUENCY va fi numărul de elemente incluse în intervalul de date care a fost transmis ca prim argument.
2. Când utilizați funcția FREQUENCY ca o funcție Excel obișnuită, va fi returnată valoarea unică corespunzătoare primei apariții în interval_array (adică primul criteriu de căutare a frecvenței de apariție).
3. Matricea de elemente returnate de această funcție conține cu un element mai mult decât numărul de elemente conținute în interval_array. Acest lucru se datorează faptului că funcția FREQUENTĂ calculează și numărul de apariții ale valorilor ale căror valori depășesc limita superioară a intervalelor. De exemplu, în setul de date 2,7, 10, 13, 18, 4, 33, 26, trebuie să găsiți numărul de apariții ale valorilor din intervalele 1 la 10, 11 la 20, 21 la 30, și peste 30. Matricea intervalului ar trebui să conțină numai valorile limită ale acestora, adică 10, 20 și 30. Funcția poate fi scrisă în următoarea formă: =FREQUENCY((2;7;10;13;18;4;33) ;26);(10;20;30)), iar rezultatul executării acesteia va fi o coloană de patru celule care conțin următoarele valori: 4,2, 1, 1. Ultima valoare corespunde numărului de apariții ale numere > 30 în data_array. Există într-adevăr un singur astfel de număr - 33.
4. Dacă data_array conține celule care conțin valori sau text goale, acestea vor fi omise de funcția FREQUENCY în timpul procesului de calcul.

Note 2:

1. Funcția poate fi utilizată pentru a efectua analize statistice, de exemplu, pentru a determina cele mai populare articole de produs în rândul clienților.

FREQUENCY(matrice_date, matrice_interval)

2. Această funcție ar trebui utilizată ca formulă de matrice, deoarece datele pe care le returnează sunt sub formă de matrice. Pentru a executa formule obișnuite, trebuie să apăsați butonul Enter după ce le-ați introdus. În acest caz, trebuie să utilizați combinația de taste Ctrl+Shift+Enter.

Timpul în care are loc o schimbare completă a fem, adică un ciclu de oscilație sau o revoluție completă a vectorului cu rază, se numește perioada de oscilație a curentului alternativ(imaginea 1).

Poza 1. Perioada și amplitudinea unei oscilații sinusoidale. Perioada este timpul unei oscilații; Amplitudinea este cea mai mare valoare instantanee a acesteia.

Perioada este exprimată în secunde și notată cu literă T.

Se folosesc și unități de măsură mai mici ale perioadei: milisecundă (ms) - o miime de secundă și microsecundă (μs) - o milioneme de secundă.

1 ms = 0,001 sec = 10 -3 sec.

1 μs = 0,001 ms = 0,000001 sec = 10 -6 sec.

1000 µs = 1 ms.

Numărul de modificări complete ale f.e.m. sau numărul de rotații ale vectorului rază, adică numărul de cicluri complete de oscilații efectuate prin curent alternativ într-o secundă, se numește Frecvența de oscilație AC.

Frecvența este indicată prin literă f și se exprimă în cicluri pe secundă sau hertzi.

O mie de herți se numește kiloherți (kHz), iar un milion de herți se numește megaherți (MHz). Există, de asemenea, o unitate de gigaherți (GHz) egală cu o mie de megaherți.

1000 Hz = 10 3 Hz = 1 kHz;

1000 000 Hz = 10 6 Hz = 1000 kHz = 1 MHz;

1000 000 000 Hz = 10 9 Hz = 1000 000 kHz = 1000 MHz = 1 GHz;

Cu cât EMF se modifică mai repede, adică cu cât vectorul rază se rotește mai repede, cu atât perioada de oscilație este mai scurtă Cu cât vectorul rază se rotește mai repede, cu atât frecvența este mai mare. Astfel, frecvența și perioada curentului alternativ sunt mărimi invers proporționale între ele. Cu cât unul dintre ele este mai mare, cu atât celălalt este mai mic.

Relația matematică dintre perioada și frecvența curentului alternativ și a tensiunii este exprimată prin formule

De exemplu, dacă frecvența curentă este de 50 Hz, atunci perioada va fi egală cu:

T = 1/f = 1/50 = 0,02 sec.

Și invers, dacă se știe că perioada curentului este de 0,02 sec, (T = 0,02 sec.), atunci frecvența va fi egală cu:

f = 1/T=1/0,02 = 100/2 = 50 Hz

Frecvența curentului alternativ utilizat pentru iluminat și în scopuri industriale este exact de 50 Hz.

Frecvențele între 20 și 20.000 Hz se numesc frecvențe audio. Curenții din antenele stațiilor radio fluctuează cu frecvențe de până la 1.500.000.000 Hz sau, cu alte cuvinte, până la 1.500 MHz sau 1,5 GHz. Aceste frecvențe înalte se numesc frecvențe radio sau vibrații de înaltă frecvență.

În cele din urmă, curenții din antenele stațiilor radar, stațiilor de comunicații prin satelit și ale altor sisteme speciale (de exemplu, GLANASS, GPS) fluctuează cu frecvențe de până la 40.000 MHz (40 GHz) și mai mari.

Amplitudinea curentului AC

Se numește cea mai mare valoare pe care o atinge emf sau curentul într-o perioadă amplitudinea emf sau a curentului alternativ. Este ușor de observat că amplitudinea pe scară este egală cu lungimea vectorului rază. Amplitudinile curentului, EMF și tensiunea sunt indicate prin litere, respectiv Eu, Em și Um (imaginea 1).

Frecvența unghiulară (ciclică) a curentului alternativ.

Viteza de rotație a vectorului cu rază, adică modificarea unghiului de rotație într-o secundă, se numește frecvența unghiulară (ciclică) a curentului alternativ și este notă cu litera greacă. ? (omega). Unghiul de rotație al vectorului cu rază la un moment dat față de poziția sa inițială este de obicei măsurat nu în grade, ci în unități speciale - radiani.

Un radian este valoarea unghiulară a unui arc de cerc, a cărui lungime este egală cu raza acestui cerc (Figura 2). Întregul cerc care formează 360° este egal cu 6,28 radiani, adică 2.

Figura 2.

1rad = 360°/2

În consecință, sfârșitul vectorului rază pe parcursul unei perioade acoperă un drum egal cu 6,28 radiani (2). Deoarece într-o secundă vectorul rază face un număr de rotații egal cu frecvența curentului alternativ f, apoi într-o secundă capătul său acoperă un drum egal cu 6,28*f radian. Această expresie care caracterizează viteza de rotație a vectorului rază va fi frecvența unghiulară a curentului alternativ - ? .

? = 6,28*f = 2f

Se numește unghiul de rotație al vectorului rază în orice moment dat față de poziția sa inițială faza AC. Faza caracterizează mărimea EMF (sau curentul) la un moment dat sau, după cum se spune, valoarea instantanee a EMF, direcția acestuia în circuit și direcția schimbării sale; faza indică dacă FEM este în scădere sau în creștere.

Figura 3.

O rotație completă a vectorului rază este de 360°. Odată cu începutul unei noi revoluții a vectorului rază, EMF se modifică în aceeași ordine ca în timpul primei revoluții. În consecință, toate fazele CEM vor fi repetate în aceeași ordine. De exemplu, faza EMF atunci când vectorul rază este rotit cu un unghi de 370° va fi aceeași ca atunci când este rotit cu 10°. În ambele cazuri, vectorul rază ocupă aceeași poziție și, prin urmare, valorile instantanee ale emf vor fi aceleași în fază în ambele cazuri.