Derivată a exponenţialului la puterea x. Derivată a lui e la puterea lui x și o funcție exponențială Derivată a funcției e la puterea lui x

Multe numere și-au căpătat amploarea și semnificația superstițioasă în vremurile străvechi. În zilele noastre, li se adaugă noi mituri. Există multe legende despre numărul pi celebrele numere Fibonacci nu sunt cu mult mai puțin faimoase decât acesta. Dar poate cel mai surprinzător lucru este numărul e, de care nu se poate lipsi matematica modernă, fizică și chiar economie.

Valoarea aritmetică a lui e este de aproximativ 2,718. De ce nu exact, ci aproximativ? Deoarece acest număr este irațional și transcendental, nu poate fi exprimat ca o fracție cu numere întregi naturale sau ca un polinom cu coeficienți raționali. Pentru majoritatea calculelor, precizia specificată de 2,718 este suficientă, deși nivelul modern al tehnologiei de calcul permite ca valoarea acesteia să fie determinată cu o precizie de peste un trilion de zecimale.

Caracteristica principală a numărului e este că derivata funcției sale exponențiale f (x) = e x este egală cu valoarea funcției e x însăși. Nicio altă relație matematică nu are o proprietate atât de neobișnuită. Să vorbim despre asta mai detaliat.

Ce este o limită

În primul rând, să înțelegem conceptul de limită. Luați în considerare o expresie matematică, de exemplu, i = 1/n. Poti vedea, că pe măsură ce „n” crește", valoarea lui "i" va scădea, iar pe măsură ce "n" tinde spre infinit (care este indicat de semnul ∞), "i" va tinde către valoarea limită (numită mai des doar limită) egală cu zero. Expresia pentru limita (notată ca lim) pentru cazul în cauză poate fi scrisă ca lim n →∞ (1/ n) = 0.

Există limite diferite pentru diferite expresii. Una dintre aceste limite, inclusă în manualele sovietice și rusești ca a doua limită remarcabilă, este expresia lim n →∞ (1+1/ n) n. Deja în Evul Mediu s-a stabilit că limita acestei expresii este numărul e.

Prima limită remarcabilă include expresia lim n →∞ (Sin n / n) = 1.

Cum să găsiți derivata lui e x - în acest videoclip.

Care este derivata unei functii

Pentru a explica conceptul de derivată, ar trebui să ne amintim ce este o funcție în matematică. Pentru a nu aglomera textul cu definiții complexe, ne vom concentra pe conceptul matematic intuitiv al unei funcții, care constă în faptul că în ea una sau mai multe mărimi determină complet valoarea unei alte mărimi dacă sunt interdependente. De exemplu, în formula S = π ∙ r 2 aria unui cerc, valoarea razei r determină complet și unic aria cercului S.

În funcție de tip, funcțiile pot fi algebrice, trigonometrice, logaritmice etc. Pot avea două, trei sau mai multe argumente interconectate. De exemplu, distanța parcursă S, pe care o parcurge un obiect cu o viteză uniform accelerată, este descrisă de funcția S = 0,5 ∙ a ∙ t 2 + V ∙ t, unde „t” este timpul de mișcare, argumentul „a ” este accelerația (poate fi o valoare pozitivă sau negativă) iar „V” este viteza inițială de mișcare. Astfel, distanța parcursă depinde de valorile a trei argumente, dintre care două („a” și „V”) sunt constante.

Să folosim acest exemplu pentru a demonstra conceptul elementar de derivată a unei funcții. Caracterizează rata de schimbare a funcției la un punct dat. În exemplul nostru, aceasta va fi viteza de mișcare a obiectului la un anumit moment de timp. Cu constante „a” și „V”, depinde numai de timpul „t”, adică, în limbajul științific, trebuie să luați derivata funcției S în raport cu timpul „t”.

Acest proces se numește diferențiere și se realizează prin calcularea limitei raportului dintre creșterea unei funcții și creșterea argumentului său cu o cantitate neglijabil de mică. Rezolvarea unor astfel de probleme pentru funcții individuale este adesea dificilă și nu este discutată aici. De asemenea, este de remarcat faptul că unele funcții în anumite puncte nu au deloc astfel de limite.

În exemplul nostru, derivata Sîn timp „t” va lua forma S" = ds/dt = a ∙ t + V, din care se poate observa că viteza S" se modifică după o lege liniară în funcție de „t”.

Derivată a exponentului

O funcție exponențială se numește funcție exponențială, a cărei bază este numărul e. Este de obicei afișată sub forma F (x) = e x, unde exponentul x este o mărime variabilă. Această funcție are diferențiabilitate completă pe întregul interval de numere reale. Pe măsură ce x crește, acesta crește constant și este întotdeauna mai mare decât zero. Funcția sa inversă este logaritmul.

Celebrul matematician Taylor a reușit să extindă această funcție într-o serie numită după el e x = 1 + x/1! + x 2 /2! + x 3 /3! + … în intervalul x de la - ∞ la + ∞.

Legea bazată pe această funcție, se numește exponențial. El descrie:

• creșterea ratelor dobânzilor bancare compuse;
• creșterea populației animale și a populației globale;
• rigor mortis timp și multe altele.

Să repetăm ​​încă o dată proprietatea remarcabilă a acestei dependențe - valoarea derivatei sale în orice punct este întotdeauna egală cu valoarea funcției în acest punct, adică (e x)" = e x.

Să prezentăm derivatele pentru cele mai generale cazuri ale exponențialului:

• (e ax)" = a ∙ e ax;
• (e f (x))" = f"(x) ∙ e f (x) .

Folosind aceste dependențe, este ușor să găsiți derivate pentru alte tipuri particulare ale acestei funcții.

Câteva fapte interesante despre numărul e

Numele unor oameni de știință precum Napier, Oughtred, Huygens, Bernoulli, Leibniz, Newton, Euler și alții sunt asociate cu acest număr. Acesta din urmă a introdus de fapt notația e pentru acest număr și a găsit și primele 18 semne, folosind seria e = 1 + 1/1 pe care a descoperit-o pentru calcul! + 2/2! + 3/3! ...

Numărul e apare în cele mai neașteptate locuri. De exemplu, este inclusă în ecuația catenară, care descrie căderea unei frânghii sub propria greutate atunci când capetele sale sunt fixate pe suporturi.

Video

Tema lecției video este derivata funcției exponențiale.

Demonstrarea și derivarea formulelor pentru derivata exponențialului (e la puterea x) și a funcției exponențiale (a la puterea x). Exemple de calculare a derivatelor lui e^2x, e^3x și e^nx. Formule pentru derivate de ordin superior.

Conţinut

Vezi si: Funcție exponențială - proprietăți, formule, grafic
Exponent, e la puterea x - proprietăți, formule, grafic

Formule de bază

Derivata unui exponent este egală cu exponentul însuși (derivata lui e la puterea x este egală cu e la puterea x):
(1) (e x )′ = e x.

Derivata unei functii exponentiale cu baza a este egala cu functia insasi inmultita cu logaritmul natural al lui a:
(2) .

O exponențială este o funcție exponențială a cărei bază este egală cu numărul e, care este următoarea limită:
.
Aici poate fi fie un număr natural, fie un număr real. În continuare, derivăm formula (1) pentru derivata exponențialului.

Derivarea formulei derivate exponenţiale

Luați în considerare exponențialul, e la puterea x:
y = e x .
Această funcție este definită pentru toată lumea. Să găsim derivata ei în raport cu variabila x. Prin definiție, derivata este următoarea limită:
(3) .

Să transformăm această expresie pentru a o reduce la proprietăți și reguli matematice cunoscute. Pentru a face acest lucru avem nevoie de următoarele fapte:
A) Proprietatea exponentului:
(4) ;
B) Proprietatea logaritmului:
(5) ;
ÎN) Continuitatea logaritmului și proprietatea limitelor pentru o funcție continuă:
(6) .
Iată o funcție care are o limită și această limită este pozitivă.
G) Semnificația celei de-a doua limite remarcabile:
(7) .

Să aplicăm aceste fapte la limita noastră (3). Folosim proprietatea (4):
;
.

Să facem o înlocuire. Apoi ; .
Datorită continuităţii exponenţialului,
.
Prin urmare, când , . Ca rezultat obținem:
.

Să facem o înlocuire. Apoi . La , .
.

Și avem:
Să aplicăm proprietatea logaritmului (5):
.

. Apoi
.
Să aplicăm proprietatea (6). Deoarece există o limită pozitivă și logaritmul este continuu, atunci:
.

Aici am folosit și a doua limită remarcabilă (7). Apoi

Astfel, am obţinut formula (1) pentru derivata exponenţialului.

Derivarea formulei pentru derivata unei funcții exponențiale
(8)
Acum derivăm formula (2) pentru derivata funcției exponențiale cu o bază de gradul a. Noi credem că și . Apoi funcția exponențială

Definit pentru toată lumea.
;
.
Să transformăm formula (8). Pentru a face acest lucru, vom folosi proprietățile funcției exponențiale și ale logaritmului.
.

Deci, am transformat formula (8) în următoarea formă:

Derivate de ordin superior ale lui e la puterea x
(14) .
(1) .

Acum să găsim derivate de ordin superior. Să ne uităm mai întâi la exponent:
;
.

Vedem că derivata funcției (14) este egală cu funcția (14) însăși. Diferențiând (1), obținem derivate de ordinul doi și trei:
.

Aceasta arată că derivata de ordinul n-lea este, de asemenea, egală cu funcția originală:

Derivate de ordine superioară ale funcției exponențiale
.
Acum considerăm o funcție exponențială cu o bază de grad a:
(15) .

Am găsit derivata sa de ordinul întâi:
;
.

Diferențiând (15), obținem derivate de ordinul doi și trei:
.

Vedem că fiecare diferențiere duce la înmulțirea funcției originale cu . Prin urmare, derivata de ordinul n-a are următoarea formă:

Vezi si:

Noțiuni de bază

1. Înainte de a examina problema derivatei unei exponențiale la puterea $x$, să ne amintim definițiile
2. funcții;
3. limită de secvență;
4. derivat;

expozanti.

Acest lucru este necesar pentru o înțelegere clară a derivatei unei exponențiale la puterea lui $x$.

Definiția 1

O funcție este o relație între două variabile.

Dacă, în virtutea unei legi, fiecărui număr natural $n=1, 2, 3, ...$ este asociat unui număr $x_n$, atunci spunem că șirul numerelor $x_1,x_2,..., x_n$ este definit. În caz contrar, o astfel de secvență este scrisă ca $\(x_n\)$. Toate numerele $x_n$ sunt numite membri sau elemente ale secvenței.

Definiția 2

Limita unei secvențe este punctul finit sau infinit îndepărtat al dreptei numerice. Limita se scrie astfel: $\lim x_n = \lim\limits_(n\to\infty)x_n = a$. Această notație înseamnă că variabila $x_n$ tinde spre $a$ $x_n\la a$.

Derivata funcției $f$ în punctul $x_0$ se numește următoarea limită:

$\lim\limits_(x\to x_0)\frac(f(x) - f(x_o))(x-x_o)$. Este notat cu $f"(x_0)$.

Numărul $e$ este egal cu următoarea limită:

$e=\lim\limits_(x\to\infty) (1+\frac(1)(n))\approx2.718281828459045...$

În această limită, $n$ este un număr natural sau real.

După ce stăpânim conceptele de limită, derivată și exponent, putem începe să dovedim formula $(e^x)"=e^x$.

Derivarea derivatei unei exponențiale la puterea $x$

Avem $e^x$, unde $x: -\infty

$y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(x+\Delta x)-e^x)(\Delta x)$.

Prin proprietatea exponentului $e^(a+bx)=e^a*e^b$ putem transforma numărătorul limitei:

$e^(x+\Delta x)-e^x = e^x*e^(\Delta x)-e^x = e^x(e^(\Delta x)-1)$.

Adică $y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(x+\Delta x)-e^x)(\Delta x)=\lim\limits_(\Delta x\ la 0) \frac(e^x(e^(\Delta x)-1))(\Delta x)$.

Să notăm $t=e^(\Delta x)-1$. Se obține $e^(\Delta x)=t+1$, iar prin proprietatea logaritmului rezultă că $\Delta x = ln(t+1)$.

Deoarece exponențialul este continuu, avem $\lim\limits_(\Delta x\to 0) e^(\Delta x)=e^0=1.$ Prin urmare, dacă $\Delta x\to 0$, atunci $ t \ la 0$.

Ca rezultat, arătăm transformarea:

$y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(\Delta x)-1)(\Delta x)=e^x\lim\limits_(t\to 0)\frac (t)(ln(t+1))$.

Să notăm $n=\frac (1)(t)$, apoi $t=\frac(1)(n)$. Se pare că dacă $t\la 0$, atunci $n\la\infty$.

Să ne transformăm limita:

$y"=e^x\lim\limits_(t\la 0)\frac(t)(ln(t+1))=e^x\lim\limits_(n\la\infty)\frac(1) (n\cdot ln(\frac(1)(n)+1)^n)$.

Prin proprietatea logaritmului $b\cdot ln c=ln c^b$ avem

$n\cdot ln (\frac(1)(n)+1)=ln(\frac(1)(n)+1)^n=ln(1+\frac(1)(n))^n$ .

Limita este convertită după cum urmează:

$y"=e^x\lim\limits_(n\la\infty)\frac(1)(n\cdot ln(\frac(1)(n)+1)) = e^x\lim\limits_( n\la\infty)\frac(1)(ln(\frac(1)(n)+1)^n)= e^x\frac(1)(\lim\limits_(n\to\infty) ln (\frac(1)(n)+1)^n)$.

Conform proprietății de continuitate a logaritmului și proprietății limitelor pentru o funcție continuă: $\lim\limits_(x\to x_0)ln(f(x))=ln(\lim\limits_f(x))$, unde $f(x)$ are limită pozitivă $\lim\limits_(x\to x_0)f(x)$. Deci, datorită faptului că logaritmul este continuu și există o limită pozitivă $\lim\limits_(n\to\infty)(\frac(1)(n)+1)^n$, putem deduce:

$\lim\limits_(n\la\infty)ln(1+\frac(1)(n))^n=ln\lim\limits_(n\la\infty)ln(1+\frac(1)( n))^n=ln e=1$.

Să folosim valoarea celei de-a doua limite remarcabile $\lim\limits_(n\to\infty)(1+\frac(1)(n))^n=e$. Primim:

$y"= e^x\frac(1)(\lim\limits_(n\to\infty) ln(\frac(1)(n)+1)^n) = e^x\cdot\frac(1 )(ln e) = e^x\cdot\frac(1)(1)=e^x$.

Astfel, am derivat formula pentru derivata unei exponențiale și putem pretinde că derivata unei exponențiale la puterea lui $x$ este echivalentă cu derivata unei exponențiale la puterea lui $x$:

Există și alte modalități de a deriva această formulă folosind alte formule și reguli.

Exemplul 1

Să ne uităm la un exemplu de găsire a derivatei unei funcții.

Condiție: Aflați derivata funcției $y=2^x + 3^x + 10^x + e^x$.

Soluţie: La termenii $2^x, 3^x$ și $10^x$ aplicăm formula $(a^x)"=a^x\cdot ln a$. Conform formulei derivate $(e^x)" =e^x$ al patrulea termen $e^x$ nu se modifică.

Răspuns: $y" = 2^x\cdot ln 2 + 3^x\cdot ln 3 + 10^x\cdot ln 10 + e^x$.

Astfel, am derivat formula $(e^x)"=e^x$, dând în același timp definiții conceptelor de bază și am analizat un exemplu de găsire a derivatei unei funcții cu un exponent ca unul dintre termeni.

Vă prezentăm un tabel rezumativ pentru comoditate și claritate atunci când studiem subiectul.

Constanty = C Funcția de putere y = x p (x p) " = p x p - 1	Functie exponentialay = un x (a x) " = a x ln a În special, cânda = eavem y = e x (e x) " = e x
Funcția logaritmică (log a x) " = 1 x ln a În special, cânda = eavem y = logx (ln x) " = 1 x	Funcții trigonometrice (sin x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x
Funcții trigonometrice inverse (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2	Funcții hiperbolice (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Să analizăm cum au fost obținute formulele din tabelul specificat sau, cu alte cuvinte, vom demonstra derivarea formulelor derivate pentru fiecare tip de funcție.

Derivată a unei constante

Dovada 1

Pentru a deriva această formulă, luăm ca bază definiția derivatei unei funcții într-un punct. Folosim x 0 = x, unde X ia valoarea oricărui număr real sau, cu alte cuvinte, X este orice număr din domeniul funcției f (x) = C. Să notăm limita raportului dintre incrementul unei funcții și incrementul argumentului ca ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Vă rugăm să rețineți că expresia 0 ∆ x se încadrează sub semnul limită. Nu este incertitudinea „zero împărțit la zero”, deoarece numărătorul nu conține o valoare infinitezimală, ci exact zero. Cu alte cuvinte, incrementul unei funcții constante este întotdeauna zero.

Deci, derivata funcției constante f (x) = C este egală cu zero în întregul domeniu de definiție.

Exemplul 1

Funcțiile constante sunt date:

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Soluţie

Să descriem condițiile date. În prima funcție vedem derivata numărului natural 3. În exemplul următor, trebuie să luați derivata lui A, Unde A- orice număr real. Al treilea exemplu ne oferă derivata numărului irațional 4. 13 7 22, a patra este derivata lui zero (zero este un întreg). În cele din urmă, în al cincilea caz avem derivata fracției raționale - 8 7.

Răspuns: derivatele unor funcții date sunt zero pentru orice real X(pe toată zona de definiție)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Derivată a unei funcții de putere

Să trecem la funcția putere și la formula derivatei acesteia, care are forma: (x p) " = p x p - 1, unde exponentul p este orice număr real.

Dovada 2

Iată o dovadă a formulei când exponentul este un număr natural: p = 1, 2, 3, …

Ne bazăm din nou pe definiția unei derivate. Să notăm limita raportului dintre incrementul unei funcții de putere și incrementul argumentului:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Pentru a simplifica expresia în numărător, folosim formula binomială a lui Newton:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Prin urmare:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + , + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (. C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 · x p -. 1 + 0 + .

Astfel, am demonstrat formula pentru derivata unei funcții de putere atunci când exponentul este un număr natural.

Dovada 3

Pentru a oferi dovezi pentru cazul când p- orice număr real, altul decât zero, folosim derivata logaritmică (aici ar trebui să înțelegem diferența față de derivata unei funcții logaritmice). Pentru a avea o înțelegere mai completă, este indicat să se studieze derivata unei funcții logaritmice și să se înțeleagă în continuare derivata unei funcții implicite și derivata unei funcții complexe.

Să luăm în considerare două cazuri: când X pozitiv și când X negativ.

Deci x > 0. Atunci: x p > 0 . Să logaritmăm egalitatea y = x p la baza e și să aplicăm proprietatea logaritmului:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

În această etapă, am obținut o funcție specificată implicit. Să definim derivata sa:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

Acum luăm în considerare cazul când X - un număr negativ.

Dacă indicatorul p este un număr par, atunci funcția de putere este definită pentru x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Apoi x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Dacă p este un număr impar, atunci funcția de putere este definită pentru x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1

Ultima tranziție este posibilă datorită faptului că dacă p este un număr impar, atunci p - 1 fie un număr par, fie zero (pentru p = 1), prin urmare, pentru negativ X egalitatea (- x) p - 1 = x p - 1 este adevărată.

Deci, am demonstrat formula pentru derivata unei funcții de putere pentru orice p real.

Exemplul 2

Funcții date:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Determinați derivatele lor.

Soluţie

Transformăm unele dintre funcțiile date în formă tabelară y = x p , pe baza proprietăților gradului, apoi folosim formula:

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Derivata unei functii exponentiale

Dovada 4

Să derivăm formula derivată folosind definiția ca bază:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Avem incertitudine. Pentru a o extinde, să scriem o nouă variabilă z = a ∆ x - 1 (z → 0 ca ∆ x → 0). În acest caz, a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Pentru ultima tranziție a fost utilizată formula de tranziție la o nouă bază logaritmică.

Să înlocuim în limita inițială:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Să ne amintim de a doua limită remarcabilă și apoi obținem formula pentru derivata funcției exponențiale:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

Exemplul 3

Funcțiile exponențiale sunt date:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Este necesar să găsiți derivatele lor.

Soluţie

Folosim formula pentru derivata funcției exponențiale și proprietățile logaritmului:

f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Derivată a unei funcții logaritmice

Dovada 5

Să oferim o dovadă a formulei pentru derivata unei funcții logaritmice pentru oricare Xîn domeniul definiției și orice valori admisibile ale bazei a a logaritmului. Pe baza definiției derivatei, obținem:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

Din lanțul de egalități indicat este clar că transformările s-au bazat pe proprietatea logaritmului. Egalitatea lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e este adevărată în conformitate cu a doua limită remarcabilă.

Exemplul 4

Funcțiile logaritmice sunt date:

f 1 (x) = log ln 3 x , f 2 (x) = ln x

Este necesar să se calculeze derivatele lor.

Soluţie

Să aplicăm formula derivată:

f 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; f 2 " (x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x

Deci, derivata logaritmului natural este una împărțită la X.

Derivate ale funcţiilor trigonometrice

Dovada 6

Să folosim câteva formule trigonometrice și prima limită minunată pentru a deriva formula pentru derivata unei funcții trigonometrice.

Conform definiției derivatei funcției sinus, obținem:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Formula pentru diferența de sinusuri ne va permite să efectuăm următoarele acțiuni:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

În cele din urmă, folosim prima limită minunată:

sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Deci, derivata funcției sin x voi cos x.

Vom demonstra, de asemenea, formula pentru derivata cosinusului:

cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Acestea. derivata functiei cos x va fi – sin x.

Obținem formulele pentru derivatele tangentei și cotangentei pe baza regulilor de diferențiere:

t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Derivate ale funcţiilor trigonometrice inverse

Secțiunea despre derivata funcțiilor inverse oferă informații cuprinzătoare despre demonstrarea formulelor pentru derivatele arcsinus, arccosinus, arctangent și arccotangent, așa că nu vom duplica materialul aici.

Derivate ale funcțiilor hiperbolice

Dovada 7

Putem deriva formulele pentru derivatele sinusului hiperbolic, cosinusului, tangentei și cotangentei folosind regula de diferențiere și formula pentru derivata funcției exponențiale:

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Când obținem prima formulă a tabelului, vom porni de la definiția funcției derivate într-un punct. Să luăm unde X– orice număr real, adică X– orice număr din domeniul de definire al funcției. Să notăm limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului la:

De remarcat că sub semnul limită se obține expresia, care nu este incertitudinea zero împărțită la zero, întrucât numărătorul nu conține o valoare infinitezimală, ci exact zero. Cu alte cuvinte, incrementul unei funcții constante este întotdeauna zero.

Prin urmare, derivată a unei funcții constanteeste egal cu zero în întregul domeniu de definiție.

Derivată a unei funcții de putere.

Formula pentru derivata unei funcții putere are forma , unde exponentul p– orice număr real.

Să demonstrăm mai întâi formula exponentului natural, adică pentru p = 1, 2, 3, …

Vom folosi definiția unei derivate. Să notăm limita raportului dintre incrementul unei funcții de putere și incrementul argumentului:

Pentru a simplifica expresia în numărător, ne întoarcem la formula binomială Newton:

Prin urmare,

Aceasta dovedește formula pentru derivata unei funcții de putere pentru un exponent natural.

Derivată a unei funcții exponențiale.

Prezentăm derivarea formulei derivate pe baza definiției:

Am ajuns la incertitudine. Pentru a o extinde, introducem o nouă variabilă, iar la . Apoi . În ultima tranziție, am folosit formula pentru trecerea la o nouă bază logaritmică.

Să înlocuim în limita inițială:

Dacă ne amintim a doua limită remarcabilă, ajungem la formula pentru derivata funcției exponențiale:

Derivată a unei funcții logaritmice.

Să demonstrăm formula pentru derivata unei funcții logaritmice pentru toate X din domeniul definiției și toate valorile valide ale bazei A logaritm Prin definiția derivatei avem:

După cum ați observat, în timpul demonstrației transformările au fost efectuate folosind proprietățile logaritmului. Egalitate este adevărat datorită celei de-a doua limite remarcabile.

Derivate ale funcţiilor trigonometrice.

Pentru a deriva formule pentru derivate ale funcțiilor trigonometrice, va trebui să reamintim câteva formule de trigonometrie, precum și prima limită remarcabilă.

Prin definiția derivatei pentru funcția sinus avem .

Să folosim formula diferenței sinusurilor:

Rămâne să ne întoarcem la prima limită remarcabilă:

Astfel, derivata funcției sin x Există cos x.

Formula pentru derivata cosinusului este dovedită exact în același mod.

Prin urmare, derivata funcției cos x Există –sin x.

Vom obține formule pentru tabelul de derivate pentru tangentă și cotangentă folosind reguli dovedite de diferențiere (derivată a unei fracții).

Derivate ale funcțiilor hiperbolice.

Regulile de diferențiere și formula pentru derivata funcției exponențiale din tabelul derivatelor ne permit să derivăm formule pentru derivatele sinusului hiperbolic, cosinusului, tangentei și cotangentei.

Derivată a funcției inverse.

Pentru a evita confuzia în timpul prezentării, să notăm în indice argumentul funcției prin care se realizează diferențierea, adică este derivata funcției f(x) De X.

Acum să formulăm regula pentru aflarea derivatei unei functii inverse.

Lasă funcțiile y = f(x)Și x = g(y) reciproc invers, definite pe intervale și respectiv. Dacă într-un punct există o derivată finită nenulă a funcției f(x), atunci în punct există o derivată finită a funcției inverse g(y), și . Într-o altă postare .

Această regulă poate fi reformulată pentru oricare X din intervalul , atunci obținem .

Să verificăm validitatea acestor formule.

Să găsim funcția inversă pentru logaritmul natural (Aici y este o funcție și X- argument). După ce am rezolvat această ecuație pt X, primim (aici X este o funcție și y– argumentul ei). Acesta este, și funcții reciproc inverse.

Din tabelul derivatelor vedem că Și .

Să ne asigurăm că formulele pentru găsirea derivatelor funcției inverse ne conduc la aceleași rezultate: