Функцийн экстремумыг онлайнаар тодорхойлох. Функцийн экстремум. Хоёр хувьсагчийн функцийн экстремийг олох алгоритм ба шийдлийн жишээ

Энэ нийтлэлээс уншигч функциональ үнэ цэнийн экстремум гэж юу болох, мөн практик үйл ажиллагаанд ашиглах онцлог шинж чанаруудын талаар мэдэх болно. Ийм ойлголтыг судлах нь дээд математикийн үндсийг ойлгоход маш чухал юм. Энэ сэдэв нь хичээлийг гүнзгийрүүлэн судлах үндэс суурь юм.

-тай холбоотой

Экстремум гэж юу вэ?

Сургуулийн хичээл дээр "экстремум" гэсэн ойлголтын олон тодорхойлолтыг өгдөг. Энэхүү нийтлэл нь асуудлыг мэдэхгүй хүмүүст энэ нэр томъёоны талаар хамгийн гүнзгий бөгөөд ойлгомжтой ойлголт өгөх зорилготой юм. Тиймээс энэ нэр томъёо нь тодорхой багц дээр функциональ интервал нь хамгийн бага эсвэл хамгийн их утгыг хэр хэмжээгээр олж авдаг болохыг ойлгодог.

Экстремум нь функцийн хамгийн бага утга ба хамгийн их утга юм. График дээрх аргументийн хамгийн бага ба хамгийн дээд цэгүүд байдаг. Энэхүү ойлголтыг ашигладаг үндсэн шинжлэх ухаанууд нь:

• статистик;
• машиныг хянах;
• эконометрик.

Өгөгдсөн функцийн дарааллыг тодорхойлоход экстремум цэгүүд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. График дээрх координатын систем нь функциональ өөрчлөлтөөс хамааран туйлын байрлалын өөрчлөлтийг хамгийн сайн харуулдаг.

Дериватив функцийн экстремум

Мөн "үүсмэл" гэх мэт үзэгдэл байдаг. Энэ нь экстремум цэгийг тодорхойлох шаардлагатай. Хамгийн бага эсвэл хамгийн их оноог хамгийн их ба хамгийн бага утгатай андуурахгүй байх нь чухал. Эдгээр нь ижил төстэй мэт санагдаж болох ч өөр өөр ойлголтууд юм.

Функцийн утга нь хамгийн их цэгийг хэрхэн олохыг тодорхойлох гол хүчин зүйл юм. Дериватив нь утгуудаас үүсдэггүй, гэхдээ зөвхөн нэг эсвэл өөр дарааллаар түүний туйлын байрлалаас үүсдэг.

Дериватив нь өөрөө хамгийн том эсвэл хамгийн бага утга дээр бус эдгээр экстремум цэгүүд дээр тулгуурлан тодорхойлогддог. Оросын сургуулиудад эдгээр хоёр ойлголтын хоорондох шугамыг тодорхой заагаагүй нь энэ сэдвийг ерөнхийд нь ойлгоход нөлөөлдөг.

Одоо "цочмог экстремум" гэсэн ойлголтыг авч үзье. Өнөөдөр цочмог хамгийн бага утга, цочмог дээд утга байна. Тодорхойлолтыг функцийн чухал цэгүүдийн Оросын ангиллын дагуу өгсөн болно. Экстремум цэгийн тухай ойлголт нь график дээрх эгзэгтэй цэгүүдийг олох үндэс болдог.

Ийм ойлголтыг тодорхойлохын тулд тэд Фермагийн теоремыг ашигладаг. Энэ нь туйлын цэгүүдийг судлахад хамгийн чухал бөгөөд тэдгээрийн оршин тогтнох талаар тодорхой ойлголт өгдөг. Хэт их байдлыг хангахын тулд график дээр буурах эсвэл нэмэгдэх тодорхой нөхцлийг бүрдүүлэх нь чухал юм.

"Хамгийн дээд цэгийг хэрхэн олох вэ" гэсэн асуултанд үнэн зөв хариулахын тулд та дараах удирдамжийг дагаж мөрдөх ёстой.

График дээрх тодорхойлолтын тодорхой мужийг олох.

Функцийн дериватив ба экстремум цэгийг хай.

Аргумент олдсон домэйны стандарт тэгш бус байдлыг шийд.

График дээрх цэг ямар функцээр тодорхойлогддог ба тасралтгүй байдгийг батлах чадвартай байх.

Анхаар! Функцийн эгзэгтэй цэгийг хайх нь хамгийн багадаа хоёр дахь эрэмбийн дериватив байгаа тохиолдолд л боломжтой бөгөөд энэ нь экстремум цэгийн өндөр хувь хэмжээгээр баталгааждаг.

Функцийн экстремумын зайлшгүй нөхцөл

Экстремум оршин тогтнохын тулд хамгийн бага ба хамгийн дээд цэгүүд байх нь чухал юм. Хэрэв энэ дүрмийг зөвхөн хэсэгчлэн дагаж мөрдвөл экстремум байх нөхцөлийг зөрчсөн болно.

Аливаа байрлал дахь функц бүр шинэ утгыг тодорхойлохын тулд ялгах ёстой. Цэг тэг рүү шилжих тохиолдол нь ялгах цэгийг олох гол зарчим биш гэдгийг ойлгох нь чухал.

Цочмог экстремум, түүнчлэн хамгийн бага функц нь хэт утгыг ашиглан математикийн асуудлыг шийдвэрлэх маш чухал тал юм. Энэ бүрэлдэхүүн хэсгийг илүү сайн ойлгохын тулд функцийг тодорхойлох хүснэгтийн утгуудыг анхаарч үзэх нь чухал юм.

Бүрэн утгын судалгаа

Утгын график зурах

1. Утгын өсөлт ба буурах цэгийг тодорхойлох. 2. Тасархайн цэг, экстремум ба координатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг олох. 3. График дээрх байрлалын өөрчлөлтийг тодорхойлох үйл явц. 4. Асимптот байгаа эсэхийг харгалзан гүдгэр ба гүдгэрийн үзүүлэлт ба чиглэлийг тодорхойлох. 5. Судалгааны хураангуй хүснэгтийг координатыг тодорхойлох талаас нь бүрдүүлэх. 6. Хэт, хурц цэгүүдийн өсөлт, бууралтын интервалыг олох. 7. Муруйн гүдгэр ба хотгорыг тодорхойлох. 8. Судалгааг харгалзан график зурах нь хамгийн бага эсвэл дээд хэмжээг олох боломжийг олгодог.

Хэт их цэгүүдтэй ажиллах шаардлагатай үед гол элемент бол түүний графикийг зөв барих явдал юм. Сургуулийн багш нар ийм чухал зүйлд их анхаарал хандуулдаггүй бөгөөд энэ нь боловсролын үйл явцыг бүдүүлгээр зөрчсөн явдал юм. График байгуулах нь зөвхөн функциональ өгөгдлийг судлах, цочмог экстремум, түүнчлэн график дээрх цэгүүдийг тодорхойлох үр дүнд үндэслэн хийгддэг. Асимптотыг тодорхойлох стандарт процедурыг ашиглан дериватив функцийн хурц экстремумуудыг яг утгын график дээр харуулав. Функцийн хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүд нь илүү төвөгтэй график бүтэцтэй дагалддаг. Энэ нь цочмог экстремумын асуудлыг илүү гүнзгийрүүлэх шаардлагатай байгаатай холбоотой юм. Энэ нь экстремумын асуудлын хамгийн чухал ойлголтуудын нэг тул төвөгтэй бөгөөд энгийн функцийн деривативыг олох шаардлагатай.

Функциональ байдлын туйл

Дээрх утгыг олохын тулд та дараах дүрмийг баримтлах ёстой.

• туйлын харилцааны зайлшгүй нөхцөлийг тодорхойлох;
• график дээрх туйлын цэгүүдийн хангалттай нөхцлийг харгалзан үзэх;
• цочмог экстремумын тооцоог хийх.

Мөн сул минимум, хүчтэй минимум гэх мэт ойлголтуудыг ашигладаг. Үүнийг экстремумыг тодорхойлох, үнэн зөв тооцоолохдоо анхаарч үзэх хэрэгтэй. Үүний зэрэгцээ цочмог функц нь функцийн графиктай ажиллахад шаардлагатай бүх нөхцлийг хайж олох, бүрдүүлэх явдал юм.

2020 оны долдугаар сард НАСА Ангараг гараг руу экспедицээ эхлүүлнэ. Сансрын хөлөг Ангараг гаригт экспедицид бүртгүүлсэн бүх оролцогчдын нэрс бүхий цахим зөөвөрлөгчийг хүргэх болно.

Оролцогчдын бүртгэл нээлттэй байна. Энэ линкээр Ангараг гариг ​​руу явах тасалбараа аваарай.

Хэрэв энэ нийтлэл таны асуудлыг шийдсэн эсвэл танд таалагдсан бол холбоосыг нийгмийн сүлжээн дэх найзуудтайгаа хуваалцаарай.

Эдгээр кодын сонголтуудын аль нэгийг таны вэб хуудасны код руу хуулж, шошгоны хооронд болон шошгоны дараа шууд буулгах шаардлагатай. Эхний хувилбарын дагуу MathJax илүү хурдан ачаалж, хуудсыг бага удаашруулдаг. Гэхдээ хоёр дахь сонголт нь MathJax-ийн хамгийн сүүлийн хувилбаруудыг автоматаар хянаж, ачаалдаг. Хэрэв та эхний кодыг оруулбал үүнийг үе үе шинэчлэх шаардлагатай болно. Хэрэв та хоёр дахь кодыг оруулбал хуудаснууд илүү удаан ачаалах боловч MathJax-ийн шинэчлэлтийг байнга хянах шаардлагагүй болно.

MathJax-г холбох хамгийн хялбар арга бол Blogger эсвэл WordPress дээр: сайтын хяналтын самбарт гуравдагч этгээдийн JavaScript код оруулах зориулалттай виджет нэмж, дээр дурдсан татаж авах кодын эхний эсвэл хоёр дахь хувилбарыг хуулж, виджетийг ойртуулна уу. Загварын эхэнд (дашрамд хэлэхэд, энэ нь огт шаардлагагүй, учир нь MathJax скрипт асинхроноор ачаалагдсан байдаг). Тэгээд л болоо. Одоо MathML, LaTeX, ASCIIMathML-ийн тэмдэглэгээний синтаксийг сурснаар та сайтынхаа вэб хуудсанд математикийн томьёо оруулахад бэлэн боллоо.

Ахиад л шинэ жилийн үдэш... хүйтэн жавартай цаг агаар, цонхны шилэн дээр цасан ширхгүүд... Энэ бүхэн намайг... фракталуудын тухай, мөн Вольфрам Альфа энэ талаар мэддэг зүйлийн талаар дахин бичихэд хүргэв. Энэ сэдвээр хоёр хэмжээст фрактал бүтцийн жишээг агуулсан сонирхолтой нийтлэл байна. Энд бид гурван хэмжээст фракталуудын илүү төвөгтэй жишээг авч үзэх болно.

Фракталыг геометрийн дүрс эсвэл бие (хоёулаа багц, энэ тохиолдолд цэгүүдийн багц гэсэн үг) хэлбэрээр дүрсэлж (тодорхойлж) болно, тэдгээрийн дэлгэрэнгүй мэдээлэл нь анхны дүрстэй ижил хэлбэртэй байна. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь өөрөө ижил төстэй бүтэц бөгөөд нарийн ширийнийг нь судалж үзэхэд бид томруулахгүйгээр ижил хэлбэрийг харах болно. Харин ердийн геометрийн дүрсийн хувьд (фрактал биш) томруулж үзэхэд бид анхны дүрсээс илүү энгийн хэлбэртэй нарийн ширийн зүйлийг харах болно. Жишээлбэл, хангалттай томруулсан үед эллипсийн хэсэг нь шулуун шугамын сегмент шиг харагдана. Фракталд ийм зүйл тохиолддоггүй: тэдгээрийн хэмжээ нэмэгдэх тусам бид ижил төвөгтэй хэлбэрийг дахин харах болно, энэ нь өсөлт бүрээр дахин дахин давтагдах болно.

Фракталын шинжлэх ухааныг үндэслэгч Бенуа Манделброт "Фрактал ба шинжлэх ухааны нэрийн урлаг" гэсэн өгүүлэлдээ: "Фракталууд нь ерөнхий хэлбэрийнх шигээ нарийн төвөгтэй геометрийн хэлбэрүүд юм бүхэлд нь томрох болно, энэ нь бүхэлдээ, яг эсвэл бага зэрэг гажигтай харагдах болно."

Эдгээр цэгүүдэд функцийн хөдөлгөөний чиглэл өөрчлөгддөг гэж бид хэлж болно: хэрэв функц унахаа больж, өсч эхэлбэл энэ нь хамгийн бага цэг, эсрэгээр энэ нь хамгийн их цэг юм.

Минимум ба максимумыг нийлээд функцийн экстремум гэж нэрлэдэг.

Өөрөөр хэлбэл дээрх графикт онцолсон таван цэг бүгд туйлшрал юм.

Үүний ачаар функцийн график байхгүй байсан ч эдгээр цэгүүдийг олох нь асуудал биш юм.

Анхаар! Тэд бичих үед туйлшралэсвэл максимум/минимум нь функцийн утгыг илэрхийлнэ i.e. \(y\). Тэд бичих үед туйлын цэгүүдэсвэл максимум/минимумын цэгүүд нь хамгийн их/минимумд хүрэх X-ийг хэлнэ. Жишээлбэл, дээрх зураг дээр \(-5\) нь хамгийн бага цэг (эсвэл экстремум цэг), \(1\) нь хамгийн бага (эсвэл экстремум) юм.

Дериватив графикаас функцийн хэт цэгүүдийг хэрхэн олох вэ (Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгавар 7)?

Үүсмэл график ашиглан функцийн экстремум цэгүүдийн тоог жишээгээр хамтдаа олцгооё.

Бидэнд график өгсөн бөгөөд энэ нь графикийн аль цэг дээр дериватив тэгтэй тэнцүү байгааг хайж байна гэсэн үг юм. Мэдээжийн хэрэг, эдгээр нь \(-13\), \(-11\), \(-9\), \(-7\) ба \(3\) цэгүүд юм. Функцийн экстремум цэгүүдийн тоо нь \(5\) байна.

Анхаар! Хэрэв хуваарь өгсөн бол деривативфункцууд, гэхдээ та олох хэрэгтэй функцийн туйлын цэгүүд, бид деривативын дээд ба доод хэмжээг тооцохгүй! Бид функцийн дериватив алга болох цэгүүдийг (өөрөөр хэлбэл, \(x\) тэнхлэгийг огтолж) тоолдог.

Дериватив графикаас функцийн хамгийн их эсвэл хамгийн бага оноог хэрхэн олох вэ (Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгавар 7)?

Энэ асуултад хариулахын тулд та өөр хоёр чухал дүрмийг санах хэрэгтэй.

- Функц нэмэгдэж байгаа тохиолдолд дериватив эерэг байна.
- Функц буурах тохиолдолд дериватив сөрөг байна.

Эдгээр дүрмийг ашиглан дериватив график дээрх функцийн хамгийн бага ба хамгийн их цэгүүдийг олъё.

Хамгийн бага ба дээд хязгаарыг туйлын цэгүүдийн дунд эрэлхийлэх нь тодорхой байна, i.e. \(-13\), \(-11\), \(-9\), \(-7\) ба \(3\).

Асуудлыг шийдвэрлэхэд хялбар болгохын тулд эхлээд деривативын тэмдгийг харуулсан нэмэх, хасах тэмдгийг зурж үзье. Дараа нь сумнууд - нэмэгдэж, буурах функцийг заана.

\(-13\) гэж эхэлцгээе: \(-13\) хүртэл дериватив эерэг байна, өөрөөр хэлбэл. функц өсөхөд дериватив сөрөг байна i.e. функц гацаж байна. Хэрэв та үүнийг төсөөлж байгаа бол \(-13\) хамгийн дээд цэг болох нь тодорхой болно.

\(-11\): дериватив нь эхлээд эерэг, дараа нь сөрөг байх бөгөөд энэ нь функц нэмэгдэж, дараа нь буурна гэсэн үг юм. Дахин хэлэхэд, үүнийг оюун ухаанаараа зурахыг хичээ, тэгвэл \(-11\) хамгийн бага байх нь танд тодорхой болно.

\(- 9\): функц нэмэгдэж, дараа нь буурдаг - хамгийн их.

\(-7\): хамгийн бага.

\(3\): дээд тал нь.

Дээр дурдсан бүх зүйлийг дараах дүгнэлтээр нэгтгэн дүгнэж болно.

- Функц нь дериватив нь тэг байх ба тэмдгийг нэмэхээс хасах руу өөрчилдөг хамгийн их утгатай.
- Функц нь дериватив нь тэг байх ба тэмдгийг хасахаас нэмэх рүү өөрчилдөг хамгийн бага утгатай. Функцийн томьёо мэдэгдэж байгаа бол хамгийн их ба хамгийн бага оноог хэрхэн олох вэ (Улсын нэгдсэн шалгалтын 12 даалгавар)?

Энэ асуултад хариулахын тулд та өмнөх догол мөртэй ижил зүйлийг хийх хэрэгтэй: дериватив хаана эерэг, хаана сөрөг, хаана тэг болохыг олох хэрэгтэй. Илүү ойлгомжтой болгохын тулд би жишээ шийдэл бүхий алгоритм бичих болно.

\(f"(x)\) функцийн деривативыг ол.

\(f"(x)=0\) тэгшитгэлийн язгуурыг ол.

\(x\) тэнхлэгийг зурж, 2-р алхам дээр олж авсан цэгүүдийг тэмдэглэж, тэнхлэгийг хуваах интервалуудыг нумаар зур. Тэнхлэгийн дээгүүр \(f"(x)\), тэнхлэгийн доор \(f(x)\) тэмдэглэнэ.

Интервал бүр дэх деривативын тэмдгийг тодорхойлох (интервалын аргыг ашиглан).

Үүсмэлийн тэмдгийг интервал болгонд (тэнхлэгээс дээш) байрлуулж, сум ашиглан функцийн өсөлт (↗) эсвэл буурах (↘) (тэнхлэгийн доор) зааж өгнө.

2-р алхам дээр олж авсан цэгүүдээр дамжин өнгөрөх үед деривативын тэмдэг хэрхэн өөрчлөгдсөнийг тодорхойлно уу.
- хэрэв \(f’(x)\) тэмдгийг “\(+\)”-ээс “\(-\)” болгож өөрчилсөн бол \(x_1\) хамгийн дээд цэг болно;
- хэрэв \(f’(x)\) тэмдгийг “\(-\)”-ээс “\(+\)” болгож өөрчилсөн бол \(x_3\) хамгийн бага цэг болно;
- хэрэв \(f’(x)\) тэмдэг өөрчлөгдөөгүй бол \(x_2\) гулзайлтын цэг байж болно.

Бүгд! Хамгийн их ба хамгийн бага оноо олдсон.

Дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх тэнхлэг дээрх цэгүүдийг дүрслэхдээ масштабыг үл тоомсорлож болно. Функцийн үйлдлийг доорх зурагт үзүүлснээр харуулж болно. Ингэснээр дээд тал нь хаана, хамгийн бага нь хаана байх нь илүү тодорхой болно.

Жишээ(ХЭРЭГЛЭЭ). \(y=3x^5-20x^3-54\) функцийн хамгийн их цэгийг ол.
Шийдэл:
1. Функцийн деривативыг ол: \(y"=15x^4-60x^2\).
2. Үүнийг тэгтэй тэнцүүлээд тэгшитгэлийг шийдье:

\(15x^4-60x^2=0\) \(|:15\)
\(x^4-4x^2=0\)
\(x^2 (x^2-4)=0\)
\(x=0\) \(x^2-4=0\)
\(x=±2\)

3. – 6. Тооны шулуун дээрх цэгүүдийг зурж, деривативын тэмдэг хэрхэн өөрчлөгдөж, функц хэрхэн хөдөлж байгааг тодорхойлъё:

Одоо хамгийн дээд цэг нь \(-2\) байх нь ойлгомжтой.

Хариулах. \(-2\).

Функцийн экстремумыг хэрхэн олохыг сурахаасаа өмнө экстремум гэж юу болохыг ойлгох хэрэгтэй. Экстремумын хамгийн ерөнхий тодорхойлолт нь математикт ашигладаг шиг тооны шугам эсвэл графикийн тодорхой багц дахь функцийн хамгийн бага буюу хамгийн том утга юм. Минимум байрладаг газарт хамгийн бага экстремум, дээд тал нь байрладаг газарт хамгийн их экстремум гарч ирдэг. Мөн математикийн шинжилгээ гэх мэт чиглэлээр функцийн орон нутгийн экстремумуудыг тодорхойлдог. Одоо туйлын цэгүүдийг хэрхэн олохыг харцгаая.

Математикийн экстрема нь функцийн хамгийн чухал шинж чанаруудын нэг бөгөөд тэдгээр нь түүний хамгийн том ба хамгийн бага утгыг харуулдаг. Экстремумууд нь голчлон олдож буй функцүүдийн эгзэгтэй цэгүүдэд илэрдэг. Функц нь туйлын цэг дээр чиглэлээ эрс өөрчилдөг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Хэрэв та экстремум цэгийн деривативыг тооцоолох юм бол тодорхойлолтын дагуу энэ нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой эсвэл огт байхгүй болно. Тиймээс функцийн экстремумыг хэрхэн олохыг мэдэхийн тулд та дараалсан хоёр ажлыг гүйцэтгэх хэрэгтэй.

• даалгавраар тодорхойлох шаардлагатай функцийн деривативыг олох;
• тэгшитгэлийн язгуурыг ол.

Экстремумыг олох дараалал

Өгөгдсөн f(x) функцийг бич. Үүний 1-р эрэмбийн дериватив f "(x)-ийг ол. Гарсан илэрхийллийг тэгтэй тэнцүүл.

Одоо та үүссэн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй. Үүссэн шийдлүүд нь тэгшитгэлийн үндэс, мөн тодорхойлж буй функцийн чухал цэгүүд болно.

Одоо бид олсон үндэс нь ямар чухал цэгүүд (хамгийн их эсвэл хамгийн бага) байгааг тодорхойлно. Функцийн экстремум цэгүүдийг олж мэдсэний дараа дараагийн алхам бол хүссэн функцийн хоёр дахь деривативыг олох явдал юм. тодорхой тэгш бус байдал ба дараа нь юу болохыг тооцоол. Хэрэв ийм зүйл тохиолдвол хоёр дахь дериватив нь эгзэгтэй цэг дээр тэгээс их байвал энэ нь хамгийн бага цэг байх болно.

Функцийн шаардлагатай хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдэд анхны функцийн утгыг тооцоолоход л үлддэг. Үүнийг хийхийн тулд бид олж авсан утгыг функцэд орлуулж, тооцоолно. Гэсэн хэдий ч хэрэв эгзэгтэй цэг нь дээд тал нь байвал экстремум нь хамгийн их байх болно, хэрэв энэ нь хамгийн бага бол аналогиар хамгийн бага байх болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Экстремумыг олох алгоритм

Олж авсан мэдлэгээ нэгтгэн дүгнэхийн тулд бид экстремум цэгүүдийг хэрхэн олох талаар богино алгоритмыг бий болгоно.

Бид өгөгдсөн функцийн тодорхойлолтын муж ба түүний интервалуудыг олдог бөгөөд энэ нь ямар интервал дээр функц тасралтгүй болохыг нарийн тодорхойлдог.

f "(x) функцийн деривативыг ол.

Бид y = f (x) тэгшитгэлийн эгзэгтэй цэгүүдийг тооцоолно.

Бид f (x) функцийн чиглэлийн өөрчлөлт, түүнчлэн эгзэгтэй цэгүүд нь энэ функцийн тодорхойлолтын мужийг хуваадаг f "(x) деривативын шинж тэмдгийг шинжилдэг.

Одоо бид график дээрх цэг бүр хамгийн их эсвэл хамгийн бага эсэхийг тодорхойлно.

Функцийн утгыг бид экстремум цэгүүдээс олдог.

Бид энэ судалгааны үр дүнг тэмдэглэв - нэг хэвийн байдлын хэт туйл ба интервал. Тэгээд л болоо. Одоо бид ямар ч интервал дээр экстремумыг хэрхэн олохыг харлаа. Хэрэв та функцийн тодорхой интервал дээр экстремумыг олох шаардлагатай бол үүнийг ижил төстэй аргаар хийдэг бөгөөд зөвхөн хийгдэж буй судалгааны хил хязгаарыг харгалзан үзэх шаардлагатай.

Тиймээс бид функцийн экстремум цэгүүдийг хэрхэн олох талаар авч үзсэн. Энгийн тооцоолол, мөн дериватив олох мэдлэгийн тусламжтайгаар та ямар ч экстремумыг олж тооцоолж, графикаар зааж өгч болно. Экстремийг олох нь сургууль болон дээд боловсролын аль алинд нь математикийн хамгийн чухал хэсгүүдийн нэг тул хэрэв та тэдгээрийг зөв тодорхойлж сурвал суралцах нь илүү хялбар, илүү сонирхолтой байх болно.

Таны харж байгаагаар функцийн экстремумын энэ тэмдэг нь тухайн цэг дээр дор хаяж хоёр дахь эрэмбийн дериватив байхыг шаарддаг.

Жишээ.

Функцийн экстремумыг ол.

Шийдэл.

Тодорхойлолтын домэйноос эхэлцгээе:

Анхны функцийг ялгаж үзье:

x=1, өөрөөр хэлбэл, энэ нь боломжит экстремумын цэг юм. Бид функцийн хоёр дахь деривативыг олж, утгыг нь тооцоолно x = 1:

Тиймээс, экстремумын хувьд хоёр дахь хангалттай нөхцөлөөр, x=1- хамгийн дээд цэг. Дараа нь - хамгийн их функц.

График дүрслэл.

Хариулт:

Функцийн экстремумын гурав дахь хангалттай нөхцөл.

Функцийг зөвшөөр y=f(x)хүртэлх деривативтай n-т цэгийн хөрш болон дериватив дахь -р дараалал n+1-цэг дээрх дараалал. Байг.

Жишээ.

Функцийн экстремум цэгүүдийг ол .

Шийдэл.

Анхдагч функц нь оновчтой бүхэл функц юм.

Функцийг ялгаж үзье:

Дериватив нь тэг рүү очдог , тиймээс эдгээр нь болзошгүй экстремумын цэгүүд юм. Экстремумын хувьд гурав дахь хангалттай нөхцөлийг ашиглая.

Бид хоёр дахь деривативыг олж, боломжит экстремумын цэгүүдэд түүний утгыг тооцоолно (бид завсрын тооцоог орхих болно):

Үүний үр дүнд энэ нь хамгийн дээд цэг юм (экстремумын гурав дахь хангалттай шинж тэмдгийн хувьд бидэнд байна n=1Мөн ).

Цэгүүдийн мөн чанарыг олж мэдэхийн тулд Бид гурав дахь деривативыг олж, түүний утгыг дараах цэгүүдэд тооцоолно.

Иймээс функцийн гулзайлтын цэг ( n=2Мөн ).

Энэ асуудлыг шийдвэрлэхэд л үлдэж байна. Дөрөв дэх деривативыг олж, энэ үед түүний утгыг тооцоол.

Тиймээс энэ нь функцийн хамгийн бага цэг юм.

График дүрслэл.

Хариулт:

Хамгийн их цэг нь функцийн хамгийн бага цэг юм.

10. Функцийн экстремум Экстремумын тодорхойлолт

y = f(x) функцийг дуудна нэмэгдэх (буурч байна) тодорхой интервалд, хэрэв x 1 бол< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x 2)).

Хэрэв дифференциал болох y = f(x) функц интервал дээр ихсэх (багарах) бол энэ интервал дээрх түүний уламжлал f " (x)  0 болно.

(f "(x)  0).

Цэг x Одуудсан орон нутгийн хамгийн дээд цэг (хамгийн бага) функц f(x), хэрэв тухайн цэгийн хөрш байгаа бол x О, бүх цэгүүдийн хувьд f(x) ≤ f(x о) (f(x) ≥ f(x о)) тэгш бус байдал үнэн байна.

Хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдийг дууддаг экстремум цэгүүд, мөн эдгээр цэгүүд дэх функцын утгууд нь түүнийх юм туйлшрал.

Экстремум цэгүүд

Экстремум үүсэх зайлшгүй нөхцөл. Хэрэв цэг бол x Онь f(x) функцийн экстремум цэг бол f " (x o) = 0, эсвэл f (x o) байхгүй. Ийм цэгүүд гэж нэрлэгддэг. шүүмжлэлтэй,ба функц нь өөрөө чухал цэг дээр тодорхойлогддог. Функцийн экстремумыг түүний чухал цэгүүдээс хайх хэрэгтэй.

Эхний хангалттай нөхцөл.Болъё x О- чухал цэг. Хэрэв цэгээр дамжин өнгөрөх үед f "(x). x Онэмэх тэмдгийг хасах, дараа нь цэг дээр өөрчилнө x Офункц нь дээд талтай, эс тэгвээс хамгийн багатай. Хэрэв эгзэгтэй цэгээр дамжин өнгөрөхөд дериватив тэмдэг өөрчлөгдөхгүй бол тухайн цэг дээр x Отуйлшрал гэж байхгүй.

Хоёр дахь хангалттай нөхцөл. f(x) функц нь цэгийн ойролцоо f " (x) деривативтэй байг x Омөн цэг дээрх хоёр дахь дериватив x О. Хэрэв f "(x o) = 0, >0 (