Цахилгаан статик индукцийн векторын урсгал. Цахилгаан индукцийн вектор урсгал. Остроградский-Гаусын теоремын гарал үүсэл

Агаар (ε 1) ба ус (ε = 81) гэх мэт хоёр мэдээллийн хэрэгслийн хоорондох интерфэйс дээр Е векторын утга хэрхэн өөрчлөгдөж байгааг авч үзье. Усан дахь талбайн хүч 81 дахин огцом буурдаг. Энэ вектор зан байдал Эянз бүрийн орчинд талбаруудыг тооцоолоход тодорхой таагүй байдлыг бий болгодог. Энэ таагүй байдлаас зайлсхийхийн тулд шинэ векторыг нэвтрүүлсэн Д– талбайн индукц буюу цахилгаан шилжилтийн вектор. Вектор холболт ДТэгээд Эшиг харагдаж байна

Д = ε ε 0 Э.

Мэдээжийн хэрэг, цэгийн цэнэгийн талбайн хувьд цахилгаан шилжилт нь тэнцүү байх болно

Цахилгаан шилжилтийг С/м2-ээр хэмждэг, шинж чанараас хамаардаггүй, графикаар суналтын шугамтай төстэй шугамаар дүрслэгдсэн болохыг харахад хялбар байдаг.

Талбайн шугамын чиглэл нь орон зай дахь талбайн чиглэлийг (мэдээжийн хэрэг, талбайн шугам байхгүй, тэдгээрийг дүрслэн харуулахын тулд оруулсан болно) эсвэл талбайн хүч чадлын векторын чиглэлийг тодорхойлдог. Эрчим хүчний шугамыг ашиглан та зөвхөн чиглэлийг төдийгүй талбайн хүч чадлын хэмжээг тодорхойлж болно. Үүнийг хийхийн тулд тэдгээрийг тодорхой нягтралтайгаар гүйцэтгэхээр тохиролцсон бөгөөд ингэснээр суналтын шугамд перпендикуляр нэгж гадаргууг цоолох суналтын шугамын тоо векторын модультай пропорциональ байна. Э(Зураг 78). Дараа нь энгийн талбайг нэвтлэх шугамын тоо dS, аль нь хэвийн nвектортой α өнцөг үүсгэнэ Э, нь E dScos α = E n dS-тэй тэнцүү,

Энд E n нь вектор бүрэлдэхүүн хэсэг юм Эхэвийн чиглэлд n. dФ E = E n dS = утга Эг Сдуудсан сайтаар дамжин хурцадмал векторын урсгалг С(д С= dS n).

Дурын хаалттай S гадаргуугийн хувьд векторын урсгал ЭЭнэ гадаргуугаар дамжуулан тэнцүү байна

Үүнтэй төстэй илэрхийлэл нь Ф D цахилгаан шилжилтийн векторын урсгалтай байна

.

Остроградский-Гаусын теорем

Энэ теорем нь ямар ч тооны цэнэгээс E ба D векторуудын урсгалыг тодорхойлох боломжийг олгодог. Q цэгийн цэнэгийг авч векторын урсгалыг тодорхойлъё Эголд нь байрлах r радиустай бөмбөрцөг гадаргуугаар дамжин.

Бөмбөрцөг гадаргуугийн хувьд α = 0, cos α = 1, E n = E, S = 4 πr 2 ба

Ф E = E · 4 πr 2 .

E-ийн илэрхийлэлийг орлуулснаар бид олж авна

Ийнхүү цэгийн цэнэг бүрээс F E векторын урсгал гарч ирдэг Э Q/ ε 0 -тай тэнцүү. Энэхүү дүгнэлтийг дурын тооны цэгийн цэнэгийн ерөнхий тохиолдлоор нэгтгэн бид теоремын томъёоллыг өгдөг: векторын нийт урсгал. ЭДурын хэлбэрийн битүү гадаргуугаар дамжин өнгөрөх нь энэ гадаргуугийн доторх цахилгаан цэнэгийн алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд ε 0-д хуваагдана, өөрөөр хэлбэл.

Цахилгаан шилжилтийн векторын урсгалын хувьд ДТа ижил төстэй томъёог авч болно

хаалттай гадаргуугаар дамжин өнгөрөх индукцийн векторын урсгал нь энэ гадаргууг бүрхсэн цахилгаан цэнэгийн алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Хэрэв бид цэнэгийг хүлээн авдаггүй битүү гадаргууг авбал мөр бүрийг авна ЭТэгээд ДЭнэ гадаргууг хоёр удаа - орох ба гарах хэсэгт давах тул нийт урсгал тэг болж хувирна. Энд орох, гарах шугамын алгебрийн нийлбэрийг харгалзан үзэх шаардлагатай.

Хавтгай, бөмбөрцөг, цилиндрээс үүссэн цахилгаан талбайг тооцоолоход Остроградский-Гаусын теоремыг ашиглах

R радиустай бөмбөрцөг гадаргуу нь гадаргуугийн нягтрал σ бүхий гадаргуу дээр жигд тархсан Q цэнэгийг агуулдаг.

Бөмбөрцгийн гадна байгаа А цэгийг төвөөс r зайд авч, r радиустай тэгш хэмтэй цэнэгтэй бөмбөрцгийг оюун ухаанаар зуръя (Зураг 79). Түүний талбай нь S = 4 πr 2. E векторын урсгал нь тэнцүү байх болно

Остроградский-Гаусын теоремын дагуу
, тиймээс,
Q = σ 4 πr 2 гэдгийг харгалзан үзвэл бид олж авна

Бөмбөрцгийн гадаргуу дээр байрлах цэгүүдийн хувьд (R = r)

Д Хөндий бөмбөрцөг дотор байрлах цэгүүдийн хувьд (бөмбөрцөг дотор цэнэг байхгүй) E = 0.

2 . R радиус ба урттай хөндий цилиндр гадаргуу лтогтмол гадаргуугийн цэнэгийн нягтаар цэнэглэгддэг
(Зураг 80). r > R радиустай коаксиаль цилиндр гадаргууг зуръя.

Урсгалын вектор Ээнэ гадаргуугаар дамжин

Гауссын теоремоор

Дээрх тэгшитгэлийн баруун талыг тэнцүүлж, бид олж авна

.

Хэрэв цилиндрийн шугаман цэнэгийн нягтыг (эсвэл нимгэн утас) өгвөл
Тэр

3. Гадаргуугийн цэнэгийн нягтрал σ бүхий хязгааргүй хавтгайн талбар (Зураг 81).

Хязгааргүй хавтгайгаас үүссэн талбайг авч үзье. Тэгш хэмийн үүднээс авч үзвэл талбайн аль ч цэг дэх эрчим нь хавтгайд перпендикуляр чиглэлтэй байдаг.

Тэгш хэмтэй цэгүүдэд E нь ижил хэмжээтэй, эсрэг чиглэлтэй байна.

ΔS суурьтай цилиндрийн гадаргууг оюун ухаанаар бүтээцгээе. Дараа нь цилиндрийн суурь тус бүрээр урсах болно

F E = E ΔS ба цилиндр гадаргуугаар дамжин өнгөрөх нийт урсгал нь F E = 2E ΔS-тэй тэнцүү байх болно.

Гадаргуу дотор Q = σ · ΔS цэнэг байна. Гауссын теоремоор энэ нь үнэн байх ёстой

хаана

Хүлээн авсан үр дүн нь сонгосон цилиндрийн өндрөөс хамаарахгүй. Тиймээс ямар ч зайд E талбайн хүч нь ижил хэмжээтэй байна.

Гадаргуугийн ижил цэнэгийн нягт σ бүхий хоёр өөр цэнэглэгдсэн онгоцны хувьд суперпозицийн зарчмын дагуу хавтгай хоорондын зайны гадна талбайн хүч нь тэг E = 0, хавтгай хоорондын зайд.
(Зураг 82a). Хэрэв онгоцууд ижил гадаргуугийн цэнэгийн нягттай ижил цэнэгээр цэнэглэгдсэн бол эсрэг дүр зураг ажиглагдана (Зураг 82б). Хавтгайнуудын хоорондох зайд E = 0, хавтгайнуудын гаднах орон зайд
.

Электростатикийн хэрэглээний гол ажил бол янз бүрийн төхөөрөмж, төхөөрөмжид үүссэн цахилгаан талбайн тооцоо юм. Ерөнхийдөө энэ асуудлыг Кулоны хууль ба суперпозиция зарчмыг ашиглан шийддэг. Гэсэн хэдий ч олон тооны цэг эсвэл орон зайд хуваарилагдсан цэнэгийг авч үзэхэд энэ даалгавар маш төвөгтэй болдог. Орон зайд диэлектрик эсвэл дамжуулагч байх үед, E 0 гадаад талбайн нөлөөн дор микроскопийн цэнэгийн дахин хуваарилалт үүсч, өөрийн нэмэлт E талбар үүсэх үед бүр ч илүү хүндрэл гардаг. Тиймээс эдгээр асуудлыг бодитоор шийдвэрлэхийн тулд туслах арга, арга техникийг ашигладаг. нарийн төвөгтэй математикийн аппарат ашигладаг. Бид Остроградский-Гаусын теоремыг ашиглахад үндэслэсэн хамгийн энгийн аргыг авч үзэх болно. Энэ теоремыг томъёолохын тулд бид хэд хэдэн шинэ ойлголтуудыг танилцуулж байна.

A) цэнэгийн нягт

Хэрэв цэнэглэгдсэн бие нь том бол биеийн доторх цэнэгийн тархалтыг мэдэх хэрэгтэй.

Эзлэхүүний цэнэгийн нягт- нэгж эзэлхүүний цэнэгээр хэмжигддэг:

Гадаргуугийн цэнэгийн нягт– биеийн нэгж гадаргууд ногдох цэнэгээр хэмжигддэг (цэнэг гадаргуу дээр тархсан үед):

Шугаман цэнэгийн нягт(дамжуулагчийн дагуу цэнэгийн хуваарилалт):

б) электростатик индукцийн вектор

Электростатик индукцийн вектор (цахилгаан шилжилтийн вектор) нь цахилгаан орныг тодорхойлдог вектор хэмжигдэхүүн юм.

Вектор векторын үржвэртэй тэнцүү байна Тухайн цэг дэх орчны үнэмлэхүй диэлектрик тогтмол дээр:

Хэмжээг нь шалгацгаая Д SI нэгжээр:

, учир нь
,

Дараа нь D ба E хэмжээсүүд давхцахгүй бөгөөд тэдгээрийн тоон утга нь өөр байна.

Тодорхойлолтоос Энэ нь вектор талбарын хувьд ийм байна талбайн хувьд суперпозицийн ижил зарчим үйлчилнэ :

Талбай талбар шиг индукцийн шугамаар графикаар дүрслэгдсэн . Цэг бүрийн шүргэгч нь чиглэлтэй давхцаж байхаар индукцийн шугамыг зурсан , мөн мөрийн тоо нь тухайн байршил дахь D-ийн тоон утгатай тэнцүү байна.

Танилцуулгын утгыг ойлгохын тулд Нэг жишээ авч үзье.

V) электростатик индукцийн векторын урсгал

Цахилгаан орон дахь S гадаргууг авч үзээд хэвийн чиглэлийг сонго

1. Хэрвээ талбай жигд байвал S гадаргуугаар дамжин өнгөрөх талбайн шугамын тоо:

2. Хэрэв талбай нь жигд бус байвал гадаргуу нь dS хязгааргүй жижиг элементүүдэд хуваагддаг бөгөөд тэдгээрийг хавтгай гэж үздэг бөгөөд тэдгээрийн эргэн тойрон дахь талбай нь жигд байна. Иймд гадаргуугийн элементээр дамжин өнгөрөх урсгал нь: dN = D n dS,

ямар ч гадаргуугаар дамжин өнгөрөх нийт урсгал нь:

(6)

Индукцийн урсгал N нь скаляр хэмжигдэхүүн; -аас хамааран > 0 эсвэл байж болно< 0, или = 0.

Олон тооны төлбөр байгаа тохиолдолд талбайг тооцоолоход зарим хүндрэл гардаг.

Гауссын теорем нь тэдгээрийг даван туулахад тусалдаг. Мөн чанар Гауссын теоремХэрэв дурын тооны цэнэгүүд нь S битүү гадаргуугаар хүрээлэгдсэн бол dS элементар талбайгаар дамжин өнгөрөх цахилгаан орны хүч чадлын урсгалыг dФ = Есоsα۰dS гэж бичиж болно. Энд α нь норм ба гадаргын хоорондох өнцөг юм. хавтгай ба хүч чадлын вектор . (Зураг 12.7)

Бүх гадаргуугаар дамжин өнгөрөх нийт урсгал нь түүний дотор санамсаргүй байдлаар тархсан бүх цэнэгийн урсгалын нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд энэ цэнэгийн хэмжээтэй пропорциональ байна.

(12.9)

Төвд нь +q цэгийн цэнэг байрласан r радиустай бөмбөрцөг гадаргуугаар эрчимжилтийн векторын урсгалыг тодорхойлъё (Зураг 12.8). Хүчдэлийн шугамууд нь бөмбөрцгийн гадаргуутай перпендикуляр, α = 0, тиймээс cosα = 1. Дараа нь.

Хэрэв талбар нь цэнэгийн системээр үүсгэгдсэн бол

Гауссын теорем: вакуум дахь электростатик талбайн хүч чадлын векторын ямар ч хаалттай гадаргуугаар дамжин өнгөрөх урсгал нь энэ гадаргуугийн доторх цэнэгийн алгебрийн нийлбэрийг цахилгаан тогтмолд хуваасантай тэнцүү байна.

(12.10)

Хэрэв бөмбөрцөг дотор цэнэг байхгүй бол Ф = 0 байна.

Гауссын теорем нь тэгш хэмтэй тархсан цэнэгийн цахилгаан талбайг тооцоолоход харьцангуй хялбар болгодог.

Тархсан цэнэгийн нягтын тухай ойлголтыг танилцуулъя.

Шугаман нягтыг τ гэж тэмдэглэсэн бөгөөд нэгж урт ℓ тутамд q цэнэгийг тодорхойлдог. Ерөнхийдөө томъёогоор тооцоолж болно

(12.11)

Цэнэгүүдийн жигд хуваарилалтаар шугаман нягт нь тэнцүү байна

Гадаргуугийн нягтыг σ-ээр тэмдэглэж, S нэгж талбайд ногдох q цэнэгийг тодорхойлдог. Ерөнхийдөө үүнийг томъёогоор тодорхойлно.

(12.12)

Гадаргуу дээрх цэнэгийн жигд тархалтаар гадаргуугийн нягт нь тэнцүү байна

Эзлэхүүний нягтыг ρ-ээр тэмдэглэж, нэгж эзэлхүүн дэх q цэнэгийг тодорхойлдог V. Ерөнхийдөө үүнийг томъёогоор тодорхойлно.

(12.13)

Төлбөрийн жигд хуваарилалтаар энэ нь тэнцүү байна
.

Бөмбөрцөгт q цэнэг жигд тархсан тул

σ = const. Гауссын теоремыг хэрэгжүүлье. А цэгээр радиустай бөмбөрцөг зуръя. 12.9-р зурагт үзүүлсэн хурцадмал векторын радиустай бөмбөрцөг гадаргуугаар урсах нь cosα = 1-тэй тэнцүү, учир нь α = 0. Гауссын теоремоор,
.

эсвэл

(12.14)

(12.14) илэрхийллээс харахад цэнэглэгдсэн бөмбөрцгийн гаднах талбайн хүч нь бөмбөрцгийн төвд байрлуулсан цэгийн цэнэгийн талбайн хүчтэй ижил байна. Бөмбөрцгийн гадаргуу дээр, i.e. r 1 = r 0, хурцадмал байдал
.

Бөмбөрцөг дотор r 1< r 0 (рис.12.9) напряжённость Е = 0, так как сфера радиусом r 2 внутри никаких зарядов не содержит и, по теореме Гаусса, поток вектора сквозь такую сферу равен нулю.

r 0 радиустай цилиндр нь гадаргуугийн нягтрал σ-тай жигд цэнэглэгддэг (Зураг 12.10). Дурын сонгосон А цэг дээрх талбайн хүчийг тодорхойлъё. R радиустай, ℓ урттай төсөөллийн цилиндр гадаргууг А цэгээр дамжуулж зуръя. Тэгш хэмийн улмаас урсгал нь зөвхөн цилиндрийн хажуугийн гадаргуугаар дамжин гарах болно, учир нь r 0 радиустай цилиндр дээрх цэнэг нь түүний гадаргуу дээр жигд тархсан байдаг. хүчдэлийн шугамууд нь хоёр цилиндрийн хажуугийн гадаргуутай перпендикуляр шулуун шулуун шугамууд байх болно. Цилиндрийн суурийн урсгал нь тэг (cos α = 0), цилиндрийн хажуугийн гадаргуу нь хүчний шугамд перпендикуляр (cos α = 1) байх тул

эсвэл

(12.15)

E-ийн утгыг σ - гадаргуугийн нягтралаар илэрхийлье. А - тэргүүн байр,

тиймээс,

(12.15) томъёонд q-ийн утгыг орлуулъя.

(12.16)

Шугаман нягтын тодорхойлолтоор,
, хаана
; Бид энэ илэрхийллийг томъёогоор (12.16) орлуулна:

(12.17)

тэдгээр. Хязгааргүй урт цэнэглэгдсэн цилиндрээс үүссэн талбайн хүч нь шугаман цэнэгийн нягттай пропорциональ ба зайтай урвуу хамааралтай байна.

Хязгааргүй жигд цэнэглэгдсэн хавтгайгаас үүссэн талбайн хүч

А цэг дээр хязгааргүй жигд цэнэглэгдсэн хавтгайн үүсгэсэн талбайн хүчийг тодорхойлъё. Хавтгайн гадаргуугийн цэнэгийн нягтыг σ-тэй тэнцүү болгоё. Хаалттай гадаргуугийн хувьд тэнхлэг нь хавтгайд перпендикуляр, баруун суурь нь А цэгийг агуулсан цилиндрийг сонгоход тохиромжтой. Онгоц нь цилиндрийг хагасаар хуваана. Мэдээжийн хэрэг, хүчний шугамууд нь хавтгайд перпендикуляр бөгөөд цилиндрийн хажуугийн гадаргуутай параллель байдаг тул бүх урсгал нь зөвхөн цилиндрийн суурийн дундуур дамждаг. Хоёр суурин дээр талбайн хүч ижил байна, учир нь А ба В цэгүүд нь хавтгайтай харьцуулахад тэгш хэмтэй байна. Дараа нь цилиндрийн суурь дамжин өнгөрөх урсгал нь тэнцүү байна

Гауссын теоремын дагуу

Учир нь
, Тэр
, хаана

(12.18)

Ийнхүү хязгааргүй цэнэгтэй онгоцны талбайн хүч нь гадаргуугийн цэнэгийн нягттай пропорциональ бөгөөд хавтгай хүртэлх зайнаас хамаардаггүй. Тиймээс онгоцны талбар жигд байна.

Эсрэг жигд цэнэглэгдсэн хоёр зэрэгцээ хавтгайн үүсгэсэн талбайн хүч

Хоёр хавтгайгаар үүссэн талбайг талбайн суперпозиция зарчмаар тодорхойлно.
(Зураг 12.12). Хавтгай тус бүрийн үүсгэсэн талбар нь жигд, эдгээр талбаруудын хүч чадал нь ижил хэмжээтэй боловч эсрэг чиглэлтэй байна.
. Суперпозиция зарчмын дагуу хавтгайн гаднах талбайн нийт хүч нь тэг байна.

Онгоцны хооронд талбайн хүч чадал нь ижил чиглэлтэй тул үр дүнд хүрэх хүч нь тэнцүү байна

Ийнхүү өөр өөр цэнэглэгдсэн хоёр онгоцны хоорондох талбай жигд бөгөөд түүний эрчим нь нэг хавтгайгаас үүссэн талбайн эрчмээс хоёр дахин хүчтэй байна. Онгоцны баруун, зүүн талд талбай байхгүй. Хязгаарлагдмал хавтгайн талбар нь ижил хэлбэртэй байдаг бөгөөд гажуудал нь зөвхөн тэдгээрийн хилийн ойролцоо илэрдэг. Үүссэн томъёог ашиглан та хавтгай конденсаторын хавтангийн хоорондох талбайг тооцоолж болно.

Цахилгаан индукцийн Гауссын теорем (цахилгаан шилжилт)[

Диэлектрик орчинд байгаа талбайн хувьд Гауссын цахилгаан статик теоремыг өөр аргаар (өөр хувилбараар) бичиж болно - цахилгаан шилжилтийн векторын урсгалаар (цахилгаан индукц). Энэ тохиолдолд теоремыг томъёолох нь дараах байдалтай байна: хаалттай гадаргуугаар дамжин өнгөрөх цахилгаан нүүлгэн шилжүүлэлтийн векторын урсгал нь энэ гадаргуу дотор агуулагдах чөлөөт цахилгаан цэнэгтэй пропорциональ байна.

Дифференциал хэлбэрээр:

Соронзон индукцийн Гауссын теорем

Ямар ч хаалттай гадаргуугаар дамжин өнгөрөх соронзон индукцийн векторын урсгал тэг байна.

эсвэл дифференциал хэлбэрээр

Энэ нь байгальд цахилгаан цэнэгүүд цахилгаан орон үүсгэдэгтэй адил соронзон орон үүсгэдэг "соронзон цэнэг" (монополь) байдаггүйтэй дүйцэхүйц юм. Өөрөөр хэлбэл, соронзон индукцийн Гауссын теорем нь соронзон орон нь (бүрэн) гэдгийг харуулж байна. эргүүлэг.

Ньютоны таталцлын тухай Гауссын теорем

Ньютоны таталцлын талбайн хүч чадлын хувьд (таталцлын хурдатгал) Гауссын теорем нь зөвхөн тогтмол хэмжигдэхүүнүүдийг эс тооцвол электростатикийн теоремтой бараг давхцдаг (гэхдээ нэгжийн системийн дурын сонголтоос хамааралтай хэвээр байгаа) ба хамгийн чухал нь тэмдэг:

Хаана g- таталцлын талбайн хүч, М- гадаргуугийн доторх таталцлын цэнэг (өөрөөр хэлбэл масс). С, ρ - массын нягтрал, Г- Ньютоны тогтмол.

Цахилгаан орон дахь дамжуулагч. Дамжуулагч дотор болон түүний гадаргуу дээрх талбар.

Дамжуулагч гэдэг нь цахилгаан цэнэг нь цэнэглэгдсэн биеэс цэнэггүй бие рүү дамждаг бие юм.Дамжуулагчийн цахилгаан цэнэгийг өөрөөсөө дамжуулах чадварыг тэдгээрийн дотор үнэгүй цэнэглэгч байгаатай холбон тайлбарладаг. Дамжуулагч - хатуу ба шингэн төлөвт байгаа металл бие, электролитийн шингэн уусмал. Цахилгаан орон руу нэвтрүүлсэн дамжуулагчийн чөлөөт цэнэгүүд түүний нөлөөн дор хөдөлж эхэлдэг. Цэнэгүүдийн дахин хуваарилалт нь цахилгаан талбайн өөрчлөлтийг үүсгэдэг. Дамжуулагч дахь цахилгаан орны хүч тэг болох үед электронууд хөдөлгөөнийг зогсооно. Цахилгаан талбарт байрлуулсан дамжуулагч дахь ялгаатай цэнэгүүдийг салгах үзэгдлийг электростатик индукц гэж нэрлэдэг. Дамжуулагчийн дотор цахилгаан орон байхгүй. Энэ нь цахилгаан статик хамгаалалтанд ашиглагддаг - цахилгаан талбараас металл дамжуулагчийг ашиглан хамгаалах. Цахилгаан орон дахь ямар ч хэлбэрийн дамжуулагч биеийн гадаргуу нь эквипотенциал гадаргуу юм.

Конденсатор

Орчуулагчтай харьцуулахад бага потенциалтай үед мэдэгдэхүйц цэнэгийг өөртөө хуримтлуулах (конденсацлах) төхөөрөмжийг олж авахын тулд бусад биетүүд ойртох тусам дамжуулагчийн цахилгаан хүчин чадал нэмэгддэг гэдгийг ашигладаг. Үнэн хэрэгтээ, цэнэглэгдсэн дамжуулагчийн үүсгэсэн талбайн нөлөөн дор индукцлагдсан (дамжуулагч дээр) эсвэл холбогдох (диэлектрик дээр) цэнэгүүд түүнд авчирсан бие дээр гарч ирдэг (Зураг 15.5). q дамжуулагчийн цэнэгийн эсрэг талын цэнэгүүд нь q-тай ижил нэртэй цэнэгүүдээс илүү дамжуулагчтай ойрхон байрладаг тул түүний потенциалд ихээхэн нөлөөлдөг.

Тиймээс аливаа биеийг цэнэглэгдсэн дамжуулагч руу ойртуулах үед талбайн хүч буурч, улмаар дамжуулагчийн потенциал буурдаг. Тэгшитгэлийн дагуу энэ нь дамжуулагчийн багтаамжийн өсөлт гэсэн үг юм.

Конденсатор нь диэлектрик давхаргаар тусгаарлагдсан хоёр дамжуулагч (хавтан) (Зураг 15.6) -аас бүрдэнэ. Дамжуулагчид тодорхой боломжит зөрүүг хэрэглэх үед түүний ялтсууд нь эсрэг тэмдэгтэй тэнцүү цэнэгээр цэнэглэгддэг. Конденсаторын цахилгаан багтаамжийг q цэнэгтэй пропорциональ ба ялтсуудын хоорондох потенциалын зөрүүтэй урвуу пропорциональ физик хэмжигдэхүүн гэж ойлгодог.

Хавтгай конденсаторын багтаамжийг тодорхойлъё.

Хэрэв хавтангийн талбай нь S ба түүн дээрх цэнэг нь q бол ялтсуудын хоорондох талбайн хүч

Нөгөө талаас, ялтсуудын хоорондох боломжит ялгаа нь үүнээс үүсдэг

Цэгийн цэнэгийн системийн энерги, цэнэглэгдсэн дамжуулагч ба конденсатор.

Аливаа цэнэгийн систем нь харилцан үйлчлэлийн боломжит энергитэй байдаг бөгөөд энэ нь энэ системийг бий болгоход зарцуулсан ажилтай тэнцүү юм. Цэгэн цэнэгийн системийн энерги q 1 , q 2 , q 3 ,… q Ндараах байдлаар тодорхойлогддог.

Хаана φ 1 - бусад бүх цэнэгүүдээс үүссэн цахилгаан талбайн потенциал q 1 цэнэгийн байрлаж буй цэг дээр q 1 гэх мэт. Хэрэв цэнэгийн системийн тохиргоо өөрчлөгдвөл системийн энерги ч өөрчлөгдөнө. Системийн тохиргоог өөрчлөхийн тулд ажил хийгдэх ёстой.

Цэгэн цэнэгийн системийн боломжит энергийг өөр аргаар тооцоолж болно. Хоёр цэгийн цэнэгийн боломжит энерги q 1 , q 2 бие биенээсээ хол зайд тэнцүү байна. Хэрэв хэд хэдэн цэнэг байгаа бол энэ цэнэгийн системийн боломжит энергийг энэ системд бүрдүүлж болох бүх хос цэнэгийн боломжит энергийн нийлбэрээр тодорхойлж болно. Тиймээс гурван эерэг цэнэгийн системийн хувьд системийн энерги нь тэнцүү байна

Цэнэглэгдсэн ганц дамжуулагч ба конденсаторын энерги

Тусгаарлагдсан дамжуулагч q цэнэгтэй бол түүний эргэн тойронд цахилгаан орон байх ба түүний гадаргуу дээрх потенциал нь -тэй тэнцүү ба багтаамж нь C. Цэнэг dq хэмжээгээр нэмэгдүүлье. dq цэнэгийг хязгааргүйгээс шилжүүлэхдээ тэнцүү ажил хийх ёстой . Гэхдээ хязгааргүйд өгөгдсөн дамжуулагчийн электростатик талбайн потенциал тэг байна. Дараа нь

Дамжуулагчаас dq цэнэгийг хязгааргүйд шилжүүлэхэд цахилгаан статик талбайн хүчээр ижил ажлыг гүйцэтгэдэг. Үүний үр дүнд дамжуулагчийн цэнэг dq хэмжээгээр нэмэгдэхэд талбайн боломжит энерги нэмэгддэг, өөрөөр хэлбэл.

Энэ илэрхийлэлийг нэгтгэснээр бид цэнэгтэй дамжуулагчийн цэнэг тэгээс q хүртэл нэмэгдэхэд цахилгаан статик талбайн потенциал энергийг олно.

Харьцааг ашигласнаар бид потенциал энергийн W-ийн дараах илэрхийллийг гаргаж болно.

Цэнэглэгдсэн конденсаторын хувьд потенциалын зөрүү (хүчдэл) нь түүний электростатик талбайн нийт энергийн харьцаатай тэнцүү байна.

Цахилгаан индукцийн вектор урсгалын тухай ойлголтыг танилцуулъя. Хязгааргүй жижиг талбайг авч үзье. Ихэнх тохиолдолд энэ нь зөвхөн сайтын хэмжээ төдийгүй орон зай дахь чиг баримжааг мэдэх шаардлагатай байдаг. Вектор талбайн тухай ойлголтыг танилцуулъя. Талбайн вектор гэж тухайн талбайд перпендикуляр чиглэсэн, тоон хувьд талбайн хэмжээтэй тэнцүү векторыг хэлнэ гэдэгтэй санал нийлэе.

Зураг 1 - Векторын тодорхойлолт руу - сайт

Векторын урсгалыг нэрлэе платформоор дамжуулан
векторуудын цэгэн үржвэр Тэгээд
. Тиймээс,

Урсгалын вектор дурын гадаргуугаар дамжуулан бүх элементар урсгалыг нэгтгэх замаар олно

(4)

Хэрвээ талбай нь жигд, гадаргуу нь тэгш байвал талбайд перпендикуляр байрласан бол:

. (5)

Өгөгдсөн илэрхийлэл нь сайтыг цоолох хүчний шугамын тоог тодорхойлно нэгж цаг тутамд.

Остроградский-Гаусын теорем. Цахилгаан орны хүч чадлын зөрүү

Дурын хаалттай гадаргуугаар дамжин өнгөрөх цахилгаан индукцийн вектор урсгал чөлөөт цахилгаан цэнэгийн алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү , энэ гадаргуугаар бүрхэгдсэн

(6)

(6) илэрхийлэл O-G теоремыг интеграл хэлбэрээр илэрхийлнэ. Теорем 0-Г нь интеграл (нийт) эффекттэй ажилладаг, өөрөөр хэлбэл. Хэрэв
Энэ нь сансрын судлагдсан хэсгийн бүх цэгүүдэд цэнэг байхгүй, эсвэл энэ орон зайн өөр өөр цэгүүдэд байрлах эерэг ба сөрөг цэнэгийн нийлбэр тэгтэй тэнцүү байна уу гэдэг нь тодорхойгүй байна.

Өгөгдсөн талбарт байрлах цэнэг ба тэдгээрийн хэмжээг олохын тулд цахилгаан индукцийн вектортой холбоотой хамаарал шаардлагатай. ижил цэг дээр цэнэгтэй өгөгдсөн цэг дээр.

Нэг цэг дээр цэнэг байгаа эсэхийг тодорхойлох хэрэгтэй гэж бодъё А(Зураг 2)

Зураг 2 – Векторын зөрүүг тооцоолох

O-G теоремыг хэрэгжүүлье. Цэгийн байрлаж буй эзэлхүүнийг хязгаарласан дурын гадаргуугаар дамжин өнгөрөх цахилгаан индукцийн векторын урсгал А, тэнцүү байна

Эзлэхүүн дэх цэнэгийн алгебрийн нийлбэрийг эзлэхүүний интеграл гэж бичиж болно

(7)

Хаана - нэгж эзлэхүүний төлбөр ;

- эзлэхүүний элемент.

Нэг цэг дэх талбар ба цэнэгийн хоорондох холболтыг олж авах АБид гадаргууг нэг цэг хүртэл агших замаар эзлэхүүнийг багасгах болно А. Энэ тохиолдолд бид тэгш байдлынхаа хоёр талыг үнэ цэнээр нь хуваадаг . Хязгаарлалт руу шилжихэд бид дараахь зүйлийг авна.

.

Үүссэн илэрхийллийн баруун тал нь тодорхойлолтоор сансар огторгуйд авч үзсэн цэг дэх эзэлхүүний цэнэгийн нягт юм. Зүүн тал нь битүү гадаргуугаар дамжин өнгөрөх цахилгаан индукцийн векторын урсгалын энэ гадаргуугаар хязгаарлагдах эзлэхүүнтэй харьцуулсан харьцааны хязгаарыг илэрхийлдэг бөгөөд эзэлхүүн нь тэг болох хандлагатай байдаг. Энэ скаляр хэмжигдэхүүн нь цахилгаан талбайн чухал шинж чанар бөгөөд үүнийг нэрлэдэг векторын ялгаа .

Тиймээс:

,

тиймээс

, (8)

Хаана - эзэлхүүний цэнэгийн нягт.

Энэ хамаарлыг ашиглан цахилгаан статикийн урвуу асуудлыг энгийнээр шийддэг, өөрөөр хэлбэл. мэдэгдэж буй талбарт хуваарилагдсан цэнэгийг олох.

Хэрэв вектор өгөгдсөн бөгөөд энэ нь түүний төсөөлөл мэдэгдэж байна гэсэн үг юм
,
,
координатын функцээр координатын тэнхлэгт шилжүүлж, өгөгдсөн талбарыг үүсгэсэн цэнэгийн тархсан нягтыг тооцоолохын тулд эдгээр проекцуудын гурван хэсэгчилсэн деривативын нийлбэрийг харгалзах хувьсагчдын хувьд олоход хангалттай юм. Үүний төлөө эдгээр цэгүүдэд
хураамжгүй. Хаана байгаа цэгүүдэд
эерэг бол эзлэхүүний нягттай тэнцүү эерэг цэнэг байна
, мөн тэдгээр цэгүүдэд хаана
сөрөг утгатай байх болно, сөрөг цэнэг байдаг, нягтрал нь мөн ялгаа утгаар тодорхойлогддог.

Илэрхийлэл (8) 0-Г теоремыг дифференциал хэлбэрээр илэрхийлнэ. Энэ хэлбэрээр теорем үүнийг харуулж байна цахилгаан талбайн эх үүсвэрүүд нь чөлөөт цахилгаан цэнэгүүд байх;цахилгаан индукцийн векторын талбайн шугамууд нь эерэг ба сөрөг цэнэгүүдээр эхэлж, төгсдөг.