Экспоненциалын x-ийн дериватив. e-ийн x-ийн зэрэглэлийн дериватив ба экспоненциал функцийн дериватив.

Эрт дээр үед олон тоо хэмжээ, мухар сүсгийн утгыг олж авсан. Өнөө үед тэдэнд шинэ домог нэмэгдэж байна. Пи тооны тухай олон домог байдаг. Гэхдээ магадгүй хамгийн гайхмаар зүйл бол e тоо юм. тэргүйгээр хийж чадахгүй орчин үеийн математик, физик, тэр байтугай эдийн засаг.

e-ийн арифметик утга нь ойролцоогоор 2.718 байна. Яагаад яг биш, харин ойролцоогоор? Энэ тоо нь иррациональ бөгөөд трансцендент учраас түүнийг натурал бүхэл тоотой бутархай эсвэл рационал коэффициент бүхий олон гишүүнт хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй. Тооцооллын технологийн орчин үеийн түвшин нь түүний утгыг аравтын бутархайн триллионоос илүү нарийвчлалтайгаар тодорхойлох боломжийг олгодог хэдий ч ихэнх тооцооллын хувьд 2.718 гэсэн нарийвчлал хангалттай байдаг.

e тооны гол онцлог нь түүний экспоненциал функцийн уламжлал f (x) = e x нь e x функцийн өөрийн утгатай тэнцүү байна. Өөр ямар ч математикийн холбоо ийм ер бусын шинж чанартай байдаггүй. Энэ талаар бага зэрэг дэлгэрэнгүй ярилцъя.

Хязгаар гэж юу вэ

Эхлээд хязгаар гэдэг ойлголтыг ойлгоцгооё. Зарим математик илэрхийллийг авч үзье, жишээлбэл, i = 1/n. Харж болно, "n" нэмэгдэх тусам", "i"-ийн утга буурч, "n" нь хязгааргүйд хүрэх хандлагатай байдаг (үүнийг ∞ тэмдгээр тэмдэглэдэг) "i" нь тэгтэй тэнцэх хязгаарын утгыг (ихэвчлэн зүгээр л хязгаар гэж нэрлэдэг) чиглүүлэх болно. Хэлэлцэж буй хэргийн хязгаарын илэрхийллийг (lim гэж тэмдэглэсэн) lim n →∞ (1/ n) = 0 гэж бичиж болно.

Өөр өөр илэрхийлэлд өөр өөр хязгаарлалт байдаг. Зөвлөлт ба Оросын сурах бичигт хоёр дахь гайхалтай хязгаар гэж орсон эдгээр хязгаарын нэг нь lim n →∞ (1+1/ n) n илэрхийлэл юм. Дундад зууны үед энэ илэрхийллийн хязгаар нь e тоо гэдгийг аль хэдийн тогтоосон.

Эхний гайхалтай хязгаарт lim n →∞ (Sin n / n) = 1 илэрхийлэл орно..

e x-ийн деривативыг хэрхэн олох вэ - энэ видеон дээр.

Функцийн дериватив гэж юу вэ

Деривативын тухай ойлголтыг тайлбарлахын тулд математикт функц гэж юу болохыг эргэн санах хэрэгтэй. Текстийг нарийн төвөгтэй тодорхойлолтоор дүүргэхгүйн тулд бид функцийн математикийн зөн совингийн үзэл баримтлалд анхаарлаа хандуулах болно, үүнд нэг буюу хэд хэдэн хэмжигдэхүүн нь өөр хэмжигдэхүүнтэй холбоотой бол өөр хэмжигдэхүүнийг бүрэн тодорхойлдог гэсэн үг юм. Жишээлбэл, S = π ∙ r 2 томъёонд тойргийн талбай, r радиусын утга нь S тойргийн талбайг бүрэн бөгөөд өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог.

Төрлөөс хамааран функцууд нь алгебр, тригонометр, логарифм гэх мэт байж болно. Тэд хоорондоо холбогдсон хоёр, гурав ба түүнээс дээш аргументтай байж болно. Жишээлбэл, биетийн нэгэн жигд хурдасгасан хурдаар туулсан S зайг S = 0.5 ∙ a ∙ t 2 + V ∙ t функцээр тайлбарлах ба энд "t" нь хөдөлгөөний цаг, аргумент "a" юм. ” нь хурдатгал (эерэг эсвэл сөрөг утгатай байж болно) ба “V” нь хөдөлгөөний анхны хурд юм. Тиймээс аялсан зай нь гурван аргументийн утгуудаас хамаардаг бөгөөд тэдгээрийн хоёр нь ("a" ба "V") тогтмол байдаг.

Функцийн деривативын үндсэн ойлголтыг харуулахын тулд энэ жишээг ашиглая. Энэ нь тухайн цэг дэх функцийн өөрчлөлтийн хурдыг тодорхойлдог. Бидний жишээн дээр энэ нь тодорхой цаг хугацааны объектын хөдөлгөөний хурд байх болно. Тогтмол "a" ба "V" үед энэ нь зөвхөн "t" цаг хугацаанаас хамаарна, өөрөөр хэлбэл шинжлэх ухааны хэлээр "t" цагтай холбоотой S функцийн уламжлалыг авах хэрэгтэй.

Энэ процессыг дифференциал гэж нэрлэдэг бөгөөд функцийн өсөлтийн харьцааны хязгаарыг түүний аргументийн өсөлтөд үл тоомсорлох бага хэмжээгээр тооцоолох замаар гүйцэтгэдэг. Хувь хүний ​​​​функцэд зориулсан ийм асуудлыг шийдвэрлэх нь ихэвчлэн хэцүү байдаг бөгөөд энд яригддаггүй. Тодорхой цэгүүдийн зарим функцэд ийм хязгаарлалт огт байдаггүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Бидний жишээнд дериватив SЦаг хугацаа өнгөрөхөд “t” нь S" = ds/dt = a ∙ t + V хэлбэрийг авах бөгөөд үүнээс S" хурд нь "t" -ээс хамаарч шугаман байдлаар өөрчлөгдөж байгааг харж болно.

Экспонентийн дериватив

Экспоненциал функцийг экспоненциал функц гэж нэрлэдэг бөгөөд түүний суурь нь e тоо байдаг бөгөөд энэ нь ихэвчлэн F (x) = e x хэлбэрээр харагдана, x нь хувьсах хэмжигдэхүүн юм. Энэ функц нь бодит тоонуудын бүх мужид бүрэн ялгах чадвартай байдаг. x өсөх тусам байнга нэмэгдэж, үргэлж тэгээс их байдаг. Үүний урвуу функц нь логарифм юм.

Алдарт математикч Тэйлор энэ функцийг түүний нэрээр нэрлэгдсэн цуврал болгон өргөжүүлж чадсан e x = 1 + x/1! + x 2/2! + x 3/3! + … x хэсэгт - ∞-аас + ∞ хооронд байна.

Энэ чиг үүргийг үндэслэн хууль, экспоненциал гэж нэрлэдэг. Тэрээр тайлбарлав:

• банкны нийлмэл хүүгийн өсөлт;
• амьтны тоо толгой, дэлхийн хүн амын өсөлт;
• rigor mortis цаг болон бусад олон.

Энэ хамаарлын гайхалтай шинж чанарыг дахин давтан хэлье - түүний деривативын аль ч цэг дэх утга нь энэ цэг дэх функцийн утгатай үргэлж тэнцүү байдаг, өөрөөр хэлбэл (e x)" = e x.

Экспоненциалын хамгийн ерөнхий тохиолдлуудын деривативуудыг танилцуулъя:

• (e ax)" = a ∙ e сүх;
• (e f (x))" = f"(x) ∙ e f (x) .

Эдгээр хамаарлыг ашигласнаар энэ функцийн бусад тодорхой төрлийн деривативуудыг олоход хялбар байдаг.

e тооны тухай сонирхолтой баримтууд

Напиер, Огтред, Гюйгенс, Бернулли, Лейбниц, Ньютон, Эйлер болон бусад эрдэмтдийн нэрс энэ тоотой холбоотой. Сүүлийнх нь үнэндээ энэ тооны e тэмдэглэгээг нэвтрүүлсэн бөгөөд тооцоололд нээсэн e = 1 + 1/1 цувралыг ашиглан эхний 18 тэмдгийг олсон! + 2/2! + 3/3! ...

Хамгийн санаанд оромгүй газруудад e тоо гарч ирдэг. Жишээлбэл, олсны үзүүрийг тулгуурт бэхлэх үед түүний жингийн дор унжсан байдлыг тодорхойлдог катенарын тэгшитгэлд оруулсан болно.

Видео

Видео хичээлийн сэдэв нь экспоненциал функцийн дериватив юм.

Экспоненциал (e-ийн x-ийн хүч) ба экспоненциал функцийн (a-ын x-ийн) деривативын томъёоны баталгаа ба уламжлал. e^2x, e^3x болон e^nx-ийн деривативуудыг тооцоолох жишээ. Дээд зэрэглэлийн деривативуудын томъёо.

Агуулга

Мөн үзнэ үү: Экспоненциал функц - шинж чанар, томъёо, график
Экспонент, e-ийн х-ийн хүч - шинж чанар, томьёо, график

Үндсэн томъёо

Экспонентийн дериватив нь илтгэгчтэй тэнцүү (e-ийн x-ийн дериватив нь e-ийн x-ийн дериватив):
(1) (e x )′ = e x.

a суурьтай экспоненциал функцийн дериватив нь функцийг өөрөө а-ын натурал логарифмаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.
(2) .

Экспоненциал гэдэг нь суурь нь дараах хязгаар болох e тоотой тэнцүү экспоненциал функц юм.
.
Энд энэ нь натурал тоо эсвэл бодит тоо байж болно. Дараа нь бид экспоненциалын деривативын томъёог (1) гаргана.

Экспоненциал дериватив томъёоны гарал үүсэл

Экспоненциал, e-ийг x-ийн хүчийг авч үзье.
y = e x .
Энэ функц нь хүн бүрт зориулагдсан байдаг. Түүний x хувьсагчтай холбоотой деривативыг олъё. Тодорхойлолтоор дериватив нь дараахь хязгаар юм.
(3) .

Энэ илэрхийллийг мэдэгдэж буй математик шинж чанар, дүрмүүд рүү багасгахын тулд хувиргацгаая. Үүнийг хийхийн тулд бидэнд дараах баримтууд хэрэгтэй.
A)Экспонент шинж чанар:
(4) ;
B)Логарифмын шинж чанар:
(5) ;
IN)Логарифмын тасралтгүй байдал ба тасралтгүй функцийн хязгаарын шинж чанар:
(6) .
Энд хязгаартай функц байгаа бөгөөд энэ хязгаар нь эерэг байна.
G)Хоёр дахь гайхалтай хязгаарын утга:
(7) .

Эдгээр баримтуудыг өөрсдийн хязгаарт хэрэгжүүлцгээе (3). Бид өмчийг ашигладаг (4):
;
.

Сэлгээ хийцгээе. Дараа нь; .
Экспоненциалын тасралтгүй байдлын улмаас
.
Иймд хэзээ , . Үүний үр дүнд бид:
.

Сэлгээ хийцгээе. Дараа нь . -д. Мөн бидэнд байна:
.

Логарифмын шинж чанарыг хэрэглэцгээе (5):
. Дараа нь
.

Үл хөдлөх хөрөнгийг (6) ашиглацгаая. Эерэг хязгаар байх ба логарифм нь тасралтгүй байх тул:
.
Энд бид бас хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг ашигласан (7). Дараа нь
.

Тиймээс бид экспоненциалын дериватив (1) томъёог олж авлаа.

Экспоненциал функцийн деривативын томъёоны гарал үүсэл

Одоо бид а зэрэгтэй суурьтай экспоненциал функцийн деривативын томъёог (2) гаргаж авлаа. Бид үүнд итгэдэг бөгөөд . Дараа нь экспоненциал функц
(8)
Хүн бүрт зориулж тодорхойлсон.

Томъёо (8)-ийг хувиргацгаая. Үүний тулд бид экспоненциал функц болон логарифмын шинж чанарыг ашиглана.
;
.
Тиймээс бид (8) томъёог дараах хэлбэрт шилжүүлэв.
.

e-ийн x-ийн дээд эрэмбийн деривативууд

Одоо дээд эрэмбийн деривативуудыг олцгооё. Эхлээд экспонентийг харцгаая:
(14) .
(1) .

(14) функцийн дериватив нь (14) функцтэй тэнцүү болохыг бид харж байна. (1) ялгахдаа бид хоёр ба гурав дахь эрэмбийн деривативуудыг олж авна.
;
.

Энэ нь n-р эрэмбийн дериватив нь анхны функцтэй тэнцүү болохыг харуулж байна:
.

Экспоненциал функцийн дээд эрэмбийн деривативууд

Одоо a зэрэгтэй суурьтай экспоненциал функцийг авч үзье.
.
Бид түүний анхны деривативыг олсон:
(15) .

(15) ялгахдаа бид хоёр, гурав дахь эрэмбийн деривативуудыг олж авна.
;
.

Ялгавар бүр нь анхны функцийг үржүүлэхэд хүргэдэг гэдгийг бид харж байна. Тиймээс n-р эрэмбийн дериватив нь дараах хэлбэртэй байна.
.

Мөн үзнэ үү:

Үндсэн ойлголтууд

$x$ зэрэглэлийн экспоненциалын деривативын тухай асуултыг судлахын өмнө тодорхойлолтуудыг эргэн санацгаая.

1. функцууд;
2. дарааллын хязгаар;
3. дериватив;
4. үзэсгэлэнд оролцогчид.

Энэ нь $x$-ийн чадлын экспоненциалын деривативын талаар тодорхой ойлголттой болоход зайлшгүй шаардлагатай.

Тодорхойлолт 1

Функц гэдэг нь хоёр хувьсагчийн хоорондын хамаарал юм.

$x$ ба $y$ нь хувьсагч болох $y=f(x)$-г авч үзье. Энд $x$ нь аргумент, $y$ нь функц юм. Аргумент нь дурын утгыг авч болно. Эргээд $y$ хувьсагч нь аргументаас хамааран тодорхой хуулийн дагуу өөрчлөгддөг. Өөрөөр хэлбэл $x$ аргумент нь бие даасан хувьсагч, $y$ функц нь хамааралтай хувьсагч юм. Ямар ч $x$ утгын хувьд $y$ өвөрмөц утгатай байна.

$n=1, 2, 3, ...$ натурал тоо бүр $x_n$ тоотой холбоотой байвал $x_1,x_2,...,x_n$ тоонуудын дараалал тодорхойлогддог гэж бид хэлнэ. Үгүй бол ийм дарааллыг $\(x_n\)$ гэж бичнэ. Бүх $ x_n $ тоог гишүүд эсвэл дарааллын элементүүд гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт 2

Дарааллын хязгаар нь тооны шулууны төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй алслагдсан цэг юм. Хязгаарыг дараах байдлаар бичнэ: $\lim x_n = \lim\limits_(n\to\infty)x_n = a$. Энэ тэмдэглэгээ нь $x_n$ хувьсагч нь $a$ $x_n\to a$ руу чиглэдэг гэсэн үг юм.

$x_0$ цэг дээрх $f$ функцийн деривативыг дараах хязгаар гэнэ.

$\lim\limits_(x\to x_0)\frac(f(x) - f(x_o))(x-x_o)$. Үүнийг $f"(x_0)$ гэж тэмдэглэнэ.

$e$ тоо нь дараах хязгаартай тэнцүү байна.

$e=\lim\limits_(x\to\infty) (1+\frac(1)(n))\ойролцоогоор 2.718281828459045...$

Энэ хязгаарт $n$ нь натурал эсвэл бодит тоо юм.

Хязгаар, дериватив, экспонент гэсэн ойлголтуудыг эзэмшсэний дараа бид $(e^x)"=e^x$ томьёог баталж эхэлнэ.

Экспоненциалын деривативын $x$-ийн зэрэглэл

Бидэнд $e^x$ байна, энд $x: -\infty

$y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(x+\Delta x)-e^x)(\Delta x)$.

$e^(a+bx)=e^a*e^b$ илтгэгчийн шинж чанараар бид хязгаарын тоологчийг хувиргаж болно:

$e^(x+\Delta x)-e^x = e^x*e^(\Delta x)-e^x = e^x(e^(\Delta x)-1)$.

Өөрөөр хэлбэл, $y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(x+\Delta x)-e^x)(\Delta x)=\lim\limits_(\Delta x\) 0) \frac(e^x(e^(\Delta x)-1))(\Delta x)$.

$t=e^(\Delta x)-1$ гэж тэмдэглэе. Бид $e^(\Delta x)=t+1$ авах ба логарифмын шинж чанараар $\Delta x = ln(t+1)$ болж хувирна.

Экспоненциал тасралтгүй үргэлжилдэг тул бидэнд $\lim\limits_(\Delta x\to 0) e^(\Delta x)=e^0=1.$ байна.Тиймээс хэрэв $\Delta x\ to 0$ бол $ t \ - 0$.

Үүний үр дүнд бид өөрчлөлтийг харуулж байна:

$y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(\Delta x)-1)(\Delta x)=e^x\lim\limits_(t\to 0)\frac (t)(ln(t+1))$.

$n=\frac (1)(t)$, дараа нь $t=\frac(1)(n)$ гэж тэмдэглэе. Хэрэв $t\to 0$ бол $n\to\infty$ болно.

Бид хязгаараа өөрчилье:

$y"=e^x\lim\limits_(t\to 0)\frac(t)(ln(t+1))=e^x\lim\limits_(n\to\infty)\frac(1) (n\cdot ln(\frac(1)(n)+1)^n)$.

Логарифмын шинж чанараар $b\cdot ln c=ln c^b$ байна.

$n\cdot ln (\frac(1)(n)+1)=ln(\frac(1)(n)+1)^n=ln(1+\frac(1)(n))^n$ .

Хязгаарыг дараах байдлаар хөрвүүлнэ.

$y"=e^x\lim\limits_(n\to\infty)\frac(1)(n\cdot ln(\frac(1)(n)+1)) = e^x\lim\limits_( n\to\infty)\frac(1)(ln(\frac(1)(n)+1)^n)= e^x\frac(1)(\lim\limits_(n\to\infty) ln (\ frac(1)(n)+1)^n)$.

Логарифмын тасралтгүй байдлын шинж чанар ба тасралтгүй функцийн хязгаарын шинж чанарын дагуу: $\lim\limits_(x\to x_0)ln(f(x))=ln(\lim\limits_f(x))$, $f(x)$ нь эерэг хязгаартай байна $\lim\limits_(x\to x_0)f(x)$. Тиймээс, логарифм нь тасралтгүй бөгөөд эерэг хязгаар $\lim\limits_(n\to\infty)(\frac(1)(n)+1)^n$ байгаа тул бид дараах дүгнэлтийг гаргаж болно.

$\lim\limits_(n\to\infty)ln(1+\frac(1)(n))^n=ln\lim\limits_(n\to\infty)ln(1+\frac(1)( n))^n=ln e=1$.

Хоёр дахь гайхалтай хязгаарын утгыг ашиглацгаая $\lim\limits_(n\to\infty)(1+\frac(1)(n))^n=e$. Бид авах:

$y"= e^x\frac(1)(\lim\limits_(n\to\infty) ln(\frac(1)(n)+1)^n) = e^x\cdot\frac(1) )(ln e) = e^x\cdot\frac(1)(1)=e^x$.

Тиймээс бид экспоненциалын деривативын томъёог гаргаж авсан бөгөөд экспоненциалын дериватив нь $x$-ийн хүчин чадалтай экспоненциалын деривативтай тэнцүү байна гэж үзэж болно.

Бусад томьёо, дүрмийг ашиглан энэ томьёог гаргах өөр аргууд бас бий.

Жишээ 1

Функцийн деривативыг олох жишээг авч үзье.

Нөхцөл байдал: $y=2^x + 3^x + 10^x + e^x$ функцийн уламжлалыг ол.

Шийдэл: $2^x, 3^x$ болон $10^x$ гэсэн нөхцлүүдэд бид $(a^x)"=a^x\cdot ln a$ томъёог хэрэглэнэ. Гарсан $(e^x)" томъёоны дагуу. =e^x$ дөрөв дэх гишүүн $e^x$ өөрчлөгдөхгүй.

Хариулах: $y" = 2^x\cdot ln 2 + 3^x\cdot ln 3 + 10^x\cdot ln 10 + e^x$.

Ийнхүү бид үндсэн ойлголтуудад тодорхойлолт өгөхийн зэрэгцээ $(e^x)"=e^x$ томьёог гаргаж, нэг гишүүний хувьд илтгэгчтэй функцийн деривативыг олох жишээнд дүн шинжилгээ хийлээ.

Сэдвийг судлахдаа хялбар, ойлгомжтой болгох үүднээс бид хураангуй хүснэгтийг толилуулж байна.

Тогтмолy = C Эрчим хүчний функц y = x p (x p) " = p x p - 1	Экспоненциал функцу = сүх (a x) " = a x ln a Ялангуяа хэзээa = eбидэнд байгаа y = e x (e x) " = e x
Логарифм функц (log a x) " = 1 x ln a Ялангуяа хэзээa = eбидэнд байгаа y = log x (ln x) " = 1 x	Тригонометрийн функцууд (нүгэл х) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x
Урвуу тригонометрийн функцууд (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2	Гиперболын функцууд (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Тодорхойлсон хүснэгтийн томьёог хэрхэн олж авсан талаар дүн шинжилгээ хийцгээе, өөрөөр хэлбэл функцын төрөл бүрийн дериватив томъёоны гарал үүслийг нотлох болно.

Тогтмол тооллын дериватив

Нотлох баримт 1

Энэ томьёог гаргаж авахын тулд бид цэг дээрх функцийн деривативын тодорхойлолтыг үндэс болгон авдаг. Бид x 0 = x, хаана ашигладаг xаливаа бодит тооны утгыг авдаг, эсвэл өөрөөр хэлбэл, x f (x) = C функцийн мужаас дурын тоо. Функцийн өсөлтийн аргументийн өсөлтийн харьцааны хязгаарыг ∆ x → 0 гэж бичье.

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

0 ∆ x илэрхийлэл нь хязгаарын тэмдгийн доор байгааг анхаарна уу. Энэ нь "тэг тэгээр хуваагдах" тодорхойгүй байдал биш, учир нь тоологч нь хязгааргүй жижиг утгыг агуулдаггүй, харин яг тэг юм. Өөрөөр хэлбэл, тогтмол функцийн өсөлт үргэлж тэг байна.

Тиймээс f (x) = C тогтмол функцийн дериватив нь тодорхойлолтын бүх мужид тэгтэй тэнцүү байна.

Жишээ 1

Тогтмол функцуудыг өгөгдсөн:

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Шийдэл

Өгөгдсөн нөхцөлүүдийг тайлбарлая. Эхний функцэд бид натурал 3-ын деривативыг харж байна. Дараах жишээнд та деривативыг авах хэрэгтэй А, Хаана А- дурын бодит тоо. Гурав дахь жишээ нь 4-ийн иррационал тооны деривативыг өгдөг. 13 7 22, дөрөв дэх нь тэгийн дериватив (тэг нь бүхэл тоо). Эцэст нь, тав дахь тохиолдолд бид оновчтой бутархайн дериватив - 8 7 байна.

Хариулт:өгөгдсөн функцүүдийн дериватив нь ямар ч бодит хувьд тэг байна x(тодорхойлолтын бүх хэсэгт)

f 1 "(x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Хүчин чадлын функцийн дериватив

(x p) " = p x p - 1, илтгэгч нь дараах хэлбэртэй байна чадлын функц болон түүний деривативын томъёо руу шилжье. хямар ч бодит тоо байна.

Нотлох баримт 2

Экспонент нь натурал тоо байх томъёоны нотолгоо энд байна. p = 1, 2, 3, …

Бид деривативын тодорхойлолтод дахин найдаж байна. Хүчин чадлын функцийн өсөлтийн аргументийн өсөлтийн харьцааны хязгаарыг бичье.

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Тоолуур дахь илэрхийллийг хялбарчлахын тулд бид Ньютоны бином томъёог ашиглана:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Тиймээс:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (. C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 · x p -. 1 + 0 +.

Ийнхүү илтгэгч нь натурал тоо байх үед чадлын функцийн деривативын томъёог бид нотолсон.

Нотлох баримт 3

Хэргийн талаар нотлох баримт бүрдүүлэх p-тэгээс бусад бодит тоо бол бид логарифмын деривативыг ашигладаг (энд бид логарифмын үүсмэл функцийн ялгааг ойлгох ёстой). Илүү бүрэн ойлголттой болохын тулд логарифм функцийн деривативыг судалж, далд функцын дериватив ба нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг нэмж ойлгохыг зөвлөж байна.

Хоёр тохиолдлыг авч үзье: хэзээ xэерэг ба хэзээ xсөрөг.

Тэгэхээр x > 0. Дараа нь: x p > 0 . y = x p тэгшитгэлийг e суурьтай логарифмчилж, логарифмын шинж чанарыг хэрэгжүүлье.

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

Энэ үе шатанд бид далд заасан функцийг олж авсан. Үүний деривативыг тодорхойлъё:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

Одоо бид хэзээ тохиолдлыг авч үзье x -сөрөг тоо.

Хэрэв индикатор хтэгш тоо бол х-д чадлын функц тодорхойлогдоно< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Дараа нь x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Хэрэв хнь сондгой тоо бол х-д чадлын функц тодорхойлогдоно< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y "(x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1

Сүүлчийн шилжилт нь хэрэв байгаа тул боломжтой юм хтэгвэл сондгой тоо p - 1тэгш тоо эсвэл тэг (p = 1-ийн хувьд), тиймээс сөрөг байна xтэгшитгэл (- x) p - 1 = x p - 1 үнэн.

Тиймээс бид аливаа бодит p-ийн чадлын функцын деривативын томъёог баталсан.

Жишээ 2

Өгөгдсөн функцууд:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Тэдний деривативыг тодорхойлно уу.

Шийдэл

Өгөгдсөн функцүүдийн заримыг зэрэглэлийн шинж чанарт үндэслэн y = x p хүснэгт хэлбэрээр хувиргаж, дараа нь дараах томъёог ашиглана.

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Экспоненциал функцийн дериватив

Баталгаа 4

Тодорхойлолтыг үндэс болгон ашиглан дериватив томъёог гаргацгаая.

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Бид тодорхойгүй байдалд орсон. Үүнийг өргөжүүлэхийн тулд z = a ∆ x - 1 (z → 0-ийг ∆ x → 0 гэж) шинэ хувьсагч бичье. Энэ тохиолдолд a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Сүүлийн шилжилтийн хувьд шинэ логарифмын суурь руу шилжих томъёог ашигласан.

Анхны хязгаарыг орлуулъя:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг санаж, дараа нь экспоненциал функцийн деривативын томъёог олж авцгаая.

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

Жишээ 3

Экспоненциал функцууд өгөгдсөн:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Тэдний деривативыг олох шаардлагатай байна.

Шийдэл

Бид экспоненциал функцийн дериватив ба логарифмын шинж чанаруудын томъёог ашигладаг.

f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Логарифм функцийн дериватив

Нотлох баримт 5

Бид дурын логарифм функцийн деривативын томъёоны баталгааг толилуулж байна xТодорхойлолт болон логарифмын суурь а-ын зөвшөөрөгдөх утгууд. Деривативын тодорхойлолт дээр үндэслэн бид дараахь зүйлийг олж авна.

(лог a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

Заасан тэгш байдлын гинжин хэлхээнээс харахад өөрчлөлтүүд нь логарифмын шинж чанарт үндэслэсэн нь тодорхой байна. lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e тэгш байдлын хоёр дахь гайхалтай хязгаарын дагуу үнэн.

Жишээ 4

Логарифм функцууд өгөгдсөн:

f 1 (x) = log ln 3 x , f 2 (x) = ln x

Тэдний деривативыг тооцоолох шаардлагатай.

Шийдэл

Гарсан томъёог хэрэглэцгээе:

f 1 "(x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; f 2 "(x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x

Тэгэхээр натурал логарифмын дериватив нь нэг хуваагдана x.

Тригонометрийн функцүүдийн деривативууд

Баталгаа 6

Тригонометрийн функцийн деривативын томъёог гаргахын тулд зарим тригонометрийн томьёо болон анхны гайхалтай хязгаарыг ашиглая.

Синусын функцийн деривативын тодорхойлолтын дагуу бид дараахь зүйлийг авна.

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Синусын зөрүүний томъёо нь дараахь үйлдлүүдийг хийх боломжийг бидэнд олгоно.

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Эцэст нь бид эхний гайхалтай хязгаарыг ашигладаг:

нүгэл " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Тэгэхээр функцийн дериватив гэм хболно cos x.

Мөн бид косинусын деривативын томъёог батлах болно.

cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Тэдгээр. cos x функцийн дериватив байх болно – нүгэл х.

Бид ялгах дүрэмд үндэслэн тангенс ба котангенсийн деривативын томъёог гаргаж авдаг.

t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x нүгэл 2 х = - нүгэл 2 х + cos 2 х нүгэл 2 х = - 1 нүгэл 2 х

Урвуу тригонометрийн функцүүдийн деривативууд

Урвуу функцын деривативын тухай хэсэгт арксин, арккосин, арктангенс, арккотангенсийн деривативуудын томъёоны баталгааны талаар дэлгэрэнгүй мэдээлэл өгсөн тул бид энд материалыг хуулбарлахгүй.

Гиперболын функцүүдийн деривативууд

Нотлох баримт 7

Дифференциалын дүрэм болон экспоненциал функцийн деривативын томъёог ашиглан бид гиперболын синус, косинус, тангенс, котангенсийн деривативуудын томъёог гаргаж болно.

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s ч x t h " x = с ч х х х х " = с ч " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Хүснэгтийн хамгийн эхний томьёог гаргаж авахдаа бид тухайн цэгийн дериватив функцийн тодорхойлолтоос эхэлнэ. Хаашаа авцгаая x- дурын бодит тоо, өөрөөр хэлбэл, x– функцийн тодорхойлолтын мужаас дурын тоо. Функцийн өсөлтийн аргументийн өсөлтийн харьцааны хязгаарыг дараах байдлаар бичье.

Хязгаарын тэмдгийн дор илэрхийлэл гарч ирснийг тэмдэглэх нь зүйтэй бөгөөд энэ нь тэгийг тэгээр хуваасан тодорхой бус байдал биш, учир нь тоологч нь хязгааргүй жижиг утгыг агуулдаггүй, харин яг тэг байдаг. Өөрөөр хэлбэл, тогтмол функцийн өсөлт үргэлж тэг байна.

Тиймээс, тогтмол функцийн деривативтодорхойлолтын бүх домайн даяар тэгтэй тэнцүү байна.

Хүчин чадлын функцийн дериватив.

Хүчин чадлын функцийн деривативын томъёо нь хэлбэртэй байна , илтгэгч хаана байна х- дурын бодит тоо.

Эхлээд натурал илтгэгчийн томъёог баталъя, өөрөөр хэлбэл for p = 1, 2, 3, …

Бид деривативын тодорхойлолтыг ашиглах болно. Хүчин чадлын функцийн өсөлтийн аргументийн өсөлтийн харьцааны хязгаарыг бичье.

Тоолуур дахь илэрхийллийг хялбарчлахын тулд бид Ньютоны бином томъёо руу шилждэг.

Тиймээс,

Энэ нь натурал экспонентийн чадлын функцийн деривативын томъёог баталж байна.

Экспоненциал функцийн дериватив.

Бид дараах тодорхойлолт дээр үндэслэн дериватив томъёоны гарал үүслийг танилцуулж байна.

Бид тодорхойгүй байдалд ирлээ. Үүнийг өргөжүүлэхийн тулд бид шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлж, . Дараа нь . Сүүлийн шилжилтийн үед бид шинэ логарифмын суурь руу шилжих томъёог ашигласан.

Анхны хязгаарыг орлуулъя:

Хэрэв бид хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг эргэн санавал экспоненциал функцийн деривативын томъёонд хүрнэ.

Логарифм функцийн дериватив.

Бүгдэд зориулсан логарифм функцийн деривативын томъёог баталъя xтодорхойлолтын домэйн болон суурийн бүх хүчинтэй утгуудаас алогарифм Деривативын тодорхойлолтоор бид:

Таны анзаарснаар нотлох явцад логарифмын шинж чанарыг ашиглан хувиргалтыг хийсэн. Тэгш байдал хоёр дахь гайхалтай хязгаарын улмаас үнэн юм.

Тригонометрийн функцүүдийн деривативууд.

Тригонометрийн функцүүдийн деривативын томъёог гаргахын тулд бид тригонометрийн зарим томьёо, мөн эхний гайхалтай хязгаарыг эргэн санах хэрэгтэй болно.

Синусын функцийн деривативын тодорхойлолтоор бид байна .

Синусын зөрүүний томъёог ашиглая:

Эхний гайхалтай хязгаарт шилжих хэвээр байна:

Тиймээс функцийн дериватив гэм хБайна cos x.

Косинусын деривативын томъёог яг ижил аргаар нотолсон.

Тиймээс функцийн дериватив cos xБайна – нүгэл х.

Бид шүргэгч ба котангенсийн деривативын хүснэгтийн томъёог ялгах батлагдсан дүрмийг (бутархайн дериватив) ашиглан гаргана.

Гиперболын функцүүдийн деривативууд.

Ялгах дүрэм ба деривативын хүснэгтээс экспоненциал функцийн деривативын томъёо нь гиперболын синус, косинус, тангенс, котангенсийн деривативуудын томъёог гаргаж авах боломжийг олгодог.

Урвуу функцийн дериватив.

Илтгэлийн явцад төөрөгдөл гаргахгүйн тулд ялгах функцийн аргументыг, өөрөөр хэлбэл функцийн дериватив гэдгийг дэд тэмдэгтээр тэмдэглэе. f(x) By x.

Одоо томъёолъё урвуу функцийн деривативыг олох дүрэм.

Функцуудыг зөвшөөр у = f(x)Тэгээд x = g(y)харилцан урвуу, интервал дээр тодорхойлогддог ба тус тус. Хэрэв тухайн цэг дээр функцийн төгсгөлтэй тэгээс бус дериватив байвал f(x), тэгвэл тухайн цэг дээр урвуу функцийн төгсгөлөг дериватив байна g(y), ба . Өөр бичлэгт .

Энэ дүрмийг хэнд ч өөрчилж болно xинтервалаас , дараа нь бид авна .

Эдгээр томъёоны үнэн зөвийг шалгацгаая.

Натурал логарифмын урвуу функцийг олъё (Энд yнь функц бөгөөд x- маргаан). Энэ тэгшитгэлийг шийдсэний дараа x, бид (энд xнь функц бөгөөд y- түүний аргумент). Тэр бол, ба харилцан урвуу функцууд.

Деривативын хүснэгтээс бид үүнийг харж байна Тэгээд .

Урвуу функцийн деривативыг олох томъёо нь биднийг ижил үр дүнд хүргэж байгаа эсэхийг шалгацгаая.