Хамгийн хэцүү зүйл бол цахилгааны жигд бус орчинд цахилгаан үзэгдлийг судлах явдал юм. Ийм орчинд ε нь өөр өөр утгатай, диэлектрикийн хил дээр огцом өөрчлөгддөг. ε 1 =1 (вакуум эсвэл агаар) ба ε 2 =3 (шингэн - тос) гэсэн хоёр зөөвөрлөгчийн зааг дээрх талбайн хүчийг тодорхойлно гэж үзье. Интерфейс дээр вакуумаас диэлектрик рүү шилжих үед талбайн хүч нь 3 дахин буурч, хүч чадлын векторын урсгал ижил хэмжээгээр буурдаг (Зураг 12.25, а). Хоёр зөөвөрлөгчийн хоорондох интерфэйс дэх электростатик талбайн хүч чадлын векторын огцом өөрчлөлт нь талбайг тооцоолоход тодорхой бэрхшээлийг үүсгэдэг. Гауссын теоремын хувьд эдгээр нөхцөлд энэ нь ерөнхийдөө утгаа алддаг.
Өөр өөр диэлектрикүүдийн туйлшрал ба хүчдэл өөр өөр байдаг тул диэлектрик бүрийн талбайн шугамын тоо бас өөр байх болно. Талбайн шинэ физик шинж чанар болох цахилгаан индукцийн D (эсвэл вектор) нэвтрүүлэх замаар энэ хүндрэлийг арилгаж болно. цахилгаан шилжилт ).
Томъёоны дагуу
ε 1 E 1 = ε 2 E 2 =E 0 =const
Эдгээр тэгшитгэлийн бүх хэсгийг цахилгаан тогтмол ε 0-оор үржүүлснээр бид олж авна
ε 0 ε 1 E 1 = ε 0 ε 2 E 2 =ε 0 E 0 =const
ε 0 εE=D гэсэн тэмдэглэгээг оруулъя, тэгвэл эцсийн өмнөх харьцаа хэлбэр болно.
D 1 = D 2 = D 0 = const
Диэлектрик дэх цахилгаан орны хүч ба түүний үнэмлэхүй диэлектрик дамжуулалтын үржвэртэй тэнцүү D векторыг гэнэ.цахилгаан шилжилтийн вектор
(12.45)
Цахилгаан шилжилтийн нэгж - метр квадрат тутамд зүүлт(С/м2).
Цахилгаан нүүлгэн шилжүүлэлт нь вектор хэмжигдэхүүн бөгөөд өөрөөр илэрхийлж болно
D = εε 0 E =(1+χ)ε 0 E = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 E+P
(12.46)
E хүчдэлээс ялгаатай нь цахилгаан шилжилт D нь бүх диэлектрикт тогтмол байдаг (Зураг 12.25, b). Иймд нэгэн төрлийн бус диэлектрик орчинд цахилгаан талбайг E эрчимээр бус харин шилжилтийн вектор D-ээр тодорхойлох нь тохиромжтой. D вектор нь чөлөөт цэнэгийн (жишээ нь вакуум дахь) үүссэн электростатик талбайг дүрсэлсэн боловч диэлектрик байгаа тохиолдолд орон зайд тархсантай адил, учир нь диэлектрикт үүссэн хязгаарлагдмал цэнэг нь чөлөөт цэнэгийн дахин хуваарилалтыг үүсгэж талбарыг үүсгэдэг.
Вектор талбар 
талбайн нэгэн адил цахилгаан шилжилтийн шугамаар графикаар дүрслэгдсэн байна 
хүчний шугамаар дүрсэлсэн.
Цахилгаан нүүлгэн шилжүүлэх шугам - эдгээр нь цэг бүрийн шүргэгч нь цахилгаан шилжилтийн вектортой чиглэлтэй давхцдаг шугамууд юм.
В векторын шугамууд нь ямар ч цэнэгээр эхэлж, дуусч болно - чөлөөт ба холбогдсон, харин векторын шугамуудД- зөвхөн үнэ төлбөргүй. Вектор шугамуудДХүчдэлийн шугамаас ялгаатай нь тэдгээр нь тасралтгүй байдаг.
Цахилгаан шилжилтийн вектор нь хоёр зөөвөрлөгчийн хоорондох интерфэйс дээр тасалдал үүсгэдэггүй тул зарим битүү гадаргуугаар хүрээлэгдсэн цэнэгээс үүссэн бүх индукцийн шугамууд түүнийг нэвтлэх болно. Иймээс цахилгаан шилжилтийн векторын хувьд Гауссын теорем нь нэгэн төрлийн бус диэлектрик орчны утгыг бүрэн хадгалдаг.
Диэлектрик дэх электростатик талбайн Гауссын теорем : дурын хаалттай гадаргуугаар дамжин өнгөрөх цахилгаан шилжилтийн векторын урсгал нь энэ гадаргуу дотор агуулагдах цэнэгийн алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
(12.47)
Цахилгаан цэнэгийн харилцан үйлчлэлийн хууль - Кулоны хуулийг Гауссын теорем гэж нэрлэгдэх хэлбэрээр өөрөөр томъёолж болно. Гауссын теоремыг Кулоны хууль ба суперпозиция зарчмын үр дүнд олж авсан. Нотолгоо нь хоёр цэгийн цэнэгийн хоорондын харилцан үйлчлэлийн хүчийг тэдгээрийн хоорондох зайны квадраттай урвуу пропорциональ дээр үндэслэсэн болно. Иймд Гауссын теорем нь урвуу квадратын хууль ба суперпозицийн зарчим үйлчилдэг аливаа физик талбарт, жишээлбэл, таталцлын талбарт хамаарах боломжтой.
Цагаан будаа. 9. Х битүү гадаргуутай огтлолцох цэгийн цэнэгийн цахилгаан орны хүчний шугамууд
Гауссын теоремыг томъёолохын тулд хөдөлгөөнгүй цэгийн цэнэгийн цахилгаан орны шугамын зураг руу буцъя. Ганц цэгийн цэнэгийн талбайн шугамууд нь тэгш хэмтэй байрлалтай радиаль шулуун шугамууд юм (Зураг 7). Та ямар ч тооны ийм шугам зурж болно. Тэдгээрийн нийт тоог дараах байдлаар тэмдэглэе. Дараа нь цэнэгээс хол зайд байгаа талбайн шугамын нягт, өөрөөр хэлбэл радиустай бөмбөрцгийн нэгж гадаргууг огтолж буй шугамын тоо нь энэ харьцааг талбайн хүч чадлын илэрхийлэлтэй харьцуулахтай тэнцүү байна. цэгийн цэнэг (4), шугамын нягт нь талбайн хүч чадалтай пропорциональ байгааг бид харж байна. Талбайн N шугамын нийт тоог зөв сонгосноор бид эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийг тоон хувьд тэнцүү болгож чадна.
Тиймээс цэгийн цэнэгийг хүрээлж буй дурын радиустай бөмбөрцгийн гадаргуу нь ижил тооны хүчний шугамыг огтолдог. Энэ нь хүчний шугамууд тасралтгүй байна гэсэн үг юм: өөр өөр радиустай хоёр төвлөрсөн бөмбөрцөг хоорондын зайд аль нь ч шугам тасрахгүй бөгөөд шинээр нэмэгдэхгүй. Талбайн шугамууд тасралтгүй байдаг тул цэнэгийг бүрхсэн аливаа битүү гадаргууг (9-р зураг) ижил тооны талбайн шугамууд огтолж байна.
Хүчний шугамууд чиглэлтэй байдаг. Эерэг цэнэгийн хувьд тэдгээр нь цэнэгийг тойрсон битүү гадаргуугаас гарч ирдэг бөгөөд үүнийг Зураг дээр үзүүлэв. 9. Сөрөг цэнэгийн хувьд тэдгээр нь гадаргуу дотор ордог. Хэрэв гарах шугамын тоог эерэг, ирж буй мөрийн тоог сөрөг гэж үзвэл (8) томъёонд бид цэнэгийн модулийн тэмдгийг орхиж, хэлбэрээр бичиж болно.
Хүчдэлийн урсгал.Одоо гадаргуугаар дамжин өнгөрөх талбайн хүч чадлын вектор урсгалын тухай ойлголтыг танилцуулъя. Дурын талбайг оюун санааны хувьд жижиг бүсүүдэд хувааж болох бөгөөд тэдгээрийн эрч хүч нь хэмжээ, чиглэлд маш бага өөрчлөгддөг тул энэ бүсэд талбайг жигд гэж үзэж болно. Ийм талбай бүрт талбайн шугамууд нь зэрэгцээ шулуун шугамууд бөгөөд тогтмол нягттай байдаг.
Цагаан будаа. 10. Талбайгаар дамжин өнгөрөх талбайн хүч чадлын векторын урсгалыг тодорхойлох
Хэчнээн хүчний шугам жижиг талбайд нэвтэрч байгааг авч үзье, хэвийн чиглэл нь суналтын шугамын чиглэлтэй a өнцөг үүсгэдэг (Зураг 10). Хүчний шугамтай перпендикуляр хавтгай дээрх проекцийг үзье. Хүлээн зөвшөөрөгдсөн нөхцлийн дагуу огтлолцох шугамын тоо ижил байх ба шугамын нягт нь талбайн хүч чадлын модуль E-тэй тэнцүү байх тул
a утга нь Е векторын тухайн талбай руу чиглэсэн нормаль чиглэлийн проекц юм
Тиймээс тухайн газрыг дайран өнгөрөх цахилгааны шугамын тоо тэнцүү байна
Бүтээгдэхүүнийг гадаргуугаар дамжих талбайн хүч чадлын урсгал гэж нэрлэдэг Формула (10) нь гадаргуугаар дамжин өнгөрөх Е векторын урсгал нь энэ гадаргууг огтолж буй талбайн шугамын тоотой тэнцүү болохыг харуулж байна. Гадаргууг дайран өнгөрөх хүчний шугамын тоотой адил эрчим хүчний векторын урсгал нь скаляр гэдгийг анхаарна уу.
Цагаан будаа. 11. Талбайгаар дамжих E суналтын векторын урсгал
Хүчний шугамтай харьцуулахад талбайн чиглэлээс урсгалын хамаарлыг Зураг дээр үзүүлэв.
Дурын гадаргуугаар дамжин өнгөрөх талбайн хүч чадлын урсгал нь энэ гадаргууг хувааж болох энгийн хэсгүүдээр дамжих урсгалуудын нийлбэр юм. (9) ба (10) харьцааны дагуу цэгийн цэнэгийн талбайн хүчдлийн урсгал нь цэнэгийг бүрхэж буй 2-р аль ч битүү гадаргуугаар дамжин өнгөрдөг (9-р зургийг үз) гэж хэлж болно. Энэ гадаргуу нь тэнцүү байна энэ тохиолдолд энгийн талбайн хэвийн вектор хаалттай гадаргуу руу чиглэсэн байна. Хэрэв гадаргуугийн доторх цэнэг сөрөг байвал талбайн шугамууд энэ гадаргуу дотор орж, цэнэгтэй холбоотой талбайн хүч чадлын векторын урсгал мөн сөрөг байна.
Хэрэв хаалттай гадаргуу дотор хэд хэдэн цэнэг байгаа бол суперпозиция зарчмын дагуу тэдгээрийн талбайн хүч чадлын урсгал нэмэгдэнэ. Нийт урсгал нь гадаргуугийн дотор байрлах бүх цэнэгийн алгебрийн нийлбэр гэж ойлгох ёстой газартай тэнцүү байх болно.
Хэрэв битүү гадаргуу дотор цахилгаан цэнэг байхгүй эсвэл тэдгээрийн алгебрийн нийлбэр нь тэг байвал энэ гадаргуугаар дамжин өнгөрөх талбайн хүч чадлын нийт урсгал тэг болно: гадаргуугаар хязгаарлагдсан эзэлхүүнд олон тооны хүчний шугам орох тусам ижил тоо гарч ирдэг.
Одоо бид эцэст нь Гауссын теоремыг томъёолж болно: цахилгаан орны хүч чадлын вектор Е-ийн вакуум дахь аливаа хаалттай гадаргуугаар урсах нь энэ гадаргуу дотор байрлах нийт цэнэгтэй пропорциональ байна. Математикийн хувьд Гауссын теоремыг ижил томъёогоор (9) илэрхийлдэг бөгөөд энд гэдэг нь цэнэгийн алгебрийн нийлбэрийг илэрхийлдэг. Үнэмлэхүй электростатик байдлаар
SGSE нэгжийн системд коэффициент ба Гауссын теоремыг хэлбэрээр бичдэг
SI ба хаалттай гадаргуугаар дамжих хурцадмал байдлын урсгалыг томъёогоор илэрхийлнэ
Гауссын теоремыг цахилгаан статикт өргөн ашигладаг. Зарим тохиолдолд тэгш хэмтэй байрлалтай цэнэгийн үүсгэсэн талбаруудыг хялбархан тооцоолоход ашиглаж болно.
Тэгш хэмтэй эх үүсвэрийн талбарууд.Радиустай бөмбөлгийн гадаргуу дээр жигд цэнэглэгдсэн цахилгаан орны эрчмийг тооцоолохын тулд Гауссын теоремыг ашиглая. Тодорхой байхын тулд бид түүний цэнэгийг эерэг гэж үзэх болно. Талбайг үүсгэдэг цэнэгийн хуваарилалт нь бөмбөрцөг тэгш хэмтэй байдаг. Тиймээс талбай нь мөн адил тэгш хэмтэй байна. Ийм талбайн хүчний шугамууд нь радиусын дагуу чиглэгддэг бөгөөд эрчмийн модуль нь бөмбөгний төвөөс ижил зайд байгаа бүх цэгүүдэд ижил байна.
Бөмбөлөгний төвөөс хол зайд талбайн хүчийг олохын тулд бөмбөрцөгтэй төвлөрсөн радиустай бөмбөрцөг гадаргууг зурж үзье, учир нь энэ бөмбөрцгийн бүх цэгүүдэд талбайн хүч нь түүний гадаргуутай перпендикуляр чиглэгддэг үнэмлэхүй утгаараа ижил эрчимтэй урсгал нь талбайн хүч ба бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбайн бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна.
Гэхдээ энэ хэмжигдэхүүнийг Гауссын теоремоор илэрхийлж болно. Хэрэв бид бөмбөгний гаднах талбайг сонирхож байгаа бол, жишээлбэл, SI-д, (13) -тай харьцуулбал бид олох болно.
SGSE нэгжийн системд мэдээжийн хэрэг,
Тиймээс бөмбөгний гадна талбайн хүч нь бөмбөгний төвд байрлуулсан цэгийн цэнэгийнхтэй ижил байна. Хэрэв бид бөмбөгний доторх талбайг сонирхож байгаа бол, өөрөөр хэлбэл, бөмбөгний гадаргуу дээр тархсан бүх цэнэг нь бөмбөрцгийн гадна байрладаг тул бидний оюун ухаанаар зурсан. Тиймээс бөмбөг дотор талбар байхгүй:
Үүний нэгэн адил Гауссын теоремыг ашиглан хязгааргүй цэнэгийн үүсгэсэн электростатик талбайг тооцоолж болно.
хавтгайн бүх цэгүүдэд тогтмол нягттай хавтгай. Тэгш хэмийн шалтгааны улмаас хүчний шугамууд нь хавтгайд перпендикуляр, түүнээс хоёр чиглэлд чиглэсэн, хаа сайгүй ижил нягттай байна гэж бид үзэж болно. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв өөр өөр цэгүүд дэх талбайн шугамын нягтрал өөр байсан бол цэнэглэгдсэн хавтгайг өөрөө хөдөлгөх нь эдгээр цэгүүдийн талбайн өөрчлөлтөд хүргэдэг бөгөөд энэ нь системийн тэгш хэмтэй зөрчилддөг - ийм шилжилт нь талбарыг өөрчлөх ёсгүй. Өөрөөр хэлбэл хязгааргүй жигд цэнэглэгдсэн хавтгайн талбар жигд байна.
Гауссын теоремыг хэрэгжүүлэх хаалттай гадаргуугийн хувьд бид цилиндрийн гадаргууг дараах байдлаар сонгоно: цилиндрийн үүсгэгч нь хүчний шугамтай параллель, суурь нь цэнэглэгдсэн хавтгайтай параллель талбайтай бөгөөд түүний эсрэг талд байрладаг. (Зураг 12). Хажуугийн гадаргуугаар дамжих талбайн хүч чадлын урсгал нь тэг тул хаалттай гадаргуугаар дамжин өнгөрөх нийт урсгал нь цилиндрийн суурийн дундуур урсах урсгалын нийлбэртэй тэнцүү байна.
Цагаан будаа. 12. Нэг жигд цэнэглэгдсэн хавтгайн талбайн хүчийг тооцоолох тал руу
Гауссын теоремын дагуу ижил урсгал нь цилиндр дотор байрлах онгоцны хэсгийн цэнэгээр тодорхойлогддог бөгөөд SI-д энэ нь урсгалын эдгээр илэрхийллүүдийг харьцуулж үзвэл бид олдог.
SGSE системд жигд цэнэглэгдсэн хязгааргүй хавтгайн талбайн хүчийг томъёогоор тодорхойлно
Хязгаарлагдмал хэмжээстэй жигд цэнэглэгдсэн хавтангийн хувьд олж авсан илэрхийлэл нь хавтангийн ирмэгээс хангалттай хол, түүний гадаргуугаас холгүй бүсэд ойролцоогоор хүчинтэй байна. Хавтангийн ирмэгийн ойролцоо талбай нь жигд байхаа больж, талбайн шугамууд нь нугалж байх болно. Хавтангийн хэмжээтэй харьцуулахад маш том зайд талбар нь цэгийн цэнэгийн талбайтай адил зайнаас багасдаг.
Тэгш хэмтэй тархсан эх үүсвэрээс үүссэн талбаруудын бусад жишээнд хязгааргүй шулуун утасны уртын дагуу жигд цэнэглэгдсэн талбар, жигд цэнэглэгдсэн хязгааргүй дугуй цилиндрийн талбар, бөмбөгний талбар,
эзлэхүүний туршид жигд цэнэглэгдсэн гэх мэт Гауссын теорем нь эдгээр бүх тохиолдолд талбайн хүчийг хялбархан тооцоолох боломжийг олгодог.
Гауссын теорем нь талбай ба түүний эх үүсвэрүүдийн хоорондын хамаарлыг өгдөг бөгөөд энэ нь өгөгдсөн цэнэгийн дагуу цахилгаан талбайг тодорхойлох боломжийг олгодог Кулоны хуулиар өгөгдсөнтэй урвуу хамааралтай юм. Гауссын теоремыг ашиглан цахилгаан талбайн тархалт мэдэгдэж байгаа орон зайн аль ч муж дахь нийт цэнэгийг тодорхойлж болно.
Цахилгаан цэнэгийн харилцан үйлчлэлийг тайлбарлахдаа холын болон ойрын зайн үйл ажиллагааны ойлголтуудын хооронд ямар ялгаа байдаг вэ? Эдгээр ойлголтыг таталцлын харилцан үйлчлэлд хэр зэрэг хэрэглэж болох вэ?
Цахилгаан талбайн хүч гэж юу вэ? Үүнийг цахилгаан талбайн хүчний шинж чанар гэж нэрлэх нь юу гэсэн үг вэ?
Талбайн шугамын загвараас тодорхой цэг дэх талбайн хүч чадлын чиглэл, хэмжээг хэрхэн дүгнэх вэ?
Цахилгаан талбайн шугамууд огтлолцож чадах уу? Хариулах шалтгаанаа хэл.
Хоёр цэнэгийн цахилгаан статик талбайн шугамын чанарын зургийг зур.
Хаалттай гадаргуугаар дамжин өнгөрөх цахилгаан талбайн хүч чадлын урсгалыг GSE ба SI нэгжид (11) ба (12) өөр томъёогоор илэрхийлнэ. Гадаргууг дайран өнгөрөх хүчний шугамын тоогоор тодорхойлогддог урсгалын геометрийн утгатай үүнийг хэрхэн уялдуулах вэ?
Гауссын теоремыг үүсгэх цэнэгүүд тэгш хэмтэй тархсан үед цахилгаан орны хүчийг хэрхэн олох вэ?
Сөрөг цэнэгтэй бөмбөгний талбайн хүчийг тооцоолохдоо (14) ба (15) томъёог хэрхэн ашиглах вэ?
Гауссын теорем ба физик орон зайн геометр.Гауссын теоремын баталгааг арай өөр өнцгөөс харцгаая. Цэнэг тойрсон бөмбөрцөг гадаргуугаар ижил тооны хүчний шугам дамждаг гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн томъёо (7) руу буцъя. Энэ дүгнэлт нь тэгш байдлын хоёр талын хуваагч багассантай холбоотой юм.
Баруун талд энэ нь Кулоны хуулиар тодорхойлсон цэнэгийн харилцан үйлчлэлийн хүч нь цэнэгийн хоорондох зайны квадраттай урвуу пропорциональ байдгаас үүссэн. Зүүн талд харагдах байдал нь геометртэй холбоотой: бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбай нь түүний радиусын квадраттай пропорциональ байна.
Гадаргуугийн талбайн шугаман хэмжээсийн квадраттай пропорциональ байдал нь гурван хэмжээст орон зай дахь Евклидийн геометрийн онцлог шинж юм. Үнэн хэрэгтээ талбайн пропорциональ байдал нь бусад бүхэл тоонд биш, харин шугаман хэмжээсийн квадратуудтай яг таарах нь орон зайн шинж чанар юм.
гурван хэмжээст. Энэ илтгэгч нь хоёртой яг тэнцүү, хоёроос өчүүхэн бага хэмжээгээр ч ялгаагүй байгаа нь энэ гурван хэмжээст орон зай муруй биш, өөрөөр хэлбэл түүний геометр нь яг Евклидийнх гэдгийг харуулж байна.
Тиймээс Гауссын теорем нь цахилгаан цэнэгийн харилцан үйлчлэлийн үндсэн хуульд физик орон зайн шинж чанаруудын илрэл юм.
Физикийн үндсэн хуулиуд болон сансар огторгуйн шинж чанаруудын хооронд нягт уялдаатай байх санааг эдгээр хуулиудыг бий болгохоос өмнө олон гайхалтай оюун ухаанууд илэрхийлж байсан. Ийнхүү Кулоны хуулийг нээхээс гучин жилийн өмнө И.Кант сансар огторгуйн шинж чанаруудын тухай бичихдээ: “Одоо байгаа ертөнц дэх бодисууд бие биедээ үйлчилдэг тул үйл ажиллагааны хүч нь 3 хэмжээст байдаг тул гурван хэмжээст байдал үүсдэг бололтой. зайны квадраттай урвуу пропорциональ."
Кулоны хууль ба Гауссын теорем нь үнэндээ өөр өөр хэлбэрээр илэрхийлэгдсэн байгалийн ижил хуулийг илэрхийлдэг. Кулоны хууль нь алсын зайн үйл ажиллагааны тухай ойлголтыг тусгадаг бол Гауссын теорем нь орон зайг дүүргэх хүчний талбар, өөрөөр хэлбэл ойрын зайн үйл ажиллагааны тухай ойлголтоос гаралтай. Электростатикийн хувьд хүчний талбайн эх үүсвэр нь цэнэг бөгөөд эх үүсвэртэй холбоотой талбайн шинж чанар - эрчим хүчний урсгал нь өөр цэнэг байхгүй хоосон орон зайд өөрчлөгдөх боломжгүй юм. Урсгалыг хээрийн шугамын багц хэлбэрээр төсөөлж болох тул урсгалын хувиршгүй байдал нь эдгээр шугамын тасралтгүй байдалд илэрдэг.
Зайны квадраттай харилцан үйлчлэлийн урвуу пропорциональ байдал ба суперпозиция (харилцан үйлчлэлийн нэмэгдэл) зарчим дээр үндэслэсэн Гауссын теорем нь урвуу квадрат хууль үйлчилдэг аливаа физик талбарт хамаарна. Ялангуяа таталцлын талбайн хувьд энэ нь бас үнэн юм. Энэ нь зүгээр нэг санамсаргүй тохиолдол биш, харин гурван хэмжээст Евклидийн физик орон зайд цахилгаан ба таталцлын харилцан үйлчлэл хоёулаа явагддагийн тусгал болох нь тодорхой байна.
Гауссын теорем нь цахилгаан цэнэгийн харилцан үйлчлэлийн хуулийн ямар шинж чанарт үндэслэсэн бэ?
Гауссын теорем дээр үндэслэн цэгийн цэнэгийн цахилгаан орны хүч нь зайны квадраттай урвуу хамааралтай болохыг нотол. Энэ нотолгоонд орон зайн тэгш хэмийн ямар шинж чанаруудыг ашигласан бэ?
Кулоны хууль болон Гауссын теоремд физик орон зайн геометр хэрхэн тусгагдсан бэ? Эдгээр хуулиудын ямар онцлог нь геометрийн Евклидийн шинж чанар, физик орон зайн гурван хэмжээст байдлыг илтгэдэг вэ?
Цахилгаан орны хүч чадлын векторын урсгал.Жижиг тавцан тавь ДС(Зураг 1.2) цахилгаан талбайн шугамуудыг огтолж, чиглэл нь хэвийн байна. n
энэ сайтын өнцөг а. Хүчдэлийн вектор гэж үзвэл Э
сайт дотор өөрчлөгддөггүй ДС, тодорхойлъё хүчдэлийн вектор урсгалплатформоор дамжуулан ДСХэрхэн
ДФЭ =Э ДС cos а.(1.3)
Эрчим хүчний шугамын нягт нь хүчдэлийн тоон утгатай тэнцүү тул Э, дараа нь тухайн талбайг дайран өнгөрөх цахилгааны шугамын тооДС, урсгалын утгатай тоон хувьд тэнцүү байх болноДФЭгадаргуугаар дамжинДС. (1.3) илэрхийллийн баруун талыг векторуудын скаляр үржвэрээр илэрхийлье ЭТэгээдДС= nДС, Хаана n– гадаргуугийн хэвийн нэгж векторДС. Анхан шатны бүсийн хувьд d Силэрхийлэл (1.3) хэлбэрийг авна
гФЭ = Эг С
Сайт даяар Схурцадмал векторын урсгалыг гадаргуу дээрх интеграл гэж тооцно
Цахилгаан индукцийн вектор урсгал.Цахилгаан индукцийн векторын урсгалыг цахилгаан орны хүч чадлын векторын урсгалтай адил тодорхойлно.
гФД = Дг С
Гадаргуу бүрийн хувьд хоёр байдаг тул урсгалын тодорхойлолтод тодорхой бус байдал бий эсрэг чиглэлд хэвийн. Хаалттай гадаргуугийн хувьд гаднах хэвийн байдлыг эерэг гэж үзнэ.
Гауссын теорем.Ингээд авч үзье эерэг онооцахилгаан цэнэг q, дурын хаалттай гадаргуу дотор байрладаг С(Зураг 1.3). Гадаргуугийн элементээр дамжих индукцийн векторын урсгал d Стэнцүү байна 
(1.4)
Бүрэлдэхүүн хэсэг d С Д = г С cos агадаргуугийн элемент d Синдукцийн векторын чиглэлдДрадиусын бөмбөрцөг гадаргуугийн элемент гэж үздэг r, төв хэсэгт цэнэг байрладагq.
|
|
Үүнийг харгалзан үзэхэд d С Д/ r 2 тэнцүү байна анхан шатны бие махбодьбулан dw, түүний доор цэнэг байрлаж буй цэгээсqгадаргуугийн элемент d харагдана С, бид илэрхийллийг (1.4) хэлбэрт шилжүүлнэг ФД = q г w / 4 х, хаанаас, цэнэгийг тойрсон бүх орон зайд, өөрөөр хэлбэл 0-ээс 4 хүртэлх хатуу өнцгийн дотор интеграцчилсны дараах, бид авдаг
ФД = q.
Дурын хэлбэрийн хаалттай гадаргуугаар дамжин өнгөрөх цахилгаан индукцийн векторын урсгал нь энэ гадаргуугийн доторх цэнэгтэй тэнцүү байна..
|
|
Хэрэв дурын хаалттай гадаргуу Сцэгийн цэнэгийг хамрахгүй q(Зураг 1.4), дараа нь цэнэгийн байрлаж буй цэг дээр оройтой конус гадаргууг байгуулсны дараа бид гадаргууг хуваана. Схоёр хэсэгт хуваасан: С 1 ба С 2. Урсгалын вектор Д гадаргуугаар дамжин СБид гадаргуугаар дамжин өнгөрөх урсгалын алгебрийн нийлбэрийг олдог С 1 ба С 2:
.
Цэнэг байгаа цэгээс хоёулаа гадаргуу qнэг хатуу өнцгөөс харагдана w. Тиймээс урсгал нь тэнцүү байна
Хаалттай гадаргуугаар урсах урсгалыг тооцоолохдоо бид ашигладаг гадаад хэвийнгадаргуу дээр F урсгалыг харахад хялбар байдаг 1D < 0, тогда как поток Ф2D> 0. Нийт урсгал Ф Д= 0. Энэ нь гэсэн үг дурын хэлбэрийн хаалттай гадаргуугаар дамжин өнгөрөх цахилгаан индукцийн векторын урсгал нь энэ гадаргуугаас гадуур байрлах цэнэгээс хамаарахгүй.
Хэрэв цахилгаан орон нь цэгийн цэнэгийн системээр үүсгэгдсэн бол q 1 , q 2 ,¼ , qn, энэ нь битүү гадаргуугаар хучигдсан байдаг С, дараа нь суперпозиция зарчмын дагуу энэ гадаргуугаар дамжин өнгөрөх индукцийн векторын урсгалыг цэнэг тус бүрээр үүсгэсэн урсгалын нийлбэрээр тодорхойлно. Дурын хэлбэрийн битүү гадаргуугаар дамжин өнгөрөх цахилгаан индукцийн векторын урсгал нь энэ гадаргууг бүрхсэн цэнэгийн алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.:
Энэ нь төлбөр гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй qiцэг хэлбэртэй байх албагүй тул цэнэглэгдсэн хэсэг нь гадаргууг бүрэн бүрхсэн байх шаардлагатай. Хэрвээ битүү гадаргуугаар хүрээлэгдсэн орон зайд С, цахилгаан цэнэгийг тасралтгүй хуваарилдаг бол анхан шатны эзэлхүүн бүрийг d гэж үзэх хэрэгтэй Втөлбөртэй. Энэ тохиолдолд илэрхийллийн баруун талд (1.5) цэнэгийн алгебрийн нийлбэрийг битүү гадаргуу дотор хаалттай эзэлхүүний интегралаар солино. С:
(1.6)
Илэрхийлэл (1.6) нь хамгийн ерөнхий томъёолол юм Гауссын теорем: Дурын хэлбэрийн битүү гадаргуугаар дамжин өнгөрөх цахилгаан индукцийн векторын урсгал нь энэ гадаргуугийн эзэлхүүн дэх нийт цэнэгтэй тэнцүү бөгөөд авч үзэж буй гадаргуугийн гадна байрлах цэнэгээс хамаарахгүй.. Гауссын теоремыг цахилгаан орны хүч чадлын векторын урсгалын хувьд мөн бичиж болно.
.
Цахилгаан талбайн чухал шинж чанар нь Гауссын теоремоос гардаг. Хүчний шугамууд зөвхөн цахилгаан цэнэгээр эхэлдэг эсвэл дуусдаг эсвэл хязгааргүйд хүрдэг. Цахилгаан талбайн хүч чадлыг үл харгалзан дахин нэг удаа онцлон тэмдэглэе Э ба цахилгаан индукц Д Эдгээр векторуудын дурын хаалттай гадаргуугаар урсах урсгал нь бүх цэнэгийн орон зай дахь байршлаас хамаарна. Сзөвхөн тодорхойлогддог гадаргуу дотор байрлах тэдгээр цэнэгүүд С.
Гауссын теоремын дифференциал хэлбэр.Тэрийг тэмдэглэ салшгүй хэлбэрГауссын теорем нь эзэлхүүн дэх цахилгаан талбайн эх үүсвэр (цэнэг) ба цахилгаан талбайн шинж чанар (хүчдэл эсвэл индукц) хоорондын хамаарлыг тодорхойлдог. Вдур зоргоороо, гэхдээ салшгүй харилцааг бий болгоход хангалттай, хэмжээ. Эзлэхүүнийг хуваах замаар Вбага хэмжээний хувьд V i, бид илэрхийллийг олж авдаг
бүхэлд нь болон хугацаа бүрийн аль алинд нь хүчинтэй. Үр дүнгийн илэрхийлэлийг дараах байдлаар хувиргацгаая.
(1.7)
буржгар хаалтанд бичсэн тэгш байдлын баруун талд байгаа илэрхийлэл эзлэхүүнийг хязгааргүй хуваах хандлагатай байгаа хязгаарыг авч үзье. В. Математикт үүнийг хязгаар гэж нэрлэдэг зөрүүвектор (энэ тохиолдолд цахилгаан индукцийн вектор Д):
Векторын ялгаа ДДекарт координатаар:
Тиймээс (1.7) илэрхийлэл нь дараах хэлбэрт хувирна.
.
Хязгааргүй хуваах үед сүүлчийн илэрхийллийн зүүн талд байгаа нийлбэр нь эзлэхүүний интегралд ордог гэдгийг харгалзан үзвэл бид олж авна.
Үр дүнгийн харьцаа нь дур зоргоороо сонгогдсон эзлэхүүнд хангагдах ёстой В. Энэ нь орон зайн цэг бүрийн интегралуудын утга ижил байвал л боломжтой юм. Тиймээс векторын ялгаа Дижил цэгийн цэнэгийн нягттай тэнцүү байдлаар хамааралтай
эсвэл цахилгаан статик талбайн хүч чадлын векторын хувьд
Эдгээр тэгшитгэлүүд нь Гауссын теоремыг илэрхийлдэг дифференциал хэлбэр.
Гауссын теоремын дифференциал хэлбэрт шилжих явцад ерөнхий шинж чанартай харилцаа үүснэ гэдгийг анхаарна уу.
.
Илэрхийллийг Гаусс-Остроградскийн томьёо гэж нэрлэдэг бөгөөд векторын дивергенцийн эзэлхүүний интегралыг энэ векторын урсгалтай эзэлхүүнийг хязгаарлаж буй битүү гадаргуугаар холбодог.
Асуултууд
1) Вакуум дахь электростатик талбайн хувьд Гауссын теоремын физик утга нь юу вэ?
2) Кубын төвд цэгийн цэнэг бийq. Векторын урсгал гэж юу вэ? Э:
a) кубын бүх гадаргуугаар; б) шоо дөрвөлжин нүүрний аль нэгээр дамжуулан.
Хариултууд дараах тохиолдолд өөрчлөгдөх үү:
a) цэнэг нь кубын төвд биш, харин дотор нь байна ; б) цэнэг нь кубаас гадуур байна.
3) Шугаман, гадаргуу, эзэлхүүний цэнэгийн нягт гэж юу вэ.
4) Эзлэхүүн ба гадаргуугийн цэнэгийн нягтын хамаарлыг заана уу.
5) Эсрэг ба жигд цэнэгтэй параллель хязгааргүй хавтгайн гаднах талбай тэгээс өөр байж чадах уу?
6) Цахилгаан диполь нь хаалттай гадаргуу дотор байрладаг. Энэ гадаргуугаар урсах урсгал юу вэ
Агаар (ε 1) ба ус (ε = 81) гэх мэт хоёр мэдээллийн хэрэгслийн хоорондох интерфэйс дээр Е векторын утга хэрхэн өөрчлөгдөж байгааг авч үзье. Усан дахь талбайн хүч 81 дахин огцом буурдаг. Энэ вектор зан байдал Эянз бүрийн орчинд талбаруудыг тооцоолоход тодорхой таагүй байдлыг бий болгодог. Энэ таагүй байдлаас зайлсхийхийн тулд шинэ векторыг нэвтрүүлсэн Д– талбайн индукц буюу цахилгаан шилжилтийн вектор. Вектор холболт ДТэгээд Эшиг харагдаж байна
Д = ε ε 0 Э.
Мэдээжийн хэрэг, цэгийн цэнэгийн талбайн хувьд цахилгаан шилжилт нь тэнцүү байх болно
Цахилгаан шилжилтийг С/м2-ээр хэмждэг, шинж чанараас хамаардаггүй, графикаар суналтын шугамтай төстэй шугамаар дүрслэгдсэн болохыг харахад хялбар байдаг.
Талбайн шугамын чиглэл нь орон зай дахь талбайн чиглэлийг (мэдээжийн хэрэг, талбайн шугам байхгүй, тэдгээрийг дүрслэн харуулахын тулд оруулсан болно) эсвэл талбайн хүч чадлын векторын чиглэлийг тодорхойлдог. Эрчим хүчний шугамыг ашиглан та зөвхөн чиглэлийг төдийгүй талбайн хүч чадлын хэмжээг тодорхойлж болно. Үүнийг хийхийн тулд тэдгээрийг тодорхой нягтралтайгаар гүйцэтгэхээр тохиролцсон бөгөөд ингэснээр суналтын шугамд перпендикуляр нэгж гадаргууг цоолох суналтын шугамын тоо векторын модультай пропорциональ байна. Э(Зураг 78). Дараа нь энгийн талбайг нэвтлэх шугамын тоо dS, аль нь хэвийн nвектортой α өнцөг үүсгэнэ Э, нь E dScos α = E n dS-тэй тэнцүү,
Энд E n нь вектор бүрэлдэхүүн хэсэг юм Эхэвийн чиглэлд n. dФ E = E n dS = утга Эг Сдуудсан сайтаар дамжин хурцадмал векторын урсгалг С(д С= dS n).
Дурын хаалттай S гадаргуугийн хувьд векторын урсгал ЭЭнэ гадаргуугаар дамжуулан тэнцүү байна
Үүнтэй төстэй илэрхийлэл нь Ф D цахилгаан шилжилтийн векторын урсгалтай байна
.
Остроградский-Гаусын теорем
Энэ теорем нь ямар ч тооны цэнэгээс E ба D векторуудын урсгалыг тодорхойлох боломжийг олгодог. Q цэгийн цэнэгийг авч векторын урсгалыг тодорхойлъё Эголд нь байрлах r радиустай бөмбөрцөг гадаргуугаар дамжин.
Бөмбөрцөг гадаргуугийн хувьд α = 0, cos α = 1, E n = E, S = 4 πr 2 ба
Ф E = E · 4 πr 2 .
E-ийн илэрхийлэлийг орлуулснаар бид олж авна
Тиймээс цэгийн цэнэг бүрээс F E векторын урсгал гарч ирдэг Э Q/ ε 0 -тай тэнцүү. Энэхүү дүгнэлтийг дурын тооны цэгийн цэнэгийн ерөнхий тохиолдлоор нэгтгэн бид теоремын томъёоллыг өгдөг: векторын нийт урсгал. ЭДурын хэлбэрийн битүү гадаргуугаар дамжин өнгөрөх нь энэ гадаргуугийн доторх цахилгаан цэнэгийн алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд ε 0-д хуваагдана, өөрөөр хэлбэл.
Цахилгаан шилжилтийн векторын урсгалын хувьд ДТа ижил төстэй томъёог авч болно
хаалттай гадаргуугаар дамжин өнгөрөх индукцийн векторын урсгал нь энэ гадаргууг бүрхсэн цахилгаан цэнэгийн алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
Хэрэв бид цэнэгийг хүлээн авдаггүй битүү гадаргууг авбал мөр бүрийг авна ЭТэгээд ДЭнэ гадаргууг хоёр удаа - орох ба гарах хэсэгт давах тул нийт урсгал тэг болж хувирна. Энд орох, гарах шугамын алгебрийн нийлбэрийг харгалзан үзэх шаардлагатай.
Хавтгай, бөмбөрцөг, цилиндрээс үүссэн цахилгаан талбайг тооцоолоход Остроградский-Гаусын теоремыг ашиглах
R радиустай бөмбөрцөг гадаргуу нь гадаргуугийн нягтрал σ бүхий гадаргуу дээр жигд тархсан Q цэнэгийг агуулдаг.
Бөмбөрцгийн гадна байгаа А цэгийг төвөөс r зайд авч, r радиустай тэгш хэмтэй цэнэгтэй бөмбөрцгийг оюун ухаанаар зуръя (Зураг 79). Түүний талбай нь S = 4 πr 2. E векторын урсгал нь тэнцүү байх болно
Остроградский-Гаусын теоремын дагуу 
, тиймээс, 
Q = σ 4 πr 2 гэдгийг харгалзан үзвэл бид олж авна 
Бөмбөрцгийн гадаргуу дээр байрлах цэгүүдийн хувьд (R = r)
Д 
Хөндий бөмбөрцөг дотор байрлах цэгүүдийн хувьд (бөмбөрцөг дотор цэнэг байхгүй) E = 0.
2
. R радиус ба урттай хөндий цилиндр гадаргуу лтогтмол гадаргуугийн цэнэгийн нягтаар цэнэглэгддэг 
(Зураг 80). r > R радиустай коаксиаль цилиндр гадаргууг зуръя.
Урсгалын вектор Ээнэ гадаргуугаар дамжин
Гауссын теоремоор
Дээрх тэгшитгэлийн баруун талыг тэнцүүлж, бид олж авна
.
Хэрэв цилиндрийн шугаман цэнэгийн нягтыг (эсвэл нимгэн утас) өгвөл 
Тэр
3. Гадаргуугийн цэнэгийн нягтрал σ бүхий хязгааргүй хавтгайн талбар (Зураг 81).
Хязгааргүй хавтгайгаас үүссэн талбайг авч үзье. Тэгш хэмийн үүднээс авч үзвэл талбайн аль ч цэг дэх эрчим нь хавтгайд перпендикуляр чиглэлтэй байдаг.
Тэгш хэмтэй цэгүүдэд E нь ижил хэмжээтэй, эсрэг чиглэлтэй байна.
ΔS суурьтай цилиндрийн гадаргууг оюун ухаанаар бүтээцгээе. Дараа нь цилиндрийн суурь тус бүрээр урсах болно
F E = E ΔS ба цилиндр гадаргуугаар дамжин өнгөрөх нийт урсгал нь F E = 2E ΔS-тэй тэнцүү байх болно.
Гадаргуу дотор Q = σ · ΔS цэнэг байна. Гауссын теоремоор бол үнэн байх ёстой
хаана 
Хүлээн авсан үр дүн нь сонгосон цилиндрийн өндрөөс хамаарахгүй. Тиймээс ямар ч зайд E талбайн хүч нь ижил хэмжээтэй байна.
Гадаргуугийн ижил цэнэгийн нягт σ бүхий хоёр өөр цэнэглэгдсэн онгоцны хувьд суперпозицийн зарчмын дагуу хавтгай хоорондын зайны гадна талбайн хүч нь тэг E = 0, хавтгай хоорондын зайд. 
(Зураг 82a). Хэрэв онгоцууд ижил гадаргуугийн цэнэгийн нягттай ижил цэнэгээр цэнэглэгдсэн бол эсрэг дүр зураг ажиглагдана (Зураг 82б). Хавтгайнуудын хоорондох зайд E = 0, хавтгайнуудын гаднах орон зайд 
.
Ерөнхий томъёолол: Дурын сонгосон хаалттай гадаргуугаар дамжин өнгөрөх цахилгаан орны хүч чадлын векторын урсгал нь энэ гадаргуугийн доторх цахилгаан цэнэгтэй пропорциональ байна.
SGSE системд:
SI системд:
нь битүү гадаргуугаар дамжин өнгөрөх цахилгаан орны хүчний векторын урсгал юм.
- гадаргууг хязгаарлах эзлэхүүнд агуулагдах нийт цэнэг.
- цахилгаан тогтмол.
Энэ илэрхийлэл Гауссын теоремыг интеграл хэлбэрээр илэрхийлнэ.
Дифференциал хэлбэрээр Гауссын теорем нь Максвеллийн тэгшитгэлийн аль нэгэнд тохирч, дараах байдлаар илэрхийлэгдэнэ.
SI системд:
,
SGSE системд:
Энд эзэлхүүний цэнэгийн нягт (орчин байгаа тохиолдолд чөлөөт ба холбогдсон цэнэгийн нийт нягт), набла оператор байна.
Гауссын теоремын хувьд суперпозицийн зарчим хүчинтэй, өөрөөр хэлбэл гадаргуугаар дамжин өнгөрөх эрчим хүчний векторын урсгал нь гадаргуугийн доторх цэнэгийн тархалтаас хамаардаггүй.
Гауссын теоремын физик үндэс нь Кулоны хууль буюу өөрөөр хэлбэл Гауссын теорем нь Кулоны хуулийн салшгүй томъёолол юм.
Цахилгаан индукцийн Гауссын теорем (цахилгаан шилжилт).
Матери дахь талбайн хувьд Гауссын цахилгаан статик теоремыг өөрөөр бичиж болно - цахилгаан шилжилтийн векторын урсгалаар (цахилгаан индукц). Энэ тохиолдолд теоремыг томъёолох нь дараах байдалтай байна: хаалттай гадаргуугаар дамжин өнгөрөх цахилгаан нүүлгэн шилжүүлэлтийн векторын урсгал нь энэ гадаргуу дотор агуулагдах чөлөөт цахилгаан цэнэгтэй пропорциональ байна.
Хэрэв бид бодисын талбайн хүч чадлын теоремыг авч үзвэл гадаргуугийн дотор байрлах чөлөөт цэнэгийн нийлбэр ба диэлектрикийн туйлшралын (индукцлагдсан, холбогдсон) цэнэгийн нийлбэрийг Q цэнэг болгон авах шаардлагатай.
,
Хаана 
,
нь диэлектрикийн туйлшралын вектор юм.
Соронзон индукцийн Гауссын теорем
Ямар ч хаалттай гадаргуугаар дамжин өнгөрөх соронзон индукцийн векторын урсгал тэг байна.
.
Энэ нь байгальд цахилгаан цэнэг нь цахилгаан орон үүсгэдэгтэй адил соронзон орон үүсгэх "соронзон цэнэг" (монополь) байдаггүйтэй дүйцэхүйц юм. Өөрөөр хэлбэл соронзон индукцийн Гауссын теорем нь соронзон орон нь эргүүлэг гэдгийг харуулж байна.
Гауссын теоремын хэрэглээ
Цахилгаан соронзон орныг тооцоолохдоо дараах хэмжигдэхүүнүүдийг ашигладаг.
Эзлэхүүний цэнэгийн нягт (дээрхийг харна уу).
Гадаргуугийн цэнэгийн нягт
Энд dS нь хязгааргүй жижиг гадаргуугийн талбай юм.
Шугаман цэнэгийн нягт
Энд dl нь хязгааргүй жижиг сегментийн урт юм.
Хязгааргүй жигд цэнэглэгдсэн хавтгайгаас үүссэн талбайг авч үзье. Хавтгайн гадаргуугийн цэнэгийн нягтыг ижил ба σ-тэй тэнцүү болго. Хавтгайд перпендикуляр генератрис бүхий цилиндр ба хавтгайтай тэгш хэмтэй байрлалтай ΔS суурьтай гэж төсөөлье. Тэгш хэмийн улмаас. Хүчдэлийн векторын урсгал нь тэнцүү байна. Гауссын теоремыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.
,
хаанаас
SSSE системд
Гауссын теорем нь бүх нийтийн болон ерөнхий шинж чанартай хэдий ч интегралыг тооцоолоход тохиромжгүй тул интеграл хэлбэрийн Гауссын теорем нь харьцангуй хязгаарлагдмал хэрэглээтэй болохыг тэмдэглэх нь зүйтэй. Гэсэн хэдий ч тэгш хэмтэй асуудлын хувьд түүний шийдэл нь суперпозиция зарчмыг ашиглахаас хамаагүй хялбар болно.
