Би бусад уншигчдад парабол ба гиперболын талаархи сургуулийн мэдлэгээ мэдэгдэхүйц өргөжүүлэхийг санал болгож байна. Гипербола ба парабола - тэд энгийн үү? ... тэсэн ядан хүлээж байна =)

Гипербола ба түүний каноник тэгшитгэл

Материалыг танилцуулах ерөнхий бүтэц нь өмнөх догол мөртэй төстэй байх болно. Гиперболын ерөнхий ойлголт, түүнийг бүтээх даалгавраас эхэлье.

Гиперболын каноник тэгшитгэл нь эерэг бодит тоонууд гэсэн хэлбэртэй байна. ялгаатай гэдгийг анхаарна уу эллипс, нөхцөлийг энд тавиагүй, өөрөөр хэлбэл “a” утга нь “be” гэсэн утгаас бага байж болно.

Би гэнэтийн байдлаар хэлэх ёстой ... "сургуулийн" гиперболын тэгшитгэл нь каноник тэмдэглэгээтэй бараг адилхан байдаггүй. Гэхдээ энэ нууц биднийг хүлээх ёстой, гэхдээ одоо толгойгоо маажиж, тухайн муруй ямар онцлог шинж чанартай болохыг санацгаая? Төсөөлөлийнхөө дэлгэцэн дээр дэлгээцгээе функцийн график ….

Гипербола нь хоёр тэгш хэмтэй салбартай.

Муу дэвшил биш! Аливаа гипербол нь эдгээр шинж чанартай байдаг тул одоо бид энэ шугамын хүзүүг чин сэтгэлээсээ харах болно.

Жишээ 4

Тэгшитгэлээр өгөгдсөн гиперболыг байгуул

Шийдэл: эхний алхамд бид энэ тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт оруулдаг. Стандарт процедурыг санаарай. Баруун талд та "нэг" авах шаардлагатай тул анхны тэгшитгэлийн хоёр талыг 20-д хуваана.

Энд та хоёр бутархайг багасгаж болно, гэхдээ тус бүрийг хийх нь илүү оновчтой юм гурван давхар:

Үүний дараа л бууралтыг хийнэ:

Хуваагч дахь квадратуудыг сонгоно уу:

Яагаад ийм байдлаар өөрчлөлт хийх нь дээр вэ? Эцсийн эцэст, зүүн талд байгаа фракцуудыг нэн даруй багасгаж, олж авах боломжтой. Баримт нь авч үзэж буй жишээн дээр бид бага зэрэг азтай байсан: 20 тоо нь 4 ба 5-д хуваагддаг. Ерөнхий тохиолдолд ийм тоо ажиллахгүй. Жишээлбэл, тэгшитгэлийг авч үзье. Энд хуваагдах чадвартай бол бүх зүйл илүү гунигтай, үгүй ​​​​болдог гурван давхар бутархайболомжгүй болсон:

Тиймээс хөдөлмөрийн үр шимийг - каноник тэгшитгэлийг ашиглацгаая.

Хэрхэн гиперболыг бүтээх вэ?

Гиперболыг бий болгох хоёр арга байдаг - геометрийн болон алгебрийн.
Практик талаас нь авч үзвэл луужингаар зурах... Би бүр утопи гэж хэлэх байсан тул дахин энгийн тооцоолол ашиглан туслах нь хамаагүй ашигтай.

Дараах алгоритмыг дагаж мөрдөхийг зөвлөж байна, эхлээд дууссан зураг, дараа нь тайлбар.

Практикт дурын өнцгөөр эргүүлэх, гиперболын зэрэгцээ хөрвүүлэлтийн хослол ихэвчлэн тулгардаг. Энэ нөхцөл байдлын талаар хичээл дээр ярилцдаг 2-р эрэмбийн шугамын тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт оруулах.

Парабола ба түүний каноник тэгшитгэл

Дуусчихлаа! Тэр эмэгтэй цор ганц. Олон нууцыг задлахад бэлэн байна. Параболын каноник тэгшитгэл нь бодит тоо гэсэн хэлбэртэй байна. Стандарт байрлалдаа парабола "хажуу талдаа", орой нь эхэнд байгааг анзаарахад хялбар байдаг. Энэ тохиолдолд функц нь энэ мөрний дээд салбарыг, функц нь доод салбарыг зааж өгдөг. Парабола нь тэнхлэгээ тэгш хэмтэй байх нь тодорхой байна. Үнэндээ яагаад санаа зовоод байгаа юм бэ:

Жишээ 6

Параболыг байгуул

Шийдэл: орой нь мэдэгдэж байгаа тул нэмэлт цэгүүдийг олъё. Тэгшитгэл параболын дээд нумыг, тэгшитгэл нь доод нумыг тодорхойлно.

Тооцооллын бичлэгийг богиносгохын тулд бид "нэг сойзоор" тооцооллыг хийнэ.

Компакт бичлэг хийхийн тулд үр дүнг хүснэгтэд нэгтгэн дүгнэж болно.

Анхан шатны нэг цэгийн зураг зурахаасаа өмнө хатуу томъёолъё

параболын тодорхойлолт:

Парабол гэдэг нь өгөгдсөн цэгээс ижил зайд орших хавтгайн бүх цэгүүд ба тухайн цэгийг дайран өнгөрөхгүй шулуунаас бүрдэх олонлог юм.

цэг гэж нэрлэдэг анхаарлаа төвлөрүүлпарабол, шулуун шугам - захирал (нэг "es" гэж бичсэн)парабол. Каноник тэгшитгэлийн тогтмол "pe" гэж нэрлэдэг фокусын параметр, энэ нь фокусаас чиглүүлэлт хүртэлх зайтай тэнцүү байна. Энэ тохиолдолд . Энэ тохиолдолд фокус нь координаттай байх ба чиглүүлэлт нь тэгшитгэлээр өгөгдөнө.
Бидний жишээнд:

Параболын тодорхойлолт нь эллипс ба гиперболын тодорхойлолтоос ч илүү хялбар байдаг. Параболын аль ч цэгийн хувьд сегментийн урт (фокусаас цэг хүртэлх зай) перпендикулярын урттай (цэгээс чиглүүлэлт хүртэлх зай) тэнцүү байна.

Баяр хүргэе! Та нарын олонхи нь өнөөдөр жинхэнэ нээлт хийсэн. Гипербола ба парабола нь "ердийн" функцүүдийн график биш, харин тодорхой геометрийн гарал үүсэлтэй болох нь харагдаж байна.

Мэдээжийн хэрэг, фокусын параметр нэмэгдэх тусам графикийн мөчрүүд тэнхлэгт хязгааргүй ойртож, дээш доош "өргөх" болно. "Pe" утга буурах тусам тэдгээр нь тэнхлэгийн дагуу шахаж, сунгаж эхэлнэ

Аливаа параболын хазгай нь нэгдмэл байдалтай тэнцүү байна.

Параболын эргэлт ба зэрэгцээ орчуулга

Парабол бол математикийн хамгийн түгээмэл мөрүүдийн нэг бөгөөд та үүнийг байнга барих хэрэгтэй болно. Тиймээс, би энэ муруйн байршлын ердийн хувилбаруудыг хэлэлцэх хичээлийн эцсийн догол мөрөнд онцгой анхаарал хандуулна уу.

! Анхаарна уу : өмнөх муруйтай тохиолдлуудын нэгэн адил координатын тэнхлэгүүдийг эргүүлэх, зэрэгцээ хөрвүүлэх талаар ярих нь илүү зөв боловч уншигчид эдгээр хувиргалтын талаар үндсэн ойлголттой болохын тулд илтгэлийн хялбаршуулсан хувилбараар хязгаарлагдах болно.

Хавтгай дээрх шулуун ба энэ шулуун дээр байхгүй цэгийг авч үзье. БА эллипс, Мөн гиперболөгөгдсөн цэгээс өгөгдсөн шулуун шугам хүртэлх зайны харьцаа нь тогтмол утга болох цэгүүдийн геометрийн байрлал гэж нэгдмэл байдлаар тодорхойлж болно.

ε зэрэглэл. 0 1 үед - гипербола. ε параметр нь эллипс ба гиперболын аль алиных нь хазгай байдал. ε параметрийн боломжит эерэг утгуудын нэг нь ε = 1 нь ашиглагдаагүй байна. Энэ утга нь өгөгдсөн цэг болон өгөгдсөн шугамаас ижил зайд байрлах цэгүүдийн геометрийн байрлалтай тохирч байна.

Тодорхойлолт 8.1.Тогтмол цэг ба шулуунаас ижил зайд орших хавтгайн цэгүүдийн байршлыг гэнэ парабол.

Тогтмол цэг гэж нэрлэдэг параболын фокус, ба шулуун шугам - параболын чиглүүлэлт. Үүний зэрэгцээ энэ нь гэж үздэг параболын хазгай байдалнэгтэй тэнцүү.

Геометрийн үүднээс авч үзвэл парабола нь директрикстэй перпендикуляр шулуун шугамтай харьцуулахад тэгш хэмтэй бөгөөд параболын фокусыг дайран өнгөрдөг. Энэ шулуун шугамыг параболын тэгш хэмийн тэнхлэг буюу энгийнээр нэрлэдэг параболын тэнхлэг. Парабол нь тэгш хэмийн тэнхлэгээ нэг цэгээр огтолдог. Энэ цэгийг нэрлэдэг параболын орой. Энэ нь параболын фокусыг түүний тэнхлэгтэй огтлолцох цэгтэй холбосон сегментийн дунд байрладаг (Зураг 8.3).

Параболын тэгшитгэл.Параболын тэгшитгэлийг гаргахын тулд бид хавтгай дээр сонгоно гарал үүсэлпараболын орой дээр, зэрэг x тэнхлэг- фокусын байрлалаар тодорхойлогддог параболын тэнхлэг (8.3-р зургийг үз). Энэ координатын системийг нэрлэдэг канониктухайн параболын хувьд, харгалзах хувьсагч нь байна каноник.

Фокусаас чиглүүлэлт хүртэлх зайг p-ээр тэмдэглэе. Түүнийг дууддаг параболын фокусын параметр.

Дараа нь фокус нь F(p/2; 0) координаттай байх ба d чиглүүлэгчийг x = - p/2 тэгшитгэлээр тодорхойлно. F цэг ба d шулуунаас ижил зайд орших M(x; y) цэгүүдийн байрлалыг тэгшитгэлээр тодорхойлно.

(8.2) тэгшитгэлийг дөрвөлжин болгож, ижил төстэйг үзүүлье. Бид тэгшитгэлийг авдаг

гэж нэрлэдэг каноник параболын тэгшитгэл.

Энэ тохиолдолд квадрат болгох нь тэгшитгэлийн (8.2) эквивалент хувиргалт гэдгийг анхаарна уу, учир нь тэгшитгэлийн хоёр тал нь радикалын доорх илэрхийлэл шиг сөрөг биш юм.

Параболагийн төрөл.Хэрэв бидний мэдэгдэж байгаа хэлбэр нь y 2 = x параболыг абсцисса тэнхлэгийн дагуу 1/(2р) коэффициентээр шахсан бол (8.3) тэгшитгэлээр дүрсэлсэн ерөнхий хэлбэрийн параболыг олж авна.

Жишээ 8.2.Хэрэв параболын каноник координат нь (25; 10) цэгээр дамжин өнгөрвөл фокусын координат ба директрисын тэгшитгэлийг олъё.

Каноник координатуудад параболын тэгшитгэл нь y 2 = 2px хэлбэртэй байна. (25; 10) цэг нь парабол дээр байгаа тул 100 = 50p, тэгэхээр p = 2. Иймд y 2 = 4x нь параболын каноник тэгшитгэл, x = - 1 нь түүний чиглүүлэлтийн тэгшитгэл ба цэг дээр төвлөрч байна (1; 0).

Параболын оптик шинж чанар.Парабола нь дараах байдалтай байна оптик шинж чанар. Хэрэв гэрлийн эх үүсвэрийг параболын фокус дээр байрлуулсан бол параболаас ойсны дараа бүх гэрлийн туяа параболын тэнхлэгтэй параллель байх болно (Зураг 8.4). Оптик шинж чанар нь параболын аль ч цэгт M байна гэсэн үг юм хэвийн векторшүргэгч нь фокусын радиус MF ба абсцисса тэнхлэгтэй тэнцүү өнцөг үүсгэдэг.

III түвшин

3.1. Гиперболын шугаманд хүрэх 5 x – 6y – 16 = 0, 13x – 10y– – 48 = 0. Гиперболын тэнхлэгүүд нь координатын тэнхлэгүүдтэй давхцаж байвал түүний тэгшитгэлийг бич.

3.2. Гиперболын шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич

1) цэгээр дамжин өнгөрөх А(4, 1), Б(5, 2) ба C(5, 6);

2) 10-р шулуун шугамтай зэрэгцээ x – 3y + 9 = 0;

3) шулуун шугаманд перпендикуляр 10 x – 3y + 9 = 0.

Параболань координатууд нь тэгшитгэлийг хангадаг хавтгайн цэгүүдийн геометрийн байрлал юм

Параболын параметрүүд:

Цэг Ф(х/2, 0) гэж нэрлэдэг анхаарлаа төвлөрүүл парабол, хэмжээ х – параметр , цэг ТУХАЙ(0, 0) – дээд . Энэ тохиолдолд шулуун шугам OF, парабол нь тэгш хэмтэй байх нь энэ муруйн тэнхлэгийг тодорхойлдог.

Хэмжээ Хаана М(x, y) – параболын дурын цэг, гэж нэрлэдэг фокусын радиус , Чигээрээ Д: x = –х/2 – захирал (энэ нь параболын дотоод мужтай огтлолцохгүй). Хэмжээ параболын эксцентриситет гэж нэрлэдэг.

Параболагийн үндсэн шинж чанар: параболын бүх цэгүүд нь чиглүүлэлт ба фокусаас ижил зайд байна (Зураг 24).

Координатын систем дэх түүний салбаруудын бусад чиглэлийг тодорхойлдог каноник параболын тэгшитгэлийн бусад хэлбэрүүд байдаг (Зураг 25):

Учир нь параболын параметрийн тодорхойлолт параметр болгон тпараболын цэгийн ординатын утгыг дараах байдлаар авч болно.

Хаана тнь дурын бодит тоо юм.

Жишээ 1.Канон тэгшитгэлийг ашиглан параболын параметр ба хэлбэрийг тодорхойлно уу.

Шийдэл. 1. Тэгшитгэл y 2 = –8xцэг дээр оройтой параболыг тодорхойлно ТУХАЙ Өө. Түүний мөчрүүд зүүн тийшээ чиглэсэн байдаг. Энэ тэгшитгэлийг тэгшитгэлтэй харьцуулах y 2 = –2px, бид олдог: 2 х = 8, х = 4, х/2 = 2. Иймд фокус нь цэг дээр байна Ф(–2; 0), директрисын тэгшитгэл Д: x= 2 (Зураг 26).

2. Тэгшитгэл x 2 = –4yцэг дээр оройтой параболыг тодорхойлно О(0; 0), тэнхлэгийн тэгш хэмтэй Өө. Түүний мөчрүүд нь доошоо чиглэсэн байдаг. Энэ тэгшитгэлийг тэгшитгэлтэй харьцуулах x 2 = –2py, бид олдог: 2 х = 4, х = 2, х/2 = 1. Иймд фокус нь цэг дээр байна Ф(0; –1), директрисын тэгшитгэл Д: y= 1 (Зураг 27).

Жишээ 2.Муруйн параметр ба төрлийг тодорхойлох x 2 + 8x – 16y– 32 = 0. Зураг зурах.

Шийдэл.Бүрэн квадрат олборлох аргыг ашиглан тэгшитгэлийн зүүн талыг хувиргацгаая.

x 2 + 8x– 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16 – 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16y – 48 =0;

(x + 4) 2 – 16(y + 3).

Үүний үр дүнд бид авдаг

(x + 4) 2 = 16(y + 3).

Энэ нь (–4, –3) цэг дээрх оройтой параболын каноник тэгшитгэл, параметр юм. х= 8, салбарууд дээш чиглэсэн (), тэнхлэг x= –4. Анхаарал төвлөрч байна Ф(–4; –3 + х/2), i.e. Ф(–4; 1) захирал Дтэгшитгэлээр өгөгдсөн y = –3 – х/2 эсвэл y= –7 (Зураг 28).

Жишээ 4.Орой нь цэг дээр байгаа параболын тэгшитгэлийг бич В(3; –2) цэг дээр анхаарлаа төвлөрүүл Ф(1; –2).

Шийдэл.Өгөгдсөн параболын орой ба фокус нь тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам дээр байрладаг Үхэр(ижил ординатууд), параболын мөчрүүд зүүн тийш чиглэсэн (фокусны абсцисса нь оройн абсциссагаас бага), фокусаас орой хүртэлх зай х/2 = 3 – 1 = 2, х= 4. Эндээс шаардлагатай тэгшитгэл

(y+ 2) 2 = –2 4( x– 3) эсвэл ( y + 2) 2 = = –8(x – 3).

Бие даасан шийдлийн даалгавар

I түвшин

1.1. Параболын параметрүүдийг тодорхойлж, түүнийг байгуул:

1) y 2 = 2x; 2) y 2 = –3x;

3) x 2 = 6y; 4) x 2 = –y.

1.2. Хэрэв та дараахийг мэдэж байгаа бол параболын эхэнд оройтой тэгшитгэлийг бич.

1) парабола нь тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй зүүн хагас хавтгайд байрладаг ҮхэрТэгээд х = 4;

2) парабол нь тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байрладаг Өөмөн цэгээр дамжин өнгөрдөг М(4; –2).

3) директрицийг 3-р тэгшитгэлээр өгөгдсөн y + 4 = 0.

1.3. Бүх цэгүүд нь (2; 0) цэг ба шулуун шугамаас ижил зайд орших муруйны тэгшитгэлийг бич. x = –2.

II түвшин

2.1. Муруйн төрөл ба параметрүүдийг тодорхойлно.

6. Тодорхойлогчийг тодорхойлогчдын нийлбэр болгон задлах теорем, түүнээс гарах үр дагавар.

7. Тодорхойлогчийг эгнээний (баганын) элементүүдэд тэлэх тухай теорем ба түүний үр дагавар.

8. Матриц дээрх үйлдлүүд ба тэдгээрийн шинж чанарууд. Тэдний нэгийг нь нотол.

9. Матрицын шилжүүлгийн үйлдэл ба түүний шинж чанарууд.

10. Урвуу матрицын тодорхойлолт. Урвуу матриц бүр зөвхөн нэг урвуутай гэдгийг батал.

13. Блок матрицууд. Блок матрицыг нэмэх, үржүүлэх. Хагас гурвалжин матрицын тодорхойлогчийн тухай теорем.

14. Матрицын үржвэрийн тодорхойлогчийн тухай теорем.

15. Урвуу матриц оршин тогтнох тухай теорем.

16.Матрицын зэрэглэлийг тодорхойлох. Минор ба түүний үр дагавар дээрх теорем.

17. Матрицын мөр, баганын шугаман хамаарлын тухай ойлголт. Матрицын зэрэглэлийн теорем.

18. Матрицын зэрэглэлийг тооцоолох аргууд: насанд хүрээгүй хүмүүсийг зааглах арга, элементийн хувиргалт хийх арга.

19. Урвуу матрицыг олохын тулд зөвхөн мөрүүдийн (зөвхөн багана) элементар хувиргалтыг ашиглах.

20. Шугаман тэгшитгэлийн системүүд. Тохиромжтой байдлын шалгуур ба итгэлтэй байдлын шалгуур.

21. Шугаман тэгшитгэлийн хамтарсан системийн шийдэл.

22. Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем. Шийдлийн үндсэн системийн оршихуйн тухай теорем.

23. Вектор дээрх шугаман үйлдлүүд ба тэдгээрийн шинж чанарууд. Тэдний нэгийг нь нотол.

24. Хоёр векторын ялгааг тодорхойлох. Аливаа векторын хувьд ялгаа нь байгаа бөгөөд өвөрмөц гэдгийг батал.

25. Суурийн тодорхойлолт, суурь дахь вектор координат. Векторыг суурийн хувьд задлах теорем.

26. Векторуудын шугаман хамаарал. Шугаман хамаарлын тухай ойлголтын шинж чанарууд, тэдгээрийн аль нэгийг нотол.

28. Сансар огторгуй, хавтгай ба шулуун дээрх декартын координатын систем. Векторуудын шугаман хослол ба түүнээс гарах үр дагаврын тухай теорем.

29. Нэг DCS-ийн цэгийн координатыг өөр DCS-ийн ижил цэгийн координатаар илэрхийлсэн томьёог гаргаж авах.

30. Векторуудын цэгийн үржвэр. Тодорхойлолт ба үндсэн шинж чанарууд.

31. Векторуудын хөндлөн үржвэр. Тодорхойлолт ба үндсэн шинж чанарууд.

32. Векторуудын холимог үржвэр. Тодорхойлолт ба үндсэн шинж чанарууд.

33. Векторуудын давхар вектор үржвэр. Тооцооллын тодорхойлолт ба томъёо (баталгаагүй).

34. Алгебрийн шугам ба гадаргуу. Захиалгын өөрчлөгдөөгүй (хувиралтгүй) тухай теоремууд.

35. Хавтгай ба шулууны ерөнхий тэгшитгэл.

36. Шугаман ба хавтгайн параметрийн тэгшитгэл.

37. Хавтгай ба хавтгай дээрх шулууны ерөнхий тэгшитгэлээс параметрийн тэгшитгэл рүү шилжих. Хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлийн (хавтгай дээрх шулуун шугам) a, b, c (a, b) коэффициентүүдийн геометрийн утга.

38. Хавтгай дээрх параметрийн тэгшитгэлээс параметрийг хасах (орон зайд), шулуун шугамын каноник тэгшитгэл.

39. Шугаман ба хавтгайн вектор тэгшитгэл.

40. Сансарт шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл, каноник хэлбэрт оруулах.

41. Цэгээс хавтгай хүртэлх зай. Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай. Шугаман ба онгоцны талаархи бусад асуудлууд.

42. Зууван хэлбэрийн тодорхойлолт. Эллипсийн каноник тэгшитгэл. Эллипсийн параметрийн тэгшитгэл. Эллипсийн хазгай.

44. Параболын тодорхойлолт. Каноник параболын тэгшитгэлийн гарал үүсэл.

45. Хоёрдугаар эрэмбийн муруй ба тэдгээрийн ангилал. kvp-ийн тухай гол теорем.

45. Хоёрдахь эрэмбийн гадаргуу ба тэдгээрийн ангилал. pvp-ийн тухай гол теорем. Эргэлтийн гадаргуу.

47. Шугаман орон зайн тодорхойлолт. Жишээ.

49. Евклидийн орон зайн тодорхойлолт. Вектор урт. Векторуудын хоорондох өнцөг. Коши-Буняковскийн тэгш бус байдал. Жишээ.

50. Евклидийн орон зайн тодорхойлолт. Пифагорын теорем. Гурвалжны тэгш бус байдлын жишээ.

44. Параболын тодорхойлолт. Каноник параболын тэгшитгэлийн гарал үүсэл.

Тодорхойлолт:Парабола гэдэг нь энэ хавтгайн зарим тогтмол F цэг хүртэлх зай нь зарим тогтмол шулуун шугам хүртэлх зайтай тэнцүү байх хавтгай дээрх цэгүүдийн геометрийн байрлал юм. F цэгийг параболын фокус гэж нэрлэдэг ба тогтсон шугамыг параболын директрис гэнэ.

Тэгшитгэлийг гаргахын тулд дараахь зүйлийг байгуулъя.

ХАМТ тодорхойлолтын дагуу:

2 >=0 байгаа тул парабол нь баруун талын хагас хавтгайд байрладаг. x нь 0-ээс хязгааргүй хүртэл өсөхөд
. Парабола нь Ox-ийн хувьд тэгш хэмтэй байна. Параболын тэгш хэмийн тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг параболын орой гэж нэрлэдэг.

45. Хоёрдугаар эрэмбийн муруй ба тэдгээрийн ангилал. kvp-ийн тухай гол теорем.

8 төрлийн KVP байдаг:

1.зууван

2. гипербол

3.парабол

1,2,3 муруйнууд нь каноник хэсгүүд юм. Хэрэв бид конусыг конусын тэнхлэгтэй параллель хавтгайтай огтлолцвол бид гиперболыг олж авна. Хэрэв хавтгай нь генератрицтэй параллель байвал энэ нь парабол болно. Бүх онгоцууд конусын оройгоор дамждаггүй. Хэрэв энэ нь өөр хавтгай бол эллипс юм.

4. хос зэрэгцээ шулуун y 2 +a 2 =0, a0

5. огтлолцох хос шулуун y 2 -k 2 x 2 =0

6.нэг шулуун шугам y 2 =0

7.нэг цэг x 2 + y 2 =0

8.хоосон багц - хоосон муруй (цэггүй муруй) x 2 + y 2 +1=0 эсвэл x 2 + 1=0

Теорем (KVP-ийн тухай үндсэн теорем):Маягтын тэгшитгэл

а 11 x 2 + 2 а 12 x y + a 22 y 2 + 2 а 1 x + 2a 2 y+a 0 = 0

эдгээр найман төрлийн зөвхөн аль нэгнийх нь муруйг төлөөлж болно.

Баталгаажуулах санаа KVP тэгшитгэлийг илэрхийлж буй муруй хэлбэр нь тодорхой болох үед хамгийн энгийн хэлбэрийг авах координатын систем рүү шилжих явдал юм. Координатын үржвэртэй гишүүн алга болох өнцгөөр координатын системийг эргүүлснээр теорем нотлогддог. Мөн координатын системийн зэрэгцээ шилжүүлгийн тусламжтайгаар x хувьсагчтай гишүүн эсвэл у хувьсагчтай нэр томъёо алга болдог.

Шинэ координатын системд шилжих: 1. Зэрэгцээ дамжуулалт

2. Эргүүлэх

45. Хоёрдахь эрэмбийн гадаргуу ба тэдгээрийн ангилал. pvp-ийн тухай гол теорем. Эргэлтийн гадаргуу.

П VP - тэгш өнцөгт координатууд нь 2-р зэргийн тэгшитгэлийг хангасан цэгүүдийн багц: (1)

Квадрат буюу үржвэрийн коэффициентүүдийн ядаж нэг нь 0-ээс ялгаатай гэж үздэг.Координатын системийн сонголттой холбоотойгоор тэгшитгэл нь инвариант байна.

ТеоремХавтгай бүхэлдээ хэсэгт байрлах онцгой тохиолдлыг эс тооцвол ямар ч онгоц PVP-ийг CVP-ийн дагуу огтолдог (PVP нь онгоц эсвэл хос онгоц байж болно).

PVP нь 15 төрлийн байдаг. Тохиромжтой координатын системд тодорхойлсон тэгшитгэлийг зааж өгье. Эдгээр тэгшитгэлийг каноник (хамгийн энгийн) гэж нэрлэдэг. Зэрэгцээ огтлолын аргыг ашиглан каноник тэгшитгэлд тохирох геометрийн дүрсийг бүтээх: Гадаргууг координатын хавтгай ба тэдгээртэй параллель хавтгайтай огтолно. Үр дүн нь гадаргуугийн хэлбэрийн талаархи ойлголтыг өгдөг хэсгүүд ба муруйнууд юм.

1. Эллипсоид.

Хэрэв a=b=c бол бөмбөрцөг болно.

2. Гиперболоидууд.

1). Нэг хуудас гиперболоид:

Нэг хуудас гиперболоидын координатын хавтгайгаар зүсэлт: XOZ:
- гипербол.

YOZ:
- гипербол.

XOY онгоц:
- эллипс.

2). Хоёр хуудас гиперболоид.

Гарал үүсэл нь тэгш хэмийн цэг юм.

Координатын хавтгай нь тэгш хэмийн хавтгай юм.

Онгоц z = hгиперболоидыг эллипсийн дагуу огтолдог
, өөрөөр хэлбэл онгоц z = h| үед гиперболоидыг огтолж эхэлдэг h |  в. Гиперболоидын хавтгайгаар зүсэлт x = 0 Тэгээд y = 0 - эдгээр нь гиперболууд юм.

(2), (3), (4) тэгшитгэлийн a, b, c тоонуудыг эллипсоид ба гиперболоидын хагас тэнхлэг гэж нэрлэдэг.

3. Параболоидууд.

1). Эллипс параболоид:

Онгоцны хэсэг z = hБайна
, Хаана
. Тэгшитгэлээс харахад z  0 нь хязгааргүй аяга байна.

Онгоцуудын огтлолцол y = hТэгээд x= h
- энэ бол парабол ба ерөнхийдөө

2). Гиперболик параболоид:

Мэдээжийн хэрэг, XOZ ба YOZ онгоцууд нь тэгш хэмийн хавтгай, z тэнхлэг нь параболоидын тэнхлэг юм. Параболоидыг хавтгайтай огтлолцох z = h- гиперболууд:
,
. Онгоц z=0 хоёр тэнхлэгийн дагуу гипербол параболоидыг огтолж байна
Эдгээр нь асимптотууд юм.

4. Хоёр дахь эрэмбийн конус ба цилиндр.

1). Конус бол гадаргуу юм
. Конус нь 0 (0, 0, 0) эхийг дайран өнгөрөх шулуун шугамаар үүсгэгддэг. Конусын хөндлөн огтлол нь хагас тэнхлэг бүхий эллипс юм
.

2). Хоёр дахь эрэмбийн цилиндр.

Энэ бол эллипс хэлбэртэй цилиндр юм
.

Эллипсүүдийг огтолж, Оз тэнхлэгтэй параллель байгаа ямар ч шулуун энэ тэгшитгэлийг хангана. Энэ шулуун шугамыг эллипсийн эргэн тойронд хөдөлгөснөөр бид гадаргууг олж авна.

Г гипербол цилиндр:

XOU хавтгай дээр энэ нь гипербол юм. Гиперболыг Озтой параллель огтлолцсон шулуун шугамыг гиперболын дагуу хөдөлгөж байна.

Параболик цилиндр:

Н мөн XOU онгоц нь парабол юм.

Цилиндр гадаргуу нь тодорхой шулуун шугамын дагуу (хөтөч) өөртэйгөө параллель хөдөлж буй шулуун шугамаар (үүсгүүр) үүсдэг.

10. Хос огтлолцох хавтгай

11. Зэрэгцээ хавтгайн хос

12.
- Чигээрээ

13. Шулуун шугам - нэг цэг дээр баригдсан "цилиндр"

14. Нэг оноо

15. Хоосон багц

PVP-ийн тухай гол теорем: PVP бүр дээр дурдсан 15 төрлийн аль нэгэнд хамаарна. Өөр PVP байхгүй.

Эргэлтийн гадаргуу. PDSC Oxyz өгөгдөх ба Oyz хавтгайд F(y,z)=0 (1) тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон e шулууныг өгье. Энэ шугамыг Оз тэнхлэгийг тойруулан эргүүлснээр олж авсан гадаргуугийн тэгшитгэлийг байгуулъя. e шулуун дээрх M(y,z) цэгийг авъя. Ойз онгоц Озыг тойрон эргэвэл М цэг тойрог дүрслэнэ. N(X,Y,Z) нь энэ тойргийн дурын цэг байг. z=Z гэдэг нь тодорхой байна.

.

Олдсон z ба y утгыг (1) тэгшитгэлд орлуулснаар бид зөв тэгшитгэлийг олж авна.
тэдгээр. N цэгийн координатууд тэгшитгэлийг хангана
. Тиймээс эргэлтийн гадаргуу дээрх дурын цэг (2) тэгшитгэлийг хангана. Хэрэв N(x 1 ,y 1 ,z 1) цэг нь (2) тэгшитгэлийг хангаж байвал авч үзэж буй гадаргууд хамаарна гэдгийг батлахад хэцүү биш. Одоо бид тэгшитгэл (2) нь эргэлтийн гадаргуугийн хүссэн тэгшитгэл гэж хэлж болно.

"

Энэ бүлгийн туршид хавтгайд тодорхой хуваарийг сонгосон гэж үздэг (доор авч үзсэн бүх тоонууд энд байна); Зөвхөн ийм масштабтай тэгш өнцөгт координатын системийг авч үздэг.

§ 1. Парабола

Параболыг уншигчдад сургуулийн математикийн хичээлээс муруй гэж мэддэг бөгөөд энэ нь функцийн график юм.

(Зураг 76). (1)

Аливаа квадрат гурвалжны график

мөн парабола; Энэ нь координатын системийг зүгээр л (зарим вектороор OO) шилжүүлэх, өөрөөр хэлбэл хувиргах замаар боломжтой юм

функцийн график (хоёр дахь координатын системд) график (2)-тай (эхний координатын системд) давхцаж байгаа эсэхийг шалгана.

Үнэн хэрэгтээ (3) -ийг тэгш байдал (2) гэж орлуулъя. Бид авдаг

Бид энэ тэгшитгэлийн баруун талд байрлах олон гишүүнтийн at коэффициент ба чөлөөт гишүүн (-тэй харьцуулахад) тэгтэй тэнцүү байхаар сонгохыг хүсч байна. Үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэлээс тодорхойлно

өгдөг

Одоо бид нөхцөл байдлаас тодорхойлж байна

Үүнд бид аль хэдийн олдсон утгыг орлуулна. Бид авдаг

Тиймээс, ээлжийн (3) тусламжтайгаар

Бид параболын тэгшитгэл (2) хэлбэрийг авсан шинэ координатын системд шилжсэн.

(Зураг 77).

(1) тэгшитгэл рүү буцъя. Энэ нь параболын тодорхойлолт болж чадна. Түүний хамгийн энгийн шинж чанаруудыг эргэн санацгаая. Муруй нь тэгш хэмийн тэнхлэгтэй: хэрэв цэг нь тэгшитгэлийг (1) хангаж байвал ординатын тэнхлэгтэй харьцуулахад M цэгтэй тэгш хэмтэй цэг нь (1) тэгшитгэлийг хангана - муруй нь ординатын тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байна (Зураг 76). .

Хэрэв бол парабол (1) нь абсцисса тэнхлэгтэй нэг нийтлэг О цэгтэй дээд хагас хавтгайд байрладаг.

Абсциссагийн үнэмлэхүй утга хязгааргүй өсөхөд ординат нь мөн хязгааргүй нэмэгддэг. Муруйн ерөнхий дүр төрхийг Зураг дээр үзүүлэв. 76, а.

Хэрэв (Зураг 76, б) бол муруй нь муруйн абсцисса тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй доод хагас хавтгайд байрлана.

Хэрэв бид ординатын тэнхлэгийн эерэг чиглэлийг эсрэгээр сольж хуучин координатын шинэ системд шилжвэл хуучин систем дэх у тэгшитгэлтэй парабола шинэ системд y тэгшитгэлийг хүлээн авна. координатын систем. Тиймээс параболыг судлахдаа бид (1) тэгшитгэлээр өөрсдийгөө хязгаарлаж болно.

Эцэст нь тэнхлэгүүдийн нэрийг өөрчилье, өөрөөр хэлбэл ординатын тэнхлэг нь хуучин абсцисса тэнхлэг, абсцисса тэнхлэг нь хуучин ординатын тэнхлэг байх шинэ координатын системд шилжих болно. Энэхүү шинэ системд (1) тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ

Эсвэл тоогоор тэмдэглэсэн бол хэлбэрээр

(4) тэгшитгэлийг аналитик геометрт параболын каноник тэгшитгэл гэж нэрлэдэг; Өгөгдсөн парабол (4) тэгшитгэлтэй тэгш өнцөгт координатын системийг каноник координатын систем (энэ параболын хувьд) гэж нэрлэдэг.

Одоо бид коэффициентийн геометрийн утгыг тогтоох болно. Үүнийг хийхийн тулд бид цэгийг авдаг

тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон параболын фокус (4) ба шулуун d шулуун гэж нэрлэдэг

Энэ шугамыг параболын директрис (4) гэж нэрлэдэг (78-р зургийг үз).

(4) параболын дурын цэг байя. (4) тэгшитгэлээс үзэхэд М цэгийн d чиглүүлэлтийн зай нь тоо юм

М цэгийн F фокусаас зай нь

Гэхдээ тиймээс

Тиймээс параболын бүх М цэгүүд нь түүний фокус ба чиглүүлэлтээс ижил зайд байна.

Үүний эсрэгээр (8) нөхцөлийг хангаж буй M цэг бүр парабол (4) дээр байрладаг.

Үнэхээр,

Тиймээс,

мөн хашилтыг нээж ижил нэр томъёог оруулсны дараа

Парабол (4) бүр нь F фокус ба энэ параболын d чиглүүлэлтээс ижил зайд орших цэгүүдийн байрлал гэдгийг бид нотолсон.

Үүний зэрэгцээ бид (4) тэгшитгэл дэх коэффициентийн геометрийн утгыг тогтоосон: тоо нь фокус ба параболын чиглүүлэлтийн хоорондох зайтай тэнцүү байна.

Одоо F цэг ба энэ цэгийг дайрахгүй d шулууныг хавтгайд дур мэдэн өгсөн гэж үзье. Фокус F ба d чиглүүлэлттэй парабола байдгийг баталцгаая.

Үүнийг хийхийн тулд d шугамтай перпендикуляр F цэгээр (Зураг 79) g шугамыг зурна; хоёр шулууны огтлолцох цэгийг D гэж тэмдэглэе; зайг (өөрөөр хэлбэл F цэг ба шулуун d шугамын хоорондох зай) -аар тэмдэглэнэ.

Шулуун g шулууныг тэнхлэг болгон эргүүлж түүн дээрх DF чиглэлийг эерэг гэж авцгаая. Энэ тэнхлэгийг тэгш өнцөгт координатын системийн абсцисса тэнхлэг болгоцгооё, түүний гарал үүсэл нь сегментийн дундах O цэг юм.

Дараа нь d шулуун шугам мөн тэгшитгэлийг хүлээн авна.

Одоо бид сонгосон координатын системд параболын каноник тэгшитгэлийг бичиж болно.

Энд F цэг нь фокус байх ба d шулуун шугам нь параболын (4) директрис болно.

Парабола нь F цэг ба d шулуунаас ижил зайд орших М цэгүүдийн байрлал гэдгийг бид дээр тогтоосон. Тиймээс бид параболын ийм геометрийн (өөрөөр хэлбэл координатын системээс хамааралгүй) тодорхойлолтыг өгч болно.

Тодорхойлолт. Парабол гэдэг нь зарим нэг тогтмол цэгээс (параболын "фокус") болон зарим тогтмол шугамаас (параболын "шууд") ижил зайд байрлах цэгүүдийн байрлал юм.