ഈ ലേഖനത്തിൽ നിന്ന്, പ്രവർത്തനപരമായ മൂല്യത്തിൻ്റെ ഒരു തീവ്രത എന്താണെന്നതിനെക്കുറിച്ചും പ്രായോഗിക പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ അതിൻ്റെ ഉപയോഗത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകളെക്കുറിച്ചും വായനക്കാരൻ പഠിക്കും. ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ അടിത്തറ മനസ്സിലാക്കുന്നതിന് അത്തരമൊരു ആശയം പഠിക്കുന്നത് വളരെ പ്രധാനമാണ്. കോഴ്സിൻ്റെ ആഴത്തിലുള്ള പഠനത്തിന് ഈ വിഷയം അടിസ്ഥാനപരമാണ്.
എന്നിവരുമായി ബന്ധപ്പെട്ടു
എന്താണ് ഒരു എക്സ്ട്രീം?സ്കൂൾ കോഴ്സിൽ, "അധികം" എന്ന ആശയത്തിൻ്റെ നിരവധി നിർവചനങ്ങൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഈ വിഷയത്തെ കുറിച്ച് അറിവില്ലാത്തവർക്ക് ഈ പദത്തെക്കുറിച്ച് ആഴമേറിയതും വ്യക്തവുമായ ധാരണ നൽകാനാണ് ഈ ലേഖനം ഉദ്ദേശിക്കുന്നത്. അതിനാൽ, ഒരു പ്രത്യേക സെറ്റിൽ ഫങ്ഷണൽ ഇടവേള എത്രത്തോളം കുറഞ്ഞതോ കൂടിയതോ ആയ മൂല്യം നേടുന്നുവെന്ന് ഈ പദം മനസ്സിലാക്കുന്നു.
ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ മൂല്യവും ഒരേ സമയം കൂടിയ മൂല്യവുമാണ് എക്സ്ട്രീം. ഒരു മിനിമം പോയിൻ്റും പരമാവധി പോയിൻ്റും ഉണ്ട്, അതായത് ഗ്രാഫിലെ ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ അങ്ങേയറ്റത്തെ മൂല്യങ്ങൾ. ഈ ആശയം ഉപയോഗിക്കുന്ന പ്രധാന ശാസ്ത്രങ്ങൾ ഇവയാണ്:
- സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ;
- യന്ത്ര നിയന്ത്രണം;
- ഇക്കണോമെട്രിക്സ്.
തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ ക്രമം നിർണ്ണയിക്കുന്നതിൽ എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകൾ ഒരു പ്രധാന പങ്ക് വഹിക്കുന്നു. ഗ്രാഫിലെ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം അതിൻ്റെ ഏറ്റവും മികച്ച പ്രവർത്തനക്ഷമതയിലെ മാറ്റത്തെ ആശ്രയിച്ച് അങ്ങേയറ്റത്തെ സ്ഥാനത്ത് മാറ്റം കാണിക്കുന്നു.
ഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ്റെ എക്സ്ട്രീമ"ഡെറിവേറ്റീവ്" പോലെയുള്ള ഒരു പ്രതിഭാസവും ഉണ്ട്. എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റ് നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഏറ്റവും കുറഞ്ഞതും കൂടിയതുമായ പോയിൻ്റുകൾ ഉയർന്നതും താഴ്ന്നതുമായ മൂല്യങ്ങളുമായി ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കാതിരിക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്. സമാനമായി തോന്നാമെങ്കിലും ഇവ വ്യത്യസ്ത ആശയങ്ങളാണ്.
പരമാവധി പോയിൻ്റ് എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രധാന ഘടകം ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യമാണ്. ഡെറിവേറ്റീവ് രൂപപ്പെടുന്നത് മൂല്യങ്ങളിൽ നിന്നല്ല, മറിച്ച് ഒന്നോ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു ക്രമത്തിൽ അതിൻ്റെ അങ്ങേയറ്റത്തെ സ്ഥാനത്ത് നിന്ന് മാത്രം.
ഡെറിവേറ്റീവ് തന്നെ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ഈ എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ്, അല്ലാതെ ഏറ്റവും വലുതോ ചെറുതോ ആയ മൂല്യത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയല്ല. റഷ്യൻ സ്കൂളുകളിൽ, ഈ രണ്ട് ആശയങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള രേഖ വ്യക്തമായി വരച്ചിട്ടില്ല, ഇത് ഈ വിഷയത്തെ പൊതുവായി മനസ്സിലാക്കുന്നതിനെ ബാധിക്കുന്നു.
"അക്യൂട്ട് എക്സ്ട്രീം" എന്ന അത്തരമൊരു ആശയം നമുക്ക് ഇപ്പോൾ പരിഗണിക്കാം. ഇന്ന്, ഒരു അക്യൂട്ട് മിനിമം മൂല്യവും ഒരു അക്യൂട്ട് മാക്സിമം മൂല്യവുമുണ്ട്. ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർണായക പോയിൻ്റുകളുടെ റഷ്യൻ വർഗ്ഗീകരണത്തിന് അനുസൃതമായാണ് നിർവചനം നൽകിയിരിക്കുന്നത്. ഒരു ഗ്രാഫിൽ നിർണായക പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാനം ഒരു എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റ് എന്ന ആശയമാണ്.
അത്തരമൊരു ആശയം നിർവചിക്കുന്നതിന്, അവർ ഫെർമാറ്റിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കുന്നു. അങ്ങേയറ്റത്തെ പോയിൻ്റുകളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനത്തിൽ ഇത് ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ടതാണ് കൂടാതെ ഒരു രൂപത്തിൽ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊന്നിൽ അവയുടെ നിലനിൽപ്പിനെക്കുറിച്ച് വ്യക്തമായ ആശയം നൽകുന്നു. തീവ്രത ഉറപ്പാക്കാൻ, ഗ്രാഫിൽ കുറയുന്നതിനോ വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നതിനോ ചില വ്യവസ്ഥകൾ സൃഷ്ടിക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്.
"പരമാവധി പോയിൻ്റ് എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം" എന്ന ചോദ്യത്തിന് കൃത്യമായി ഉത്തരം നൽകാൻ, നിങ്ങൾ ഈ മാർഗ്ഗനിർദ്ദേശങ്ങൾ പാലിക്കണം:
ശ്രദ്ധ! ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർണായക പോയിൻ്റിനായി തിരയുന്നത് കുറഞ്ഞത് രണ്ടാമത്തെ ഓർഡറിൻ്റെ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ടെങ്കിൽ മാത്രമേ സാധ്യമാകൂ, അത് ഒരു എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റിൻ്റെ സാന്നിധ്യത്തിൻ്റെ ഉയർന്ന അനുപാതത്താൽ ഉറപ്പാക്കപ്പെടുന്നു.
ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ തീവ്രതയ്ക്ക് ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥഒരു എക്സ്ട്രീം നിലനിൽക്കണമെങ്കിൽ, ഏറ്റവും കുറഞ്ഞതും കൂടിയതുമായ പോയിൻ്റുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്. ഈ നിയമം ഭാഗികമായി മാത്രമേ നിരീക്ഷിക്കപ്പെടുന്നുള്ളൂവെങ്കിൽ, ഒരു എക്സ്ട്രീമിൻ്റെ നിലനിൽപ്പിനുള്ള വ്യവസ്ഥ ലംഘിക്കപ്പെടുന്നു.
ഏതൊരു സ്ഥാനത്തിലുമുള്ള ഓരോ പ്രവർത്തനവും അതിൻ്റെ പുതിയ അർത്ഥങ്ങൾ തിരിച്ചറിയുന്നതിനായി വേർതിരിക്കേണ്ടതാണ്. ഒരു ബിന്ദു പൂജ്യത്തിലേക്ക് പോകുന്നത് ഒരു ഡിഫറൻഷ്യബിൾ പോയിൻ്റ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രധാന തത്വമല്ലെന്ന് മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്.
അങ്ങേയറ്റത്തെ മൂല്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട ഒരു വശമാണ് അക്യൂട്ട് എക്സ്ട്രീം, അതുപോലെ തന്നെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ. ഈ ഘടകം നന്നായി മനസ്സിലാക്കുന്നതിന്, പ്രവർത്തനക്ഷമത വ്യക്തമാക്കുന്നതിന് പട്ടിക മൂല്യങ്ങൾ റഫർ ചെയ്യേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്.
| പൂർണ്ണമായ അർത്ഥ ഗവേഷണം | ഒരു മൂല്യ ഗ്രാഫ് പ്ലോട്ട് ചെയ്യുന്നു |
| 1. മൂല്യങ്ങൾ വർദ്ധിക്കുന്നതും കുറയുന്നതും പോയിൻ്റുകളുടെ നിർണ്ണയം. 2. കോർഡിനേറ്റ് അച്ചുതണ്ടുകൾ ഉപയോഗിച്ച് നിർത്തലാക്കൽ പോയിൻ്റുകൾ, എക്സ്ട്രീം, ഇൻ്റർസെക്ഷൻ എന്നിവ കണ്ടെത്തുന്നു. 3. ഒരു ഗ്രാഫിലെ സ്ഥാനത്ത് മാറ്റങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്ന പ്രക്രിയ. 4. അസിംപ്റ്റോട്ടുകളുടെ സാന്നിധ്യം കണക്കിലെടുത്ത് കൺവെക്സിറ്റിയുടെയും കൺവെക്സിറ്റിയുടെയും സൂചകവും ദിശയും നിർണ്ണയിക്കുക. 5. അതിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന് ഒരു ഗവേഷണ സംഗ്രഹ പട്ടിക സൃഷ്ടിക്കൽ. 6. തീവ്രവും മൂർച്ചയുള്ളതുമായ പോയിൻ്റുകൾ വർദ്ധിക്കുന്നതിൻ്റെയും കുറയുന്നതിൻ്റെയും ഇടവേളകൾ കണ്ടെത്തൽ. 7. ഒരു വക്രതയുടെ കുതിച്ചുചാട്ടവും കോൺകാവിറ്റിയും നിർണ്ണയിക്കുക. 8. ഗവേഷണം കണക്കിലെടുത്ത് ഒരു ഗ്രാഫ് പ്ലോട്ട് ചെയ്യുന്നത് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞതോ കൂടിയതോ കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. |
അങ്ങേയറ്റത്തെ പോയിൻ്റുകളുമായി പ്രവർത്തിക്കേണ്ടിവരുമ്പോൾ പ്രധാന ഘടകം അതിൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ കൃത്യമായ നിർമ്മാണമാണ്. സ്കൂൾ അധ്യാപകർ പലപ്പോഴും അത്തരം ഒരു പ്രധാന വശത്തിന് പരമാവധി ശ്രദ്ധ നൽകുന്നില്ല, ഇത് വിദ്യാഭ്യാസ പ്രക്രിയയുടെ കടുത്ത ലംഘനമാണ്. ഒരു ഗ്രാഫിൻ്റെ നിർമ്മാണം സംഭവിക്കുന്നത് ഫംഗ്ഷണൽ ഡാറ്റ പഠിക്കുന്നതിൻ്റെയും അക്യൂട്ട് എക്സ്ട്രീമയെ തിരിച്ചറിയുന്നതിൻ്റെയും ഗ്രാഫിലെ പോയിൻ്റുകളുടെയും അടിസ്ഥാനത്തിൽ മാത്രമാണ്. അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു സ്റ്റാൻഡേർഡ് നടപടിക്രമം ഉപയോഗിച്ച്, കൃത്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ ഒരു പ്ലോട്ടിൽ ഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഷാർപ്പ് എക്സ്ട്രീമ പ്രദർശിപ്പിക്കും. ഫംഗ്ഷൻ്റെ പരമാവധി, കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റുകൾ കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഗ്രാഫ് നിർമ്മിതികളോടൊപ്പമുണ്ട്. അക്യൂട്ട് എക്സ്ട്രീം എന്ന പ്രശ്‌നത്തിലൂടെ പ്രവർത്തിക്കാനുള്ള ആഴത്തിലുള്ള ആവശ്യകതയാണ് ഇതിന് കാരണം. സങ്കീർണ്ണവും ലളിതവുമായ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തേണ്ടതും ആവശ്യമാണ്, കാരണം ഇത് എക്സ്ട്രീം പ്രശ്നത്തിലെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ആശയങ്ങളിലൊന്നാണ്. |
മുകളിലുള്ള മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമങ്ങൾ പാലിക്കണം:
- അങ്ങേയറ്റത്തെ ബന്ധത്തിന് ആവശ്യമായ അവസ്ഥ നിർണ്ണയിക്കുക;
- ഗ്രാഫിലെ അങ്ങേയറ്റത്തെ പോയിൻ്റുകളുടെ മതിയായ അവസ്ഥ കണക്കിലെടുക്കുക;
- അക്യൂട്ട് എക്സ്ട്രീമിൻ്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ നടത്തുക.
ദുർബലമായ മിനിമം, ശക്തമായ മിനിമം തുടങ്ങിയ ആശയങ്ങളും ഉപയോഗിക്കുന്നു. എക്സ്ട്രീമും അതിൻ്റെ കൃത്യമായ കണക്കുകൂട്ടലും നിർണ്ണയിക്കുമ്പോൾ ഇത് കണക്കിലെടുക്കണം. അതേ സമയം, ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തിക്കുന്നതിന് ആവശ്യമായ എല്ലാ വ്യവസ്ഥകളുടെയും തിരയലും സൃഷ്ടിയുമാണ് നിശിത പ്രവർത്തനം.
2020 ജൂലൈയിൽ നാസ ചൊവ്വയിലേക്ക് ഒരു പര്യവേഷണം ആരംഭിക്കുന്നു. രജിസ്റ്റർ ചെയ്ത എല്ലാ പര്യവേഷണ പങ്കാളികളുടെയും പേരുകളുള്ള ഒരു ഇലക്ട്രോണിക് മാധ്യമം പേടകം ചൊവ്വയിലേക്ക് എത്തിക്കും.
പങ്കെടുക്കുന്നവരുടെ രജിസ്ട്രേഷൻ തുറന്നിരിക്കുന്നു. ഈ ലിങ്ക് ഉപയോഗിച്ച് ചൊവ്വയിലേക്കുള്ള നിങ്ങളുടെ ടിക്കറ്റ് നേടൂ.
ഈ പോസ്റ്റ് നിങ്ങളുടെ പ്രശ്നം പരിഹരിച്ചെങ്കിലോ നിങ്ങൾക്കത് ഇഷ്‌ടപ്പെട്ടാലോ, സോഷ്യൽ നെറ്റ്‌വർക്കുകളിലെ നിങ്ങളുടെ സുഹൃത്തുക്കളുമായി അതിലേക്കുള്ള ലിങ്ക് പങ്കിടുക.
ഈ കോഡ് ഓപ്‌ഷനുകളിലൊന്ന് നിങ്ങളുടെ വെബ് പേജിൻ്റെ കോഡിലേക്ക് പകർത്തി ഒട്ടിക്കേണ്ടതുണ്ട്, വെയിലത്ത് ടാഗുകൾക്കിടയിൽ അല്ലെങ്കിൽ ടാഗിന് തൊട്ടുപിന്നാലെ. ആദ്യ ഓപ്ഷൻ അനുസരിച്ച്, MathJax വേഗത്തിൽ ലോഡുചെയ്യുകയും പേജിൻ്റെ വേഗത കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. എന്നാൽ രണ്ടാമത്തെ ഓപ്ഷൻ MathJax-ൻ്റെ ഏറ്റവും പുതിയ പതിപ്പുകൾ സ്വയമേവ നിരീക്ഷിക്കുകയും ലോഡ് ചെയ്യുകയും ചെയ്യുന്നു. നിങ്ങൾ ആദ്യ കോഡ് ചേർക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത് ആനുകാലികമായി അപ്ഡേറ്റ് ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്. നിങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ കോഡ് ചേർക്കുകയാണെങ്കിൽ, പേജുകൾ കൂടുതൽ സാവധാനത്തിൽ ലോഡുചെയ്യും, പക്ഷേ നിങ്ങൾ MathJax അപ്‌ഡേറ്റുകൾ നിരന്തരം നിരീക്ഷിക്കേണ്ടതില്ല.
MathJax കണക്റ്റുചെയ്യാനുള്ള എളുപ്പവഴി Blogger-ലോ WordPress-ലോ ആണ്: സൈറ്റ് കൺട്രോൾ പാനലിൽ, മൂന്നാം കക്ഷി JavaScript കോഡ് ചേർക്കാൻ രൂപകൽപ്പന ചെയ്ത ഒരു വിജറ്റ് ചേർക്കുക, മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഡൗൺലോഡ് കോഡിൻ്റെ ആദ്യ അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടാമത്തെ പതിപ്പ് അതിലേക്ക് പകർത്തി വിജറ്റ് അടുത്ത് വയ്ക്കുക. ടെംപ്ലേറ്റിൻ്റെ ആരംഭം വരെ (വഴിയിൽ, ഇത് ആവശ്യമില്ല , കാരണം MathJax സ്ക്രിപ്റ്റ് അസമന്വിതമായി ലോഡ് ചെയ്തിരിക്കുന്നു). അത്രയേയുള്ളൂ. ഇപ്പോൾ MathML, LaTeX, ASCIIMathML എന്നിവയുടെ മാർക്ക്അപ്പ് വാക്യഘടന പഠിക്കുക, നിങ്ങളുടെ സൈറ്റിൻ്റെ വെബ് പേജുകളിൽ ഗണിത സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ചേർക്കാൻ നിങ്ങൾ തയ്യാറാണ്.
വീണ്ടുമൊരു പുതുവത്സര രാവ്... തണുത്തുറഞ്ഞ കാലാവസ്ഥയും ജനൽ ഗ്ലാസിലെ മഞ്ഞുപാളികളും... ഇതെല്ലാം വീണ്ടും എഴുതാൻ എന്നെ പ്രേരിപ്പിച്ചു... ഫ്രാക്റ്റലുകളെക്കുറിച്ചും വോൾഫ്രാം ആൽഫയ്ക്ക് അതിനെക്കുറിച്ച് എന്തറിയാം. ഈ വിഷയത്തിൽ രസകരമായ ഒരു ലേഖനം ഉണ്ട്, അതിൽ ദ്വിമാന ഫ്രാക്റ്റൽ ഘടനകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ത്രിമാന ഫ്രാക്റ്റലുകളുടെ കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇവിടെ നോക്കാം.
ഒരു ഫ്രാക്റ്റലിനെ ഒരു ജ്യാമിതീയ രൂപമോ ബോഡിയോ ആയി ദൃശ്യപരമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം (വിവരണം ചെയ്യാം) (രണ്ടും ഒരു സെറ്റ് ആണ്, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു കൂട്ടം പോയിൻ്റുകൾ), അതിൻ്റെ വിശദാംശങ്ങൾക്ക് യഥാർത്ഥ രൂപത്തിൻ്റെ അതേ ആകൃതിയുണ്ട്. അതായത്, ഇത് സ്വയം സമാനമായ ഒരു ഘടനയാണ്, അതിൻ്റെ വിശദാംശങ്ങൾ പരിശോധിക്കുമ്പോൾ, വലുതാക്കുമ്പോൾ, മാഗ്നിഫിക്കേഷൻ ഇല്ലാത്ത അതേ ആകൃതി നമുക്ക് കാണാം. ഒരു സാധാരണ ജ്യാമിതീയ രൂപത്തിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ (ഒരു ഫ്രാക്റ്റൽ അല്ല), മാഗ്നിഫിക്കേഷനിൽ യഥാർത്ഥ രൂപത്തേക്കാൾ ലളിതമായ ആകൃതിയിലുള്ള വിശദാംശങ്ങൾ നമുക്ക് കാണാം. ഉദാഹരണത്തിന്, ആവശ്യത്തിന് ഉയർന്ന മാഗ്നിഫിക്കേഷനിൽ, ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഒരു ഭാഗം ഒരു നേർരേഖ സെഗ്‌മെൻ്റ് പോലെ കാണപ്പെടുന്നു. ഫ്രാക്റ്റലുകളിൽ ഇത് സംഭവിക്കുന്നില്ല: അവയിൽ എന്തെങ്കിലും വർദ്ധനവുണ്ടായാൽ, അതേ സങ്കീർണ്ണമായ രൂപം ഞങ്ങൾ വീണ്ടും കാണും, അത് ഓരോ വർദ്ധനവിലും വീണ്ടും ആവർത്തിക്കും.
ഫ്രാക്റ്റലുകളുടെ ശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ സ്ഥാപകനായ ബെനോയിറ്റ് മണ്ടൽബ്രോട്ട് തൻ്റെ ലേഖനത്തിൽ ഫ്രാക്റ്റൽസ് ആൻഡ് ആർട്ട് ഇൻ ദി നെയിം ഓഫ് സയൻസിൽ എഴുതി: “ഫ്രാക്റ്റലുകൾ അവയുടെ മൊത്തത്തിലുള്ള രൂപത്തിൽ, അതായത് ഫ്രാക്റ്റലിൻ്റെ ഭാഗമാണെങ്കിൽ, ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങളാണ് മൊത്തത്തിലുള്ള വലുപ്പത്തിലേക്ക് വലുതാക്കും, അത് മൊത്തത്തിൽ, ഒന്നുകിൽ കൃത്യമായി അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ചെറിയ രൂപഭേദം വരുത്തിയേക്കാം."
ഈ പോയിൻ്റുകളിൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ചലനത്തിൻ്റെ ദിശ മാറുന്നുവെന്നും നമുക്ക് പറയാം: ഫംഗ്ഷൻ വീഴുന്നത് നിർത്തി വളരാൻ തുടങ്ങിയാൽ, ഇതാണ് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റ്, നേരെമറിച്ച്, ഇത് പരമാവധി പോയിൻ്റാണ്.
മിനിമം, മാക്സിമം എന്നിവയെ ഫംഗ്ഷൻ്റെ എക്സ്ട്രീമ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, മുകളിലെ ഗ്രാഫിൽ എടുത്തുകാണിച്ച അഞ്ച് പോയിൻ്റുകളും അതിരുകടന്നതാണ്.
ഇതിന് നന്ദി, നിങ്ങൾക്ക് ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഇല്ലെങ്കിലും ഈ പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നത് ഒരു പ്രശ്നമല്ല.
ശ്രദ്ധ! അവർ എഴുതുമ്പോൾ അങ്ങേയറ്റംഅല്ലെങ്കിൽ മാക്സിമ/മിനിമം എന്നത് ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യത്തെ അർത്ഥമാക്കുന്നു, അതായത്. \(y\). അവർ എഴുതുമ്പോൾ അങ്ങേയറ്റത്തെ പോയിൻ്റുകൾഅല്ലെങ്കിൽ മാക്സിമം/മിനിമുകളുടെ പോയിൻ്റുകൾ അർത്ഥമാക്കുന്നത് മാക്സിമം/മിനിമമുകളിൽ എത്തിയ Xs എന്നാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, മുകളിലുള്ള ചിത്രത്തിൽ, \(-5\) ആണ് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റ് (അല്ലെങ്കിൽ എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റ്), കൂടാതെ \(1\) ആണ് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത് (അല്ലെങ്കിൽ എക്സ്ട്രീം).
ഡെറിവേറ്റീവ് ഗ്രാഫിൽ നിന്ന് (യൂണിഫൈഡ് സ്റ്റേറ്റ് എക്സാം ടാസ്ക് 7) ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ തീവ്ര പോയിൻ്റുകൾ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം?ഒരു ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് ഡെറിവേറ്റീവ് ഗ്രാഫ് ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകളുടെ എണ്ണം ഒരുമിച്ച് കണ്ടെത്താം:
ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു ഗ്രാഫ് നൽകിയിട്ടുണ്ട്, അതിനർത്ഥം ഗ്രാഫിലെ ഏത് പോയിൻ്റുകളാണ് ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമെന്ന് ഞങ്ങൾ അന്വേഷിക്കുന്നു എന്നാണ്. വ്യക്തമായും, ഇവ \(-13\), \(-11\), \(-9\), \(-7\), \(3\) പോയിൻ്റുകളാണ്. ഫംഗ്ഷൻ്റെ എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകളുടെ എണ്ണം \(5\) ആണ്.
ശ്രദ്ധ! ഒരു ഷെഡ്യൂൾ നൽകിയാൽ ഡെറിവേറ്റീവ്പ്രവർത്തനങ്ങൾ, എന്നാൽ നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ തീവ്ര പോയിൻ്റുകൾ, ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മാക്സിമം, മിനിമം എന്നിവ ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നില്ല! ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് അപ്രത്യക്ഷമാകുന്ന പോയിൻ്റുകൾ ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു (അതായത്, \(x\) അക്ഷത്തെ വിഭജിക്കുന്നു).
ഈ ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകാൻ, നിങ്ങൾ രണ്ട് പ്രധാന നിയമങ്ങൾ കൂടി ഓർമ്മിക്കേണ്ടതുണ്ട്:
- പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കുന്നിടത്ത് ഡെറിവേറ്റീവ് പോസിറ്റീവ് ആണ്.- പ്രവർത്തനം കുറയുന്നിടത്ത് ഡെറിവേറ്റീവ് നെഗറ്റീവ് ആണ്.
ഈ നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഡെറിവേറ്റീവ് ഗ്രാഫിൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞതും കൂടിയതുമായ പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്താം.
തീവ്രതയുടെ പോയിൻ്റുകൾക്കിടയിൽ മിനിമം, മാക്സിമം എന്നിവ അന്വേഷിക്കേണ്ടതുണ്ടെന്ന് വ്യക്തമാണ്, അതായത്. \(-13\), \(-11\), \(-9\), \(-7\), \(3\) എന്നിവയിൽ.
പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നത് എളുപ്പമാക്കുന്നതിന്, ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ അടയാളം സൂചിപ്പിക്കുന്ന, ചിത്രത്തിൽ പ്ലസ്, മൈനസ് ചിഹ്നങ്ങൾ ആദ്യം സ്ഥാപിക്കാം. തുടർന്ന് അമ്പടയാളങ്ങൾ - വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
നമുക്ക് \(-13\) ഉപയോഗിച്ച് ആരംഭിക്കാം: \(-13\) വരെ ഡെറിവേറ്റീവ് പോസിറ്റീവ് ആണ്, അതായത്. ഫംഗ്ഷൻ വളരുന്നു, തുടർന്ന് ഡെറിവേറ്റീവ് നെഗറ്റീവ് ആണ്, അതായത്. പ്രവർത്തനം തകരാറിലാകുന്നു. നിങ്ങൾ ഇത് സങ്കൽപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ, \(-13\) ആണ് പരമാവധി പോയിൻ്റ് എന്ന് വ്യക്തമാകും.
\(-11\): ഡെറിവേറ്റീവ് ആദ്യം പോസിറ്റീവ് ആണ്, തുടർന്ന് നെഗറ്റീവ് ആണ്, അതായത് ഫംഗ്ഷൻ വർദ്ധിക്കുകയും കുറയുകയും ചെയ്യുന്നു. വീണ്ടും, ഇത് മാനസികമായി വരയ്ക്കാൻ ശ്രമിക്കുക, \(-11\) ആണ് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞതെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് വ്യക്തമാകും.
\(- 9\): ഫംഗ്ഷൻ വർദ്ധിക്കുകയും പിന്നീട് കുറയുകയും ചെയ്യുന്നു - പരമാവധി.
\(-7\): കുറഞ്ഞത്.
\(3\): പരമാവധി.
മുകളിൽ പറഞ്ഞവയെല്ലാം ഇനിപ്പറയുന്ന നിഗമനങ്ങളാൽ സംഗ്രഹിക്കാം:
- ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യവും ചിഹ്നം പ്ലസ് മുതൽ മൈനസിലേക്ക് മാറ്റുകയും ചെയ്യുന്നിടത്ത് ഫംഗ്‌ഷന് പരമാവധി ഉണ്ട്.- ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യവും ചിഹ്നം മൈനസിൽ നിന്ന് പ്ലസിലേക്കും മാറ്റുന്നിടത്ത് ഫംഗ്‌ഷന് മിനിമം ഉണ്ട്. ഫംഗ്ഷൻ്റെ സൂത്രവാക്യം അറിയാമെങ്കിൽ (ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയുടെ 12 ചുമതല) പരമാവധി, കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റുകൾ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം?
ഈ ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകാൻ, നിങ്ങൾ മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിലെ പോലെ തന്നെ ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്: ഡെറിവേറ്റീവ് എവിടെയാണ് പോസിറ്റീവ്, എവിടെ അത് നെഗറ്റീവ്, എവിടെയാണ് പൂജ്യം എന്ന് കണ്ടെത്തുക. ഇത് കൂടുതൽ വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, ഒരു ഉദാഹരണ പരിഹാരം ഉപയോഗിച്ച് ഞാൻ ഒരു അൽഗോരിതം എഴുതാം:
- \(f’(x)\) ചിഹ്നം “\(+\)” എന്നതിൽ നിന്ന് “\(-\)” ആയി മാറ്റിയാൽ, \(x_1\) ആണ് പരമാവധി പോയിൻ്റ്;
- \(f’(x)\) ചിഹ്നം “\(-\)” എന്നതിൽ നിന്ന് “\(+\)” ആയി മാറ്റിയാൽ, \(x_3\) ആണ് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റ്;
- \(f’(x)\) ചിഹ്നം മാറ്റിയിട്ടില്ലെങ്കിൽ, \(x_2\) ഒരു ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിൻ്റായിരിക്കാം.
എല്ലാം! കൂടിയതും കുറഞ്ഞതുമായ പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തി.
ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ അക്ഷത്തിൽ പോയിൻ്റുകൾ ചിത്രീകരിക്കുമ്പോൾ, സ്കെയിൽ അവഗണിക്കാം. ഫംഗ്ഷൻ്റെ സ്വഭാവം ചുവടെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ കാണിക്കാം. ഇതുവഴി പരമാവധി എവിടെയാണെന്നും ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത് എവിടെയാണെന്നും കൂടുതൽ വ്യക്തമാകും.
ഉദാഹരണം(യുഎസ്ഇ). ഫംഗ്ഷൻ്റെ പരമാവധി പോയിൻ്റ് \(y=3x^5-20x^3-54\) കണ്ടെത്തുക.
പരിഹാരം:
1. ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക: \(y"=15x^4-60x^2\).
2. നമുക്ക് അതിനെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കി സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം:
\(15x^4-60x^2=0\) \(|:15\)
\(x^4-4x^2=0\)
\(x^2 (x^2-4)=0\)
\(x=0\) \(x^2-4=0\)
\(x=±2\)
3. - 6. നമുക്ക് നമ്പർ ലൈനിലെ പോയിൻ്റുകൾ പ്ലോട്ട് ചെയ്ത് ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ അടയാളം എങ്ങനെ മാറുന്നുവെന്നും ഫംഗ്ഷൻ എങ്ങനെ നീങ്ങുന്നുവെന്നും നിർണ്ണയിക്കാം:
പരമാവധി പോയിൻ്റ് \(-2\) ആണെന്ന് ഇപ്പോൾ വ്യക്തമാണ്.
ഉത്തരം. \(-2\).
ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ തീവ്രത എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് പഠിക്കുന്നതിനുമുമ്പ്, ഒരു എക്സ്ട്രീം എന്താണെന്ന് നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നത് പോലെ, ഒരു സംഖ്യാരേഖയുടെയോ ഗ്രാഫിൻ്റെയോ ഒരു നിശ്ചിത സെറ്റിലെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഏറ്റവും ചെറുതോ വലുതോ ആയ മൂല്യമാണ് അത് എന്നതാണ് ഒരു എക്സ്ട്രീം എന്നതിൻ്റെ ഏറ്റവും സാധാരണമായ നിർവചനം. ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത് സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന സ്ഥലത്ത്, ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ തീവ്രത പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു, പരമാവധി സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നിടത്ത്, പരമാവധി തീവ്രത ദൃശ്യമാകുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനം പോലുള്ള ഒരു വിഭാഗത്തിൽ, ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ പ്രാദേശിക തീവ്രത തിരിച്ചറിയപ്പെടുന്നു. എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകൾ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് ഇപ്പോൾ നോക്കാം.
ഗണിതത്തിലെ എക്സ്ട്രീമ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട സ്വഭാവസവിശേഷതകളിൽ ഒന്നാണ്, അവ അതിൻ്റെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങൾ കാണിക്കുന്നു. പ്രധാനമായും കണ്ടെത്തുന്ന ഫംഗ്ഷനുകളുടെ നിർണായക പോയിൻ്റുകളിലാണ് എക്സ്ട്രീമ കാണപ്പെടുന്നത്. ഫംഗ്ഷൻ അതിൻ്റെ ദിശയെ സമൂലമായി മാറ്റുന്നത് അങ്ങേയറ്റത്തെ പോയിൻ്റിലാണെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. നിങ്ങൾ എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിർവചനം അനുസരിച്ച്, അത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കണം അല്ലെങ്കിൽ പൂർണ്ണമായും ഇല്ലാതാകും. അതിനാൽ, ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ എക്സ്ട്രീം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ രണ്ട് തുടർച്ചയായ ജോലികൾ ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്:
- ചുമതല നിർണ്ണയിക്കേണ്ട ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക;
- സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക.
നേടിയ അറിവ് സംഗ്രഹിക്കുന്നതിന്, എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകൾ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം എന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു ചെറിയ അൽഗോരിതം ഞങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കും.
അതിനാൽ, ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകൾ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് ഞങ്ങൾ നോക്കി. ലളിതമായ കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ സഹായത്തോടെ, ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അറിവ് ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് ഏതെങ്കിലും തീവ്രത കണ്ടെത്താനും അത് കണക്കാക്കാനും അതുപോലെ ഗ്രാഫിക്കായി സൂചിപ്പിക്കാനും കഴിയും. സ്കൂളിലും ഉന്നത വിദ്യാഭ്യാസത്തിലും ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട വിഭാഗങ്ങളിലൊന്നാണ് എക്സ്ട്രീമ കണ്ടെത്തുന്നത്, അതിനാൽ, അവ ശരിയായി തിരിച്ചറിയാൻ നിങ്ങൾ പഠിക്കുകയാണെങ്കിൽ, പഠനം വളരെ എളുപ്പവും രസകരവുമാകും.
നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ എക്സ്ട്രീമിൻ്റെ ഈ അടയാളത്തിന് പോയിൻ്റിലെ രണ്ടാമത്തെ ക്രമത്തിലെങ്കിലും ഒരു ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ അസ്തിത്വം ആവശ്യമാണ്.
ഉദാഹരണം.
പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ തീവ്രത കണ്ടെത്തുക.
പരിഹാരം.
നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം: 
ഒറിജിനൽ ഫംഗ്ഷൻ വേർതിരിക്കാം: 
x=1, അതായത്, ഇത് സാധ്യമായ തീവ്രതയുടെ ഒരു പോയിൻ്റാണ്. ഫംഗ്ഷൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുകയും അതിൻ്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു x = 1:
അതിനാൽ, ഒരു എക്സ്ട്രീമിന് മതിയായ രണ്ടാമത്തെ വ്യവസ്ഥയിൽ, x=1- പരമാവധി പോയിൻ്റ്. പിന്നെ 
- പരമാവധി പ്രവർത്തനം.
ഗ്രാഫിക് ചിത്രീകരണം.
ഉത്തരം:
പ്രവർത്തനം നടക്കട്ടെ y=f(x)വരെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉണ്ട് എൻപോയിൻ്റിൻ്റെയും ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെയും അയൽപക്കത്തിലെ -th ഓർഡർ n+1പോയിൻ്റിൽ തന്നെ -th ഓർഡർ. അങ്ങനെ സംഭവിക്കട്ടെ.
ഉദാഹരണം.
ഫംഗ്ഷൻ്റെ എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക 
.
പരിഹാരം.
യഥാർത്ഥ ഫംഗ്ഷൻ ഒരു യുക്തിസഹമായ മുഴുവൻ ഫംഗ്‌ഷനാണ്; അതിൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ മുഴുവൻ സെറ്റാണ്.
നമുക്ക് പ്രവർത്തനത്തെ വേർതിരിക്കാം: 
ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിലേക്ക് പോകുന്നു at 
അതിനാൽ, ഇവ സാധ്യമായ തീവ്രതയുടെ പോയിൻ്റുകളാണ്. ഒരു തീവ്രതയ്ക്ക് ആവശ്യമായ മൂന്നാമത്തെ വ്യവസ്ഥ നമുക്ക് ഉപയോഗിക്കാം.
ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തി അതിൻ്റെ മൂല്യം സാധ്യമായ എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകളിൽ കണക്കാക്കുന്നു (ഞങ്ങൾ ഇൻ്റർമീഡിയറ്റ് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഒഴിവാക്കും): 
തൽഫലമായി, പരമാവധി പോയിൻ്റാണ് (നമുക്കുള്ള തീവ്രതയുടെ മൂന്നാമത്തെ മതിയായ അടയാളത്തിന് n=1ഒപ്പം ).
പോയിൻ്റുകളുടെ സ്വഭാവം കണ്ടെത്താൻ 
ഞങ്ങൾ മൂന്നാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുകയും ഈ പോയിൻ്റുകളിൽ അതിൻ്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു: 
അതിനാൽ, ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിൻ്റാണ് ( n=2ഒപ്പം ).
പോയിൻ്റ് കൈകാര്യം ചെയ്യാൻ ഇത് അവശേഷിക്കുന്നു. നാലാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തി അതിൻ്റെ മൂല്യം ഈ ഘട്ടത്തിൽ കണക്കാക്കുക: 
അതിനാൽ, ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റാണ്.
ഗ്രാഫിക് ചിത്രീകരണം.
ഉത്തരം:
ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റാണ് പരമാവധി പോയിൻ്റ്.
10. എക്സ്ട്രീമ ഓഫ് എ ഫംഗ്ഷൻ ഒരു എക്സ്ട്രീമിൻ്റെ നിർവ്വചനംy = f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷനെ വിളിക്കുന്നു വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന (കുറയുന്നു) ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ, x 1 ആണെങ്കിൽ< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x 2)).
ഒരു ഇടവേളയിൽ ഡിഫറൻഷ്യബിൾ ഫംഗ്ഷൻ y = f(x) കൂടുന്നു (കുറയുന്നു) എങ്കിൽ, ഈ ഇടവേളയിൽ അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് f "(x) 0
(f "(x) 0).
ഡോട്ട് x ഒവിളിച്ചു പ്രാദേശിക പരമാവധി പോയിൻ്റ് (ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത്) ഫംഗ്ഷൻ f(x), പോയിൻ്റിൻ്റെ ഒരു അയൽപക്കം ഉണ്ടെങ്കിൽ x ഒ, അസമത്വത്തിൻ്റെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകൾക്കും f(x) ≤ f(x о) (f(x) ≥ f(x о)) ശരിയാണ്.
പരമാവധി, കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റുകൾ വിളിക്കുന്നു അങ്ങേയറ്റത്തെ പോയിൻ്റുകൾ, ഈ പോയിൻ്റുകളിലെ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ അതിൻ്റെതാണ് അങ്ങേയറ്റം.
എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകൾഒരു തീവ്രതയ്ക്ക് ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥകൾ. പോയിൻ്റ് ആണെങ്കിൽ x ഒ f(x) ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഒരു എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റ് ആണ്, അപ്പോൾ ഒന്നുകിൽ f " (x o) = 0, അല്ലെങ്കിൽ f (x o) നിലവിലില്ല. അത്തരം പോയിൻ്റുകളെ വിളിക്കുന്നു വിമർശനാത്മകമായ,കൂടാതെ ഫംഗ്ഷൻ തന്നെ നിർണായക ഘട്ടത്തിൽ നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു. ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ തീവ്രത അതിൻ്റെ നിർണായക പോയിൻ്റുകൾക്കിടയിൽ അന്വേഷിക്കണം.
ആദ്യത്തെ മതിയായ അവസ്ഥ.അനുവദിക്കുക x ഒ- നിര്ണ്ണായക ബിന്ദു. ഒരു പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ f "(x) ആണെങ്കിൽ x ഒപ്ലസ് ചിഹ്നം മൈനസിലേക്ക് മാറ്റുന്നു, തുടർന്ന് പോയിൻ്റിൽ x ഒഫംഗ്‌ഷന് പരമാവധി ഉണ്ട്, അല്ലെങ്കിൽ അതിന് മിനിമം ഉണ്ട്. നിർണായക പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ, ഡെറിവേറ്റീവ് ചിഹ്നം മാറ്റുന്നില്ലെങ്കിൽ, പോയിൻ്റിൽ x ഒഅങ്ങേയറ്റം ഇല്ല.
രണ്ടാമത്തെ മതിയായ അവസ്ഥ. f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷന് പോയിൻ്റിൻ്റെ സമീപത്തായി f "(x) എന്ന ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ടായിരിക്കട്ടെ x ഒപോയിൻ്റിൽ തന്നെയുള്ള രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവും x ഒ. f "(x o) = 0, >0 (
