ബാക്കിയുള്ള വായനക്കാർ പരാബോളകളെയും ഹൈപ്പർബോളകളെയും കുറിച്ചുള്ള അവരുടെ സ്കൂൾ അറിവ് ഗണ്യമായി വികസിപ്പിക്കാൻ ഞാൻ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു. ഹൈപ്പർബോളയും പരാബോളയും - അവ ലളിതമാണോ? ... കാത്തിരിക്കാനാവില്ല =)

ഹൈപ്പർബോളയും അതിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യവും

മെറ്റീരിയലിൻ്റെ അവതരണത്തിൻ്റെ പൊതു ഘടന മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയോട് സാമ്യമുള്ളതാണ്. ഒരു ഹൈപ്പർബോളയുടെ പൊതുവായ ആശയവും അതിൻ്റെ നിർമ്മാണ ചുമതലയും ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം.

ഒരു ഹൈപ്പർബോളയുടെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്, അവിടെ പോസിറ്റീവ് യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ. അല്ലാതെ, ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക ദീർഘവൃത്തം, വ്യവസ്ഥ ഇവിടെ ചുമത്തിയിട്ടില്ല, അതായത്, "a" യുടെ മൂല്യം "be" എന്നതിൻ്റെ മൂല്യത്തേക്കാൾ കുറവായിരിക്കാം.

ഞാൻ പറയണം, തികച്ചും അപ്രതീക്ഷിതമായി ... "സ്കൂൾ" ഹൈപ്പർബോളയുടെ സമവാക്യം കാനോനിക്കൽ നൊട്ടേഷനുമായി പോലും സാമ്യമുള്ളതല്ല. എന്നാൽ ഈ നിഗൂഢത ഇനിയും നമുക്കായി കാത്തിരിക്കേണ്ടി വരും, എന്നാൽ ഇപ്പോൾ നമുക്ക് നമ്മുടെ തലയിൽ മാന്തികുഴിയുണ്ടാക്കാം, സംശയാസ്പദമായ വക്രത്തിന് എന്ത് സ്വഭാവ സവിശേഷതകളാണ് ഉള്ളതെന്ന് ഓർക്കുക? നമ്മുടെ ഭാവനയുടെ സ്‌ക്രീനിൽ അത് പരത്താം ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ….

ഒരു ഹൈപ്പർബോളയ്ക്ക് രണ്ട് സമമിതി ശാഖകളുണ്ട്.

പുരോഗതി മോശമല്ല! ഏതൊരു ഹൈപ്പർബോളിനും ഈ ഗുണങ്ങളുണ്ട്, ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഈ വരിയുടെ നെക്ക്‌ലൈനിൽ യഥാർത്ഥ പ്രശംസയോടെ നോക്കും:

ഉദാഹരണം 4

സമവാക്യം നൽകുന്ന ഹൈപ്പർബോള നിർമ്മിക്കുക

പരിഹാരം: ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ഈ സമവാക്യം കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു. സാധാരണ നടപടിക്രമം ദയവായി ഓർക്കുക. വലതുവശത്ത് നിങ്ങൾക്ക് “ഒന്ന്” ലഭിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും 20 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു:

ഇവിടെ നിങ്ങൾക്ക് രണ്ട് ഭിന്നസംഖ്യകളും കുറയ്ക്കാൻ കഴിയും, എന്നാൽ അവ ഓരോന്നും ചെയ്യുന്നത് കൂടുതൽ അനുയോജ്യമാണ് മൂന്ന്-നില:

അതിനുശേഷം മാത്രമേ കുറയ്ക്കൽ നടത്തൂ:

ഡിനോമിനേറ്ററുകളിലെ ചതുരങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുക:

എന്തുകൊണ്ടാണ് ഈ രീതിയിൽ പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നത് നല്ലത്? എല്ലാത്തിനുമുപരി, ഇടതുവശത്തുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉടനടി കുറയ്ക്കുകയും നേടുകയും ചെയ്യാം. പരിഗണനയിലുള്ള ഉദാഹരണത്തിൽ ഞങ്ങൾ അൽപ്പം ഭാഗ്യവാനായിരുന്നു എന്നതാണ് വസ്തുത: 20 എന്ന സംഖ്യയെ 4 ഉം 5 ഉം കൊണ്ട് ഹരിക്കാം. പൊതുവേ, അത്തരമൊരു സംഖ്യ പ്രവർത്തിക്കില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. ഇവിടെ വിഭജനത്തോടെ എല്ലാം ദുഃഖകരവും അല്ലാതെയും ആണ് മൂന്ന്-നില ഭിന്നസംഖ്യകൾഇനി സാധ്യമല്ല:

അതിനാൽ, നമുക്ക് നമ്മുടെ അധ്വാനത്തിൻ്റെ ഫലം ഉപയോഗിക്കാം - കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം:

ഒരു ഹൈപ്പർബോള എങ്ങനെ നിർമ്മിക്കാം?

ഒരു ഹൈപ്പർബോള നിർമ്മിക്കുന്നതിന് രണ്ട് സമീപനങ്ങളുണ്ട് - ജ്യാമിതീയവും ബീജഗണിതവും.
ഒരു പ്രായോഗിക വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, ഒരു കോമ്പസ് ഉപയോഗിച്ച് വരയ്ക്കുക ... ഞാൻ ഉട്ടോപ്യൻ എന്ന് പോലും പറയും, അതിനാൽ സഹായിക്കാൻ ലളിതമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ വീണ്ടും ഉപയോഗിക്കുന്നത് കൂടുതൽ ലാഭകരമാണ്.

ഇനിപ്പറയുന്ന അൽഗോരിതം പാലിക്കുന്നത് നല്ലതാണ്, ആദ്യം പൂർത്തിയായ ഡ്രോയിംഗ്, തുടർന്ന് അഭിപ്രായങ്ങൾ:

പ്രായോഗികമായി, ഹൈപ്പർബോളയുടെ ഏകപക്ഷീയമായ കോണിലൂടെയുള്ള ഭ്രമണവും സമാന്തര വിവർത്തനവും പലപ്പോഴും കണ്ടുമുട്ടുന്നു. ഈ സാഹചര്യം ക്ലാസിൽ ചർച്ചചെയ്യുന്നു രണ്ടാം ഓർഡർ ലൈൻ സമവാക്യം കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നു.

പരാബോളയും അതിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യവും

ഇത് പൂർത്തിയായി! അവളാനത്. പല രഹസ്യങ്ങളും വെളിപ്പെടുത്താൻ തയ്യാറാണ്. ഒരു പരവലയത്തിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്, എവിടെയാണ് ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യ. അതിൻ്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് സ്ഥാനത്ത് പരവലയം "അതിൻ്റെ വശത്ത് കിടക്കുന്നു" എന്നും അതിൻ്റെ ശീർഷകം ഉത്ഭവസ്ഥാനത്താണെന്നും ശ്രദ്ധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഫംഗ്ഷൻ ഈ വരിയുടെ മുകളിലെ ശാഖയും ഫംഗ്ഷൻ - താഴത്തെ ശാഖയും വ്യക്തമാക്കുന്നു. പരവലയം അച്ചുതണ്ടിൽ സമമിതിയിലാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്. യഥാർത്ഥത്തിൽ, എന്തിനാണ് വിഷമിക്കുന്നത്:

ഉദാഹരണം 6

ഒരു പരവലയം നിർമ്മിക്കുക

പരിഹാരം: ശീർഷകം അറിയപ്പെടുന്നു, നമുക്ക് അധിക പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്താം. സമവാക്യം പരവലയത്തിൻ്റെ മുകളിലെ ആർക്ക് നിർണ്ണയിക്കുന്നു, സമവാക്യം താഴത്തെ ആർക്ക് നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ റെക്കോർഡിംഗ് ചെറുതാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ "ഒരു ബ്രഷ് ഉപയോഗിച്ച്" കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തും:

കോംപാക്റ്റ് റെക്കോർഡിംഗിനായി, ഫലങ്ങൾ ഒരു പട്ടികയിൽ സംഗ്രഹിക്കാം.

ഒരു പ്രാഥമിക പോയിൻ്റ്-ബൈ-പോയിൻ്റ് ഡ്രോയിംഗ് നടത്തുന്നതിന് മുമ്പ്, നമുക്ക് കർശനമായി രൂപപ്പെടുത്താം

പരവലയത്തിൻ്റെ നിർവചനം:

ഒരു നിശ്ചിത ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് തുല്യ അകലത്തിലുള്ള തലത്തിലെ എല്ലാ ബിന്ദുക്കളുടെയും പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകാത്ത ഒരു നിശ്ചിത രേഖയുടെയും ഗണമാണ് പരവലയം.

പോയിൻ്റ് വിളിക്കുന്നു ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കുകപരവലയങ്ങൾ, നേർരേഖ - പ്രധാനാധ്യാപിക (ഒരു "es" ഉപയോഗിച്ച് എഴുതിയിരിക്കുന്നു)പരവലയങ്ങൾ. കാനോനിക്കൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ സ്ഥിരമായ "pe" എന്ന് വിളിക്കുന്നു ഫോക്കൽ പാരാമീറ്റർ, ഇത് ഫോക്കസിൽ നിന്ന് ഡയറക്‌ട്രിക്‌സിലേക്കുള്ള ദൂരത്തിന് തുല്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ . ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഫോക്കസിന് കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ട്, കൂടാതെ ഡയറക്ട്രിക്സ് സമവാക്യം നൽകുന്നു.
ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ:

ഒരു ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെയും ഹൈപ്പർബോളയുടെയും നിർവചനങ്ങളേക്കാൾ ഒരു പരവലയത്തിൻ്റെ നിർവചനം മനസ്സിലാക്കാൻ വളരെ ലളിതമാണ്. ഒരു പരവലയത്തിലെ ഏത് ബിന്ദുവിനും, സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ നീളം (ഫോക്കസിൽ നിന്ന് പോയിൻ്റിലേക്കുള്ള ദൂരം) ലംബത്തിൻ്റെ നീളത്തിന് തുല്യമാണ് (പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് ഡയറക്‌ട്രിക്‌സിലേക്കുള്ള ദൂരം):

അഭിനന്ദനങ്ങൾ! നിങ്ങളിൽ പലരും ഇന്ന് ഒരു യഥാർത്ഥ കണ്ടെത്തൽ നടത്തിയിട്ടുണ്ട്. ഒരു ഹൈപ്പർബോളയും പരാബോളയും "സാധാരണ" ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകളല്ല, മറിച്ച് ഒരു ജ്യാമിതീയ ഉത്ഭവം ഉണ്ടെന്ന് ഇത് മാറുന്നു.

വ്യക്തമായും, ഫോക്കൽ പാരാമീറ്ററിൻ്റെ വർദ്ധനവോടെ, ഗ്രാഫിൻ്റെ ശാഖകൾ മുകളിലേക്കും താഴേക്കും “ഉയർത്തും”, അച്ചുതണ്ടിനോട് അനന്തമായി അടുക്കും. "pe" മൂല്യം കുറയുമ്പോൾ, അവർ അച്ചുതണ്ടിൽ കംപ്രസ് ചെയ്യാനും നീട്ടാനും തുടങ്ങും

ഏതൊരു പരാബോളയുടെയും ഉത്കേന്ദ്രത ഏകതയ്ക്ക് തുല്യമാണ്:

ഒരു പരവലയത്തിൻ്റെ ഭ്രമണവും സമാന്തര വിവർത്തനവും

ഗണിതത്തിലെ ഏറ്റവും സാധാരണമായ വരികളിലൊന്നാണ് പരവലയം, നിങ്ങൾ അത് പലപ്പോഴും നിർമ്മിക്കേണ്ടതുണ്ട്. അതിനാൽ, പാഠത്തിൻ്റെ അവസാന ഖണ്ഡികയിൽ പ്രത്യേക ശ്രദ്ധ നൽകുക, ഈ വക്രത്തിൻ്റെ സ്ഥാനത്തിനായുള്ള സാധാരണ ഓപ്ഷനുകൾ ഞാൻ ചർച്ച ചെയ്യും.

! കുറിപ്പ് : മുമ്പത്തെ കർവുകൾ ഉള്ളതുപോലെ, ഭ്രമണത്തെക്കുറിച്ചും കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളുടെ സമാന്തര വിവർത്തനത്തെക്കുറിച്ചും സംസാരിക്കുന്നത് കൂടുതൽ ശരിയാണ്, എന്നാൽ രചയിതാവ് അവതരണത്തിൻ്റെ ലളിതമായ പതിപ്പിലേക്ക് സ്വയം പരിമിതപ്പെടുത്തും, അതിനാൽ വായനക്കാരന് ഈ പരിവർത്തനങ്ങളെക്കുറിച്ച് അടിസ്ഥാന ധാരണ ലഭിക്കും.

വിമാനത്തിലെ ഒരു വരയും ഈ വരിയിൽ കിടക്കാത്ത ഒരു പോയിൻ്റും പരിഗണിക്കുക. ഒപ്പം ദീർഘവൃത്തം, ഒപ്പം ഹൈപ്പർബോളഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിലേക്കുള്ള ദൂരത്തിൻ്റെ അനുപാതവും തന്നിരിക്കുന്ന നേർരേഖയിലേക്കുള്ള ദൂരവും ഒരു സ്ഥിരമായ മൂല്യമായ പോയിൻ്റുകളുടെ ജ്യാമിതീയ സ്ഥാനമായി ഏകീകൃത രീതിയിൽ നിർവചിക്കാം.

റാങ്ക് ε. 0 1-ൽ - ഹൈപ്പർബോള. പരാമീറ്റർ ε ആണ് ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെയും ഹൈപ്പർബോളയുടെയും ഉത്കേന്ദ്രത. ε പാരാമീറ്ററിൻ്റെ സാധ്യമായ പോസിറ്റീവ് മൂല്യങ്ങളിൽ ഒന്ന്, അതായത് ε = 1, ഉപയോഗിക്കാത്തതായി മാറുന്നു. ഈ മൂല്യം ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിൽ നിന്നും തന്നിരിക്കുന്ന വരിയിൽ നിന്നും തുല്യമായ പോയിൻ്റുകളുടെ ജ്യാമിതീയ സ്ഥാനവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

നിർവ്വചനം 8.1.ഒരു നിശ്ചിത ബിന്ദുവിൽ നിന്നും ഒരു നിശ്ചിത രേഖയിൽ നിന്നും തുല്യ അകലത്തിലുള്ള ഒരു തലത്തിലെ പോയിൻ്റുകളുടെ സ്ഥാനം വിളിക്കുന്നു പരവലയം.

നിശ്ചിത പോയിൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു പരവലയത്തിൻ്റെ ഫോക്കസ്, നേർരേഖ - പരവലയത്തിൻ്റെ ഡയറക്‌ട്രിക്സ്. അതേ സമയം, അത് വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു പരവലയ വികേന്ദ്രതഒന്നിന് തുല്യമാണ്.

ജ്യാമിതീയ പരിഗണനകളിൽ നിന്ന്, ഡയറക്‌ട്രിക്‌സിന് ലംബമായി പരവലയത്തിൻ്റെ ഫോക്കസിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന നേർരേഖയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് പരവലയം സമമിതിയാണെന്ന് പിന്തുടരുന്നു. ഈ നേർരേഖയെ പരവലയത്തിൻ്റെ സമമിതിയുടെ അക്ഷം അല്ലെങ്കിൽ ലളിതമായി വിളിക്കുന്നു പരവലയത്തിൻ്റെ അച്ചുതണ്ട്. ഒരു പരവലയം അതിൻ്റെ സമമിതിയുടെ അച്ചുതണ്ടിനെ ഒരൊറ്റ ബിന്ദുവിൽ വിഭജിക്കുന്നു. ഈ പോയിൻ്റിനെ വിളിക്കുന്നു പരവലയത്തിൻ്റെ ശീർഷകം. പരാബോളയുടെ ഫോക്കസിനെ അതിൻ്റെ അച്ചുതണ്ടിൻ്റെ വിഭജന പോയിൻ്റുമായി ഡയറക്‌ട്രിക്‌സുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യത്തിലാണ് ഇത് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നത് (ചിത്രം 8.3).

പരവലയ സമവാക്യം.ഒരു പരവലയത്തിൻ്റെ സമവാക്യം ലഭിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ വിമാനത്തിൽ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു ഉത്ഭവംപരവലയത്തിൻ്റെ ശിഖരത്തിൽ, പോലെ x-അക്ഷം- പരവലയത്തിൻ്റെ അച്ചുതണ്ട്, ഫോക്കസിൻ്റെ സ്ഥാനം വ്യക്തമാക്കുന്ന പോസിറ്റീവ് ദിശ (ചിത്രം 8.3 കാണുക). ഈ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തെ വിളിക്കുന്നു കാനോനിക്കൽപ്രസ്തുത പരവലയത്തിനും അനുബന്ധ വേരിയബിളുകൾക്കും കാനോനിക്കൽ.

ഫോക്കസിൽ നിന്ന് ഡയറക്‌ട്രിക്‌സിലേക്കുള്ള ദൂരം p ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം. അവൻ വിളിക്കപ്പെടുന്നു പരവലയത്തിൻ്റെ ഫോക്കൽ പാരാമീറ്റർ.

അപ്പോൾ ഫോക്കസിന് F(p/2; 0) കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ട്, കൂടാതെ x = - p/2 എന്ന സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ഡയറക്‌ട്രിക്സ് d വിവരിക്കുന്നു. എഫ് പോയിൻ്റിൽ നിന്നും d എന്ന വരിയിൽ നിന്നും തുല്യ അകലത്തിലുള്ള M(x; y) പോയിൻ്റുകളുടെ സ്ഥാനം സമവാക്യം നൽകുന്നു.

നമുക്ക് ചതുര സമവാക്യം (8.2) കൂടാതെ സമാനമായവ അവതരിപ്പിക്കാം. നമുക്ക് സമവാക്യം ലഭിക്കും

വിളിക്കുന്നത് കാനോനിക്കൽ പരവലയ സമവാക്യം.

റാഡിക്കലിനു കീഴിലുള്ള പദപ്രയോഗം പോലെ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്തതിനാൽ, ഈ കേസിലെ ചതുരം സമവാക്യത്തിൻ്റെ (8.2) തുല്യമായ പരിവർത്തനമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക.

പരവലയത്തിൻ്റെ തരം.പരാബോള y 2 = x, ഞങ്ങൾ അറിയപ്പെടുന്നതായി കരുതുന്ന രൂപം, abscissa അക്ഷത്തിൽ ഒരു ഗുണകം 1/(2р) ഉപയോഗിച്ച് കംപ്രസ് ചെയ്താൽ, പൊതു രൂപത്തിൻ്റെ ഒരു പരവലയം ലഭിക്കും, ഇത് സമവാക്യം (8.3) വിവരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 8.2.കാനോനിക്കൽ കോർഡിനേറ്റുകൾ (25; 10) ഉള്ള ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുകയാണെങ്കിൽ ഒരു പരാബോളയുടെ ഡയറക്‌ട്രിക്സിൻ്റെ ഫോക്കസിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകളും സമവാക്യവും നമുക്ക് കണ്ടെത്താം.

കാനോനിക്കൽ കോർഡിനേറ്റുകളിൽ, പരവലയത്തിൻ്റെ സമവാക്യത്തിന് y 2 = 2px എന്ന രൂപമുണ്ട്. പോയിൻ്റ് (25; 10) പരവലയത്തിലായതിനാൽ, 100 = 50p അതിനാൽ p = 2. അതിനാൽ, y 2 = 4x എന്നത് പരാബോളയുടെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യമാണ്, x = - 1 എന്നത് അതിൻ്റെ ഡയറക്‌ട്രിക്സിൻ്റെ സമവാക്യമാണ്, കൂടാതെ ഫോക്കസ് പോയിൻ്റിലാണ് (1; 0 ).

ഒരു പരവലയത്തിൻ്റെ ഒപ്റ്റിക്കൽ പ്രോപ്പർട്ടി.പരവലയത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്നവയുണ്ട് ഒപ്റ്റിക്കൽ പ്രോപ്പർട്ടി. പരവലയത്തിൻ്റെ ഫോക്കസിൽ ഒരു പ്രകാശ സ്രോതസ്സ് സ്ഥാപിക്കുകയാണെങ്കിൽ, പരവലയത്തിൽ നിന്നുള്ള പ്രതിഫലനത്തിനു ശേഷമുള്ള എല്ലാ പ്രകാശകിരണങ്ങളും പരവലയത്തിൻ്റെ അച്ചുതണ്ടിന് സമാന്തരമായിരിക്കും (ചിത്രം 8.4). ഒപ്റ്റിക്കൽ പ്രോപ്പർട്ടി അർത്ഥമാക്കുന്നത് പരവലയത്തിൻ്റെ ഏത് ഘട്ടത്തിലും എം എന്നാണ് സാധാരണ വെക്റ്റർടാൻജെൻ്റ് ഫോക്കൽ റേഡിയസ് MF, abscissa axis എന്നിവയുമായി തുല്യ കോണുകൾ ഉണ്ടാക്കുന്നു.

III ലെവൽ

3.1 ഹൈപ്പർബോൾ ലൈനുകൾ 5 സ്പർശിക്കുന്നു x – 6വൈ – 16 = 0, 13x – 10വൈ– – 48 = 0. ഹൈപ്പർബോളയുടെ അക്ഷങ്ങൾ കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നെങ്കിൽ അതിൻ്റെ സമവാക്യം എഴുതുക.

3.2 ഒരു ഹൈപ്പർബോളയിലേക്കുള്ള ടാൻജൻ്റുകൾക്ക് സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതുക

1) ഒരു പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു എ(4, 1), ബി(5, 2) ഒപ്പം സി(5, 6);

2) നേർരേഖ 10 ന് സമാന്തരമായി x – 3വൈ + 9 = 0;

3) നേർരേഖ 10-ന് ലംബമായി x – 3വൈ + 9 = 0.

പരവലയംസമവാക്യത്തെ കോർഡിനേറ്റുകൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന തലത്തിലെ പോയിൻ്റുകളുടെ ജ്യാമിതീയ സ്ഥാനമാണ്

പരാബോള പാരാമീറ്ററുകൾ:

ഡോട്ട് എഫ്(പി/2, 0) എന്ന് വിളിക്കുന്നു ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കുക പരവലയങ്ങൾ, വലിപ്പം പി – പരാമീറ്റർ , ഡോട്ട് കുറിച്ച്(0, 0) – മുകളിൽ . ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നേർരേഖ ഓഫ്, ഏത് പരവലയ സമമിതിയാണ്, ഈ വക്രത്തിൻ്റെ അച്ചുതണ്ട് നിർവ്വചിക്കുന്നു.

മാഗ്നിറ്റ്യൂഡ് എവിടെ എം(x, വൈ) - ഒരു പരാബോളയുടെ ഏകപക്ഷീയമായ പോയിൻ്റ്, വിളിക്കുന്നു ഫോക്കൽ ആരം , ഋജുവായത് ഡി: x = –പി/2 – പ്രധാനാധ്യാപിക (ഇത് പരവലയത്തിൻ്റെ ഉൾപ്രദേശത്തെ വിഭജിക്കുന്നില്ല). മാഗ്നിറ്റ്യൂഡ് പരാബോളയുടെ ഉത്കേന്ദ്രത എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

പരവലയത്തിൻ്റെ പ്രധാന സ്വഭാവഗുണം: പരാബോളയുടെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളും ഡയറക്‌ട്രിക്‌സിൽ നിന്നും ഫോക്കസിൽ നിന്നും തുല്യ അകലത്തിലാണ് (ചിത്രം 24).

കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ അതിൻ്റെ ശാഖകളുടെ മറ്റ് ദിശകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്ന കാനോനിക്കൽ പരാബോള സമവാക്യത്തിൻ്റെ മറ്റ് രൂപങ്ങളുണ്ട് (ചിത്രം 25):

വേണ്ടി ഒരു പരവലയത്തിൻ്റെ പാരാമെട്രിക് നിർവ്വചനം ഒരു പരാമീറ്ററായി ടിപരാബോള പോയിൻ്റിൻ്റെ ഓർഡിനേറ്റ് മൂല്യം എടുക്കാം:

എവിടെ ടിഒരു അനിയന്ത്രിതമായ യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണ്.

ഉദാഹരണം 1.കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു പരാബോളയുടെ പാരാമീറ്ററുകളും രൂപവും നിർണ്ണയിക്കുക:

പരിഹാരം. 1. സമവാക്യം വൈ 2 = –8xപോയിൻ്റിൽ ശീർഷകമുള്ള ഒരു പരാബോളയെ നിർവചിക്കുന്നു കുറിച്ച് ഓ. അതിൻ്റെ ശാഖകൾ ഇടതുവശത്തേക്ക് നയിക്കുന്നു. ഈ സമവാക്യത്തെ സമവാക്യവുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുന്നു വൈ 2 = –2px, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു: 2 പി = 8, പി = 4, പി/2 = 2. അതിനാൽ, ഫോക്കസ് പോയിൻ്റിലാണ് എഫ്(–2; 0), ഡയറക്‌ട്രിക്സ് സമവാക്യം ഡി: x= 2 (ചിത്രം 26).

2. സമവാക്യം x 2 = –4വൈപോയിൻ്റിൽ ശീർഷകമുള്ള ഒരു പരാബോളയെ നിർവചിക്കുന്നു ഒ(0; 0), അച്ചുതണ്ടിനെക്കുറിച്ചുള്ള സമമിതി അയ്യോ. അതിൻ്റെ ശാഖകൾ താഴേക്ക് നയിക്കുന്നു. ഈ സമവാക്യത്തെ സമവാക്യവുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുന്നു x 2 = –2പൈ, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു: 2 പി = 4, പി = 2, പി/2 = 1. അതിനാൽ, ഫോക്കസ് പോയിൻ്റിലാണ് എഫ്(0; –1), ഡയറക്‌ട്രിക്സ് സമവാക്യം ഡി: വൈ= 1 (ചിത്രം 27).

ഉദാഹരണം 2.പാരാമീറ്ററുകളും വക്രത്തിൻ്റെ തരവും നിർണ്ണയിക്കുക x 2 + 8x – 16വൈ– 32 = 0. ഒരു ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കുക.

പരിഹാരം.സമ്പൂർണ്ണ സ്ക്വയർ എക്സ്ട്രാക്ഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശം രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം:

x 2 + 8x– 16വൈ – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16 – 16വൈ – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16വൈ – 48 =0;

(x + 4) 2 – 16(വൈ + 3).

അതിൻ്റെ ഫലമായി നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

(x + 4) 2 = 16(വൈ + 3).

പരാബോളയുടെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യമാണിത്, പോയിൻ്റിലെ ശീർഷകം (–4, –3), പാരാമീറ്റർ പി= 8, മുകളിലേക്ക് ചൂണ്ടുന്ന ശാഖകൾ (), അക്ഷം x= –4. ഫോക്കസ് പോയിൻ്റിലാണ് എഫ്(–4; –3 + പി/2), അതായത്. എഫ്(–4; 1) ഹെഡ്മിസ്ട്രസ് ഡിസമവാക്യം നൽകിയത് വൈ = –3 – പി/2 അല്ലെങ്കിൽ വൈ= –7 (ചിത്രം 28).

ഉദാഹരണം 4.ഒരു പരവലയത്തിന് അതിൻ്റെ ശീർഷകം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സമവാക്യം എഴുതുക വി(3; –2) പോയിൻ്റിൽ ഫോക്കസ് ചെയ്യുക എഫ്(1; –2).

പരിഹാരം.തന്നിരിക്കുന്ന പരവലയത്തിൻ്റെ ശീർഷകവും ഫോക്കസും അച്ചുതണ്ടിന് സമാന്തരമായി ഒരു നേർരേഖയിലാണ് കാള(അതേ ഓർഡിനേറ്റുകൾ), പരവലയത്തിൻ്റെ ശാഖകൾ ഇടതുവശത്തേക്ക് നയിക്കപ്പെടുന്നു (ഫോക്കസിൻ്റെ അബ്‌സിസ്സ ശീർഷത്തിൻ്റെ അബ്‌സിസ്സയേക്കാൾ കുറവാണ്), ഫോക്കസിൽ നിന്ന് ശീർഷത്തിലേക്കുള്ള ദൂരം പി/2 = 3 – 1 = 2, പി= 4. അതിനാൽ, ആവശ്യമായ സമവാക്യം

(വൈ+ 2) 2 = –2 4( x– 3) അല്ലെങ്കിൽ ( വൈ + 2) 2 = = –8(x – 3).

സ്വതന്ത്ര പരിഹാരത്തിനുള്ള ചുമതലകൾ

ലെവൽ I

1.1 പരാബോളയുടെ പാരാമീറ്ററുകൾ നിർണ്ണയിച്ച് അത് നിർമ്മിക്കുക:

1) വൈ 2 = 2x; 2) വൈ 2 = –3x;

3) x 2 = 6വൈ; 4) x 2 = –വൈ.

1.2 നിങ്ങൾക്കറിയാമെങ്കിൽ ഒരു പരാബോളയുടെ സമവാക്യം അതിൻ്റെ ശീർഷകം ഉപയോഗിച്ച് എഴുതുക:

1) പരവലയം അച്ചുതണ്ടുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ഇടത് അർദ്ധതലത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു കാളഒപ്പം പി = 4;

2) പരവലയം അച്ചുതണ്ടുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് സമമിതിയിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു അയ്യോപോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുകയും ചെയ്യുന്നു എം(4; –2).

3) ഡയറക്‌ട്രിക്സ് സമവാക്യം 3 ആണ് നൽകിയിരിക്കുന്നത് വൈ + 4 = 0.

1.3 ബിന്ദുവിൽ നിന്നും (2; 0) നേർരേഖയിൽ നിന്നും തുല്യ അകലത്തിലുള്ള എല്ലാ ബിന്ദുക്കളും ഒരു വക്രത്തിന് ഒരു സമവാക്യം എഴുതുക. x = –2.

ലെവൽ II

2.1 വക്രത്തിൻ്റെ തരവും പരാമീറ്ററുകളും നിർണ്ണയിക്കുക.

6. ഒരു ഡിറ്റർമിനൻ്റ് ഡിറ്റർമിനൻ്റുകളുടെ ഒരു തുകയായി വിഘടിപ്പിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തവും അതിൽ നിന്നുള്ള അനന്തരഫലങ്ങളും.

7. ഒരു വരിയുടെ (നിര) മൂലകങ്ങളിലേക്കും അതിൻ്റെ അനന്തരഫലങ്ങളിലേക്കും ഡിറ്റർമിനൻ്റിൻ്റെ വികാസത്തെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തം.

8. മെട്രിക്സുകളും അവയുടെ ഗുണങ്ങളും സംബന്ധിച്ച പ്രവർത്തനങ്ങൾ. അവയിലൊന്ന് തെളിയിക്കുക.

9. മാട്രിക്സ് ട്രാൻസ്പോസിഷൻ പ്രവർത്തനവും അതിൻ്റെ ഗുണങ്ങളും.

10. ഒരു വിപരീത മാട്രിക്സിൻ്റെ നിർവ്വചനം. എല്ലാ ഇൻവെർട്ടബിൾ മാട്രിക്സിനും ഒരു വിപരീതം മാത്രമേ ഉള്ളൂ എന്ന് തെളിയിക്കുക.

13. ബ്ലോക്ക് മെട്രിക്സ്. ബ്ലോക്ക് മെട്രിക്സുകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കലും ഗുണനവും. ഒരു അർദ്ധ-ത്രികോണ മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റിനെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തം.

14. മെട്രിക്സുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ നിർണ്ണയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തം.

15. വിപരീത മാട്രിക്സിൻ്റെ അസ്തിത്വത്തെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തം.

16.മാട്രിക്സ് റാങ്ക് നിർണയം. മൈനറിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള സിദ്ധാന്തവും അതിൻ്റെ അനന്തരഫലവും.

17. ഒരു മാട്രിക്സിൻ്റെ വരികളുടെയും നിരകളുടെയും രേഖീയ ആശ്രിതത്വം എന്ന ആശയം. മാട്രിക്സ് റാങ്ക് സിദ്ധാന്തം.

18. ഒരു മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ: പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരെ അതിരുവിടുന്ന രീതി, പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങളുടെ രീതി.

19. വിപരീത മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്തുന്നതിന് വരികൾ മാത്രമുള്ള (നിരകൾ മാത്രം) പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങളുടെ പ്രയോഗം.

20. രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനങ്ങൾ. അനുയോജ്യതയുടെ മാനദണ്ഡവും ഉറപ്പിൻ്റെ മാനദണ്ഡവും.

21. രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സംയുക്ത സംവിധാനത്തിൻ്റെ പരിഹാരം.

22. രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഏകതാനമായ സംവിധാനങ്ങൾ. ഒരു അടിസ്ഥാന പരിഹാര സംവിധാനത്തിൻ്റെ നിലനിൽപ്പിനെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തം.

23. വെക്റ്ററുകളിലും അവയുടെ ഗുണങ്ങളിലും രേഖീയ പ്രവർത്തനങ്ങൾ. അവയിലൊന്ന് തെളിയിക്കുക.

24. രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം നിർണ്ണയിക്കുക. ഏത് വെക്റ്ററുകൾക്കും വ്യത്യാസം നിലവിലുണ്ടെന്നും അതുല്യമാണെന്നും തെളിയിക്കുക.

25. അടിസ്ഥാനത്തിൻ്റെ നിർവ്വചനം, അടിസ്ഥാനത്തിലെ വെക്റ്റർ കോർഡിനേറ്റുകൾ. അടിസ്ഥാനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഒരു വെക്റ്ററിൻ്റെ വിഘടനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തം.

26. വെക്റ്ററുകളുടെ ലീനിയർ ആശ്രിതത്വം. രേഖീയ ആശ്രിതത്വം എന്ന ആശയത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ, അവയിലൊന്ന് തെളിയിക്കുക.

28. ബഹിരാകാശത്ത്, ഒരു വിമാനത്തിലും ഒരു ലൈനിലും കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സംവിധാനങ്ങൾ. വെക്റ്ററുകളുടെ രേഖീയ സംയോജനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തവും അതിൽ നിന്നുള്ള അനന്തരഫലങ്ങളും.

29. ഒരു ഡിസിഎസിലെ ഒരു പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ മറ്റൊരു ഡിസിഎസിലെ അതേ പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകളിലൂടെ പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന ഫോർമുലകൾ.

30. വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം. നിർവചനവും അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങളും.

31. വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം. നിർവചനവും അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങളും.

32. വെക്റ്ററുകളുടെ മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം. നിർവചനവും അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങളും.

33. വെക്റ്ററുകളുടെ ഇരട്ട വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം. കണക്കുകൂട്ടലിനുള്ള നിർവചനവും ഫോർമുലയും (തെളിവില്ലാതെ).

34. ബീജഗണിതരേഖകളും പ്രതലങ്ങളും. ക്രമത്തിൻ്റെ മാറ്റമില്ലാത്ത (മാറ്റമില്ലായ്മ) സിദ്ധാന്തങ്ങൾ.

35. ഒരു വിമാനത്തിൻ്റെയും ഒരു രേഖയുടെയും പൊതുവായ സമവാക്യങ്ങൾ.

36. ഒരു രേഖയുടെയും വിമാനത്തിൻ്റെയും പാരാമെട്രിക് സമവാക്യങ്ങൾ.

37. ഒരു വിമാനത്തിൻ്റെയും ഒരു രേഖയുടെയും പൊതുവായ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് അവയുടെ പാരാമെട്രിക് സമവാക്യങ്ങളിലേക്കുള്ള പരിവർത്തനം. ഒരു തലത്തിൻ്റെ പൊതുസമവാക്യത്തിൽ a, b, c (a, b) ഗുണകങ്ങളുടെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം (ഒരു തലത്തിലെ നേർരേഖ).

38. ഒരു തലത്തിൽ (ബഹിരാകാശത്ത്), ഒരു നേർരേഖയുടെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്നുള്ള പാരാമീറ്റർ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് ഒരു പരാമീറ്റർ ഇല്ലാതാക്കൽ.

39. ഒരു രേഖയുടെയും വിമാനത്തിൻ്റെയും വെക്റ്റർ സമവാക്യങ്ങൾ.

40. ബഹിരാകാശത്ത് ഒരു നേർരേഖയുടെ പൊതു സമവാക്യങ്ങൾ, കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കൽ.

41. ഒരു പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് ഒരു വിമാനത്തിലേക്കുള്ള ദൂരം. ഒരു പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് ഒരു വരിയിലേക്കുള്ള ദൂരം. ലൈനുകളും വിമാനങ്ങളും സംബന്ധിച്ച മറ്റ് പ്രശ്നങ്ങൾ.

42. ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ നിർവ്വചനം. ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം. ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ പാരാമെട്രിക് സമവാക്യങ്ങൾ. എലിപ്സ് എക്സെൻട്രിസിറ്റി.

44. ഒരു പരവലയത്തിൻ്റെ നിർവ്വചനം. കാനോനിക്കൽ പരവലയ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വ്യുൽപ്പന്നം.

45. രണ്ടാം ഓർഡർ കർവുകളും അവയുടെ വർഗ്ഗീകരണവും. കെവിപിയെക്കുറിച്ചുള്ള പ്രധാന സിദ്ധാന്തം.

45. രണ്ടാം ഓർഡർ ഉപരിതലങ്ങളും അവയുടെ വർഗ്ഗീകരണവും. പിവിപിയെക്കുറിച്ചുള്ള പ്രധാന സിദ്ധാന്തം. ഭ്രമണത്തിൻ്റെ ഉപരിതലങ്ങൾ.

47.ലീനിയർ സ്പേസിൻ്റെ നിർവ്വചനം. ഉദാഹരണങ്ങൾ.

49. യൂക്ലിഡിയൻ സ്പേസിൻ്റെ നിർവ്വചനം. വെക്റ്റർ നീളം. വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള ആംഗിൾ. കൗച്ചി-ബുന്യാക്കോവ്സ്കി അസമത്വം. ഉദാഹരണം.

50. യൂക്ലിഡിയൻ സ്ഥലത്തിൻ്റെ നിർവ്വചനം. പൈത്തഗോറസ് സിദ്ധാന്തം. ത്രികോണ അസമത്വത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണം.

44. ഒരു പരവലയത്തിൻ്റെ നിർവ്വചനം. കാനോനിക്കൽ പരവലയ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വ്യുൽപ്പന്നം.

നിർവ്വചനം:പരവലയം എന്നത് ഒരു തലത്തിലെ ബിന്ദുക്കളുടെ ജ്യാമിതീയ സ്ഥാനമാണ്, ഈ വിമാനത്തിൻ്റെ ചില നിശ്ചിത പോയിൻ്റ് F യിലേക്കുള്ള ദൂരം ചില നിശ്ചിത നേർരേഖയിലേക്കുള്ള ദൂരത്തിന് തുല്യമാണ്. പോയിൻ്റ് എഫിനെ പരവലയത്തിൻ്റെ ഫോക്കസ് എന്നും സ്ഥിരമായ വരയെ പരവലയത്തിൻ്റെ ഡയറക്‌ട്രിക്സ് എന്നും വിളിക്കുന്നു.

സമവാക്യം ലഭിക്കുന്നതിന്, നമുക്ക് നിർമ്മിക്കാം:

കൂടെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്:

2 >=0 മുതൽ, പരവലയം വലത് അർദ്ധതലത്തിലാണ്. x 0 മുതൽ അനന്തതയിലേക്ക് വർദ്ധിക്കുമ്പോൾ
. പരവലയം കാളയെ സംബന്ധിച്ച് സമമിതിയാണ്. സമമിതിയുടെ അച്ചുതണ്ടുമായി ഒരു പരാബോളയുടെ വിഭജന പോയിൻ്റിനെ പരവലയത്തിൻ്റെ ശീർഷകം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

45. രണ്ടാം ഓർഡർ കർവുകളും അവയുടെ വർഗ്ഗീകരണവും. കെവിപിയെക്കുറിച്ചുള്ള പ്രധാന സിദ്ധാന്തം.

8 തരം കെവിപി ഉണ്ട്:

1.ദീർഘവൃത്തങ്ങൾ

2.ഹൈപ്പർബോളുകൾ

3.പരവലയം

കർവുകൾ 1,2,3 കാനോനിക്കൽ വിഭാഗങ്ങളാണ്. കോണിൻ്റെ അച്ചുതണ്ടിന് സമാന്തരമായ ഒരു തലം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ കോൺ വിഭജിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് ഒരു ഹൈപ്പർബോള ലഭിക്കും. വിമാനം ജനറട്രിക്സിന് സമാന്തരമാണെങ്കിൽ, അത് ഒരു പരവലയമാണ്. എല്ലാ വിമാനങ്ങളും കോണിൻ്റെ ശിഖരത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നില്ല. മറ്റേതെങ്കിലും വിമാനമാണെങ്കിൽ, അത് ദീർഘവൃത്തമാണ്.

4. ജോടി സമാന്തര രേഖകൾ y 2 +a 2 =0, a0

5. ജോടി വിഭജിക്കുന്ന വരികൾ y 2 -k 2 x 2 =0

6.ഒരു നേർരേഖ y 2 =0

7.ഒരു പോയിൻ്റ് x 2 + y 2 =0

8.ശൂന്യമായ സെറ്റ് - ശൂന്യമായ വക്രം (പോയിൻ്റ് ഇല്ലാത്ത കർവ്) x 2 + y 2 +1=0 അല്ലെങ്കിൽ x 2 + 1=0

സിദ്ധാന്തം (കെവിപിയെക്കുറിച്ചുള്ള പ്രധാന സിദ്ധാന്തം):ഫോമിൻ്റെ സമവാക്യം

എ 11 x 2 + 2 എ 12 x y + a 22 വൈ 2 + 2 എ 1 x + 2a 2 y+a 0 = 0

ഈ എട്ട് തരങ്ങളിൽ ഒന്നിൻ്റെ ഒരു വക്രത്തെ മാത്രമേ പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയൂ.

തെളിവ് എന്ന ആശയംകെവിപി സമവാക്യം ഏറ്റവും ലളിതമായ രൂപമെടുക്കുന്ന ഒരു കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് നീങ്ങുക എന്നതാണ്, അത് പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന വക്രത്തിൻ്റെ തരം വ്യക്തമാകുമ്പോൾ. കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തെ ഒരു കോണിലൂടെ കറക്കുന്നതിലൂടെ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു, അതിൽ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഉൽപ്പന്നവുമായുള്ള പദം അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നു. x വേരിയബിളുള്ള പദം അല്ലെങ്കിൽ y വേരിയബിളുള്ള പദം അപ്രത്യക്ഷമാകുന്ന കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സമാന്തര കൈമാറ്റത്തിൻ്റെ സഹായത്തോടെ.

ഒരു പുതിയ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലേക്കുള്ള മാറ്റം: 1. സമാന്തര കൈമാറ്റം

2. തിരിക്കുക

45. രണ്ടാം ഓർഡർ ഉപരിതലങ്ങളും അവയുടെ വർഗ്ഗീകരണവും. പിവിപിയെക്കുറിച്ചുള്ള പ്രധാന സിദ്ധാന്തം. ഭ്രമണത്തിൻ്റെ ഉപരിതലങ്ങൾ.

പി VP - ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റുകൾ രണ്ടാം ഡിഗ്രി സമവാക്യം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന പോയിൻ്റുകളുടെ ഒരു കൂട്ടം: (1)

സ്ക്വയറുകളുടെയോ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെയോ ഗുണകങ്ങളിൽ ഒന്നെങ്കിലും 0-ൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണെന്ന് അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു. കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ തിരഞ്ഞെടുപ്പുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് സമവാക്യം മാറ്റമില്ലാത്തതാണ്.

സിദ്ധാന്തംമുഴുവൻ വിമാനവും വിഭാഗത്തിലായിരിക്കുമ്പോൾ (പിവിപി ഒരു വിമാനമോ ജോഡി വിമാനമോ ആകാം) ഒരു പ്രത്യേക സാഹചര്യം ഒഴികെ, ഏത് വിമാനവും സിവിപിയോടൊപ്പം പിവിപിയെ വിഭജിക്കുന്നു.

15 തരം പിവിപി ഉണ്ട്. അനുയോജ്യമായ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റങ്ങളിൽ അവ വ്യക്തമാക്കിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, നമുക്ക് അവയെ പട്ടികപ്പെടുത്താം. ഈ സമവാക്യങ്ങളെ കാനോനിക്കൽ (ഏറ്റവും ലളിതം) എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സമാന്തര വിഭാഗങ്ങളുടെ രീതി ഉപയോഗിച്ച് കാനോനിക്കൽ സമവാക്യങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന ജ്യാമിതീയ ചിത്രങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുക: കോർഡിനേറ്റ് പ്ലെയിനുകളും അവയ്ക്ക് സമാന്തരമായ വിമാനങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് ഉപരിതലത്തെ വിഭജിക്കുക. ഉപരിതലത്തിൻ്റെ ആകൃതിയെക്കുറിച്ച് ഒരു ആശയം നൽകുന്ന വിഭാഗങ്ങളും വളവുകളുമാണ് ഫലം.

1. എലിപ്‌സോയിഡ്.

a=b=c ആണെങ്കിൽ നമുക്ക് ഒരു ഗോളം ലഭിക്കും.

2. ഹൈപ്പർബോളോയിഡുകൾ.

1). സിംഗിൾ ഷീറ്റ് ഹൈപ്പർബോളോയിഡ്:

കോർഡിനേറ്റ് പ്ലെയിനുകൾ വഴി ഒരു ഒറ്റ ഷീറ്റ് ഹൈപ്പർബോളോയിഡിൻ്റെ വിഭാഗം: XOZ:
- അതിഭാവുകത്വം.

YOZ:
- അതിഭാവുകത്വം.

XOY വിമാനം:
- ദീർഘവൃത്തം.

2). രണ്ട് ഷീറ്റ് ഹൈപ്പർബോളോയിഡ്.

ഉത്ഭവം സമമിതിയുടെ ഒരു ബിന്ദുവാണ്.

സമമിതിയുടെ തലങ്ങളാണ് കോർഡിനേറ്റ് വിമാനങ്ങൾ.

വിമാനം z = എച്ച്ദീർഘവൃത്താകൃതിയിൽ ഹൈപ്പർബോളോയിഡിനെ വിഭജിക്കുന്നു
, അതായത്. വിമാനം z = എച്ച്ഹൈപ്പർബോളോയിഡിനെ വിഭജിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നു | എച്ച് |  സി. വിമാനങ്ങളാൽ ഹൈപ്പർബോളോയിഡിൻ്റെ വിഭാഗം x = 0 ഒപ്പം വൈ = 0 - ഇവ ഹൈപ്പർബോളുകളാണ്.

(2), (3), (4) എന്ന സമവാക്യങ്ങളിലെ a, b, c സംഖ്യകളെ എലിപ്‌സോയിഡുകളുടെയും ഹൈപ്പർബോളോയിഡുകളുടെയും അർദ്ധ അക്ഷങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

3. പാരാബോളോയിഡുകൾ.

1). എലിപ്റ്റിക്കൽ പാരാബോളോയിഡ്:

വിമാന വിഭാഗം z = എച്ച്ഇതുണ്ട്
, എവിടെ
. സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് z  0 അനന്തമായ പാത്രമാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്.

വിമാനങ്ങളുടെ കവല വൈ = എച്ച്ഒപ്പം x= എച്ച്
- ഇതൊരു പരവലയമാണ്, പൊതുവേ

2). ഹൈപ്പർബോളിക് പാരാബോളോയിഡ്:

വ്യക്തമായും, XOZ, YOZ വിമാനങ്ങൾ സമമിതിയുടെ തലങ്ങളാണ്, z അക്ഷം പാരാബോളോയിഡിൻ്റെ അക്ഷമാണ്. ഒരു വിമാനത്തോടുകൂടിയ ഒരു പാരാബോളോയിഡിൻ്റെ വിഭജനം z = എച്ച്- ഹൈപ്പർബോളുകൾ:
,
. വിമാനം z=0 രണ്ട് അക്ഷങ്ങളിലൂടെ ഒരു ഹൈപ്പർബോളിക് പാരാബോളോയിഡിനെ വിഭജിക്കുന്നു
ഏത് ലക്ഷണങ്ങളാണ്.

4. രണ്ടാമത്തെ ഓർഡറിൻ്റെ കോൺ, സിലിണ്ടറുകൾ.

1). ഒരു കോൺ ഒരു ഉപരിതലമാണ്
. ഉത്ഭവം 0 (0, 0, 0) വഴി കടന്നുപോകുന്ന നേർരേഖകളാൽ കോൺ രൂപപ്പെടുന്നു. ഒരു കോണിൻ്റെ ക്രോസ് സെക്ഷൻ അർദ്ധ അക്ഷങ്ങളുള്ള ഒരു ദീർഘവൃത്തമാണ്
.

2). രണ്ടാം ഓർഡർ സിലിണ്ടറുകൾ.

ഇതൊരു ദീർഘവൃത്താകൃതിയിലുള്ള സിലിണ്ടറാണ്
.

ദീർഘവൃത്തങ്ങളെ വിഭജിക്കുന്നതും ഓസ് അക്ഷത്തിന് സമാന്തരവുമായ ഏത് രേഖയും ഈ സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു. ദീർഘവൃത്തത്തിന് ചുറ്റും ഈ നേർരേഖ ചലിപ്പിക്കുന്നതിലൂടെ നമുക്ക് ഒരു ഉപരിതലം ലഭിക്കും.

ജി ഹൈപ്പർബോളിക് സിലിണ്ടർ:

XOU വിമാനത്തിൽ ഇത് ഒരു ഹൈപ്പർബോളയാണ്. ഓസിനു സമാന്തരമായി ഹൈപ്പർബോളയെ വിഭജിക്കുന്ന നേർരേഖ ഞങ്ങൾ ഹൈപ്പർബോളയ്‌ക്കൊപ്പം നീക്കുന്നു.

പരാബോളിക് സിലിണ്ടർ:

എൻ കൂടാതെ XOU വിമാനം ഒരു പരവലയമാണ്.

ഒരു നിശ്ചിത നേർരേഖയിലൂടെ (ഗൈഡ്) സ്വയം സമാന്തരമായി നീങ്ങുന്ന ഒരു നേർരേഖ (ജനറേറ്റർ) വഴിയാണ് സിലിണ്ടർ പ്രതലങ്ങൾ രൂപപ്പെടുന്നത്.

10. വിഭജിക്കുന്ന വിമാനങ്ങളുടെ ജോഡി

11. ജോടി സമാന്തര വിമാനങ്ങൾ

12.
- ഋജുവായത്

13. നേർരേഖ - ഒരു പോയിൻ്റിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു "സിലിണ്ടർ"

14. ഒരു പോയിൻ്റ്

15. ശൂന്യമായ സെറ്റ്

പിവിപിയെക്കുറിച്ചുള്ള പ്രധാന സിദ്ധാന്തം:ഓരോ പിവിപിയും മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത 15 തരങ്ങളിൽ ഒന്നിൽ പെട്ടതാണ്. മറ്റ് പിവിപികളൊന്നുമില്ല.

ഭ്രമണത്തിൻ്റെ ഉപരിതലങ്ങൾ. PDSC Oxyz നൽകട്ടെ, Oyz തലത്തിൽ F(y,z)=0 (1) എന്ന സമവാക്യം നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന വരി e. Oz അക്ഷത്തിന് ചുറ്റും ഈ രേഖ തിരിക്കുന്നതിലൂടെ ലഭിക്കുന്ന ഉപരിതലത്തിന് ഒരു സമവാക്യം ഉണ്ടാക്കാം. e എന്ന വരിയിൽ M(y,z) പോയിൻ്റ് എടുക്കാം. Oz വിമാനം ഓസിനു ചുറ്റും കറങ്ങുമ്പോൾ, പോയിൻ്റ് M ഒരു വൃത്തത്തെ വിവരിക്കും. N(X,Y,Z) ഈ വൃത്തത്തിൻ്റെ ഏകപക്ഷീയമായ ഒരു ബിന്ദുവായിരിക്കട്ടെ. z=Z എന്ന് വ്യക്തമാണ്.

.

z, y എന്നിവയുടെ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യങ്ങൾ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റി (1) നമുക്ക് ശരിയായ തുല്യത ലഭിക്കും:
ആ. പോയിൻ്റ് N ൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു
. അങ്ങനെ, ഭ്രമണത്തിൻ്റെ ഉപരിതലത്തിലെ ഏത് പോയിൻ്റും സമവാക്യം (2) തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു. ഒരു പോയിൻ്റ് N(x 1 ,y 1 ,z 1) സമവാക്യം (2) തൃപ്‌തിപ്പെടുത്തുന്നുവെങ്കിൽ അത് പരിഗണനയിലുള്ള ഉപരിതലത്തിൽ പെട്ടതാണെന്ന് തെളിയിക്കാൻ പ്രയാസമില്ല. സമവാക്യം (2) വിപ്ലവത്തിൻ്റെ ഉപരിതലത്തിന് ആവശ്യമുള്ള സമവാക്യമാണെന്ന് ഇപ്പോൾ നമുക്ക് പറയാം.

"

ഈ അധ്യായത്തിലുടനീളം, വിമാനത്തിൽ ഒരു നിശ്ചിത സ്കെയിൽ തിരഞ്ഞെടുത്തിട്ടുണ്ടെന്ന് അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു (ഇതിൽ ചുവടെ പരിഗണിക്കുന്ന എല്ലാ കണക്കുകളും കിടക്കുന്നു); ഈ സ്കെയിൽ ഉള്ള ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റങ്ങൾ മാത്രമേ പരിഗണിക്കൂ.

§ 1. പരാബോള

ഒരു സ്‌കൂൾ മാത്തമാറ്റിക്‌സ് കോഴ്‌സിൽ നിന്ന് വായനക്കാരന് ഒരു പരവലയം ഒരു വക്രമായി അറിയപ്പെടുന്നു, അത് ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫാണ്.

(ചിത്രം 76). (1)

ഏതെങ്കിലും ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ ഗ്രാഫ്

ഒരു പരവലയം കൂടിയാണ്; കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം (ചില വെക്റ്റർ OO വഴി) ഷിഫ്റ്റ് ചെയ്യുന്നതിലൂടെ ഇത് സാധ്യമാണ്, അതായത് രൂപാന്തരപ്പെടുത്തൽ

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് (രണ്ടാമത്തെ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ) ഗ്രാഫുമായി (2) (ആദ്യ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ) യോജിക്കുന്നുവെന്ന് ഉറപ്പാക്കുക.

വാസ്തവത്തിൽ, നമുക്ക് (3) സമത്വത്തിലേക്ക് (2) പകരം വയ്ക്കാം. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

ഈ സമത്വത്തിൻ്റെ വലതുവശത്തുള്ള പോളിനോമിയലിൻ്റെ (നെ സംബന്ധിച്ചുള്ള) കോഫിഫിഷ്യൻ്റും ഫ്രീ ടേമും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകുന്ന തരത്തിൽ തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ ഞങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നിർണ്ണയിക്കുന്നു

ഏത് നൽകുന്നു

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് നിർണ്ണയിക്കുന്നു

അതിൽ ഞങ്ങൾ ഇതിനകം കണ്ടെത്തിയ മൂല്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

അതിനാൽ, ഷിഫ്റ്റ് (3) വഴി, അതിൽ

ഞങ്ങൾ ഒരു പുതിയ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് നീങ്ങി, അതിൽ പരാബോളയുടെ സമവാക്യം (2) രൂപപ്പെട്ടു

(ചിത്രം 77).

നമുക്ക് സമവാക്യത്തിലേക്ക് മടങ്ങാം (1). ഇത് ഒരു പരവലയത്തിൻ്റെ നിർവചനമായി വർത്തിക്കും. നമുക്ക് അതിൻ്റെ ഏറ്റവും ലളിതമായ ഗുണങ്ങൾ ഓർമ്മിക്കാം. വക്രത്തിന് സമമിതിയുടെ ഒരു അച്ചുതണ്ട് ഉണ്ട്: ഒരു പോയിൻ്റ് സമവാക്യം (1) തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുവെങ്കിൽ, ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട എം പോയിൻ്റിന് സമമിതിയുള്ള ഒരു പോയിൻ്റ് സമവാക്യവും (1) തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു - ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ വക്രം സമമിതിയാണ് (ചിത്രം 76) .

എങ്കിൽ, പരാബോള (1) മുകളിലെ അർദ്ധതലത്തിലാണ്, അബ്‌സിസ്സ അച്ചുതണ്ടിനൊപ്പം ഒരു പൊതു പോയിൻ്റ് O ഉള്ളത്.

abscissa യുടെ കേവല മൂല്യത്തിൽ പരിധിയില്ലാത്ത വർദ്ധനവോടെ, ഓർഡിനേറ്റും പരിധിയില്ലാതെ വർദ്ധിക്കുന്നു. വക്രത്തിൻ്റെ പൊതുവായ കാഴ്ച ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 76, എ.

(ചിത്രം 76, ബി) ആണെങ്കിൽ, വക്രതയിലേക്കുള്ള അബ്‌സിസ്സ അക്ഷവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ താഴത്തെ അർദ്ധ-തലത്തിൽ വക്രം സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു.

ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിൻ്റെ പോസിറ്റീവ് ദിശയെ വിപരീത ദിശയിൽ മാറ്റി പഴയതിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച ഒരു പുതിയ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് നമ്മൾ നീങ്ങുകയാണെങ്കിൽ, പഴയ സിസ്റ്റത്തിൽ y എന്ന സമവാക്യം ഉള്ള പരവലയത്തിന് പുതിയതിൽ y എന്ന സമവാക്യം ലഭിക്കും. കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം. അതിനാൽ, പരാബോളകൾ പഠിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് സമവാക്യങ്ങളിൽ (1) പരിമിതപ്പെടുത്താം, അതിൽ .

അവസാനമായി നമുക്ക് അക്ഷങ്ങളുടെ പേരുകൾ മാറ്റാം, അതായത്, ഞങ്ങൾ ഒരു പുതിയ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് നീങ്ങും, അതിൽ ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷം പഴയ അബ്സിസ്സ അക്ഷവും അബ്സിസ്സ അക്ഷം പഴയ ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷവും ആയിരിക്കും. ഈ പുതിയ സിസ്റ്റത്തിൽ, സമവാക്യം (1) ഫോമിൽ എഴുതപ്പെടും

അല്ലെങ്കിൽ, സംഖ്യയെ ഫോമിൽ സൂചിപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ

സമവാക്യം (4) അനലിറ്റിക്കൽ ജ്യാമിതിയിൽ പരവലയത്തിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു; തന്നിരിക്കുന്ന പരാബോളയ്ക്ക് സമവാക്യം (4) ഉള്ള ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തെ കാനോനിക്കൽ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം (ഈ പരവലയത്തിന്) എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ഗുണകത്തിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം സ്ഥാപിക്കും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ പോയിൻ്റ് എടുക്കുന്നു

പരവലയത്തിൻ്റെ ഫോക്കസ് (4) എന്നും സമവാക്യം നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന നേർരേഖ d എന്നും വിളിക്കുന്നു

ഈ വരിയെ പരവലയത്തിൻ്റെ ഡയറക്ട്രിക്സ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു (4) (ചിത്രം 78 കാണുക).

പരവലയത്തിൻ്റെ ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ പോയിൻ്റ് ആകട്ടെ (4). സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് (4) അത് പിന്തുടരുന്നു, അതിനാൽ, ഡയറക്ട്രിക്സ് ഡിയിൽ നിന്നുള്ള പോയിൻ്റ് M ൻ്റെ ദൂരം സംഖ്യയാണ്

ഫോക്കസ് എഫിൽ നിന്ന് പോയിൻ്റ് M ൻ്റെ ദൂരം

പക്ഷേ, അതിനാൽ

അതിനാൽ, പരവലയത്തിൻ്റെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളും M അതിൻ്റെ ഫോക്കസിൽ നിന്നും ഡയറക്‌ട്രിക്സിൽ നിന്നും തുല്യ അകലത്തിലാണ്:

നേരെമറിച്ച്, ഓരോ പോയിൻ്റും M തൃപ്തികരമായ അവസ്ഥ (8) പരവലയത്തിലാണ് (4).

തീർച്ചയായും,

അതിനാൽ,

കൂടാതെ, പരാൻതീസിസുകൾ തുറന്ന് സമാന നിബന്ധനകൾ കൊണ്ടുവന്നതിന് ശേഷം,

ഓരോ പരാബോളയും (4) ഫോക്കസ് എഫിൽ നിന്നും ഈ പരാബോളയുടെ ഡയറക്‌ട്രിക്സ് ഡിയിൽ നിന്നും തുല്യമായ പോയിൻ്റുകളുടെ സ്ഥാനമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ തെളിയിച്ചിട്ടുണ്ട്.

അതേ സമയം, ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തിൽ (4) ഗുണകത്തിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം സ്ഥാപിച്ചു: സംഖ്യ പരവലയത്തിൻ്റെ ഫോക്കസും ഡയറക്‌ട്രിക്സും തമ്മിലുള്ള ദൂരത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഈ പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകാത്ത ഒരു പോയിൻ്റ് F ഉം ഒരു വരി d ഉം വിമാനത്തിൽ ഏകപക്ഷീയമായി നൽകിയിട്ടുണ്ടെന്ന് നമുക്ക് ഇപ്പോൾ അനുമാനിക്കാം. ഫോക്കസ് F ഉം Directrix d ഉം ഉള്ള ഒരു പരാബോള ഉണ്ടെന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം.

ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, പോയിൻ്റ് എഫ് (ചിത്രം 79) ലൂടെ ഒരു വരി g വരയ്ക്കുക, വരി d ലേക്ക് ലംബമായി; രണ്ട് വരികളുടെയും വിഭജന പോയിൻ്റ് D കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കാം; ദൂരം (അതായത് പോയിൻ്റ് എഫ്, നേർരേഖ d എന്നിവ തമ്മിലുള്ള ദൂരം) സൂചിപ്പിക്കും.

നമുക്ക് g എന്ന നേർരേഖയെ ഒരു അച്ചുതണ്ടാക്കി മാറ്റാം, അതിലെ DF ദിശ പോസിറ്റീവ് ആയി എടുക്കാം. നമുക്ക് ഈ അക്ഷത്തെ ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ abscissa അക്ഷമാക്കാം, ഇതിൻ്റെ ഉത്ഭവം സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യ O ആണ്

അപ്പോൾ d എന്ന നേർരേഖയും സമവാക്യം സ്വീകരിക്കുന്നു.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് തിരഞ്ഞെടുത്ത കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ പരാബോളയുടെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം എഴുതാം:

ഇവിടെ പോയിൻ്റ് F ഫോക്കസ് ആയിരിക്കും, കൂടാതെ നേർരേഖ d പരാബോളയുടെ ഡയറക്‌ട്രിക്‌സ് ആയിരിക്കും (4).

എഫ്, ലൈൻ ഡി എന്നിവയിൽ നിന്ന് തുല്യമായ എം പോയിൻ്റുകളുടെ സ്ഥാനമാണ് പരവലയമെന്ന് ഞങ്ങൾ മുകളിൽ സ്ഥാപിച്ചു. അതിനാൽ, പരാബോളയുടെ അത്തരമൊരു ജ്യാമിതീയ (അതായത്, ഏതെങ്കിലും കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന് സ്വതന്ത്രമായി) നമുക്ക് നിർവചനം നൽകാം.

നിർവ്വചനം. ചില നിശ്ചിത ബിന്ദുവിൽ നിന്നും (പരവലയത്തിൻ്റെ "ഫോക്കസ്") ചില നിശ്ചിത രേഖയിൽ നിന്നും (പരവലയത്തിൻ്റെ "ഡയറക്‌ട്രിക്‌സ്") തുല്യമായ ബിന്ദുക്കളുടെ സ്ഥാനമാണ് പരവലയം.