Funkcijos ekstremumo nustatymas internete. Funkcijos kraštutinumas. Algoritmas ieškant dviejų kintamųjų funkcijos ekstremalių ir sprendimų pavyzdžiai

Iš šio straipsnio skaitytojas sužinos, kas yra funkcinės vertės ekstremumas, taip pat apie jo panaudojimo praktinėje veikloje ypatybes. Tokios sąvokos studijavimas yra nepaprastai svarbus norint suprasti aukštosios matematikos pagrindus. Ši tema yra esminė norint giliau studijuoti kursą.

Susisiekus su

Kas yra ekstremumas?

Mokyklos kurse pateikiama daug sąvokos „ekstremumas“ apibrėžimų. Šis straipsnis skirtas giliausiai ir aiškiausiai suprasti terminą tiems, kurie to nežino. Taigi, terminas suprantamas, kokiu mastu funkcinis intervalas įgyja mažiausią arba didžiausią reikšmę tam tikrame rinkinyje.

Ekstremas yra ir mažiausia funkcijos reikšmė, ir didžiausia tuo pačiu metu. Yra minimalus ir maksimalus taškas, tai yra kraštutinės argumento reikšmės grafike. Pagrindiniai mokslai, naudojantys šią sąvoką, yra šie:

• statistika;
• mašinos valdymas;
• ekonometrija.

Ekstremalūs taškai atlieka svarbų vaidmenį nustatant tam tikros funkcijos seką. Grafike esanti koordinačių sistema geriausiai parodo ekstremalios padėties pasikeitimą priklausomai nuo funkcionalumo pasikeitimo.

Išvestinės funkcijos ekstremumai

Taip pat yra toks reiškinys kaip „darinys“. Būtina nustatyti ekstremumo tašką. Svarbu nepainioti minimalių ar maksimalių taškų su didžiausia ir mažiausia reikšmėmis. Tai skirtingos sąvokos, nors gali atrodyti panašios.

Funkcijos reikšmė yra pagrindinis veiksnys, lemiantis, kaip rasti maksimalų tašką. Darinys susidaro ne iš vertybių, o išskirtinai iš savo kraštutinės padėties viena ar kita tvarka.

Pati išvestinė yra nustatoma remiantis šiais ekstremumo taškais, o ne pagal didžiausią ar mažiausią reikšmę. Rusų mokyklose riba tarp šių dviejų sąvokų nėra aiškiai nubrėžta, o tai turi įtakos šios temos supratimui apskritai.

Dabar panagrinėkime tokią sąvoką kaip „ūmus ekstremumas“. Šiandien yra ūminė minimali ir ūminė maksimali reikšmė. Apibrėžimas pateiktas pagal rusišką funkcijos kritinių taškų klasifikaciją. Ekstremalaus taško sąvoka yra pagrindas ieškant kritinių taškų grafike.

Norėdami apibrėžti tokią sąvoką, jie naudojasi Ferma teorema. Tai yra svarbiausia tiriant kraštutinius taškus ir suteikia aiškų supratimą apie jų egzistavimą viena ar kita forma. Siekiant užtikrinti ekstremalumą, svarbu sudaryti tam tikras sąlygas grafike mažėti arba padidinti.

Norėdami tiksliai atsakyti į klausimą „kaip rasti maksimalų tašką“, turite laikytis šių nurodymų:

Tikslios apibrėžimo srities radimas grafike.

Ieškoti funkcijos išvestinės ir ekstremumo taško.

Išspręskite standartines nelygybes domenui, kuriame randamas argumentas.

Gebėti įrodyti, kuriose funkcijose grafiko taškas yra apibrėžtas ir tolydis.

Dėmesio! Ieškoti funkcijos kritinio taško galima tik tada, kai yra bent antros eilės išvestinė, kurią užtikrina didelė ekstremumo taško buvimo dalis.

Būtina funkcijos ekstremumo sąlyga

Tam, kad egzistuotų ekstremumas, svarbu, kad būtų ir minimalūs, ir didžiausi balai. Jei šios taisyklės laikomasi tik iš dalies, pažeidžiama ekstremumo egzistavimo sąlyga.

Kiekviena funkcija bet kurioje padėtyje turi būti atskirta, kad būtų galima nustatyti naujas reikšmes. Svarbu suprasti, kad atvejis, kai taškas patenka į nulį, nėra pagrindinis principas ieškant diferencijuojamo taško.

Ūmus ekstremumas, kaip ir funkcijos minimumas, yra nepaprastai svarbus aspektas sprendžiant matematinę problemą naudojant kraštutines reikšmes. Norint geriau suprasti šį komponentą, norint nurodyti funkcionalumą, svarbu remtis lentelėmis.

Visas prasmės tyrimas

Vertės grafiko braižymas

1. Didėjančių ir mažėjančių reikšmių taškų nustatymas. 2. Nutrūkimų taškų, ekstremumo ir susikirtimo su koordinačių ašimis radimas. 3. Padėties pokyčių grafike nustatymo procesas. 4. Išgaubtumo ir išgaubtumo rodiklio ir krypties nustatymas, atsižvelgiant į asimptotų buvimą. 5. Tyrimo suvestinės lentelės sudarymas jos koordinačių nustatymo požiūriu. 6. Kraštinių ir aštrių taškų didėjimo ir mažėjimo intervalų radimas. 7. Kreivės išgaubimo ir įgaubimo nustatymas. 8. Grafiko braižymas atsižvelgiant į tyrimą leidžia rasti minimumą arba maksimumą.

Pagrindinis elementas, kai reikia dirbti su ekstremaliais taškais, yra tiksli jo grafiko konstrukcija. Mokyklų mokytojai dažnai neskiria maksimalaus dėmesio tokiam svarbiam aspektui, kuris yra šiurkštus ugdymo proceso pažeidimas. Grafikas sudaromas tik remiantis funkcinių duomenų tyrimo rezultatais, nustatant ūmius ekstremumus, taip pat grafiko taškus. Išvestinės funkcijos aštrūs ekstremumai rodomi tikslių verčių diagramoje, naudojant standartinę asimptotų nustatymo procedūrą. Funkcijos maksimalų ir mažiausią tašką lydi sudėtingesnės grafų konstrukcijos. Taip yra dėl gilesnio poreikio spręsti ūminio ekstremumo problemą. Taip pat būtina rasti sudėtingos ir paprastos funkcijos išvestinę, nes tai yra viena iš svarbiausių ekstremumo problemos sąvokų.

Funkcijų kraštutinumas

Norėdami rasti aukščiau nurodytą vertę, turite laikytis šių taisyklių:

• nustatyti būtiną ekstremalaus santykio sąlygą;
• atsižvelgti į pakankamą kraštutinių grafiko taškų būklę;
• atlikti ūminio ekstremumo skaičiavimą.

Taip pat naudojamos tokios sąvokos kaip silpnas minimumas ir stiprus minimumas. Į tai reikia atsižvelgti nustatant ekstremumą ir tiksliai jį apskaičiuojant. Tuo pačiu metu ūminis funkcionalumas yra visų būtinų sąlygų darbui su funkcijos grafiku paieška ir sukūrimas.

2020 m. liepą NASA pradeda ekspediciją į Marsą. Erdvėlaivis į Marsą pristatys elektroninę laikmeną su visų registruotų ekspedicijos dalyvių pavardėmis.

Dalyvių registracija atidaryta. Gaukite bilietą į Marsą naudodami šią nuorodą.

Jei šis įrašas išsprendė jūsų problemą arba jums jis tiesiog patiko, pasidalykite nuoroda į jį su draugais socialiniuose tinkluose.

Vieną iš šių kodo parinkčių reikia nukopijuoti ir įklijuoti į savo tinklalapio kodą, geriausia tarp žymų ir arba iškart po žymos. Pagal pirmąjį variantą MathJax įkeliamas greičiau ir mažiau sulėtina puslapį. Tačiau antroji parinktis automatiškai stebi ir įkelia naujausias MathJax versijas. Jei įterpsite pirmąjį kodą, jį reikės periodiškai atnaujinti. Jei įterpsite antrą kodą, puslapiai bus įkeliami lėčiau, tačiau jums nereikės nuolat stebėti MathJax atnaujinimų.

Lengviausias būdas prisijungti MathJax yra „Blogger“ arba „WordPress“: svetainės valdymo skydelyje pridėkite valdiklį, skirtą trečiosios šalies „JavaScript“ kodui įterpti, nukopijuokite į jį pirmąją arba antrąją aukščiau pateikto atsisiuntimo kodo versiją ir įdėkite valdiklį arčiau. į šablono pradžią (beje, tai visai nebūtina, nes MathJax scenarijus įkeliamas asinchroniškai). Tai viskas. Dabar išmokite MathML, LaTeX ir ASCIIMathML žymėjimo sintaksę ir būsite pasirengę įterpti matematines formules į savo svetainės tinklalapius.

Dar viena Naujųjų metų išvakarės... šaltas oras ir snaigės ant lango stiklo... Visa tai paskatino vėl parašyti apie... fraktalus, ir ką apie tai žino Volframas Alfa. Yra įdomus straipsnis šia tema, kuriame yra dvimačių fraktalų struktūrų pavyzdžių. Čia apžvelgsime sudėtingesnius trimačių fraktalų pavyzdžius.

Fraktalas gali būti vizualiai pavaizduotas (apibūdintas) kaip geometrinė figūra arba kūnas (tai reiškia, kad abu yra rinkinys, šiuo atveju taškų rinkinys), kurių detalės turi tokią pačią formą kaip ir pati pradinė figūra. Tai yra, tai yra į save panašus statinys, kurio detales nagrinėjant padidinus pamatysime tokią pat formą kaip ir be padidinimo. Tuo tarpu paprastos geometrinės figūros (ne fraktalo) atveju, padidinus pamatysime detales, kurių forma yra paprastesnė nei pati originali figūra. Pavyzdžiui, esant pakankamai dideliam padidinimui, dalis elipsės atrodo kaip tiesios linijos segmentas. Taip neatsitinka su fraktalais: jiems padidėjus, mes vėl pamatysime tą pačią sudėtingą formą, kuri bus kartojama vėl ir vėl su kiekvienu padidėjimu.

Fraktalų mokslo įkūrėjas Benoit Mandelbrot savo straipsnyje Fraktalai ir menas vardan mokslo rašė: „Fraktalai yra geometrinės figūros, kurių detalės yra tokios pat sudėtingos, kaip ir bendra forma bus padidintas iki visumos dydžio, jis atrodys kaip visuma arba tiksliai, o gal su nedidele deformacija“.

Taip pat galime sakyti, kad šiuose taškuose keičiasi funkcijos judėjimo kryptis: jei funkcija nustoja kristi ir pradeda augti, tai yra minimumo taškas, priešingai – maksimumo taškas.

Mažumai ir maksimumai kartu vadinami funkcijos ekstremumais.

Kitaip tariant, visi penki aukščiau esančiame grafike pažymėti taškai yra kraštutinumai.

Dėl šios priežasties šių taškų paieška nėra problema, net jei neturite funkcijos grafiko.

Dėmesio! Kai jie rašo kraštutinumai arba maksimumai/minimalumai reiškia funkcijos reikšmę t.y. \(y\). Kai jie rašo ekstremalūs taškai arba maksimumų / minimumų taškai reiškia x, kai pasiekiami maksimumai / minimumai. Pavyzdžiui, aukščiau esančiame paveikslėlyje \(-5\) yra mažiausias taškas (arba ekstremumo taškas), o \(1\) yra minimumas (arba ekstremumas).

Kaip iš išvestinio grafiko rasti funkcijos ekstremalius taškus (Vieningo valstybinio egzamino 7 užduotis)?

Kartu suraskime funkcijos ekstremalių taškų skaičių naudodami išvestinį grafiką naudodami pavyzdį:

Mums buvo pateiktas grafikas, o tai reiškia, kad mes ieškome, kuriuose grafiko taškuose išvestinė yra lygi nuliui. Akivaizdu, kad tai yra taškai \(-13\), \(-11\), \(-9\), \(-7\) ir \(3\). Funkcijos ekstremalių taškų skaičius yra \(5\).

Dėmesio! Jei pateikiamas grafikas išvestinė funkcijos, bet reikia rasti funkcijos ekstremalūs taškai, mes neskaičiuojame išvestinės maksimumų ir minimumų! Suskaičiuojame taškus, kuriuose funkcijos išvestinė išnyksta (t. y. kerta \(x\) ašį).

Kaip iš išvestinio grafiko rasti funkcijos maksimalų arba mažiausią tašką (Vieningo valstybinio egzamino 7 užduotis)?

Norėdami atsakyti į šį klausimą, turite atsiminti dar dvi svarbias taisykles:

- Išvestinė yra teigiama, kai funkcija didėja.
- Išvestinė yra neigiama, kai funkcija mažėja.

Remdamiesi šiomis taisyklėmis, išvestiniame grafike suraskime funkcijos mažiausią ir didžiausią tašką.

Aišku, kad tarp ekstremalių taškų reikia ieškoti minimumų ir maksimumų, t.y. tarp \(-13\), \(-11\), \(-9\), \(-7\) ir \(3\).

Kad būtų lengviau išspręsti problemą, į paveikslą įdėkite pliuso ir minuso ženklus, nurodančius išvestinės ženklą. Tada rodyklės - nurodančios didėjančias ir mažėjančias funkcijas.

Pradėkime nuo \(-13\): iki \(-13\) išvestinė yra teigiama, t.y. funkcija auga, tada išvestinė yra neigiama t.y. funkcija sugenda. Jei tai įsivaizduojate, paaiškės, kad \(-13\) yra maksimalus taškas.

\(-11\): išvestinė iš pradžių yra teigiama, o paskui neigiama, o tai reiškia, kad funkcija didėja, o paskui mažėja. Dar kartą pabandykite mintyse tai nupiešti ir jums taps akivaizdu, kad \(-11\) yra minimumas.

\(- 9\): funkcija didėja, o tada mažėja – maksimaliai.

\(-7\): minimalus.

\(3\): maksimalus.

Visa tai, kas išdėstyta pirmiau, gali būti apibendrinta tokiomis išvadomis:

- Funkcija turi maksimumą, kai išvestinė yra nulis ir keičia ženklą iš pliuso į minusą.
- Funkcija turi minimumą, kai išvestinė yra nulis ir keičia ženklą iš minuso į pliusą. Kaip rasti maksimumo ir minimumo taškus, jei žinoma funkcijos formulė (12 Vieningo valstybinio egzamino užduočių)?

Norėdami atsakyti į šį klausimą, turite padaryti tą patį, kaip ir ankstesnėje pastraipoje: rasti, kur išvestinė yra teigiama, kur neigiama, o kur nulis. Kad būtų aiškiau, parašysiu algoritmą su sprendimo pavyzdžiu:

Raskite funkcijos \(f"(x)\) išvestinę.

Raskite lygties \(f"(x)=0\) šaknis.

Nubrėžkite ašį \(x\) ir pažymėkite ant jos 2 žingsnyje gautus taškus, lankais nubrėžkite intervalus, į kuriuos ašis padalinta. Etiketė virš ašies \(f"(x)\) ir po ašimi \(f(x)\).

Kiekviename intervale nustatykite išvestinės ženklą (naudojant intervalo metodą).

Įdėkite išvestinės ženklą į kiekvieną intervalą (virš ašies), o rodykle nurodykite funkcijos padidėjimą (↗) arba sumažėjimą (↘) (po ašimi).

Nustatykite, kaip pasikeitė išvestinės ženklas einant per taškus, gautus 2 veiksme:
- jei \(f'(x)\) pakeitė ženklą iš "\(+\)" į "\(-\)", tada \(x_1\) yra maksimalus taškas;
- jei \(f'(x)\) pakeitė ženklą iš "\(-\)" į "\(+\)", tada \(x_3\) yra mažiausias taškas;
- jei \(f'(x)\) nepakeitė ženklo, tada \(x_2\) gali būti vingio taškas.

Viskas! Surastas maksimalus ir minimalus taškai.

Vaizduojant ašies taškus, kuriuose išvestinė lygi nuliui, mastelio galima nepaisyti. Funkcijos veikimas gali būti parodytas taip, kaip parodyta paveikslėlyje žemiau. Taip bus aiškiau, kur yra maksimumas, o kur minimumas.

Pavyzdys(Naudoti). Raskite maksimalų funkcijos \(y=3x^5-20x^3-54\) tašką.
Sprendimas:
1. Raskite funkcijos išvestinę: \(y"=15x^4-60x^2\).
2. Sulyginkime jį su nuliu ir išspręskime lygtį:

\(15x^4-60x^2=0\) \(|:15\)
\(x^4-4x^2=0\)
\(x^2 (x^2-4)=0\)
\(x=0\) \(x^2-4=0\)
\(x=±2\)

3. – 6. Nubraižykime taškus skaičių tiesėje ir nustatykime, kaip kinta išvestinės ženklas ir kaip juda funkcija:

Dabar akivaizdu, kad didžiausias taškas yra \(-2\).

Atsakymas. \(-2\).

Prieš išmokdami rasti funkcijos ekstremumą, turite suprasti, kas yra ekstremumas. Bendriausias ekstremumo apibrėžimas yra toks, kad jis, kaip naudojamas matematikoje, yra mažiausia arba didžiausia funkcijos reikšmė tam tikrame skaičių linijos ar grafiko rinkinyje. Toje vietoje, kur yra minimumas, atsiranda minimalus ekstremumas, o ten, kur yra maksimumas, – maksimalus ekstremumas. Taip pat tokioje disciplinoje kaip matematinė analizė nustatomi lokalūs funkcijos ekstremumai. Dabar pažiūrėkime, kaip rasti kraštutinius taškus.

Ekstrema matematikoje yra viena iš svarbiausių funkcijos savybių, kurios rodo didžiausias ir mažiausias reikšmes. Ekstremalai randami daugiausia kritiniuose randamų funkcijų taškuose. Verta paminėti, kad būtent ekstremaliame taške funkcija radikaliai pakeičia savo kryptį. Jei apskaičiuosite ekstremumo taško išvestinę, tada pagal apibrėžimą jis turėtų būti lygus nuliui arba jo visai nebus. Taigi, norėdami sužinoti, kaip rasti funkcijos ekstremumą, turite atlikti dvi nuoseklias užduotis:

• rasti funkcijos išvestinę, kurią reikia nustatyti pagal užduotį;
• rasti lygties šaknis.

Ekstremo radimo seka

Užrašykite pateiktą funkciją f(x). Raskite jos pirmosios eilės išvestinę f "(x). Gautą išraišką prilyginkite nuliui.

Dabar jūs turite išspręsti gautą lygtį. Gauti sprendiniai bus lygties šaknys, taip pat nustatomos funkcijos kritiniai taškai.

Dabar nustatome, kurie kritiniai taškai (maksimaliai ar mažiausi) yra rastos šaknys. Kitas žingsnis, išmokus rasti funkcijos kraštutinius taškus, yra rasti antrąją norimos funkcijos f "(x) išvestinę. Reikės pakeisti rastų kritinių taškų reikšmes į konkrečią nelygybę ir tada apskaičiuokite, kas atsitiks Jei taip atsitiks, jei antroji išvestinė kritiniame taške bus didesnė už nulį, tai bus minimalus taškas, o kitu atveju – maksimalus taškas.

Belieka apskaičiuoti pradinės funkcijos reikšmę reikiamame funkcijos maksimaliame ir minimaliame taške. Norėdami tai padaryti, pakeičiame gautas reikšmes į funkciją ir apskaičiuojame. Tačiau verta paminėti, kad jei kritinis taškas pasirodo esantis maksimumas, tada ekstremumas taip pat bus maksimumas, o jei minimumas, tada pagal analogiją minimumas.

Algoritmas ekstremumui rasti

Norėdami apibendrinti įgytas žinias, sukursime trumpą algoritmą, kaip rasti ekstremalių taškų.

Randame tam tikros funkcijos apibrėžimo sritį ir jos intervalus, kurie tiksliai nustato, kuriuose intervaluose funkcija yra tolydi.

Raskite funkcijos f "(x) išvestinę.

Apskaičiuojame lygties y = f (x) kritinius taškus.

Analizuojame funkcijos f (x) krypties pokyčius, taip pat išvestinės f "(x) ženklą, kur kritiniai taškai padalija šios funkcijos apibrėžimo sritį.

Dabar nustatome, ar kiekvienas grafiko taškas yra maksimalus ar minimumas.

Funkcijos reikšmes randame tuose taškuose, kurie yra ekstremalūs.

Užfiksuojame šio tyrimo rezultatą – monotoniškumo ekstremumus ir intervalus. Tai viskas. Dabar pažvelgėme į tai, kaip galite rasti ekstremumą bet kuriame intervale. Jei reikia rasti ekstremumą tam tikrame funkcijos intervale, tai daroma panašiai, tik reikia atsižvelgti į atliekamo tyrimo ribas.

Taigi, mes pažvelgėme į tai, kaip rasti funkcijos kraštutinius taškus. Paprastų skaičiavimų, taip pat išvestinių radimo žinių pagalba galite rasti bet kurį ekstremumą ir jį apskaičiuoti, taip pat grafiškai nurodyti. Ekstremų radimas yra viena svarbiausių matematikos sekcijų tiek mokykloje, tiek aukštosiose mokyklose, todėl išmokus teisingai juos atpažinti, mokytis taps daug lengviau ir įdomiau.

Kaip matote, šis funkcijos ekstremumo ženklas reikalauja, kad taške būtų bent jau antros eilės išvestinė.

Pavyzdys.

Raskite funkcijos kraštutinumą.

Sprendimas.

Pradėkime nuo apibrėžimo srities:

Išskirkime pradinę funkciją:

x=1, tai yra galimo ekstremumo taškas. Randame antrąją funkcijos išvestinę ir apskaičiuojame jos reikšmę ties x = 1:

Todėl pagal antrąją pakankamą ekstremumo sąlygą, x=1- maksimalus taškas. Tada - maksimali funkcija.

Grafinė iliustracija.

Atsakymas:

Trečioji pakankama funkcijos ekstremumo sąlyga.

Tegul funkcija y=f(x) turi išvestinių priemonių iki n-toji eilės taško kaimynystėje ir vediniai iki n+1-toji tvarka pačiame taške. Tebūnie.

Pavyzdys.

Raskite funkcijos kraštutinius taškus .

Sprendimas.

Pradinė funkcija yra racionali visa funkcija, kurios apibrėžimo sritis yra visa realiųjų skaičių rinkinys.

Išskirkime funkciją:

Išvestinė eina į nulį ties , todėl tai yra galimo ekstremumo taškai. Panaudokime trečią pakankamą ekstremumo sąlygą.

Randame antrąją išvestinę ir apskaičiuojame jos reikšmę galimo ekstremumo taškuose (tarpinius skaičiavimus praleisime):

Vadinasi, yra maksimalus taškas (už trečią pakankamą ekstremumo ženklą turime n=1 Ir).

Norėdami išsiaiškinti taškų prigimtį randame trečiąją išvestinę ir apskaičiuojame jos vertę šiuose taškuose:

Todėl funkcijos vingio taškas ( n=2 Ir).

Belieka susitvarkyti su esme. Mes randame ketvirtąją išvestinę ir apskaičiuojame jos vertę šioje vietoje:

Todėl yra mažiausias funkcijos taškas.

Grafinė iliustracija.

Atsakymas:

Maksimalus taškas yra mažiausias funkcijos taškas.

10. Funkcijos ekstremumas Ekstremo apibrėžimas

Iškviečiama funkcija y = f(x). didėja (mažėja) tam tikru intervalu, jei x 1< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x 2)).

Jei diferencijuojama funkcija y = f(x) didėja (mažėja) intervale, tai jos išvestinė šiame intervale f " (x)  0

(f " (x)  0).

Taškas x O paskambino vietinis maksimalus taškas (minimumas) funkcija f(x), jei yra taško kaimynystė x O, visuose taškuose, kurių nelygybė f(x) ≤ f(x о) (f(x) ≥ f(x о)) yra teisinga.

Vadinami didžiausi ir mažiausi taškai ekstremalūs taškai, o funkcijos reikšmės šiuose taškuose yra jos kraštutinumai.

Ekstremalūs taškai

Būtinos sąlygos ekstremumui. Jei taškas x O yra funkcijos f(x) ekstremumo taškas, tada arba f " (x o) = 0, arba f (x o) neegzistuoja. Tokie taškai vadinami kritiškas, o pati funkcija apibrėžiama kritiniame taške. Funkcijos kraštutinumo reikia ieškoti tarp jos kritinių taškų.

Pirma pakankama sąlyga. Leisti x O- kritinis taškas. Jei f "(x), kai eina per tašką x O pakeičia pliuso ženklą į minusą, tada taške x O funkcija turi maksimumą, kitu atveju turi minimumą. Jei, einant per kritinį tašką, išvestinė ženklo nekeičia, tai taške x O ekstremalaus nera.

Antra pakankama sąlyga. Tegul funkcija f(x) turi išvestinę f " (x) netoli taško x O o antroji išvestinė pačiame taške x O. Jei f "(x o) = 0, >0 (