ממאמר זה הקורא ילמד על מהי נקודת קיצון של ערך פונקציונלי, כמו גם על תכונות השימוש בו בפעילויות מעשיות. לימוד מושג כזה חשוב ביותר להבנת היסודות של מתמטיקה גבוהה יותר. נושא זה הוא יסוד ללימוד מעמיק יותר של הקורס.
בקשר עם
מה זה קיצון?בקורס בית הספר ניתנות הגדרות רבות למושג "קיצוני". מאמר זה נועד לתת את ההבנה העמוקה והברורה ביותר של המונח עבור אלה שאינם יודעים את הנושא. אז, המונח מובן באיזו מידה המרווח הפונקציונלי מקבל ערך מינימלי או מקסימלי על קבוצה מסוימת.
נקודת קיצון היא גם הערך המינימלי של פונקציה וגם המקסימום בו זמנית. יש נקודת מינימום ומקסימום, כלומר, הערכים הקיצוניים של הטיעון על הגרף. המדעים העיקריים המשתמשים במושג זה הם:
- סטָטִיסטִיקָה;
- בקרת מכונה;
- אקונומטריה.
נקודות קיצון ממלאות תפקיד חשוב בקביעת הרצף של פונקציה נתונה. מערכת הקואורדינטות בגרף במיטבה מציגה את השינוי במיקום הקיצוני בהתאם לשינוי בפונקציונליות.
אקסטרמה של פונקציית הנגזרתיש גם תופעה כמו "נגזרת". יש צורך לקבוע את נקודת הקיצון. חשוב לא לבלבל בין נקודות מינימום או מקסימום לערכים הגבוהים והנמוכים ביותר. אלו מושגים שונים, למרות שהם עשויים להיראות דומים.
הערך של הפונקציה הוא הגורם העיקרי בקביעת איך למצוא את נקודת המקסימום. הנגזרת אינה נוצרת מערכים, אלא אך ורק ממיקומה הקיצוני בסדר כזה או אחר.
הנגזרת עצמה נקבעת על סמך נקודות קיצון אלו, ולא על פי הערך הגדול או הקטן ביותר. בבתי ספר ברוסית, הקו בין שני המושגים הללו אינו מצויר בבירור, מה שמשפיע על ההבנה של נושא זה באופן כללי.
הבה נשקול כעת מושג כזה כמו "אקסטרים חריף". כיום יש ערך מינימום חריף וערך מקסימום חריף. ההגדרה ניתנת בהתאם לסיווג הרוסי של נקודות קריטיות של פונקציה. הרעיון של נקודת קיצון הוא הבסיס למציאת נקודות קריטיות בגרף.
כדי להגדיר מושג כזה, הם פונים להשתמש במשפט של פרמה. זה החשוב ביותר בחקר נקודות קיצון ונותן מושג ברור על קיומן בצורה כזו או אחרת. כדי להבטיח קיצוניות, חשוב ליצור תנאים מסוימים לירידה או עלייה בגרף.
כדי לענות במדויק על השאלה "איך למצוא את הנקודה המקסימלית", עליך לפעול לפי ההנחיות הבאות:
תשומת הלב! חיפוש הנקודה הקריטית של פונקציה אפשרי רק אם יש נגזרת מסדר שני לפחות, המובטחת על ידי שיעור גבוה של נוכחות נקודת קיצון.
תנאי הכרחי לקיצוניות של פונקציהעל מנת שתתקיים קיצון, חשוב שיהיו גם נקודות מינימום וגם מקסימום. אם כלל זה מתקיים רק באופן חלקי, אזי התנאי לקיומו של קיצון מופר.
יש להבדיל כל פונקציה בכל עמדה כדי לזהות את המשמעויות החדשות שלה. חשוב להבין שהמקרה של נקודה שעוברת לאפס אינו העיקרון העיקרי למציאת נקודה הניתנת להבדלה.
קיצון חריף, כמו גם מינימום של פונקציה, הוא היבט חשוב ביותר בפתרון בעיה מתמטית באמצעות ערכים קיצוניים. על מנת להבין טוב יותר את הרכיב הזה, חשוב להתייחס לערכים הטבלאיים לציון הפונקציונליות.
| מחקר של משמעות מלאה | שרטוט גרף ערך |
| 1. קביעת נקודות של ערכים עולים ויורדים. 2. מציאת נקודות אי המשכיות, קיצון ומפגש עם צירי קואורדינטות. 3. תהליך קביעת שינויים במיקום בגרף. 4. קביעת המחוון והכיוון של קמור וקמור, תוך התחשבות בנוכחות אסימפטוטים. 5. יצירת טבלת סיכום מחקרית מנקודת מבט של קביעת הקואורדינטות שלה. 6. מציאת מרווחי הגדלת והירידה של נקודות קיצון וחדות. 7. קביעת קמור וקיעור של עקומה. 8. שרטוט גרף תוך התחשבות במחקר מאפשר למצוא את המינימום או המקסימום. |
המרכיב העיקרי כאשר יש צורך לעבוד עם נקודות קיצון הוא הבנייה המדויקת של הגרף שלו. מורי בית ספר לא מרבים להקדיש תשומת לב מרבית להיבט חשוב כל כך, המהווה הפרה בוטה של התהליך החינוכי. בניית גרף מתרחשת רק על סמך תוצאות של לימוד נתונים פונקציונליים, זיהוי נקודות קיצון חריפות, כמו גם נקודות על הגרף. נקודות קיצון חדות של פונקציית הנגזרת מוצגות בתרשים של ערכים מדויקים, תוך שימוש בהליך סטנדרטי לקביעת אסימפטוטות. נקודות המקסימום והמינימום של הפונקציה מלוות בבניות גרפים מורכבות יותר. הסיבה לכך היא צורך עמוק יותר להתמודד עם בעיית הקיצון החריף. כמו כן יש צורך למצוא את הנגזרת של פונקציה מורכבת ופשוטה, שכן זהו אחד המושגים החשובים ביותר בבעיית הקיצון. |
על מנת למצוא את הערך הנ"ל, עליך להקפיד על הכללים הבאים:
- לקבוע את התנאי ההכרחי ליחס קיצוני;
- לקחת בחשבון את המצב המספק של נקודות הקיצון בגרף;
- לבצע את חישוב הקיצון החריף.
נעשה שימוש גם במושגים כמו מינימום חלש ומינימום חזק. יש לקחת זאת בחשבון בעת קביעת הקיצון וחישובו המדויק. יחד עם זאת, פונקציונליות חריפה היא חיפוש ויצירה של כל התנאים הדרושים לעבודה עם הגרף של פונקציה.
ביולי 2020, נאס"א משיקה משלחת למאדים. החללית תעביר למאדים מדיום אלקטרוני עם שמות כל משתתפי המשלחת הרשומים.
ההרשמה של המשתתפים פתוחה. השג את הכרטיס שלך למאדים באמצעות הקישור הזה.
אם הפוסט הזה פתר לכם את הבעיה או שפשוט אהבתם אותו, שתפו את הקישור אליו עם חבריכם ברשתות החברתיות.
אחת מאפשרויות הקוד הללו צריכה להיות מועתקת ולהדביק בקוד של דף האינטרנט שלך, רצוי בין תגיות או מיד אחרי התג. לפי האפשרות הראשונה, MathJax נטען מהר יותר ומאט את העמוד פחות. אבל האפשרות השנייה מנטרת וטוענת אוטומטית את הגרסאות העדכניות ביותר של MathJax. אם תכניס את הקוד הראשון, יהיה צורך לעדכן אותו מעת לעת. אם תכניס את הקוד השני, הדפים ייטענו לאט יותר, אך לא תצטרך לנטר כל הזמן עדכוני MathJax.
הדרך הקלה ביותר לחבר את MathJax היא ב-Blogger או ב-WordPress: בלוח הבקרה של האתר, הוסף ווידג'ט שנועד להכניס קוד JavaScript של צד שלישי, העתק אליו את הגרסה הראשונה או השנייה של קוד ההורדה שהוצגו למעלה, והצב את הווידג'ט קרוב יותר. לתחילת התבנית (אגב, זה בכלל לא הכרחי, מכיוון שהסקריפט של MathJax נטען באופן אסינכרוני). זה הכל. כעת למד את תחביר הסימון של MathML, LaTeX ו-ASCIIMathML, ואתה מוכן להכניס נוסחאות מתמטיות לדפי האינטרנט של האתר שלך.
עוד ערב ראש השנה... מזג אוויר כפור ופתיתי שלג על זכוכית החלון... כל זה הניע אותי לכתוב שוב על... פרקטלים, ומה וולפרם אלפא יודע על כך. יש מאמר מעניין בנושא זה, המכיל דוגמאות של מבנים פרקטליים דו מימדיים. כאן נסתכל על דוגמאות מורכבות יותר של פרקטלים תלת מימדיים.
פרקטל יכול להיות מיוצג חזותי (מתואר) כדמות גיאומטרית או גוף (כלומר ששניהם הם קבוצה, במקרה זה, קבוצה של נקודות), שלפרטיה יש צורה זהה לדמות המקורית עצמה. כלומר, זהו מבנה דומה לעצמו, הבודקים את פרטיו כאשר בהגדלה, נראה אותה צורה כמו ללא הגדלה. בעוד שבמקרה של דמות גיאומטרית רגילה (לא פרקטל), בהגדלה נראה פרטים בעלי צורה פשוטה יותר מהדמות המקורית עצמה. לדוגמה, בהגדלה גבוהה מספיק, חלק מאליפסה נראה כמו קטע קו ישר. זה לא קורה עם פרקטלים: עם כל עלייה בהם, נראה שוב את אותה צורה מורכבת, שתחזור על עצמה שוב ושוב עם כל עלייה.
בנואה מנדלברוט, מייסד מדע הפרקטלים, כתב במאמרו "פרקטלים ואמנות בשם המדע": "פרקטלים הם צורות גיאומטריות מורכבות בפרטים שלהן כמו בצורתן הכוללת, כלומר, אם חלק מהפרקטל יוגדל לגודל השלם, הוא יופיע כמכלול, או בדיוק, או אולי עם דפורמציה קלה."
אפשר גם לומר שבנקודות אלו משתנה כיוון התנועה של הפונקציה: אם הפונקציה מפסיקה ליפול ומתחילה לצמוח, זו נקודת המינימום, להיפך, זו נקודת המקסימום.
המינימום והמקסימום ביחד נקראים אקסטרים של הפונקציה.במילים אחרות, כל חמש הנקודות המודגשות בגרף למעלה הן קיצוניות.
הודות לכך, מציאת הנקודות הללו אינה בעיה, גם אם אין לך גרף של הפונקציה.
תשומת הלב! כשהם כותבים קיצוניותאו מקסימום/מינימום פירושם ערך הפונקציה כלומר. \(y\). כשהם כותבים נקודות קיצוןאו נקודות של מקסימום/מינימום פירושם האיקסים שבהם מגיעים למקסימום/מינימום. לדוגמה, באיור שלמעלה, \(-5\) היא נקודת המינימום (או נקודת הקיצון), ו-\(1\) היא המינימום (או הקיצון).
כיצד למצוא את נקודות הקיצון של פונקציה מתוך גרף הנגזרת (משימה 7 של בחינה מאוחדת)?בואו נמצא יחד את מספר נקודות הקיצון של פונקציה באמצעות גרף הנגזרת באמצעות דוגמה:
קיבלנו גרף, כלומר אנחנו מחפשים באילו נקודות בגרף הנגזרת שווה לאפס. ברור, אלו הן הנקודות \(-13\), \(-11\), \(-9\), \(-7\) ו-\(3\). מספר נקודות הקיצון של הפונקציה הוא \(5\).
תשומת הלב! אם ניתן לוח זמנים נגזרפונקציות, אבל אתה צריך למצוא נקודות קיצון של הפונקציה, אנחנו לא סופרים את המקסימום והמינימום של הנגזרת! אנו סופרים את הנקודות שבהן הנגזרת של הפונקציה נעלמת (כלומר, חותכת את ציר \(x\)).
כדי לענות על שאלה זו, עליך לזכור שני כללים חשובים נוספים:
- הנגזרת חיובית כאשר הפונקציה גדלה.- הנגזרת שלילית כאשר הפונקציה יורדת.
בעזרת כללים אלה, בואו נמצא את נקודות המינימום והמקסימום של הפונקציה בגרף הנגזרת.
ברור שיש לחפש מינימום ומקסימום בין נקודות הקיצון, כלומר. בין \(-13\), \(-11\), \(-9\), \(-7\) ו-\(3\).
כדי להקל על פתרון הבעיה, נניח במקום הראשון סימני פלוס ומינוס באיור, המציינים את הסימן של הנגזרת. ואז חיצים - מציינים פונקציות הולכות ופוחתות.
נתחיל ב-\(-13\): עד \(-13\) הנגזרת חיובית, כלומר. הפונקציה גדלה, ואז הנגזרת שלילית כלומר. הפונקציה קורסת. אם אתה מדמיין את זה, יתברר ש-\(-13\) היא נקודת המקסימום.
\(-11\): הנגזרת תחילה חיובית ואחר כך שלילית, כלומר הפונקציה גדלה ואז יורדת. שוב, נסה לצייר את זה מנטלית ויהיה ברור לך ש-\(-11\) הוא המינימום.
\(- 9\): הפונקציה גדלה ואז יורדת - מקסימום.
\(-7\): מינימום.
\(3\): מקסימום.
ניתן לסכם את כל האמור לעיל במסקנות הבאות:
- לפונקציה יש מקסימום שבו הנגזרת היא אפס ומשנה סימן מפלוס למינוס.- לפונקציה יש מינימום שבו הנגזרת היא אפס ומשנה סימן ממינוס לפלוס. כיצד למצוא את הנקודות של מקסימום ומינימום אם הנוסחה של הפונקציה ידועה (משימה 12 של בחינת המדינה המאוחדת)?
כדי לענות על שאלה זו, עליך לעשות כמו בפסקה הקודמת: למצוא היכן הנגזרת חיובית, היכן היא שלילית ואיפה היא אפס. כדי להבהיר את זה, אכתוב אלגוריתם עם דוגמה לפתרון:
- אם \(f'(x)\) שינה את הסימן מ-\(+\)" ל-\(-\)", אז \(x_1\) היא הנקודה המקסימלית;
- אם \(f'(x)\) שינה את הסימן מ-\(-\)" ל-\(+\)", אז \(x_3\) היא נקודת המינימום;
- אם \(f'(x)\) לא שינה סימן, אז \(x_2\) עשויה להיות נקודת פיתול.
את כל! נמצאו נקודות המקסימום והמינימום.
כאשר מתארים נקודות על הציר שבהן הנגזרת שווה לאפס, ניתן להתעלם מהסקאלה. ניתן להציג את התנהגות הפונקציה כפי שמוצג באיור למטה. כך יהיה ברור יותר איפה המקסימום ואיפה המינימום.
דוגמא(להשתמש). מצא את הנקודה המקסימלית של הפונקציה \(y=3x^5-20x^3-54\).
פִּתָרוֹן:
1. מצא את הנגזרת של הפונקציה: \(y"=15x^4-60x^2\).
2. נשווה אותו לאפס ונפתור את המשוואה:
\(15x^4-60x^2=0\) \(|:15\)
\(x^4-4x^2=0\)
\(x^2 (x^2-4)=0\)
\(x=0\) \(x^2-4=0\)
\(x=±2\)
3. – 6. בואו נשרטט את הנקודות על קו המספרים ונקבע כיצד הסימן של הנגזרת משתנה וכיצד הפונקציה נעה:
כעת ברור שהנקודה המקסימלית היא \(-2\).
תשובה. \(-2\).
לפני שתלמדו כיצד למצוא נקודות קיצון של פונקציה, עליכם להבין מהו קיצון. ההגדרה הכללית ביותר של קיצון היא שזהו, כפי שהוא משמש במתמטיקה, הערך הקטן או הגדול ביותר של פונקציה על קבוצה מסוימת של קו מספרים או גרף. במקום שבו נמצא המינימום מופיע הקיצון המינימלי, ובמקום שבו נמצא המקסימום מופיע הקיצון המקסימלי. גם בדיסציפלינה כמו ניתוח מתמטי, מזוהות קצוות מקומיות של פונקציה. עכשיו בואו נסתכל כיצד למצוא נקודות קיצון.
אקסטרמה במתמטיקה הם בין המאפיינים החשובים ביותר של פונקציה הם מציגים את הערכים הגדולים והקטנים ביותר שלה. הקיצוניות נמצאות בעיקר בנקודות הקריטיות של הפונקציות שנמצאות. ראוי לציין כי בנקודת הקיצון הפונקציה משנה את כיוונה באופן קיצוני. אם מחשבים את הנגזרת של נקודת הקיצון, אז לפי ההגדרה היא צריכה להיות שווה לאפס או שתהיה נעדרת לחלוטין. לפיכך, כדי לגלות כיצד למצוא את הקצה הקיצוני של פונקציה, עליך לבצע שתי משימות עוקבות:
- מצא את הנגזרת לפונקציה שצריכה להיקבע על ידי המשימה;
- למצוא את שורשי המשוואה.
לסיכום הידע שנצבר, ניצור אלגוריתם קצר כיצד למצוא נקודות קיצון.
אז, בדקנו איך למצוא את נקודות הקיצון של פונקציה. בעזרת חישובים פשוטים, כמו גם ידע במציאת נגזרות, ניתן למצוא כל נקודת קיצון ולחשב אותה, וכן לציין אותה בצורה גרפית. מציאת אקסטרים היא אחד הסעיפים החשובים ביותר במתמטיקה, הן בבית הספר והן בהשכלה הגבוהה, לכן, אם תלמד לזהות אותם נכון, הלימוד יהפוך להרבה יותר קל ומעניין.
כפי שאתה יכול לראות, סימן זה של קיצון של פונקציה מחייב קיומה של נגזרת לפחות לסדר השני בנקודה.
דוגמא.
מצא את הקיצוניות של הפונקציה.
פִּתָרוֹן.
נתחיל מתחום ההגדרה: 
בואו נבדיל את הפונקציה המקורית: 
x=1, כלומר, זו נקודת קיצון אפשרית. נמצא את הנגזרת השנייה של הפונקציה ונחשב את ערכה ב x = 1:
לכן, לפי התנאי השני מספיק לקיצוניות, x=1- נקודת מקסימום. לאחר מכן 
- תפקוד מקסימלי.
איור גרפי.
תשובה:
תן לתפקד y=f(x)יש נגזרות עד נ-הסדר בשכונת הנקודה והנגזרות עד n+1הסדר בנקודה עצמה. תן לזה להיות.
דוגמא.
מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה 
.
פִּתָרוֹן.
הפונקציה המקורית היא פונקציה שלמה רציונלית תחום ההגדרה שלה הוא כל קבוצת המספרים הממשיים.
בואו נבדיל את הפונקציה: 
הנגזרת עוברת לאפס בשעה 
לכן, אלו נקודות קיצון אפשריות. הבה נשתמש בתנאי המספיק השלישי עבור קיצון.
נמצא את הנגזרת השנייה ונחשב את ערכה בנקודות קיצון אפשריות (נשמיט חישובי ביניים): 
כתוצאה מכך, היא נקודת המקסימום (עבור הסימן השלישי מספיק לקיצוניות שיש לנו n=1וגם).
כדי לברר את אופי הנקודות 
נמצא את הנגזרת השלישית ונחשב את ערכה בנקודות הבאות: 
לכן, האם נקודת הפיתול של הפונקציה ( n=2וגם).
נותר להתמודד עם הנקודה. אנו מוצאים את הנגזרת הרביעית ומחשבים את ערכה בנקודה זו: 
לכן, היא נקודת המינימום של הפונקציה.
איור גרפי.
תשובה:
נקודת המקסימום היא נקודת המינימום של הפונקציה.
10. אקסטרמה של פונקציה הגדרת קיצוןהפונקציה y = f(x) נקראת גָדֵל (פּוֹחֵת) במרווח מסוים, אם עבור x 1< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x 2)).
אם הפונקציה הניתנת להפרדה y = f(x) גדלה (יורדת) במרווח, אז הנגזרת שלה במרווח זה f " (x) 0
(f" (x) 0).
נְקוּדָה איקס Oשקוראים לו נקודת מקסימום מקומית (מִינִימוּם) פונקציה f(x), אם יש שכונה של הנקודה איקס O, עבור כל הנקודות שבהן אי השוויון f(x) ≤ f(x о) (f(x) ≥ f(x о)) נכון.
נקודות המקסימום והמינימום נקראות נקודות קיצון, והערכים של הפונקציה בנקודות אלו הם שלה קיצוניות.
נקודות קיצוןתנאים הכרחיים לקיצוניות. אם הנקודה איקס Oהיא נקודת קיצון של הפונקציה f(x), אז או f " (x o) = 0, או f (x o) לא קיימות. נקודות כאלה נקראות קריטי,והפונקציה עצמה מוגדרת בנקודה הקריטית. יש לחפש את הקיצוניות של פונקציה בין הנקודות הקריטיות שלה.
התנאי הראשון המספיק.לתת איקס O- נקודה קריטית. אם f "(x) בעת מעבר דרך נקודה איקס Oמשנה את סימן הפלוס למינוס, ואז בנקודה איקס Oלפונקציה יש מקסימום, אחרת יש לה מינימום. אם, כאשר עוברים דרך הנקודה הקריטית, הנגזרת לא משנה סימן, אז בנקודה איקס Oאין קיצוניות.
תנאי שני מספיק.תן לפונקציה f(x) נגזרת f " (x) בקרבת הנקודה איקס Oוהנגזרת השנייה בנקודה עצמה איקס O. אם f "(x o) = 0, >0 (
