שטף וקטור אינדוקציה אלקטרוסטטי. זרימת וקטור אינדוקציה חשמלית. גזירת משפט אוסטרוגרדסקי-גאוס

הבה נבחן כיצד הערך של וקטור E משתנה בממשק בין שני מדיה, למשל אוויר (ε 1) ומים (ε = 81). עוצמת השדה במים פוחתת בפתאומיות בפקטור של 81. התנהגות וקטורית זו היוצר אי נוחות מסוימות בעת חישוב שדות בסביבות שונות. כדי למנוע אי נוחות זו, הוכנס וקטור חדש ד- וקטור של אינדוקציה או תזוזה חשמלית של השדה. חיבור וקטור דו הנראה כמו

ד = ε ε 0 ה.

ברור, עבור שדה של מטען נקודתי התזוזה החשמלית תהיה שווה ל

קל לראות שהתזוזה החשמלית נמדדת ב-C/m2, אינה תלויה במאפיינים ומיוצגת גרפית על ידי קווים הדומים לקווי מתח.

כיוון קווי השדה מאפיין את כיוון השדה במרחב (קווי שדה, כמובן, אינם קיימים, הם מוכנסים לשם נוחות ההמחשה) או כיוון וקטור עוצמת השדה. באמצעות קווי עוצמה, ניתן לאפיין לא רק את הכיוון, אלא גם את גודל עוצמת השדה. לשם כך, הוסכם לבצע אותם בצפיפות מסוימת, כך שמספר קווי המתח הפורצים משטח יחידה בניצב לקווי המתח יהיה פרופורציונלי למודול הווקטור. ה(איור 78). ואז מספר הקווים החודרים לאזור היסודי dS, הנורמלי אליו ניוצר זווית α עם הווקטור ה, שווה ל-E dScos α = E n dS,

כאשר E n הוא הרכיב הוקטור הלכיוון הרגיל נ. הערך dФ E = E n dS = הד סשקוראים לו זרימת וקטור המתח דרך האתרד ס(ד ס= dS נ).

עבור משטח סגור שרירותי S זרימת הווקטור הדרך משטח זה שווה

לביטוי דומה יש את הזרימה של וקטור התזוזה החשמלי Ф D

.

משפט אוסטרוגרדסקי-גאוס

משפט זה מאפשר לנו לקבוע את זרימת הוקטורים E ו-D מכל מספר של מטענים. ניקח מטען נקודתי Q ונגדיר את השטף של הווקטור הדרך משטח כדורי ברדיוס r, שבמרכזו הוא ממוקם.

עבור משטח כדורי α = 0, cos α = 1, E n = E, S = 4 πr 2 ו

Ф E = E · 4 πr 2.

החלפת הביטוי ב-E נקבל

לפיכך, מכל מטען נקודתי יוצאת זרימה של וקטור F E השווה ל-Q/ε 0. הכללת מסקנה זו למקרה הכללי של מספר שרירותי של מטענים נקודתיים, אנו נותנים את הניסוח של המשפט: הזרימה הכוללת של הווקטור הדרך משטח סגור בעל צורה שרירותית שווה מספרית לסכום האלגברי של המטענים החשמליים הכלולים בתוך משטח זה, חלקי ε 0, כלומר.

לשטף וקטור התזוזה החשמלי דאתה יכול לקבל נוסחה דומה

השטף של וקטור האינדוקציה דרך משטח סגור שווה לסכום האלגברי של המטענים החשמליים המכוסים על ידי משטח זה.

אם ניקח משטח סגור שאינו חובק מטען, אז כל שורה הו דיחצה את המשטח הזה פעמיים - בכניסה וביציאה, כך שהשטף הכולל מתברר כאפס. כאן יש צורך לקחת בחשבון את הסכום האלגברי של הקווים הנכנסים והיוצאים.

יישום משפט אוסטרוגרדסקי-גאוס לחישוב שדות חשמליים שנוצרו על ידי מישורים, כדורים וגליל

משטח כדורי ברדיוס R נושא מטען Q, המופץ באופן אחיד על פני המשטח עם צפיפות פני השטח σ

ניקח את נקודה A מחוץ לכדור במרחק r מהמרכז ונצייר כדור ברדיוס r מטען סימטרי (איור 79). השטח שלו הוא S = 4 πr 2. השטף של וקטור E יהיה שווה ל

לפי משפט אוסטרוגרדסקי-גאוס
, ומכאן,
אם לוקחים בחשבון ש-Q = σ 4 πr 2, נקבל

עבור נקודות הממוקמות על פני השטח של כדור (R = r)

ד עבור נקודות הממוקמות בתוך כדור חלול (אין מטען בתוך הכדור), E = 0.

2 . משטח גלילי חלול עם רדיוס R ואורך לטעון בצפיפות מטען קבועה על פני השטח
(איור 80). הבה נצייר משטח גלילי קואקסיאלי ברדיוס r > R.

וקטור זרימה הדרך המשטח הזה

לפי משפט גאוס

השוואת הצדדים הימניים של השוויון לעיל, נקבל

.

אם ניתנת צפיפות המטען הליניארית של הגליל (או חוט דק).
זֶה

3. שדה של מישורים אינסופיים עם צפיפות מטען פני השטח σ (איור 81).

בואו ניקח בחשבון את השדה שנוצר על ידי מישור אינסופי. משיקולי סימטריה עולה כי לעוצמה בכל נקודה בשדה יש ​​כיוון מאונך למישור.

בנקודות סימטריות E יהיה זהה בגודלו והפוך בכיוון.

הבה נבנה מחשבתית את פני השטח של גליל עם בסיס ΔS. אז תצא זרימה דרך כל אחד מבסיסי הגליל

F E = E ΔS, והזרימה הכוללת דרך המשטח הגלילי תהיה שווה ל-F E = 2E ΔS.

בתוך המשטח יש מטען Q = σ · ΔS. לפי משפט גאוס, זה חייב להיות נכון

איפה

התוצאה המתקבלת אינה תלויה בגובה הגליל הנבחר. לפיכך, עוצמת השדה E בכל מרחק זהה בגודלה.

עבור שני מישורים טעונים שונים עם אותה צפיפות מטען פני השטח σ, לפי עקרון הסופרפוזיציה, מחוץ לרווח שבין המישורים עוצמת השדה היא אפס E = 0, וברווח שבין המישורים
(איור 82א). אם המטוסים טעונים במטענים דומים בעלי אותה צפיפות מטען פני השטח, נצפית התמונה ההפוכה (איור 82b). ברווח שבין המישורים E = 0, וברווח שמחוץ למישורים
.

המשימה המיושמת העיקרית של אלקטרוסטטיקה היא חישוב של שדות חשמליים שנוצרו במכשירים והתקנים שונים. באופן כללי, בעיה זו נפתרת באמצעות חוק קולומב ועקרון הסופרפוזיציה. עם זאת, משימה זו הופכת מסובכת מאוד כאשר בוחנים מספר רב של מטענים נקודתיים או מפוזרים במרחב. קשיים גדולים עוד יותר מתעוררים כאשר יש דיאלקטריות או מוליכים בחלל, כאשר בהשפעת שדה חיצוני E 0 מתרחשת חלוקה מחדש של מטענים מיקרוסקופיים, ויוצרים שדה נוסף משלהם E. לכן, כדי לפתור את הבעיות הללו באופן מעשי, שיטות וטכניקות עזר הן משמשים שמשתמשים במנגנון מתמטי מורכב. נשקול את השיטה הפשוטה ביותר המבוססת על יישום משפט אוסטרוגרדסקי-גאוס. כדי לנסח משפט זה, אנו מציגים מספר מושגים חדשים:

א) צפיפות מטען

אם הגוף הטעון גדול, אז אתה צריך לדעת את התפלגות המטענים בתוך הגוף.

צפיפות מטען נפח- נמדד לפי המטען ליחידת נפח:

צפיפות מטען פני השטח- נמדד לפי המטען ליחידת משטח של גוף (כאשר המטען מופץ על פני השטח):

צפיפות מטען ליניארית(חלוקת המטען לאורך המוליך):

ב) וקטור אינדוקציה אלקטרוסטטית

וקטור של אינדוקציה אלקטרוסטטית (וקטור תזוזה חשמלית) היא כמות וקטורית המאפיינת את השדה החשמלי.

וֶקטוֹר שווה למכפלת הווקטור על הקבוע הדיאלקטרי המוחלט של המדיום בנקודה נתונה:

בוא נבדוק את הממד דביחידות SI:

, כי
,

אז הממדים D ו-E אינם חופפים, וגם הערכים המספריים שלהם שונים.

מתוך ההגדרה מכאן נובע שעבור השדה הווקטורי אותו עיקרון של סופרפוזיציה חל כמו על השדה :

שדה מיוצג גרפי על ידי קווי אינדוקציה, בדיוק כמו השדה . קווי האינדוקציה מצוירים כך שהמשיק בכל נקודה עולה בקנה אחד עם הכיוון , ומספר השורות שווה לערך המספרי של D במיקום נתון.

להבין את משמעות ההקדמה בואו נסתכל על דוגמה.

V) שטף וקטור אינדוקציה אלקטרוסטטית

שקול את פני השטח S בשדה חשמלי ובחר את כיוון הנורמלי

1. אם השדה אחיד, אזי מספר קווי השדה דרך פני השטח S:

2. אם השדה אינו אחיד, אזי פני השטח מחולקים לאלמנטים אינפיניטסימליים dS, הנחשבים שטוחים והשדה סביבם אחיד. לכן, השטף דרך אלמנט פני השטח הוא: dN = D n dS,

והזרימה הכוללת דרך כל משטח היא:

(6)

שטף אינדוקציה N הוא כמות סקלרית; בהתאם  יכול להיות > 0 או< 0, или = 0.

כאשר ישנם חיובים רבים, מתעוררים קשיים מסוימים בעת חישוב שדות.

משפט גאוס עוזר להתגבר עליהם. המהות משפט גאוסמסתכם עד להלן: אם מספר שרירותי של מטענים מוקפים נפשית על פני משטח סגור, אז ניתן לכתוב את זרימת חוזק השדה החשמלי דרך אזור אלמנטרי DS כ- db מישור ווקטור הכוח . (איור 12.7)

השטף הכולל דרך המשטח כולו יהיה שווה לסכום השטפים מכל המטענים המחולקים באקראי בתוכו ופרופורציונלי לגודל המטען הזה

(12.9)

הבה נקבע את זרימת וקטור העוצמה דרך משטח כדורי ברדיוס r, שבמרכזו נמצא מטען נקודתי +q (איור 12.8). קווי המתח מאונכים לפני השטח של הכדור, α = 0, ולכן cosα = 1. אז

אם השדה נוצר על ידי מערכת מטענים, אז

משפט גאוס: הזרימה של וקטור חוזק השדה האלקטרוסטטי בוואקום דרך כל משטח סגור שווה לסכום האלגברי של המטענים הכלולים בתוך משטח זה, חלקי הקבוע החשמלי.

(12.10)

אם אין מטענים בתוך הכדור, אז Ф = 0.

משפט גאוס מקל יחסית לחשב שדות חשמליים עבור מטענים מפוזרים סימטרית.

הבה נציג את הרעיון של צפיפות המטענים המבוזרים.

צפיפות לינארית מסומנת τ ומאפיינת את המטען q ליחידת אורך ℓ. באופן כללי, ניתן לחשב אותו באמצעות הנוסחה

(12.11)

עם חלוקה אחידה של מטענים, הצפיפות הליניארית שווה ל

צפיפות פני השטח מסומנת על ידי σ ומאפיינת את המטען q ליחידת שטח S. באופן כללי, היא נקבעת על ידי הנוסחה

(12.12)

עם חלוקה אחידה של מטענים על פני השטח, צפיפות פני השטח שווה ל

צפיפות הנפח מסומנת על ידי ρ ומאפיינת את המטען q ליחידת נפח V. באופן כללי, היא נקבעת על ידי הנוסחה

(12.13)

עם חלוקה אחידה של מטענים, זה שווה ל
.

מכיוון שהמטען q מופץ באופן אחיד על הכדור, אז

σ = const. בוא ניישם את משפט גאוס. הבה נצייר כדור ברדיוס דרך נקודה A. זרימת וקטור המתח באיור 12.9 דרך משטח כדורי ברדיוס שווה ל-cosα = 1, שכן α = 0. לפי משפט גאוס,
.

אוֹ

(12.14)

מביטוי (12.14) עולה שעוצמת השדה מחוץ לכדור הטעון זהה לעוצמת השדה של מטען נקודתי המוצב במרכז הכדור. על פני הכדור, כלומר. r 1 = r 0, מתח
.

בתוך הכדור r 1< r 0 (рис.12.9) напряжённость Е = 0, так как сфера радиусом r 2 внутри никаких зарядов не содержит и, по теореме Гаусса, поток вектора сквозь такую сферу равен нулю.

גליל ברדיוס r 0 טעון באופן אחיד בצפיפות פני השטח σ (איור 12.10). בוא נקבע את עוצמת השדה בנקודה A שנבחרה באופן שרירותי. נצייר משטח גלילי דמיוני ברדיוס R ואורך ℓ דרך נקודה A. עקב סימטריה, הזרימה תצא רק דרך משטחי הצד של הגליל, שכן המטענים על הגליל ברדיוס r 0 מפוזרים באופן שווה על פני השטח שלו, כלומר. קווי המתח יהיו קווים ישרים רדיאליים, מאונכים למשטחים הצדדיים של שני הגלילים. מכיוון שהזרימה דרך בסיס הגלילים היא אפס (cos α = 0), והמשטח הרוחבי של הגליל מאונך לקווי הכוח (cos α = 1), אז

אוֹ

(12.15)

הבה נבטא את הערך של E דרך σ - צפיפות פני השטח. א-קדמורי,

לָכֵן,

בואו נחליף את הערך של q בנוסחה (12.15)

(12.16)

לפי ההגדרה של צפיפות ליניארית,
, איפה
; אנו מחליפים את הביטוי הזה בנוסחה (12.16):

(12.17)

הָהֵן. עוצמת השדה שנוצרת על ידי גליל טעון ארוך לאין שיעור היא פרופורציונלית לצפיפות המטען הליניארית ופרופורציונלית הפוך למרחק.

עוצמת שדה שנוצרה על ידי מישור טעון אחיד אינסופי

הבה נקבע את עוצמת השדה שנוצרת על ידי מישור בעל מטען אחיד אינסופי בנקודה A. נניח לצפיפות המטען פני השטח של המישור להיות שווה ל-σ. כמשטח סגור, נוח לבחור גליל שצירו מאונך למישור, ובסיסו הימני מכיל נקודה A. המישור מחלק את הגליל לשניים. ברור שקווי הכוח מאונכים למישור ומקבילים למשטח הצד של הגליל, כך שהזרימה כולה עוברת רק דרך בסיס הגליל. בשני הבסיסים עוצמת השדה זהה, כי נקודות A ו-B הן סימטריות ביחס למישור. ואז הזרימה דרך בסיס הגליל שווה ל

לפי משפט גאוס,

כי
, זה
, איפה

(12.18)

לפיכך, עוצמת השדה של מישור טעון אינסופי פרופורציונלית לצפיפות המטען של פני השטח ואינה תלויה במרחק מהמישור. לכן, שדה המטוס אחיד.

חוזק שדה שנוצר על ידי שני מישורים מקבילים בעלי מטען הפוך בצורה אחידה

השדה שנוצר על ידי שני מישורים נקבע על ידי עקרון הסופרפוזיציה של השדה:
(איור 12.12). השדה שנוצר על ידי כל מישור הוא אחיד, עוצמות השדות הללו שוות בגודלן, אך מנוגדות בכיוון:
. על פי עקרון הסופרפוזיציה, עוצמת השדה הכוללת מחוץ למישור היא אפס:

בין המישורים, לעוצמות השדה יש ​​את אותם כיוונים, כך שהחוזק המתקבל שווה ל

לפיכך, השדה בין שני מישורים טעונים שונים הוא אחיד ועוצמתו חזקה פי שניים מעוצמת השדה שנוצרה על ידי מישור אחד. אין שדה משמאל ומימין למטוסים. לשדה של מישורים סופיים יש את אותה צורה; באמצעות הנוסחה המתקבלת, אתה יכול לחשב את השדה בין הלוחות של קבל שטוח.

משפט גאוס לאינדוקציה חשמלית (תזוזה חשמלית)[

עבור שדה במדיום דיאלקטרי, ניתן לכתוב את המשפט האלקטרוסטטי של גאוס בדרך אחרת (באופן חלופי) - דרך זרימת וקטור התזוזה החשמלי (אינדוקציה חשמלית). במקרה זה, הניסוח של המשפט הוא כדלקמן: זרימת וקטור התזוזה החשמלי דרך משטח סגור פרופורציונלית למטען החשמלי החופשי הכלול בתוך משטח זה:

בצורה דיפרנציאלית:

משפט גאוס לאינדוקציה מגנטית

השטף של וקטור האינדוקציה המגנטי דרך כל משטח סגור הוא אפס:

או בצורה דיפרנציאלית

זה שווה ערך לעובדה שבטבע אין "מטענים מגנטיים" (מונופולים) שיצרו שדה מגנטי, כמו שמטענים חשמליים יוצרים שדה חשמלי. במילים אחרות, משפט גאוס לאינדוקציה מגנטית מראה שהשדה המגנטי הוא (לגמרי) מְעַרבּוֹלֶת.

משפט גאוס לכוח הכבידה הניוטוני

לגבי עוצמת השדה של כוח המשיכה הניוטוני (תאוצת כבידה), משפט גאוס עולה בקנה אחד עם זה באלקטרוסטטיקה, למעט קבועים בלבד (עם זאת, עדיין תלוי בבחירה השרירותית של מערכת היחידות) והכי חשוב, הסימן:

איפה ז- חוזק שדה כבידה, M- מטען כבידה (כלומר מסה) בתוך פני השטח ס, ρ - צפיפות מסה, G- קבוע ניוטוני.

מוליכים בשדה חשמלי. שדה בתוך מוליך ועל פני השטח שלו.

מוליכים הם גופים שדרכם יכולים לעבור מטענים חשמליים מגוף טעון לגוף לא טעון.יכולתם של מוליכים להעביר מטענים חשמליים דרך עצמם מוסברת בנוכחותם של נושאי מטען חופשיים בהם. מוליכים - גופי מתכת במצב מוצק ונוזל, תמיסות נוזליות של אלקטרוליטים. המטענים החופשיים של מוליך המוכנסים לשדה חשמלי מתחילים לנוע תחת השפעתו. חלוקה מחדש של המטענים גורמת לשינוי בשדה החשמלי. כאשר עוצמת השדה החשמלי במוליך הופכת לאפס, האלקטרונים מפסיקים לנוע. התופעה של הפרדת מטענים לא דומים במוליך המוצב בשדה חשמלי נקראת אינדוקציה אלקטרוסטטית. אין שדה חשמלי בתוך המוליך. זה משמש להגנה אלקטרוסטטית - הגנה באמצעות מוליכים מתכתיים משדה חשמלי. פני השטח של גוף מוליך בכל צורה בשדה חשמלי הם משטח שווי פוטנציאל.

קבלים

כדי להשיג מכשירים שבפוטנציאל נמוך ביחס למדיום יצברו (עיבוי) מטענים בולטים על עצמם, הם משתמשים בעובדה שהקיבולת החשמלית של מוליך גדלה ככל שגופים אחרים מתקרבים אליו. אכן, בהשפעת השדה שנוצר על ידי מוליכים טעונים, מטענים מושרים (על המוליך) או קשורים (על הדיאלקטרי) מופיעים על גוף המובא אליו (איור 15.5). מטענים הפוכים בסימן למטען של המוליך q ממוקמים קרוב יותר למוליך מאשר אלה בעלי אותו שם עם q, ולכן יש להם השפעה רבה על הפוטנציאל שלו.

לכן, כאשר גוף כלשהו מתקרב למוליך טעון, עוצמת השדה פוחתת, וכתוצאה מכך, הפוטנציאל של המוליך פוחת. לפי המשוואה, משמעות הדבר היא עלייה בקיבול המוליך.

הקבל מורכב משני מוליכים (לוחות) (איור 15.6), המופרדים על ידי שכבה דיאלקטרית. כאשר הפרש פוטנציאל מסוים מוחל על מוליך, הלוחות שלו נטענים במטענים שווים של סימן הפוך. הקיבולת החשמלית של קבל מובנת כגודל פיזיקאלי פרופורציונלי למטען q והוא ביחס הפוך להפרש הפוטנציאל בין הלוחות

הבה נקבע את הקיבול של קבל שטוח.

אם שטח הלוח הוא S והמטען עליו הוא q, אז עוצמת השדה בין הלוחות

מצד שני, ההבדל הפוטנציאלי בין הלוחות נובע

אנרגיה של מערכת מטענים נקודתיים, מוליך טעון וקבל.

לכל מערכת מטענים יש אנרגיית אינטראקציה פוטנציאלית כלשהי, ששווה לעבודה שהושקעה ביצירת מערכת זו. אנרגיה של מערכת מטענים נקודתיים ש 1 , ש 2 , ש 3 ,… ש נמוגדר כדלקמן:

איפה φ 1 - פוטנציאל של השדה החשמלי שנוצר על ידי כל המטענים למעט ש 1 בנקודה שבה נמצא המטען ש 1 וכו'. אם תצורת מערכת המטענים משתנה, אז גם האנרגיה של המערכת משתנה. כדי לשנות את תצורת המערכת, יש לבצע עבודה.

ניתן לחשב את האנרגיה הפוטנציאלית של מערכת מטענים נקודתיים בדרך אחרת. אנרגיה פוטנציאלית של שני מטענים נקודתיים ש 1 , ש 2 במרחק אחד מהשני שווה. אם ישנם מספר מטענים, אזי ניתן להגדיר את האנרגיה הפוטנציאלית של מערכת מטענים זו כסכום האנרגיות הפוטנציאליות של כל זוגות המטענים שניתן להרכיב עבור מערכת זו. אז, עבור מערכת של שלושה מטענים חיוביים, האנרגיה של המערכת שווה ל

אנרגיה של מוליך בודד וקבל טעונים

אם למוליך מבודד יש מטען q, אז יש סביבו שדה חשמלי, שהפוטנציאל שלו על פני המוליך שווה ל , והקיבול הוא C. הבה נגדיל את המטען בכמות dq. בעת העברת מטען dq מאינסוף, יש לבצע עבודה שווה ל . אבל הפוטנציאל של השדה האלקטרוסטטי של מוליך נתון באינסוף הוא אפס. לאחר מכן

בעת העברת מטען dq ממוליך לאינסוף, אותה עבודה נעשית על ידי כוחות השדה האלקטרוסטטי. כתוצאה מכך, כאשר המטען של המוליך גדל בכמות dq, האנרגיה הפוטנציאלית של השדה עולה, כלומר.

על ידי שילוב ביטוי זה, אנו מוצאים את האנרגיה הפוטנציאלית של השדה האלקטרוסטטי של מוליך טעון כאשר המטען שלו גדל מאפס ל-q:

ביישום היחס, נוכל לקבל את הביטויים הבאים עבור האנרגיה הפוטנציאלית W:

עבור קבל טעון, הפרש הפוטנציאל (מתח) שווה לכן, היחס עבור האנרגיה הכוללת של השדה האלקטרוסטטי שלו יש את הצורה

הבה נציג את הרעיון של זרימת וקטור אינדוקציה חשמלית. בואו ניקח בחשבון אזור אינפיניטסימלי. ברוב המקרים, יש צורך לדעת לא רק את גודל האתר, אלא גם את האוריינטציה שלו במרחב. הבה נציג את המושג של וקטור-אזור. הבה נסכים שבווקטור שטח אנו מתכוונים לוקטור המכוון בניצב לשטח ושווה מספרית לגודל השטח.

איור 1 - לקראת הגדרת הווקטור - אתר

בואו נקרא לזרימה הווקטורית דרך הפלטפורמה
מכפלת נקודה של וקטורים ו
. לכן,

וקטור זרימה דרך משטח שרירותי נמצא על ידי שילוב כל הזרימות היסודיות

(4)

אם השדה אחיד והמשטח שטוח ממוקם בניצב לשדה, אז:

. (5)

הביטוי הנתון קובע את מספר קווי הכוח הפורצים את האתר ליחידת זמן.

משפט אוסטרוגרדסקי-גאוס. סטיית חוזק שדה חשמלי

זרימת וקטור אינדוקציה חשמלית דרך משטח סגור שרירותי שווה לסכום האלגברי של מטענים חשמליים חופשיים , מכוסה על ידי משטח זה

(6)

ביטוי (6) מייצג את משפט O-G בצורה אינטגרלית. משפט 0-Г פועל עם האפקט האינטגרלי (סה"כ), כלומר. אם
לא ידוע אם זה אומר היעדר מטענים בכל הנקודות של החלק הנחקר של המרחב, או שסכום המטענים החיוביים והשליליים הממוקמים בנקודות שונות של המרחב הזה שווה לאפס.

כדי למצוא את המטענים הממוקמים וגודלם בשדה נתון, יש צורך בקשר המקשר את וקטור האינדוקציה החשמלית בנקודה נתונה עם מטען באותה נקודה.

נניח שעלינו לקבוע את נוכחות המטען בנקודה מסוימת א(איור 2)

איור 2 - לחישוב סטייה וקטורית

בואו ליישם את משפט O-G. זרימת וקטור האינדוקציה החשמלי דרך משטח שרירותי המגביל את הנפח בו ממוקמת הנקודה א, שווה

ניתן לכתוב את הסכום האלגברי של מטענים בכרך כאינטגרל נפח

(7)

איפה - טעינה ליחידת נפח ;

- אלמנט של נפח.

להשיג את הקשר בין השדה למטען בנקודה מסוימת אנפחית את הנפח על ידי כיווץ פני השטח לנקודה א. במקרה זה, אנו מחלקים את שני הצדדים של השוויון שלנו בערך . עוברים אל הגבול, אנו מקבלים:

.

הצד הימני של הביטוי המתקבל הוא, בהגדרה, צפיפות המטען הנפחית בנקודה הנחשבת במרחב. הצד השמאלי מייצג את גבול היחס בין השטף של וקטור האינדוקציה החשמלי דרך משטח סגור לנפח התחום על ידי משטח זה, כאשר הנפח שואף לאפס. כמות סקלרית זו היא מאפיין חשוב של השדה החשמלי ונקראת סטייה וקטורית .

לכן:

,

לָכֵן

, (8)

איפה - צפיפות מטען נפח.

באמצעות הקשר הזה, הבעיה ההפוכה של האלקטרוסטטיקה נפתרת פשוט, כלומר. מציאת חיובים מבוזרים על פני שדה ידוע.

אם הווקטור נתון, כלומר תחזיותיו ידועות
,
,
על צירי הקואורדינטות כפונקציה של הקואורדינטות וכדי לחשב את הצפיפות המפוזרת של מטענים שיצרו שדה נתון, מסתבר שמספיק למצוא את הסכום של שלוש נגזרות חלקיות של תחזיות אלו ביחס למשתנים המתאימים. באותן נקודות שעבורן
ללא חיובים. בנקודות שבהן
חיובי, יש מטען חיובי עם צפיפות נפח שווה ל
, ובאותן נקודות שבהן
יהיה בעל ערך שלילי, יש מטען שלילי, שצפיפותו נקבעת גם על ידי ערך הסטייה.

ביטוי (8) מייצג את משפט 0-Г בצורה דיפרנציאלית. בצורה זו המשפט מראה זאת שמקורות השדה החשמלי הם מטענים חשמליים חופשיים;קווי השדה של וקטור האינדוקציה החשמלי מתחילים ומסתיימים במטענים חיוביים ושליליים, בהתאמה.