מספרים רבים רכשו את גודלם ואת משמעותם האמונות התפלות בימי קדם. בימינו מתווספים להם מיתוסים חדשים. יש הרבה אגדות על המספר pi המספרים המפורסמים של פיבונאצ'י לא פחות מפורסמים ממנו. אבל אולי הדבר המפתיע ביותר הוא המספר e, שהוא לא יכול בלעדיו מתמטיקה מודרנית, פיזיקה ואפילו כלכלה.
הערך האריתמטי של e הוא בערך 2.718. למה לא בדיוק, אבל בערך? מכיוון שמספר זה הוא אי-רציונלי וטרנסצנדנטי, לא ניתן לבטא אותו כשבר עם מספרים שלמים טבעיים או פולינום עם מקדמים רציונליים. עבור רוב החישובים, הדיוק שצוין של 2.718 מספיק, אם כי הרמה המודרנית של טכנולוגיית המחשוב מאפשרת לקבוע את ערכו בדיוק של יותר מטריליון מקומות עשרוניים.
המאפיין העיקרי של המספר e הוא שהנגזרת של הפונקציה המעריכית שלו f (x) = e x שווה לערך הפונקציה e x עצמה. לאף קשר מתמטי אחר אין תכונה חריגה כזו. בואו נדבר על זה קצת יותר בפירוט.
מה זה גבול
ראשית, בואו נבין את מושג הגבול. שקול ביטוי מתמטי כלשהו, למשל, i = 1/n. יכול לראות, שככל ש-"n" גדל", הערך של "i" יקטן, וכאשר "n" נוטה לאינסוף (שמסומן בסימן ∞), "i" ישטה לערך הגבול (המכונה לעתים קרובות יותר פשוט הגבול) השווה לאפס. ניתן לכתוב את הביטוי לגבול (מסומן כ-lim) עבור המקרה הנדון כ-lim n →∞ (1/ n) = 0.
יש גבולות שונים לביטויים שונים. אחד הגבולות הללו, הנכלל בספרי הלימוד הסובייטים והרוסים כגבול המדהים השני, הוא הביטוי lim n →∞ (1+1/ n) n. כבר בימי הביניים נקבע שהגבול של ביטוי זה הוא המספר ה.
הגבול המדהים הראשון כולל את הביטוי lim n →∞ (Sin n / n) = 1.
כיצד למצוא את הנגזרת של e x - בסרטון זה.
מהי הנגזרת של פונקציה
כדי להסביר את המושג של נגזרת, עלינו להיזכר מהי פונקציה במתמטיקה. כדי לא להעמיס את הטקסט בהגדרות מורכבות, נתמקד בתפיסה המתמטית האינטואיטיבית של פונקציה, המורכבת מכך שכמות אחת או יותר קובעת לחלוטין את ערכה של כמות אחרת אם הן קשורות זו בזו. לדוגמה, בנוסחה S = π ∙ r 2 שטח המעגל, ערך הרדיוס r קובע באופן מלא וייחודי את שטח המעגל S.
בהתאם לסוג, פונקציות יכולות להיות אלגבריות, טריגונומטריות, לוגריתמיות וכו'. הן יכולות לכלול שניים, שלושה או יותר ארגומנטים מחוברים זה לזה. לדוגמה, המרחק S עבר, שעצם עבר במהירות מואצת אחידה, מתואר על ידי הפונקציה S = 0.5 ∙ a ∙ t 2 + V ∙ t, כאשר "t" הוא זמן התנועה, הטיעון "a " הוא תאוצה (יכול להיות חיובי או וערך שלילי) ו-"V" הוא מהירות התנועה הראשונית. לפיכך, המרחק שנסע תלוי בערכים של שלושה ארגומנטים, שניים מהם ("a" ו-"V") קבועים.
הבה נשתמש בדוגמה זו כדי להדגים את המושג היסודי של נגזרת של פונקציה. הוא מאפיין את קצב השינוי של הפונקציה בנקודה נתונה. בדוגמה שלנו, זו תהיה מהירות התנועה של האובייקט ברגע מסוים בזמן. עם קבועים "a" ו-"V", זה תלוי רק בזמן "t", כלומר, בשפה מדעית, אתה צריך לקחת את הנגזרת של הפונקציה S ביחס לזמן "t".
תהליך זה נקרא דיפרנציאציה והוא מתבצע על ידי חישוב גבול היחס בין צמיחת פונקציה לגידול הטיעון שלה בכמות קטנה באופן זניח. פתרון בעיות כאלה עבור תפקודים בודדים הוא לעתים קרובות קשה ואינו נדון כאן. כדאי גם לציין שלפונקציות מסוימות בנקודות מסוימות אין מגבלות כאלה בכלל.
בדוגמה שלנו, הנגזרת Sעם הזמן "t" יקבל את הצורה S" = ds/dt = a ∙ t + V, שממנו ניתן לראות שהמהירות S" משתנה באופן ליניארי בהתאם ל-"t".
נגזרת של המעריך
פונקציה אקספוננציאלית נקראת פונקציה אקספוננציאלית, שהבסיס שלה הוא המספר e היא מוצגת בדרך כלל בצורה F (x) = e x, כאשר המעריך x הוא כמות משתנה. לפונקציה זו יש הבדלנות מלאה על פני כל טווח המספרים הממשיים. ככל ש-x גדל, הוא גדל כל הזמן ותמיד גדול מאפס. הפונקציה ההפוכה שלו היא הלוגריתם.
המתמטיקאי המפורסם טיילור הצליח להרחיב את הפונקציה הזו לסדרה הקרויה על שמו e x = 1 + x/1! + x 2/2! + x 3/3! + … בטווח x מ- ∞ עד + ∞.
חוק המבוסס על פונקציה זו, נקרא אקספוננציאלי. הוא מתאר:
- עליית ריבית בנקאית דריבית;
- עלייה באוכלוסיית בעלי החיים ובאוכלוסיית העולם;
- זמן קפדני והרבה יותר.
הבה נחזור שוב על התכונה המדהימה של תלות זו - ערך הנגזרת שלה בכל נקודה תמיד שווה לערך הפונקציה בנקודה זו, כלומר (e x)" = e x.
הבה נציג את הנגזרות עבור המקרים הכלליים ביותר של האקספוננציאלי:
- (e ax)" = a ∙ e ax;
- (e f (x))" = f"(x) ∙ e f (x) .
באמצעות התלות הללו, קל למצוא נגזרות לסוגים מסוימים אחרים של פונקציה זו.
כמה עובדות מעניינות על המספר e
שמותיהם של מדענים כמו Napier, Oughtred, Huygens, Bernoulli, Leibniz, Newton, Euler, ואחרים קשורים למספר זה. האחרון למעשה הציג את הסימון e למספר זה, וגם מצא את 18 הסימנים הראשונים, תוך שימוש בסדרת e = 1 + 1/1 שהוא גילה לצורך החישוב! + 2/2! + 3/3! ...
המספר e מופיע במקומות הכי לא צפויים. לדוגמה, הוא נכלל במשוואה הקטנרית, המתארת את צניחת החבל תחת משקלו שלו כאשר קצותיו מקובעים לתומכים.
וִידֵאוֹ
הנושא של שיעור הווידאו הוא הנגזרת של הפונקציה האקספוננציאלית.
הוכחה וגזירה של הנוסחאות לנגזרת של האקספוננציאלי (e בחזקת x) ושל הפונקציה המעריכית (a בחזקת x). דוגמאות לחישוב נגזרות של e^2x, e^3x ו-e^nx. נוסחאות לנגזרות מסדרים גבוהים יותר.
תוֹכֶןראה גם: פונקציה מעריכית - מאפיינים, נוסחאות, גרף
מעריך, e בחזקת x - מאפיינים, נוסחאות, גרף
נוסחאות בסיסיות
הנגזרת של מעריך שווה למעריך עצמו (הנגזרת של e בחזקת x שווה ל-e בחזקת x):
(1)
(e x )′ = e x.
הנגזרת של פונקציה אקספוננציאלית עם בסיס a שווה לפונקציה עצמה כפול בלוגריתם הטבעי של a:
(2)
.
אקספוננציאל הוא פונקציה אקספוננציאלית שהבסיס שלה שווה למספר e, שהוא הגבול הבא:
.
כאן זה יכול להיות מספר טבעי או מספר ממשי. לאחר מכן, נגזר את הנוסחה (1) עבור הנגזרת של המעריכי.
גזירת נוסחת הנגזרת המעריכית
קחו בחשבון את האקספוננציאלי, e בחזקת x:
y = e x .
פונקציה זו מוגדרת לכולם. בוא נמצא את הנגזרת שלו ביחס למשתנה x. בהגדרה, הנגזרת היא הגבול הבא:
(3)
.
בואו נהפוך את הביטוי הזה כדי לצמצם אותו לתכונות וחוקים מתמטיים ידועים. לשם כך אנו זקוקים לעובדות הבאות:
א)מאפיין מעריך:
(4)
;
ב)תכונה של לוגריתם:
(5)
;
IN)המשכיות הלוגריתם והתכונה של גבולות עבור פונקציה רציפה:
(6)
.
הנה פונקציה שיש לה גבול והגבול הזה חיובי.
ז)המשמעות של הגבול המדהים השני:
(7)
.
בואו ליישם את העובדות הללו עד לקצה גבול היכולת שלנו (3). אנו משתמשים בנכס (4):
;
.
בואו נעשה תחליף. לאחר מכן ; .
בשל המשכיות האקספוננציאלי,
.
לכן, כאשר , . כתוצאה מכך אנו מקבלים:
.
בואו נעשה תחליף. לאחר מכן . ב, . ויש לנו:
.
בוא ניישם את מאפיין הלוגריתם (5):
. לאחר מכן
.
הבה נחיל נכס (6). מכיוון שיש גבול חיובי והלוגריתם רציף, אז:
.
כאן השתמשנו גם בגבול המדהים השני (7). לאחר מכן
.
לפיכך, קיבלנו את הנוסחה (1) לנגזרת של האקספוננציאלי.
גזירת הנוסחה לנגזרת של פונקציה מעריכית
כעת נגזר נוסחה (2) לנגזרת של הפונקציה המעריכית עם בסיס של תואר a. אנו מאמינים בכך ו. ואז הפונקציה המעריכית
(8)
מוגדר לכולם.
בואו נשנה את הנוסחה (8). לשם כך, נשתמש במאפיינים של הפונקציה המעריכית והלוגריתם.
;
.
אז, הפכנו את הנוסחה (8) לצורה הבאה:
.
נגזרות מסדר גבוה יותר של e בחזקת x
עכשיו בואו נמצא נגזרות מסדרים גבוהים יותר. בואו נסתכל תחילה על המעריך:
(14)
.
(1)
.
אנו רואים שהנגזרת של פונקציה (14) שווה לפונקציה (14) עצמה. מבדיל (1), אנו מקבלים נגזרות מהסדר השני והשלישי:
;
.
זה מראה שהנגזרת מסדר n שווה גם לפונקציה המקורית:
.
נגזרות מסדרים גבוהים יותר של הפונקציה המעריכית
עכשיו שקול פונקציה מעריכית עם בסיס של תואר a:
.
מצאנו את נגזרת הסדר הראשון שלו:
(15)
.
מבדיל (15), אנו מקבלים נגזרות מהסדר השני והשלישי:
;
.
אנו רואים שכל הבחנה מובילה להכפלה של הפונקציה המקורית ב-. לכן, לנגזרת הסדר ה-n יש את הצורה הבאה:
.
מושגים בסיסיים
לפני שנבחן את שאלת הנגזרת של מעריכי בחזקת $x$, נזכיר את ההגדרות
- פונקציות;
- מגבלת רצף;
- נגזר;
- מציגים.
זה הכרחי להבנה ברורה של הנגזרת של מעריכי בחזקת $x$.
הגדרה 1
פונקציה היא קשר בין שני משתנים.
ניקח את $y=f(x)$, כאשר $x$ ו-$y$ הם משתנים. כאן $x$ נקרא הארגומנט ו-$y$ היא הפונקציה. הארגומנט יכול לקבל ערכים שרירותיים. בתורו, המשתנה $y$ משתנה בהתאם לחוק מסוים בהתאם לטיעון. כלומר, הארגומנט $x$ הוא המשתנה הבלתי תלוי, והפונקציה $y$ היא המשתנה התלוי. לכל ערך $x$ יש ערך ייחודי $y$.
אם כל מספר טבעי $n=1, 2, 3, ...$ משויך למספר $x_n$, אז אנחנו אומרים שרצף המספרים $x_1,x_2,...,x_n$ מוגדר. אחרת, רצף כזה נכתב בתור $\(x_n\)$. כל המספרים $x_n$ נקראים איברים או אלמנטים של הרצף.
הגדרה 2
הגבול של רצף הוא הנקודה הסופית או המרוחקת לאין שיעור של קו המספרים. הגבול נכתב כך: $\lim x_n = \lim\limits_(n\to\infty)x_n = a$. סימון זה אומר שהמשתנה $x_n$ נוטה ל-$a$ $x_n\to a$.
הנגזרת של הפונקציה $f$ בנקודה $x_0$ נקראת הגבול הבא:
$\lim\limits_(x\to x_0)\frac(f(x) - f(x_o))(x-x_o)$. הוא מסומן ב-$f"(x_0)$.
המספר $e$ שווה למגבלה הבאה:
$e=\lim\limits_(x\to\infty) (1+\frac(1)(n))\approx2.718281828459045...$
במגבלה זו, $n$ הוא מספר טבעי או ממשי.
לאחר ששלטנו במושגים של גבול, נגזרת ומעריך, נוכל להתחיל להוכיח את הנוסחה $(e^x)"=e^x$.
גזירת הנגזרת של מעריכי בחזקת $x$
יש לנו $e^x$, כאשר $x: -\infty
$y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(x+\Delta x)-e^x)(\Delta x)$.
על ידי המאפיין של המעריך $e^(a+bx)=e^a*e^b$ נוכל להפוך את המונה של הגבול:
$e^(x+\Delta x)-e^x = e^x*e^(\Delta x)-e^x = e^x(e^(\Delta x)-1)$.
כלומר, $y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(x+\Delta x)-e^x)(\Delta x)=\lim\limits_(\Delta x\ ל-0) \frac(e^x(e^(\Delta x)-1))(\Delta x)$.
הבה נסמן $t=e^(\Delta x)-1$. נקבל $e^(\Delta x)=t+1$, ולפי התכונה של הלוגריתם מתברר ש$\Delta x = ln(t+1)$.
מכיוון שהמעריכי הוא רציף, יש לנו $\lim\limits_(\Delta x\to 0) e^(\Delta x)=e^0=1.$ לכן, אם $\Delta x\to 0$, אז $ t \ עד 0$.
כתוצאה מכך, אנו מראים את השינוי:
$y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(\Delta x)-1)(\Delta x)=e^x\lim\limits_(t\to 0)\frac (t)(ln(t+1))$.
הבה נסמן $n=\frac (1)(t)$, ואז $t=\frac(1)(n)$. מסתבר שאם $t\to 0$, אז $n\to\infty$.
בואו נשנה את הגבול שלנו:
$y"=e^x\lim\limits_(t\to 0)\frac(t)(ln(t+1))=e^x\lim\limits_(n\to\infty)\frac(1) (n\cdot ln(\frac(1)(n)+1)^n)$.
לפי התכונה של הלוגריתם $b\cdot ln c=ln c^b$ יש לנו
$n\cdot ln (\frac(1)(n)+1)=ln(\frac(1)(n)+1)^n=ln(1+\frac(1)(n))^n$ .
המגבלה מומרת באופן הבא:
$y"=e^x\lim\limits_(n\to\infty)\frac(1)(n\cdot ln(\frac(1)(n)+1)) = e^x\lim\limits_( n\to\infty)\frac(1)(ln(\frac(1)(n)+1)^n)= e^x\frac(1)(\lim\limits_(n\to\infty) ln (\frac(1)(n)+1)^n)$.
לפי תכונת ההמשכיות של הלוגריתם ותכונת הגבולות לפונקציה רציפה: $\lim\limits_(x\to x_0)ln(f(x))=ln(\lim\limits_f(x))$, כאשר ל-$f(x)$ יש מגבלה חיובית $\lim\limits_(x\to x_0)f(x)$. לכן, בשל העובדה שהלוגריתם הוא רציף ויש גבול חיובי $\lim\limits_(n\to\infty)(\frac(1)(n)+1)^n$, נוכל להסיק:
$\lim\limits_(n\to\infty)ln(1+\frac(1)(n))^n=ln\lim\limits_(n\to\infty)ln(1+\frac(1)( n))^n=ln e=1$.
בואו נשתמש בערך של הגבול המדהים השני $\lim\limits_(n\to\infty)(1+\frac(1)(n))^n=e$. אנחנו מקבלים:
$y"= e^x\frac(1)(\lim\limits_(n\to\infty) ln(\frac(1)(n)+1)^n) = e^x\cdot\frac(1 )(ln e) = e^x\cdot\frac(1)(1)=e^x$.
לפיכך, הפקנו את הנוסחה לנגזרת של מעריכי ונוכל לטעון שהנגזרת של מעריכי בחזקת $x$ שווה ערך לנגזרת של מעריכי בחזקת $x$:
ישנן גם דרכים אחרות לגזור נוסחה זו באמצעות נוסחאות וכללים אחרים.
דוגמה 1
בואו נסתכל על דוגמה למציאת הנגזרת של פונקציה.
מַצָב: מצא את הנגזרת של הפונקציה $y=2^x + 3^x + 10^x + e^x$.
פִּתָרוֹן: על המונחים $2^x, 3^x$ ו-$10^x$ אנו מיישמים את הנוסחה $(a^x)"=a^x\cdot ln a$. לפי הנוסחה הנגזרת $(e^x)" =e^x$ האיבר הרביעי $e^x$ לא משתנה.
תשובה: $y" = 2^x\cdot ln 2 + 3^x\cdot ln 3 + 10^x\cdot ln 10 + e^x$.
לפיכך, הפקנו את הנוסחה $(e^x)"=e^x$, תוך מתן הגדרות למושגי היסוד, וניתחנו דוגמה למציאת הנגזרת של פונקציה עם מעריך כאחד המונחים.
אנו מציגים טבלת סיכום לצורך נוחות ובהירות בעת לימוד הנושא.
|
קָבוּעַy = C פונקציית כוח y = x p (x p) " = p x p - 1 |
פונקציה מעריכיתy = גרזן (a x) " = a x in a בפרט, מתיa = היש לנו y = e x (e x) " = e x |
|
פונקציה לוגריתמית (log a x) " = 1 x l in a בפרט, מתיa = היש לנו y = log x (ln x) " = 1 x |
פונקציות טריגונומטריות (sin x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x |
|
פונקציות טריגונומטריות הפוכות (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2 |
פונקציות היפרבוליות (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 ש h 2 x |
הבה ננתח כיצד הושגו הנוסחאות של הטבלה שצוינה או, במילים אחרות, נוכיח את הגזירה של נוסחאות נגזרות עבור כל סוג של פונקציה.
נגזרת של קבוע
עדות 1על מנת לגזור נוסחה זו, אנו לוקחים כבסיס את הגדרת הנגזרת של פונקציה בנקודה. אנו משתמשים ב-x 0 = x, שבו איקסלוקח את הערך של כל מספר ממשי, או, במילים אחרות, איקסהוא כל מספר מהתחום של הפונקציה f (x) = C. הבה נרשום את הגבול של היחס בין התוספת של פונקציה לעלייה של הארגומנט כ- ∆ x → 0:
lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0
שימו לב שהביטוי 0 ∆ x נופל תחת סימן הגבול. זה לא אי הוודאות "אפס חלקי אפס", שכן המונה אינו מכיל ערך אינפיניטסימלי, אלא אפס בדיוק. במילים אחרות, התוספת של פונקציה קבועה היא תמיד אפס.
אז, הנגזרת של הפונקציה הקבועה f (x) = C שווה לאפס בכל תחום ההגדרה.
דוגמה 1
הפונקציות הקבועות ניתנות:
f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7
פִּתָרוֹן
הבה נתאר את התנאים הנתונים. בפונקציה הראשונה אנו רואים את הנגזרת של המספר הטבעי 3. בדוגמה הבאה, אתה צריך לקחת את הנגזרת של א, איפה א- כל מספר אמיתי. הדוגמה השלישית נותנת לנו את הנגזרת של המספר האי-רציונלי 4. 13 7 22, הרביעי הוא הנגזרת של אפס (אפס הוא מספר שלם). לבסוף, במקרה החמישי יש לנו את הנגזרת של השבר הרציונלי - 8 7.
תשובה:נגזרות של פונקציות נתונות הן אפס עבור כל ממשי איקס(על כל אזור ההגדרה)
f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0
נגזרת של פונקציית חזקה
נעבור לפונקציית החזקה ולנוסחה לנגזרת שלה, בעלת הצורה: (x p) " = p x p - 1, כאשר המעריך עהוא כל מספר ממשי.
עדות 2
הנה ההוכחה של הנוסחה כאשר המעריך הוא מספר טבעי: p = 1, 2, 3, …
אנו שוב מסתמכים על ההגדרה של נגזרת. נרשום את הגבול של היחס בין התוספת של פונקציית חזקה לתוספת של הארגומנט:
(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x
כדי לפשט את הביטוי במונה, אנו משתמשים בנוסחה הבינומית של ניוטון:
(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p
לכן:
(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (. C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . P - 2 + C p p 1 + 0 + .
לפיכך, הוכחנו את הנוסחה לנגזרת של פונקציית חזקה כאשר המעריך הוא מספר טבעי.
עדות 3
לספק ראיות למקרה כאשר p-כל מספר ממשי מלבד אפס, אנו משתמשים בנגזרת הלוגריתמית (כאן עלינו להבין את ההבדל מהנגזרת של פונקציה לוגריתמית). כדי לקבל הבנה מלאה יותר, רצוי ללמוד את הנגזרת של פונקציה לוגריתמית ובנוסף להבין את הנגזרת של פונקציה מרומזת והנגזרת של פונקציה מורכבת.
הבה נבחן שני מקרים: מתי איקסחיובי ומתי איקסשלילי.
אז x > 0. לאחר מכן: x p > 0 . הבה נרתום את השוויון y = x p לבסיס e ונחיל את המאפיין של הלוגריתם:
y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x
בשלב זה, השגנו פונקציה שצוינה במרומז. בואו נגדיר את הנגזרת שלו:
(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1
כעת אנו שוקלים את המקרה מתי איקס -מספר שלילי.
אם המחוון עהוא מספר זוגי, אז פונקציית החזקה מוגדרת עבור x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1
ואז x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.
אם עהוא מספר אי-זוגי, אז פונקציית החזקה מוגדרת עבור x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:
y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1
המעבר האחרון אפשרי בשל העובדה שאם עהוא מספר אי-זוגי, אם כן p - 1או מספר זוגי או אפס (עבור p = 1), לכן, עבור שלילי איקסהשוויון (- x) p - 1 = x p - 1 נכון.
אז, הוכחנו את הנוסחה לנגזרת של פונקציית חזקה עבור כל p אמיתי.
דוגמה 2
פונקציות שניתנו:
f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12
קבע את הנגזרות שלהם.
פִּתָרוֹן
אנו הופכים חלק מהפונקציות הנתונות לצורת טבלה y = x p , בהתבסס על מאפייני התואר, ולאחר מכן נשתמש בנוסחה:
f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2" (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84
נגזרת של פונקציה אקספוננציאלית
הוכחה 4הבה נגזר את נוסחת הנגזרת תוך שימוש בהגדרה כבסיס:
(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0
יש לנו אי ודאות. כדי להרחיב אותו, נכתוב משתנה חדש z = a ∆ x - 1 (z → 0 כ- ∆ x → 0). במקרה זה, a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . עבור המעבר האחרון, נעשה שימוש בנוסחה למעבר לבסיס לוגריתם חדש.
הבה נחליף למגבלה המקורית:
(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z
הבה נזכור את הגבול המדהים השני ואז נקבל את הנוסחה לנגזרת של הפונקציה המעריכית:
(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a
דוגמה 3
הפונקציות המעריכיות ניתנות:
f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x
יש צורך למצוא את הנגזרות שלהם.
פִּתָרוֹן
אנו משתמשים בנוסחה עבור הנגזרת של הפונקציה המעריכית ותכונות הלוגריתם:
f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x
נגזרת של פונקציה לוגריתמית
עדות 5אנו מציגים הוכחה של הנוסחה לנגזרת של פונקציה לוגריתמית עבור כל אחד איקסבתחום ההגדרה וכל ערכים מותרים של הבסיס a של הלוגריתם. בהתבסס על ההגדרה של נגזרת, אנו מקבלים:
(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a
משרשרת השוויון המצוינת ברור שהתמורות התבססו על תכונת הלוגריתם. השוויון lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e נכון בהתאם לגבול המדהים השני.
דוגמה 4
פונקציות לוגריתמיות ניתנות:
f 1 (x) = log ln 3 x , f 2 (x) = ln x
יש צורך לחשב את הנגזרות שלהם.
פִּתָרוֹן
הבה ניישם את הנוסחה הנגזרת:
f 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; f 2 " (x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x
אז, הנגזרת של הלוגריתם הטבעי היא אחת לחלק ב איקס.
נגזרות של פונקציות טריגונומטריות
הוכחה 6בואו נשתמש בכמה נוסחאות טריגונומטריות ובמגבלה הנפלאה הראשונה כדי לגזור את הנוסחה לנגזרת של פונקציה טריגונומטרית.
לפי הגדרת הנגזרת של פונקציית הסינוס, נקבל:
(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x
הנוסחה להפרש הסינוסים תאפשר לנו לבצע את הפעולות הבאות:
(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2
לבסוף, אנו משתמשים בגבול הנפלא הראשון:
sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x
אז, הנגזרת של הפונקציה חטא xרָצוֹן כי x.
נוכיח גם את הנוסחה לנגזרת של הקוסינוס:
cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x
הָהֵן. הנגזרת של הפונקציה cos x תהיה – חטא x.
אנו גוזרים את הנוסחאות לנגזרות של משיק וקוטנגנט על סמך כללי ההבחנה:
t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x
נגזרות של פונקציות טריגונומטריות הפוכות
הסעיף על הנגזרת של פונקציות הפוכות מספק מידע מקיף על הוכחת הנוסחאות לנגזרות של arcsine, arccosine, arctangent ו- arccotangent, ולכן לא נשכפל כאן את החומר.
נגזרות של פונקציות היפרבוליות
עדות 7נוכל לגזור את הנוסחאות לנגזרות של הסינוס ההיפרבולי, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנט באמצעות כלל ההבחנה והנוסחה לנגזרת הפונקציה המעריכית:
s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 ש"ש 2 x
אם אתה מבחין בשגיאה בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter
כאשר נגזר את הנוסחה הראשונה של הטבלה, נצא מהגדרת הפונקציה הנגזרת בנקודה. בוא ניקח לאן איקס- כל מספר ממשי, כלומר, איקס– כל מספר מתחום ההגדרה של הפונקציה. הבה נרשום את הגבול של היחס בין התוספת של הפונקציה לתוספת הארגומנט ב: 
יש לציין שתחת סימן הגבול מתקבל הביטוי, שאינו אי הוודאות של אפס חלקי אפס, שכן המונה אינו מכיל ערך אינפיניטסימלי, אלא אפס בדיוק. במילים אחרות, התוספת של פונקציה קבועה היא תמיד אפס.
לכן, נגזרת של פונקציה קבועהשווה לאפס בכל תחום ההגדרה.
נגזרת של פונקציית חזקה.
לנוסחה לנגזרת של פונקציית חזקה יש את הצורה 
, שבו המעריך ע- כל מספר ממשי.
תחילה נוכיח את הנוסחה של המעריך הטבעי, כלומר עבור p = 1, 2, 3, …
נשתמש בהגדרה של נגזרת. הבה נרשום את הגבול של היחס בין התוספת של פונקציית חזקה לתוספת של הארגומנט: 
כדי לפשט את הביטוי במונה, נפנה לנוסחה הבינומית של ניוטון: 
לָכֵן, 
זה מוכיח את הנוסחה לנגזרת של פונקציית חזקה עבור מעריך טבעי.
נגזרת של פונקציה אקספוננציאלית.
אנו מציגים את הגזירה של נוסחת הנגזרת על סמך ההגדרה:
הגענו לחוסר ודאות. כדי להרחיב אותו, אנו מציגים משתנה חדש, וב-. לאחר מכן . במעבר האחרון השתמשנו בנוסחה למעבר לבסיס לוגריתמי חדש.
בוא נחליף למגבלה המקורית: 
אם נזכור את הגבול המדהים השני, נגיע לנוסחה של הנגזרת של הפונקציה המעריכית: 
נגזרת של פונקציה לוגריתמית.
הבה נוכיח את הנוסחה לנגזרת של פונקציה לוגריתמית עבור כולם איקסמתחום ההגדרה וכל הערכים התקפים של הבסיס אלוֹגָרִיתְם בהגדרה של נגזרת יש לנו: 
כפי ששמתם לב, במהלך ההוכחה התמורות בוצעו באמצעות מאפייני הלוגריתם. שוויון 
נכון בשל הגבול המדהים השני.
נגזרות של פונקציות טריגונומטריות.
כדי לגזור נוסחאות לנגזרות של פונקציות טריגונומטריות, נצטרך להיזכר בכמה נוסחאות טריגונומטריות, כמו גם את הגבול המדהים הראשון.
לפי הגדרת הנגזרת לפונקציית הסינוס שיש לנו 
.
בוא נשתמש בנוסחת ההבדל של סינוס: 
נותר לפנות לגבול המדהים הראשון: 
לפיכך, הנגזרת של הפונקציה חטא xיש כי x.
הנוסחה לנגזרת של הקוסינוס מוכחת בדיוק באותו אופן. 
לכן, הנגזרת של הפונקציה כי xיש -חטא x.
נגזר נוסחאות לטבלת הנגזרות למשיק ולקוטנגנט באמצעות כללי בידול מוכחים (נגזרת של שבר). 
נגזרות של פונקציות היפרבוליות.
כללי הדיפרנציאציה והנוסחה לנגזרת הפונקציה המעריכית מטבלת הנגזרות מאפשרים לנו לגזור נוסחאות לנגזרות הסינוס ההיפרבולי, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנטי. 
נגזרת של הפונקציה ההפוכה.
כדי למנוע בלבול במהלך ההצגה, נסמן בתתי את הארגומנט של הפונקציה שבאמצעותה מתבצעת הבידול, כלומר, היא הנגזרת של הפונקציה f(x)על ידי איקס.
עכשיו בואו ננסח כלל למציאת הנגזרת של פונקציה הפוכה.
תן לפונקציות y = f(x)ו x = g(y)הפוכה הדדית, מוגדרת על המרווחים ובהתאמה. אם בנקודה יש נגזרת סופית שאינה אפס של הפונקציה f(x), אז בנקודה יש נגזרת סופית של הפונקציה ההפוכה g(y), ו 
. בפוסט אחר 
.
ניתן לנסח מחדש כלל זה עבור כל אחד איקסמהמרווח, אז נקבל 
.
הבה נבדוק את תקפותן של הנוסחאות הללו.
בוא נמצא את הפונקציה ההפוכה ללוגריתם הטבעי 
(כאן yהיא פונקציה, ו איקס- טיעון). לאחר שפתרתי את המשוואה הזו עבור איקס, אנחנו מקבלים (כאן איקסהיא פונקציה, ו y– הטיעון שלה). זה, 
ופונקציות הפוכות הדדית.
מטבלת הנגזרות אנו רואים זאת 
ו 
.
הבה נוודא שהנוסחאות למציאת הנגזרות של הפונקציה ההפוכה מובילות אותנו לאותן תוצאות: 
