לולאה גאוסית. וקטור אינדוקציה של שדה חשמלי. זרימה של וקטורים e ו-d. תחום חיובים המופצים ברציפות

הדבר הקשה ביותר הוא ללמוד תופעות חשמל בסביבה חשמלית לא אחידה. במדיום כזה, ל-ε יש ערכים שונים, המשתנים בפתאומיות בגבול הדיאלקטרי. נניח שאנו קובעים את עוצמת השדה בממשק בין שני אמצעים: ε 1 =1 (וואקום או אוויר) ו-ε 2 =3 (נוזל - שמן). בממשק, במהלך המעבר מוואקום לדיאלקטרי, עוצמת השדה פוחתת שלוש פעמים, והשטף של וקטור הכוח יורד באותה כמות (איור 12.25, א). שינוי פתאומי בוקטור חוזק השדה האלקטרוסטטי בממשק בין שני מדיה יוצר קשיים מסוימים בעת חישוב שדות. באשר למשפט גאוס, בתנאים אלו הוא בדרך כלל מאבד את משמעותו.

מכיוון שהקיטוב והמתח של דיאלקטריים שונים שונים, גם מספר קווי השדה בכל דיאלקטרי יהיה שונה. ניתן לבטל את הקושי הזה על ידי הצגת מאפיין פיזי חדש של השדה, אינדוקציה חשמלית D (או וקטור תזוזה חשמלית ).

לפי הנוסחה

ε 1 E 1 = ε 2 E 2 =E 0 =const

הכפלת כל חלקי השוויון האלה בקבוע החשמלי ε 0 שנקבל

ε 0 ε 1 E 1 = ε 0 ε 2 E 2 =ε 0 E 0 =const

הבה נציג את הסימון ε 0 εE=D ואז היחס הלפני אחרון יקבל את הצורה

D 1 = D 2 = D 0 = Const

וקטור D, שווה למכפלת עוצמת השדה החשמלי בדיאלקטרי וקבוע הדיאלקטרי המוחלט שלו, נקראוקטור תזוזה חשמלי

(12.45)

יחידת תזוזה חשמלית - תליון למ"ר(C/m2).

תזוזה חשמלית היא כמות וקטורית וניתן לבטא אותה גם כ

D = εε 0 E =(1+χ)ε 0 E = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 E+P

(12.46)

בניגוד למתח E, התזוזה החשמלית D קבועה בכל הדיאלקטריות (איור 12.25, ב). לכן, נוח לאפיין את השדה החשמלי בתווך דיאלקטרי לא-הומוגני לא לפי העוצמה E, אלא לפי וקטור התזוזה D. וקטור D מתאר את השדה האלקטרוסטטי שנוצר על ידי מטענים חופשיים (כלומר בוואקום), אך עם פיזורם במרחב כמו בנוכחות דיאלקטרי, שכן מטענים קשורים הנוצרים בדיאלקטריים יכולים לגרום לחלוקה מחדש של מטענים חופשיים היוצרים את השדה.

שדה וקטור מיוצג גרפי על ידי קווי תזוזה חשמליים באותו אופן כמו השדה מתואר בקווי כוח.

קו תזוזה חשמלי - אלו הם קווים שהמשיקים שלהם בכל נקודה עולים בקנה אחד עם וקטור התזוזה החשמלי.

הקווים של וקטור E יכולים להתחיל ולהסתיים בכל מטען - חופשי ומאוגד, בעוד הקווים של וקטורד- רק בתשלום חינם. קווים וקטורייםדבניגוד לקווי מתח, הם רציפים.

מכיוון שוקטור התזוזה החשמלי אינו חווה אי רציפות בממשק בין שני מדיה, כל קווי האינדוקציה הנובעים ממטענים המוקפים במשטח סגור כלשהו יחדרו אליו. לכן, עבור וקטור התזוזה החשמלי, משפט גאוס שומר לחלוטין על משמעותו עבור תווך דיאלקטרי לא-הומוגני.

משפט גאוס לשדה האלקטרוסטטי בדיאלקטרי : הזרימה של וקטור התזוזה החשמלי דרך משטח סגור שרירותי שווה לסכום האלגברי של המטענים הכלולים בתוך משטח זה.

(12.47)

ניתן לנסח את חוק האינטראקציה של מטענים חשמליים – חוק קולומב – בצורה שונה, בצורה של מה שנקרא משפט גאוס. משפט גאוס מתקבל כתוצאה מחוק קולומב ומעקרון הסופרפוזיציה. ההוכחה מבוססת על המידתיות ההפוכה של כוח האינטראקציה בין שני מטענים נקודתיים לריבוע המרחק ביניהם. לכן, משפט גאוס ישים לכל שדה פיזיקלי שבו חוק הריבוע ההפוך ועקרון הסופרפוזיציה חלים, למשל, על שדה הכבידה.

אורז. 9. קווים של חוזק שדה חשמלי של מטען נקודתי החותכים משטח סגור X

על מנת לנסח את משפט גאוס, נחזור לתמונה של קווי השדה החשמלי של מטען נקודתי נייח. קווי השדה של מטען נקודתי בודד הם קווים ישרים רדיאליים הממוקמים סימטרית (איור 7). אתה יכול לצייר כל מספר של קווים כאלה. הבה נסמן את המספר הכולל שלהם ב- Then צפיפות קווי השדה במרחק מהמטען, כלומר, מספר הקווים החוצים משטח יחידה של כדור רדיוס שווה להשוואת קשר זה עם הביטוי לעוצמת השדה של א. מטען נקודתי (4), אנו רואים שצפיפות הקווים פרופורציונלית לחוזק השדה. נוכל להפוך את הכמויות הללו לשוות מבחינה מספרית על ידי בחירה נכונה של המספר הכולל של קווי שדה N:

לפיכך, פני השטח של כדור בעל רדיוס כלשהו המקיף מטען נקודתי חותכים את אותו מספר של קווי כוח. המשמעות היא שקווי הכוח הם רציפים: במרווח בין כל שני כדורים קונצנטריים בעלי רדיוסים שונים, אף אחד מהקווים לא נשבר ולא מתווספים חדשים. מכיוון שקווי השדה הם רציפים, אותו מספר של קווי שדה חותך כל משטח סגור (איור 9) המכסה את המטען

לקווי כוח יש כיוון. במקרה של מטען חיובי, הם יוצאים מהמשטח הסגור המקיף את המטען, כפי שמוצג באיור. 9. במקרה של מטען שלילי, הם נכנסים פנימה. אם מספר השורות היוצאות נחשב חיובי ומספר השורות הנכנסות שלילי, אז בנוסחה (8) נוכל להשמיט את הסימן של מודול המטען ולכתוב אותו בצורה

זרימת מתח.הבה נציג כעת את המושג של זרימת וקטור חוזק שדה דרך משטח. שדה שרירותי יכול להתחלק מנטלית לאזורים קטנים שבהם העוצמה משתנה בגודל ובכיוון כל כך מעט עד שבתוך אזור זה השדה יכול להיחשב אחיד. בכל אזור כזה, קווי השדה הם קווים ישרים מקבילים ובעלי צפיפות קבועה.

אורז. 10. לקבוע את השטף של וקטור עוצמת השדה דרך האתר

הבה נבחן כמה קווי כוח חודרים לאזור קטן, שכיוון הנורמלי אליו יוצר זווית a עם כיוון קווי המתח (איור 10). תן להיות השלכה על מישור מאונך לקווי הכוח. מכיוון שמספר הקווים החוצים זהה, וצפיפות הקווים, לפי התנאי המקובל, שווה למודול עוצמת השדה E, אז

הערך a הוא ההשלכה של הווקטור E על כיוון הנורמלי לאתר

לכן, מספר קווי החשמל החוצים את השטח שווה ל

התוצר נקרא שטף חוזק השדה דרך המשטח נוסחה (10) מראה שהשטף של וקטור E דרך המשטח שווה למספר קווי השדה שחוצים משטח זה. שימו לב שהשטף של וקטור העוצמה, כמו מספר קווי הכוח העוברים דרך פני השטח, הוא סקלרי.

אורז. 11. זרימת וקטור המתח E דרך האתר

התלות של הזרימה בכיוון האתר ביחס לקווי הכוח מודגם באיור.

שטף עוצמת השדה דרך משטח שרירותי הוא סכום השטפים דרך האזורים היסודיים שאליהם ניתן לחלק משטח זה. מתוקף יחסים (9) ו-(10), ניתן לקבוע שזרימת עוצמת השדה של מטען נקודתי דרך כל משטח סגור 2 העוטף את המטען (ראה איור 9), כמספר קווי השדה היוצאים ממנו. משטח זה שווה במקרה זה, הווקטור הרגיל לאזורים הסגורים צריך להיות מכוון החוצה. אם המטען בתוך המשטח שלילי, אז קווי השדה נכנסים פנימה זה והשטף של וקטור חוזק השדה הקשור למטען הוא גם שלילי.

אם יש כמה מטענים בתוך משטח סגור, אז בהתאם לעקרון הסופרפוזיציה זרימות עוצמות השדה שלהם יצטברו. השטף הכולל יהיה שווה למקום שבו יש להבין כסכום האלגברי של כל המטענים הממוקמים בתוך פני השטח.

אם אין מטענים חשמליים בתוך משטח סגור או שהסכום האלגברי שלהם הוא אפס, אז השטף הכולל של עוצמת השדה דרך משטח זה הוא אפס: ככל שקווי כוח רבים נכנסים לנפח התחום על ידי המשטח, אותו מספר יוצא.

כעת נוכל סוף סוף לנסח את משפט גאוס: זרימת וקטור עוצמת השדה החשמלי E בוואקום דרך כל משטח סגור פרופורציונלית למטען הכולל שנמצא בתוך משטח זה. מבחינה מתמטית, משפט גאוס בא לידי ביטוי באותה נוסחה (9), שבה מתכוון הסכום האלגברי של המטענים. באלקטרוסטטי מוחלט

במערכת היחידות SGSE, המקדם ומשפט גאוס נכתבים בצורה

ב-SI ושטף המתח דרך משטח סגור מתבטא בנוסחה

משפט גאוס נמצא בשימוש נרחב באלקטרוסטטיקה. במקרים מסוימים, ניתן להשתמש בו כדי לחשב בקלות את השדות שנוצרו על ידי מטענים הממוקמים באופן סימטרי.

שדות של מקורות סימטריים.הבה ניישם את משפט גאוס כדי לחשב את עוצמת השדה החשמלי הטעון באופן אחיד על פני השטח של כדור ברדיוס. למען ההגדרה, נניח שהטעינה שלו חיובית. לחלוקת המטענים היוצרים את השדה יש ​​סימטריה כדורית. לכן גם לשדה יש ​​את אותה סימטריה. קווי הכוח של שדה כזה מכוונים לאורך הרדיוסים, ומודול העוצמה זהה בכל הנקודות במרחק שווה ממרכז הכדור.

על מנת למצוא את עוצמת השדה במרחק ממרכז הכדור, הבה נצייר משטח כדורי ברדיוס קונצנטרי עם הכדור מכיוון שבכל הנקודות של הכדור הזה עוצמת השדה מכוונת בניצב לפני השטח שלו זהה בערך המוחלט, זרימת העוצמה פשוט שווה למכפלת עוצמת השדה ושטח הפנים של הכדור:

אבל ניתן לבטא כמות זו גם באמצעות משפט גאוס. אם אנחנו מעוניינים בשדה שמחוץ לכדור, כלומר, למשל, ב-SI ובהשוואה ל-(13), נמצא

במערכת היחידות SGSE, ברור,

לפיכך, מחוץ לכדור עוצמת השדה זהה לזה של מטען נקודתי המוצב במרכז הכדור. אם אנחנו מעוניינים בשדה בתוך הכדור, כלומר, מכיוון שכל המטען המופץ על פני הכדור ממוקם מחוץ לכדור שציירנו מנטלית. לכן, אין שדה בתוך הכדור:

באופן דומה, באמצעות משפט גאוס, ניתן לחשב את השדה האלקטרוסטטי שנוצר על ידי מטען אינסופי

מישור עם צפיפות קבועה בכל נקודות המישור. מטעמי סימטריה, ניתן להניח שקווי הכוח מאונכים למישור, מכוונים ממנו לשני הכיוונים ובעלי אותה צפיפות בכל מקום. ואכן, אם צפיפות קווי השדה בנקודות שונות הייתה שונה, הרי שהזזת מישור טעון לאורך עצמו הייתה מביאה לשינוי בשדה בנקודות אלו, מה שסותר את הסימטריה של המערכת – תזוזה כזו לא אמורה לשנות את השדה. במילים אחרות, השדה של מישור אינסופי בעל מטען אחיד הוא אחיד.

כמשטח סגור ליישום משפט גאוס, אנו בוחרים את פני השטח של גליל הבנוי באופן הבא: הגנרטריקס של הגליל מקביל לקווי הכוח, ולבסיסים יש שטחים מקבילים למישור הטעון ונמצאים בצדדים מנוגדים שלו. (איור 12). שטף עוצמת השדה דרך משטח הצד הוא אפס, כך שהשטף הכולל דרך המשטח הסגור שווה לסכום השטפים דרך בסיסי הגליל:

אורז. 12. לקראת חישוב עוצמת השדה של מישור טעון אחיד

לפי משפט גאוס, אותו שטף נקבע על ידי המטען של אותו חלק במישור שנמצא בתוך הגליל, וב-SI הוא שווה להשוואת הביטויים הללו עבור השטף, אנו מוצאים

במערכת SGSE, עוצמת השדה של מישור אינסופי טעון אחיד ניתנת על ידי הנוסחה

עבור לוח טעון אחיד בעל ממדים סופיים, הביטויים המתקבלים תקפים בערך באזור הממוקם מספיק רחוק מקצוות הלוח ולא רחוק מדי מפני השטח שלו. בסמוך לקצוות הצלחת, השדה לא יהיה אחיד יותר וקווי השדה שלו יהיו כפופים. במרחקים גדולים מאוד בהשוואה לגודל הלוח, השדה פוחת עם המרחק באותו אופן כמו השדה של מטען נקודתי.

דוגמאות נוספות לשדות שנוצרו על ידי מקורות מפוזרים באופן סימטרי כוללות שדה של מטען אחיד לאורך חוט ישר אינסופי, שדה של גליל עגול אינסופי טעון אחיד, שדה של כדור,

טעון אחיד בכל הנפח וכו'. משפט גאוס מאפשר לחשב בקלות את עוצמת השדה בכל המקרים הללו.

משפט גאוס נותן קשר בין השדה למקורותיו, במובן מסוים הפוך לזה שניתן בחוק קולומב, המאפשר לקבוע את השדה החשמלי ממטענים נתונים. באמצעות משפט גאוס, ניתן לקבוע את המטען הכולל בכל אזור בחלל בו ידועה התפלגות השדה החשמלי.

מה ההבדל בין המושגים של פעולה ארוכת טווח וקצר טווח כאשר מתארים את האינטראקציה של מטענים חשמליים? באיזו מידה ניתן ליישם מושגים אלה על אינטראקציות כבידה?

מהי חוזק שדה חשמלי? למה הם מתכוונים כשזה נקרא הכוח המאפיין את השדה החשמלי?

כיצד ניתן לשפוט את כיוון וגודל עוצמת השדה בנקודה מסוימת לפי תבנית קווי השדה?

האם קווי שדה חשמלי יכולים להצטלב? תן סיבות לתשובה שלך.

צייר תמונה איכותית של קווי השדה האלקטרוסטטי של שני מטענים כך .

זרימת עוצמת השדה החשמלי דרך משטח סגור מתבטאת בנוסחאות שונות (11) ו-(12) ביחידות GSE ו-SI. כיצד ניתן ליישב זאת עם המשמעות הגיאומטרית של זרימה, הנקבעת לפי מספר קווי הכוח החוצים את פני השטח?

כיצד להשתמש במשפט גאוס כדי למצוא את עוצמת השדה החשמלי כאשר המטענים היוצרים אותו מופצים באופן סימטרי?

כיצד ליישם נוסחאות (14) ו-(15) כדי לחשב את עוצמת השדה של כדור עם מטען שלילי?

משפט גאוס והגיאומטריה של המרחב הפיזי.בואו נסתכל על ההוכחה למשפט גאוס מנקודת מבט קצת שונה. נחזור לנוסחה (7), ממנה הסיק כי אותו מספר של קווי כוח עובר דרך כל משטח כדורי המקיף מטען. מסקנה זו נובעת מכך שיש הפחתה במכנה של שני צידי השוויון.

בצד ימין היא נוצרה בשל העובדה שכוח האינטראקציה בין המטענים, המתואר בחוק קולומב, עומד ביחס הפוך לריבוע המרחק בין המטענים. בצד שמאל, המראה קשור לגיאומטריה: שטח הפנים של כדור פרופורציונלי לריבוע הרדיוס שלו.

המידתיות של שטח הפנים לריבוע הממדים הליניאריים היא סימן היכר של הגיאומטריה האוקלידית במרחב תלת מימדי. אכן, המידתיות של שטחים בדיוק לריבועים של מימדים ליניאריים, ולא לכל דרגה שלמה אחרת, אופיינית למרחב

שלושה מימדים. העובדה שהמעריך הזה שווה בדיוק לשניים, ואינו שונה משניים, אפילו בכמות קטנה באופן זניח, מצביעה על כך שהמרחב התלת מימדי הזה אינו מעוקל, כלומר שהגיאומטריה שלו היא בדיוק אוקלידית.

לפיכך, משפט גאוס הוא ביטוי של תכונות המרחב הפיזי בחוק היסודי של אינטראקציה בין מטענים חשמליים.

הרעיון של קשר הדוק בין חוקי היסוד של הפיזיקה לבין תכונות החלל הובע על ידי מוחות מצטיינים רבים הרבה לפני שהחוקים הללו עצמם הוקמו. לפיכך, I. קאנט, שלושה עשורים לפני גילוי חוק קולומב, כתב על תכונות החלל: "תלת מימדיות מתרחשת, ככל הנראה, מכיוון שחומרים בעולם הקיים פועלים זה על זה בצורה כזו שכוח הפעולה הוא ביחס הפוך לריבוע המרחק."

חוק קולומב ומשפט גאוס מייצגים למעשה את אותו חוק טבע המתבטא בצורות שונות. חוק קולומב משקף את המושג פעולה לטווח ארוך, בעוד שמשפט גאוס מגיע מהרעיון של שדה כוח שממלא את החלל, כלומר מהמושג פעולה לטווח קצר. באלקטרוסטטיקה, מקור שדה הכוח הוא מטען, והמאפיין של השדה הקשור למקור - זרימת העוצמה - אינו יכול להשתנות בחלל ריק שבו אין מטענים אחרים. מכיוון שניתן לדמיין את הזרימה חזותית כמערכת של קווי שדה, חוסר השינוי של הזרימה מתבטא בהמשכיות של קווים אלו.

משפט גאוס, המבוסס על המידתיות ההפוכה של האינטראקציה לריבוע המרחק ועל עיקרון הסופרפוזיציה (תוספת האינטראקציה), ישים לכל שדה פיזיקלי שבו פועל חוק הריבוע ההפוך. בפרט, זה נכון גם לשדה הכבידה. ברור שזה לא רק צירוף מקרים, אלא שיקוף של העובדה שגם אינטראקציות חשמליות וגם כבידה מתרחשות במרחב הפיזי האוקלידי התלת מימדי.

על איזו תכונה של חוק האינטראקציה של מטענים חשמליים מבוסס משפט גאוס?

הוכיחו, בהתבסס על משפט גאוס, שעוצמת השדה החשמלי של מטען נקודתי עומד ביחס הפוך לריבוע המרחק. באילו מאפיינים של סימטריית החלל נעשה שימוש בהוכחה זו?

כיצד משתקפת הגיאומטריה של המרחב הפיזי בחוק קולומב ובמשפט גאוס? איזו תכונה של חוקים אלה מציינת את הטבע האוקלידי של הגיאומטריה ואת התלת מימדיות של המרחב הפיזי?

שטף וקטור של חוזק שדה חשמלי.תן פלטפורמה קטנה דס(איור 1.2) חוצים את קווי השדה החשמלי, שכיוונם הוא עם הנורמלי נ זווית לאתר הזה א. בהנחה כי וקטור המתח ה לא משתנה בתוך האתר דס, בואו נגדיר זרימת וקטור מתחדרך הפלטפורמה דסאֵיך

דוה =ה דסחַסַת עָלִים א.(1.3)

מכיוון שצפיפות קווי החשמל שווה לערך המספרי של המתח ה, ואז מספר קווי החשמל שחוצים את האזורדס, יהיה שווה מספרית לערך הזרימהדוהדרך פני השטחדס. הבה נציג את הצד הימני של הביטוי (1.3) כמכפלה סקלרית של וקטורים הודס= נדס, איפה נ– וקטור יחידה נורמלי למשטחדס. לאזור יסודי ד סביטוי (1.3) מקבל את הצורה

דוה = הד ס

על פני כל האתר סהשטף של וקטור המתח מחושב כאינטגרל על פני השטח

זרימת וקטור אינדוקציה חשמלית.השטף של וקטור האינדוקציה החשמלי נקבע בדומה לשטף של וקטור חוזק השדה החשמלי

דוד = דד ס

קיימת אי בהירות מסוימת בהגדרות של זרימות בשל העובדה שלכל משטח שניים נורמליים בכיוון ההפוך. עבור משטח סגור, הנורמלי החיצוני נחשב חיובי.

משפט גאוס.בואו נשקול נקודה חיוביתמטען חשמלי ש, הממוקם בתוך משטח סגור שרירותי ס(איור 1.3). שטף וקטור אינדוקציה דרך אלמנט פני השטח d סשווים
(1.4)

רכיב ד S D = ד ס חַסַת עָלִים אאלמנט משטח ד סלכיוון וקטור האינדוקציהדנחשב כמרכיב של משטח כדורי ברדיוס ר, שבמרכזו נמצא המטעןש.

בהתחשב בכך ד S D/ ר 2 שווה גוף יסודיפינה דw, שמתחתיו מהנקודה שבה נמצא המטעןשאלמנט משטח d גלוי ס, אנו הופכים את הביטוי (1.4) לצורהד וד = ש ד w / 4 ע, משם, לאחר אינטגרציה על פני כל החלל המקיף את המטען, כלומר בתוך הזווית המוצקה מ-0 עד 4ע, אנחנו מקבלים

וד = ש.

זרימת וקטור האינדוקציה החשמלי דרך משטח סגור בעל צורה שרירותית שווה למטען הכלול בתוך משטח זה.

אם משטח סגור שרירותי סאינו מכסה תשלום נקודתי ש(איור 1.4), לאחר מכן, לאחר שבנו משטח חרוטי עם הקודקוד בנקודה שבה נמצא המטען, אנו מחלקים את המשטח סלשני חלקים: ס 1 ו ס 2. וקטור זרימה ד דרך פני השטח סאנו מוצאים כסכום האלגברי של שטפים דרך המשטחים ס 1 ו ס 2:

.

שני המשטחים מהנקודה בה נמצא המטען שנראה מזווית מוצקה אחת w. לכן הזרימות שוות

מאז בעת חישוב הזרימה דרך משטח סגור, אנו משתמשים נורמלי חיצוניאל פני השטח, קל לראות שהזרימה F 1D < 0, тогда как поток Ф2D> 0. זרימה כוללת Ф ד= 0. זה אומר ש זרימת וקטור האינדוקציה החשמלי דרך משטח סגור בעל צורה שרירותית אינה תלויה במטענים הממוקמים מחוץ למשטח זה.

אם השדה החשמלי נוצר על ידי מערכת של מטענים נקודתיים ש 1 , ש 2 ,¼ , qn, אשר מכוסה על ידי משטח סגור ס, אם כן, בהתאם לעקרון הסופרפוזיציה, השטף של וקטור האינדוקציה דרך משטח זה נקבע כסכום השטפים שנוצרו על ידי כל אחד מהמטענים. זרימת וקטור האינדוקציה החשמלי דרך משטח סגור בעל צורה שרירותית שווה לסכום האלגברי של המטענים המכוסים על ידי משטח זה:

יצוין כי האישומים צ'ילא חייב להיות נקודתי, תנאי הכרחי הוא שהשטח הטעון חייב להיות מכוסה לחלוטין על ידי פני השטח. אם בחלל התחום במשטח סגור ס, המטען החשמלי מופץ ברציפות, אז יש להניח שכל נפח יסודי ד Vיש חיוב. במקרה זה, בצד ימין של הביטוי (1.5), הסיכום האלגברי של המטענים מוחלף באינטגרציה על פני הנפח המוקף בתוך משטח סגור ס:

(1.6)

ביטוי (1.6) הוא הניסוח הכללי ביותר משפט גאוס: זרימת וקטור האינדוקציה החשמלי דרך משטח סגור בעל צורה שרירותית שווה לכלל המטען בנפח המכוסה על ידי משטח זה ואינה תלויה במטענים הממוקמים מחוץ למשטח הנבדק. ניתן לכתוב את משפט גאוס גם עבור הזרימה של וקטור חוזק השדה החשמלי:

.

תכונה חשובה של השדה החשמלי נובעת ממשפט גאוס: קווי כוח מתחילים או מסתיימים רק במטענים חשמליים או מגיעים לאינסוף. הבה נדגיש שוב כי, למרות העובדה כי עוצמת השדה החשמלי ה ואינדוקציה חשמלית ד תלוי במיקום במרחב של כל המטענים, הזרימות של הוקטורים הללו דרך משטח סגור שרירותי סנקבעים בלבד המטענים הממוקמים בתוך פני השטח ס.

צורה דיפרנציאלית של משפט גאוס.ציין זאת צורה אינטגרליתמשפט גאוס מאפיין את הקשר בין מקורות השדה החשמלי (מטענים) לבין מאפייני השדה החשמלי (מתח או אינדוקציה) בנפח Vשרירותי, אבל מספיק ליצירת יחסים אינטגרליים, גודל. על ידי חלוקת עוצמת הקול Vעבור נפחים קטנים V i, אנחנו מקבלים את הביטוי

תקף הן כמכלול והן עבור כל קדנציה. הבה נשנה את הביטוי המתקבל באופן הבא:

(1.7)

ושקול את הגבול אליו הביטוי בצד ימין של השוויון, המוקף בסוגריים מסולסלים, נוטה לחלוקה בלתי מוגבלת של הווליום V. במתמטיקה קוראים לגבול הזה הִסתַעֲפוּתוקטור (במקרה זה, הווקטור של אינדוקציה חשמלית ד):

סטייה וקטורית דבקואורדינטות קרטזיות:

לפיכך, הביטוי (1.7) הופך לצורה:

.

בהתחשב בכך שבחלוקה בלתי מוגבלת, הסכום בצד שמאל של הביטוי האחרון נכנס לאינטגרל נפח, אנו מקבלים

הקשר המתקבל חייב להיות מרוצה עבור כל נפח שנבחר באופן שרירותי V. זה אפשרי רק אם הערכים של האינטגרנדים בכל נקודה במרחב זהים. לכן, הסטייה של הווקטור דקשור לצפיפות המטען באותה נקודה על ידי השוויון

או עבור וקטור חוזק השדה האלקטרוסטטי

השוויון הזה מבטא את משפט גאוס ב צורה דיפרנציאלית.

שימו לב שבתהליך המעבר לצורה הדיפרנציאלית של משפט גאוס מתקבל יחס בעל אופי כללי:

.

הביטוי נקרא נוסחת גאוס-אוסטרוגרדסקי ומחבר את אינטגרל הנפח של ההתפצלות של וקטור עם הזרימה של וקטור זה דרך משטח סגור התוחם את הנפח.

שאלות

1) מה המשמעות הפיזיקלית של משפט גאוס לשדה האלקטרוסטטי בוואקום

2) יש מטען נקודתי במרכז הקובייהש. מהו השטף של וקטור? ה:

א) דרך כל פני השטח של הקוביה; ב) דרך אחד מהפנים של הקובייה.

האם התשובות ישתנו אם:

א) המטען אינו במרכז הקוביה, אלא בתוכה ; ב) המטען נמצא מחוץ לקובייה.

3) מהן צפיפות מטען ליניארית, משטח, נפח.

4) ציין את הקשר בין נפח וצפיפות מטען פני השטח.

5) האם השדה בחוץ מישורים אינסופיים מקבילים בעלי מטען הפוך ואחיד יכול להיות לא אפס?

6) דיפול חשמלי ממוקם בתוך משטח סגור. מהי הזרימה דרך המשטח הזה

הבה נבחן כיצד הערך של וקטור E משתנה בממשק בין שני מדיה, למשל אוויר (ε 1) ומים (ε = 81). עוצמת השדה במים פוחתת בפתאומיות בפקטור של 81. התנהגות וקטורית זו היוצר אי נוחות מסוימות בעת חישוב שדות בסביבות שונות. כדי למנוע אי נוחות זו, הוכנס וקטור חדש ד- וקטור של אינדוקציה או תזוזה חשמלית של השדה. חיבור וקטור דו הנראה כמו

ד = ε ε 0 ה.

ברור, עבור שדה של מטען נקודתי התזוזה החשמלית תהיה שווה ל

קל לראות שהתזוזה החשמלית נמדדת ב-C/m2, אינה תלויה במאפיינים ומיוצגת גרפית על ידי קווים הדומים לקווי מתח.

כיוון קווי השדה מאפיין את כיוון השדה במרחב (קווי שדה, כמובן, אינם קיימים, הם מוכנסים לשם נוחות ההמחשה) או כיוון וקטור עוצמת השדה. באמצעות קווי עוצמה, ניתן לאפיין לא רק את הכיוון, אלא גם את גודל עוצמת השדה. לשם כך, הוסכם לבצע אותם בצפיפות מסוימת, כך שמספר קווי המתח הפורצים משטח יחידה בניצב לקווי המתח יהיה פרופורציונלי למודול הווקטור. ה(איור 78). ואז מספר הקווים החודרים לאזור היסודי dS, הנורמלי אליו ניוצר זווית α עם הווקטור ה, שווה ל-E dScos α = E n dS,

כאשר E n הוא הרכיב הוקטור הלכיוון הרגיל נ. הערך dФ E = E n dS = הד סשקוראים לו זרימת וקטור המתח דרך האתרד ס(ד ס= dS נ).

עבור משטח סגור שרירותי S זרימת הווקטור הדרך משטח זה שווה

לביטוי דומה יש את הזרימה של וקטור התזוזה החשמלי Ф D

.

משפט אוסטרוגרדסקי-גאוס

משפט זה מאפשר לנו לקבוע את זרימת הוקטורים E ו-D מכל מספר של מטענים. ניקח מטען נקודתי Q ונגדיר את השטף של הווקטור הדרך משטח כדורי ברדיוס r, שבמרכזו הוא ממוקם.

עבור משטח כדורי α = 0, cos α = 1, E n = E, S = 4 πr 2 ו

Ф E = E · 4 πr 2.

החלפת הביטוי ב-E נקבל

לפיכך, מכל מטען נקודתי יוצאת זרימה של וקטור F E השווה ל-Q/ε 0. הכללת מסקנה זו למקרה הכללי של מספר שרירותי של מטענים נקודתיים, אנו נותנים את הניסוח של המשפט: הזרימה הכוללת של הווקטור הדרך משטח סגור בעל צורה שרירותית שווה מספרית לסכום האלגברי של המטענים החשמליים הכלולים בתוך משטח זה, חלקי ε 0, כלומר.

לשטף וקטור התזוזה החשמלי דאתה יכול לקבל נוסחה דומה

השטף של וקטור האינדוקציה דרך משטח סגור שווה לסכום האלגברי של המטענים החשמליים המכוסים על ידי משטח זה.

אם ניקח משטח סגור שאינו חובק מטען, אז כל שורה הו דיחצה את המשטח הזה פעמיים - בכניסה וביציאה, כך שהשטף הכולל מתברר כאפס. כאן יש צורך לקחת בחשבון את הסכום האלגברי של הקווים הנכנסים והיוצאים.

יישום משפט אוסטרוגרדסקי-גאוס לחישוב שדות חשמליים שנוצרו על ידי מישורים, כדורים וגליל

משטח כדורי ברדיוס R נושא מטען Q, המופץ באופן אחיד על פני המשטח עם צפיפות פני השטח σ

ניקח את נקודה A מחוץ לכדור במרחק r מהמרכז ונצייר כדור ברדיוס r מטען סימטרי (איור 79). השטח שלו הוא S = 4 πr 2. השטף של וקטור E יהיה שווה ל

לפי משפט אוסטרוגרדסקי-גאוס
, ומכאן,
אם לוקחים בחשבון ש-Q = σ 4 πr 2, נקבל

עבור נקודות הממוקמות על פני השטח של כדור (R = r)

ד עבור נקודות הממוקמות בתוך כדור חלול (אין מטען בתוך הכדור), E = 0.

2 . משטח גלילי חלול עם רדיוס R ואורך לטעון בצפיפות מטען קבועה על פני השטח
(איור 80). הבה נצייר משטח גלילי קואקסיאלי ברדיוס r > R.

וקטור זרימה הדרך המשטח הזה

לפי משפט גאוס

השוואת הצדדים הימניים של השוויון לעיל, נקבל

.

אם ניתנת צפיפות המטען הליניארית של הגליל (או חוט דק).
זֶה

3. שדה של מישורים אינסופיים עם צפיפות מטען פני השטח σ (איור 81).

בואו ניקח בחשבון את השדה שנוצר על ידי מישור אינסופי. משיקולי סימטריה עולה כי לעוצמה בכל נקודה בשדה יש ​​כיוון מאונך למישור.

בנקודות סימטריות E יהיה זהה בגודלו והפוך בכיוון.

הבה נבנה מחשבתית את פני השטח של גליל עם בסיס ΔS. אז תצא זרימה דרך כל אחד מבסיסי הגליל

F E = E ΔS, והזרימה הכוללת דרך המשטח הגלילי תהיה שווה ל-F E = 2E ΔS.

בתוך המשטח יש מטען Q = σ · ΔS. לפי משפט גאוס, זה חייב להיות נכון

איפה

התוצאה המתקבלת אינה תלויה בגובה הגליל הנבחר. לפיכך, עוצמת השדה E בכל מרחק זהה בגודלה.

עבור שני מישורים טעונים שונים עם אותה צפיפות מטען פני השטח σ, לפי עקרון הסופרפוזיציה, מחוץ לרווח שבין המישורים עוצמת השדה היא אפס E = 0, וברווח שבין המישורים
(איור 82א). אם המטוסים טעונים במטענים דומים בעלי אותה צפיפות מטען פני השטח, נצפית התמונה ההפוכה (איור 82b). ברווח שבין המישורים E = 0, וברווח שמחוץ למישורים
.

ניסוח כללי: הזרימה של וקטור חוזק השדה החשמלי דרך כל משטח סגור שנבחר באופן שרירותי היא פרופורציונלית למטען החשמלי הכלול בתוך משטח זה.

במערכת SGSE:

במערכת SI:

הוא זרימת וקטור חוזק השדה החשמלי דרך משטח סגור.

- המטען הכולל הכלול בנפח המגביל את פני השטח.

- קבוע חשמלי.

ביטוי זה מייצג את משפט גאוס בצורה אינטגרלית.

בצורה דיפרנציאלית, משפט גאוס מתאים לאחת מהמשוואות של מקסוול ומתבטא באופן הבא

במערכת SI:

,

במערכת SGSE:

הנה צפיפות המטען הנפחית (במקרה של נוכחות של מדיום, הצפיפות הכוללת של מטענים חופשיים וקשורים), והוא האופרטור nabla.

למשפט גאוס, עקרון הסופרפוזיציה תקף, כלומר זרימת וקטור העוצמה דרך המשטח אינה תלויה בחלוקת המטען בתוך המשטח.

הבסיס הפיזיקלי של משפט גאוס הוא חוק קולומב או, במילים אחרות, משפט גאוס הוא ניסוח אינטגרלי של חוק קולומב.

משפט גאוס לאינדוקציה חשמלית (תזוזה חשמלית).

עבור שדה בחומר, ניתן לכתוב את המשפט האלקטרוסטטי של גאוס בצורה שונה - דרך זרימת וקטור התזוזה החשמלי (אינדוקציה חשמלית). במקרה זה, הניסוח של המשפט הוא כדלקמן: זרימת וקטור התזוזה החשמלי דרך משטח סגור פרופורציונלית למטען החשמלי החופשי הכלול בתוך משטח זה:

אם ניקח בחשבון את משפט עוצמת השדה בחומר, אז כמטען Q יש צורך לקחת את סכום המטען החופשי שנמצא בתוך פני השטח ואת מטען הקיטוב (המושרה, קשור) של הדיאלקטרי:

,

איפה ,
הוא וקטור הקיטוב של הדיאלקטרי.

משפט גאוס לאינדוקציה מגנטית

השטף של וקטור האינדוקציה המגנטי דרך כל משטח סגור הוא אפס:

.

זה שווה ערך לעובדה שבטבע אין "מטענים מגנטיים" (מונופולים) שיצרו שדה מגנטי, כמו שמטענים חשמליים יוצרים שדה חשמלי. במילים אחרות, משפט גאוס לאינדוקציה מגנטית מראה שהשדה המגנטי הוא מערבולת.

יישום משפט גאוס

הכמויות הבאות משמשות לחישוב שדות אלקטרומגנטיים:

צפיפות מטען נפח (ראה לעיל).

צפיפות מטען פני השטח

כאשר dS הוא שטח פנים אינפיניטסימלי.

צפיפות מטען ליניארית

כאשר dl הוא אורך קטע אינפיניטסימלי.

הבה נבחן את השדה שנוצר על ידי מישור טעון אחיד אינסופי. תן לצפיפות המטען פני השטח של המישור להיות זהה ושווה ל-σ. הבה נדמיין גליל עם גנרטריצות מאונכות למישור ובסיס ΔS הממוקם באופן סימטרי ביחס למישור. בגלל סימטריה. השטף של וקטור המתח שווה ל. ביישום משפט גאוס, נקבל:

,

שממנו

במערכת SSSE

חשוב לציין שלמרות האוניברסליות והכלליות שלו, למשפט גאוס בצורת אינטגרל יש יישום מוגבל יחסית בשל אי הנוחות בחישוב האינטגרל. עם זאת, במקרה של בעיה סימטרית, הפתרון שלה הופך לפשוט הרבה יותר מאשר שימוש בעקרון הסופרפוזיציה.