אני מציע לשאר הקוראים להרחיב משמעותית את הידע בבית הספר שלהם על פרבולות והיפרבולות. היפרבולה ופרבולה - האם הן פשוטות? ...לא יכול לחכות =)

היפרבולה והמשוואה הקנונית שלה

המבנה הכללי של הצגת החומר יהיה דומה לפסקה הקודמת. נתחיל מהמושג הכללי של היפרבולה ומשימת בנייתה.

למשוואה הקנונית של היפרבולה יש את הצורה , שם הם מספרים ממשיים חיוביים. שימו לב, שלא כמו אֶלִיפְּסָה, לא מוטל כאן התנאי, כלומר, ערכו של "a" עשוי להיות קטן מערכו של "להיות".

אני חייב לומר, באופן די בלתי צפוי... משוואת ההיפרבולה של "בית הספר" אפילו לא דומה מאוד לסימון הקנוני. אבל התעלומה הזו עדיין תצטרך לחכות לנו, אבל לעת עתה בואו נגרד בראשנו ונזכור אילו תכונות אופייניות יש לעקומה המדוברת? בואו נפיץ את זה על מסך הדמיון שלנו גרף של פונקציה ….

להיפרבולה יש שני ענפים סימטריים.

התקדמות לא רעה! לכל היפרבולה יש את התכונות האלה, ועכשיו נתבונן בהערצה אמיתית על קו הצוואר של הקו הזה:

דוגמה 4

בנה את ההיפרבולה הניתנת על ידי המשוואה

פִּתָרוֹן: בשלב הראשון, אנו מביאים את המשוואה הזו לצורה קנונית. אנא זכרו את ההליך הסטנדרטי. בצד ימין אתה צריך לקבל "אחד", אז נחלק את שני הצדדים של המשוואה המקורית ב-20:

כאן אתה יכול להפחית את שני השברים, אבל זה אופטימלי יותר לעשות כל אחד מהם שלוש קומות:

ורק לאחר מכן בצעו את ההפחתה:

בחר את הריבועים במכנים:

מדוע עדיף לבצע טרנספורמציות כך? אחרי הכל, את השברים בצד שמאל ניתן להפחית מיד ולהשיג. העובדה היא שבדוגמה הנבדקת היה לנו קצת מזל: המספר 20 מתחלק גם ב-4 וגם ב-5. במקרה הכללי, מספר כזה לא עובד. שקול, למשל, את המשוואה. כאן עם חלוקה הכל עצוב יותר ובלי שברים של שלוש קומותכבר לא אפשרי:

אז, בואו נשתמש בפרי עמלנו - המשוואה הקנונית:

איך בונים היפרבולה?

ישנן שתי גישות לבניית היפרבולה - גיאומטרית ואלגברית.
מבחינה מעשית, ציור עם מצפן... הייתי אומר אפילו אוטופי, אז הרבה יותר משתלם להשתמש שוב בחישובים פשוטים כדי לעזור.

מומלץ לדבוק באלגוריתם הבא, תחילה את הציור המוגמר, ולאחר מכן את ההערות:

בפועל, לעיתים קרובות נתקלים בשילוב של סיבוב בזווית שרירותית ותרגום מקביל של ההיפרבולה. מצב זה נדון בכיתה צמצום משוואת שורה 2 לצורה קנונית.

פרבולה והמשוואה הקנונית שלה

זה גמור! היא האחת. מוכן לחשוף סודות רבים. למשוואה הקנונית של פרבולה יש את הצורה , כאשר הוא מספר ממשי. קל להבחין שבמיקומה הסטנדרטי הפרבולה "שוכבת על צדה" וקודקודה נמצא במקור. במקרה זה, הפונקציה מציינת את הענף העליון של קו זה, ואת הפונקציה - הענף התחתון. ברור שהפרבולה סימטרית על הציר. בעצם, למה לטרוח:

דוגמה 6

בנה פרבולה

פִּתָרוֹן: הקודקוד ידוע, בואו נמצא נקודות נוספות. המשוואה קובע את הקשת העליונה של הפרבולה, המשוואה קובעת את הקשת התחתונה.

על מנת לקצר את רישום החישובים, נבצע את החישובים "במברשת אחת":

להקלטה קומפקטית, ניתן לסכם את התוצאות בטבלה.

לפני ביצוע ציור יסודי נקודתי, בואו ננסח קפדנית

הגדרה של פרבולה:

פרבולה היא קבוצת כל הנקודות במישור שנמצאות במרחק שווה מנקודה נתונה ומקו נתון שאינו עובר דרך הנקודה.

הנקודה נקראת מוֹקֵדפרבולות, קו ישר - מְנַהֶלֶת (מאות ב"es" אחד)פרבולות. ה-"pe" הקבוע של המשוואה הקנונית נקרא פרמטר מוקד, ששווה למרחק מהמוקד לכיוון. במקרה הזה . במקרה זה, למוקד יש קואורדינטות, והכיוון ניתן על ידי המשוואה.
בדוגמה שלנו:

ההגדרה של פרבולה היא אפילו יותר פשוטה להבנה מההגדרות של אליפסה והיפרבולה. עבור כל נקודה על פרבולה, אורך הקטע (המרחק מהמוקד לנקודה) שווה לאורכו של הניצב (המרחק מהנקודה לכיוון):

מזל טוב! רבים מכם גילו היום תגלית אמיתית. מסתבר שהיפרבולה ופרבולה כלל אינם גרפים של פונקציות "רגילות", אלא יש להם מקור גיאומטרי בולט.

ברור שעם עלייה בפרמטר המוקד, ענפי הגרף "יתרומו" למעלה ולמטה, יתקרבו לאין ערוך לציר. ככל שערך ה"pe" יורד, הם יתחילו להידחס ולהימתח לאורך הציר

האקסצנטריות של כל פרבולה שווה לאחדות:

סיבוב ותרגום מקביל של פרבולה

הפרבולה היא אחד השורות הנפוצות ביותר במתמטיקה, ותצטרכו לבנות אותה לעתים קרובות מאוד. לכן, אנא שימו לב במיוחד לפסקה האחרונה של השיעור, שם אדון באפשרויות אופייניות למיקום של עקומה זו.

! הערה : כמו במקרים עם עקומות קודמות, נכון יותר לדבר על סיבוב ותרגום מקביל של צירי קואורדינטות, אך המחבר יגביל את עצמו לגרסה מפושטת של המצגת כך שלקורא תהיה הבנה בסיסית של טרנספורמציות אלו.

קחו בחשבון קו על המטוס ונקודה שאינה שוכבת על הקו הזה. ו אֶלִיפְּסָה, ו הִיפֵּרבּוֹלָהניתן להגדיר בצורה מאוחדת כמקום הגיאומטרי של נקודות שעבורן היחס בין המרחק לנקודה נתונה למרחק לישר נתון הוא ערך קבוע

דרגה ε. ב-0 1 - היפרבולה. הפרמטר ε הוא אקסצנטריות גם של אליפסה וגם של היפרבולה. מבין הערכים החיוביים האפשריים של הפרמטר ε, אחד, כלומר ε = 1, מתברר כלא בשימוש. ערך זה מתאים למיקום הגיאומטרי של נקודות במרחק שווה מנקודה נתונה ומקו נתון.

הגדרה 8.1.מוקד הנקודות במישור שנמצא במרחק שווה מנקודה קבועה ומקו קבוע נקרא פָּרַבּוֹלָה.

הנקודה הקבועה נקראת מוקד הפרבולה, והקו הישר - כיוון של פרבולה. יחד עם זאת, מאמינים כי אקסצנטריות פרבולהשווה לאחד.

משיקולים גיאומטריים עולה כי הפרבולה סימטרית ביחס לקו הישר הניצב לכיוון העובר במוקד הפרבולה. קו ישר זה נקרא ציר הסימטריה של הפרבולה או פשוט ציר הפרבולה. פרבולה חותכת את ציר הסימטריה שלה בנקודה אחת. נקודה זו נקראת קודקוד הפרבולה. הוא ממוקם באמצע הקטע המחבר את מוקד הפרבולה עם נקודת החיתוך של הציר שלה עם הכיוון (איור 8.3).

משוואת פרבולה.כדי לגזור את המשוואה של פרבולה, אנו בוחרים במישור מָקוֹרבקודקוד הפרבולה, כמו ציר x- ציר הפרבולה, שהכיוון החיובי עליו מצוין לפי מיקום המוקד (ראה איור 8.3). מערכת קואורדינטות זו נקראת קנוניעבור הפרבולה המדוברת, והמשתנים המתאימים הם קנוני.

הבה נסמן את המרחק מהמוקד לכיוון ב-p. הוא נקרא פרמטר מוקד של הפרבולה.

אז למוקד יש קואורדינטות F(p/2; 0), והכיוון d מתואר על ידי המשוואה x = - p/2. המוקד של נקודות M(x; y), במרחק שווה מהנקודה F ומהשורה d, ניתן על ידי המשוואה

הבה נציג משוואת ריבוע (8.2) ונציג דומות. אנחנו מקבלים את המשוואה

שנקרא משוואת פרבולה קנונית.

שימו לב שהריבוע במקרה זה הוא טרנספורמציה שווה ערך של המשוואה (8.2), שכן שני הצדדים של המשוואה אינם שליליים, וכך גם הביטוי תחת הרדיקל.

סוג של פרבולה.אם הפרבולה y 2 = x, שצורתה אנו רואים כידועה, נדחסת עם מקדם 1/(2р) לאורך ציר האבססיס, אזי מתקבלת פרבולה בעלת צורה כללית, המתוארת במשוואה (8.3).

דוגמה 8.2.הבה נמצא את הקואורדינטות של המוקד ואת משוואת הכיוון של פרבולה אם היא עוברת דרך נקודה שהקואורדינטות הקנוניות שלה הן (25; 10).

בקואורדינטות קנוניות, למשוואת הפרבולה יש את הצורה y 2 = 2px. מכיוון שהנקודה (25; 10) נמצאת על הפרבולה, אז 100 = 50p ולכן p = 2. לכן, y 2 = 4x היא המשוואה הקנונית של הפרבולה, x = - 1 היא משוואת הכיוון שלה, וה- המיקוד נמצא בנקודה (1; 0 ).

תכונה אופטית של פרבולה.לפרבולה יש את הדברים הבאים תכונה אופטית. אם מקור אור ממוקם במוקד הפרבולה, אזי כל קרני האור לאחר השתקפות מהפרבולה יהיו מקבילות לציר הפרבולה (איור 8.4). התכונה האופטית פירושה שבכל נקודה M של הפרבולה וקטור רגילהטנגנס יוצר זוויות שוות עם רדיוס המוקד MF וציר האבשסיס.

רמה III

3.1. היפרבולה נוגעת בקווים 5 איקס – 6y – 16 = 0, 13איקס – 10y– – 48 = 0. רשמו את משוואת ההיפרבולה בתנאי שהצירים שלה עולים בקנה אחד עם צירי הקואורדינטות.

3.2. כתוב משוואות למשיקים להיפרבולה

1) עובר דרך נקודה א(4, 1), ב(5, 2) ו ג(5, 6);

2) במקביל לקו ישר 10 איקס – 3y + 9 = 0;

3) מאונך לקו ישר 10 איקס – 3y + 9 = 0.

פָּרַבּוֹלָההוא המיקום הגיאומטרי של נקודות במישור שהקואורדינטות שלהן עומדות במשוואה

פרמטרי פרבולה:

נְקוּדָה ו(ע/2, 0) נקרא מוֹקֵד פרבולות, גודל ע – פָּרָמֶטֶר , נקודה על אודות(0, 0) – חלק עליון . במקרה זה, הקו הישר שֶׁל, שעליה הפרבולה סימטרית, מגדיר את הציר של עקומה זו.

עוצמה איפה M(איקס, y) – נקודה שרירותית של פרבולה, הנקראת רדיוס מוקד , ישר ד: איקס = –ע/2 – מְנַהֶלֶת (הוא לא חוצה את האזור הפנימי של הפרבולה). עוצמה נקראת האקסצנטריות של הפרבולה.

התכונה האופיינית העיקרית של פרבולה: כל הנקודות של הפרבולה נמצאות במרחק שווה מהכיוון והמוקד (איור 24).

ישנן צורות אחרות של משוואת הפרבולות הקנונית הקובעות כיוונים אחרים של הענפים שלה במערכת הקואורדינטות (איור 25):

ל הגדרה פרמטרית של פרבולה כפרמטר טניתן לקחת את ערך הסמין של נקודת הפרבולה:

איפה טהוא מספר ממשי שרירותי.

דוגמה 1.קבע את הפרמטרים והצורה של פרבולה באמצעות המשוואה הקנונית שלה:

פִּתָרוֹן. 1. משוואה y 2 = –8איקסמגדיר פרבולה עם קודקוד בנקודה על אודות אה. הענפים שלו מכוונים שמאלה. השוואה בין המשוואה הזו למשוואה y 2 = –2פיקסלים, אנו מוצאים: 2 ע = 8, ע = 4, ע/2 = 2. לכן, הפוקוס נמצא בנקודה ו(–2; 0), משוואת הכיוון ד: איקס= 2 (איור 26).

2. משוואה איקס 2 = –4yמגדיר פרבולה עם קודקוד בנקודה O(0; 0), סימטרי על הציר אוי. ענפיו מופנים כלפי מטה. השוואה בין המשוואה הזו למשוואה איקס 2 = –2py, אנו מוצאים: 2 ע = 4, ע = 2, ע/2 = 1. לכן, הפוקוס נמצא בנקודה ו(0; –1), משוואת ישיר ד: y= 1 (איור 27).

דוגמה 2.קבע פרמטרים וסוג העקומה איקס 2 + 8איקס – 16y– 32 = 0. צרו ציור.

פִּתָרוֹן.בואו נהפוך את הצד השמאלי של המשוואה בשיטת החילוץ של הריבוע המלא:

איקס 2 + 8איקס– 16y – 32 =0;

(איקס + 4) 2 – 16 – 16y – 32 =0;

(איקס + 4) 2 – 16y – 48 =0;

(איקס + 4) 2 – 16(y + 3).

כתוצאה מכך אנחנו מקבלים

(איקס + 4) 2 = 16(y + 3).

זוהי המשוואה הקנונית של פרבולה עם הקודקוד בנקודה (–4, –3), הפרמטר ע= 8, ענפים מצביעים כלפי מעלה (), ציר איקס= –4. הפוקוס הוא על הנקודה ו(–4; –3 + ע/2), כלומר ו(–4; 1) מנהלת דנתון על ידי המשוואה y = –3 – ע/2 או y= –7 (איור 28).

דוגמה 4.כתוב משוואה עבור פרבולה עם הקודקוד שלה בנקודה V(3; –2) והתמקד בנקודה ו(1; –2).

פִּתָרוֹן.הקודקוד והמוקד של פרבולה נתונה נמצאים על קו ישר מקביל לציר שׁוֹר(אותן קודקודים), ענפי הפרבולה מכוונים שמאלה (האבשיסה של המוקד קטנה מהאבשיסה של הקודקוד), המרחק מהמוקד לקודקוד הוא ע/2 = 3 – 1 = 2, ע= 4. לפיכך, המשוואה הנדרשת

(y+ 2) 2 = –2 4( איקס– 3) או ( y + 2) 2 = = –8(איקס – 3).

משימות לפתרון עצמאי

אני ברמה

1.1. קבע את הפרמטרים של הפרבולה ובנה אותה:

1) y 2 = 2איקס; 2) y 2 = –3איקס;

3) איקס 2 = 6y; 4) איקס 2 = –y.

1.2. כתוב את המשוואה של פרבולה עם הקודקוד שלה במקור אם אתה יודע ש:

1) הפרבולה ממוקמת בחצי המישור השמאלי באופן סימטרי ביחס לציר שׁוֹרו ע = 4;

2) הפרבולה ממוקמת באופן סימטרי ביחס לציר אויועובר דרך הנקודה M(4; –2).

3) הכיוון ניתן על ידי משוואה 3 y + 4 = 0.

1.3. כתוב משוואה לעקומה שכל נקודותיה נמצאות במרחק שווה מהנקודה (2; 0) ומהקו הישר איקס = –2.

רמה II

2.1. קבע את הסוג והפרמטרים של העקומה.

6. המשפט על פירוק דטרמיננט לסכום של דטרמיננטים והשלכות ממנו.

7. המשפט על הרחבת הקובע למרכיבי שורה (עמודה) והשלכותיו.

8. פעולות על מטריצות ותכונותיהן. תוכיח אחד מהם.

9. פעולת טרנספוזיציה מטריצה ​​ותכונותיה.

10. הגדרה של מטריצה ​​הפוכה. הוכח שלכל מטריצה ​​הפיכה יש רק היפוך אחד.

13. מטריצות בלוק. חיבור וכפל מטריצות בלוק. משפט על הקובע של מטריצה ​​מעין משולשת.

14. משפט על הקובע של מכפלת המטריצות.

15. משפט על קיומה של מטריצה ​​הפוכה.

16. קביעת דרגה מטריצה. המשפט על בסיס מינור ותולדתו.

17. מושג התלות הלינארית של השורות והעמודות של מטריצה. משפט דירוג מטריצה.

18. שיטות לחישוב דרגת מטריצה: שיטת הגבול עם קטינים, שיטת התמרות היסודיות.

19. יישום של טרנספורמציות יסודיות של שורות בלבד (רק עמודות) כדי למצוא את המטריצה ​​ההפוכה.

20. מערכות משוואות ליניאריות. קריטריון ההתאמה וקריטריון הוודאות.

21. פתרון מערכת משותפת של משוואות ליניאריות.

22. מערכות הומוגניות של משוואות ליניאריות. משפט על קיומה של מערכת יסוד של פתרונות.

23. פעולות ליניאריות על וקטורים ותכונותיהם. תוכיח אחד מהם.

24. קביעת ההפרש בין שני וקטורים. הוכח כי עבור כל וקטור וההבדל קיים והוא ייחודי.

25. הגדרת הבסיס, קואורדינטות וקטוריות בבסיס. משפט על פירוק וקטור ביחס לבסיס.

26. תלות לינארית של וקטורים. תכונות המושג תלות ליניארית, מוכיחות אחת מהן.

28. מערכות קואורדינטות קרטזיות במרחב, במישור ובקו. משפט על שילוב ליניארי של וקטורים והשלכות ממנו.

29. גזירת נוסחאות המבטאות את הקואורדינטות של נקודה ב-DCS אחד דרך הקואורדינטות של אותה נקודה ב-DCS אחר.

30. מכפלת נקודות של וקטורים. הגדרה ומאפיינים בסיסיים.

31. מכפלת צולב של וקטורים. הגדרה ומאפיינים בסיסיים.

32. מכפלה מעורבת של וקטורים. הגדרה ומאפיינים בסיסיים.

33. מכפלה וקטורית כפולה של וקטורים. הגדרה ונוסחה לחישוב (ללא הוכחה).

34. קווים ומשטחים אלגבריים. משפטים על אי-השתנות (אי-משתנה) של סדר.

35. משוואות כלליות של מישור וקו.

36. משוואות פרמטריות של ישר ומישור.

37. מעבר ממשוואות כלליות של מישור וקו במישור למשוואות הפרמטריות שלהם. המשמעות הגיאומטרית של המקדמים a,b,c (a,b) במשוואה הכללית של מישור (קו ישר במישור).

38. ביטול פרמטר ממשוואות פרמטריות במישור (במרחב), משוואות קנוניות של ישר.

39. משוואות וקטוריות של ישר ומישור.

40. משוואות כלליות של קו ישר במרחב, צמצום לצורה קנונית.

41. מרחק מנקודה למישור. מרחק מנקודה לקו. בעיות אחרות לגבי קווים ומטוסים.

42. הגדרה של אליפסה. משוואה קנונית של אליפסה. משוואות פרמטריות של אליפסה. אקסצנטריות אליפסית.

44. הגדרה של פרבולה. גזירת משוואת הפרבולה הקנונית.

45. עקומות מסדר שני וסיווגם. המשפט המרכזי על kvp.

45. משטחים מסדר שני וסיווגם. המשפט המרכזי על pvp. משטחים של סיבוב.

47. הגדרה של מרחב ליניארי. דוגמאות.

49. הגדרת המרחב האוקלידי. אורך וקטור. זווית בין וקטורים. אי שוויון של קאוצ'י-בוניאקובסקי. דוגמא.

50. הגדרת המרחב האוקלידי. משפט פיתגורס. אי שוויון במשולש דוגמה.

44. הגדרה של פרבולה. גזירת משוואת הפרבולה הקנונית.

הַגדָרָה:פרבולה היא מוקד הנקודות במישור שהמרחק לנקודה קבועה כלשהי F של מישור זה שווה למרחק לקו ישר קבוע כלשהו. נקודה F נקראת מוקד הפרבולה, והקו הקבוע נקרא כיוון הפרבולה.

כדי לגזור את המשוואה, אנו בונים:

עם לפי ההגדרה:

מכיוון ש-2 >=0, הפרבולה נמצאת בחצי המישור הימני. כאשר x גדל מ-0 לאינסוף
. הפרבולה סימטרית לגבי שור. נקודת החיתוך של פרבולה עם ציר הסימטריה שלה נקראת קודקוד הפרבולה.

45. עקומות מסדר שני וסיווגם. המשפט המרכזי על kvp.

ישנם 8 סוגים של KVP:

1.אליפסות

2. היפרבולות

3.פרבולות

עקומות 1,2,3 הם קטעים קנוניים. אם נחצה את החרוט עם מישור מקביל לציר החרוט, נקבל היפרבולה. אם המישור מקביל לגנרטריקס, אז זה פרבולה. כל המטוסים אינם עוברים דרך קודקוד החרוט. אם זה כל מישור אחר, אז זה אליפסה.

4. זוג קווים מקבילים y 2 +a 2 =0, a0

5. זוג קווים מצטלבים y 2 -k 2 x 2 =0

6. קו ישר אחד y 2 =0

7. נקודה אחת x 2 + y 2 =0

8.סט ריק - עקומה ריקה (עקומה ללא נקודות) x 2 + y 2 +1=0 או x 2 + 1=0

משפט (משפט ראשי על KVP):משוואה של הצורה

א 11 איקס 2 + 2 א 12 x y + a 22 y 2 + 2 א 1 x + 2a 2 y+a 0 = 0

יכול לייצג רק עקומה של אחד משמונת הסוגים הללו.

רעיון של הוכחההוא לעבור למערכת קואורדינטות שבה משוואת KVP תלבש את הצורה הפשוטה ביותר, כאשר סוג העקומה שהיא מייצגת הופך ברור. המשפט מוכח על ידי סיבוב מערכת הקואורדינטות בזווית שבה נעלם האיבר עם מכפלת הקואורדינטות. ובעזרת העברה מקבילה של מערכת הקואורדינטות שבה או האיבר עם המשתנה x או האיבר עם המשתנה y נעלם.

מעבר למערכת קואורדינטות חדשה: 1. העברה מקבילה

2. סובב

45. משטחים מסדר שני וסיווגם. המשפט המרכזי על pvp. משטחים של סיבוב.

פ VP - קבוצת נקודות שהקואורדינטות המלבניות שלהן עומדות במשוואת המעלה השנייה: (1)

ההנחה היא שלפחות אחד מהמקדמים של ריבועים או מוצרים שונה מ-0. המשוואה היא בלתי משתנה ביחס לבחירת מערכת הקואורדינטות.

מִשׁפָּטכל מטוס חוצה את ה-PVP לאורך ה-CVP, למעט מקרה מיוחד כאשר המטוס כולו נמצא בקטע (ה-PVP יכול להיות מטוס או זוג מטוסים).

ישנם 15 סוגים של PVP. הבה נרשום אותם, תוך ציון המשוואות שבאמצעותן הם מצוינים במערכות קואורדינטות מתאימות. משוואות אלו נקראות קנוניות (הפשוטות ביותר). בנו תמונות גיאומטריות המתאימות למשוואות קנוניות בשיטה של ​​חתכים מקבילים: חותכים את פני השטח עם מישורי קואורדינטות ומישורים מקבילים להם. התוצאה היא חתכים ועיקולים שנותנים מושג על צורת המשטח.

1. אליפסואיד.

אם a=b=c אז נקבל כדור.

2. היפרבולואידים.

1). היפרבולואיד של גיליון אחד:

חתך של היפרבולואיד בעל גיליון יחיד לפי מישורי קואורדינטות: XOZ:
- יתרון.

YOZ:
- יתרון.

מטוס XOY:
- אליפסה.

2). היפרבולואיד של שני גיליונות.

המקור הוא נקודת סימטריה.

מישורי קואורדינטות הם מישורי סימטריה.

מָטוֹס ז = חחוצה היפרבולואיד לאורך אליפסה
, כלומר מָטוֹס ז = חמתחיל לחתוך את ההיפרבולואיד ב- | ח |  ג. חתך של היפרבולואיד לפי מישורים איקס = 0 ו y = 0 - אלו היפרבולות.

המספרים a, b, c במשוואות (2), (3), (4) נקראים חצאי צירים של אליפסואידים והיפרבולואידים.

3. פרבולואידים.

1). פרבולואיד אליפטי:

קטע מטוס ז = חיש
, איפה
. מהמשוואה ברור ש- z  0 היא קערה אינסופית.

צומת מטוסים y = חו איקס= ח
- זו פרבולה ובכלל

2). פרבולואיד היפרבולי:

ברור שמטוסי XOZ ו-YOZ הם מישורי סימטריה, ציר ה-Z הוא ציר הפרבולואיד. חיתוך של פרבולואיד עם מישור ז = ח- היפרבולות:
,
. מָטוֹס ז=0 חוצה פרבולואיד היפרבולי לאורך שני צירים
שהם אסימפטוטים.

4. קונוס וצילינדרים מהסדר השני.

1). חרוט הוא משטח
. החרוט נוצר על ידי קווים ישרים העוברים דרך המקור 0 (0, 0, 0). החתך של חרוט הוא אליפסה עם צירים למחצה
.

2). צילינדרים מסדר שני.

זהו צילינדר אליפטי
.

כל קו שניקח שחותך את אליפסות ומקביל לציר עוץ עונה על המשוואה הזו. על ידי הזזת הקו הישר הזה מסביב לאליפסה נקבל משטח.

G צילינדר היפרבולי:

במטוס XOU זו היפרבולה. אנו מזיזים את הקו הישר החותך את ההיפרבולה במקביל לאוז לאורך ההיפרבולה.

צילינדר פרבולי:

נ ומטוס XOU הוא פרבולה.

משטחים גליליים נוצרים על ידי קו ישר (גנרטיבי) הנע במקביל לעצמו לאורך קו ישר מסוים (מדריך).

10. זוג מישורים מצטלבים

11.זוג מישורים מקבילים

12.
- ישר

13. קו ישר - "גליל" הבנוי על נקודה אחת

14.נקודה אחת

15. סט ריק

המשפט המרכזי על PVP:כל PVP שייך לאחד מ-15 הסוגים שנדונו לעיל. אין PVP אחר.

משטחים של סיבוב.תנו ל-PDSC Oxyz להיות נתון ובמישור Oyz את הקו e המוגדר על ידי המשוואה F(y,z)=0 (1). בואו ניצור משוואה למשטח המתקבל על ידי סיבוב הקו הזה סביב ציר עוץ. ניקח נקודה M(y,z) בקו ה. כאשר המטוס Oyz מסתובב סביב עוץ, נקודה M תתאר מעגל. תן N(X,Y,Z) להיות נקודה שרירותית של המעגל הזה. ברור ש-z=Z.

.

החלפת הערכים המצויים של z ו-y במשוואה (1) נקבל את השוויון הנכון:
הָהֵן. הקואורדינטות של נקודה N מספקות את המשוואה
. לפיכך, כל נקודה על פני המהפכה עומדת במשוואה (2). לא קשה להוכיח שאם נקודה N(x 1 ,y 1 ,z 1) עומדת במשוואה (2) אז היא שייכת למשטח הנבדק. כעת אנו יכולים לומר שמשוואה (2) היא המשוואה הרצויה עבור פני השטח של המהפכה.

"

לאורך פרק זה מניחים שנבחר קנה מידה מסוים במישור (שבו שוכבות כל הדמויות הנחשבות להלן); רק מערכות קואורדינטות מלבניות עם סולם זה נחשבות.

§ 1. פרבולה

פרבולה מוכרת לקורא מקורס במתמטיקה בבית הספר בתור עקומה, שהיא הגרף של פונקציה

(איור 76). (1)

גרף של כל טרינום ריבועי

הוא גם פרבולה; אפשרי פשוט על ידי הזזה של מערכת הקואורדינטות (על ידי OO וקטור כלשהו), כלומר שינוי

ודא שגרף הפונקציה (במערכת הקואורדינטות השנייה) עולה בקנה אחד עם גרף (2) (במערכת הקואורדינטות הראשונה).

למעשה, הבה נחליף את (3) בשוויון (2). אנחנו מקבלים

אנו רוצים לבחור כך שהמקדם at והאיבר החופשי של הפולינום (ביחס ל) בצד ימין של השוויון הזה יהיו שווים לאפס. לשם כך, אנו קובעים מהמשוואה

שנותן

כעת אנו קובעים מהתנאי

שלתוכו אנו מחליפים את הערך שכבר נמצא. אנחנו מקבלים

אז, באמצעות משמרת (3), שבה

עברנו למערכת קואורדינטות חדשה, שבה משוואת הפרבולה (2) קיבלה את הצורה

(איור 77).

נחזור למשוואה (1). זה יכול לשמש כהגדרה של פרבולה. הבה נזכור את המאפיינים הפשוטים ביותר שלו. לעקומה יש ציר סימטריה: אם נקודה עומדת במשוואה (1), אזי נקודה סימטרית לנקודה M ביחס לציר הסמטרה עומדת גם במשוואה (1) - העקומה היא סימטרית ביחס לציר הסמטה (איור 76). .

אם , אז פרבולה (1) שוכנת בחצי המישור העליון, בעלת נקודה משותפת יחידה O עם ציר האבססיס.

עם עלייה בלתי מוגבלת בערך המוחלט של האבשיסה, גם הסמיכה עולה ללא הגבלה. התצוגה הכללית של העקומה מוצגת באיור. 76, א.

אם (איור 76, ב), אז העקומה ממוקמת בחצי המישור התחתון באופן סימטרי ביחס לציר האבססיס לעיקול.

אם נעבור למערכת קואורדינטות חדשה, המתקבלת מהישנה על ידי החלפת הכיוון החיובי של ציר הסמטה בכיוון ההפוך, אז הפרבולה, שיש לה את המשוואה y במערכת הישנה, ​​תקבל את המשוואה y בחדשה. מערכת קואורדינטות. לכן, כאשר לומדים פרבולות, אנו יכולים להגביל את עצמנו למשוואות (1), שבהן .

נשנה לבסוף את שמות הצירים, כלומר נעבור למערכת קואורדינטות חדשה, שבה ציר הסמטה יהיה ציר האבשסיס הישן, וציר האבשסיס יהיה ציר הסמטה הישן. במערכת החדשה הזו, משוואה (1) תיכתב בצורה

או, אם המספר מסומן ב-, בטופס

משוואה (4) נקראת בגיאומטריה אנליטית המשוואה הקנונית של פרבולה; מערכת הקואורדינטות המלבנית שבה לפרבולה נתונה יש משוואה (4) נקראת מערכת הקואורדינטות הקנונית (עבור פרבולה זו).

כעת נקבע את המשמעות הגיאומטרית של המקדם. לשם כך אנו לוקחים את הנקודה

נקרא המוקד של פרבולה (4), והקו הישר d, המוגדר על ידי המשוואה

קו זה נקרא הכיוון של הפרבולה (4) (ראה איור 78).

לאפשר להיות נקודה שרירותית של הפרבולה (4). מהמשוואה (4) עולה כי לכן, המרחק של הנקודה M מהכיוון d הוא המספר

המרחק של נקודה M מהמוקד F הוא

אבל, לכן

אז כל הנקודות M של הפרבולה נמצאות במרחק שווה מהמוקד והכיוון שלה:

לעומת זאת, כל תנאי המקיים נקודה M (8) נמצאת על פרבולה (4).

אכן,

לָכֵן,

ולאחר פתיחת הסוגריים והבאת מונחים דומים,

הוכחנו שכל פרבולה (4) היא המוקד של נקודות במרחק שווה מהמוקד F ומהכיוון d של פרבולה זו.

במקביל, קבענו את המשמעות הגיאומטרית של המקדם במשוואה (4): המספר שווה למרחק בין המוקד לכיוון הפרבולה.

נניח כעת שנקודה F וקו d שאינם עוברים בנקודה זו ניתנים באופן שרירותי במישור. הבה נוכיח שקיימת פרבולה עם מוקד F ו-directrix d.

לשם כך, צייר קו g דרך נקודה F (איור 79), מאונך לקו d; הבה נסמן את נקודת החיתוך של שני הקווים ב-D; המרחק (כלומר המרחק בין נקודה F לקו הישר d) יסומן ב-.

הבה נהפוך את הקו הישר g לציר, ניקח את הכיוון DF עליו כחיובי. הבה נהפוך את הציר הזה לציר האבשסיס של מערכת קואורדינטות מלבנית, שמקורה הוא ה-O האמצעי של הקטע

אז ישר d מקבל גם את המשוואה.

כעת נוכל לכתוב את המשוואה הקנונית של הפרבולה במערכת הקואורדינטות שנבחרה:

כאשר נקודה F תהיה המוקד, וקו הישר d יהיה הכיוון של הפרבולה (4).

קבענו לעיל כי פרבולה היא המיקום של נקודות M במרחק שווה מנקודה F ומקו d. אז, אנחנו יכולים לתת הגדרה גיאומטרית כזו (כלומר, בלתי תלויה בכל מערכת קואורדינטות) של פרבולה.

הַגדָרָה. פרבולה היא מוקד הנקודות הנמצאות במרחק שווה מנקודה קבועה כלשהי ("המוקד" של הפרבולה) ומקו קבוע כלשהו ("הכיוון" של הפרבולה).