Fluks vektor induksi elektrostatis. Aliran vektor induksi listrik. Penurunan teorema Ostrogradsky – Gauss

Mari kita perhatikan bagaimana nilai vektor E berubah pada antarmuka antara dua media, misalnya udara (ε 1) dan air (ε = 81). Kuat medan air berkurang secara tiba-tiba sebesar 81 kali lipat. Perilaku vektor ini E menciptakan ketidaknyamanan tertentu saat menghitung bidang di berbagai lingkungan. Untuk menghindari ketidaknyamanan ini, vektor baru diperkenalkan D– vektor induksi atau perpindahan listrik medan. Koneksi vektor D Dan E seperti

D = ε ε 0 E.

Jelasnya, untuk medan muatan titik, perpindahan listriknya akan sama dengan

Sangat mudah untuk melihat bahwa perpindahan listrik diukur dalam C/m2, tidak bergantung pada sifat-sifatnya dan secara grafis diwakili oleh garis-garis yang mirip dengan garis tegangan.

Arah garis medan mencirikan arah medan dalam ruang (tentu saja, garis medan tidak ada, garis tersebut diperkenalkan untuk memudahkan ilustrasi) atau arah vektor kuat medan. Dengan menggunakan garis intensitas, Anda tidak hanya dapat mengkarakterisasi arah, tetapi juga besarnya kekuatan medan. Untuk itu disepakati untuk melaksanakannya dengan kepadatan tertentu, sehingga jumlah garis tegangan yang menembus suatu satuan permukaan yang tegak lurus garis tegangan sebanding dengan modulus vektor. E(Gbr. 78). Maka banyaknya garis yang menembus luas dasar dS, garis normalnya N membentuk sudut α dengan vektor E, sama dengan E dScos α = E n dS,

dimana E n adalah komponen vektor E ke arah normal N. Nilai dФ E = E n dS = E D S ditelepon aliran vektor tegangan melalui situs D S(D S= dS N).

Untuk permukaan tertutup sembarang S, aliran vektor E melalui permukaan ini adalah sama

Ekspresi serupa memiliki aliran vektor perpindahan listrik D

.

Teorema Ostrogradsky-Gauss

Teorema ini memungkinkan kita menentukan aliran vektor E dan D dari sejumlah muatan. Mari kita ambil muatan titik Q dan tentukan fluks vektornya E melalui permukaan bola berjari-jari r, yang titik pusatnya berada.

Untuk permukaan bola α = 0, cos α = 1, E n = E, S = 4 πr 2 dan

Ф E = E · 4 πr 2 .

Mengganti ekspresi untuk E kita dapatkan

Jadi, dari setiap muatan titik muncul aliran vektor F E E sama dengan Q/ ε 0 . Menggeneralisasikan kesimpulan ini ke kasus umum sejumlah muatan titik, kami memberikan rumusan teorema: aliran total vektor E melalui permukaan tertutup yang bentuknya berubah-ubah secara numerik sama dengan jumlah aljabar muatan listrik yang terkandung di dalam permukaan ini, dibagi dengan ε 0, yaitu.

Untuk fluks vektor perpindahan listrik D Anda bisa mendapatkan rumus serupa

fluks vektor induksi melalui permukaan tertutup sama dengan jumlah aljabar muatan listrik yang ditutupi oleh permukaan tersebut.

Jika kita mengambil permukaan tertutup yang tidak menampung muatan, maka setiap garisnya E Dan D akan melintasi permukaan ini dua kali - di pintu masuk dan keluar, sehingga fluks totalnya menjadi nol. Di sini perlu memperhitungkan jumlah aljabar dari garis masuk dan keluar.

Penerapan teorema Ostrogradsky-Gauss untuk menghitung medan listrik yang ditimbulkan oleh bidang, bola, dan silinder

Permukaan bola berjari-jari R membawa muatan Q, terdistribusi merata di seluruh permukaan dengan kepadatan permukaan σ

Mari kita ambil titik A di luar bola pada jarak r dari pusat dan secara mental menggambar bola berjari-jari r bermuatan simetris (Gbr. 79). Luasnya S = 4 πr 2. Fluks vektor E akan sama dengan

Menurut teorema Ostrogradsky-Gauss
, karena itu,
dengan memperhitungkan bahwa Q = σ 4 πr 2 , kita peroleh

Untuk titik-titik yang terletak pada permukaan bola (R = r)

D Untuk titik-titik yang terletak di dalam bola berongga (tidak ada muatan di dalam bola), E = 0.

2 . Permukaan silinder berongga dengan jari-jari R dan panjang aku bermuatan dengan kerapatan muatan permukaan yang konstan
(Gbr. 80). Mari kita menggambar permukaan silinder koaksial dengan jari-jari r > R.

Vektor aliran E melalui permukaan ini

Menurut teorema Gauss

Menyamakan ruas kanan persamaan di atas, kita peroleh

.

Jika kerapatan muatan linier silinder (atau benang tipis) diberikan
Itu

3. Bidang bidang tak hingga dengan kerapatan muatan permukaan σ (Gbr. 81).

Mari kita perhatikan bidang yang diciptakan oleh bidang tak hingga. Dari pertimbangan simetri dapat disimpulkan bahwa intensitas di setiap titik medan mempunyai arah tegak lurus terhadap bidang.

Pada titik-titik simetris E besarnya sama dan arahnya berlawanan.

Mari kita secara mental membuat permukaan silinder dengan alas ΔS. Kemudian akan keluar aliran melalui masing-masing dasar silinder

F E = E ΔS, dan total aliran yang melalui permukaan silinder akan sama dengan F E = 2E ΔS.

Di dalam permukaan terdapat muatan Q = σ · ΔS. Menurut teorema Gauss, hal itu pasti benar

Di mana

Hasil yang diperoleh tidak bergantung pada ketinggian silinder yang dipilih. Jadi, kuat medan E pada jarak berapa pun besarnya sama.

Untuk dua bidang bermuatan berbeda dengan kerapatan muatan permukaan yang sama σ, menurut prinsip superposisi, di luar ruang antar bidang kuat medannya adalah nol E = 0, dan di ruang antar bidang
(Gbr. 82a). Jika bidang-bidang tersebut diisi dengan muatan serupa dengan kerapatan muatan permukaan yang sama, gambaran sebaliknya akan terlihat (Gbr. 82b). Di ruang antar bidang E = 0, dan di ruang luar bidang
.

Tugas utama elektrostatika yang diterapkan adalah perhitungan medan listrik yang dihasilkan di berbagai perangkat dan perangkat. Secara umum permasalahan ini diselesaikan dengan menggunakan hukum Coulomb dan prinsip superposisi. Namun, tugas ini menjadi sangat rumit ketika mempertimbangkan sejumlah besar muatan titik atau yang terdistribusi secara spasial. Kesulitan yang lebih besar muncul ketika ada dielektrik atau konduktor di ruang angkasa, ketika di bawah pengaruh medan eksternal E 0 terjadi redistribusi muatan mikroskopis, menciptakan medan tambahannya sendiri E. Oleh karena itu, untuk menyelesaikan masalah ini secara praktis, metode dan teknik tambahan adalah digunakan yang menggunakan peralatan matematika yang kompleks. Kami akan mempertimbangkan metode paling sederhana berdasarkan penerapan teorema Ostrogradsky – Gauss. Untuk merumuskan teorema ini, kami memperkenalkan beberapa konsep baru:

A) kepadatan muatan

Jika benda bermuatan besar, maka perlu diketahui distribusi muatan di dalam benda tersebut.

Kepadatan muatan volume– diukur dengan muatan per satuan volume:

Kepadatan muatan permukaan– diukur dengan muatan per satuan permukaan suatu benda (ketika muatan didistribusikan ke seluruh permukaan):

Kepadatan muatan linier(distribusi muatan sepanjang konduktor):

B) vektor induksi elektrostatis

Vektor induksi elektrostatis (vektor perpindahan listrik) adalah besaran vektor yang mencirikan medan listrik.

Vektor sama dengan produk vektor pada konstanta dielektrik absolut medium pada suatu titik tertentu:

Mari kita periksa dimensinya D dalam satuan SI:

, Karena
,

maka dimensi D dan E tidak berhimpitan, dan nilai numeriknya juga berbeda.

Dari definisinya maka untuk bidang vektor prinsip superposisi yang sama berlaku untuk bidang :

Bidang secara grafis diwakili oleh garis induksi, seperti halnya medan . Garis induksi ditarik sedemikian rupa sehingga garis singgung pada setiap titik berimpit dengan arahnya , dan jumlah garis sama dengan nilai numerik D di lokasi tertentu.

Untuk memahami maksud dari pendahuluan Mari kita lihat sebuah contoh.

V) fluks vektor induksi elektrostatis

Perhatikan permukaan S dalam medan listrik dan pilih arah garis normal

1. Jika medan seragam, maka banyaknya garis medan yang melalui permukaan S:

2. Jika medannya tidak seragam, maka permukaannya terbagi menjadi elemen-elemen yang sangat kecil dS, yang dianggap datar dan medan di sekitarnya seragam. Oleh karena itu, fluks yang melalui elemen permukaan adalah: dN = D n dS,

dan total aliran melalui suatu permukaan adalah:

(6)

Fluks induksi N adalah besaran skalar; tergantung pada  bisa > 0 atau< 0, или = 0.

Ketika biayanya banyak, ada beberapa kesulitan yang muncul saat menghitung bidang.

Teorema Gauss membantu mengatasinya. Intinya teorema Gauss intinya sebagai berikut: jika sejumlah muatan secara mental dikelilingi oleh permukaan tertutup S, maka aliran kuat medan listrik melalui luas dasar dS dapat ditulis sebagai dФ = Есоsα۰dS dengan α adalah sudut antara garis normal dan garis normal. bidang dan vektor kekuatan . (Gbr. 12.7)

Fluks total yang melalui seluruh permukaan akan sama dengan jumlah fluks dari semua muatan yang terdistribusi secara acak di dalamnya dan sebanding dengan besar muatan tersebut.

(12.9)

Mari kita tentukan aliran vektor intensitas melalui permukaan bola berjari-jari r, yang di tengahnya terdapat muatan titik +q (Gbr. 12.8). Garis tegangan tegak lurus permukaan bola, α = 0, maka cosα = 1. Maka

Jika medan dibentuk oleh sistem muatan, maka

Teorema Gauss: aliran vektor kuat medan elektrostatis dalam ruang hampa melalui suatu permukaan tertutup sama dengan jumlah aljabar muatan yang terkandung di dalam permukaan tersebut, dibagi dengan konstanta listrik.

(12.10)

Jika tidak ada muatan di dalam bola, maka Ф = 0.

Teorema Gauss membuatnya relatif mudah untuk menghitung medan listrik untuk muatan yang terdistribusi secara simetris.

Mari kita perkenalkan konsep kepadatan muatan terdistribusi.

Kepadatan linier dilambangkan dengan τ dan mencirikan muatan q per satuan panjang ℓ. Secara umum dapat dihitung dengan menggunakan rumus

(12.11)

Dengan distribusi muatan yang seragam, kerapatan liniernya adalah

Kepadatan permukaan dilambangkan dengan σ dan mencirikan muatan q per satuan luas S. Secara umum ditentukan oleh rumus

(12.12)

Dengan distribusi muatan yang seragam di permukaan, kepadatan permukaan adalah sama

Massa jenis volume dilambangkan dengan ρ dan mencirikan muatan q per satuan volume V. Secara umum ditentukan oleh rumus

(12.13)

Dengan distribusi muatan yang seragam, itu sama dengan
.

Karena muatan q terdistribusi secara merata pada bola, maka

σ = konstanta. Mari kita terapkan teorema Gauss. Mari kita menggambar sebuah bola berjari-jari melalui titik A. Aliran vektor tegangan pada Gambar 12.9 melalui permukaan bola berjari-jari sama dengan cosα = 1, karena α = 0. Menurut teorema Gauss,
.

atau

(12.14)

Dari persamaan (12.14) dapat disimpulkan bahwa kuat medan di luar bola bermuatan sama dengan kuat medan muatan titik yang ditempatkan di tengah bola. Di permukaan bola, mis. r 1 = r 0, ketegangan
.

Di dalam bola r 1< r 0 (рис.12.9) напряжённость Е = 0, так как сфера радиусом r 2 внутри никаких зарядов не содержит и, по теореме Гаусса, поток вектора сквозь такую сферу равен нулю.

Sebuah silinder berjari-jari r 0 bermuatan seragam dengan massa jenis permukaan (Gbr. 12.10). Mari kita tentukan kuat medan pada titik A yang dipilih secara sembarang. Mari kita menggambar permukaan silinder imajiner dengan jari-jari R dan panjang ℓ melalui titik A. Karena simetri, aliran hanya akan keluar melalui permukaan samping silinder, karena muatan pada silinder berjari-jari r 0 tersebar merata di seluruh permukaannya, yaitu. garis tegangannya berupa garis lurus radial, tegak lurus terhadap permukaan lateral kedua silinder. Karena aliran yang melalui dasar silinder adalah nol (cos α = 0), dan permukaan sisi silinder tegak lurus terhadap garis gaya (cos α = 1), maka

atau

(12.15)

Mari kita nyatakan nilai E melalui σ - kepadatan permukaan. A-priori,

karena itu,

Mari kita substitusikan nilai q ke dalam rumus (12.15)

(12.16)

Menurut definisi kepadatan linier,
, Di mana
; kami mengganti ekspresi ini ke dalam rumus (12.16):

(12.17)

itu. Kuat medan yang diciptakan oleh silinder bermuatan yang panjangnya tak terhingga sebanding dengan kerapatan muatan linier dan berbanding terbalik dengan jarak.

Kekuatan medan yang diciptakan oleh bidang bermuatan seragam tak terhingga

Mari kita tentukan kuat medan yang diciptakan oleh bidang bermuatan seragam tak terhingga di titik A. Misalkan kerapatan muatan permukaan bidang tersebut sama dengan σ. Sebagai permukaan tertutup, akan lebih mudah untuk memilih silinder yang sumbunya tegak lurus terhadap bidang, dan alas kanannya memuat titik A. Bidang tersebut membagi silinder menjadi dua. Jelasnya, garis-garis gaya tegak lurus bidang dan sejajar dengan permukaan samping silinder, sehingga seluruh aliran hanya melewati dasar silinder. Pada kedua basa kuat medannya sama, karena titik A dan B simetris terhadap bidang. Maka aliran yang melalui dasar silinder adalah sama dengan

Menurut teorema Gauss,

Karena
, Itu
, Di mana

(12.18)

Jadi, kuat medan suatu bidang bermuatan tak terhingga sebanding dengan kerapatan muatan permukaan dan tidak bergantung pada jarak ke bidang tersebut. Oleh karena itu, bidang bidang tersebut seragam.

Kekuatan medan diciptakan oleh dua bidang sejajar yang bermuatan seragam dan berlawanan

Bidang yang dihasilkan yang diciptakan oleh dua bidang ditentukan oleh prinsip superposisi bidang:
(Gbr. 12.12). Medan yang diciptakan oleh masing-masing bidang adalah seragam, kekuatan medan-medan ini besarnya sama, tetapi arahnya berlawanan:
. Berdasarkan prinsip superposisi, kuat medan total di luar bidang adalah nol:

Antar bidang-bidang tersebut kuat medannya mempunyai arah yang sama, sehingga kuat medan yang dihasilkan sama besar

Jadi, medan antara dua bidang bermuatan berbeda adalah seragam dan intensitasnya dua kali lebih kuat dari intensitas medan yang diciptakan oleh satu bidang. Tidak ada lapangan di kiri dan kanan pesawat. Bidang bidang berhingga mempunyai bentuk yang sama; distorsi hanya muncul di dekat batasnya. Dengan menggunakan rumus yang dihasilkan, Anda dapat menghitung medan antara pelat kapasitor datar.

Teorema Gauss untuk induksi listrik (perpindahan listrik)[

Untuk medan dalam media dielektrik, teorema elektrostatik Gauss dapat ditulis dengan cara lain (dengan cara alternatif) - melalui aliran vektor perpindahan listrik (induksi listrik). Dalam hal ini rumusan teoremanya adalah sebagai berikut: aliran vektor perpindahan listrik melalui suatu permukaan tertutup sebanding dengan muatan listrik bebas yang terdapat di dalam permukaan tersebut:

Dalam bentuk diferensial:

Teorema Gauss untuk induksi magnet

Fluks vektor induksi magnet melalui suatu permukaan tertutup adalah nol:

atau dalam bentuk diferensial

Hal ini setara dengan fakta bahwa di alam tidak ada “muatan magnet” (monopole) yang dapat menimbulkan medan magnet, seperti halnya muatan listrik yang menciptakan medan listrik. Dengan kata lain, teorema Gauss untuk induksi magnet menunjukkan bahwa medan magnet (sepenuhnya) pusaran.

Teorema Gauss untuk gravitasi Newton

Untuk kekuatan medan gravitasi Newton (percepatan gravitasi), teorema Gauss secara praktis bertepatan dengan teorema elektrostatika, dengan pengecualian hanya konstanta (namun, masih bergantung pada pilihan sistem satuan yang sewenang-wenang) dan, yang paling penting, tanda:

Di mana G- kekuatan medan gravitasi, M- muatan gravitasi (yaitu massa) di dalam permukaan S, ρ - Kepadatan massa, G- Konstanta Newton.

Konduktor dalam medan listrik. Medan di dalam konduktor dan di permukaannya.

Konduktor adalah benda yang melaluinya muatan listrik dapat berpindah dari benda bermuatan ke benda tak bermuatan. Kemampuan konduktor untuk melewatkan muatan listrik melalui dirinya dijelaskan oleh adanya pembawa muatan bebas di dalamnya. Konduktor - benda logam dalam keadaan padat dan cair, larutan elektrolit cair. Muatan bebas dari konduktor yang dimasukkan ke dalam medan listrik mulai bergerak di bawah pengaruhnya. Redistribusi muatan menyebabkan perubahan medan listrik. Ketika kuat medan listrik dalam suatu konduktor menjadi nol, elektron berhenti bergerak. Fenomena pemisahan muatan yang berbeda pada suatu penghantar yang ditempatkan dalam medan listrik disebut induksi elektrostatis. Tidak ada medan listrik di dalam konduktor. Ini digunakan untuk perlindungan elektrostatik - perlindungan menggunakan konduktor logam dari medan listrik. Permukaan benda penghantar dalam bentuk apa pun dalam medan listrik adalah permukaan ekuipotensial.

Kapasitor

Untuk mendapatkan perangkat yang, pada potensi rendah relatif terhadap medium, akan mengakumulasi (mengkondensasi) muatan yang terlihat pada dirinya sendiri, mereka menggunakan fakta bahwa kapasitas listrik suatu konduktor meningkat ketika benda lain mendekatinya. Memang, di bawah pengaruh medan yang diciptakan oleh konduktor bermuatan, muatan induksi (pada konduktor) atau muatan terkait (pada dielektrik) muncul pada benda yang dibawa ke sana (Gbr. 15.5). Muatan yang berlawanan tandanya dengan muatan konduktor q terletak lebih dekat ke konduktor dibandingkan dengan muatan yang bernama sama dengan q, dan oleh karena itu, mempunyai pengaruh yang besar terhadap potensinya.

Oleh karena itu, ketika suatu benda didekatkan ke konduktor bermuatan, kuat medannya berkurang, dan akibatnya, potensial konduktornya berkurang. Menurut persamaan, ini berarti peningkatan kapasitansi konduktor.

Kapasitor terdiri dari dua konduktor (pelat) (Gbr. 15.6), dipisahkan oleh lapisan dielektrik. Ketika beda potensial tertentu diterapkan pada sebuah konduktor, pelat-pelatnya akan diisi dengan muatan yang sama besar dan berlawanan tanda. Kapasitas listrik suatu kapasitor dipahami sebagai besaran fisis yang sebanding dengan muatan q dan berbanding terbalik dengan beda potensial antar pelat.

Mari kita tentukan kapasitansi kapasitor datar.

Jika luas pelat adalah S dan muatan di atasnya adalah q, maka kuat medan antar pelat

Di sisi lain, beda potensial antar pelat berasal

Energi sistem muatan titik, konduktor bermuatan, dan kapasitor.

Setiap sistem muatan mempunyai energi interaksi potensial, yang sama dengan usaha yang dikeluarkan untuk menciptakan sistem ini. Energi sistem muatan titik Q 1 , Q 2 , Q 3 ,… Q N didefinisikan sebagai berikut:

Di mana φ 1 – potensi medan listrik yang diciptakan oleh semua muatan kecuali Q 1 pada titik dimana muatan berada Q 1, dll. Jika konfigurasi sistem muatan berubah, maka energi sistem juga berubah. Untuk mengubah konfigurasi sistem, pekerjaan harus dilakukan.

Energi potensial suatu sistem muatan titik dapat dihitung dengan cara lain. Energi potensial dari dua muatan titik Q 1 , Q 2 pada jarak satu sama lain adalah sama. Jika terdapat beberapa muatan, maka energi potensial sistem muatan tertentu dapat didefinisikan sebagai jumlah energi potensial semua pasangan muatan yang dapat tersusun untuk sistem tersebut. Jadi, untuk sistem yang terdiri dari tiga muatan positif, energi sistem adalah sama dengan

Energi konduktor dan kapasitor soliter bermuatan

Jika suatu penghantar terisolasi mempunyai muatan q, maka terdapat medan listrik disekitarnya, yang potensialnya pada permukaan penghantar sama dengan , dan kapasitansinya adalah C. Mari kita tingkatkan muatan sebesar dq. Saat memindahkan muatan dq dari tak terhingga, usaha harus dilakukan sama dengan . Tetapi potensi medan elektrostatis suatu konduktor tertentu pada jarak tak terhingga adalah nol. Kemudian

Saat memindahkan muatan dq dari konduktor ke tak terhingga, usaha yang sama dilakukan oleh gaya medan elektrostatis. Akibatnya, ketika muatan konduktor bertambah sebesar dq, energi potensial medan meningkat, yaitu.

Dengan mengintegrasikan persamaan ini, kita mencari energi potensial medan elektrostatis dari konduktor bermuatan ketika muatannya meningkat dari nol ke q:

Dengan menerapkan hubungan tersebut, kita dapat memperoleh ekspresi energi potensial W berikut:

Untuk kapasitor bermuatan, beda potensial (tegangan) sama dengan rasio energi total medan elektrostatisnya:

Mari kita perkenalkan konsep aliran vektor induksi listrik. Mari kita pertimbangkan area yang sangat kecil. Dalam kebanyakan kasus, penting untuk mengetahui tidak hanya ukuran situs, tetapi juga orientasinya dalam ruang. Mari kita perkenalkan konsep luas vektor. Mari kita sepakat bahwa yang dimaksud dengan vektor luas adalah vektor yang arahnya tegak lurus terhadap luas dan secara numerik sama dengan besar luas.

Gambar 1 - Menuju definisi vektor - situs

Sebut saja aliran vektor melalui platform
perkalian titik dari vektor Dan
. Dengan demikian,

Vektor aliran melalui permukaan yang sewenang-wenang ditemukan dengan mengintegrasikan semua aliran dasar

(4)

Jika bidangnya seragam dan permukaannya rata letaknya tegak lurus terhadap lapangan, maka:

. (5)

Ekspresi yang diberikan menentukan jumlah garis gaya yang menembus situs per satuan waktu.

Teorema Ostrogradsky-Gauss. Divergensi kekuatan medan listrik

Vektor induksi listrik mengalir melalui permukaan tertutup yang berubah-ubah sama dengan jumlah aljabar muatan listrik bebas , ditutupi oleh permukaan ini

(6)

Ekspresi (6) mewakili teorema O-G dalam bentuk integral. Teorema 0-Г beroperasi dengan efek integral (total), yaitu. Jika
tidak diketahui apakah ini berarti tidak adanya muatan di semua titik di bagian ruang yang dipelajari, atau jumlah muatan positif dan negatif yang terletak di berbagai titik di ruang ini sama dengan nol.

Untuk mencari letak muatan dan besarnya pada suatu medan tertentu, diperlukan relasi yang menghubungkan vektor induksi listrik pada suatu titik tertentu dengan muatan pada titik yang sama.

Misalkan kita perlu menentukan keberadaan muatan pada suatu titik A(Gbr.2)

Gambar 2 – Untuk menghitung divergensi vektor

Mari kita terapkan teorema O-G. Aliran vektor induksi listrik melalui suatu permukaan sembarang yang membatasi volume di mana suatu titik berada A, sama

Jumlah aljabar muatan dalam suatu volume dapat dituliskan sebagai integral volume

(7)

Di mana - biaya per satuan volume ;

- elemen volume.

Untuk memperoleh hubungan antara medan dan muatan pada suatu titik A kita akan mengurangi volumenya dengan mengontraksikan permukaan ke suatu titik A. Dalam hal ini, kita membagi kedua sisi persamaan kita dengan nilainya . Pindah ke batasnya, kita mendapatkan:

.

Sisi kanan dari ekspresi yang dihasilkan, menurut definisi, adalah kerapatan muatan volumetrik pada titik yang dipertimbangkan dalam ruang. Ruas kiri menyatakan batas perbandingan fluks vektor induksi listrik yang melalui suatu permukaan tertutup terhadap volume yang dibatasi oleh permukaan tersebut, bila volumenya cenderung nol. Besaran skalar ini merupakan ciri penting medan listrik dan disebut divergensi vektor .

Dengan demikian:

,

karena itu

, (8)

Di mana - kepadatan muatan volumetrik.

Dengan menggunakan hubungan ini, masalah kebalikan dari elektrostatika dapat diselesaikan dengan mudah, yaitu. menemukan muatan terdistribusi pada bidang yang diketahui.

Jika vektor diberikan, yang berarti proyeksinya diketahui
,
,
ke sumbu koordinat sebagai fungsi koordinat dan untuk menghitung kepadatan terdistribusi muatan yang menciptakan medan tertentu, ternyata cukup mencari jumlah tiga turunan parsial dari proyeksi ini terhadap variabel-variabel yang bersesuaian. Pada titik-titik yang mana
tidak ada biaya. Pada titik dimana
positif, terdapat muatan positif dengan massa jenis volume sama dengan
, dan pada titik-titik di mana
akan bernilai negatif, terdapat muatan negatif yang massa jenisnya juga ditentukan oleh nilai divergensi.

Ekspresi (8) mewakili Teorema 0-Г dalam bentuk diferensial. Dalam bentuk ini teorema menunjukkan bahwa bahwa sumber medan listrik adalah muatan listrik bebas; garis-garis medan vektor induksi listrik masing-masing dimulai dan diakhiri pada muatan positif dan negatif.