Turunan dari eksponensial pangkat x. Turunan e pangkat x dan fungsi eksponensial Turunan fungsi e pangkat x

Banyak angka yang memperoleh makna besar dan takhayulnya di zaman kuno. Saat ini, mitos-mitos baru ditambahkan ke dalamnya. Ada banyak legenda tentang angka pi; angka Fibonacci yang terkenal juga tidak kalah terkenalnya. Namun mungkin yang paling mengejutkan adalah angka e, yang dia tidak bisa lakukan tanpanya matematika modern, fisika dan bahkan ekonomi.

Nilai aritmatika e kira-kira 2,718. Kenapa tidak persis, tapi kira-kira? Karena bilangan ini irasional dan transendental, maka bilangan ini tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan dengan bilangan bulat alami atau polinomial dengan koefisien rasional. Untuk sebagian besar perhitungan, akurasi yang ditentukan sebesar 2,718 sudah cukup, meskipun tingkat teknologi komputasi modern memungkinkan nilainya ditentukan dengan akurasi lebih dari satu triliun tempat desimal.

Ciri utama bilangan e adalah turunan fungsi eksponensial f(x) = e x sama dengan nilai fungsi e x itu sendiri. Tidak ada hubungan matematis lain yang mempunyai sifat luar biasa seperti itu. Mari kita bicarakan ini lebih detail.

Apa itu batasnya

Pertama, mari kita pahami konsep limit. Perhatikan beberapa ekspresi matematika, misalnya i = 1/n. Bisa melihat, bahwa ketika “n” meningkat", nilai "i" akan berkurang, dan karena "n" cenderung tak terhingga (yang dilambangkan dengan tanda ∞), "i" akan cenderung ke nilai limit (lebih sering disebut sekadar limit) sama dengan nol. Ekspresi limit (dilambangkan dengan lim) untuk kasus yang dipertimbangkan dapat ditulis sebagai lim n →∞ (1/ n) = 0.

Ada batasan berbeda untuk ekspresi berbeda. Salah satu limit tersebut, yang dimasukkan dalam buku teks Soviet dan Rusia sebagai limit kedua yang luar biasa, adalah ekspresi lim n →∞ (1+1/ n) n. Sudah pada Abad Pertengahan ditetapkan bahwa batas ekspresi ini adalah angka e.

Batas luar biasa pertama mencakup ekspresi lim n →∞ (Sin n / n) = 1.

Cara mencari turunan e x - di video ini.

Berapakah turunan suatu fungsi

Untuk menjelaskan konsep turunan, kita perlu mengingat kembali apa itu fungsi dalam matematika. Agar tidak mengacaukan teks dengan definisi yang rumit, kita akan fokus pada konsep matematika intuitif dari suatu fungsi, yang terdiri dari fakta bahwa di dalamnya satu atau lebih besaran sepenuhnya menentukan nilai besaran lain jika keduanya saling berhubungan. Misalnya pada rumus S = π ∙ r 2 luas lingkaran, nilai jari-jari r secara lengkap dan unik menentukan luas lingkaran S.

Tergantung pada jenisnya, fungsi dapat berupa aljabar, trigonometri, logaritma, dll. Fungsi tersebut dapat memiliki dua, tiga atau lebih argumen yang saling berhubungan. Misalnya, jarak yang ditempuh S, yang ditempuh suatu benda dengan kecepatan yang dipercepat secara seragam, dijelaskan dengan fungsi S = 0,5 ∙ a ∙ t 2 + V ∙ t, di mana “t” adalah waktu gerak, argumen “a ” adalah percepatan (bisa bernilai positif atau negatif) dan “V” adalah kecepatan awal gerak. Jadi, jarak yang ditempuh bergantung pada nilai tiga argumen, dua di antaranya (“a” dan “V”) adalah konstan.

Mari kita gunakan contoh ini untuk mendemonstrasikan konsep dasar turunan suatu fungsi. Ini mencirikan laju perubahan fungsi pada suatu titik tertentu. Dalam contoh kita, ini adalah kecepatan pergerakan suatu benda pada waktu tertentu. Dengan konstanta “a” dan “V”, hanya bergantung pada waktu “t”, yaitu dalam bahasa ilmiah, Anda perlu mengambil turunan dari fungsi S terhadap waktu “t”.

Proses ini disebut diferensiasi dan dilakukan dengan menghitung batas rasio pertumbuhan suatu fungsi terhadap pertumbuhan argumennya dengan jumlah yang dapat diabaikan. Pemecahan masalah seperti itu untuk masing-masing fungsi seringkali sulit dan tidak dibahas di sini. Perlu juga dicatat bahwa beberapa fungsi pada titik tertentu tidak memiliki batasan sama sekali.

Dalam contoh kita, turunan S lama kelamaan “t” akan berbentuk S" = ds/dt = a ∙ t + V, dari sini terlihat bahwa kecepatan S" berubah menurut hukum linier bergantung pada “t”.

Turunan dari eksponen

Fungsi eksponensial disebut fungsi eksponensial yang basisnya adalah bilangan e. Biasanya ditampilkan dalam bentuk F(x) = e x, dimana eksponen x adalah besaran variabel. Fungsi ini mempunyai diferensiasi lengkap pada seluruh rentang bilangan real. Ketika x bertambah, ia terus meningkat dan selalu lebih besar dari nol. Fungsi kebalikannya adalah logaritma.

Matematikawan terkenal Taylor berhasil memperluas fungsi ini menjadi deret yang dinamai menurut namanya e x = 1 + x/1! + x 2 /2! + x 3 /3! + … dalam rentang x dari - ∞ hingga + ∞.

Hukum berdasarkan fungsi ini, disebut eksponensial. Dia menjelaskan:

• kenaikan suku bunga bank majemuk;
• peningkatan populasi hewan dan populasi global;
• waktu rigor mortis dan banyak lagi.

Mari kita ulangi sekali lagi sifat luar biasa dari ketergantungan ini - nilai turunannya di titik mana pun selalu sama dengan nilai fungsi di titik ini, yaitu (e x)" = e x.

Mari kita sajikan turunan untuk kasus eksponensial yang paling umum:

• (e kapak)" = a ∙ e kapak ;
• (ef (x))" = f"(x) ∙ e f (x) .

Dengan menggunakan dependensi ini, mudah untuk menemukan turunan untuk tipe tertentu lainnya dari fungsi ini.

Beberapa fakta menarik tentang angka e

Nama-nama ilmuwan seperti Napier, Oughtred, Huygens, Bernoulli, Leibniz, Newton, Euler, dan lain-lain dikaitkan dengan nomor ini. Yang terakhir sebenarnya memperkenalkan notasi e untuk bilangan ini, dan juga menemukan 18 tanda pertama, menggunakan deret e = 1 + 1/1 yang ia temukan untuk perhitungannya! + 2/2! + 3/3! ...

Angka e muncul di tempat yang paling tidak terduga. Misalnya, ini termasuk dalam persamaan catenary, yang menggambarkan melorotnya tali karena beratnya sendiri ketika ujung-ujungnya diikatkan pada penyangga.

Video

Topik video pembelajaran adalah turunan dari fungsi eksponensial.

Pembuktian dan turunan rumus turunan eksponensial (e pangkat x) dan fungsi eksponensial (a pangkat x). Contoh penghitungan turunan e^2x, e^3x dan e^nx. Rumus turunan orde yang lebih tinggi.

Isi

Lihat juga: Fungsi eksponensial - properti, rumus, grafik
Eksponen, e pangkat x - properti, rumus, grafik

Rumus dasar

Turunan suatu eksponen sama dengan eksponen itu sendiri (turunan e pangkat x sama dengan e pangkat x):
(1) (ex )′ = ex.

Turunan fungsi eksponensial dengan basis a sama dengan fungsi itu sendiri dikalikan logaritma natural dari a:
(2) .

Eksponensial adalah fungsi eksponensial yang basisnya sama dengan bilangan e yang mempunyai limit sebagai berikut:
.
Di sini dapat berupa bilangan asli atau bilangan real. Selanjutnya kita turunkan rumus (1) untuk turunan eksponensial.

Penurunan rumus turunan eksponensial

Pertimbangkan eksponensial, e pangkat x:
kamu = e x .
Fungsi ini ditentukan untuk semua orang. Mari kita cari turunannya terhadap variabel x. Menurut definisinya, turunannya adalah limit berikut:
(3) .

Mari kita ubah ekspresi ini untuk mereduksinya menjadi sifat dan aturan matematika yang diketahui. Untuk melakukan ini kita memerlukan fakta-fakta berikut:
A) Properti eksponen:
(4) ;
B) Properti logaritma:
(5) ;
DI DALAM) Kontinuitas logaritma dan sifat limit fungsi kontinu:
(6) .
Berikut adalah fungsi yang mempunyai limit dan limit tersebut positif.
G) Arti dari batas luar biasa kedua:
(7) .

Mari kita terapkan fakta ini pada batas kita (3). Kami menggunakan properti (4):
;
.

Mari kita melakukan substitusi. Kemudian ; .
Karena kontinuitas eksponensial,
.
Oleh karena itu, ketika , . Hasilnya kita mendapatkan:
.

Mari kita melakukan substitusi. Kemudian . Pada , . Dan kita mempunyai:
.

Mari kita terapkan properti logaritma (5):
. Kemudian
.

Mari kita terapkan properti (6). Karena ada limit positif dan logaritmanya kontinu, maka:
.
Di sini kami juga menggunakan batas luar biasa kedua (7). Kemudian
.

Jadi, kita memperoleh rumus (1) untuk turunan eksponensial.

Penurunan rumus turunan fungsi eksponensial

Sekarang kita turunkan rumus (2) untuk turunan fungsi eksponensial dengan basis derajat a. Kami percaya itu dan . Kemudian fungsi eksponensial
(8)
Didefinisikan untuk semua orang.

Mari kita ubah rumus (8). Untuk melakukan ini, kita akan menggunakan properti fungsi eksponensial dan logaritma.
;
.
Jadi, kami mengubah rumus (8) menjadi bentuk berikut:
.

Turunan orde tinggi dari e pangkat x

Sekarang mari kita cari turunan dari orde yang lebih tinggi. Mari kita lihat eksponennya terlebih dahulu:
(14) .
(1) .

Kita melihat bahwa turunan dari fungsi (14) sama dengan fungsi (14) itu sendiri. Membedakan (1), kita memperoleh turunan orde kedua dan ketiga:
;
.

Hal ini menunjukkan bahwa turunan orde ke-n juga sama dengan fungsi aslinya:
.

Turunan orde tinggi dari fungsi eksponensial

Sekarang perhatikan fungsi eksponensial dengan basis derajat a:
.
Kami menemukan turunan orde pertama:
(15) .

Membedakan (15), kita memperoleh turunan orde kedua dan ketiga:
;
.

Kita melihat bahwa setiap diferensiasi menghasilkan perkalian fungsi aslinya dengan . Oleh karena itu, turunan orde ke-n memiliki bentuk sebagai berikut:
.

Lihat juga:

Konsep dasar

Sebelum membahas pertanyaan tentang turunan eksponensial pangkat $x$, mari kita ingat kembali definisinya

1. fungsi;
2. batas urutan;
3. turunan;
4. peserta pameran.

Hal ini diperlukan untuk pemahaman yang jelas tentang turunan eksponensial pangkat $x$.

Definisi 1

Fungsi adalah hubungan antara dua variabel.

Mari kita ambil $y=f(x)$, di mana $x$ dan $y$ adalah variabel. Di sini $x$ disebut argumen dan $y$ adalah fungsinya. Argumennya bisa mengambil nilai sewenang-wenang. Pada gilirannya, variabel $y$ berubah menurut hukum tertentu tergantung pada argumennya. Artinya, argumen $x$ adalah variabel independen, dan fungsi $y$ adalah variabel dependen. Untuk nilai apa pun $x$ ada nilai unik $y$.

Jika, berdasarkan suatu hukum, setiap bilangan asli $n=1, 2, 3, ...$ dikaitkan dengan bilangan $x_n$, maka kita katakan barisan bilangan $x_1,x_2,..., x_n$ didefinisikan. Jika tidak, urutan seperti itu ditulis sebagai $\(x_n\)$. Semua bilangan $x_n$ disebut anggota atau elemen barisan.

Definisi 2

Limit suatu barisan adalah titik garis bilangan yang berhingga atau tak berhingga. Batasnya ditulis sebagai berikut: $\lim x_n = \lim\limits_(n\to\infty)x_n = a$. Notasi ini berarti variabel $x_n$ cenderung $a$ $x_n\ke a$.

Turunan fungsi $f$ di titik $x_0$ disebut limit berikut:

$\lim\limits_(x\ke x_0)\frac(f(x) - f(x_o))(x-x_o)$. Dilambangkan dengan $f"(x_0)$.

Angka $e$ sama dengan limit berikut:

$e=\lim\limits_(x\to\infty) (1+\frac(1)(n))\kira-kira2,718281828459045...$

Dalam batas ini, $n$ adalah bilangan asli atau bilangan real.

Setelah menguasai konsep limit, turunan dan eksponen, kita bisa mulai membuktikan rumus $(e^x)"=e^x$.

Penurunan turunan eksponensial pangkat $x$

Kita mempunyai $e^x$, dimana $x: -\infty

$y"=\lim\limits_(\Delta x\ke 0) \frac(e^(x+\Delta x)-e^x)(\Delta x)$.

Dengan sifat eksponen $e^(a+bx)=e^a*e^b$ kita dapat mengubah pembilang limitnya:

$e^(x+\Delta x)-e^x = e^x*e^(\Delta x)-e^x = e^x(e^(\Delta x)-1)$.

Artinya, $y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(x+\Delta x)-e^x)(\Delta x)=\lim\limits_(\Delta x\ ke 0) \frac(e^x(e^(\Delta x)-1))(\Delta x)$.

Mari kita nyatakan $t=e^(\Delta x)-1$. Kita mendapatkan $e^(\Delta x)=t+1$, dan berdasarkan properti logaritma ternyata $\Delta x = ln(t+1)$.

Karena eksponensial kontinu, kita mempunyai $\lim\limits_(\Delta x\to 0) e^(\Delta x)=e^0=1.$ Oleh karena itu, jika $\Delta x\to 0$, maka $ t \ hingga 0$.

Hasilnya, kami menunjukkan transformasinya:

$y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(\Delta x)-1)(\Delta x)=e^x\lim\limits_(t\to 0)\frac (t)(ln(t+1))$.

Mari kita nyatakan $n=\frac (1)(t)$, lalu $t=\frac(1)(n)$. Ternyata jika $t\ke 0$, maka $n\ke\infty$.

Mari kita ubah batas kita:

$y"=e^x\lim\limits_(t\to 0)\frac(t)(ln(t+1))=e^x\lim\limits_(n\to\infty)\frac(1) (n\cdot ln(\frac(1)(n)+1)^n)$.

Berdasarkan sifat logaritma $b\cdot ln c=ln c^b$ yang kita miliki

$n\cdot ln (\frac(1)(n)+1)=ln(\frac(1)(n)+1)^n=ln(1+\frac(1)(n))^n$ .

Batasnya diubah sebagai berikut:

$y"=e^x\lim\limits_(n\to\infty)\frac(1)(n\cdot ln(\frac(1)(n)+1)) = e^x\lim\limits_( n\ke\infty)\frac(1)(ln(\frac(1)(n)+1)^n)= e^x\frac(1)(\lim\limits_(n\ke\infty) ln (\frac(1)(n)+1)^n)$.

Berdasarkan sifat kontinuitas logaritma dan sifat limit fungsi kontinu: $\lim\limits_(x\to x_0)ln(f(x))=ln(\lim\limits_f(x))$, dimana $f(x)$ mempunyai limit positif $\lim\limits_(x\to x_0)f(x)$. Jadi, karena logaritmanya kontinu dan ada limit positif $\lim\limits_(n\to\infty)(\frac(1)(n)+1)^n$, kita dapat menyimpulkan:

$\lim\limits_(n\ke\infty)ln(1+\frac(1)(n))^n=ln\lim\limits_(n\ke\infty)ln(1+\frac(1)( n))^n=ln e=1$.

Mari kita gunakan nilai batas luar biasa kedua $\lim\limits_(n\to\infty)(1+\frac(1)(n))^n=e$. Kita mendapatkan:

$y"= e^x\frac(1)(\lim\limits_(n\to\infty) ln(\frac(1)(n)+1)^n) = e^x\cdot\frac(1 )(ln e) = e^x\cdot\frac(1)(1)=e^x$.

Jadi, kita telah memperoleh rumus turunan eksponensial dan dapat mengklaim bahwa turunan eksponensial pangkat $x$ setara dengan turunan eksponensial pangkat $x$:

Ada juga cara lain untuk menurunkan rumus ini dengan menggunakan rumus dan aturan lain.

Contoh 1

Mari kita lihat contoh mencari turunan suatu fungsi.

Kondisi: Carilah turunan dari fungsi $y=2^x + 3^x + 10^x + e^x$.

Larutan: Untuk suku $2^x, 3^x$ dan $10^x$ kita menerapkan rumus $(a^x)"=a^x\cdot ln a$. Berdasarkan rumus turunan $(e^x)" =e^x$ suku keempat $e^x$ tidak berubah.

Menjawab: $y" = 2^x\cdot ln 2 + 3^x\cdot ln 3 + 10^x\cdot ln 10 + e^x$.

Jadi, kita telah menurunkan rumus $(e^x)"=e^x$, sambil memberikan definisi pada konsep dasar, dan menganalisis contoh mencari turunan suatu fungsi dengan eksponen sebagai salah satu sukunya.

Kami menyajikan tabel ringkasan untuk kenyamanan dan kejelasan saat mempelajari topik.

Konstankamu = C Fungsi pangkat y = x p (x p) " = p x p - 1	Fungsi eksponensialy = kapak (a x) " = ax dalam a Khususnya, kapansebuah = ekita punya kamu = ex (ex) " = ex
Fungsi logaritma (log a x) " = 1 x ln a Khususnya, kapansebuah = ekita punya y = logx (ln x) " = 1 x	Fungsi trigonometri (sin x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x
Fungsi trigonometri terbalik (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2	Fungsi hiperbolik (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Mari kita analisa bagaimana rumus-rumus dari tabel yang diberikan diperoleh atau dengan kata lain kita akan membuktikan turunan rumus-rumus turunan untuk setiap jenis fungsi.

Turunan dari sebuah konstanta

Bukti 1

Untuk memperoleh rumus ini, kita mengambil dasar definisi turunan suatu fungsi di suatu titik. Kita menggunakan x 0 = x, dimana X mengambil nilai bilangan real apa pun, atau, dengan kata lain, X adalah bilangan apa pun dari domain fungsi f (x) = C. Mari kita tuliskan limit rasio pertambahan suatu fungsi terhadap pertambahan argumen sebagai ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Harap dicatat bahwa ekspresi 0 ∆ x berada di bawah tanda batas. Ini bukanlah ketidakpastian “nol dibagi nol”, karena pembilangnya tidak mengandung nilai yang sangat kecil, melainkan nol. Dengan kata lain, pertambahan fungsi konstanta selalu nol.

Jadi, turunan dari fungsi konstanta f(x) = C sama dengan nol di seluruh domain definisi.

Contoh 1

Fungsi konstanta diberikan:

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Larutan

Mari kita jelaskan kondisi yang diberikan. Pada fungsi pertama kita melihat turunan dari bilangan asli 3. Dalam contoh berikut, Anda perlu mengambil turunan dari A, Di mana A- bilangan real apa pun. Contoh ketiga memberi kita turunan dari bilangan irasional 4. 13 7 22, yang keempat adalah turunan dari nol (nol adalah bilangan bulat). Terakhir, dalam kasus kelima kita memiliki turunan dari pecahan rasional - 8 7.

Menjawab: turunan dari fungsi tertentu adalah nol untuk real apa pun X(di seluruh area definisi)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Turunan dari fungsi pangkat

Mari kita beralih ke fungsi pangkat dan rumus turunannya yang berbentuk: (x p) " = p x p - 1, dimana eksponennya P adalah bilangan real apa pun.

Bukti 2

Berikut pembuktian rumus eksponen bilangan asli: p = 1, 2, 3, …

Kami kembali mengandalkan definisi turunan. Mari kita tuliskan limit rasio pertambahan fungsi pangkat dengan pertambahan argumen:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Untuk menyederhanakan persamaan pembilangnya, kita menggunakan rumus binomial Newton:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Dengan demikian:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 ( C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . 1+0+.

Jadi, kita telah membuktikan rumus turunan fungsi pangkat jika eksponennya bilangan asli.

Bukti 3

Untuk memberikan bukti untuk kasus kapan P- bilangan real apa pun selain nol, kita menggunakan turunan logaritma (di sini kita harus memahami perbedaan dari turunan fungsi logaritma). Untuk memahami lebih lengkap, disarankan untuk mempelajari turunan fungsi logaritma dan memahami lebih jauh turunan fungsi implisit dan turunan fungsi kompleks.

Mari kita pertimbangkan dua kasus: kapan X positif dan kapan X negatif.

Jadi x > 0. Kemudian: x p > 0 . Mari kita logaritma persamaan y = x p ke basis e dan menerapkan sifat logaritma:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

Pada tahap ini, kita telah memperoleh fungsi yang ditentukan secara implisit. Mari kita definisikan turunannya:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

Sekarang kami mempertimbangkan kasus kapan X - angka negatif.

Jika indikatornya P adalah bilangan genap, maka fungsi pangkat didefinisikan untuk x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Kemudian x hal< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Jika P adalah bilangan ganjil, maka fungsi pangkat didefinisikan untuk x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y" (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1

Transisi terakhir dimungkinkan karena jika P adalah bilangan ganjil, kalau begitu hal - 1 baik bilangan genap atau nol (untuk p = 1), oleh karena itu, untuk negatif X persamaan (- x) p - 1 = x p - 1 benar.

Jadi, kita telah membuktikan rumus turunan fungsi pangkat untuk sembarang p nyata.

Contoh 2

Fungsi yang diberikan:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Tentukan turunannya.

Larutan

Kita ubah beberapa fungsi yang diberikan ke dalam bentuk tabel y = x p , berdasarkan sifat-sifat derajatnya, lalu gunakan rumus:

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - catatan 7 12 x - catatan 7 12 - 1 = - catatan 7 12 x - catatan 7 12 - catatan 7 7 = - catatan 7 12 x - catatan 7 84

Turunan dari fungsi eksponensial

Bukti 4

Mari kita turunkan rumus turunannya dengan menggunakan definisi sebagai dasar:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Kami mendapat ketidakpastian. Untuk memperluasnya, mari kita tuliskan variabel baru z = a ∆ x - 1 (z → 0 sebagai ∆ x → 0). Dalam hal ini, a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Untuk transisi terakhir, rumus transisi ke basis logaritma baru digunakan.

Mari kita substitusikan ke dalam limit aslinya:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Mari kita ingat limit luar biasa kedua dan kemudian kita memperoleh rumus turunan fungsi eksponensial:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

Contoh 3

Fungsi eksponensial diberikan:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Turunannya perlu dicari.

Larutan

Kami menggunakan rumus turunan fungsi eksponensial dan sifat-sifat logaritma:

f 1" (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3" (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Turunan dari fungsi logaritma

Bukti 5

Mari kita berikan bukti rumus turunan fungsi logaritma untuk sembarang X dalam domain definisi dan nilai apa pun yang diizinkan dari basis a logaritma. Berdasarkan definisi turunan diperoleh:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

Dari rantai persamaan yang ditunjukkan jelas bahwa transformasi didasarkan pada sifat logaritma. Persamaan lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e benar sesuai dengan limit luar biasa kedua.

Contoh 4

Fungsi logaritma diberikan:

f 1 (x) = log ln 3 x , f 2 (x) = ln x

Turunannya perlu dihitung.

Larutan

Mari kita terapkan rumus turunannya:

f 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; f 2 " (x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x

Jadi, turunan logaritma natural adalah satu dibagi X.

Turunan dari fungsi trigonometri

Bukti 6

Mari kita gunakan beberapa rumus trigonometri dan limit indah pertama untuk menurunkan rumus turunan fungsi trigonometri.

Berdasarkan definisi turunan fungsi sinus, kita peroleh:

(dosa x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Rumus selisih sinus akan memungkinkan kita melakukan tindakan berikut:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Terakhir, kami menggunakan batas luar biasa pertama:

sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Jadi, turunan dari fungsinya dosa x akan karena x.

Kita juga akan membuktikan rumus turunan cosinus:

cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Itu. turunan dari fungsi cos x adalah – dosa x.

Kami menurunkan rumus turunan tangen dan kotangen berdasarkan aturan diferensiasi:

t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Turunan dari fungsi trigonometri terbalik

Bagian turunan fungsi invers memberikan informasi lengkap tentang pembuktian rumus turunan arcsinus, arccosine, arctangent dan arccotangent, sehingga materinya tidak akan kita duplikasi disini.

Turunan dari fungsi hiperbolik

Bukti 7

Kita dapat menurunkan rumus turunan sinus hiperbolik, kosinus, tangen, dan kotangen menggunakan aturan diferensiasi dan rumus turunan fungsi eksponensial:

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Saat menurunkan rumus pertama tabel, kita akan melanjutkan dari definisi turunan fungsi di suatu titik. Ayo bawa kemana X– bilangan real apa pun, yaitu, X– bilangan apa pun dari domain definisi fungsi. Mari kita tuliskan limit rasio pertambahan fungsi terhadap pertambahan argumen di :

Perlu dicatat bahwa di bawah tanda batas diperoleh ekspresi yang bukan merupakan ketidakpastian nol dibagi nol, karena pembilangnya tidak mengandung nilai yang sangat kecil, melainkan nol. Dengan kata lain, pertambahan fungsi konstanta selalu nol.

Dengan demikian, turunan dari fungsi konstansama dengan nol di seluruh domain definisi.

Turunan dari fungsi pangkat.

Rumus turunan fungsi pangkat mempunyai bentuk , di mana eksponennya P– bilangan real apa pun.

Mari kita buktikan dulu rumus eksponen naturalnya, yaitu untuk p = 1, 2, 3, …

Kami akan menggunakan definisi turunan. Mari kita tuliskan limit rasio pertambahan fungsi pangkat dengan pertambahan argumen:

Untuk menyederhanakan ekspresi pembilangnya, kita beralih ke rumus binomial Newton:

Karena itu,

Hal ini membuktikan rumus turunan fungsi pangkat eksponen natural.

Turunan dari fungsi eksponensial.

Kami menyajikan turunan rumus turunan berdasarkan definisi:

Kita telah sampai pada ketidakpastian. Untuk memperluasnya, kami memperkenalkan variabel baru, dan pada . Kemudian . Pada transisi terakhir, kami menggunakan rumus untuk beralih ke basis logaritma baru.

Mari kita substitusikan ke dalam limit aslinya:

Jika kita mengingat limit luar biasa kedua, kita sampai pada rumus turunan fungsi eksponensial:

Turunan dari fungsi logaritma.

Mari kita buktikan rumus turunan fungsi logaritma untuk semua X dari domain definisi dan semua nilai basis yang valid A logaritma Berdasarkan definisi turunan kita mempunyai:

Seperti yang Anda perhatikan, selama pembuktian, transformasi dilakukan menggunakan sifat-sifat logaritma. Persamaan benar karena batas luar biasa kedua.

Turunan dari fungsi trigonometri.

Untuk mendapatkan rumus turunan fungsi trigonometri, kita harus mengingat beberapa rumus trigonometri, serta limit pertama yang luar biasa.

Berdasarkan definisi turunan fungsi sinus yang kita miliki .

Mari kita gunakan rumus selisih sinus:

Masih beralih ke batas luar biasa pertama:

Jadi, turunan dari fungsi tersebut dosa x Ada karena x.

Rumus turunan kosinus dibuktikan dengan cara yang persis sama.

Oleh karena itu, turunan dari fungsi tersebut karena x Ada –dosa x.

Kita akan menurunkan rumus tabel turunan tangen dan kotangen menggunakan aturan diferensiasi yang telah terbukti (turunan dari pecahan).

Turunan dari fungsi hiperbolik.

Aturan diferensiasi dan rumus turunan fungsi eksponensial dari tabel turunan memungkinkan kita memperoleh rumus turunan sinus hiperbolik, kosinus, tangen, dan kotangen.

Turunan dari fungsi invers.

Untuk menghindari kebingungan saat presentasi, mari kita nyatakan dalam subskrip argumen fungsi yang digunakan untuk melakukan diferensiasi, yaitu turunan dari fungsi tersebut. f(x) Oleh X.

Sekarang mari kita rumuskan aturan untuk mencari turunan suatu fungsi invers.

Biarkan fungsinya kamu = f(x) Dan x = g(kamu) saling berbanding terbalik, ditentukan pada interval dan masing-masing. Jika pada suatu titik terdapat turunan berhingga dari fungsi tersebut f(x), maka pada titik tersebut terdapat turunan berhingga dari fungsi inversnya g(kamu), Dan . Di postingan lain .

Aturan ini dapat dirumuskan ulang untuk siapa pun X dari interval , maka kita peroleh .

Mari kita periksa validitas rumus ini.

Mari kita cari fungsi invers logaritma natural (Di Sini kamu adalah fungsi, dan X- argumen). Setelah menyelesaikan persamaan ini untuk X, kita dapatkan (di sini X adalah fungsi, dan kamu– argumennya). Itu adalah, dan fungsi yang saling invers.

Dari tabel turunan kita melihatnya Dan .

Mari kita pastikan bahwa rumus untuk mencari turunan fungsi invers memberikan hasil yang sama: