Hal yang paling sulit adalah mempelajari fenomena kelistrikan pada lingkungan kelistrikan yang tidak seragam. Dalam medium seperti itu, ε mempunyai nilai yang berbeda, berubah secara tiba-tiba pada batas dielektrik. Misalkan kita menentukan kuat medan pada antarmuka antara dua media: ε 1 =1 (vakum atau udara) dan ε 2 =3 (cair - minyak). Pada antarmuka, selama transisi dari vakum ke dielektrik, kekuatan medan berkurang tiga kali lipat, dan fluks vektor kekuatan berkurang dengan jumlah yang sama (Gbr. 12.25, a). Perubahan mendadak dalam vektor kuat medan elektrostatis pada antarmuka antara dua media menimbulkan kesulitan tertentu dalam menghitung medan. Adapun teorema Gauss, dalam kondisi seperti ini umumnya kehilangan maknanya.
Karena polarisasi dan tegangan dielektrik yang berbeda berbeda, maka jumlah garis medan pada setiap dielektrik juga akan berbeda. Kesulitan ini dapat dihilangkan dengan memperkenalkan karakteristik fisik medan yang baru, induksi listrik D (atau vektor perpindahan listrik ).
Menurut rumusnya
ε 1 E 1 = ε 2 E 2 =E 0 =konstan
Mengalikan semua bagian persamaan ini dengan konstanta listrik ε 0 kita peroleh
ε 0 ε 1 E 1 = ε 0 ε 2 E 2 =ε 0 E 0 =konstan
Mari kita perkenalkan notasi ε 0 εE=D maka relasi kedua dari belakang akan berbentuk
D 1 = D 2 = D 0 = konstanta
Vektor D, sama dengan hasil kali kuat medan listrik pada dielektrik dan konstanta dielektrik absolutnya, disebutvektor perpindahan listrik
(12.45)
Satuan perpindahan listrik – liontin per meter persegi(C/m2).
Perpindahan listrik merupakan besaran vektor dan dapat juga dinyatakan sebagai
D = εε 0 E =(1+χ)ε 0 E = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 E+P
(12.46)
Berbeda dengan tegangan E, perpindahan listrik D konstan di semua dielektrik (Gbr. 12.25, b). Oleh karena itu, akan lebih mudah untuk mengkarakterisasi medan listrik dalam media dielektrik tak homogen bukan berdasarkan intensitas E, tetapi dengan vektor perpindahan D. Vektor D menggambarkan medan elektrostatik yang diciptakan oleh muatan bebas (yaitu dalam ruang hampa), tetapi dengan distribusinya di ruang angkasa seperti dengan adanya dielektrik, karena muatan terikat yang timbul dalam dielektrik dapat menyebabkan redistribusi muatan bebas yang menciptakan medan tersebut.
Bidang vektor 
secara grafis diwakili oleh garis perpindahan listrik dengan cara yang sama seperti medan 
digambarkan dengan garis kekuatan.
Garis perpindahan listrik - ini adalah garis yang garis singgungnya di setiap titik berimpit dengan arah vektor perpindahan listrik.
Garis-garis vektor E dapat dimulai dan diakhiri pada muatan apa pun – bebas dan terikat, sedangkan garis-garis vektorD- hanya dengan biaya gratis. Garis vektorDBerbeda dengan garis tegangan, garis ini kontinu.
Karena vektor perpindahan listrik tidak mengalami diskontinuitas pada antarmuka antara dua media, maka semua garis induksi yang berasal dari muatan yang dikelilingi oleh suatu permukaan tertutup akan menembusnya. Oleh karena itu, untuk vektor perpindahan listrik, teorema Gauss sepenuhnya mempertahankan maknanya untuk media dielektrik tak homogen.
Teorema Gauss untuk medan elektrostatik dalam dielektrik : aliran vektor perpindahan listrik melalui permukaan tertutup sembarang sama dengan jumlah aljabar muatan yang terkandung di dalam permukaan tersebut.
(12.47)
Hukum interaksi muatan listrik – hukum Coulomb – dapat dirumuskan secara berbeda, dalam bentuk teorema Gauss. Teorema Gauss diperoleh sebagai konsekuensi dari hukum Coulomb dan prinsip superposisi. Pembuktiannya didasarkan pada perbandingan terbalik gaya interaksi antara dua muatan titik dengan kuadrat jarak antara keduanya. Oleh karena itu, teorema Gauss dapat diterapkan pada medan fisik apa pun yang menerapkan hukum kuadrat terbalik dan prinsip superposisi, misalnya pada medan gravitasi.
Beras. 9. Garis kuat medan listrik suatu muatan titik yang memotong permukaan tertutup X
Untuk merumuskan teorema Gauss, mari kita kembali ke gambar garis-garis medan listrik dari muatan titik stasioner. Garis-garis medan muatan titik soliter adalah garis lurus radial yang letaknya simetris (Gbr. 7). Anda dapat menggambar sejumlah garis seperti itu. Mari kita nyatakan jumlah totalnya dengan Maka kerapatan garis-garis medan pada jarak dari muatan, yaitu, jumlah garis yang melintasi satu satuan permukaan bola berjari-jari sama dengan Membandingkan hubungan ini dengan ekspresi kuat medan a muatan titik (4), kita melihat bahwa kerapatan garis sebanding dengan kuat medan. Kita dapat membuat besaran-besaran ini sama secara numerik dengan memilih dengan tepat jumlah garis bidang N:
Jadi, permukaan bola dengan radius berapa pun yang dikelilingi oleh muatan titik berpotongan dengan jumlah garis gaya yang sama. Artinya garis-garis gaya tersebut kontinu: pada interval antara dua bola konsentris yang jari-jarinya berbeda, tidak ada satupun garis yang putus dan tidak ada garis baru yang ditambahkan. Karena garis-garis medan kontinu, jumlah garis-garis medan yang sama memotong setiap permukaan tertutup (Gbr. 9) yang menutupi muatan
Garis gaya mempunyai arah. Dalam kasus muatan positif, mereka keluar dari permukaan tertutup yang mengelilingi muatan tersebut, seperti ditunjukkan pada Gambar. 9. Dalam kasus muatan negatif, mereka masuk ke dalam permukaan. Jika jumlah saluran keluar dianggap positif dan jumlah saluran masuk negatif, maka pada rumus (8) kita dapat menghilangkan tanda modulus muatan dan menuliskannya dalam bentuk
Aliran ketegangan. Sekarang mari kita perkenalkan konsep aliran vektor kuat medan yang melalui suatu permukaan. Sebuah medan sembarang secara mental dapat dibagi menjadi wilayah-wilayah kecil yang intensitas perubahan besaran dan arahnya sangat kecil sehingga dalam wilayah ini medan tersebut dapat dianggap seragam. Pada setiap daerah tersebut, garis-garis medan merupakan garis lurus sejajar dan mempunyai kerapatan tetap.
Beras. 10. Menentukan fluks vektor kuat medan yang melalui situs
Mari kita perhatikan berapa banyak garis gaya yang menembus area kecil, yang arah garis normalnya membentuk sudut a dengan arah garis tegangan (Gbr. 10). Misalkan proyeksi pada bidang yang tegak lurus terhadap garis gaya. Karena jumlah garis yang bersilangan adalah sama, dan kerapatan garis menurut kondisi yang diterima sama dengan modulus kuat medan E, maka
Nilai a adalah proyeksi vektor E ke arah garis normal lokasi
Oleh karena itu, jumlah kabel listrik yang melintasi area tersebut adalah sama dengan
Hasil kali yang disebut fluks kuat medan yang melalui permukaan. Rumus (10) menunjukkan bahwa fluks vektor E yang melalui permukaan sama dengan jumlah garis medan yang melintasi permukaan tersebut. Perhatikan bahwa fluks vektor intensitas, seperti jumlah garis gaya yang melalui permukaan, adalah skalar.
Beras. 11. Aliran vektor tegangan E melalui situs
Ketergantungan aliran pada orientasi lokasi relatif terhadap garis gaya diilustrasikan pada Gambar.
Fluks kuat medan yang melalui suatu permukaan sembarang adalah jumlah fluks yang melalui luas dasar di mana permukaan tersebut dapat dibagi. Berdasarkan hubungan (9) dan (10), dapat dinyatakan bahwa aliran kuat medan suatu muatan titik melalui permukaan tertutup 2 yang membungkus muatan tersebut (lihat Gambar 9), sebagai jumlah garis medan yang muncul dari permukaan ini sama dengan. Dalam hal ini, vektor normal ke luas dasar permukaan tertutup harus diarahkan ke luar. Jika muatan di dalam permukaan tersebut negatif, maka garis-garis medan masuk ke dalam permukaan tersebut dan fluks vektor kuat medan yang berhubungan dengan muatan tersebut juga negatif.
Jika terdapat beberapa muatan di dalam suatu permukaan tertutup, maka sesuai dengan prinsip superposisi, aliran kuat medannya akan bertambah. Fluks total akan sama dengan dimana harus dipahami sebagai jumlah aljabar semua muatan yang terletak di dalam permukaan.
Jika tidak ada muatan listrik di dalam suatu permukaan tertutup atau jumlah aljabarnya nol, maka fluks total kuat medan yang melalui permukaan tersebut adalah nol: semakin banyak garis gaya yang memasuki volume yang dibatasi oleh permukaan tersebut, maka jumlah yang sama akan keluar.
Sekarang kita akhirnya dapat merumuskan teorema Gauss: aliran vektor kuat medan listrik E dalam ruang hampa melalui suatu permukaan tertutup sebanding dengan muatan total yang terletak di dalam permukaan tersebut. Secara matematis, teorema Gauss dinyatakan dengan rumus yang sama (9), yang berarti jumlah aljabar muatan. Dalam elektrostatis absolut
dalam sistem satuan SGSE, koefisien dan teorema Gauss ditulis dalam bentuk
Dalam SI dan fluks tegangan yang melalui permukaan tertutup dinyatakan dengan rumus
Teorema Gauss banyak digunakan dalam elektrostatika. Dalam beberapa kasus, ini dapat digunakan untuk dengan mudah menghitung bidang yang dihasilkan oleh muatan yang terletak secara simetris.
Bidang sumber simetris. Mari kita terapkan teorema Gauss untuk menghitung intensitas medan listrik bermuatan seragam pada permukaan bola berjari-jari . Untuk lebih pastinya, kita asumsikan muatannya positif. Distribusi muatan yang menciptakan medan memiliki simetri bola. Oleh karena itu, bidang tersebut juga mempunyai simetri yang sama. Garis-garis gaya medan tersebut diarahkan sepanjang jari-jari, dan modulus intensitasnya sama di semua titik yang berjarak sama dari pusat bola.
Untuk mencari kuat medan pada jarak dari pusat bola, mari kita secara mental menggambar permukaan bola yang radiusnya konsentris dengan bola Karena di semua titik bola ini kuat medan diarahkan tegak lurus terhadap permukaannya dan sama dengan sama dalam nilai absolut, intensitas aliran sama dengan produk kekuatan medan dan luas permukaan bola:
Namun besaran ini juga dapat dinyatakan dengan menggunakan teorema Gauss. Jika kita tertarik pada bidang di luar bola, misalnya, dalam SI dan, bandingkan dengan (13), kita temukan
Dalam sistem satuan SGSE tentunya
Jadi, di luar bola, kuat medannya sama dengan kuat medan muatan titik yang ditempatkan di tengah bola. Jika kita tertarik pada bidang di dalam bola, yaitu karena seluruh muatan yang didistribusikan ke permukaan bola terletak di luar bola, kita telah menggambar secara mental. Oleh karena itu, tidak ada lapangan di dalam bola:
Demikian pula, dengan menggunakan teorema Gauss, seseorang dapat menghitung medan elektrostatis yang diciptakan oleh muatan tak terhingga
bidang dengan kerapatan konstan di semua titik bidang tersebut. Untuk alasan simetri, kita dapat berasumsi bahwa garis-garis gaya tegak lurus terhadap bidang, diarahkan ke kedua arah dan mempunyai kerapatan yang sama di semua tempat. Memang, jika kerapatan garis-garis medan pada titik-titik berbeda berbeda, maka pergerakan bidang bermuatan sepanjang bidang itu sendiri akan menyebabkan perubahan medan pada titik-titik ini, yang bertentangan dengan simetri sistem - pergeseran seperti itu seharusnya tidak mengubah medan. Dengan kata lain, bidang bidang bermuatan seragam tak terhingga adalah seragam.
Sebagai permukaan tertutup untuk menerapkan teorema Gauss, kita memilih permukaan silinder yang dibuat sebagai berikut: generatrix silinder sejajar dengan garis gaya, dan alasnya memiliki luas yang sejajar dengan bidang bermuatan dan terletak pada sisi yang berlawanan. (Gbr. 12). Fluks kuat medan yang melalui permukaan samping adalah nol, sehingga fluks total yang melalui permukaan tertutup sama dengan jumlah fluks yang melalui alas silinder:
Beras. 12. Terhadap perhitungan kuat medan bidang bermuatan seragam
Menurut teorema Gauss, fluks yang sama ini ditentukan oleh muatan bagian bidang yang terletak di dalam silinder, dan dalam SI sama dengan Membandingkan ekspresi fluks ini, kita temukan
Dalam sistem SGSE, kuat medan bidang tak terhingga bermuatan seragam diberikan oleh rumus
Untuk pelat bermuatan seragam dengan dimensi berhingga, persamaan yang diperoleh kira-kira berlaku di daerah yang terletak cukup jauh dari tepi pelat dan tidak terlalu jauh dari permukaannya. Di dekat tepi pelat, bidangnya tidak lagi seragam dan garis-garis bidangnya akan bengkok. Pada jarak yang sangat jauh dibandingkan dengan ukuran pelat, medan berkurang seiring bertambahnya jarak seperti halnya medan muatan titik.
Contoh lain dari medan yang diciptakan oleh sumber-sumber yang terdistribusi secara simetris mencakup bidang muatan seragam sepanjang benang bujursangkar tak hingga, bidang silinder sirkular tak hingga bermuatan seragam, bidang bola,
bermuatan seragam di seluruh volume, dll. Teorema Gauss memudahkan penghitungan kuat medan dalam semua kasus ini.
Teorema Gauss memberikan hubungan antara medan dan sumbernya, dalam beberapa hal berbanding terbalik dengan hukum Coulomb, yang memungkinkan seseorang menentukan medan listrik dari muatan tertentu. Dengan menggunakan teorema Gauss, Anda dapat menentukan muatan total di setiap wilayah ruang yang distribusi medan listriknya diketahui.
Apa perbedaan antara konsep aksi jarak jauh dan jarak pendek ketika menggambarkan interaksi muatan listrik? Sejauh mana konsep-konsep ini dapat diterapkan pada interaksi gravitasi?
Berapakah kuat medan listrik? Apa yang dimaksud dengan disebut sifat gaya medan listrik?
Bagaimana seseorang dapat menilai arah dan besarnya kuat medan pada suatu titik tertentu dari pola garis-garis medan?
Dapatkah garis medan listrik berpotongan? Berikan alasan atas jawaban Anda.
Gambarkan gambaran kualitatif garis medan elektrostatik dua muatan sedemikian rupa sehingga .
Aliran kuat medan listrik melalui permukaan tertutup dinyatakan dengan rumus berbeda (11) dan (12) dalam satuan GSE dan SI. Bagaimana hal ini dapat diselaraskan dengan makna geometris aliran, yang ditentukan oleh jumlah garis gaya yang melintasi permukaan?
Bagaimana cara menggunakan teorema Gauss untuk mencari kuat medan listrik ketika muatan yang menciptakannya terdistribusi secara simetris?
Bagaimana menerapkan rumus (14) dan (15) untuk menghitung kuat medan bola bermuatan negatif?
Teorema Gauss dan geometri ruang fisik. Mari kita lihat bukti teorema Gauss dari sudut pandang yang sedikit berbeda. Mari kita kembali ke rumus (7), yang menyimpulkan bahwa jumlah garis gaya yang sama melewati permukaan bola yang mengelilingi muatan. Kesimpulan ini disebabkan oleh adanya pengurangan penyebut kedua ruas persamaan.
Di sisi kanan, hal ini muncul karena gaya interaksi antar muatan, yang dijelaskan oleh hukum Coulomb, berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antar muatan. Di sisi kiri, penampakannya berhubungan dengan geometri: luas permukaan bola sebanding dengan kuadrat jari-jarinya.
Proporsionalitas luas permukaan terhadap kuadrat dimensi linier merupakan ciri khas geometri Euclidean dalam ruang tiga dimensi. Memang, proporsionalitas luas dengan kuadrat dimensi linier, dan bukan dengan derajat bilangan bulat lainnya, merupakan karakteristik ruang.
tiga dimensi. Fakta bahwa eksponen ini sama persis dengan dua, dan tidak berbeda dari dua, bahkan dengan jumlah yang sangat kecil, menunjukkan bahwa ruang tiga dimensi ini tidak melengkung, yaitu geometrinya tepatnya Euclidean.
Dengan demikian, teorema Gauss merupakan manifestasi sifat-sifat ruang fisik dalam hukum dasar interaksi muatan listrik.
Gagasan tentang hubungan erat antara hukum dasar fisika dan sifat-sifat ruang diungkapkan oleh banyak pemikir terkemuka jauh sebelum hukum-hukum ini sendiri ditetapkan. Jadi, I. Kant, tiga dekade sebelum penemuan hukum Coulomb, menulis tentang sifat-sifat ruang: “Tampaknya tiga dimensi terjadi karena zat-zat di dunia yang ada bertindak satu sama lain sedemikian rupa sehingga gaya aksinya adalah berbanding terbalik dengan kuadrat jarak.”
Hukum Coulomb dan teorema Gauss sebenarnya mewakili hukum alam yang sama, yang diungkapkan dalam bentuk berbeda. Hukum Coulomb mencerminkan konsep aksi jarak jauh, sedangkan teorema Gauss berasal dari gagasan medan gaya yang mengisi ruang, yaitu dari konsep aksi jarak pendek. Dalam elektrostatika, sumber medan gaya adalah muatan, dan karakteristik medan yang terkait dengan sumber tersebut - aliran intensitas - tidak dapat berubah di ruang kosong yang tidak terdapat muatan lain. Karena aliran dapat dibayangkan secara visual sebagai sekumpulan garis-garis medan, kekekalan aliran diwujudkan dalam kesinambungan garis-garis tersebut.
Teorema Gauss, berdasarkan proporsionalitas terbalik interaksi dengan kuadrat jarak dan prinsip superposisi (aditivitas interaksi), dapat diterapkan pada medan fisik apa pun di mana hukum kuadrat terbalik beroperasi. Secara khusus, hal ini juga berlaku untuk medan gravitasi. Jelas bahwa ini bukan sekadar kebetulan, melainkan cerminan fakta bahwa interaksi listrik dan gravitasi terjadi dalam ruang fisik Euclidean tiga dimensi.
Ciri hukum interaksi muatan listrik apa yang menjadi dasar teorema Gauss?
Buktikan berdasarkan teorema Gauss bahwa kuat medan listrik suatu muatan titik berbanding terbalik dengan kuadrat jarak. Sifat simetri ruang apa yang digunakan dalam pembuktian ini?
Bagaimana geometri ruang fisik tercermin dalam hukum Coulomb dan teorema Gauss? Ciri apa dari hukum-hukum ini yang menunjukkan sifat geometri Euclidean dan ruang fisik tiga dimensi?
Fluks vektor kekuatan medan listrik. Biarkan platform kecil DS(Gbr. 1.2) memotong garis-garis medan listrik yang arahnya searah dengan garis normal N
sudut ke situs ini A. Dengan asumsi bahwa vektor tegangan E
tidak berubah di dalam situs DS, mari kita definisikan aliran vektor tegangan melalui platform DS Bagaimana
DFE =E DS karena A.(1.3)
Karena kerapatan saluran listrik sama dengan nilai numerik tegangan E, maka jumlah kabel listrik yang melintasi area tersebutDS, secara numerik akan sama dengan nilai aliranDFEmelalui permukaanDS. Mari kita nyatakan sisi kanan ekspresi (1.3) sebagai produk skalar vektor E DanDS= NDS, Di mana N– vektor satuan normal terhadap permukaanDS. Untuk area dasar d S ekspresi (1.3) mengambil bentuk
DFE = E D S
Di seluruh situs S fluks vektor tegangan dihitung sebagai integral pada permukaan
Aliran vektor induksi listrik. Fluks vektor induksi listrik ditentukan serupa dengan fluks vektor kuat medan listrik
DFD = D D S
Ada beberapa ambiguitas dalam definisi aliran karena fakta bahwa ada dua aliran untuk setiap permukaan normal dalam arah yang berlawanan. Untuk permukaan tertutup, normal luar dianggap positif.
teorema Gauss. Mari kita pertimbangkan titik positif muatan listrik Q, terletak di dalam permukaan tertutup yang sewenang-wenang S(Gbr. 1.3). Fluks vektor induksi melalui elemen permukaan d S sama 
(1.4)
Komponen d S D = D S karena Aelemen permukaan d S searah dengan vektor induksiDdianggap sebagai elemen permukaan bola berjari-jari R, yang di tengahnya terdapat muatanQ.
|
|
Mengingat d S D/ R 2 sama tubuh dasar sudut dw, di mana dari titik di mana muatan itu beradaQelemen permukaan d terlihat S, kami mengubah ekspresi (1.4) ke bentuk D FD = Q D w / 4 P, dari mana, setelah integrasi seluruh ruang di sekitar muatan, yaitu dalam sudut padat dari 0 hingga 4P, kita mendapatkan
FD = Q.
Aliran vektor induksi listrik melalui permukaan tertutup yang bentuknya berubah-ubah sama dengan muatan yang terkandung di dalam permukaan tersebut.
|
|
Jika permukaannya tertutup sembarang S tidak mencakup biaya poin Q(Gbr. 1.4), kemudian, setelah membuat permukaan berbentuk kerucut dengan titik sudut di titik di mana muatan berada, kita membagi permukaan tersebut S menjadi dua bagian: S 1 dan S 2. Vektor aliran D melalui permukaan S kita temukan sebagai jumlah aljabar fluks yang melalui permukaan S 1 dan S 2:
.
Kedua permukaan dari titik dimana muatan berada Q terlihat dari satu sudut padat w. Oleh karena itu alirannya sama
Karena saat menghitung aliran melalui permukaan tertutup, kami menggunakan normal luar ke permukaan, mudah untuk melihat bahwa aliran F 1D < 0, тогда как поток Ф2D> 0. Total aliran Ф D= 0. Artinya aliran vektor induksi listrik melalui permukaan tertutup yang bentuknya berubah-ubah tidak bergantung pada muatan yang terletak di luar permukaan tersebut.
Jika medan listrik diciptakan oleh sistem muatan titik Q 1 , Q 2 ,¼ , qn, yang ditutupi oleh permukaan tertutup S, maka, sesuai dengan prinsip superposisi, fluks vektor induksi yang melalui permukaan ini ditentukan sebagai jumlah fluks yang ditimbulkan oleh masing-masing muatan. Aliran vektor induksi listrik melalui permukaan tertutup yang bentuknya berubah-ubah sama dengan jumlah aljabar muatan yang dicakup oleh permukaan tersebut:
Perlu dicatat bahwa tuduhan tersebut qi tidak harus berbentuk titik, syarat yang diperlukan adalah area bermuatan harus tertutup seluruhnya oleh permukaan. Jika berada pada suatu ruang yang dibatasi oleh suatu permukaan tertutup S, muatan listrik tersebar terus menerus, maka diasumsikan setiap volume dasar d V memiliki biaya. Dalam hal ini, di sisi kanan ekspresi (1.5), penjumlahan aljabar muatan digantikan oleh integrasi volume yang tertutup di dalam permukaan tertutup. S:
(1.6)
Ekspresi (1.6) merupakan rumusan yang paling umum teorema Gauss: aliran vektor induksi listrik melalui permukaan tertutup yang bentuknya berubah-ubah sama dengan muatan total dalam volume yang ditutupi oleh permukaan tersebut dan tidak bergantung pada muatan yang terletak di luar permukaan yang ditinjau.. Teorema Gauss juga dapat ditulis untuk aliran vektor kuat medan listrik:
.
Sifat penting medan listrik mengikuti teorema Gauss: garis gaya dimulai atau diakhiri hanya pada muatan listrik atau berlanjut hingga tak terhingga. Mari kita tekankan sekali lagi bahwa, meskipun faktanya kuat medan listrik E dan induksi listrik D bergantung pada lokasi semua muatan dalam ruang, aliran vektor-vektor ini melalui permukaan tertutup yang berubah-ubah S ditentukan saja muatan-muatan yang terletak di dalam permukaan S.
Bentuk diferensial dari teorema Gauss. Perhatikan itu bentuk integral Teorema Gauss mencirikan hubungan antara sumber medan listrik (muatan) dan karakteristik medan listrik (tegangan atau induksi) dalam volume V sewenang-wenang, tetapi cukup untuk pembentukan hubungan integral, besarnya. Dengan membagi volumenya V untuk volume kecil V saya, kita mendapatkan ekspresinya
berlaku baik secara keseluruhan maupun untuk setiap periode. Mari kita ubah ekspresi yang dihasilkan sebagai berikut:
(1.7)
dan pertimbangkan batas ekspresi di sisi kanan persamaan, yang diapit tanda kurung kurawal, cenderung untuk pembagian volume yang tidak terbatas V. Dalam matematika batas ini disebut perbedaan vektor (dalam hal ini vektor induksi listrik D):
Divergensi vektor D dalam koordinat kartesius:
Jadi, ekspresi (1.7) diubah menjadi bentuk:
.
Mengingat bahwa dengan pembagian tak terbatas, jumlah di sisi kiri ekspresi terakhir menjadi integral volume, kita peroleh
Hubungan yang dihasilkan harus dipenuhi untuk setiap volume yang dipilih secara sewenang-wenang V. Hal ini hanya mungkin terjadi jika nilai integran pada setiap titik dalam ruang adalah sama. Oleh karena itu, divergensi vektor D terkait dengan kerapatan muatan pada titik yang sama melalui persamaan
atau untuk vektor kuat medan elektrostatis
Persamaan ini diungkapkan oleh teorema Gauss di bentuk diferensial.
Perhatikan bahwa dalam proses transisi ke bentuk diferensial teorema Gauss, diperoleh relasi yang bersifat umum:
.
Ekspresi ini disebut rumus Gauss-Ostrogradsky dan menghubungkan integral volume divergensi suatu vektor dengan aliran vektor ini melalui permukaan tertutup yang membatasi volume.
Pertanyaan
1) Apa arti fisis teorema Gauss untuk medan elektrostatis dalam ruang hampa
2) Terdapat muatan titik di tengah kubusQ. Berapakah fluks suatu vektor? E:
a) melalui seluruh permukaan kubus; b) melalui salah satu permukaan kubus.
Akankah jawabannya berubah jika:
a) muatannya bukan berada di tengah kubus, melainkan di dalamnya ; b) muatannya berada di luar kubus.
3) Apa yang dimaksud dengan kerapatan muatan linier, permukaan, volume.
4) Tunjukkan hubungan antara volume dan kepadatan muatan permukaan.
5) Bisakah medan di luar bidang tak hingga sejajar yang bermuatan seragam dan berlawanan arah tidak nol?
6) Dipol listrik ditempatkan di dalam permukaan tertutup. Berapakah aliran yang melalui permukaan ini
Mari kita perhatikan bagaimana nilai vektor E berubah pada antarmuka antara dua media, misalnya udara (ε 1) dan air (ε = 81). Kekuatan medan di dalam air berkurang secara tiba-tiba sebesar 81 kali lipat. Perilaku vektor ini E menciptakan ketidaknyamanan tertentu saat menghitung bidang di berbagai lingkungan. Untuk menghindari ketidaknyamanan ini, vektor baru diperkenalkan D– vektor induksi atau perpindahan listrik medan. Koneksi vektor D Dan E seperti
D = ε ε 0 E.
Jelasnya, untuk medan muatan titik, perpindahan listriknya akan sama dengan
Sangat mudah untuk melihat bahwa perpindahan listrik diukur dalam C/m2, tidak bergantung pada sifat-sifatnya dan secara grafis diwakili oleh garis-garis yang mirip dengan garis tegangan.
Arah garis medan mencirikan arah medan dalam ruang (tentu saja, garis medan tidak ada, garis tersebut diperkenalkan untuk memudahkan ilustrasi) atau arah vektor kuat medan. Dengan menggunakan garis intensitas, Anda tidak hanya dapat mengkarakterisasi arah, tetapi juga besarnya kekuatan medan. Untuk itu disepakati untuk melaksanakannya dengan kepadatan tertentu, sehingga jumlah garis tegangan yang menembus suatu satuan permukaan yang tegak lurus garis tegangan sebanding dengan modulus vektor. E(Gbr. 78). Maka banyaknya garis yang menembus luas dasar dS, garis normalnya N membentuk sudut α dengan vektor E, sama dengan E dScos α = E n dS,
dimana E n adalah komponen vektor E ke arah normal N. Nilai dФ E = E n dS = E D S ditelepon aliran vektor tegangan melalui situs D S(D S= dS N).
Untuk permukaan tertutup sembarang S, aliran vektor E melalui permukaan ini adalah sama
Ekspresi serupa memiliki aliran vektor perpindahan listrik D
.
Teorema Ostrogradsky-Gauss
Teorema ini memungkinkan kita menentukan aliran vektor E dan D dari sejumlah muatan. Mari kita ambil muatan titik Q dan tentukan fluks vektornya E melalui permukaan bola berjari-jari r, yang titik pusatnya berada.
Untuk permukaan bola α = 0, cos α = 1, E n = E, S = 4 πr 2 dan
Ф E = E · 4 πr 2 .
Mengganti ekspresi untuk E kita dapatkan
Jadi, dari setiap muatan titik muncul aliran vektor F E E sama dengan Q/ ε 0 . Menggeneralisasikan kesimpulan ini ke kasus umum sejumlah muatan titik, kami memberikan rumusan teorema: aliran total vektor E melalui permukaan tertutup yang bentuknya berubah-ubah secara numerik sama dengan jumlah aljabar muatan listrik yang terkandung di dalam permukaan ini, dibagi dengan ε 0, yaitu.
Untuk fluks vektor perpindahan listrik D Anda bisa mendapatkan rumus serupa
fluks vektor induksi melalui permukaan tertutup sama dengan jumlah aljabar muatan listrik yang ditutupi oleh permukaan tersebut.
Jika kita mengambil permukaan tertutup yang tidak menampung muatan, maka setiap garisnya E Dan D akan melintasi permukaan ini dua kali - di pintu masuk dan keluar, sehingga fluks totalnya menjadi nol. Di sini perlu memperhitungkan jumlah aljabar dari garis masuk dan keluar.
Penerapan teorema Ostrogradsky-Gauss untuk menghitung medan listrik yang ditimbulkan oleh bidang, bola, dan silinder
Permukaan bola berjari-jari R membawa muatan Q, terdistribusi merata di seluruh permukaan dengan kepadatan permukaan σ
Mari kita ambil titik A di luar bola pada jarak r dari pusat dan secara mental menggambar bola berjari-jari r bermuatan simetris (Gbr. 79). Luasnya S = 4 πr 2. Fluks vektor E akan sama dengan
Menurut teorema Ostrogradsky-Gauss 
, karena itu, 
dengan memperhitungkan bahwa Q = σ 4 πr 2 , kita peroleh 
Untuk titik-titik yang terletak pada permukaan bola (R = r)
D 
Untuk titik-titik yang terletak di dalam bola berongga (tidak ada muatan di dalam bola), E = 0.
2
. Permukaan silinder berongga dengan jari-jari R dan panjang aku bermuatan dengan kerapatan muatan permukaan yang konstan 
(Gbr. 80). Mari kita menggambar permukaan silinder koaksial dengan jari-jari r > R.
Vektor aliran E melalui permukaan ini
Menurut teorema Gauss
Menyamakan ruas kanan persamaan di atas, kita peroleh
.
Jika kerapatan muatan linier silinder (atau benang tipis) diberikan 
Itu
3. Bidang bidang tak hingga dengan kerapatan muatan permukaan σ (Gbr. 81).
Mari kita perhatikan bidang yang diciptakan oleh bidang tak hingga. Dari pertimbangan simetri dapat disimpulkan bahwa intensitas di setiap titik medan mempunyai arah tegak lurus terhadap bidang.
Pada titik-titik simetris E besarnya sama dan arahnya berlawanan.
Mari kita secara mental membuat permukaan silinder dengan alas ΔS. Kemudian akan keluar aliran melalui masing-masing dasar silinder
F E = E ΔS, dan total aliran yang melalui permukaan silinder akan sama dengan F E = 2E ΔS.
Di dalam permukaan terdapat muatan Q = σ · ΔS. Menurut teorema Gauss, hal itu pasti benar
Di mana 
Hasil yang diperoleh tidak bergantung pada ketinggian silinder yang dipilih. Jadi, kuat medan E pada jarak berapa pun besarnya sama.
Untuk dua bidang bermuatan berbeda dengan kerapatan muatan permukaan yang sama σ, menurut prinsip superposisi, di luar ruang antar bidang kuat medannya adalah nol E = 0, dan di ruang antar bidang 
(Gbr. 82a). Jika bidang-bidang tersebut diisi dengan muatan serupa dengan kerapatan muatan permukaan yang sama, gambaran sebaliknya akan terlihat (Gbr. 82b). Di ruang antar bidang E = 0, dan di ruang luar bidang 
.
Rumusan umum: Aliran vektor kuat medan listrik melalui permukaan tertutup yang dipilih secara acak sebanding dengan muatan listrik yang terkandung di dalam permukaan tersebut.
Dalam sistem SGSE:
Dalam sistem SI:
adalah aliran vektor kuat medan listrik melalui permukaan tertutup.
- total muatan yang terkandung dalam volume yang membatasi permukaan.
- konstanta listrik.
Ungkapan ini mewakili teorema Gauss dalam bentuk integral.
Dalam bentuk diferensial, teorema Gauss sesuai dengan salah satu persamaan Maxwell dan dinyatakan sebagai berikut
dalam sistem SI:
,
dalam sistem SGSE:
Berikut adalah kerapatan muatan volumetrik (dalam hal adanya medium, kerapatan total muatan bebas dan terikat), dan merupakan operator nabla.
Untuk teorema Gauss berlaku prinsip superposisi, yaitu aliran vektor intensitas yang melalui permukaan tidak bergantung pada distribusi muatan di dalam permukaan.
Dasar fisis teorema Gauss adalah hukum Coulomb atau dengan kata lain teorema Gauss merupakan rumusan integral dari hukum Coulomb.
Teorema Gauss untuk induksi listrik (perpindahan listrik).
Untuk medan materi, teorema elektrostatis Gauss dapat ditulis secara berbeda - melalui aliran vektor perpindahan listrik (induksi listrik). Dalam hal ini rumusan teoremanya adalah sebagai berikut: aliran vektor perpindahan listrik melalui suatu permukaan tertutup sebanding dengan muatan listrik bebas yang terdapat di dalam permukaan tersebut:
Jika kita mempertimbangkan teorema kuat medan suatu zat, maka sebagai muatan Q kita perlu mengambil jumlah muatan bebas yang terletak di dalam permukaan dan muatan polarisasi (terinduksi, terikat) dielektrik:
,
Di mana 
,
adalah vektor polarisasi dielektrik.
Teorema Gauss untuk induksi magnet
Fluks vektor induksi magnet melalui suatu permukaan tertutup adalah nol:
.
Hal ini setara dengan fakta bahwa di alam tidak ada “muatan magnet” (monopole) yang dapat menimbulkan medan magnet, seperti halnya muatan listrik yang menimbulkan medan listrik. Dengan kata lain, teorema Gauss untuk induksi magnet menunjukkan bahwa medan magnet berbentuk pusaran.
Penerapan teorema Gauss
Besaran berikut digunakan untuk menghitung medan elektromagnetik:
Kepadatan muatan volumetrik (lihat di atas).
Kepadatan muatan permukaan
di mana dS adalah luas permukaan yang sangat kecil.
Kepadatan muatan linier
dimana dl adalah panjang segmen yang sangat kecil.
Mari kita perhatikan medan yang diciptakan oleh bidang bermuatan seragam tak terhingga. Misalkan kerapatan muatan permukaan bidang tersebut sama dan sama dengan σ. Mari kita bayangkan sebuah silinder dengan generatrices tegak lurus terhadap bidang dan alas ΔS terletak secara simetris terhadap bidang. Karena simetri. Fluks vektor tegangan sama dengan . Menerapkan teorema Gauss, kita mendapatkan:
,
dari mana
dalam sistem SSSE
Penting untuk dicatat bahwa meskipun bersifat universal dan umum, teorema Gauss dalam bentuk integral memiliki penerapan yang relatif terbatas karena ketidaknyamanan dalam menghitung integral. Namun, dalam kasus masalah simetris, penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dibandingkan menggunakan prinsip superposisi.
