Saya menyarankan agar pembaca lainnya memperluas pengetahuan sekolah mereka tentang parabola dan hiperbola secara signifikan. Hiperbola dan parabola - apakah sederhana? ...Tidak sabar =)

Hiperbola dan persamaan kanoniknya

Struktur penyajian materi secara umum akan menyerupai paragraf sebelumnya. Mari kita mulai dengan konsep umum hiperbola dan tugas membangunnya.

Persamaan kanonik hiperbola berbentuk , dimana bilangan real positif. Harap dicatat bahwa, tidak seperti elips, syaratnya tidak berlaku di sini, yaitu nilai “a” boleh lebih kecil dari nilai “menjadi”.

Saya harus mengatakan, secara tidak terduga… persamaan hiperbola “sekolah” bahkan tidak mirip dengan notasi kanonik. Namun misteri ini masih harus menunggu kita, namun untuk saat ini mari kita garuk-garuk kepala dan mengingat ciri-ciri apa yang dimiliki kurva tersebut? Mari kita sebarkan di layar imajinasi kita grafik suatu fungsi ….

Hiperbola mempunyai dua cabang yang simetris.

Bukan kemajuan yang buruk! Hiperbola apa pun memiliki sifat-sifat ini, dan sekarang kita akan melihat dengan kekaguman yang tulus pada garis leher baris ini:

Contoh 4

Bangun hiperbola yang diberikan oleh persamaan

Larutan: pada langkah pertama, kita membawa persamaan ini ke bentuk kanonik. Harap ingat prosedur standar. Di sebelah kanan Anda perlu mendapatkan “satu”, jadi kita bagi kedua ruas persamaan awal dengan 20:

Di sini Anda dapat mereduksi kedua pecahan, tetapi akan lebih optimal jika melakukan masing-masing pecahan tiga lantai:

Dan baru setelah itu lakukan pengurangan:

Pilih kotak di penyebutnya:

Mengapa lebih baik melakukan transformasi dengan cara ini? Toh, pecahan di ruas kiri bisa langsung dikurangi dan diperoleh. Faktanya adalah bahwa dalam contoh yang sedang dipertimbangkan kami sedikit beruntung: angka 20 habis dibagi 4 dan 5. Secara umum, angka seperti itu tidak berfungsi. Misalnya saja persamaannya. Di sini, dengan keterbagian, segalanya menjadi lebih menyedihkan dan tanpanya pecahan tiga lantai tidak mungkin lagi:

Jadi, mari kita gunakan hasil kerja kita - persamaan kanonik:

Bagaimana cara membuat hiperbola?

Ada dua pendekatan untuk membangun hiperbola - geometris dan aljabar.
Dari sudut pandang praktis, menggambar dengan kompas... Saya bahkan akan mengatakan utopis, jadi jauh lebih menguntungkan untuk sekali lagi menggunakan perhitungan sederhana untuk membantu.

Dianjurkan untuk mengikuti algoritma berikut, pertama gambar yang sudah jadi, lalu komentar:

Dalam prakteknya, sering dijumpai kombinasi rotasi dengan sudut sembarang dan translasi paralel hiperbola. Situasi ini dibahas di kelas Mereduksi persamaan garis orde 2 menjadi bentuk kanonik.

Parabola dan persamaan kanoniknya

Selesai! Dialah orangnya. Siap mengungkap banyak rahasia. Persamaan kanonik parabola berbentuk , dimana merupakan bilangan real. Sangat mudah untuk melihat bahwa dalam posisi standarnya parabola “terletak pada sisinya” dan titik puncaknya berada di titik asal. Dalam hal ini, fungsinya menentukan cabang atas dari garis ini, dan fungsinya – cabang bawah. Jelas bahwa parabola simetris terhadap sumbunya. Sebenarnya kenapa repot-repot:

Contoh 6

Buatlah sebuah parabola

Larutan: titik puncaknya diketahui, cari titik tambahannya. Persamaannya menentukan busur atas parabola, persamaan menentukan busur bawah.

Untuk mempersingkat pencatatan perhitungan, kami akan melakukan perhitungan “dengan satu kuas”:

Untuk pencatatan yang ringkas, hasilnya dapat diringkas dalam sebuah tabel.

Sebelum melakukan gambar dasar poin demi poin, mari kita rumuskan secara ketat

definisi parabola:

Parabola adalah himpunan semua titik pada bidang yang berjarak sama dari suatu titik tertentu dan suatu garis tertentu yang tidak melalui titik tersebut.

Intinya disebut fokus parabola, garis lurus - kepala sekolah (dieja dengan satu "es") parabola. Konstanta "pe" dari persamaan kanonik disebut parameter fokus, yang sama dengan jarak dari fokus ke direktriks. Pada kasus ini . Dalam hal ini, fokusnya memiliki koordinat , dan direktriksnya diberikan oleh persamaan .
Dalam contoh kita:

Definisi parabola bahkan lebih sederhana untuk dipahami dibandingkan definisi elips dan hiperbola. Untuk setiap titik pada parabola, panjang segmen (jarak fokus ke titik) sama dengan panjang tegak lurus (jarak titik ke direktriks):

Selamat! Banyak dari Anda telah membuat penemuan nyata hari ini. Ternyata hiperbola dan parabola sama sekali bukan grafik fungsi “biasa”, tetapi mempunyai asal usul geometri yang jelas.

Jelasnya, seiring bertambahnya parameter fokus, cabang-cabang grafik akan “naik” ke atas dan ke bawah, mendekati sumbu tanpa batas. Ketika nilai “pe” menurun, mereka akan mulai memampatkan dan meregang sepanjang sumbu

Eksentrisitas parabola sama dengan kesatuan:

Rotasi dan translasi paralel parabola

Parabola adalah salah satu garis paling umum dalam matematika, dan Anda harus sering membuatnya. Oleh karena itu, harap berikan perhatian khusus pada paragraf terakhir pelajaran ini, di mana saya akan membahas pilihan umum untuk lokasi kurva ini.

! Catatan : seperti halnya kurva sebelumnya, lebih tepat berbicara tentang rotasi dan translasi paralel sumbu koordinat, tetapi penulis akan membatasi dirinya pada versi penyajian yang disederhanakan sehingga pembaca memiliki pemahaman dasar tentang transformasi ini.

Perhatikan sebuah garis pada bidang dan sebuah titik yang tidak terletak pada garis tersebut. DAN elips, Dan hiperbola dapat didefinisikan secara terpadu sebagai kedudukan titik-titik geometri yang perbandingan jarak ke suatu titik tertentu dengan jarak ke suatu garis lurus adalah nilai yang konstan.

peringkat ε. Pada 0 1 - hiperbola. Parameternya adalah eksentrisitas elips dan hiperbola. Dari kemungkinan nilai positif parameter ε, satu yaitu ε = 1 ternyata tidak terpakai. Nilai ini sesuai dengan kedudukan geometri titik-titik yang berjarak sama dari suatu titik tertentu dan dari suatu garis tertentu.

Definisi 8.1. Tempat kedudukan titik-titik pada suatu bidang yang berjarak sama terhadap suatu titik tetap dan terhadap suatu garis tetap disebut parabola.

Titik tetapnya disebut fokus parabola, dan garis lurus - direktriks parabola. Pada saat yang sama, diyakini demikian eksentrisitas parabola sama dengan satu.

Dari pertimbangan geometris dapat disimpulkan bahwa parabola adalah simetris terhadap garis lurus yang tegak lurus terhadap direktriks dan melalui fokus parabola. Garis lurus ini disebut sumbu simetri parabola atau sederhananya sumbu parabola. Parabola memotong sumbu simetrinya di satu titik. Poin ini disebut titik puncak parabola. Letaknya di tengah ruas yang menghubungkan fokus parabola dengan titik potong sumbunya dengan direktriks (Gbr. 8.3).

persamaan parabola. Untuk menurunkan persamaan parabola, kita memilih pada bidang asal di titik puncak parabola, sebagai sumbu x- sumbu parabola, arah positifnya ditentukan oleh posisi fokus (lihat Gambar 8.3). Sistem koordinat ini disebut resmi untuk parabola yang dimaksud, dan variabel-variabel yang bersesuaiannya adalah resmi.

Mari kita nyatakan jarak dari fokus ke direktriks dengan p. Dia dipanggil parameter fokus parabola.

Maka fokus mempunyai koordinat F(p/2; 0), dan direktriks d digambarkan dengan persamaan x = - p/2. Tempat kedudukan titik M(x; y), berjarak sama dari titik F dan dari garis d, diberikan oleh persamaan

Mari kita kuadratkan persamaan (8.2) dan sajikan persamaan serupa. Kami mendapatkan persamaannya

yang disebut persamaan parabola kanonik.

Perhatikan bahwa mengkuadratkan dalam kasus ini merupakan transformasi ekuivalen dari persamaan (8.2), karena kedua ruas persamaan tersebut non-negatif, seperti ekspresi di bawah akar.

Jenis parabola. Jika parabola y 2 = x, yang bentuknya kita anggap diketahui, dikompresi dengan koefisien 1/(2р) sepanjang sumbu absis, maka diperoleh parabola bentuk umum, yang dijelaskan oleh persamaan (8.3).

Contoh 8.2. Mari kita cari koordinat fokus dan persamaan direktriks parabola jika melewati suatu titik yang koordinat kanoniknya (25; 10).

Pada koordinat kanonik, persamaan parabola berbentuk y 2 = 2px. Karena titik (25; 10) terletak pada parabola, maka 100 = 50p sehingga p = 2. Oleh karena itu, y 2 = 4x adalah persamaan kanonik parabola, x = - 1 adalah persamaan direktriksnya, dan fokusnya ada pada titik (1; 0 ).

Properti optik parabola. Parabola mempunyai persamaan berikut properti optik. Jika suatu sumber cahaya diletakkan pada titik fokus parabola, maka semua sinar cahaya setelah dipantulkan dari parabola akan sejajar dengan sumbu parabola (Gbr. 8.4). Sifat optik berarti bahwa pada setiap titik M parabola vektor biasa garis singgung membentuk sudut yang sama besar dengan jari-jari fokus MF dan sumbu absis.

Tingkat III

3.1. Hiperbola menyentuh baris 5 X – 6kamu – 16 = 0, 13X – 10kamu– – 48 = 0. Tuliskan persamaan hiperbola asalkan sumbunya berimpit dengan sumbu koordinat.

3.2. Tuliskan persamaan garis singgung hiperbola

1) melewati suatu titik A(4, 1), B(5, 2) dan C(5, 6);

2) sejajar dengan garis lurus 10 X – 3kamu + 9 = 0;

3) tegak lurus garis lurus 10 X – 3kamu + 9 = 0.

Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik geometri pada bidang yang koordinatnya memenuhi persamaan

Parameter parabola:

Dot F(P/2, 0) dipanggil fokus parabola, besarnya P – parameter , dot TENTANG(0, 0) – atas . Dalam hal ini, garis lurus DARI, yang parabolanya simetris, menentukan sumbu kurva ini.

Besarnya Di mana M(X, kamu) – titik sembarang parabola, disebut radius fokus , lurus D: X = –P/2 – kepala sekolah (tidak memotong daerah dalam parabola). Besarnya disebut eksentrisitas parabola.

Sifat karakteristik utama parabola: semua titik parabola berjarak sama dari direktriks dan fokus (Gbr. 24).

Ada bentuk lain dari persamaan parabola kanonik yang menentukan arah lain dari cabang-cabangnya dalam sistem koordinat (Gbr. 25):

Untuk definisi parametrik parabola sebagai parameter T nilai ordinat titik parabola dapat diambil:

Di mana T adalah bilangan real sembarang.

Contoh 1. Tentukan parameter dan bentuk parabola menggunakan persamaan kanoniknya:

Larutan. 1. Persamaan kamu 2 = –8X mendefinisikan parabola dengan titik di titik TENTANG Oh. Cabang-cabangnya mengarah ke kiri. Membandingkan persamaan ini dengan persamaan kamu 2 = –2piksel, kami menemukan: 2 P = 8, P = 4, P/2 = 2. Oleh karena itu, fokusnya ada pada titik tersebut F(–2; 0), persamaan direktriks D: X= 2 (Gbr. 26).

2. Persamaan X 2 = –4kamu mendefinisikan parabola dengan titik di titik HAI(0; 0), simetris terhadap sumbu Oi. Cabang-cabangnya mengarah ke bawah. Membandingkan persamaan ini dengan persamaan X 2 = –2py, kami menemukan: 2 P = 4, P = 2, P/2 = 1. Oleh karena itu, fokusnya ada pada titik tersebut F(0; –1), persamaan direktriks D: kamu= 1 (Gbr. 27).

Contoh 2. Tentukan parameter dan jenis kurva X 2 + 8X – 16kamu– 32 = 0. Buatlah gambar.

Larutan. Mari kita ubah ruas kiri persamaan menggunakan metode ekstraksi kuadrat lengkap:

X 2 + 8X– 16kamu – 32 =0;

(X + 4) 2 – 16 – 16kamu – 32 =0;

(X + 4) 2 – 16kamu – 48 =0;

(X + 4) 2 – 16(kamu + 3).

Hasilnya kita dapatkan

(X + 4) 2 = 16(kamu + 3).

Ini adalah persamaan kanonik parabola dengan titik puncak di titik (–4, –3), sebagai parameternya P= 8, cabang mengarah ke atas (), sumbu X= –4. Fokusnya tepat sasaran F(–4; –3 + P/2), yaitu F(–4; 1) Kepala Sekolah D diberikan oleh persamaan kamu = –3 – P/2 atau kamu= –7 (Gbr. 28).

Contoh 4. Tuliskan persamaan parabola yang titik sudutnya di titik tersebut V(3; –2) dan fokus pada titik tersebut F(1; –2).

Larutan. Titik sudut dan fokus suatu parabola terletak pada garis lurus yang sejajar sumbunya Sapi(ordinat sama), cabang-cabang parabola mengarah ke kiri (absis fokus lebih kecil dari absis titik sudut), jarak fokus ke titik sudut adalah P/2 = 3 – 1 = 2, P= 4. Oleh karena itu, persamaan yang diperlukan

(kamu+ 2) 2 = –2 4( X– 3) atau ( kamu + 2) 2 = = –8(X – 3).

Tugas untuk solusi mandiri

saya menyamakan kedudukan

1.1. Tentukan parameter parabola dan buatlah:

1) kamu 2 = 2X; 2) kamu 2 = –3X;

3) X 2 = 6kamu; 4) X 2 = –kamu.

1.2. Tuliskan persamaan parabola yang titik sudutnya di titik asal jika diketahui:

1) parabola terletak pada setengah bidang kiri secara simetris terhadap sumbu Sapi Dan P = 4;

2) letak parabola simetris terhadap sumbunya Oi dan melewati titik tersebut M(4; –2).

3) direktriks diberikan oleh persamaan 3 kamu + 4 = 0.

1.3. Tuliskan persamaan kurva yang titik-titiknya berjarak sama terhadap titik (2; 0) dan garis lurus X = –2.

Tingkat II

2.1. Tentukan jenis dan parameter kurva.

6. Teorema penguraian suatu determinan menjadi jumlah determinan dan akibat-akibatnya.

7. Teorema perluasan determinan menjadi unsur-unsur baris (kolom) dan akibat-akibatnya.

8. Operasi matriks dan sifat-sifatnya. Buktikan salah satunya.

9. Operasi transposisi matriks dan sifat-sifatnya.

10. Pengertian matriks invers. Buktikan bahwa setiap matriks yang dapat dibalik hanya mempunyai satu inversi.

13. Blok matriks. Penjumlahan dan perkalian matriks blok. Teorema determinan matriks kuasi-segitiga.

14. Teorema determinan hasil kali matriks.

15. Teorema keberadaan matriks invers.

16.Penentuan rank matriks. Teorema basis minor dan akibat wajarnya.

17. Konsep ketergantungan linier baris dan kolom suatu matriks. Teorema pangkat matriks.

18. Metode penghitungan pangkat suatu matriks: metode pembatas minor, metode transformasi elementer.

19. Penerapan transformasi dasar baris saja (kolom saja) untuk mencari matriks invers.

20. Sistem persamaan linear. Kriteria kesesuaian dan kriteria kepastian.

21. Penyelesaian sistem persamaan linear gabungan.

22. Sistem persamaan linear homogen. Teorema tentang keberadaan sistem solusi fundamental.

23. Operasi linier pada vektor dan sifat-sifatnya. Buktikan salah satunya.

24. Penentuan selisih dua vektor. Buktikan bahwa untuk sembarang vektor, perbedaannya ada dan unik.

25. Pengertian basis, koordinat vektor pada basis. Teorema penguraian vektor terhadap suatu basis.

26. Ketergantungan linear vektor. Sifat-sifat konsep ketergantungan linier, buktikan salah satunya.

28. Sistem koordinat kartesius pada ruang, bidang, dan garis. Teorema kombinasi linier vektor dan akibat yang ditimbulkannya.

29. Menurunkan rumus yang menyatakan koordinat suatu titik di suatu DCS melalui koordinat titik yang sama di DCS lainnya.

30. Perkalian titik dari vektor. Definisi dan sifat dasar.

31. Perkalian silang vektor. Definisi dan sifat dasar.

32. Hasil kali campuran vektor. Definisi dan sifat dasar.

33. Hasil kali vektor ganda dari vektor. Pengertian dan rumus perhitungan (tanpa pembuktian).

34. Garis dan permukaan aljabar. Teorema tentang invariansi (kekekalan) keteraturan.

35. Persamaan umum bidang dan garis.

36. Persamaan parametrik garis dan bidang.

37. Peralihan dari persamaan umum suatu bidang dan garis pada suatu bidang ke persamaan parametriknya. Arti geometri dari koefisien a, b, c (a, b) pada persamaan umum suatu bidang (garis lurus pada suatu bidang).

38. Penghapusan suatu parameter dari persamaan parametrik pada bidang (dalam ruang), persamaan kanonik garis lurus.

39. Persamaan vektor garis dan bidang.

40. Persamaan umum garis lurus dalam ruang, direduksi menjadi bentuk kanonik.

41. Jarak suatu titik ke bidang. Jarak suatu titik ke suatu garis. Masalah lain tentang garis dan bidang.

42. Pengertian elips. Persamaan kanonik elips. Persamaan parametrik elips. Eksentrisitas elips.

44. Pengertian parabola. Penurunan persamaan parabola kanonik.

45. Kurva orde kedua dan klasifikasinya. Teorema utama tentang kvp.

45. Permukaan orde kedua dan klasifikasinya. Teorema utama tentang pvp. Permukaan rotasi.

47.Definisi ruang linier. Contoh.

49. Pengertian ruang Euclidean. Panjang vektor. Sudut antar vektor. Ketimpangan Cauchy-Bunyakovsky. Contoh.

50. Pengertian ruang Euclidean. Teori Pitagoras. Contoh pertidaksamaan segitiga.

44. Pengertian parabola. Penurunan persamaan parabola kanonik.

Definisi: Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik pada suatu bidang yang jaraknya ke suatu titik tetap F pada bidang tersebut sama dengan jarak ke suatu garis lurus tetap. Titik F disebut fokus parabola, dan garis tetap disebut direktriks parabola.

Untuk menurunkan persamaannya, mari kita buat:

DENGAN menurut definisi:

Karena 2 >=0, parabola terletak pada setengah bidang kanan. Ketika x bertambah dari 0 hingga tak terhingga
. Parabola tersebut simetris terhadap Sapi. Titik potong parabola dengan sumbu simetrinya disebut titik puncak parabola.

45. Kurva orde kedua dan klasifikasinya. Teorema utama tentang kvp.

Ada 8 jenis KVP:

1.elips

2.hiperbola

3.parabola

Kurva 1,2,3 adalah bagian kanonik. Jika kita memotong kerucut dengan bidang yang sejajar sumbu kerucut, kita memperoleh hiperbola. Jika bidang tersebut sejajar dengan generatrix maka disebut parabola. Tidak semua bidang melewati titik puncak kerucut. Jika itu adalah bidang lain, maka itu adalah elips.

4. sepasang garis sejajar y 2 +a 2 =0, a0

5. sepasang garis berpotongan y 2 -k 2 x 2 =0

6.satu garis lurus y 2 =0

7.satu titik x 2 + kamu 2 =0

8. himpunan kosong - kurva kosong (kurva tanpa titik) x 2 + y 2 +1=0 atau x 2 + 1=0

Teorema (teorema utama tentang KVP): Persamaan bentuk

A 11 X 2 + 2 a 12 x kamu + a 22 kamu 2 + 2 a 1 x + 2a 2 kamu+a 0 = 0

hanya dapat mewakili salah satu dari delapan jenis kurva tersebut.

Ide pembuktian adalah berpindah ke sistem koordinat di mana persamaan KVP akan mengambil bentuk paling sederhana, ketika jenis kurva yang diwakilinya menjadi jelas. Teorema tersebut dibuktikan dengan memutar sistem koordinat melalui sudut di mana suku dengan hasil kali koordinat menghilang. Dan dengan bantuan transfer paralel sistem koordinat di mana suku dengan variabel x atau suku dengan variabel y menghilang.

Transisi ke sistem koordinat baru: 1. Transfer paralel

2. Putar

45. Permukaan orde kedua dan klasifikasinya. Teorema utama tentang pvp. Permukaan rotasi.

P VP - himpunan titik yang koordinat persegi panjangnya memenuhi persamaan derajat ke-2: (1)

Diasumsikan bahwa setidaknya salah satu koefisien kuadrat atau hasil kali berbeda dari 0. Persamaan tersebut invarian terhadap pilihan sistem koordinat.

Dalil Setiap bidang memotong PVP di sepanjang CVP, kecuali dalam kasus khusus ketika seluruh bidang berada di bagian tersebut (PVP dapat berupa bidang atau sepasang bidang).

Ada 15 jenis PVP. Mari kita buat daftarnya, dengan menunjukkan persamaan yang digunakan untuk menentukannya dalam sistem koordinat yang sesuai. Persamaan ini disebut kanonik (yang paling sederhana). Buatlah gambar geometris yang sesuai dengan persamaan kanonik menggunakan metode bagian paralel: Potong permukaan dengan bidang koordinat dan bidang yang sejajar dengannya. Hasilnya adalah bagian dan kurva yang memberikan gambaran tentang bentuk permukaan.

1. Elipsoid.

Jika a=b=c maka diperoleh sebuah bola.

2. Hiperboloid.

1). Hiperboloid satu lembar:

Bagian hiperboloid satu lembar menurut bidang koordinat: XOZ:
- hiperbola.

YOZ:
- hiperbola.

Pesawat XOY:
- elips.

2). Hiperboloid dua lembar.

Titik asal adalah titik simetri.

Bidang koordinat adalah bidang simetri.

Pesawat z = H memotong hiperboloid sepanjang elips
, yaitu. pesawat z = H mulai memotong hiperboloid di | H |  C. Bagian hiperboloid menurut bidang X = 0 Dan kamu = 0 - ini adalah hiperbola.

Bilangan a, b, c pada persamaan (2), (3), (4) disebut sumbu semi ellipsoid dan hiperboloid.

3. Paraboloid.

1). Paraboloid elips:

Bagian pesawat z = H Ada
, Di mana
. Dari persamaan tersebut jelas bahwa z  0 adalah mangkuk tak terhingga.

Persimpangan pesawat kamu = H Dan X= H
- ini adalah parabola dan secara umum

2). Paraboloid hiperbolik:

Jelasnya bidang XOZ dan YOZ merupakan bidang simetri, sumbu z adalah sumbu paraboloid. Persimpangan paraboloid dengan bidang z = H– hiperbola:
,
. Pesawat z=0 memotong paraboloid hiperbolik sepanjang dua sumbu
yang merupakan asimtot.

4. Kerucut dan silinder orde kedua.

1). Kerucut adalah suatu permukaan
. Kerucut dibentuk oleh garis lurus yang melalui titik asal 0 (0, 0, 0). Penampang kerucut berbentuk elips dengan setengah sumbu
.

2). Silinder orde kedua.

Ini adalah silinder elips
.

Garis apa pun yang kita ambil yang memotong elips dan sejajar dengan sumbu Oz memenuhi persamaan ini. Dengan menggerakkan garis lurus ini mengelilingi elips kita memperoleh suatu permukaan.

G silinder hiperbolik:

Pada bidang XOU itu adalah hiperbola. Kami memindahkan garis lurus yang memotong hiperbola sejajar dengan Oz di sepanjang hiperbola.

Silinder parabola:

N dan bidang XOU adalah parabola.

Permukaan silinder dibentuk oleh suatu garis lurus (generatif) yang bergerak sejajar dengan garis lurus tertentu (pemandu).

10. Sepasang bidang yang berpotongan

11. Sepasang bidang sejajar

12.
- lurus

13. Garis lurus - sebuah "silinder" yang dibangun di atas satu titik

14.Satu poin

15.Kosongkan set

Teorema utama tentang PVT: Setiap PVP termasuk dalam salah satu dari 15 jenis yang dibahas di atas. Tidak ada PVP lainnya.

Permukaan rotasi. Misalkan PDSC Oxyz diberikan dan pada bidang Oyz garis e didefinisikan oleh persamaan F(y,z)=0 (1). Mari kita buat persamaan permukaan yang diperoleh dengan memutar garis ini di sekitar sumbu Oz. Mari kita ambil titik M(y,z) pada garis e. Ketika bidang Oyz berputar mengelilingi Oz, titik M akan menggambarkan sebuah lingkaran. Misalkan N(X,Y,Z) adalah titik sembarang pada lingkaran ini. Jelas bahwa z=Z.

.

Mengganti nilai z dan y yang ditemukan ke dalam persamaan (1) kita memperoleh persamaan yang benar:
itu. koordinat titik N memenuhi persamaan
. Jadi, setiap titik pada permukaan rotasi memenuhi persamaan (2). Tidak sulit untuk membuktikan bahwa jika suatu titik N(x 1 ,y 1 ,z 1) memenuhi persamaan (2) maka titik tersebut termasuk permukaan yang ditinjau. Sekarang kita dapat mengatakan bahwa persamaan (2) adalah persamaan yang diinginkan untuk permukaan revolusi.

"

Sepanjang bab ini diasumsikan bahwa skala tertentu telah dipilih pada bidang tersebut (di mana semua angka yang dibahas di bawah terletak); Hanya sistem koordinat persegi panjang dengan skala ini yang dipertimbangkan.

§ 1. Parabola

Parabola diketahui oleh pembaca dari mata pelajaran matematika sekolah sebagai kurva, yang merupakan grafik suatu fungsi

(Gbr. 76). (1)

Grafik trinomial kuadrat apa pun

juga merupakan parabola; dimungkinkan hanya dengan menggeser sistem koordinat (dengan beberapa vektor OO), yaitu mentransformasikan

memastikan grafik fungsi (pada sistem koordinat kedua) bertepatan dengan grafik (2) (pada sistem koordinat pertama).

Faktanya, mari kita substitusikan (3) ke dalam persamaan (2). Kita mendapatkan

Kita ingin memilih agar koefisien pada dan suku bebas polinomial (terhadap ) pada ruas kanan persamaan ini sama dengan nol. Untuk melakukan ini, kita menentukan dari persamaan

yang memberikan

Sekarang kita tentukan dari kondisinya

di mana kita mengganti nilai yang sudah ditemukan. Kita mendapatkan

Jadi, melalui shift (3), dimana

kami pindah ke sistem koordinat baru, di mana persamaan parabola (2) berbentuk

(Gbr. 77).

Mari kita kembali ke persamaan (1). Ini bisa menjadi definisi parabola. Mari kita ingat kembali sifat-sifatnya yang paling sederhana. Kurva mempunyai sumbu simetri: jika suatu titik memenuhi persamaan (1), maka suatu titik yang simetris terhadap titik M terhadap sumbu ordinat juga memenuhi persamaan (1) - kurva tersebut simetris terhadap sumbu ordinat (Gbr. 76) .

Jika , maka parabola (1) terletak pada setengah bidang atas, mempunyai satu titik persekutuan O dengan sumbu absis.

Dengan peningkatan nilai absolut absis yang tidak terbatas, ordinatnya juga meningkat tanpa batas. Gambaran umum kurva ditunjukkan pada Gambar. 76, sebuah.

Jika (Gbr. 76, b), maka kurva terletak pada setengah bidang bawah secara simetris terhadap sumbu absis terhadap kurva.

Jika kita berpindah ke sistem koordinat baru, diperoleh dari sistem lama dengan mengganti arah sumbu ordinat positif dengan arah sumbu ordinat yang berlawanan, maka parabola yang memiliki persamaan y pada sistem lama, akan memperoleh persamaan y pada sistem baru. sistem koordinasi. Oleh karena itu, ketika mempelajari parabola, kita dapat membatasi diri pada persamaan (1), dimana .

Terakhir, mari kita ubah nama sumbunya, yaitu kita akan berpindah ke sistem koordinat baru, yang sumbu ordinatnya akan menjadi sumbu absis yang lama, dan sumbu absisnya akan menjadi sumbu ordinat yang lama. Pada sistem baru ini, persamaan (1) akan ditulis dalam bentuk

Atau, jika bilangan tersebut dilambangkan dengan , dalam bentuk

Persamaan (4) dalam geometri analitik disebut persamaan kanonik parabola; sistem koordinat persegi panjang yang parabola tertentu memiliki persamaan (4) disebut sistem koordinat kanonik (untuk parabola ini).

Sekarang kita akan menetapkan arti geometri dari koefisien. Untuk melakukan ini, kami mengambil poinnya

disebut fokus parabola (4), dan garis lurus d, ditentukan oleh persamaan

Garis ini disebut direktriks parabola (4) (lihat Gambar 78).

Misalkan menjadi titik sembarang dari parabola (4). Dari persamaan (4) maka jarak titik M dari direktriks d adalah bilangan

Jarak titik M dari fokus F adalah

Tapi, oleh karena itu

Jadi, semua titik M pada parabola berjarak sama dari fokus dan direktriksnya:

Sebaliknya setiap titik M yang memenuhi syarat (8) terletak pada parabola (4).

Memang,

Karena itu,

dan, setelah membuka tanda kurung dan membawa suku-suku serupa,

Kita telah membuktikan bahwa setiap parabola (4) merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari fokus F dan dari direktriks d parabola tersebut.

Pada saat yang sama, kita telah menetapkan arti geometri dari koefisien dalam persamaan (4): bilangan tersebut sama dengan jarak antara fokus dan direktriks parabola.

Sekarang mari kita asumsikan bahwa titik F dan garis d yang tidak melalui titik ini diberikan secara sembarang pada bidang. Mari kita buktikan adanya parabola dengan fokus F dan direktriks d.

Untuk melakukannya, tarik garis g melalui titik F (Gbr. 79), tegak lurus terhadap garis d; mari kita nyatakan titik potong kedua garis dengan D; jarak (yaitu jarak antara titik F dan garis lurus d) akan dilambangkan dengan .

Mari kita ubah garis lurus g menjadi sumbu, dengan mengambil arah DF padanya sebagai positif. Mari kita jadikan sumbu ini sebagai sumbu absis dari sistem koordinat persegi panjang, yang titik asal adalah titik tengah O dari segmen tersebut

Maka garis lurus d juga menerima persamaan .

Sekarang kita dapat menulis persamaan kanonik parabola dalam sistem koordinat yang dipilih:

dimana titik F menjadi fokus, dan garis lurus d menjadi direktriks parabola (4).

Di atas kita telah menetapkan bahwa parabola adalah tempat kedudukan titik M yang berjarak sama dari titik F dan garis d. Jadi, kita dapat memberikan definisi parabola secara geometris (yaitu, tidak bergantung pada sistem koordinat apa pun).

Definisi. Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari suatu titik tetap (“fokus” parabola) dan suatu garis tetap (“direktriks” parabola).