Teorema Gauss untuk induksi. Aliran vektor induksi listrik. Penerapan teorema Ostrogradsky-Gauss untuk menghitung medan listrik yang ditimbulkan oleh bidang, bola, dan silinder

Fluks vektor kekuatan medan listrik. Biarkan platform kecil DS(Gbr. 1.2) memotong garis-garis medan listrik yang arahnya searah dengan garis normal N sudut ke situs ini A. Dengan asumsi bahwa vektor tegangan E tidak berubah di dalam situs DS, mari kita definisikan aliran vektor tegangan melalui platform DS Bagaimana

DFE =E DS karena A.(1.3)

Karena kerapatan saluran listrik sama dengan nilai numerik tegangan E, maka jumlah kabel listrik yang melintasi area tersebutDS, secara numerik akan sama dengan nilai aliranDFEmelalui permukaanDS. Mari kita nyatakan sisi kanan ekspresi (1.3) sebagai produk skalar vektor E DanDS= NDS, Di mana N– vektor satuan normal terhadap permukaanDS. Untuk area dasar d S ekspresi (1.3) mengambil bentuk

DFE = E D S

Di seluruh situs S fluks vektor tegangan dihitung sebagai integral pada permukaan

Aliran vektor induksi listrik. Fluks vektor induksi listrik ditentukan serupa dengan fluks vektor kuat medan listrik

DFD = D D S

Ada beberapa ambiguitas dalam definisi aliran karena fakta bahwa ada dua aliran untuk setiap permukaan normal dalam arah yang berlawanan. Untuk permukaan tertutup, normal luar dianggap positif.

teorema Gauss. Mari kita pertimbangkan titik positif muatan listrik Q, terletak di dalam permukaan tertutup yang sewenang-wenang S(Gbr. 1.3). Fluks vektor induksi melalui elemen permukaan d S sama
(1.4)

Komponen d S D = D S karena Aelemen permukaan d S searah dengan vektor induksiDdianggap sebagai elemen permukaan bola berjari-jari R, yang di tengahnya terdapat muatanQ.

Mengingat d S D/ R 2 sama tubuh dasar sudut dw, di mana dari titik di mana muatan itu beradaQelemen permukaan d terlihat S, kami mengubah ekspresi (1.4) ke bentuk D FD = Q D w / 4 P, dari mana, setelah integrasi seluruh ruang di sekitar muatan, yaitu dalam sudut padat dari 0 hingga 4P, kita mendapatkan

FD = Q.

Aliran vektor induksi listrik melalui permukaan tertutup yang bentuknya berubah-ubah sama dengan muatan yang terkandung di dalam permukaan tersebut.

Jika permukaannya tertutup sembarang S tidak mencakup biaya poin Q(Gbr. 1.4), kemudian, setelah membuat permukaan berbentuk kerucut dengan titik sudut di titik di mana muatan berada, kita membagi permukaan tersebut S menjadi dua bagian: S 1 dan S 2. Vektor aliran D melalui permukaan S kita temukan sebagai jumlah aljabar fluks yang melalui permukaan S 1 dan S 2:

.

Kedua permukaan dari titik dimana muatan berada Q terlihat dari satu sudut padat w. Oleh karena itu alirannya sama

Karena saat menghitung aliran melalui permukaan tertutup, kami menggunakan luar biasa ke permukaan, mudah untuk melihat bahwa aliran F 1D < 0, тогда как поток Ф2D> 0. Total aliran Ф D= 0. Artinya aliran vektor induksi listrik melalui permukaan tertutup yang bentuknya berubah-ubah tidak bergantung pada muatan yang terletak di luar permukaan tersebut.

Jika medan listrik diciptakan oleh sistem muatan titik Q 1 , Q 2 ,¼ , qn, yang ditutupi oleh permukaan tertutup S, maka, sesuai dengan prinsip superposisi, fluks vektor induksi yang melalui permukaan ini ditentukan sebagai jumlah fluks yang ditimbulkan oleh masing-masing muatan. Aliran vektor induksi listrik melalui permukaan tertutup yang bentuknya berubah-ubah sama dengan jumlah aljabar muatan yang dicakup oleh permukaan tersebut:

Perlu dicatat bahwa tuduhan tersebut q saya tidak harus berbentuk titik, syarat yang diperlukan adalah area bermuatan harus tertutup seluruhnya oleh permukaan. Jika berada pada suatu ruang yang dibatasi oleh suatu permukaan tertutup S, muatan listrik tersebar terus menerus, maka diasumsikan setiap volume dasar d V memiliki biaya. Dalam hal ini, di sisi kanan ekspresi (1.5), penjumlahan aljabar muatan digantikan oleh integrasi volume yang tertutup di dalam permukaan tertutup. S:

(1.6)

Ekspresi (1.6) merupakan rumusan yang paling umum teorema Gauss: aliran vektor induksi listrik melalui permukaan tertutup yang bentuknya berubah-ubah sama dengan muatan total dalam volume yang ditutupi oleh permukaan tersebut dan tidak bergantung pada muatan yang terletak di luar permukaan yang ditinjau.. Teorema Gauss juga dapat ditulis untuk aliran vektor kuat medan listrik:

.

Sifat penting medan listrik mengikuti teorema Gauss: garis gaya dimulai atau diakhiri hanya pada muatan listrik atau berlanjut hingga tak terhingga. Mari kita tekankan sekali lagi bahwa, meskipun faktanya kuat medan listrik E dan induksi listrik D bergantung pada lokasi semua muatan dalam ruang, aliran vektor-vektor ini melalui permukaan tertutup yang berubah-ubah S ditentukan saja muatan-muatan yang terletak di dalam permukaan S.

Bentuk diferensial dari teorema Gauss. Perhatikan itu bentuk integral Teorema Gauss mencirikan hubungan antara sumber medan listrik (muatan) dan karakteristik medan listrik (tegangan atau induksi) dalam volume V sewenang-wenang, tetapi cukup untuk pembentukan hubungan integral, besarnya. Dengan membagi volumenya V untuk volume kecil V saya, kita mendapatkan ekspresinya

berlaku baik secara keseluruhan maupun untuk setiap periode. Mari kita ubah ekspresi yang dihasilkan sebagai berikut:

(1.7)

dan pertimbangkan batas ekspresi di sisi kanan persamaan, yang diapit tanda kurung kurawal, cenderung untuk pembagian volume yang tidak terbatas V. Dalam matematika batas ini disebut perbedaan vektor (dalam hal ini vektor induksi listrik D):

Divergensi vektor D dalam koordinat kartesius:

Jadi, ekspresi (1.7) diubah menjadi bentuk:

.

Mengingat bahwa dengan pembagian tak terbatas, jumlah di sisi kiri ekspresi terakhir menjadi integral volume, kita peroleh

Hubungan yang dihasilkan harus dipenuhi untuk setiap volume yang dipilih secara sewenang-wenang V. Hal ini hanya mungkin terjadi jika nilai integran pada setiap titik dalam ruang adalah sama. Oleh karena itu, divergensi vektor D terkait dengan kerapatan muatan pada titik yang sama melalui persamaan

atau untuk vektor kuat medan elektrostatis

Persamaan ini diungkapkan oleh teorema Gauss di bentuk diferensial.

Perhatikan bahwa dalam proses transisi ke bentuk diferensial teorema Gauss, diperoleh relasi yang bersifat umum:

.

Ekspresi ini disebut rumus Gauss-Ostrogradsky dan menghubungkan integral volume divergensi suatu vektor dengan aliran vektor ini melalui permukaan tertutup yang membatasi volume.

Pertanyaan

1) Apa arti fisis teorema Gauss untuk medan elektrostatis dalam ruang hampa

2) Terdapat muatan titik di tengah kubusQ. Berapakah fluks suatu vektor? E:

a) melalui seluruh permukaan kubus; b) melalui salah satu permukaan kubus.

Akankah jawabannya berubah jika:

a) muatannya bukan berada di tengah kubus, melainkan di dalamnya ; b) muatannya berada di luar kubus.

3) Apa yang dimaksud dengan kerapatan muatan linier, permukaan, volume.

4) Tunjukkan hubungan antara volume dan kepadatan muatan permukaan.

5) Bisakah medan di luar bidang tak hingga sejajar yang bermuatan seragam dan berlawanan arah tidak nol?

6) Dipol listrik ditempatkan di dalam permukaan tertutup. Berapakah aliran yang melalui permukaan ini

Rumusan umum: Aliran vektor kuat medan listrik melalui permukaan tertutup yang dipilih secara acak sebanding dengan muatan listrik yang terkandung di dalam permukaan tersebut.

Dalam sistem SGSE:

Dalam sistem SI:

adalah aliran vektor kuat medan listrik melalui permukaan tertutup.

- total muatan yang terkandung dalam volume yang membatasi permukaan.

- konstanta listrik.

Ungkapan ini mewakili teorema Gauss dalam bentuk integral.

Dalam bentuk diferensial, teorema Gauss sesuai dengan salah satu persamaan Maxwell dan dinyatakan sebagai berikut

dalam sistem SI:

,

dalam sistem SGSE:

Berikut adalah kerapatan muatan volumetrik (dalam hal adanya medium, kerapatan total muatan bebas dan terikat), dan merupakan operator nabla.

Untuk teorema Gauss berlaku prinsip superposisi, yaitu aliran vektor intensitas yang melalui permukaan tidak bergantung pada distribusi muatan di dalam permukaan.

Dasar fisis teorema Gauss adalah hukum Coulomb atau dengan kata lain teorema Gauss merupakan rumusan integral dari hukum Coulomb.

Teorema Gauss untuk induksi listrik (perpindahan listrik).

Untuk medan dalam materi, teorema elektrostatik Gauss dapat ditulis secara berbeda - melalui aliran vektor perpindahan listrik (induksi listrik). Dalam hal ini rumusan teoremanya adalah sebagai berikut: aliran vektor perpindahan listrik melalui suatu permukaan tertutup sebanding dengan muatan listrik bebas yang terdapat di dalam permukaan tersebut:

Jika kita mempertimbangkan teorema kuat medan suatu zat, maka sebagai muatan Q kita perlu mengambil jumlah muatan bebas yang terletak di dalam permukaan dan muatan polarisasi (terinduksi, terikat) dielektrik:

,

Di mana ,
adalah vektor polarisasi dielektrik.

Teorema Gauss untuk induksi magnet

Fluks vektor induksi magnet melalui suatu permukaan tertutup adalah nol:

.

Hal ini setara dengan fakta bahwa di alam tidak ada “muatan magnet” (monopole) yang dapat menimbulkan medan magnet, seperti halnya muatan listrik yang menimbulkan medan listrik. Dengan kata lain, teorema Gauss untuk induksi magnet menunjukkan bahwa medan magnet berbentuk pusaran.

Penerapan teorema Gauss

Besaran berikut digunakan untuk menghitung medan elektromagnetik:

Kepadatan muatan volumetrik (lihat di atas).

Kepadatan muatan permukaan

di mana dS adalah luas permukaan yang sangat kecil.

Kepadatan muatan linier

dimana dl adalah panjang segmen yang sangat kecil.

Mari kita perhatikan medan yang diciptakan oleh bidang bermuatan seragam tak terhingga. Misalkan kerapatan muatan permukaan bidang tersebut sama dan sama dengan σ. Mari kita bayangkan sebuah silinder dengan generatrices tegak lurus terhadap bidang dan alas ΔS terletak secara simetris terhadap bidang. Karena simetri. Fluks vektor tegangan sama dengan . Menerapkan teorema Gauss, kita mendapatkan:

,

dari mana

dalam sistem SSSE

Penting untuk dicatat bahwa meskipun bersifat universal dan umum, teorema Gauss dalam bentuk integral memiliki penerapan yang relatif terbatas karena ketidaknyamanan dalam menghitung integral. Namun, dalam kasus masalah simetris, penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dibandingkan menggunakan prinsip superposisi.

Tugas utama elektrostatika yang diterapkan adalah perhitungan medan listrik yang dihasilkan di berbagai perangkat dan perangkat. Secara umum permasalahan ini diselesaikan dengan menggunakan hukum Coulomb dan prinsip superposisi. Namun, tugas ini menjadi sangat rumit ketika mempertimbangkan sejumlah besar muatan titik atau yang terdistribusi secara spasial. Kesulitan yang lebih besar muncul ketika ada dielektrik atau konduktor di ruang angkasa, ketika di bawah pengaruh medan eksternal E 0 terjadi redistribusi muatan mikroskopis, menciptakan medan tambahannya sendiri E. Oleh karena itu, untuk menyelesaikan masalah ini secara praktis, metode dan teknik tambahan adalah digunakan yang menggunakan peralatan matematika yang kompleks. Kami akan mempertimbangkan metode paling sederhana berdasarkan penerapan teorema Ostrogradsky – Gauss. Untuk merumuskan teorema ini, kami memperkenalkan beberapa konsep baru:

A) kepadatan muatan

Jika benda bermuatan besar, maka perlu diketahui distribusi muatan di dalam benda tersebut.

Kepadatan muatan volume– diukur dengan muatan per satuan volume:

Kepadatan muatan permukaan– diukur dengan muatan per satuan permukaan suatu benda (ketika muatan didistribusikan ke seluruh permukaan):

Kepadatan muatan linier(distribusi muatan sepanjang konduktor):

B) vektor induksi elektrostatis

Vektor induksi elektrostatis (vektor perpindahan listrik) adalah besaran vektor yang mencirikan medan listrik.

Vektor sama dengan produk vektor pada konstanta dielektrik absolut medium pada suatu titik tertentu:

Mari kita periksa dimensinya D dalam satuan SI:

, Karena
,

maka dimensi D dan E tidak berhimpitan, dan nilai numeriknya juga berbeda.

Dari definisinya maka untuk bidang vektor prinsip superposisi yang sama berlaku untuk bidang :

Bidang secara grafis diwakili oleh garis induksi, seperti halnya medan . Garis induksi ditarik sedemikian rupa sehingga garis singgung pada setiap titik berimpit dengan arahnya , dan jumlah garis sama dengan nilai numerik D di lokasi tertentu.

Untuk memahami maksud dari pendahuluan Mari kita lihat sebuah contoh.

	> 1	Pada batas rongga dengan dielektrik, muatan negatif terkait terkonsentrasi dan Medan berkurang sebesar faktor  dan kepadatan menurun secara tiba-tiba.
Untuk kasus yang sama: D = Eεε 0	, lalu: garis berlangsung terus menerus. Garis mulai dengan biaya gratis (di pada apa pun - terikat atau bebas), dan pada batas dielektrik, kerapatannya tetap tidak berubah. Dengan demikian– kontinuitas jalur induksi sangat memudahkan perhitungan , dan mengetahui hubungannya Dengan Anda dapat menemukan vektornya .

V) fluks vektor induksi elektrostatis

Perhatikan permukaan S dalam medan listrik dan pilih arah garis normal

1. Jika medan seragam, maka banyaknya garis medan yang melalui permukaan S:

2. Jika medannya tidak seragam, maka permukaannya terbagi menjadi elemen-elemen yang sangat kecil dS, yang dianggap datar dan medan di sekitarnya seragam. Oleh karena itu, fluks yang melalui elemen permukaan adalah: dN = D n dS,

dan total aliran melalui suatu permukaan adalah:

(6)

Fluks induksi N adalah besaran skalar; tergantung pada  bisa > 0 atau< 0, или = 0.

Ketika biayanya banyak, ada beberapa kesulitan yang muncul saat menghitung bidang.

Teorema Gauss membantu mengatasinya. Intinya teorema Gauss intinya sebagai berikut: jika sejumlah muatan secara mental dikelilingi oleh permukaan tertutup S, maka aliran kuat medan listrik melalui luas dasar dS dapat ditulis sebagai dФ = Есоsα۰dS dengan α adalah sudut antara garis normal dan garis normal. bidang dan vektor kekuatan . (Gbr. 12.7)

Fluks total yang melalui seluruh permukaan akan sama dengan jumlah fluks dari semua muatan yang terdistribusi secara acak di dalamnya dan sebanding dengan besar muatan tersebut.

(12.9)

Mari kita tentukan aliran vektor intensitas melalui permukaan bola berjari-jari r, yang di tengahnya terdapat muatan titik +q (Gbr. 12.8). Garis tegangan tegak lurus permukaan bola, α = 0, maka cosα = 1. Maka

Jika medan dibentuk oleh sistem muatan, maka

Teorema Gauss: aliran vektor kuat medan elektrostatis dalam ruang hampa melalui suatu permukaan tertutup sama dengan jumlah aljabar muatan yang terkandung di dalam permukaan tersebut, dibagi dengan konstanta listrik.

(12.10)

Jika tidak ada muatan di dalam bola, maka Ф = 0.

Teorema Gauss membuatnya relatif mudah untuk menghitung medan listrik untuk muatan yang terdistribusi secara simetris.

Mari kita perkenalkan konsep kepadatan muatan terdistribusi.

Kepadatan linier dilambangkan dengan τ dan mencirikan muatan q per satuan panjang ℓ. Secara umum dapat dihitung dengan menggunakan rumus

(12.11)

Dengan distribusi muatan yang seragam, kerapatan liniernya adalah

Kepadatan permukaan dilambangkan dengan σ dan mencirikan muatan q per satuan luas S. Secara umum ditentukan oleh rumus

(12.12)

Dengan distribusi muatan yang seragam di permukaan, kepadatan permukaan adalah sama

Massa jenis volume dilambangkan dengan ρ dan mencirikan muatan q per satuan volume V. Secara umum ditentukan oleh rumus

(12.13)

Dengan distribusi muatan yang seragam, itu sama dengan
.

Karena muatan q terdistribusi secara merata pada bola, maka

σ = konstanta. Mari kita terapkan teorema Gauss. Mari kita menggambar sebuah bola berjari-jari melalui titik A. Aliran vektor tegangan pada Gambar 12.9 melalui permukaan bola berjari-jari sama dengan cosα = 1, karena α = 0. Menurut teorema Gauss,
.

atau

(12.14)

Dari persamaan (12.14) dapat disimpulkan bahwa kuat medan di luar bola bermuatan sama dengan kuat medan muatan titik yang ditempatkan di tengah bola. Di permukaan bola, mis. r 1 = r 0, tegangan
.

Di dalam bola r 1< r 0 (рис.12.9) напряжённость Е = 0, так как сфера радиусом r 2 внутри никаких зарядов не содержит и, по теореме Гаусса, поток вектора сквозь такую сферу равен нулю.

Sebuah silinder berjari-jari r 0 bermuatan seragam dengan massa jenis permukaan (Gbr. 12.10). Mari kita tentukan kuat medan pada titik A yang dipilih secara sembarang. Mari kita menggambar permukaan silinder imajiner dengan jari-jari R dan panjang ℓ melalui titik A. Karena simetri, aliran hanya akan keluar melalui permukaan samping silinder, karena muatan pada silinder berjari-jari r 0 tersebar merata di seluruh permukaannya, yaitu. garis tegangannya berupa garis lurus radial, tegak lurus terhadap permukaan lateral kedua silinder. Karena aliran yang melalui dasar silinder adalah nol (cos α = 0), dan permukaan sisi silinder tegak lurus terhadap garis gaya (cos α = 1), maka

atau

(12.15)

Mari kita nyatakan nilai E melalui σ - kepadatan permukaan. A-priori,

karena itu,

Mari kita substitusikan nilai q ke dalam rumus (12.15)

(12.16)

Menurut definisi kepadatan linier,
, Di mana
; kami mengganti ekspresi ini ke dalam rumus (12.16):

(12.17)

itu. Kuat medan yang diciptakan oleh silinder bermuatan yang panjangnya tak terhingga sebanding dengan kerapatan muatan linier dan berbanding terbalik dengan jarak.

Kekuatan medan yang diciptakan oleh bidang bermuatan seragam tak terhingga

Mari kita tentukan kuat medan yang diciptakan oleh bidang bermuatan seragam tak terhingga di titik A. Misalkan kerapatan muatan permukaan bidang tersebut sama dengan σ. Sebagai permukaan tertutup, akan lebih mudah untuk memilih silinder yang sumbunya tegak lurus terhadap bidang, dan alas kanannya memuat titik A. Bidang tersebut membagi silinder menjadi dua. Jelasnya, garis-garis gaya tegak lurus bidang dan sejajar dengan permukaan samping silinder, sehingga seluruh aliran hanya melewati dasar silinder. Pada kedua basa kuat medannya sama, karena titik A dan B simetris terhadap bidang. Maka aliran yang melalui dasar silinder adalah sama dengan

Menurut teorema Gauss,

Karena
, Itu
, Di mana

(12.18)

Jadi, kuat medan suatu bidang bermuatan tak terhingga sebanding dengan kerapatan muatan permukaan dan tidak bergantung pada jarak ke bidang tersebut. Oleh karena itu, bidang bidang tersebut seragam.

Kekuatan medan diciptakan oleh dua bidang sejajar yang bermuatan seragam dan berlawanan

Bidang yang dihasilkan yang diciptakan oleh dua bidang ditentukan oleh prinsip superposisi bidang:
(Gbr. 12.12). Medan yang ditimbulkan oleh masing-masing bidang adalah seragam, kekuatan medan-medan tersebut besarnya sama, tetapi arahnya berlawanan:
. Berdasarkan prinsip superposisi, kuat medan total di luar bidang adalah nol:

Antar bidang-bidang tersebut kuat medannya mempunyai arah yang sama, sehingga kuat medan yang dihasilkan sama besar

Jadi, medan antara dua bidang bermuatan berbeda adalah seragam dan intensitasnya dua kali lebih kuat dari intensitas medan yang diciptakan oleh satu bidang. Tidak ada lapangan di kiri dan kanan pesawat. Bidang bidang berhingga mempunyai bentuk yang sama; distorsi hanya muncul di dekat batasnya. Dengan menggunakan rumus yang dihasilkan, Anda dapat menghitung medan antara pelat kapasitor datar.

Hukum interaksi muatan listrik – hukum Coulomb – dapat dirumuskan secara berbeda, dalam bentuk teorema Gauss. Teorema Gauss diperoleh sebagai konsekuensi dari hukum Coulomb dan prinsip superposisi. Pembuktiannya didasarkan pada perbandingan terbalik gaya interaksi antara dua muatan titik dengan kuadrat jarak antara keduanya. Oleh karena itu, teorema Gauss dapat diterapkan pada medan fisik apa pun yang menerapkan hukum kuadrat terbalik dan prinsip superposisi, misalnya pada medan gravitasi.

Beras. 9. Garis kuat medan listrik suatu muatan titik yang memotong permukaan tertutup X

Untuk merumuskan teorema Gauss, mari kita kembali ke gambar garis-garis medan listrik dari muatan titik stasioner. Garis-garis medan muatan titik soliter adalah garis lurus radial yang letaknya simetris (Gbr. 7). Anda dapat menggambar sejumlah garis seperti itu. Mari kita nyatakan jumlah totalnya dengan Maka kerapatan garis-garis medan pada jarak dari muatan, yaitu, jumlah garis yang melintasi satu satuan permukaan bola berjari-jari sama dengan Membandingkan hubungan ini dengan ekspresi kuat medan a muatan titik (4), kita melihat bahwa kerapatan garis sebanding dengan kuat medan. Kita dapat membuat besaran-besaran ini sama secara numerik dengan memilih dengan tepat jumlah garis bidang N:

Jadi, permukaan bola dengan radius berapa pun yang dikelilingi oleh muatan titik berpotongan dengan jumlah garis gaya yang sama. Artinya garis-garis gaya tersebut kontinu: pada interval antara dua bola konsentris yang jari-jarinya berbeda, tidak ada satupun garis yang putus dan tidak ada garis baru yang ditambahkan. Karena garis-garis medan kontinu, jumlah garis-garis medan yang sama memotong setiap permukaan tertutup (Gbr. 9) yang menutupi muatan

Garis gaya mempunyai arah. Dalam kasus muatan positif, mereka keluar dari permukaan tertutup yang mengelilingi muatan tersebut, seperti ditunjukkan pada Gambar. 9. Dalam kasus muatan negatif, mereka masuk ke dalam permukaan. Jika jumlah saluran keluar dianggap positif dan jumlah saluran masuk negatif, maka pada rumus (8) kita dapat menghilangkan tanda modulus muatan dan menuliskannya dalam bentuk

Aliran ketegangan. Sekarang mari kita perkenalkan konsep aliran vektor kuat medan yang melalui suatu permukaan. Sebuah medan sembarang secara mental dapat dibagi menjadi beberapa area kecil yang intensitas perubahan besar dan arahnya sangat kecil sehingga dalam area tersebut medan dapat dianggap seragam. Pada setiap luasan tersebut, garis-garis gaya merupakan garis lurus sejajar dan mempunyai massa jenis yang tetap.

Beras. 10. Menentukan fluks vektor kuat medan yang melalui situs

Mari kita perhatikan berapa banyak garis gaya yang menembus area kecil, yang arah garis normalnya membentuk sudut a dengan arah garis tegangan (Gbr. 10). Misalkan proyeksi pada bidang yang tegak lurus terhadap garis gaya. Karena jumlah garis yang bersilangan adalah sama, dan kerapatan garis menurut kondisi yang diterima sama dengan modulus kuat medan E, maka

Nilai a adalah proyeksi vektor E ke arah garis normal lokasi

Oleh karena itu, jumlah kabel listrik yang melintasi area tersebut adalah sama dengan

Hasil kali yang disebut fluks kuat medan yang melalui permukaan. Rumus (10) menunjukkan bahwa fluks vektor E yang melalui permukaan sama dengan jumlah garis medan yang melintasi permukaan tersebut. Perhatikan bahwa fluks vektor intensitas, seperti jumlah garis gaya yang melalui permukaan, adalah skalar.

Beras. 11. Aliran vektor tegangan E melalui situs

Ketergantungan aliran pada orientasi lokasi relatif terhadap garis gaya diilustrasikan pada Gambar.

Fluks kuat medan yang melalui suatu permukaan sembarang adalah jumlah fluks yang melalui luas dasar di mana permukaan tersebut dapat dibagi. Berdasarkan hubungan (9) dan (10), dapat dinyatakan bahwa aliran kuat medan suatu muatan titik melalui permukaan tertutup 2 yang membungkus muatan tersebut (lihat Gambar 9), sebagai jumlah garis medan yang muncul dari permukaan ini sama dengan. Dalam hal ini, vektor normal ke luas dasar permukaan tertutup harus diarahkan ke luar. Jika muatan di dalam permukaan itu negatif, maka garis-garis medan masuk ke dalam permukaan itu dan fluks vektor kuat medan yang berhubungan dengan muatan itu juga negatif.

Jika terdapat beberapa muatan di dalam suatu permukaan tertutup, maka sesuai dengan prinsip superposisi, aliran kuat medannya akan bertambah. Fluks total akan sama dengan dimana harus dipahami sebagai jumlah aljabar semua muatan yang terletak di dalam permukaan.

Jika tidak ada muatan listrik di dalam suatu permukaan tertutup atau jumlah aljabarnya nol, maka fluks total kuat medan yang melalui permukaan tersebut adalah nol: semakin banyak garis gaya yang memasuki volume yang dibatasi oleh permukaan tersebut, maka jumlah yang sama akan keluar.

Sekarang kita akhirnya dapat merumuskan teorema Gauss: aliran vektor kuat medan listrik E dalam ruang hampa melalui suatu permukaan tertutup sebanding dengan muatan total yang terletak di dalam permukaan tersebut. Secara matematis, teorema Gauss dinyatakan dengan rumus yang sama (9), yang berarti jumlah aljabar muatan. Dalam elektrostatis absolut

dalam sistem satuan SGSE, koefisien dan teorema Gauss ditulis dalam bentuk

Dalam SI dan fluks tegangan yang melalui permukaan tertutup dinyatakan dengan rumus

Teorema Gauss banyak digunakan dalam elektrostatika. Dalam beberapa kasus, ini dapat digunakan untuk dengan mudah menghitung bidang yang dihasilkan oleh muatan yang terletak secara simetris.

Bidang sumber simetris. Mari kita terapkan teorema Gauss untuk menghitung intensitas medan listrik bermuatan seragam pada permukaan bola berjari-jari . Untuk lebih pastinya, kita asumsikan muatannya positif. Distribusi muatan yang menciptakan medan memiliki simetri bola. Oleh karena itu, bidang tersebut juga mempunyai simetri yang sama. Garis-garis gaya medan tersebut diarahkan sepanjang jari-jari, dan modulus intensitasnya sama di semua titik yang berjarak sama dari pusat bola.

Untuk mencari kuat medan pada jarak dari pusat bola, mari kita secara mental menggambar permukaan bola yang radiusnya konsentris dengan bola Karena di semua titik bola ini kuat medan diarahkan tegak lurus terhadap permukaannya dan sama dengan sama dalam nilai absolut, intensitas aliran sama dengan produk kekuatan medan dan luas permukaan bola:

Namun besaran ini juga dapat dinyatakan dengan menggunakan teorema Gauss. Jika kita tertarik pada bidang di luar bola, misalnya, dalam SI dan, bandingkan dengan (13), kita temukan

Dalam sistem satuan SGSE tentunya

Jadi, di luar bola, kuat medannya sama dengan kuat medan muatan titik yang ditempatkan di tengah bola. Jika kita tertarik pada bidang di dalam bola, yaitu karena seluruh muatan yang didistribusikan ke permukaan bola terletak di luar bola, kita telah menggambar secara mental. Oleh karena itu, tidak ada lapangan di dalam bola:

Demikian pula, dengan menggunakan teorema Gauss, seseorang dapat menghitung medan elektrostatik yang diciptakan oleh muatan tak terhingga

bidang dengan kerapatan konstan di semua titik bidang tersebut. Untuk alasan simetri, kita dapat berasumsi bahwa garis-garis gaya tegak lurus terhadap bidang, diarahkan ke kedua arah dan mempunyai kerapatan yang sama di semua tempat. Memang, jika kerapatan garis-garis medan pada titik-titik berbeda berbeda, maka pergerakan bidang bermuatan sepanjang bidang itu sendiri akan menyebabkan perubahan medan pada titik-titik ini, yang bertentangan dengan simetri sistem - pergeseran seperti itu seharusnya tidak mengubah medan. Dengan kata lain, bidang bidang bermuatan seragam tak terhingga adalah seragam.

Sebagai permukaan tertutup untuk menerapkan teorema Gauss, kita memilih permukaan silinder yang dibuat sebagai berikut: generatrix silinder sejajar dengan garis gaya, dan alasnya memiliki luas yang sejajar dengan bidang bermuatan dan terletak pada sisi yang berlawanan. (Gbr. 12). Fluks kuat medan yang melalui permukaan samping adalah nol, sehingga fluks total yang melalui permukaan tertutup sama dengan jumlah fluks yang melalui alas silinder:

Beras. 12. Terhadap perhitungan kuat medan bidang bermuatan seragam

Menurut teorema Gauss, fluks yang sama ditentukan oleh muatan bagian bidang yang terletak di dalam silinder, dan dalam SI sama dengan Membandingkan ekspresi fluks ini, kita temukan

Dalam sistem SGSE, kuat medan bidang tak terhingga bermuatan seragam diberikan oleh rumus

Untuk pelat bermuatan seragam dengan dimensi berhingga, persamaan yang diperoleh kira-kira berlaku di daerah yang terletak cukup jauh dari tepi pelat dan tidak terlalu jauh dari permukaannya. Di dekat tepi pelat, bidangnya tidak lagi seragam dan garis-garis bidangnya akan bengkok. Pada jarak yang sangat jauh dibandingkan dengan ukuran pelat, medan berkurang seiring bertambahnya jarak seperti halnya medan muatan titik.

Contoh lain dari medan yang diciptakan oleh sumber-sumber yang terdistribusi secara simetris mencakup bidang muatan seragam sepanjang benang bujursangkar tak hingga, bidang silinder sirkular tak hingga bermuatan seragam, bidang bola,

bermuatan seragam di seluruh volume, dll. Teorema Gauss memudahkan penghitungan kuat medan dalam semua kasus ini.

Teorema Gauss memberikan hubungan antara medan dan sumbernya, dalam beberapa hal merupakan kebalikan dari hukum Coulomb, yang memungkinkan seseorang menentukan medan listrik dari muatan tertentu. Dengan menggunakan teorema Gauss, Anda dapat menentukan muatan total di setiap wilayah ruang yang distribusi medan listriknya diketahui.

Apa perbedaan antara konsep aksi jarak jauh dan jarak pendek ketika menggambarkan interaksi muatan listrik? Sejauh mana konsep-konsep ini dapat diterapkan pada interaksi gravitasi?

Berapakah kuat medan listrik? Apa yang dimaksud dengan disebut sifat gaya medan listrik?

Bagaimana seseorang dapat menilai arah dan besarnya kuat medan pada suatu titik tertentu dari pola garis-garis medan?

Dapatkah garis medan listrik berpotongan? Berikan alasan atas jawaban Anda.

Gambarkan gambaran kualitatif garis medan elektrostatik dua muatan sedemikian rupa sehingga .

Aliran kuat medan listrik melalui permukaan tertutup dinyatakan dengan rumus berbeda (11) dan (12) dalam satuan GSE dan SI. Bagaimana hal ini dapat diselaraskan dengan makna geometris aliran, yang ditentukan oleh jumlah garis gaya yang melintasi permukaan?

Bagaimana cara menggunakan teorema Gauss untuk mencari kuat medan listrik ketika muatan yang menciptakannya terdistribusi secara simetris?

Bagaimana menerapkan rumus (14) dan (15) untuk menghitung kuat medan bola bermuatan negatif?

Teorema Gauss dan geometri ruang fisik. Mari kita lihat bukti teorema Gauss dari sudut pandang yang sedikit berbeda. Mari kita kembali ke rumus (7), yang menyimpulkan bahwa jumlah garis gaya yang sama melewati permukaan bola yang mengelilingi muatan. Kesimpulan ini disebabkan adanya pengurangan penyebut kedua ruas persamaan.

Di sisi kanan, hal ini muncul karena gaya interaksi antar muatan, yang dijelaskan oleh hukum Coulomb, berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antar muatan. Di sisi kiri, penampakannya berhubungan dengan geometri: luas permukaan bola sebanding dengan kuadrat jari-jarinya.

Proporsionalitas luas permukaan terhadap kuadrat dimensi linier merupakan ciri khas geometri Euclidean dalam ruang tiga dimensi. Memang, proporsionalitas luas dengan kuadrat dimensi linier, dan bukan dengan derajat bilangan bulat lainnya, merupakan karakteristik ruang.

tiga dimensi. Fakta bahwa eksponen ini sama persis dengan dua, dan tidak berbeda dari dua, bahkan dengan jumlah yang sangat kecil, menunjukkan bahwa ruang tiga dimensi ini tidak melengkung, yaitu geometrinya tepatnya Euclidean.

Dengan demikian, teorema Gauss merupakan manifestasi sifat-sifat ruang fisik dalam hukum dasar interaksi muatan listrik.

Gagasan tentang hubungan erat antara hukum dasar fisika dan sifat-sifat ruang diungkapkan oleh banyak pemikir terkemuka jauh sebelum hukum-hukum ini sendiri ditetapkan. Jadi, I. Kant, tiga dekade sebelum penemuan hukum Coulomb, menulis tentang sifat-sifat ruang: “Tampaknya tiga dimensi terjadi karena zat-zat di dunia yang ada bertindak satu sama lain sedemikian rupa sehingga gaya aksinya adalah berbanding terbalik dengan kuadrat jarak.”

Hukum Coulomb dan teorema Gauss sebenarnya mewakili hukum alam yang sama, yang diungkapkan dalam bentuk berbeda. Hukum Coulomb mencerminkan konsep aksi jarak jauh, sedangkan teorema Gauss berasal dari gagasan medan gaya yang mengisi ruang, yaitu dari konsep aksi jarak pendek. Dalam elektrostatika, sumber medan gaya adalah muatan, dan karakteristik medan yang terkait dengan sumber tersebut - aliran intensitas - tidak dapat berubah di ruang kosong yang tidak terdapat muatan lain. Karena aliran dapat dibayangkan secara visual sebagai sekumpulan garis-garis medan, kekekalan aliran diwujudkan dalam kesinambungan garis-garis tersebut.

Teorema Gauss, berdasarkan proporsionalitas terbalik interaksi dengan kuadrat jarak dan prinsip superposisi (aditivitas interaksi), dapat diterapkan pada medan fisik apa pun di mana hukum kuadrat terbalik beroperasi. Secara khusus, hal ini juga berlaku untuk medan gravitasi. Jelas bahwa ini bukan sekadar kebetulan, melainkan cerminan fakta bahwa interaksi listrik dan gravitasi terjadi dalam ruang fisik Euclidean tiga dimensi.

Ciri hukum interaksi muatan listrik apa yang menjadi dasar teorema Gauss?

Buktikan berdasarkan teorema Gauss bahwa kuat medan listrik suatu muatan titik berbanding terbalik dengan kuadrat jarak. Sifat simetri ruang apa yang digunakan dalam pembuktian ini?

Bagaimana geometri ruang fisik tercermin dalam hukum Coulomb dan teorema Gauss? Ciri apa dari hukum-hukum ini yang menunjukkan sifat geometri Euclidean dan ruang fisik tiga dimensi?