Jeste li ikada razmišljali koliko nula ima u jednom milijunu? Ovo je prilično jednostavno pitanje. Što je s milijardom ili bilijunom? Jedan iza kojeg slijedi devet nula (1000000000) - kako se zove broj?
Kratak popis brojeva i njihova kvantitativna oznaka
- Deset (1 nula).
- Sto (2 nule).
- Tisuću (3 nule).
- Deset tisuća (4 nule).
- Sto tisuća (5 nula).
- Milijun (6 nula).
- Milijarda (9 nula).
- Trilijun (12 nula).
- Kvadrilion (15 nula).
- Kvintilion (18 nula).
- Sextillion (21 nula).
- Septillion (24 nule).
- Oktalion (27 nula).
- Nonalion (30 nula).
- Decalion (33 nule).
Grupiranje nula
1000000000 - kako se zove broj koji ima 9 nula? Ovo je milijarda. Radi praktičnosti, veliki se brojevi obično grupiraju u skupine od po tri, međusobno odvojene razmakom ili interpunkcijskim znakovima poput zareza ili točke.
Ovo je učinjeno kako bi kvantitativna vrijednost bila lakša za čitanje i razumijevanje. Na primjer, kako se zove broj 1000000000? U ovom obliku vrijedi se malo napregnuti i izračunati. A ako napišete 1.000.000.000, tada zadatak odmah postaje vizualno lakši, jer ne morate brojati nule, već trostruke nule.
Brojevi s puno nula
Najpopularniji su milijun i milijarda (1000000000). Kako se zove broj koji ima 100 nula? Ovo je Googol broj, tako ga je nazvao Milton Sirotta. Ovo je nevjerojatno ogroman iznos. Mislite li da je ovaj broj velik? Što je onda s googolplexom, jedinicom iza koje slijedi googol nula? Ova brojka je toliko velika da joj je teško smisliti značenje. Zapravo, nema potrebe za takvim divovima, osim za brojanje atoma u beskonačnom Svemiru.
Je li 1 milijarda puno?
Postoje dvije mjerne ljestvice – kratka i duga. Diljem svijeta u znanosti i financijama, 1 milijarda je 1000 milijuna. Ovo je na kratkoj skali. Prema njemu, ovo je broj s 9 nula.
Postoji i dugačka ljestvica koja se koristi u nekim europskim zemljama, uključujući Francusku, a prije se koristila u Velikoj Britaniji (do 1971.), gdje je milijarda bila 1 milijun milijuna, odnosno jedinica iza koje je slijedilo 12 nula. Ova gradacija se također naziva dugoročna ljestvica. Kratka ljestvica sada prevladava u financijskim i znanstvenim pitanjima.
Neki europski jezici, kao što su švedski, danski, portugalski, španjolski, talijanski, nizozemski, norveški, poljski, njemački, koriste bilijun (ili milijardu) u ovom sustavu. Na ruskom se broj s 9 nula također opisuje za kratku ljestvicu kao tisuću milijuna, a trilijun je milijun milijuna. Time se izbjegava nepotrebna zabuna.
Mogućnosti razgovora
U ruskom kolokvijalnom govoru nakon događaja 1917. - Velike listopadske revolucije - i razdoblja hiperinflacije početkom 1920-ih. 1 milijarda rubalja nazvana je "limard". A u poletnim 1990-ima pojavio se novi žargonski izraz "lubenica" za milijun ljudi koji su se zvali "limun".
Riječ "milijarda" sada se koristi u međunarodnim okvirima. Ovo je prirodni broj, koji je u decimalnom sustavu predstavljen kao 10 9 (jedan iza kojeg slijedi 9 nula). Postoji i drugo ime - milijarda, koje se ne koristi u Rusiji i zemljama ZND-a.
Milijarda = milijarda?
Riječ kao što je milijarda koristi se za označavanje milijarde samo u onim državama u kojima je "kratka skala" usvojena kao osnova. Riječ je o zemljama kao što su Ruska Federacija, Ujedinjeno Kraljevstvo Velike Britanije i Sjeverne Irske, SAD, Kanada, Grčka i Turska. U drugim zemljama pojam milijarde označava broj 10 12, odnosno jedinicu iza koje slijedi 12 nula. U zemljama s "kratkom ljestvicom", uključujući Rusiju, ova brojka odgovara 1 bilijunu.
Takva se zbrka pojavila u Francuskoj u vrijeme kada se formirala takva znanost kao što je algebra. U početku je milijarda imala 12 nula. Međutim, sve se promijenilo nakon pojave glavnog priručnika o aritmetici (autor Tranchan) 1558. godine), gdje je milijarda već broj s 9 nula (tisuću milijuna).
Nekoliko sljedećih stoljeća ova su se dva pojma koristila na ravnopravnoj osnovi. Sredinom 20. stoljeća, točnije 1948., Francuska je prešla na dugi numerički sustav imenovanja. U tom smislu, kratka ljestvica, nekada posuđena od Francuza, još uvijek se razlikuje od one koju koriste danas.
Povijesno gledano, Ujedinjeno Kraljevstvo koristilo je dugoročnu milijardu, ali od 1974. službena britanska statistika koristila je kratkoročnu ljestvicu. Od 1950-ih, kratkoročna ljestvica se sve više koristi u područjima tehničkog pisanja i novinarstva, iako je dugoročna ljestvica još uvijek prisutna.
Povijest pojma
Googol je veći od broja čestica u poznatom dijelu Svemira, kojih prema različitim procjenama ima od 10 79 do 10 81, što također ograničava njegovu upotrebu.
Zaklada Wikimedia. 2010.
Pogledajte što je "Googol" u drugim rječnicima:
Googolplex (od engleskog googolplex) broj predstavljen jedinicom s gugolom nula, 1010 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 00 0 0 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 Kao Google,... ... Wikipedia
Ovaj članak je o brojevima. Vidi i članak o engleskom. googol) broj predstavljen jedinicom sa 100 nula u decimalnom sustavu: 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 0 0 0 000 000 000 000 000 ... Wikipedia
- (od engleskog googolplex) broj jednak deset na potenciju googola: 1010 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 00 000 0 00 000 000 000 000 000 000 000 000 000. Kao googol, izraz ... ... Wikipedia
Ovaj članak može sadržavati izvorno istraživanje. Dodajte poveznice na izvore, inače bi moglo biti postavljeno za brisanje. Više informacija može biti na stranici za razgovor. (13. svibnja 2011.) ... Wikipedia
Gogol mogol je slastica čiji su glavni sastojci umućeni žumanjak sa šećerom. Postoje mnoge varijacije ovog pića: s dodatkom vina, vanilina, ruma, kruha, meda, voćnih i bobičastih sokova. Često se koristi kao tretman... Wikipedia
Nominalna imena potencija tisućice u rastućem redoslijedu Ime Značenje Američki sustav Europski sustav tisuća 10³ 10³ milijuna 106 106 milijardi 109 109 milijardi 109 1012 bilijuna 1012 ... Wikipedia
Nominalna imena potencija tisućice u rastućem redoslijedu Ime Značenje Američki sustav Europski sustav tisuća 10³ 10³ milijuna 106 106 milijardi 109 109 milijardi 109 1012 bilijuna 1012 ... Wikipedia
Nominalna imena potencija tisućice u rastućem redoslijedu Ime Značenje Američki sustav Europski sustav tisuća 10³ 10³ milijuna 106 106 milijardi 109 109 milijardi 109 1012 bilijuna 1012 ... Wikipedia
Nominalna imena potencija tisućice u rastućem redoslijedu Ime Značenje Američki sustav Europski sustav tisuća 10³ 10³ milijuna 106 106 milijardi 109 109 milijardi 109 1012 bilijuna 1012 ... Wikipedia
knjige
- Magija svijeta. Fantastičan roman i priče, Vladimir Sigismundovich Vechfinsky. Roman "Magija svemira". Zemaljski čarobnjak, zajedno s bajkovitim junacima Vasilisom, Koščejem, Goriničem i bajkovitim mačkom, bori se protiv sile koja želi preuzeti galaksiju. ZBIRKA PRIČA Gdje...
Američki matematičar Edward Kasner (1878. - 1955.) u prvoj polovici 20. stoljeća predložio je tzv.googol. Godine 1938. Kasner je šetao parkom sa svoja dva nećaka, Miltonom i Edwinom Sirottom, i razgovarao s njima o velikim brojevima. U razgovoru smo govorili o broju sa stotinu nula, koji nije imao svoje ime. Devetogodišnji Milton predložio je poziv na ovaj brojgoogol (googol).
Godine 1940. Kasner je zajedno s Jamesom Newmanom objavio knjigu "Matematika i mašta" (Matematika i mašta ), gdje je ovaj termin prvi put korišten. Prema drugim izvorima, prvi put je pisao o googolu 1938. godine u članku " Nova imena u matematici“ u siječanjskom broju časopisa Scripta Mathematica.
Termin googol nema ozbiljan teorijski ili praktični značaj. Kasner ga je predložio kako bi ilustrirao razliku između nezamislivo velikog broja i beskonačnosti, a taj se izraz ponekad koristi u nastavi matematike u tu svrhu.
Četiri desetljeća nakon smrti Edwarda Kasnera, termin googol koristi za samoime sada svjetski poznate korporacije Google .
Je li googol dobar i zgodan kao mjerna jedinica za količine koje stvarno postoje unutar granica našeg Sunčevog sustava, procijenite sami:
- prosječna udaljenost od Zemlje do Sunca (1,49598 · 10 11 m) uzeta je kao astronomska jedinica (AU) - beznačajna sitnica na skali gugola;
- Pluton, patuljasti planet u Sunčevom sustavu, donedavno klasični planet najudaljeniji od Zemlje, ima orbitalni promjer od 80 AJ. (12 10 13 m);
- Fizičari procjenjuju da broj elementarnih čestica koje čine atome cijelog svemira nije veći od 1088.
Za potrebe mikrokozmosa - elementarne čestice atomske jezgre - jedinica za duljinu (nesustavna) je angstrom(Å = 10 -10 m). Uveo ga je 1868. švedski fizičar i astronom Anders Angström. Ova se mjerna jedinica često koristi u fizici jer
10 -10 m = 0,000 000 000 1 m
Ovo je približni promjer orbite elektrona u nepobuđenom atomu vodika. Korak atomske rešetke u većini kristala ima isti red.
Ali čak i na ovoj ljestvici, brojevi koji izražavaju međuzvjezdane udaljenosti daleko su od jednog gugola. Na primjer:
- Promjer naše Galaksije smatra se 10 5 svjetlosnih godina, tj. jednako 10 5 puta udaljenosti koju prijeđe svjetlost u jednoj godini; u angstremima je samo
10 31 Å;
- udaljenost do navodno postojećih vrlo udaljenih Galaksija ne prelazi
10 40 · Å.
Antički su mislioci svemirom nazivali prostor ograničen vidljivom zvjezdanom sferom konačnog radijusa. Stari su smatrali Zemlju središtem ove sfere, dok su Arhimed i Aristarh sa Samosa ustupili mjesto Suncu kao središtu svemira. Dakle, ako je ovaj svemir ispunjen zrncima pijeska, onda, kao što Arhimedovi proračuni pokazuju u " Psammit" ("Računica zrnaca pijeska "), bilo bi potrebno oko 10 63 zrna pijeska - broj koji je
10 37 = 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
puta manji od googola.
Pa ipak, raznolikost fenomena čak iu zemaljskom organskom životu je tolika da su pronađene fizičke veličine koje su premašile jedan googol. Rješavajući problem treniranja robota da opažaju glasove i razumiju verbalne naredbe, istraživači su otkrili da varijacije u karakteristikama ljudskih glasova dostižu broj
45 · 10 100 = 45 googol.
U samoj matematici postoji mnogo primjera velikih brojeva koji imaju određenu pripadnost.Na primjer, položajni zapisnajveći poznati prosti broj od rujna 2013. Mersenneovi brojevi
2 57885161 - 1,
Sastojao bi se od više od 17 milijuna znamenki.
Usput, Edward Kasner i njegov nećak Milton smislili su naziv za još veći broj od googola - za broj jednak 10 na potenciju gugola -
10 10 100 .
Ovaj broj se zove - googolplex. Nasmiješimo se – broj nula iza jedan u decimalnom zapisu googolplexa premašuje broj svih elementarnih čestica našeg Svemira.
Poznata tražilica, kao i tvrtka koja je stvorila ovaj sustav i mnoge druge proizvode, nazvana je po googol broju – jednom od najvećih brojeva u beskonačnom skupu prirodnih brojeva. Međutim, najveći broj čak nije googol, već googolplex.
Googolplex broj prvi je predložio Edward Kasner 1938.; on predstavlja jedinicu iza koje slijedi nevjerojatan broj nula. Ime dolazi od drugog broja - googol - jedan iza kojeg slijedi stotinu nula. Obično se broj googol piše kao 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000.
Googolplex je pak broj deset prema googolu. Obično se piše ovako: 10 10 ^100, a to je puno, puno nula. Ima ih toliko da kad biste odlučili prebrojati broj nula pomoću pojedinačnih čestica u svemiru, ostali biste bez čestica prije nego što ostanete bez nula u googolplexu.
Prema Carlu Saganu, zapisivanje ovog broja je nemoguće jer bi njegovo pisanje zahtijevalo više prostora nego što postoji u vidljivom svemiru.
Kako funkcionira "brainmail" - prijenos poruka od mozga do mozga putem interneta
10 misterija svijeta koje je znanost konačno otkrila 10 glavnih pitanja o svemiru na koja znanstvenici upravo sada traže odgovore 8 stvari koje znanost ne može objasniti 2500 godina star znanstveni misterij: Zašto zijevamo 3 najgluplja argumenta kojima protivnici teorije evolucije opravdavaju svoje neznanje Je li moguće ostvariti sposobnosti superheroja uz pomoć moderne tehnologije? Atom, luster, nuctemeron i još sedam jedinica vremena za koje niste čuli Paralelni svemiri bi mogli stvarno postojati, prema novoj teoriji
Postoje brojevi koji su tako nevjerojatno, nevjerojatno veliki da bi bio potreban cijeli svemir da ih uopće zapiše. Ali evo što je stvarno ludo... neki od ovih nesagledivo velikih brojeva ključni su za razumijevanje svijeta.
Kad kažem "najveći broj u svemiru", stvarno mislim najveći značajan broj, najveći mogući broj koji je na neki način koristan. Mnogo je pretendenata na ovu titulu, ali odmah vas upozoravam: doista postoji rizik da će vam se pokušaj razumijevanja svega obiti o glavu. A osim toga, s previše matematike nećete se baš zabaviti.
Googol i googolplex
Edward Kasner
Mogli bismo početi s dva vjerojatno najveća broja za koje ste ikada čuli, a ovo su doista dva najveća broja koji imaju općeprihvaćene definicije u engleskom jeziku. (Postoji prilično precizna nomenklatura koja se koristi za označavanje brojeva koliko god želite, ali ova dva broja danas nećete pronaći u rječnicima.) Googol, otkako je postao svjetski poznat (iako s pogreškama, napomena. zapravo je googol ) u obliku Googlea, rođen 1920. godine kao način da se djeca zainteresiraju za velike brojeve.
U tu je svrhu Edward Kasner (na slici) poveo svoja dva nećaka, Miltona i Edwina Sirotta, u šetnju kroz New Jersey Palisades. Pozvao ih je da iznesu bilo kakvu ideju, a onda je devetogodišnji Milton predložio "googol". Ne zna se odakle mu ova riječ, ali Kasner je tako odlučio 
ili broj u kojem iza jedinice slijedi sto nula od sada će se zvati googol.
Ali mladi Milton nije tu stao; predložio je još veći broj, googolplex. Ovo je broj, prema Miltonu, u kojem je prvo mjesto 1, a zatim onoliko nula koliko možete napisati prije nego što se umorite. Iako je ideja fascinantna, Kasner je odlučio da je potrebna formalnija definicija. Kao što je objasnio u svojoj knjizi iz 1940. Mathematics and the Imagination, Miltonova definicija ostavlja otvorenom rizičnu mogućnost da bi slučajni lakrdijaš mogao postati matematičar superiorniji od Alberta Einsteina samo zato što ima veću izdržljivost.
Tako je Kasner odlučio da će googolplex biti , ili 1, a zatim googol od nula. U suprotnom, i u notaciji sličnoj onoj kojom ćemo se baviti za druge brojeve, reći ćemo da je googolplex . Kako bi pokazao koliko je to fascinantno, Carl Sagan je jednom primijetio da je fizički nemoguće zapisati sve nule googolplexa jer jednostavno nema dovoljno mjesta u svemiru. Ako cijeli volumen promatranog Svemira ispunimo malim česticama prašine veličine približno 1,5 mikrona, tada će broj različitih načina na koji se te čestice mogu rasporediti biti približno jednak jednom googolplexu.
Lingvistički govoreći, googol i googolplex vjerojatno su dva najveća značajna broja (barem u engleskom jeziku), ali, kao što ćemo sada utvrditi, postoji beskonačno mnogo načina da se definira "značaj".
Stvarni svijet
Ako govorimo o najvećem značajnom broju, postoji razuman argument da to stvarno znači da trebamo pronaći najveći broj s vrijednošću koja stvarno postoji u svijetu. Možemo početi s trenutnom ljudskom populacijom, koja trenutno iznosi oko 6920 milijuna. Svjetski BDP u 2010. godini procijenjen je na oko 61.960 milijardi USD, ali obje ove brojke su beznačajne u usporedbi s otprilike 100 trilijuna stanica koje čine ljudsko tijelo. Naravno, niti jedan od ovih brojeva ne može se usporediti s ukupnim brojem čestica u Svemiru, koji se općenito smatra približno , a taj je broj toliko velik da naš jezik nema riječ za njega.
Možemo se malo poigrati sa sustavima mjera, čineći brojeve sve većim i većim. Dakle, masa Sunca u tonama bit će manja nego u funtama. Odličan način za to je korištenje Planckovog sustava jedinica, što su najmanje moguće mjere za koje još uvijek vrijede zakoni fizike. Na primjer, starost Svemira u Planckovom vremenu je oko . Ako se vratimo na prvu Planckovu jedinicu vremena nakon Velikog praska, vidjet ćemo da je gustoća Svemira tada bila . Dobivamo sve više, ali još nismo stigli ni do googola.
Najveći broj s bilo kojom primjenom u stvarnom svijetu - ili u ovom slučaju primjenom u stvarnom svijetu - vjerojatno je jedna od najnovijih procjena broja svemira u multiverzumu. Ovaj broj je toliko velik da ljudski mozak doslovno neće moći percipirati sve te različite svemire, budući da je mozak sposoban samo za približne konfiguracije. Zapravo, ovaj broj je vjerojatno najveći broj koji ima bilo kakvog praktičnog smisla osim ako ne uzmete u obzir ideju multiverzuma kao cjeline. No, tamo još uvijek vrebaju mnogo veće brojke. Ali da bismo ih pronašli, moramo ući u područje čiste matematike, a nema boljeg mjesta za početak od prostih brojeva.
Mersenneovi prosti brojevi
Dio izazova je doći do dobre definicije što je "značajan" broj. Jedan način je razmišljati u terminima prostih i složenih brojeva. Prost broj, kao što se vjerojatno sjećate iz školske matematike, je bilo koji prirodni broj (napominjemo da nije jednak jedinici) koji je djeljiv samo sa samim sobom. Dakle, i su prosti brojevi, i i su složeni brojevi. To znači da se bilo koji složeni broj može u konačnici predstaviti svojim prostim faktorima. Na neki način, broj je važniji od, recimo, jer ne postoji način da se izrazi u obliku umnoška manjih brojeva.
Očito možemo ići malo dalje. , na primjer, zapravo je samo , što znači da u hipotetskom svijetu u kojem je naše znanje o brojevima ograničeno na , matematičar još uvijek može izraziti broj . Ali sljedeći broj je prost, što znači da je jedini način da ga izrazimo izravno saznanje o njegovom postojanju. To znači da najveći poznati prosti brojevi igraju važnu ulogu, ali, recimo, googol - koji je u konačnici samo zbirka brojeva i , pomnoženih zajedno - zapravo nema. A budući da su prosti brojevi u osnovi nasumični, ne postoji poznati način da se predvidi da će nevjerojatno velik broj zapravo biti prost. Do danas je otkrivanje novih prostih brojeva težak pothvat.
Matematičari antičke Grčke imali su koncept prostih brojeva barem još 500. godine prije Krista, a 2000 godina kasnije ljudi su još uvijek znali koji su brojevi prosti samo do otprilike 750. Mislioci iz Euklidova vremena vidjeli su mogućnost pojednostavljenja, ali to nije bilo sve dok ga renesansni matematičari nisu mogli stvarno koristiti u praksi. Ti su brojevi poznati kao Mersenneovi brojevi, nazvani po francuskom znanstveniku iz 17. stoljeća Marinu Mersenneu. Ideja je vrlo jednostavna: Mersenneov broj je bilo koji broj oblika . Tako, na primjer, , i ovaj broj je prost, isto vrijedi i za .
Puno je brže i lakše odrediti Mersenneove proste brojeve od bilo koje druge vrste prostih brojeva, a računala su naporno radila tražeći ih zadnjih šest desetljeća. Do 1952. najveći poznati prosti broj bio je broj — broj s znamenkama. Iste godine računalo je izračunalo da je broj prost, a taj se broj sastoji od znamenki, što ga čini mnogo većim od googola.
Od tada su računala u potrazi, a trenutno je Mersenneov broj najveći prost broj poznat čovječanstvu. Otkriven 2008. godine, predstavlja broj s gotovo milijunima znamenki. To je najveći poznati broj koji se ne može izraziti nikakvim manjim brojevima, a ako želite pomoć u pronalaženju još većeg Mersenneovog broja, vi (i vaše računalo) se uvijek možete pridružiti pretrazi na http://www.mersenne org /.
Skewesov broj
Stanley Skewes
Pogledajmo ponovo proste brojeve. Kao što sam rekao, ponašaju se fundamentalno pogrešno, što znači da ne postoji način da se predvidi koji će biti sljedeći prosti broj. Matematičari su bili prisiljeni pribjeći nekim prilično fantastičnim mjerenjima kako bi došli do nekog načina predviđanja budućih prostih brojeva, čak i na neki nebulozan način. Najuspješniji od ovih pokušaja vjerojatno je funkcija brojanja prostih brojeva, koju je krajem 18. stoljeća izumio legendarni matematičar Carl Friedrich Gauss.
Poštedjet ću vas kompliciranije matematike - ionako nas čeka još mnogo toga - ali bit funkcije je sljedeća: za bilo koji cijeli broj možete procijeniti koliko ima prostih brojeva koji su manji od . Na primjer, ako je , funkcija predviđa da bi trebali postojati prosti brojevi, ako bi trebali postojati prosti brojevi manji od , a ako bi trebali postojati manji brojevi koji su prosti.
Raspored prostih brojeva doista je nepravilan i samo je aproksimacija stvarnog broja prostih brojeva. Zapravo, znamo da postoje prosti brojevi manji od , prosti brojevi manji od i prosti brojevi manji od . Ovo je svakako izvrsna procjena, ali uvijek je samo procjena... i točnije procjena odozgo.
U svim poznatim slučajevima do , funkcija koja pronalazi broj prostih brojeva malo precjenjuje stvarni broj prostih brojeva manjih od . Matematičari su nekoć mislili da će to uvijek biti slučaj, ad infinitum, i da će se to sigurno primijeniti na neke nezamislivo velike brojeve, ali 1914. John Edensor Littlewood dokazao je da će za neki nepoznati, nezamislivo veliki broj ova funkcija početi proizvoditi manje prostih brojeva , a zatim će se prebacivati između gornje i donje procjene beskonačan broj puta.
Lovilo se na startnu točku utrka, a onda se pojavio Stanley Skewes (vidi sliku). Godine 1933. dokazao je da je gornja granica kada funkcija koja aproksimira broj prostih brojeva najprije daje manju vrijednost broj . Teško je doista razumjeti čak iu najapstraktnijem smislu što ovaj broj zapravo predstavlja, a s ove točke gledišta to je bio najveći broj ikada korišten u ozbiljnom matematičkom dokazu. Matematičari su od tada uspjeli smanjiti gornju granicu na relativno mali broj, ali izvorni broj ostaje poznat kao Skewesov broj.
Dakle, koliki je broj koji nadmašuje čak i moćni googolplex? U The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells opisuje jedan način na koji je matematičar Hardy uspio konceptualizirati veličinu Skuseovog broja:
“Hardy je mislio da je to “najveći broj koji je ikada služio za bilo koju posebnu svrhu u matematici,” i sugerirao je da bi se, ako bi se partija šaha igrala sa svim česticama svemira kao figurama, jedan potez sastojao od zamjene dviju čestica, a igra bi prestala kada bi se ista pozicija ponovila treći put, tada bi broj svih mogućih igara bio približno jednak Skuseovom broju.'
Još jedna stvar prije nego što krenemo dalje: razgovarali smo o manjem od dva Skewesova broja. Postoji još jedan Skuseov broj, koji je matematičar otkrio 1955. Prvi broj je izveden iz činjenice da je takozvana Riemannova hipoteza istinita - ovo je posebno teška hipoteza u matematici koja ostaje nedokazana, vrlo korisna kada su u pitanju prosti brojevi. Međutim, ako je Riemannova hipoteza netočna, Skuse je otkrio da početna točka skokova raste na .
Problem veličine
Prije nego što dođemo do brojke zbog koje čak i Skewesov broj izgleda malen, moramo malo razgovarati o razmjeru, jer inače nemamo načina procijeniti kamo ćemo ići. Prvo uzmimo broj - to je sićušan broj, toliko mali da ljudi zapravo mogu intuitivno razumjeti što on znači. Vrlo je malo brojeva koji odgovaraju ovom opisu, jer brojevi veći od šest prestaju biti zasebni brojevi i postaju "nekoliko", "mnogo" itd.
Sada uzmimo, tj. . Iako zapravo ne možemo intuitivno, kao što smo to učinili za broj, razumjeti što je to, vrlo je lako zamisliti što je to. Zasada je dobro. Ali što će se dogoditi ako se preselimo u ? Ovo je jednako ili. Jako smo daleko od toga da možemo zamisliti tu količinu, kao i svaku drugu vrlo veliku - gubimo sposobnost shvaćanja pojedinih dijelova negdje oko milijun. (Doduše, bilo bi nam potrebno nevjerojatno dugo da izbrojimo do milijun bilo čega, ali stvar je u tome da smo još uvijek sposobni percipirati taj broj.)
Međutim, iako ne možemo zamisliti, barem možemo općenito razumjeti što je 7600 milijardi, možda uspoređujući to s nečim poput američkog BDP-a. Prešli smo s intuicije na reprezentaciju na jednostavno razumijevanje, ali barem još uvijek imamo neke praznine u našem razumijevanju što je broj. To će se promijeniti kako se pomaknemo još jednu stepenicu na ljestvici.
Da bismo to učinili, moramo prijeći na notaciju koju je uveo Donald Knuth, poznatu kao notacija strelicama. Ova se notacija može napisati kao . Kada tada odemo na , broj koji dobivamo bit će . Ovo je jednako zbroju trojki. Sada smo daleko i stvarno nadmašili sve druge brojke o kojima smo već govorili. Uostalom, čak i najveći od njih imali su samo tri ili četiri termina u seriji indikatora. Na primjer, čak je i super-Skuseov broj "samo" - čak i uz dopuštenje činjenice da su i baza i eksponenti mnogo veći od , još uvijek je apsolutno ništa u usporedbi s veličinom brojčanog tornja s milijardu članova .
Očito, ne postoji način da se pojme tako golemi brojevi... a ipak se još uvijek može razumjeti proces kojim su nastali. Nismo mogli razumjeti stvarnu količinu koju daje toranj moći s milijardu trojki, ali u osnovi možemo zamisliti takav toranj s mnogo članova, a stvarno pristojno superračunalo moglo bi pohraniti takve tornjeve u memoriju čak i ako nije mogao izračunati njihove stvarne vrijednosti.
Ovo postaje sve apstraktnije, ali bit će samo gore. Možda mislite da je toranj stupnjeva čija je dužina eksponenta jednaka (dapače, u prethodnoj verziji ovog posta napravio sam upravo tu grešku), ali jednostavno je. Drugim riječima, zamislite da ste u stanju izračunati točnu vrijednost tornja snage od trojki koji se sastoji od elemenata, a zatim ste uzeli tu vrijednost i stvorili novi toranj s onoliko koliko... to daje .
Ponovite ovaj postupak sa svakim sljedećim brojem ( Bilješka počevši s desna) dok to ne učinite nekoliko puta, a onda konačno dobijete . Riječ je o broju koji je jednostavno nevjerojatno velik, ali barem se koraci do njega čine razumljivim ako sve radite vrlo polako. Više ne možemo razumjeti brojeve niti zamisliti postupak kojim se oni dobivaju, ali barem možemo razumjeti osnovni algoritam, samo u dovoljno dugom vremenu.
Sada pripremimo um da ga stvarno raznese.
Grahamov broj (Graham)
Ronald Graham
Tako se dobiva Grahamov broj, koji ima mjesto u Guinnessovoj knjizi svjetskih rekorda kao najveći broj ikada korišten u matematičkom dokazu. Apsolutno je nemoguće zamisliti kolika je, a jednako je teško objasniti što je točno. U osnovi, Grahamov broj se pojavljuje kada se radi o hiperkockama, koje su teoretski geometrijski oblici s više od tri dimenzije. Matematičar Ronald Graham (vidi fotografiju) želio je saznati na kojem će najmanjem broju dimenzija određena svojstva hiperkocke ostati stabilna. (Ispričavam se na tako nejasnom objašnjenju, ali siguran sam da svi trebamo steći barem dvije diplome iz matematike da bismo bili točniji.)
U svakom slučaju, Grahamov broj je gornja procjena ovog minimalnog broja dimenzija. Dakle, kolika je ova gornja granica? Vratimo se broju, koji je toliko velik da samo maglovito možemo razumjeti algoritam za njegovo dobivanje. Sada, umjesto da samo skočimo još jednu razinu do , brojat ćemo broj koji ima strelice između prve i zadnje tri. Sada smo daleko iznad čak i najmanjeg razumijevanja toga što je to broj ili čak što trebamo učiniti da ga izračunamo.
Sada ponovimo ovaj postupak jednom ( Bilješka u svakom sljedećem koraku upisujemo broj strelica jednak broju dobivenom u prethodnom koraku).
Ovo je, dame i gospodo, Grahamov broj, koji je otprilike jedan red veličine veći od razine ljudskog razumijevanja. To je broj koji je toliko veći od bilo kojeg broja koji možete zamisliti - toliko je veći od bilo koje beskonačnosti koju biste ikada mogli zamisliti - jednostavno prkosi čak i najapstraktnijem opisu.
Ali ovdje je čudna stvar. Budući da je Grahamov broj u osnovi samo triplet pomnožen zajedno, znamo neka od njegovih svojstava, a da ga zapravo nismo izračunali. Grahamov broj ne možemo predstaviti bilo kojom poznatom notacijom, čak i ako bismo upotrijebili cijeli svemir da ga zapišemo, ali mogu vam sada reći zadnjih dvanaest znamenki Grahamovog broja: . I to nije sve: znamo barem posljednje znamenke Grahamova broja.
Naravno, vrijedi zapamtiti da je ovaj broj samo gornja granica u Grahamovom izvornom problemu. Vrlo je moguće da je stvarni broj mjerenja potrebnih za postizanje željenog svojstva puno, puno manji. Zapravo, vjeruje se još od 1980-ih, prema mišljenju većine stručnjaka na tom području, da zapravo postoji samo šest dimenzija — broj koji je toliko malen da ga možemo razumjeti intuitivno. Donja granica je od tada podignuta na , ali još uvijek postoji vrlo dobra šansa da rješenje Grahamovog problema ne leži ni blizu broja tako velikog kao što je Grahamov broj.
Prema beskraju
Dakle, postoje li brojevi veći od Grahamovog broja? Tu je, naravno, za početak tu je Grahamov broj. Što se tiče značajnog broja... pa, postoje neka vraški složena područja matematike (osobito područje poznato kao kombinatorika) i računalne znanosti u kojima se pojavljuju brojevi čak i veći od Grahamovog broja. Ali skoro smo dosegli granicu onoga za što se mogu nadati da će ikada biti racionalno objašnjeno. Za one koji su dovoljno hrabri da odu i dalje, predlaže se daljnje čitanje na vlastitu odgovornost.
Pa, sada nevjerojatan citat koji se pripisuje Douglasu Rayu ( Bilješka Iskreno, zvuči prilično smiješno:
“Vidim nakupine nejasnih brojeva koji su skriveni tamo u tami, iza male točke svjetla koju daje svijeća razuma. Šapuću jedno drugome; kujući tko zna što. Možda nas baš i ne vole jer smo zarobili njihovu mlađu braću u našim glavama. Ili možda jednostavno vode jednoznamenkasti život, tamo vani, izvan našeg razumijevanja.
