Afledt af eksponentialet til x-potensen. Afledt af e i potensen af ​​x og en eksponentiel funktion Afledt af funktionen e i potensen af ​​x

Mange tal fik deres størrelse og overtroiske betydning i oldtiden. I dag bliver der tilføjet nye myter til dem. Der er mange legender om tallet pi de berømte Fibonacci-numre er ikke meget mindre berømte end det. Men måske det mest overraskende er tallet e, som han ikke kan undvære moderne matematik, fysik og endda økonomi.

Den aritmetiske værdi af e er cirka 2,718. Hvorfor ikke ligefrem, men cirka? Fordi dette tal er irrationelt og transcendentalt, kan det ikke udtrykkes som en brøk med naturlige heltal eller et polynomium med rationelle koefficienter. For de fleste beregninger er den specificerede nøjagtighed på 2.718 tilstrækkelig, selvom det moderne niveau af computerteknologi gør det muligt at bestemme dens værdi med en nøjagtighed på mere end en billion decimaler.

Hovedtræk ved tallet e er, at den afledede af dets eksponentielle funktion f (x) = e x er lig med værdien af ​​selve funktionen e x. Intet andet matematisk forhold har en så usædvanlig egenskab. Lad os tale om dette lidt mere detaljeret.

Hvad er en grænse

Lad os først forstå begrebet grænse. Overvej nogle matematiske udtryk, for eksempel i = 1/n. Kan se, at når "n" stiger", vil værdien af ​​"i" falde, og da "n" har en tendens til uendelig (hvilket er angivet med tegnet ∞), vil "i" tendere mod grænseværdien (oftere kaldet kun grænsen) lig med nul. Udtrykket for grænsen (betegnet som lim) for det pågældende tilfælde kan skrives som lim n →∞ (1/ n) = 0.

Der er forskellige grænser for forskellige udtryk. En af disse grænser, inkluderet i sovjetiske og russiske lærebøger som den anden bemærkelsesværdige grænse, er udtrykket lim n →∞ (1+1/ n) n. Allerede i middelalderen blev det fastslået, at grænsen for dette udtryk er tallet e.

Den første bemærkelsesværdige grænse inkluderer udtrykket lim n →∞ (Sin n / n) = 1.

Sådan finder du den afledede af e x - i denne video.

Hvad er den afledede af en funktion

For at forklare begrebet en afledt, bør vi huske, hvad en funktion er i matematik. For ikke at fylde teksten med komplekse definitioner, vil vi fokusere på det intuitive matematiske begreb om en funktion, som består i, at en eller flere størrelser i den fuldstændig bestemmer værdien af ​​en anden størrelse, hvis de er indbyrdes forbundne. For eksempel, i formlen S = π ∙ r 2 arealet af en cirkel, værdien af ​​radius r bestemmer fuldstændigt og entydigt arealet af cirklen S.

Afhængigt af typen kan funktioner være algebraiske, trigonometriske, logaritmiske osv. De kan have to, tre eller flere argumenter forbundet med hinanden. For eksempel er afstanden S tilbagelagt, som et objekt tilbagelagde med en ensartet accelereret hastighed, beskrevet af funktionen S = 0,5 ∙ a ∙ t 2 + V ∙ t, hvor "t" er tidspunktet for bevægelsen, argumentet "a ” er acceleration (kan være enten positiv eller og en negativ værdi) og ”V” er den indledende bevægelseshastighed. Den tilbagelagte afstand afhænger således af værdierne af tre argumenter, hvoraf to ("a" og "V") er konstante.

Lad os bruge dette eksempel til at demonstrere det elementære koncept for en afledt af en funktion. Det karakteriserer ændringshastigheden af ​​funktionen på et givet punkt. I vores eksempel vil dette være objektets bevægelseshastighed på et bestemt tidspunkt. Med konstant "a" og "V" afhænger det kun af tiden "t", det vil sige, i videnskabeligt sprog, skal du tage den afledede af funktionen S med hensyn til tiden "t".

Denne proces kaldes differentiering og udføres ved at beregne grænsen for forholdet mellem væksten af ​​en funktion og væksten af ​​dens argument med en ubetydelig lille mængde. At løse sådanne problemer for individuelle funktioner er ofte vanskeligt og diskuteres ikke her. Det er også værd at bemærke, at nogle funktioner på visse punkter slet ikke har sådanne grænser.

I vores eksempel er den afledte S over tid vil "t" have formen S" = ds/dt = a ∙ t + V, hvoraf det kan ses, at hastigheden S" ændres efter en lineær lov afhængig af "t".

Afledt af eksponenten

En eksponentiel funktion kaldes en eksponentiel funktion, hvis basis er tallet e. Den vises normalt på formen F (x) = e x, hvor eksponenten x er en variabel størrelse. Denne funktion har fuldstændig differentiabilitet over hele rækken af ​​reelle tal. Når x vokser, stiger det konstant og er altid større end nul. Dens inverse funktion er logaritmen.

Den berømte matematiker Taylor formåede at udvide denne funktion til en serie opkaldt efter ham e x = 1 + x/1! + x 2/2! + x 3/3! + … i x-området fra - ∞ til + ∞.

Lov baseret på denne funktion, kaldes eksponentiel. Han beskriver:

• stigning i sammensatte bankrenter;
• stigning i dyrepopulationer og global befolkning;
• rigor mortis tid og meget mere.

Lad os endnu en gang gentage den bemærkelsesværdige egenskab ved denne afhængighed - værdien af ​​dens afledte på ethvert punkt er altid lig med værdien af ​​funktionen på dette punkt, det vil sige (e x)" = e x.

Lad os præsentere derivaterne for de mest generelle tilfælde af eksponentialet:

• (e axe)" = a ∙ e axe;
• (e f (x))" = f"(x) ∙ e f (x) .

Ved at bruge disse afhængigheder er det nemt at finde derivater for andre særlige typer af denne funktion.

Nogle interessante fakta om tallet e

Navnene på sådanne videnskabsmænd som Napier, Oughtred, Huygens, Bernoulli, Leibniz, Newton, Euler og andre er forbundet med dette nummer. Sidstnævnte introducerede faktisk notationen e for dette tal, og fandt også de første 18 tegn ved at bruge rækken e = 1 + 1/1, som han opdagede til beregningen! + 2/2! + 3/3! ...

Tallet e dukker op de mest uventede steder. For eksempel er det inkluderet i køreledningsligningen, som beskriver nedbøjningen af ​​et reb under dets egen vægt, når dets ender er fastgjort til understøtninger.

Video

Emnet for videolektionen er den afledte af eksponentielle funktion.

Bevis og afledning af formlerne for afledet af eksponential- (e til x-potens) og eksponentialfunktion (a til x-potens). Eksempler på beregning af afledte af e^2x, e^3x og e^nx. Formler for derivater af højere orden.

Indhold

Se også: Eksponentiel funktion - egenskaber, formler, graf
Eksponent, e til x-potensen - egenskaber, formler, graf

Grundlæggende formler

Den afledte af en eksponent er lig med eksponenten selv (den afledte af e til x-potensen er lig med e til x-potensen):
(1) (e x )′ = e x.

Den afledte af en eksponentiel funktion med basis a er lig med selve funktionen ganget med den naturlige logaritme af a:
(2) .

En eksponentiel er en eksponentiel funktion, hvis potensbase er lig med tallet e, som er følgende grænse:
.
Her kan det enten være et naturligt tal eller et reelt tal. Dernæst udleder vi formel (1) for den afledede af eksponentialet.

Afledning af den eksponentielle derivatformel

Overvej eksponentialet, e til x-potensen:
y = e x .
Denne funktion er defineret for alle. Lad os finde dens afledede med hensyn til variablen x. Per definition er derivatet følgende grænse:
(3) .

Lad os transformere dette udtryk for at reducere det til kendte matematiske egenskaber og regler. For at gøre dette har vi brug for følgende fakta:
EN) Eksponentegenskab:
(4) ;
B) Logaritmens egenskab:
(5) ;
I) Kontinuitet af logaritmen og egenskaben af ​​grænser for en kontinuerlig funktion:
(6) .
Her er en funktion, der har en grænse, og denne grænse er positiv.
G) Betydningen af ​​den anden bemærkelsesværdige grænse:
(7) .

Lad os anvende disse fakta til vores grænse (3). Vi bruger ejendom (4):
;
.

Lad os lave en udskiftning. Derefter ; .
På grund af kontinuiteten af ​​den eksponentielle,
.
Derfor, når ,. Som et resultat får vi:
.

Lad os lave en udskiftning. Derefter . Kl , .
.

Og vi har:
Lad os anvende logaritmeegenskaben (5):
.

. Derefter
.
Lad os anvende ejendom (6). Da der er en positiv grænse, og logaritmen er kontinuerlig, så:
.

Her brugte vi også den anden bemærkelsesværdige grænse (7). Derefter

Således opnåede vi formel (1) for derivatet af eksponentialet.

Afledning af formlen for den afledede af en eksponentiel funktion
(8)
Nu udleder vi formel (2) for den afledede af eksponentialfunktionen med en basis af grad a. Det tror vi og . Derefter den eksponentielle funktion

Defineret for alle.
;
.
Lad os omdanne formel (8). For at gøre dette vil vi bruge egenskaberne for eksponentialfunktionen og logaritmen.
.

Så vi transformerede formel (8) til følgende form:

Højere ordens afledte af e til x-potensen
(14) .
(1) .

Lad os nu finde afledte af højere ordener. Lad os først se på eksponenten:
;
.

Vi ser, at den afledede af funktion (14) er lig med selve funktionen (14). Ved at differentiere (1) får vi afledte af anden og tredje orden:
.

Dette viser, at den afledede n. orden også er lig med den oprindelige funktion:

Højere ordens afledte af eksponentialfunktionen
.
Overvej nu en eksponentiel funktion med en basis af grad a:
(15) .

Vi fandt dens førsteordens afledte:
;
.

Ved at differentiere (15) får vi afledte af anden og tredje orden:
.

Vi ser, at hver differentiering fører til multiplikation af den oprindelige funktion med . Derfor har den n. ordens afledte følgende form:

Se også:

Basale koncepter

1. Før vi undersøger spørgsmålet om den afledede af en eksponentiel til potensen $x$, lad os huske definitionerne
2. funktioner;
3. rækkefølge grænse;
4. afledte;

udstillere.

Dette er nødvendigt for en klar forståelse af den afledte af en eksponentiel i potensen af ​​$x$.

Definition 1

En funktion er en sammenhæng mellem to variable.

Hvis hvert naturligt tal $n=1, 2, 3, ...$ i kraft af en lov er forbundet med et tal $x_n$, så siger vi, at talfølgen $x_1,x_2,..., x_n$ er defineret. Ellers skrives en sådan sekvens som $\(x_n\)$. Alle tal $x_n$ kaldes medlemmer eller elementer i sekvensen.

Definition 2

Grænsen for en sekvens er det endelige eller uendeligt fjerne punkt på tallinjen. Grænsen skrives som følger: $\lim x_n = \lim\limits_(n\to\infty)x_n = a$. Denne notation betyder, at variablen $x_n$ har tendens til $a$ $x_n\to a$.

Den afledte af funktionen $f$ ved punktet $x_0$ kaldes følgende grænse:

$\lim\limits_(x\to x_0)\frac(f(x) - f(x_o))(x-x_o)$. Det er angivet med $f"(x_0)$.

Tallet $e$ er lig med følgende grænse:

$e=\lim\limits_(x\to\infty) (1+\frac(1)(n))\ca.2.718281828459045...$

I denne grænse er $n$ et naturligt eller reelt tal.

Efter at have mestret begreberne grænse, afledet og eksponent, kan vi begynde at bevise formlen $(e^x)"=e^x$.

Afledning af den afledede af en eksponentiel i potensen $x$

Vi har $e^x$, hvor $x: -\infty

$y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(x+\Delta x)-e^x)(\Delta x)$.

Ved egenskaben af ​​eksponenten $e^(a+bx)=e^a*e^b$ kan vi transformere grænsens tæller:

$e^(x+\Delta x)-e^x = e^x*e^(\Delta x)-e^x = e^x(e^(\Delta x)-1)$.

Det vil sige $y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(x+\Delta x)-e^x)(\Delta x)=\lim\limits_(\Delta x\ til 0) \frac(e^x(e^(\Delta x)-1))(\Delta x)$.

Lad os betegne $t=e^(\Delta x)-1$. Vi får $e^(\Delta x)=t+1$, og ved logaritmens egenskab viser det sig, at $\Delta x = ln(t+1)$.

Da eksponentialet er kontinuert, har vi $\lim\limits_(\Delta x\to 0) e^(\Delta x)=e^0=1.$ Derfor, hvis $\Delta x\to 0$, så $ t \ til 0$.

Som et resultat viser vi transformationen:

$y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(\Delta x)-1)(\Delta x)=e^x\lim\limits_(t\to 0)\frac (t)(ln(t+1))$.

Lad os betegne $n=\frac (1)(t)$, derefter $t=\frac(1)(n)$. Det viser sig, at hvis $t\to 0$, så $n\to\infty$.

Lad os ændre vores grænse:

$y"=e^x\lim\limits_(t\to 0)\frac(t)(ln(t+1))=e^x\lim\limits_(n\to\infty)\frac(1) (n\cdot ln(\frac(1)(n)+1)^n)$.

Ved egenskaben af ​​logaritmen $b\cdot ln c=ln c^b$ har vi

$n\cdot ln (\frac(1)(n)+1)=ln(\frac(1)(n)+1)^n=ln(1+\frac(1)(n))^n$ .

Grænsen omregnes som følger:

$y"=e^x\lim\limits_(n\to\infty)\frac(1)(n\cdot ln(\frac(1)(n)+1)) = e^x\lim\limits_( n\to\infty)\frac(1)(ln(\frac(1)(n)+1)^n)= e^x\frac(1)(\lim\limits_(n\to\infty) ln (\frac(1)(n)+1)^n)$.

Ifølge logaritmens kontinuitetsegenskab og grænseegenskaben for en kontinuerlig funktion: $\lim\limits_(x\to x_0)ln(f(x))=ln(\lim\limits_f(x))$, hvor $f(x)$ har en positiv grænse $\lim\limits_(x\to x_0)f(x)$. Så på grund af det faktum, at logaritmen er kontinuerlig, og der er en positiv grænse $\lim\limits_(n\to\infty)(\frac(1)(n)+1)^n$, kan vi udlede:

$\lim\limits_(n\to\infty)ln(1+\frac(1)(n))^n=ln\lim\limits_(n\to\infty)ln(1+\frac(1)( n))^n=ln e=1$.

Lad os bruge værdien af ​​den anden bemærkelsesværdige grænse $\lim\limits_(n\to\infty)(1+\frac(1)(n))^n=e$. Vi får:

$y"= e^x\frac(1)(\lim\limits_(n\to\infty) ln(\frac(1)(n)+1)^n) = e^x\cdot\frac(1 )(ln e) = e^x\cdot\frac(1)(1)=e^x$.

Vi har således udledt formlen for den afledede af en eksponentiel og kan hævde, at den afledede af en eksponentiel i potensen $x$ svarer til den afledte af en eksponentiel i potensen af ​​$x$:

Der er også andre måder at udlede denne formel ved hjælp af andre formler og regler.

Eksempel 1

Lad os se på et eksempel på at finde den afledede af en funktion.

Tilstand: Find den afledede af funktionen $y=2^x + 3^x + 10^x + e^x$.

Løsning: Til termerne $2^x, 3^x$ og $10^x$ anvender vi formlen $(a^x)"=a^x\cdot ln a$. Ifølge den afledte formel $(e^x)" =e^x$ det fjerde led $e^x$ ændres ikke.

Svar: $y" = 2^x\cdot ln 2 + 3^x\cdot ln 3 + 10^x\cdot ln 10 + e^x$.

Vi har således udledt formlen $(e^x)"=e^x$, samtidig med at vi har givet definitioner til de grundlæggende begreber, og analyseret et eksempel på at finde den afledede af en funktion med en eksponent som et af begreberne.

Vi præsenterer en oversigtstabel for nemheds skyld og klarhed, når vi studerer emnet.

Konstanty = C Power funktion y = x p (x p) " = p x p - 1	Eksponentiel funktiony = a x (a x) " = a x ln a Især hvornåra = evi har y = e x (e x) " = e x
Logaritmisk funktion (log a x) " = 1 x ln a Især hvornåra = evi har y = logx (ln x) " = 1 x	Trigonometriske funktioner (sin x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x
Inverse trigonometriske funktioner (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2	Hyperbolske funktioner (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Lad os analysere, hvordan formlerne i den angivne tabel blev opnået, eller med andre ord vil vi bevise afledningen af ​​afledte formler for hver type funktion.

Afledt af en konstant

Bevis 1

For at udlede denne formel tager vi udgangspunkt i definitionen af ​​den afledede af en funktion i et punkt. Vi bruger x 0 = x, hvor x tager værdien af ​​ethvert reelt tal, eller med andre ord, x er et hvilket som helst tal fra domænet for funktionen f (x) = C. Lad os nedskrive grænsen for forholdet mellem stigningen af ​​en funktion og stigningen af ​​argumentet som ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Bemærk venligst, at udtrykket 0 ∆ x falder ind under grænsetegnet. Det er ikke usikkerheden "nul divideret med nul", da tælleren ikke indeholder en uendelig lille værdi, men præcis nul. Med andre ord er stigningen af ​​en konstant funktion altid nul.

Så den afledede af konstantfunktionen f (x) = C er lig med nul gennem hele definitionsdomænet.

Eksempel 1

De konstante funktioner er givet:

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Løsning

Lad os beskrive de givne forhold. I den første funktion ser vi den afledede af det naturlige tal 3. I det følgende eksempel skal du tage den afledte af EN, Hvor EN- ethvert reelt tal. Det tredje eksempel giver os den afledte af det irrationelle tal 4. 13 7 22, den fjerde er den afledede af nul (nul er et heltal). Endelig, i det femte tilfælde har vi den afledte af den rationelle brøk - 8 7.

Svar: afledte af givne funktioner er nul for enhver reel x(over hele definitionsområdet)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Afledt af en potensfunktion

Lad os gå videre til potensfunktionen og formlen for dens afledede, som har formen: (x p) " = p x p - 1, hvor eksponenten s er et hvilket som helst reelt tal.

Bevis 2

Her er et bevis på formlen, når eksponenten er et naturligt tal: p = 1, 2, 3, …

Vi stoler igen på definitionen af ​​et derivat. Lad os nedskrive grænsen for forholdet mellem stigningen af ​​en potensfunktion og stigningen i argumentet:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

For at forenkle udtrykket i tælleren bruger vi Newtons binomiale formel:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 +. . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Dermed:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (. C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . 1 + 0 +.

Således har vi bevist formlen for den afledede af en potensfunktion, når eksponenten er et naturligt tal.

Bevis 3

At fremlægge bevis for sagen, hvornår p- ethvert andet reelt tal end nul, bruger vi den logaritmiske afledte (her skal vi forstå forskellen fra den afledede af en logaritmisk funktion). For at få en mere fuldstændig forståelse er det tilrådeligt at studere den afledte af en logaritmisk funktion og yderligere forstå den afledte af en implicit funktion og den afledte af en kompleks funktion.

Lad os overveje to tilfælde: hvornår x positivt og hvornår x negativ.

Altså x > 0. Derefter: x p > 0 . Lad os logaritme ligheden y = x p til grundtallet e og anvende logaritmens egenskab:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

På dette stadium har vi opnået en implicit specificeret funktion. Lad os definere dens afledte:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

Nu overvejer vi sagen hvornår x - et negativt tal.

Hvis indikatoren s er et lige tal, så er potensfunktionen defineret for x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Derefter x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Hvis s er et ulige tal, så er potensfunktionen defineret for x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1

Den sidste overgang er mulig på grund af, at hvis s er altså et ulige tal p - 1 enten et lige tal eller nul (for p = 1), derfor for negativ x ligheden (- x) p - 1 = x p - 1 er sand.

Så vi har bevist formlen for den afledede af en potensfunktion for enhver reel p.

Eksempel 2

Angivne funktioner:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Bestem deres derivater.

Løsning

Vi omdanner nogle af de givne funktioner til tabelform y = x p , baseret på gradens egenskaber, og bruger derefter formlen:

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2" (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Afledt af en eksponentiel funktion

Bevis 4

Lad os udlede den afledte formel ved at bruge definitionen som grundlag:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Vi fik usikkerhed. For at udvide det, lad os skrive en ny variabel z = a ∆ x - 1 (z → 0 som ∆ x → 0). I dette tilfælde er a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Til den sidste overgang blev formlen for overgang til en ny logaritmebase brugt.

Lad os erstatte i den oprindelige grænse:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Lad os huske den anden bemærkelsesværdige grænse, og så får vi formlen for den afledede af eksponentialfunktionen:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

Eksempel 3

De eksponentielle funktioner er givet:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Det er nødvendigt at finde deres derivater.

Løsning

Vi bruger formlen for den afledede af eksponentialfunktionen og egenskaberne for logaritmen:

f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Afledt af en logaritmisk funktion

Bevis 5

Lad os give et bevis på formlen for den afledede af en logaritmisk funktion for evt x i definitionsdomænet og eventuelle tilladte værdier af logaritmens basis a. Baseret på definitionen af ​​afledt får vi:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

Fra den angivne kæde af ligheder er det klart, at transformationerne var baseret på logaritmens egenskab. Lighedsgrænsen ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e er sand i overensstemmelse med den anden bemærkelsesværdige grænse.

Eksempel 4

Logaritmiske funktioner er givet:

f 1 (x) = log ln 3 x , f 2 (x) = ln x

Det er nødvendigt at beregne deres derivater.

Løsning

Lad os anvende den afledte formel:

f 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3); f 2 " (x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x

Så den afledte af den naturlige logaritme er én divideret med x.

Afledte trigonometriske funktioner

Bevis 6

Lad os bruge nogle trigonometriske formler og den første vidunderlige grænse til at udlede formlen for den afledte af en trigonometrisk funktion.

Ifølge definitionen af ​​den afledede af sinusfunktionen får vi:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Formlen for forskellen mellem sinus giver os mulighed for at udføre følgende handlinger:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Til sidst bruger vi den første vidunderlige grænse:

sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Altså den afledede af funktionen synd x vilje fordi x.

Vi vil også bevise formlen for derivatet af cosinus:

cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

De der. vil den afledede af cos x-funktionen være – synd x.

Vi udleder formlerne for derivaterne af tangent og cotangens baseret på reglerne for differentiering:

t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Afledninger af inverse trigonometriske funktioner

Afsnittet om afledte af inverse funktioner giver omfattende information om beviset for formlerne for derivaterne af arcsine, arccosine, arctangens og arccotangent, så vi vil ikke duplikere materialet her.

Derivater af hyperbolske funktioner

Bevis 7

Vi kan udlede formlerne for de afledte af den hyperbolske sinus, cosinus, tangens og cotangens ved hjælp af differentieringsreglen og formlen for den afledede af eksponentialfunktionen:

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

Når vi udleder den allerførste formel i tabellen, vil vi gå ud fra definitionen af ​​den afledede funktion ved et punkt. Lad os tage hvorhen x– ethvert reelt tal, dvs. x– et hvilket som helst tal fra funktionens definitionsdomæne. Lad os nedskrive grænsen for forholdet mellem funktionens stigning og stigningen af ​​argumentet ved:

Det skal bemærkes, at under grænsetegnet opnås udtrykket, som ikke er usikkerheden ved nul divideret med nul, da tælleren ikke indeholder en uendelig lille værdi, men præcis nul. Med andre ord er stigningen af ​​en konstant funktion altid nul.

Dermed, afledet af en konstant funktioner lig med nul i hele definitionsdomænet.

Afledt af en potensfunktion.

Formlen for den afledede af en potensfunktion har formen , hvor eksponenten s– ethvert reelt tal.

Lad os først bevise formlen for den naturlige eksponent, det vil sige for p = 1, 2, 3, …

Vi vil bruge definitionen af ​​en afledt. Lad os nedskrive grænsen for forholdet mellem stigningen af ​​en potensfunktion og stigningen i argumentet:

For at forenkle udtrykket i tælleren vender vi os til Newtons binomiale formel:

Derfor,

Dette beviser formlen for den afledede af en potensfunktion for en naturlig eksponent.

Afledt af en eksponentiel funktion.

Vi præsenterer afledningen af ​​derivatformlen baseret på definitionen:

Vi er nået frem til usikkerhed. For at udvide den introducerer vi en ny variabel, og på . Derefter . I den sidste overgang brugte vi formlen for overgang til en ny logaritmisk base.

Lad os erstatte til den oprindelige grænse:

Hvis vi husker den anden bemærkelsesværdige grænse, kommer vi til formlen for den afledede af eksponentialfunktionen:

Afledt af en logaritmisk funktion.

Lad os bevise formlen for den afledede af en logaritmisk funktion for alle x fra definitionsdomænet og alle basens gyldige værdier -en logaritme Per definition af afledt har vi:

Som du bemærkede, blev transformationerne under beviset udført ved hjælp af logaritmens egenskaber. Lighed er sandt på grund af den anden bemærkelsesværdige grænse.

Afledninger af trigonometriske funktioner.

For at udlede formler for afledte trigonometriske funktioner, bliver vi nødt til at huske nogle trigonometriske formler, såvel som den første bemærkelsesværdige grænse.

Per definition af den afledede for sinusfunktionen har vi .

Lad os bruge formlen for forskellen mellem sinus:

Det er tilbage at vende sig til den første bemærkelsesværdige grænse:

Altså den afledede af funktionen synd x Der er fordi x.

Formlen for derivatet af cosinus er bevist på nøjagtig samme måde.

Derfor er den afledte af funktionen fordi x Der er -synd x.

Vi vil udlede formler til tabellen over afledte for tangent og cotangens ved hjælp af beviste regler for differentiering (afledet af en brøk).

Afledte af hyperbolske funktioner.

Reglerne for differentiering og formlen for afledet af eksponentialfunktionen fra tabellen over afledte giver os mulighed for at udlede formler for afledte af den hyperbolske sinus, cosinus, tangent og cotangens.

Afledt af den inverse funktion.

For at undgå forvirring under præsentationen, lad os i sænket betegne argumentet for den funktion, hvorved differentiering udføres, det vil sige, det er den afledede af funktionen f(x) Ved x.

Lad os nu formulere regel for at finde den afledede af en invers funktion.

Lad funktionerne y = f(x) Og x = g(y) indbyrdes omvendt, defineret på intervallerne og hhv. Hvis der i et punkt er en endelig ikke-nul afledt af funktionen f(x), så er der i punktet en endelig afledt af den inverse funktion g(y), og . I et andet indlæg .

Denne regel kan omformuleres for evt x fra intervallet , så får vi .

Lad os tjekke gyldigheden af ​​disse formler.

Lad os finde den inverse funktion for den naturlige logaritme (Her y er en funktion, og x- argument). Efter at have løst denne ligning for x, får vi (her x er en funktion, og y– hendes argument). Det er, og gensidigt omvendte funktioner.

Fra tabellen over afledte ser vi det Og .

Lad os sikre os, at formlerne til at finde de afledte af den inverse funktion fører os til de samme resultater: