Určení extrému funkce online. Extrémy funkce. Algoritmus pro hledání extrémů funkce dvou proměnných a příklady řešení

Z tohoto článku se čtenář dozví o tom, co je extrém funkční hodnoty, a také o vlastnostech jeho použití v praktických činnostech. Studium takového konceptu je nesmírně důležité pro pochopení základů vyšší matematiky. Toto téma je zásadní pro hlubší studium předmětu.

V kontaktu s

Co je to extrém?

Ve školním kurzu je uvedeno mnoho definic pojmu „extrém“. Tento článek má poskytnout nejhlubší a nejjasnější pochopení termínu pro ty, kteří tuto problematiku neznali. Pod pojmem se tedy rozumí, do jaké míry nabývá funkční interval minimální nebo maximální hodnoty na konkrétní množině.

Extrém je zároveň minimální a zároveň maximální hodnotou funkce. Existuje minimální bod a maximální bod, to znamená extrémní hodnoty argumentu v grafu. Hlavní vědy, které používají tento koncept, jsou:

• statistika;
• ovládání stroje;
• ekonometrie.

Extrémní body hrají důležitou roli při určování posloupnosti dané funkce. Souřadnicový systém v grafu nejlépe ukazuje změnu krajní polohy v závislosti na změně funkčnosti.

Extrémy derivační funkce

Existuje také fenomén jako „derivát“. Je nutné určit extrémní bod. Je důležité nezaměňovat minimální nebo maximální body s nejvyššími a nejnižšími hodnotami. Jsou to různé pojmy, i když se mohou zdát podobné.

Hodnota funkce je hlavním faktorem při určování způsobu nalezení maximálního bodu. Derivát není tvořen z hodnot, ale výhradně z jeho krajní polohy v tom či onom řádu.

Samotná derivace je určena na základě těchto extrémních bodů, nikoli na základě největší nebo nejmenší hodnoty. V ruských školách není hranice mezi těmito dvěma pojmy jasně nakreslena, což ovlivňuje chápání tohoto tématu obecně.

Podívejme se nyní na takový pojem jako „akutní extrém“. Dnes existuje akutní minimální hodnota a akutní maximální hodnota. Definice je uvedena v souladu s ruskou klasifikací kritických bodů funkce. Koncept extrémního bodu je základem pro nalezení kritických bodů v grafu.

K definování takového konceptu se uchýlí k použití Fermatova teorému. Je to nejdůležitější při studiu extrémních bodů a dává jasnou představu o jejich existenci v té či oné formě. Pro zajištění extrémnosti je důležité vytvořit na grafu určité podmínky pro pokles nebo nárůst.

Chcete-li přesně odpovědět na otázku „jak najít maximální bod“, musíte dodržovat následující pokyny:

Nalezení přesné domény definice v grafu.

Hledání derivace funkce a extremního bodu.

Vyřešte standardní nerovnice pro doménu, kde je argument nalezen.

Umět dokázat, ve kterých funkcích je bod na grafu definovaný a spojitý.

Pozornost! Hledání kritického bodu funkce je možné pouze v případě, že existuje derivace alespoň druhého řádu, což je zajištěno vysokým podílem přítomnosti extrémního bodu.

Nezbytná podmínka pro extrém funkce

Aby existoval extrém, je důležité, aby existoval minimální i maximální počet bodů. Pokud je toto pravidlo dodrženo jen částečně, pak je porušena podmínka existence extrému.

Každá funkce na jakékoli pozici musí být odlišena, aby bylo možné identifikovat její nové významy. Je důležité pochopit, že případ bodu klesajícího k nule není hlavním principem pro nalezení diferencovatelného bodu.

Akutní extrém, stejně jako minimum funkce, je nesmírně důležitým aspektem řešení matematického problému pomocí extrémních hodnot. Pro lepší pochopení této komponenty je důležité použít tabulkové hodnoty pro specifikaci funkčnosti.

Výzkum plného významu

Vykreslení grafu hodnot

1. Určení bodů rostoucích a klesajících hodnot. 2. Hledání bodů nespojitosti, extrému a průsečíku se souřadnicovými osami. 3. Proces určování změn polohy na grafu. 4. Určení ukazatele a směru konvexity a konvexity s přihlédnutím k přítomnosti asymptot. 5. Tvorba souhrnné tabulky výzkumu z pohledu určení jejích souřadnic. 6. Hledání intervalů rostoucích a klesajících krajních a ostrých bodů. 7. Stanovení konvexnosti a konkávnosti křivky. 8. Vynesení grafu s přihlédnutím k výzkumu vám umožní najít minimum nebo maximum.

Hlavním prvkem, kdy je potřeba pracovat s extrémními body, je přesná konstrukce jeho grafu. Učitelé školy tak důležitému aspektu, který je hrubým porušením výchovně vzdělávacího procesu, často nevěnují maximální pozornost. Ke konstrukci grafu dochází pouze na základě výsledků studia funkčních dat, identifikace akutních extrémů a také bodů na grafu. Ostré extrémy derivační funkce jsou zobrazeny na grafu přesných hodnot standardním postupem pro stanovení asymptot. Maximální a minimální body funkce jsou doprovázeny složitějšími konstrukcemi grafů. To je způsobeno hlubší potřebou propracovat se s problémem akutního extrému. Je také nutné najít derivaci komplexní a jednoduché funkce, protože to je jeden z nejdůležitějších konceptů v problému extrému.

Extrém funkčního

Chcete-li zjistit výše uvedenou hodnotu, musíte dodržovat následující pravidla:

• určit nezbytnou podmínku pro extrémní vztah;
• vzít v úvahu dostatečný stav krajních bodů na grafu;
• provést výpočet akutního extrému.

Používají se také pojmy jako slabé minimum a silné minimum. To je třeba vzít v úvahu při stanovení extrému a jeho přesném výpočtu. Akutní funkcionalita je přitom vyhledání a vytvoření všech nezbytných podmínek pro práci s grafem funkce.

V červenci 2020 zahajuje NASA expedici na Mars. Sonda doručí na Mars elektronické médium se jmény všech registrovaných účastníků expedice.

Registrace účastníků je otevřena. Získejte letenku na Mars pomocí tohoto odkazu.

Pokud tento příspěvek vyřešil váš problém nebo se vám jen líbil, sdílejte odkaz na něj se svými přáteli na sociálních sítích.

Jednu z těchto možností kódu je třeba zkopírovat a vložit do kódu vaší webové stránky, nejlépe mezi značky a nebo bezprostředně za značku. Podle první možnosti se MathJax načítá rychleji a méně zpomaluje stránku. Ale druhá možnost automaticky sleduje a načítá nejnovější verze MathJax. Pokud vložíte první kód, bude nutné jej pravidelně aktualizovat. Pokud vložíte druhý kód, stránky se budou načítat pomaleji, ale nebudete muset neustále sledovat aktualizace MathJax.

Nejjednodušší způsob, jak připojit MathJax, je v Bloggeru nebo WordPressu: do ovládacího panelu webu přidejte widget určený pro vložení kódu JavaScript třetí strany, zkopírujte do něj první nebo druhou verzi výše uvedeného kódu pro stahování a umístěte widget blíže. na začátek šablony (mimochodem, není to vůbec nutné, protože skript MathJax se načítá asynchronně). To je vše. Nyní se naučte syntaxi značek MathML, LaTeX a ASCIIMathML a jste připraveni vkládat matematické vzorce do webových stránek svého webu.

Další Silvestr... mrazivé počasí a sněhové vločky na skle okna... To vše mě přimělo znovu napsat o... fraktálech a o tom, co o tom Wolfram Alpha ví. Na toto téma existuje zajímavý článek, který obsahuje příklady dvourozměrných fraktálových struktur. Zde se podíváme na složitější příklady trojrozměrných fraktálů.

Fraktál lze vizuálně znázornit (popsat) jako geometrický obrazec nebo těleso (to znamená, že oba jsou souborem, v tomto případě souborem bodů), jehož detaily mají stejný tvar jako samotný původní obrazec. To znamená, že se jedná o sobě podobnou strukturu, jejíž detaily po zvětšení uvidíme stejný tvar jako bez zvětšení. Zatímco v případě obyčejného geometrického obrazce (nikoli fraktálu), při zvětšení uvidíme detaily, které mají jednodušší tvar než samotný původní obrazec. Například při dostatečně velkém zvětšení vypadá část elipsy jako úsečka. To se u fraktálů neděje: s jakýmkoli jejich nárůstem opět uvidíme stejný složitý tvar, který se bude s každým nárůstem znovu a znovu opakovat.

Benoit Mandelbrot, zakladatel vědy o fraktálech, ve svém článku Fraktály a umění ve jménu vědy napsal: „Fraktály jsou geometrické tvary, které jsou stejně složité ve svých detailech jako ve své celkové formě, tedy pokud jsou součástí fraktálu se zvětší na velikost celku, bude se jevit jako celek, buď přesně, nebo možná s mírnou deformací.“

Můžeme také říci, že v těchto bodech se mění směr pohybu funkce: pokud funkce přestane klesat a začne růst, je to bod minima, naopak bod maxima.

Minima a maxima dohromady se nazývají extrémy funkce.

Jinými slovy, všech pět bodů zvýrazněných v grafu výše jsou extrémy.

Díky tomu není problém tyto body najít, i když nemáte graf funkce.

Pozornost! Když píšou extrémy nebo maxima/minima znamenají hodnotu funkce tzn. \(y\). Když píšou extrémní body nebo body maxim/minim znamenají X, při kterých je dosaženo maxim/minim. Například na obrázku výše je \(-5\) minimální bod (neboli extrém) a \(1\) je minimum (neboli extrém).

Jak najít extrémní body funkce z derivačního grafu (úloha 7 jednotné státní zkoušky)?

Pojďme společně najít počet extrémních bodů funkce pomocí derivačního grafu na příkladu:

Dostali jsme graf, což znamená, že hledáme, ve kterých bodech grafu je derivace rovna nule. Zjevně se jedná o body \(-13\), \(-11\), \(-9\), \(-7\) a \(3\). Počet extrémních bodů funkce je \(5\).

Pozornost! Pokud je uveden harmonogram derivát funkcí, ale musíte je najít extrémní body funkce, nepočítáme maxima a minima derivace! Počítáme body, ve kterých derivace funkce zaniká (tj. protíná osu \(x\)).

Jak zjistit maximum nebo minimum bodů funkce z derivačního grafu (úloha 7 jednotné státní zkoušky)?

Chcete-li odpovědět na tuto otázku, musíte si zapamatovat dvě další důležitá pravidla:

- Derivace je kladná tam, kde funkce roste.
- Derivace je záporná tam, kde funkce klesá.

Pomocí těchto pravidel najdeme minimální a maximální body funkce na derivačním grafu.

Je jasné, že mezi body extrémů je třeba hledat minima a maxima, tzn. mezi \(-13\), \(-11\), \(-9\), \(-7\) a \(3\).

Abychom si usnadnili řešení problému, umístíme na obrázku nejprve znaménka plus a mínus, které označují znaménko derivace. Poté šipky - označující zvyšující a klesající funkce.

Začneme \(-13\): do \(-13\) je derivace kladná, tzn. funkce roste, pak je derivace záporná, tj. funkce se zhroutí. Pokud si to představíte, je jasné, že \(-13\) je maximální bod.

\(-11\): derivace je nejprve kladná a poté záporná, což znamená, že funkce roste a poté klesá. Znovu si to zkuste v duchu nakreslit a bude vám zřejmé, že \(-11\) je minimum.

\(- 9\): funkce se zvyšuje a poté snižuje - maximum.

\(-7\): minimum.

\(3\): maximum.

Vše výše uvedené lze shrnout do následujících závěrů:

- Funkce má maximum, kde derivace je nula a mění znaménko z plus na mínus.
- Funkce má minimum, kde derivace je nula a mění znaménko z mínus na plus. Jak najít body maxima a minima, pokud je znám vzorec funkce (12 úkol Jednotné státní zkoušky)?

Chcete-li odpovědět na tuto otázku, musíte udělat totéž, co v předchozím odstavci: najít, kde je derivace kladná, kde záporná a kde je nula. Aby to bylo jasnější, napíšu algoritmus s příkladem řešení:

Najděte derivaci funkce \(f"(x)\).

Najděte kořeny rovnice \(f"(x)=0\).

Nakreslete osu \(x\) a označte na ní body získané v kroku 2, nakreslete oblouky intervaly, na které je osa rozdělena. Štítek nad osou \(f"(x)\) a pod osou \(f(x)\).

Určete znaménko derivace v každém intervalu (pomocí intervalové metody).

Umístěte znaménko derivace do každého intervalu (nad osou) a pomocí šipky označte zvýšení (↗) nebo snížení (↘) funkce (pod osou).

Určete, jak se změnilo znaménko derivace při průchodu body získanými v kroku 2:
- pokud \(f’(x)\) změnilo znaménko z „\(+\)“ na „\(-\)“, pak je \(x_1\) maximální bod;
- pokud \(f’(x)\) změnilo znaménko z „\(-\)“ na „\(+\)“, pak je \(x_3\) minimální bod;
- pokud \(f’(x)\) nezměnilo znaménko, pak \(x_2\) může být inflexní bod.

Všechno! Byl nalezen maximální a minimální počet bodů.

Při zobrazování bodů na ose, ve kterých je derivace rovna nule, lze měřítko ignorovat. Chování funkce může být znázorněno na obrázku níže. Takto bude více zřejmé, kde je maximum a kde minimum.

Příklad(POUŽITÍ). Najděte maximální bod funkce \(y=3x^5-20x^3-54\).
Řešení:
1. Najděte derivaci funkce: \(y"=15x^4-60x^2\).
2. Srovnejme to s nulou a vyřešme rovnici:

\(15x^4-60x^2=0\) \(|:15\)
\(x^4-4x^2=0\)
\(x^2 (x^2-4)=0\)
\(x=0\) \(x^2-4=0\)
\(x=±2\)

3. – 6. Vyneseme body na číselné ose a určíme, jak se mění znaménko derivace a jak se funkce pohybuje:

Nyní je zřejmé, že maximální bod je \(-2\).

Odpovědět. \(-2\).

Než se naučíte, jak najít extrémy funkce, musíte pochopit, co to extrém je. Nejobecnější definice extrému je, že je to, jak se používá v matematice, nejmenší nebo největší hodnota funkce na určité množině číselné osy nebo grafu. V místě, kde se nachází minimum, se objeví minimální extrém a kde se nachází maximum, objeví se maximální extrém. Také v disciplíně, jako je matematická analýza, jsou identifikovány lokální extrémy funkce. Nyní se podíváme na to, jak najít extrémní body.

Extrémy v matematice patří mezi nejdůležitější charakteristiky funkce, vykazují její největší a nejmenší hodnoty. Extrémy se nacházejí především v kritických bodech nalezených funkcí. Stojí za zmínku, že právě v extrémním bodě funkce radikálně mění svůj směr. Pokud vypočítáte derivaci extrémního bodu, pak by se podle definice měla rovnat nule nebo bude zcela chybět. Chcete-li tedy zjistit, jak najít extrém funkce, musíte provést dva po sobě jdoucí úkoly:

• najít derivaci funkce, kterou je potřeba určit úlohou;
• najít kořeny rovnice.

Posloupnost hledání extrému

Zapište funkci f(x), která je dána. Najděte jeho derivaci prvního řádu f "(x). Výsledný výraz přirovnejte k nule.

Nyní musíte vyřešit výslednou rovnici. Výsledná řešení budou kořeny rovnice i kritické body určované funkce.

Nyní určíme, které kritické body (maximum nebo minimum) jsou nalezené kořeny. Dalším krokem, poté, co jsme se naučili najít extrémní body funkce, je najít druhou derivaci požadované funkce f "(x). Bude nutné dosadit hodnoty nalezených kritických bodů do specifická nerovnost a pak vypočítejte, co se stane, pokud se to stane, Pokud se ukáže, že druhá derivace je v kritickém bodě větší než nula, pak to bude minimální bod a jinak maximální bod.

Zbývá vypočítat hodnotu počáteční funkce v požadovaných maximálních a minimálních bodech funkce. K tomu dosadíme získané hodnoty do funkce a vypočítáme. Je však třeba poznamenat, že pokud se ukáže, že kritický bod je maximum, pak extrém bude také maximum, a pokud minimum, pak analogicky minimum.

Algoritmus pro nalezení extrému

Abychom shrnuli získané poznatky, vytvoříme krátký algoritmus, jak najít extrémní body.

Najdeme definiční obor dané funkce a jejích intervalů, které přesně určují, v jakých intervalech je funkce spojitá.

Najděte derivaci funkce f "(x).

Vypočteme kritické body rovnice y = f (x).

Analyzujeme změny ve směru funkce f(x), stejně jako znaménko derivace f"(x), kde kritické body rozdělují definiční obor této funkce.

Nyní určíme, zda je každý bod v grafu maximum nebo minimum.

Hodnoty funkce najdeme v těch bodech, které jsou extrémy.

Zaznamenáváme výsledek této studie – extrémy a intervaly monotonie. To je vše. Nyní jsme se podívali na to, jak můžete najít extrém na jakémkoli intervalu. Pokud potřebujete najít extrém na určitém intervalu funkce, pak se to dělá podobným způsobem, jen je třeba vzít v úvahu hranice prováděného výzkumu.

Takže jsme se podívali na to, jak najít extrémní body funkce. Pomocí jednoduchých výpočtů, stejně jako znalostí hledání derivací, můžete najít jakýkoli extrém a vypočítat jej a také graficky naznačit. Hledání extrémů je jednou z nejdůležitějších částí matematiky, a to jak ve škole, tak na vysoké škole, takže pokud se je naučíte správně identifikovat, bude studium mnohem jednodušší a zajímavější.

Jak vidíte, tento znak extrému funkce vyžaduje v bodě existenci derivace alespoň druhého řádu.

Příklad.

Najděte extrémy funkce.

Řešení.

Začněme doménou definice:

Rozlišme původní funkci:

x=1, to znamená, že se jedná o bod možného extrému. Najdeme druhou derivaci funkce a vypočítáme její hodnotu at x = 1:

Proto druhou postačující podmínkou pro extrém, x=1- maximální bod. Pak - maximální funkce.

Grafické znázornění.

Odpovědět:

Třetí postačující podmínka pro extrém funkce.

Nechte funkci y=f(x) má deriváty až n-tý řád v -okolí bodu a derivace až n+1-tý řád v samotném bodě. Nech to být.

Příklad.

Najděte extrémní body funkce .

Řešení.

Původní funkce je racionální celá funkce, její doménou definice je celá množina reálných čísel.

Rozlišme funkci:

Derivace jde na nulu at jde tedy o body možného extrému. Použijme třetí postačující podmínku pro extrém.

Najdeme druhou derivaci a vypočítáme její hodnotu v bodech možného extrému (vynecháme mezivýpočty):

V důsledku toho je maximální bod (pro třetí dostatečný znak extrému, který máme n=1 A ).

Chcete-li zjistit povahu bodů najdeme třetí derivaci a vypočítáme její hodnotu v těchto bodech:

Je tedy inflexní bod funkce ( n=2 A ).

Zbývá se vypořádat s pointou. Najdeme čtvrtou derivaci a vypočítáme její hodnotu v tomto bodě:

Proto je minimální bod funkce.

Grafické znázornění.

Odpovědět:

Maximální bod je minimální bod funkce.

10. Extrémy funkce Definice extrému

Je volána funkce y = f(x). vzrůstající (klesající) v určitém intervalu, pokud pro x 1< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x 2)).

Jestliže diferencovatelná funkce y = f(x) na intervalu roste (klesá), pak její derivace na tomto intervalu f " (x)  0

(f " (x)  0).

Tečka X Ó volal místní maximální bod (minimální) funkce f(x), pokud existuje okolí bodu X Ó, pro všechny body, pro které platí nerovnost f(x) ≤ f(x о) (f(x) ≥ f(x о)).

Jsou volány maximální a minimální body extrémní body a hodnoty funkce v těchto bodech jsou její extrémy.

Extrémní body

Nutné podmínky pro extrém. Pokud bod X Ó je extrémním bodem funkce f(x), pak buď f " (x o) = 0, nebo f (x o) neexistuje. Takové body se nazývají kritický, a samotná funkce je definována v kritickém bodě. Extrémy funkce je třeba hledat mezi jejími kritickými body.

První postačující podmínka. Nechat X Ó- kritický bod. Pokud f "(x) při průjezdu bodem X Ó změní znaménko plus na mínus a poté na bod X Ó funkce má maximum, jinak má minimum. Pokud při průchodu kritickým bodem derivace nezmění znaménko, pak v bodě X Ó neexistuje žádný extrém.

Druhá postačující podmínka. Nechť funkce f(x) má derivaci f " (x) v blízkosti bodu X Ó a druhá derivace v samotném bodě X Ó. Pokud f "(x o) = 0, >0 (