Iz ovog članka čitatelj će saznati šta je ekstremum funkcionalne vrijednosti, kao i o značajkama njegove upotrebe u praktičnim aktivnostima. Proučavanje takvog koncepta izuzetno je važno za razumijevanje osnova više matematike. Ova tema je fundamentalna za dublje proučavanje predmeta.
U kontaktu sa
Šta je ekstrem?U školskom kursu se daju mnoge definicije pojma „ekstremum“. Ovaj članak ima za cilj da pruži najdublje i najjasnije razumijevanje pojma za one koji ne poznaju ovo pitanje. Dakle, pod pojmom se podrazumijeva u kojoj mjeri funkcionalni interval poprima minimalnu ili maksimalnu vrijednost na određenom skupu.
Ekstremum je istovremeno i minimalna vrijednost funkcije i maksimum. Postoji minimalna i maksimalna tačka, odnosno ekstremne vrijednosti argumenta na grafu. Glavne nauke koje koriste ovaj koncept su:
- statistika;
- upravljanje mašinama;
- ekonometrija.
Ekstremne tačke igraju važnu ulogu u određivanju redosleda date funkcije. Koordinatni sistem na grafu u svom najboljem izdanju pokazuje promjenu ekstremnog položaja ovisno o promjeni funkcionalnosti.
Ekstremi funkcije derivacijePostoji i takav fenomen kao "derivat". Potrebno je odrediti tačku ekstrema. Važno je ne brkati minimalne ili maksimalne bodove sa najvišim i najnižim vrijednostima. To su različiti koncepti, iako mogu izgledati slično.
Vrijednost funkcije je glavni faktor u određivanju kako pronaći maksimalnu tačku. Derivat se ne formira iz vrijednosti, već isključivo iz svoje krajnje pozicije u jednom ili drugom redu.
Sam derivat se određuje na osnovu ovih ekstremnih tačaka, a ne na osnovu najveće ili najmanje vrednosti. U ruskim školama granica između ova dva koncepta nije jasno povučena, što utiče na razumijevanje ove teme općenito.
Razmotrimo sada takav koncept kao "akutni ekstremum". Danas postoji akutna minimalna vrijednost i akutna maksimalna vrijednost. Definicija je data u skladu sa ruskom klasifikacijom kritičnih tačaka funkcije. Koncept tačke ekstrema je osnova za pronalaženje kritičnih tačaka na grafu.
Da bi definisali takav koncept, pribegavaju upotrebi Fermaove teoreme. Najvažnija je u proučavanju ekstremnih tačaka i daje jasnu predstavu o njihovom postojanju u ovom ili onom obliku. Da bi se osigurala ekstremnost, važno je stvoriti određene uvjete za smanjenje ili povećanje na grafikonu.
Da biste precizno odgovorili na pitanje "kako pronaći maksimalnu točku", morate slijediti ove smjernice:
Pažnja! Traganje za kritičnom tačkom funkcije moguće je samo ako postoji izvod najmanje drugog reda, što je osigurano visokim udjelom prisutnosti tačke ekstrema.
Neophodan uslov za ekstremum funkcijeDa bi postojao ekstrem, važno je da postoje i minimalne i maksimalne tačke. Ako se ovo pravilo poštuje samo djelimično, onda je uslov za postojanje ekstrema narušen.
Svaka funkcija u bilo kojoj poziciji mora biti diferencirana kako bi se identificirala njena nova značenja. Važno je shvatiti da slučaj kada tačka ide na nulu nije glavni princip za pronalaženje diferencijabilne tačke.
Akutni ekstrem, kao i minimum funkcije, izuzetno je važan aspekt rješavanja matematičkog problema korištenjem ekstremnih vrijednosti. Da biste bolje razumjeli ovu komponentu, važno je obratiti se na tablične vrijednosti za specifikaciju funkcionalnosti.
| Istraživanje punog značenja | Iscrtavanje grafa vrijednosti |
| 1. Određivanje tačaka rastućih i opadajućih vrijednosti. 2. Pronalaženje tačaka diskontinuiteta, ekstremuma i sjecišta s koordinatnim osa. 3. Proces određivanja promjena položaja na grafu. 4. Određivanje indikatora i smjera konveksnosti i konveksnosti, uzimajući u obzir prisustvo asimptota. 5. Izrada zbirne tabele istraživanja sa stanovišta određivanja njenih koordinata. 6. Pronalaženje intervala povećanja i smanjenja ekstremnih i oštrih tačaka. 7. Određivanje konveksnosti i konkavnosti krive. 8. Iscrtavanje grafikona uzimajući u obzir istraživanje omogućava vam da pronađete minimum ili maksimum. |
Glavni element kada je potrebno raditi sa ekstremnim tačkama je tačna konstrukcija njegovog grafikona. Školski nastavnici često ne obraćaju maksimalnu pažnju na tako važan aspekt, koji predstavlja grubo kršenje obrazovnog procesa. Konstrukcija grafikona se dešava samo na osnovu rezultata proučavanja funkcionalnih podataka, identifikovanja akutnih ekstrema, kao i tačaka na grafu. Oštri ekstremi funkcije derivacije se prikazuju na dijagramu tačnih vrijednosti, koristeći standardnu proceduru za određivanje asimptota. Maksimalne i minimalne tačke funkcije praćene su složenijim konstrukcijama grafova. To je zbog dublje potrebe za rješavanjem problema akutnog ekstremuma. Također je potrebno pronaći derivaciju složene i jednostavne funkcije, jer je to jedan od najvažnijih pojmova u problemu ekstremuma. |
Da biste pronašli gornju vrijednost, morate se pridržavati sljedećih pravila:
- odrediti neophodan uslov za ekstremnu relaciju;
- uzeti u obzir dovoljan uslov ekstremnih tačaka na grafu;
- izvršiti proračun akutnog ekstremuma.
Koriste se i koncepti kao što su slab minimum i jak minimum. Ovo se mora uzeti u obzir prilikom određivanja ekstrema i njegovog tačnog izračuna. Istovremeno, akutna funkcionalnost je traženje i stvaranje svih potrebnih uslova za rad sa grafom funkcije.
U julu 2020. NASA pokreće ekspediciju na Mars. Letelica će na Mars isporučiti elektronski medij sa imenima svih registrovanih učesnika ekspedicije.
Registracija učesnika je otvorena. Nabavite svoju kartu za Mars koristeći ovaj link.
Ako je ova objava riješila vaš problem ili vam se jednostavno svidjela, podijelite link do nje sa svojim prijateljima na društvenim mrežama.
Jednu od ovih opcija koda potrebno je kopirati i zalijepiti u kod vaše web stranice, po mogućnosti između oznaka i ili odmah nakon oznake. Prema prvoj opciji, MathJax se brže učitava i manje usporava stranicu. Ali druga opcija automatski prati i učitava najnovije verzije MathJaxa. Ako unesete prvi kod, morat ćete ga povremeno ažurirati. Ako umetnete drugi kod, stranice će se učitavati sporije, ali nećete morati stalno pratiti ažuriranja MathJaxa.
Najlakši način za povezivanje MathJax-a je u Blogger-u ili WordPress-u: u kontrolnu ploču web-mjesta dodajte widget dizajniran za umetanje JavaScript koda treće strane, kopirajte prvu ili drugu verziju koda za preuzimanje prikazanog iznad u njega i postavite widget bliže na početak šablona (usput, to uopće nije potrebno, pošto se MathJax skripta učitava asinhrono). To je sve. Sada naučite sintaksu označavanja MathML-a, LaTeX-a i ASCIIMathML-a i spremni ste da umetnete matematičke formule u web stranice svoje web stranice.
Još jedna novogodišnja noć... mrazno vrijeme i pahulje na prozorskom staklu... Sve me to natjeralo da ponovo pišem o... fraktalima, i šta Wolfram Alpha zna o njima. Postoji zanimljiv članak o ovoj temi, koji sadrži primjere dvodimenzionalnih fraktalnih struktura. Ovdje ćemo pogledati složenije primjere trodimenzionalnih fraktala.
Fraktal se može vizualno predstaviti (opisati) kao geometrijska figura ili tijelo (što znači da su oboje skup, u ovom slučaju skup tačaka), čiji detalji imaju isti oblik kao i sama originalna figura. Odnosno, ovo je samoslična struktura, ispitujući detalje čije ćemo uvećanje vidjeti isti oblik kao bez povećanja. Dok u slučaju obične geometrijske figure (ne fraktala), nakon povećanja ćemo vidjeti detalje koji imaju jednostavniji oblik od same originalne figure. Na primjer, pri dovoljno velikom povećanju, dio elipse izgleda kao segment prave linije. To se ne dešava sa fraktalima: sa svakim njihovim povećanjem, ponovo ćemo videti isti složeni oblik, koji će se ponavljati iznova i iznova sa svakim povećanjem.
Benoit Mandelbrot, osnivač nauke o fraktalima, napisao je u svom članku Fraktali i umjetnost u ime nauke: „Fraktali su geometrijski oblici koji su složeni u svojim detaljima kao i po svom cjelokupnom obliku će biti uvećan na veličinu cjeline, izgledat će kao cjelina, ili tačno, ili možda s malom deformacijom."
Također možemo reći da se u tim točkama mijenja smjer kretanja funkcije: ako funkcija prestane da pada i počne rasti, ovo je tačka minimuma, naprotiv, to je tačka maksimuma.
Minimum i maksimum zajedno nazivaju se ekstremima funkcije.Drugim riječima, svih pet tačaka istaknutih u gornjem grafikonu su ekstremi.
Zahvaljujući tome, pronalaženje ovih tačaka nije problem, čak i ako nemate graf funkcije.
Pažnja! Kad pišu ekstremi ili maksimumi/minimumi znače vrijednost funkcije tj. \(y\). Kad pišu ekstremne tačke ili tačke maksimuma/minimuma znače Xs na kojima se dostižu maksimumi/minimumi. Na primjer, na gornjoj slici, \(-5\) je minimalna tačka (ili tačka ekstrema), a \(1\) je minimum (ili ekstrem).
Kako pronaći tačke ekstrema funkcije iz grafa derivacije (zadatak Jedinstvenog državnog ispita 7)?Nađimo zajedno broj točaka ekstrema funkcije koristeći graf derivacije koristeći primjer:
Dobili smo graf, što znači da tražimo u kojim tačkama na grafu je izvod jednak nuli. Očigledno, ovo su tačke \(-13\), \(-11\), \(-9\), \(-7\) i \(3\). Broj točaka ekstrema funkcije je \(5\).
Pažnja! Ako je dat raspored derivat funkcije, ali morate pronaći ekstremne tačke funkcije, ne računamo maksimume i minimume izvoda! Brojimo tačke u kojima derivacija funkcije nestaje (tj. siječe osu \(x\).).
Da biste odgovorili na ovo pitanje, morate zapamtiti još dva važna pravila:
- Izvod je pozitivan tamo gdje se funkcija povećava.- Izvod je negativan tamo gdje funkcija opada.
Koristeći ova pravila, pronađimo minimalnu i maksimalnu tačku funkcije na grafu derivacije.
Jasno je da se minimumi i maksimumi moraju tražiti među tačkama ekstrema, tj. između \(-13\), \(-11\), \(-9\), \(-7\) i \(3\).
Da bismo lakše riješili problem, postavimo prvo na slici znak plus i minus koji označava predznak derivacije. Zatim strelice - koje označavaju rastuće i opadajuće funkcije.
Počnimo sa \(-13\): do \(-13\) izvod je pozitivan, tj. funkcija raste, tada je izvod negativan tj. funkcija pada. Ako ovo zamislite, postaje jasno da je \(-13\) maksimalna tačka.
\(-11\): izvod je prvo pozitivan, a zatim negativan, što znači da funkcija raste, a zatim opada. Opet, pokušajte to mentalno nacrtati i bit će vam očigledno da je \(-11\) minimum.
\(- 9\): funkcija se povećava, a zatim smanjuje - maksimalno.
\(-7\): minimum.
\(3\): maksimalno.
Sve navedeno može se sažeti sljedećim zaključcima:
- Funkcija ima maksimum gdje je izvod nula i mijenja predznak iz plusa u minus.- Funkcija ima minimum gdje je izvod nula i mijenja predznak iz minusa u plus. Kako pronaći tačke maksimuma i minimuma ako je poznata formula funkcije (12 zadatak Jedinstvenog državnog ispita)?
Da biste odgovorili na ovo pitanje, morate učiniti isto kao u prethodnom pasusu: pronaći gdje je izvod pozitivan, gdje negativan, a gdje nula. Da bude jasnije, napisat ću algoritam s primjerom rješenja:
- ako je \(f’(x)\) promijenio znak iz “\(+\)” u “\(-\)”, tada je \(x_1\) maksimalna tačka;
- ako je \(f’(x)\) promijenio predznak iz “\(-\)” u “\(+\)”, tada je \(x_3\) minimalna tačka;
- ako \(f’(x)\) nije promijenio predznak, onda \(x_2\) može biti tačka pregiba.
Sve! Pronađene su maksimalne i minimalne tačke.
Kada se prikazuju tačke na osi u kojima je derivacija jednaka nuli, skala se može zanemariti. Ponašanje funkcije može se prikazati kao što je prikazano na donjoj slici. Tako će biti jasnije gdje je maksimum, a gdje minimum.
Primjer(UPOTREBA). Pronađite maksimalnu tačku funkcije \(y=3x^5-20x^3-54\).
Rješenje:
1. Pronađite izvod funkcije: \(y"=15x^4-60x^2\).
2. Izjednačimo ga sa nulom i riješimo jednačinu:
\(15x^4-60x^2=0\) \(|:15\)
\(x^4-4x^2=0\)
\(x^2 (x^2-4)=0\)
\(x=0\) \(x^2-4=0\)
\(x=±2\)
3. – 6. Nacrtajmo tačke na brojevnoj pravoj i odredimo kako se mijenja predznak derivacije i kako se funkcija kreće:
Sada je očigledno da je maksimalna tačka \(-2\).
Odgovori. \(-2\).
Prije nego što naučite kako pronaći ekstreme funkcije, morate razumjeti šta je ekstrem. Najopštija definicija ekstremuma je da je on, kako se koristi u matematici, najmanja ili najveća vrijednost funkcije na određenom skupu brojevne prave ili grafa. Na mjestu gdje se nalazi minimum pojavljuje se minimalni ekstrem, a gdje se nalazi maksimum pojavljuje se maksimalni ekstrem. Također u takvoj disciplini kao što je matematička analiza, identificiraju se lokalni ekstremi funkcije. Pogledajmo sada kako pronaći ekstremne tačke.
Ekstremi u matematici su među najvažnijim karakteristikama funkcije; oni pokazuju njene najveće i najmanje vrijednosti. Ekstremi se nalaze uglavnom na kritičnim tačkama funkcija koje se nalaze. Vrijedi napomenuti da je u točki ekstrema funkcija radikalno mijenja svoj smjer. Ako izračunate derivaciju tačke ekstrema, tada bi, prema definiciji, trebala biti jednaka nuli ili će biti potpuno odsutna. Dakle, da biste saznali kako pronaći ekstremum funkcije, morate izvršiti dva uzastopna zadatka:
- pronaći izvod za funkciju koju treba odrediti zadatkom;
- pronađite korijene jednačine.
Da sumiramo stečeno znanje, napravićemo kratak algoritam kako pronaći ekstremne tačke.
Dakle, pogledali smo kako pronaći ekstremne tačke funkcije. Uz pomoć jednostavnih proračuna, kao i znanja o pronalaženju izvoda, možete pronaći bilo koji ekstremum i izračunati ga, kao i grafički ga označiti. Pronalaženje ekstrema jedan je od najvažnijih odjeljaka matematike, kako u školi tako iu visokom obrazovanju, stoga, ako naučite da ih ispravno identificirate, učenje će postati mnogo lakše i zanimljivije.
Kao što vidite, ovaj znak ekstremuma funkcije zahtijeva postojanje derivata barem drugog reda u tački.
Primjer.
Pronađite ekstreme funkcije.
Rješenje.
Počnimo s domenom definicije: 
Hajde da razlikujemo originalnu funkciju: 
x=1, odnosno ovo je tačka mogućeg ekstremuma. Pronalazimo drugi izvod funkcije i izračunavamo njegovu vrijednost na x = 1:
Prema tome, prema drugom dovoljnom uslovu za ekstrem, x=1- maksimalni poen. Onda 
- maksimalna funkcija.
Grafička ilustracija.
odgovor:
Neka funkcija y=f(x) ima derivate do n-ti red u -susedstvu tačke i izvedenice do n+1-ti red u samoj tački. Neka bude.
Primjer.
Pronađite ekstremne tačke funkcije 
.
Rješenje.
Originalna funkcija je racionalna cijela funkcija, njen domen definicije je cijeli skup realnih brojeva.
Hajde da razlikujemo funkciju: 
Izvod ide na nulu u 
, dakle, ovo su tačke mogućeg ekstremuma. Koristimo treći dovoljan uslov za ekstrem.
Pronalazimo drugu derivaciju i izračunavamo njenu vrijednost u tačkama mogućeg ekstremuma (izostavićemo međuproračune): 
Prema tome, je maksimalna tačka (za treći dovoljan znak ekstremuma imamo n=1 i ).
Da saznate prirodu tačaka 
nalazimo treći izvod i izračunavamo njegovu vrijednost u ovim tačkama: 
Prema tome, je tačka infleksije funkcije ( n=2 i ).
Ostaje da se pozabavimo poentom. Pronađite četvrti izvod i izračunajte njegovu vrijednost u ovoj tački: 
Dakle, to je minimalna tačka funkcije.
Grafička ilustracija.
odgovor:
Maksimalna tačka je minimalna tačka funkcije.
10. Ekstremi funkcije Definicija ekstremaPoziva se funkcija y = f(x). povećanje (opadajući) u određenom intervalu, ako je za x 1< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x 2)).
Ako se diferencijabilna funkcija y = f(x) povećava (smanjuje) na intervalu, tada je njen izvod na ovom intervalu f " (x) 0
(f " (x) 0).
Dot x O pozvao lokalna maksimalna tačka (minimum) funkcija f(x), ako postoji susjedstvo tačke x O, za sve tačke za koje je tačna nejednakost f(x) ≤ f(x o) (f(x) ≥ f(x o)).
Pozivaju se maksimalne i minimalne tačke ekstremne tačke, a vrijednosti funkcije u tim točkama su njene ekstremi.
Ekstremne tačkeNeophodni uslovi za ekstrem. Ako je poenta x O je tačka ekstrema funkcije f(x), tada je ili f " (x o) = 0, ili f (x o) ne postoji. Takve tačke se nazivaju kritičan, a sama funkcija je definirana u kritičnoj tački. Ekstreme funkcije treba tražiti među njenim kritičnim tačkama.
Prvi dovoljan uslov. Neka x O- kritična tačka. Ako je f "(x) prilikom prolaska kroz tačku x O mijenja znak plus u minus, a zatim u tački x O funkcija ima maksimum, inače ima minimum. Ako pri prolasku kroz kritičnu tačku derivacija ne promijeni predznak, onda u tački x O nema ekstrema.
Drugi dovoljan uslov. Neka funkcija f(x) ima izvod f" (x) u blizini tačke x O a drugi izvod u samoj tački x O. Ako je f "(x o) = 0, >0 (
