Derivat eksponencijala na x potenciju. Derivat e na stepen x i eksponencijalna funkcija Derivat funkcije e na stepen x

Mnogi brojevi su svoju veličinu i praznovjerno značenje stekli u davna vremena. Danas im se dodaju novi mitovi. Postoje mnoge legende o broju pi poznati Fibonačijevi brojevi nisu mnogo manje poznati od njega. Ali možda najviše iznenađuje broj e, bez koje ne može savremena matematika, fizike, pa čak i ekonomije.

Aritmetička vrijednost e je približno 2,718. Zašto ne tačno, već otprilike? Budući da je ovaj broj iracionalan i transcendentalan, ne može se izraziti kao razlomak s prirodnim cijelim brojevima ili polinomom s racionalnim koeficijentima. Za većinu proračuna dovoljna je navedena tačnost od 2,718, iako savremeni nivo računarske tehnologije omogućava da se njena vrednost odredi sa tačnošću većom od triliona decimalnih mesta.

Glavna karakteristika broja e je da je izvod njegove eksponencijalne funkcije f (x) = e x jednak vrijednosti same funkcije e x. Nijedan drugi matematički odnos nema tako neobično svojstvo. Razgovarajmo o ovome malo detaljnije.

Šta je granica

Prvo, hajde da razumemo koncept granice. Razmotrimo neki matematički izraz, na primjer, i = 1/n. Možete vidjeti, da kako se "n" povećava", vrijednost "i" će se smanjiti, a kako "n" teži beskonačnosti (što je označeno znakom ∞), "i" će težiti graničnoj vrijednosti (češće zvanoj jednostavno granica) jednakoj nuli. Izraz za granicu (označen kao lim) za slučaj koji se razmatra može se napisati kao lim n →∞ (1/ n) = 0.

Postoje različita ograničenja za različite izraze. Jedna od ovih granica, uključena u sovjetske i ruske udžbenike kao druga izuzetna granica, je izraz lim n →∞ (1+1/ n) n. Već u srednjem vijeku ustanovljeno je da je granica ovog izraza broj e.

Prva izuzetna granica uključuje izraz lim n →∞ (Sin n / n) = 1.

Kako pronaći izvod od e x - u ovom videu.

Šta je derivacija funkcije

Da bismo objasnili pojam derivacije, treba se prisjetiti što je funkcija u matematici. Kako ne bismo zatrpavali tekst složenim definicijama, usredotočit ćemo se na intuitivni matematički koncept funkcije, koji se sastoji u tome da u njoj jedna ili više veličina u potpunosti određuju vrijednost druge veličine ako su međusobno povezane. Na primjer, u formuli S = π ∙ r 2 površina kruga, vrijednost polumjera r potpuno i jedinstveno određuje površinu kružnice S.

U zavisnosti od tipa, funkcije mogu biti algebarske, trigonometrijske, logaritamske itd. Mogu imati dva, tri ili više argumenata međusobno povezanih. Na primjer, pređeni put S, koji je predmet prešao ravnomjerno ubrzanom brzinom, opisuje se funkcijom S = 0,5 ∙ a ∙ t 2 + V ∙ t, gdje je “t” vrijeme kretanja, argument “a ” je ubrzanje (može biti pozitivna ili negativna vrijednost), a “V” je početna brzina kretanja. Dakle, prijeđena udaljenost ovisi o vrijednostima tri argumenta, od kojih su dva (“a” i “V”) konstantna.

Koristimo ovaj primjer da demonstriramo elementarni koncept derivacije funkcije. Karakterizira brzinu promjene funkcije u datoj tački. U našem primjeru, to će biti brzina kretanja objekta u određenom trenutku. Sa konstantama “a” i “V” zavisi samo od vremena “t”, odnosno, naučnim jezikom, potrebno je uzeti derivaciju funkcije S u odnosu na vrijeme “t”.

Ovaj proces se zove diferencijacija i izvodi se izračunavanjem granice omjera rasta funkcije i rasta njenog argumenta za zanemarljivo mali iznos. Rješavanje takvih problema za pojedinačne funkcije često je teško i ovdje se ne raspravlja. Također je vrijedno napomenuti da neke funkcije u određenim tačkama uopće nemaju takva ograničenja.

U našem primjeru, derivat S tokom vremena “t” će poprimiti oblik S" = ds/dt = a ∙ t + V, iz čega se može vidjeti da se brzina S" mijenja po linearnom zakonu u zavisnosti od "t".

Derivat eksponenta

Eksponencijalna funkcija se naziva eksponencijalna funkcija, čija je osnova broj e. Obično se prikazuje u obliku F (x) = e x, gdje je eksponencija x promjenjiva veličina. Ova funkcija ima potpunu diferencijabilnost u cijelom rasponu realnih brojeva. Kako x raste, on se stalno povećava i uvijek je veći od nule. Njegova inverzna funkcija je logaritam.

Čuveni matematičar Tejlor uspeo je da proširi ovu funkciju u niz nazvan po njemu e x = 1 + x/1! + x 2 /2! + x 3 /3! + … u rasponu x od - ∞ do + ∞.

Zakon zasnovan na ovoj funkciji, naziva se eksponencijalna. On opisuje:

• povećanje složenih bankarskih kamatnih stopa;
• povećanje životinjske populacije i globalne populacije;
• rigor mortis time i još mnogo toga.

Ponovimo još jednom izvanredno svojstvo ove zavisnosti - vrijednost njenog izvoda u bilo kojoj tački uvijek je jednaka vrijednosti funkcije u ovoj tački, odnosno (e x)" = e x.

Predstavimo derivate za najopćenitije slučajeve eksponencijala:

• (e ax)" = a ∙ e ax ;
• (e f (x))" = f"(x) ∙ e f (x) .

Koristeći ove zavisnosti, lako je pronaći derivate za druge određene tipove ove funkcije.

Nekoliko zanimljivih činjenica o broju e

Imena naučnika kao što su Napier, Oughtred, Huygens, Bernoulli, Leibniz, Newton, Euler i drugi povezani su sa ovim brojem. Potonji je zapravo uveo oznaku e za ovaj broj, a također je pronašao prvih 18 znakova, koristeći niz e = 1 + 1/1 koji je otkrio za izračunavanje! + 2/2! + 3/3! ...

Broj e pojavljuje se na najneočekivanijim mjestima. Na primjer, uključen je u jednadžbu lančane mreže, koja opisuje progib užeta pod vlastitom težinom kada su njegovi krajevi pričvršćeni na nosače.

Video

Tema video lekcije je izvod eksponencijalne funkcije.

Dokaz i izvođenje formula za izvod eksponencijala (e na x stepen) i eksponencijalne funkcije (a na x stepen). Primjeri izračunavanja derivata e^2x, e^3x i e^nx. Formule za derivate višeg reda.

Sadržaj

Vidi također: Eksponencijalna funkcija - svojstva, formule, graf
Eksponent, e na x stepen - svojstva, formule, graf

Osnovne formule

Izvod eksponenta jednak je samom eksponentu (izvod e na x stepen je jednak e na x stepen):
(1) (e x )′ = e x.

Izvod eksponencijalne funkcije s bazom a jednak je samoj funkciji pomnoženoj prirodnim logaritmom a:
(2) .

Eksponencijalna je eksponencijalna funkcija čija je baza snage jednaka broju e, što je sljedeća granica:
.
Ovdje to može biti prirodan ili realan broj. Zatim ćemo izvesti formulu (1) za izvod eksponencijala.

Izvođenje formule eksponencijalnog izvoda

Razmotrimo eksponencijal, e na x potenciju:
y = e x .
Ova funkcija je definirana za svakoga. Nađimo njen izvod u odnosu na varijablu x. Po definiciji, derivat je sljedeća granica:
(3) .

Transformirajmo ovaj izraz da ga svedemo na poznata matematička svojstva i pravila. Za ovo su nam potrebne sljedeće činjenice:
A) Svojstvo eksponenta:
(4) ;
B) Svojstvo logaritma:
(5) ;
IN) Kontinuitet logaritma i svojstvo granica za kontinuiranu funkciju:
(6) .
Ovdje je funkcija koja ima ograničenje i ovo ograničenje je pozitivno.
G) Značenje druge izuzetne granice:
(7) .

Primijenimo ove činjenice do naše granice (3). Koristimo imovinu (4):
;
.

Hajde da napravimo zamenu. Onda ; .
Zbog kontinuiteta eksponencijala,
.
Stoga, kada , . Kao rezultat dobijamo:
.

Hajde da napravimo zamenu. Onda . U , . i imamo:
.

Primijenimo svojstvo logaritma (5):
. Onda
.

Primijenimo svojstvo (6). Pošto postoji pozitivna granica i logaritam je kontinuiran, onda:
.
Ovdje smo također koristili drugu izuzetnu granicu (7). Onda
.

Tako smo dobili formulu (1) za izvod eksponencijala.

Derivacija formule za izvod eksponencijalne funkcije

Sada izvodimo formulu (2) za izvod eksponencijalne funkcije sa bazom stepena a. Vjerujemo da i . Zatim eksponencijalna funkcija
(8)
Definisano za sve.

Transformirajmo formulu (8). Da bismo to učinili, koristit ćemo svojstva eksponencijalne funkcije i logaritma.
;
.
Dakle, transformisali smo formulu (8) u sledeći oblik:
.

Derivati ​​višeg reda od e na x stepen

Sada pronađimo derivate viših redova. Pogledajmo prvo eksponent:
(14) .
(1) .

Vidimo da je derivacija funkcije (14) jednaka samoj funkciji (14). Diferencirajući (1), dobijamo derivate drugog i trećeg reda:
;
.

Ovo pokazuje da je izvod n-tog reda također jednak originalnoj funkciji:
.

Izvodi višeg reda eksponencijalne funkcije

Sada razmotrite eksponencijalnu funkciju sa osnovom stepena a:
.
Našli smo njen derivat prvog reda:
(15) .

Diferenciranjem (15) dobijamo derivate drugog i trećeg reda:
;
.

Vidimo da svaka diferencijacija vodi do množenja originalne funkcije sa . Dakle, izvod n-tog reda ima sljedeći oblik:
.

Vidi također:

Osnovni koncepti

Prije nego što ispitamo pitanje derivacije eksponencijala na stepen $x$, podsjetimo se definicija

1. funkcije;
2. granica sekvence;
3. derivat;
4. izlagači.

Ovo je neophodno za jasno razumevanje derivacije eksponencijala na stepen od $x$.

Definicija 1

Funkcija je odnos između dvije varijable.

Uzmimo $y=f(x)$, gdje su $x$ i $y$ varijable. Ovdje se $x$ naziva argumentom, a $y$ je funkcija. Argument može poprimiti proizvoljne vrijednosti. Zauzvrat, varijabla $y$ mijenja se prema određenom zakonu ovisno o argumentu. To jest, argument $x$ je nezavisna varijabla, a funkcija $y$ je zavisna varijabla. Za bilo koju vrijednost $x$ postoji jedinstvena vrijednost $y$.

Ako je, na osnovu nekog zakona, svaki prirodni broj $n=1, 2, 3, ...$ povezan sa brojem $x_n$, onda kažemo da je niz brojeva $x_1,x_2,..., x_n$ je definiran. Inače, takav niz se piše kao $\(x_n\)$. Svi brojevi $x_n$ nazivaju se članovima ili elementima niza.

Definicija 2

Granica niza je konačna ili beskonačno udaljena tačka brojevne prave. Ograničenje se piše na sljedeći način: $\lim x_n = \lim\limits_(n\to\infty)x_n = a$. Ova notacija znači da varijabla $x_n$ teži ka $a$ $x_n\a$.

Derivat funkcije $f$ u tački $x_0$ naziva se sljedeća granica:

$\lim\limits_(x\to x_0)\frac(f(x) - f(x_o))(x-x_o)$. Označava se sa $f"(x_0)$.

Broj $e$ jednak je sljedećem limitu:

$e=\lim\limits_(x\to\infty) (1+\frac(1)(n))\approx2.718281828459045...$

U ovoj granici, $n$ je prirodan ili realan broj.

Pošto smo savladali koncepte granice, izvoda i eksponenta, možemo početi dokazivati ​​formulu $(e^x)"=e^x$.

Derivacija derivacije eksponencijala na stepen $x$

Imamo $e^x$, gdje je $x: -\infty

$y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(x+\Delta x)-e^x)(\Delta x)$.

Svojstvom eksponenta $e^(a+bx)=e^a*e^b$ možemo transformisati brojilac granice:

$e^(x+\Delta x)-e^x = e^x*e^(\Delta x)-e^x = e^x(e^(\Delta x)-1)$.

To jest, $y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(x+\Delta x)-e^x)(\Delta x)=\lim\limits_(\Delta x\ do 0) \frac(e^x(e^(\Delta x)-1))(\Delta x)$.

Označimo $t=e^(\Delta x)-1$. Dobijamo $e^(\Delta x)=t+1$, a prema svojstvu logaritma ispada da je $\Delta x = ln(t+1)$.

Pošto je eksponencijal kontinuiran, imamo $\lim\limits_(\Delta x\to 0) e^(\Delta x)=e^0=1.$ Dakle, ako je $\Delta x\to 0$, onda je $ t \ do 0$.

Kao rezultat, prikazujemo transformaciju:

$y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(\Delta x)-1)(\Delta x)=e^x\lim\limits_(t\do 0)\frac (t)(ln(t+1))$.

Označimo $n=\frac (1)(t)$, zatim $t=\frac(1)(n)$. Ispada da ako je $t\to 0$, onda $n\to\infty$.

Transformirajmo naše ograničenje:

$y"=e^x\lim\limits_(t\do 0)\frac(t)(ln(t+1))=e^x\lim\limits_(n\to\infty)\frac(1) (n\cdot ln(\frac(1)(n)+1)^n)$.

Po svojstvu logaritma $b\cdot ln c=ln c^b$ imamo

$n\cdot ln (\frac(1)(n)+1)=ln(\frac(1)(n)+1)^n=ln(1+\frac(1)(n))^n$ .

Ograničenje se pretvara na sljedeći način:

$y"=e^x\lim\limits_(n\to\infty)\frac(1)(n\cdot ln(\frac(1)(n)+1)) = e^x\lim\limits_( n\to\infty)\frac(1)(ln(\frac(1)(n)+1)^n)= e^x\frac(1)(\lim\limits_(n\to\infty) ln (\frac(1)(n)+1)^n)$.

Prema svojstvu kontinuiteta logaritma i svojstvu granica za kontinuiranu funkciju: $\lim\limits_(x\to x_0)ln(f(x))=ln(\lim\limits_f(x))$, gdje $f(x)$ ima pozitivnu granicu $\lim\limits_(x\to x_0)f(x)$. Dakle, zbog činjenice da je logaritam kontinuiran i da postoji pozitivna granica $\lim\limits_(n\to\infty)(\frac(1)(n)+1)^n$, možemo zaključiti:

$\lim\limits_(n\to\infty)ln(1+\frac(1)(n))^n=ln\lim\limits_(n\to\infty)ln(1+\frac(1)( n))^n=ln e=1$.

Koristimo vrijednost druge izvanredne granice $\lim\limits_(n\to\infty)(1+\frac(1)(n))^n=e$. Dobijamo:

$y"= e^x\frac(1)(\lim\limits_(n\to\infty) ln(\frac(1)(n)+1)^n) = e^x\cdot\frac(1 )(ln e) = e^x\cdot\frac(1)(1)=e^x$.

Dakle, izveli smo formulu za izvod eksponencijala i možemo tvrditi da je derivacija eksponencijala na stepen od $x$ ekvivalentna derivaciji eksponencijala na stepen od $x$:

Postoje i drugi načini da se ova formula izvede koristeći druge formule i pravila.

Primjer 1

Pogledajmo primjer pronalaženja derivacije funkcije.

Stanje: Pronađite izvod funkcije $y=2^x + 3^x + 10^x + e^x$.

Rješenje: Na pojmove $2^x, 3^x$ i $10^x$ primjenjujemo formulu $(a^x)"=a^x\cdot ln a$. Prema izvedenoj formuli $(e^x)" =e^x$ četvrti pojam $e^x$ se ne mijenja.

Odgovori: $y" = 2^x\cdot ln 2 + 3^x\cdot ln 3 + 10^x\cdot ln 10 + e^x$.

Dakle, izveli smo formulu $(e^x)"=e^x$, dajući definicije osnovnih pojmova, i analizirali primjer pronalaženja izvoda funkcije sa eksponentom kao jednim od pojmova.

Predstavljamo tabelu sažetka radi praktičnosti i jasnoće prilikom proučavanja teme.

Konstantnoy = C Funkcija snage y = x p (x p) " = p x p - 1	Eksponencijalna funkcijay = ax (a x) " = a x ln a Konkretno, kadaa = eimamo y = e x (e x) " = e x
Logaritamska funkcija (log a x) " = 1 x ln a Konkretno, kadaa = eimamo y = logx (ln x) " = 1 x	Trigonometrijske funkcije (sin x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x
Inverzne trigonometrijske funkcije (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2	Hiperboličke funkcije (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Hajde da analiziramo kako su dobijene formule navedene tabele ili, drugim rečima, dokazaćemo izvođenje derivacionih formula za svaki tip funkcije.

Derivat konstante

Dokazi 1

Da bismo izveli ovu formulu, uzimamo kao osnovu definiciju derivacije funkcije u tački. Koristimo x 0 = x, gdje x uzima vrijednost bilo kojeg realnog broja, ili, drugim riječima, x je bilo koji broj iz domene funkcije f (x) = C. Zapišimo granicu omjera prirasta funkcije i priraštaja argumenta kao ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Imajte na umu da izraz 0 ∆ x spada pod granični znak. To nije nesigurnost „nula podijeljena sa nulom“, jer brojnik ne sadrži beskonačno malu vrijednost, već upravo nulu. Drugim riječima, prirast konstantne funkcije je uvijek nula.

Dakle, derivacija konstantne funkcije f (x) = C jednaka je nuli u cijeloj domeni definicije.

Primjer 1

Konstantne funkcije su date:

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Rješenje

Hajde da opišemo date uslove. U prvoj funkciji vidimo izvod prirodnog broja 3. U sljedećem primjeru, trebate uzeti derivat od A, Gdje A- bilo koji pravi broj. Treći primjer nam daje derivaciju iracionalnog broja 4. 13 7 22, četvrti je izvod nule (nula je cijeli broj). Konačno, u petom slučaju imamo izvod racionalnog razlomka - 8 7.

odgovor: derivati ​​datih funkcija su nula za bilo koju realnu x(preko cijelog područja definicije)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Derivat funkcije stepena

Pređimo na funkciju stepena i formulu za njen izvod, koja ima oblik: (x p) " = p x p - 1, gdje je eksponent str je bilo koji realan broj.

Dokazi 2

Evo dokaza formule kada je eksponent prirodan broj: p = 1, 2, 3, …

Ponovo se oslanjamo na definiciju derivata. Zapišimo granicu omjera prirasta funkcije snage i prirasta argumenta:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Da bismo pojednostavili izraz u brojiocu, koristimo Newtonovu binomnu formulu:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

ovako:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (. C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . 1 + 0 + .

Tako smo dokazali formulu za izvod funkcije stepena kada je eksponent prirodan broj.

Dokazi 3

Da pruži dokaze za slučaj kada p- bilo kojeg realnog broja osim nule, koristimo logaritamski izvod (ovdje treba razumjeti razliku od izvoda logaritamske funkcije). Za potpunije razumijevanje, preporučljivo je proučavati izvod logaritamske funkcije i dalje razumjeti derivaciju implicitne funkcije i derivaciju kompleksne funkcije.

Razmotrimo dva slučaja: kada x pozitivno i kada x negativan.

Dakle, x > 0. Tada je: x p > 0 . Logaritirajmo jednakost y = x p na bazu e i primijenimo svojstvo logaritma:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

U ovoj fazi, dobili smo implicitno specificiranu funkciju. Definirajmo njegovu derivaciju:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

Sada razmatramo slučaj kada x – negativan broj.

Ako indikator str je paran broj, tada je funkcija stepena definirana za x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Tada je x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Ako str je neparan broj, tada je funkcija stepena definirana za x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1

Posljednji prijelaz je moguć zbog činjenice da ako str je onda neparan broj p - 1 bilo paran broj ili nula (za p = 1), dakle, za negativan x jednakost (- x) p - 1 = x p - 1 je tačna.

Dakle, dokazali smo formulu za izvod funkcije stepena za bilo koje realno p.

Primjer 2

Date funkcije:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Odredite njihove derivate.

Rješenje

Neke od datih funkcija transformiramo u tabelarni oblik y = x p , na osnovu svojstava stepena, a zatim koristimo formulu:

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Derivat eksponencijalne funkcije

Dokaz 4

Izvedemo formulu derivacije koristeći definiciju kao osnovu:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Imamo neizvjesnost. Da bismo ga proširili, napišimo novu varijablu z = a ∆ x - 1 (z → 0 kao ∆ x → 0). U ovom slučaju, a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Za posljednji prijelaz korištena je formula za prijelaz na novu logaritamsku bazu.

Zamijenimo u originalno ograničenje:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Sjetimo se druge izvanredne granice i tada ćemo dobiti formulu za izvod eksponencijalne funkcije:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

Primjer 3

Date su eksponencijalne funkcije:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Potrebno je pronaći njihove derivate.

Rješenje

Koristimo formulu za izvod eksponencijalne funkcije i svojstva logaritma:

f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Derivat logaritamske funkcije

Dokazi 5

Hajde da pružimo dokaz formule za izvod logaritamske funkcije za bilo koje x u domenu definicije i sve dozvoljene vrijednosti osnove a logaritma. Na osnovu definicije derivacije dobijamo:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

Iz naznačenog lanca jednakosti jasno je da su se transformacije bazirale na svojstvu logaritma. Jednakost lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e je tačna u skladu sa drugom značajnom granicom.

Primjer 4

Logaritamske funkcije su date:

f 1 (x) = log ln 3 x , f 2 (x) = ln x

Potrebno je izračunati njihove derivate.

Rješenje

Primijenimo izvedenu formulu:

f 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; f 2 " (x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x

Dakle, izvod prirodnog logaritma je jedan podijeljen sa x.

Derivati ​​trigonometrijskih funkcija

Dokaz 6

Koristimo neke trigonometrijske formule i prvu divnu granicu da izvedemo formulu za izvod trigonometrijske funkcije.

Prema definiciji derivacije sinusne funkcije, dobijamo:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Formula za razliku sinusa omogućit će nam da izvršimo sljedeće radnje:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Konačno, koristimo prvu divnu granicu:

sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Dakle, derivacija funkcije sin xće cos x.

Također ćemo dokazati formulu za izvod kosinusa:

cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

One. derivacija funkcije cos x će biti – sin x.

Izvodimo formule za izvode tangente i kotangensa na osnovu pravila diferencijacije:

t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Derivati ​​inverznih trigonometrijskih funkcija

Odjeljak o izvodu inverznih funkcija pruža opsežne informacije o dokazu formula za izvode arksinusa, arkosinusa, arktangensa i arkkotangensa, tako da ovdje nećemo duplicirati materijal.

Derivati ​​hiperboličkih funkcija

Dokazi 7

Formule za izvode hiperboličkog sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa možemo izvesti koristeći pravilo diferencijacije i formulu za izvod eksponencijalne funkcije:

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Prilikom izvođenja prve formule tablice, polazit ćemo od definicije derivacijske funkcije u tački. Hajde da uzmemo gde x– bilo koji realan broj, tj. x– bilo koji broj iz domene definicije funkcije. Zapišimo granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta na :

Treba napomenuti da se pod graničnim znakom dobija izraz, koji nije nesigurnost nule podijeljena sa nulom, jer brojnik ne sadrži beskonačno malu vrijednost, već upravo nulu. Drugim riječima, prirast konstantne funkcije je uvijek nula.

dakle, derivacija konstantne funkcijejednaka je nuli u cijeloj domeni definicije.

Derivat funkcije stepena.

Formula za izvod funkcije stepena ima oblik , gdje je eksponent str– bilo koji realan broj.

Hajde da prvo dokažemo formulu za prirodni eksponent, odnosno za p = 1, 2, 3, …

Koristićemo definiciju derivata. Zapišimo granicu omjera prirasta funkcije snage i priraštaja argumenta:

Da bismo pojednostavili izraz u brojiocu, okrećemo se Newton binomskoj formuli:

dakle,

Ovo dokazuje formulu za izvod funkcije stepena za prirodni eksponent.

Derivat eksponencijalne funkcije.

Predstavljamo izvođenje formule izvoda na osnovu definicije:

Stigli smo do neizvjesnosti. Da bismo ga proširili, uvodimo novu varijablu i na . Onda . U posljednjoj tranziciji koristili smo formulu za prelazak na novu logaritamsku bazu.

Zamijenimo u originalno ograničenje:

Ako se prisjetimo druge izvanredne granice, dolazimo do formule za izvod eksponencijalne funkcije:

Derivat logaritamske funkcije.

Dokažimo formulu za izvod logaritamske funkcije za sve x iz domene definicije i svih važećih vrijednosti baze a logaritam Po definiciji derivata imamo:

Kao što ste primijetili, tokom dokaza transformacije su izvršene korištenjem svojstava logaritma. Jednakost je istina zbog druge izvanredne granice.

Derivati ​​trigonometrijskih funkcija.

Da bismo izveli formule za izvode trigonometrijskih funkcija, morat ćemo se prisjetiti nekih trigonometrijskih formula, kao i prve izvanredne granice.

Po definiciji derivacije za sinusnu funkciju imamo .

Koristimo formulu razlike sinusa:

Ostaje da se okrenemo prvoj izuzetnoj granici:

Dakle, derivacija funkcije sin x Tu je cos x.

Formula za izvod kosinusa je dokazana na potpuno isti način.

Dakle, derivacija funkcije cos x Tu je –sin x.

Formule za tablicu izvoda za tangentu i kotangens ćemo izvesti koristeći dokazana pravila diferencijacije (derivat razlomka).

Derivati ​​hiperboličkih funkcija.

Pravila diferencijacije i formula za izvod eksponencijalne funkcije iz tablice derivacija nam omogućavaju da izvedemo formule za izvode hiperboličkog sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa.

Derivat inverzne funkcije.

Da ne bi bilo zabune tokom prezentacije, označimo indeksnim indeksom argument funkcije pomoću koje se vrši diferencijacija, odnosno, to je derivacija funkcije f(x) By x.

Sada da formulišemo pravilo za pronalaženje izvoda inverzne funkcije.

Neka funkcije y = f(x) I x = g(y) međusobno inverzni, definisani na intervalima i respektivno. Ako u nekoj tački postoji konačan izvod funkcije koji nije nula f(x), tada u tački postoji konačan izvod inverzne funkcije g(y), i . U drugom postu .

Ovo pravilo se može preformulisati za bilo koje x iz intervala , onda dobijamo .

Provjerimo valjanost ovih formula.

Nađimo inverznu funkciju za prirodni logaritam (Ovdje y je funkcija, i x- argument). Nakon što smo riješili ovu jednačinu za x, dobijamo (ovde x je funkcija, i y– njen argument). To je, i međusobno inverzne funkcije.

Iz tabele derivata to vidimo I .

Uvjerimo se da nas formule za pronalaženje izvoda inverzne funkcije dovedu do istih rezultata: